Transformaciones lineales

´INDICE

13.TRANSFORMACIONES LINEALES ´ DE TRANSFORMACION ´ LINEAL . . . . . . . . . . . . . 13.1. DEFINICION ´ ´ LINEAL . . . . . . 13.2. DETERMINACION DE UNA TRANSFORMACION ´ MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION ´ LIN13.3. REPRESENTACION EAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ LINEAL . . 13.4. NUCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACION ´ 13.5. ESPACIO IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL . . . . . . ´ 13.6. TEOREMA DE LA DIMENSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 . 257 . 259 . . . . . .

260 261 264 265 268 271

CAP´ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

13.1.

´ DE TRANSFORMACION ´ LINEAL DEFINICION

Definici´ on 13.1.1. Sean (V, +, ◦, K), (W, ⊕, ∗, K) dos espacios vectoriales sobre el cuerpo K. Una aplicaci´on o funci´on T : V → W es una transformaci´on lineal si a) T (v1 + v2 ) = T (v1 ) ⊕ T (v2 ); ∀ v1 , v2 ∈ V . b) T (k ◦ v) = k ∗ T (v); ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K. Observaci´ on 13.1.1. Sea T : V → W una transformaci´on lineal, entonces: a) Para simplificar la notaci´on denotaremos las operaciones en los espacios con el mismo s´ımbolo diciendo: T : V → W es una transformaci´on lineal si a) T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ); ∀ v1 , v2 ∈ V . b) T (kv) = kT (v); ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K. b) T es lineal si preserva las operaciones del espacio vectorial. c) El cero del espacio V se transforma en el cero del espacio W , es decir, T (0V ) = 0W ya que, usando b) de la Definici´on 13.1.1, con k = 0 se consigue T (0V ) = T (0 · v) = 0 · T (v) = 0W . Usando la contrapositiva concluimos: si T (0v ) 6= 0W entonces T : V → W no es una transformaci´on lineal. ¶ µn n P P ki T (vi ); vi ∈ V, ki ∈ K. ki vi = d) T i=1

i=1

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Ejemplo 13.1.1. Verifique que la transformaci´ on T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x + y, y, x − y), es una transformaci´ on lineal. Soluci´ on. a) Sean v1 = (x, y), v2 = (p, q) ∈ R2 , entonces T (v1 + v2 ) = T (x + p, y + q) = ((x + p) + (y + q), y + q, (x + p) − (y + q)) = ((x + y) + (p + q), y + q, (x − y) + (p − q)) = (x + y, y, x − y) + (p + q, q, p − q) = T (x, y) + T (p, q) = T (v1 ) + T (v2 ) b) Sean v = (x, y) ∈ R2 , k ∈ R, entonces: T (kv) = T (kx, ky) = (kx + ky, ky, kx − ky) = k(x + y, y, x − y) = kT (x, y) = k(T v) as´ı, T es una transformaci´on lineal. on T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x + y, x − Ejemplo 13.1.2. Verifique si la transformaci´ y + 2, y), es una transformaci´ on lineal. Soluci´ on. Claramente T no es transformaci´on lineal ya que T (0, 0) = (0, 2, 0) 6= (0, 0, 0). Ejemplo 13.1.3. Compruebe que la transformaci´ on T : M (n, R) → M (n, R) tal que T (A) = M A + AM donde M es una matriz fija en M (n, R), es una transformaci´ on lineal. Soluci´ on. a) Sean A, B ∈ M (n, R) entonces T (A + B) = M (A + B) + (A + B)M = (M A + M B) + (AM + BM ) = (M A + AM ) + (M B + BM ) = T (A) + T (B) b) Sea A ∈ M (n, R), k ∈ R entonces T (KA) = M (kA) + (kA)M = kM A + kAM = k(M A + AM ) = kT (A) Por a) y b), T es una transformaci´on lineal.

CAP´ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

13.2.

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´ DE UNA TRANSFORMACION ´ LINEAL DETERMINACION

Para describir una transformaci´on o funci´on arbitraria se debe especificar su valor en cada elemento de su dominio, sin embargo, para una transformaci´on lineal basta con conocer los valores sobre una base del espacio dominio. Teorema 13.2.1. Sea {v1 , v2 , . . . , vn } una base del espacio vectorial VK y WK otro espacio vectorial tal que {w1 , w2 , . . . , wn } ⊆ W entonces, existe una u ´nica transformaci´ on lineal T : V → W donde T (v1 ) = wi , i = 1, 2, . . . , n. Demostraci´ on. Encontremos una transformaci´on lineal con las propiedades. Si v ∈ V entonces v = a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn , con ai las componentes de v en la base {v1 , v2 , . . . , vn }. Definamos entonces T : V → W por T (v) = a1 w1 + a2 w2 + · · · + an wn . Claramente T es una transformaci´on ya que existe un u ´nico elemento en W correspondiente a cada elemento de V . Veamos que T es una transformaci´on lineal. Consideremos otro vector w ∈ V tal que w1 = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn entonces v + w = (a1 + c1 )v1 + (a2 + c2 )v2 + · · · + (an + cn )vn , luego T (v + w) = (a1 + c1 )w1 + (a2 + c2 )w2 + · · · + (an + cn )wn = a1 w1 + a2 w2 + · · · + an wn + c1 w1 + c2 w2 + · · · + cn wn = T (v) + T (v1 ). Adem´as, T (kv) = ka1 w1 + ka2 w2 + · · · + kan wn = kT (v). Veamos ahora la unicidad de la transformaci´on. Sea S : V → W otra transformaci´on lineal tal que S(vi ) = wi , i = 1, 2, . . . , n, entonces S(v) = S(a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn ) = a1 w1 + a2 w2 + · · · + an wn = T (v) as´ı, S = T . Observaci´ on 13.2.1. El conjunto {w1 , w2 , . . . , wn } es arbitrario, incluso podr´ıa ser un conjunto linealmente dependiente. Ejemplo 13.2.1. Determine la transformaci´ on lineal T : R2 → R2 tal que T (1, 1) = (0, 2) y T (3, 1) = (2, −4). Soluci´ on. Claramente el conjunto {(1, 1), (3, 1)} es una base de R2 ya que ´el es un conjunto m´aximo de vectores linealmente independiente. Es L.I. ya que µ ¶ µ ¶ 1 1 f21 (−3) 1 1 ∼ 3 1 0 −2

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y es maximal dado que la dimensi´on de R2 es 2. Sea v = (x, y) ∈ R2 entonces existen escalares a, b tal que (x, y) = a(1, 1) + b(3, 1), entonces ( x = a + 3b y =a+b Debemos expresar a, b en funci´on de x, y. x−y Al resolver el sistema para las variables a, b obtenemos a = 3y−x 2 , b = 2 , de donde x−y x−y (x, y) = 3y−x ı, T (x, y) = 3y−x 2 (1, 1) + 2 (3, 1); as´ 2 T (1, 1) + 2 T (3, 1), es decir, T (x, y) = 3y−x x−y 2 (0, 2) + 2 (2, −4) = (x − y, 5y − 3x).

13.3.

´ REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMA´ CION LINEAL

Estamos en condiciones de mostrar que cualquier transformaci´on lineal de Rn a Rm puede ser introducida mediante la multiplicaci´ on por una matriz adecuada Teorema 13.3.1. Sea T : Rn → Rm una transformaci´ on lineal, entonces existe una n matriz A ∈ M (m, n, R) tal que T (v) = A · v, ∀ v ∈ R .

Demostraci´ on. Antes de efectuar la demostraci´on, es conveniente se˜ nalar que podemos n “identificar” la n-upla (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R con la matriz columna   x1  ..   .  ∈ M (n, 1, R); xn esto se realizar´a con un isomorfismo que presentaremos posteriormente. ∗ } base Sea E = {E1 , E2 , . . . , En } la base can´onica de Rn y E ∗ = {E1∗ , E2∗ , . . . , Em m can´onica de R . Sea v = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , entonces v se escribe como combinaci´ on de los vectores de E como v = x1 E1 + x2 E2 + · · · + xn En , as´ı, aplicando la transformaci´on lineal T obtenemos T (v) = x1 T (E1 ) + x2 T (E2 ) + · · · + xn T (En ). (13.1)

Por otro lado, cada vector T (Ej ) ∈ Rm se escribe como combinaci´ on lineal de la base ∗. can´onica E ∗ como T (Ej ) = a1j E1∗ + a2j E2∗ + · · · + amj Em Reemplazando esto u ´ltimo en (13.1) obtenemos ∗ ) T (v) = x1 (a11 E1∗ + a21 E2∗ + a31 E3∗ + · · · + am1 Em ∗ +x2 (a12 E1∗ + a22 E2∗ + · · · + a32 E3∗ + · · · + am2 Em ) ∗ + · · · + xn (a1n E1∗ + a2n E2∗ + a3n E3∗ + · · · + amn Em )

de aqu´ı deducimos que la i-´esima componente de T (v) es ai1 x1 +ai2 x2 +ai3 x3 +· · ·+ain xn .

CAP´ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

261

Si definimos A = (aij ) ∈ M (m, n, R) entonces, dado que la i-´esima componente de     a11 · · · a1n x1  ..   ..  . . . . A·v = . . . · .  am1 · · ·

amn

xn

es ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn , concluimos que T (v) = A · v. Observaci´ on 13.3.1. 1. Si T : Rn → Rm una transformaci´on lineal entonces la matriz A = (aij ) ∈ M (m, n, R) que hemos construido se llama “matriz asociada a la transformaci´on lineal T 00 y la ∗ denotamos por TA , [T ]E , [T ]E E . on 2. La matriz TA se obtiene, colocando como columnas, los coeficientes de la combinaci´ lineal que representa al vector T (Ej ) al escribirlo como combinaci´ on lineal de los vectores de la base E ∗ . Ejemplo 13.3.1. Sea T : R3 → R2 una transformaci´ on lineal tal que T (x, y, z) = (2x + ∗ y, x + y + z). Determine A = [T ]E y verifique. E Soluci´ on. Sean E = {E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1)}, E ∗ = {E1∗ = (1, 0), E2∗ = (0, 1)} bases can´onicas de RR3 y RR2 respectivamente, entonces: T (E1 ) = T (1, 0, 0) = (2, 1) = 2E1∗ + 1E2∗ T (E2 ) = T (0, 1, 0) = (1, 1) = 1E1∗ + 1E2∗ T (E3 ) = T (0, 0, 1) = (0, 1) = 0E1∗ + 1E2∗ entonces

µ ¶ 2 1 0 A= . 1 1 1

Verificaci´on:   µ ¶ µ ¶ x 2 1 0   2x + y T (v) = A · v = · y = = (2x + y, x + y + z). 1 1 1 x+y+z z

13.4.

´ ´ LINNUCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACION EAL

Definici´ on 13.4.1. Una transformaci´on lineal T : V → W es inyectiva o monomorfismo si, como funci´on es inyectiva. Observaci´ on 13.4.1. La Transformaci´ on Lineal T : V → W es un monomorfismo si y s´olo si T (v1 ) = T (v2 ) ⇒ v1 = v2 , ∀ v1 , v2 ∈ V .

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Ejemplo 13.4.1. Sea T : R2 → R2 una transformaci´ on lineal tal que T (x, y) = (x + y, x − y). Demuestre que T es un monomorfismo. Soluci´ on. Consideremos T (x, y) = T (z, w), debemos demostrar que (x, y) = (z, w). T (x, y) = T (z, w) ⇒ (x + y, x − y) = (z + w, z − w) ( x+y =z+w ⇒ x−y =z−w ( x=z ⇒ y=w As´ı (x, y) = (z, w), y entonces, T es un monomorfismo. Ejemplo 13.4.2. Sea T : R3 → R2 una transformaci´ on lineal tal que T (x, y, z) = (x, y), notamos inmediatamente que T no es un monomorfismo ya que (3, 2, 1) 6= (3, 2, 7) y sin embargo T (3, 2, 1) = T (3, 2, 7) = (3, 2). Presentaremos ahora una forma m´as simple para decidir si una transformaci´on lineal es o no un monomorfismo, mirando el n´ ucleo de la transformaci´on. Definici´ on 13.4.2. Sea T : V → W una transformaci´on lineal, el n´ ucleo de T es el conjunto de vectores de V que tienen imagen nula. Observaci´ on 13.4.2. 1. Si denotamos al n´ ucleo de T por Ker (T ) entonces Ker (T ) = {v ∈ V / T (v) = 0}. 2. Ker (T ) 6= ∅ ya que T (0v ) = 0W . on lineal, entonces Teorema 13.4.1. Sea T : V → W una transformaci´ a) Ker (T ) / V . b) T es un monomorfismo si y s´ olo si Ker (T ) = {0V }. Demostraci´ on. a) Debemos demostrar que Ker (T ) es un subespacio vectorial de V , es decir, debemos demostrar: i) 0 ∈ Ker (T ). ii) v1 , v2 ∈ Ker (T ) ⇒ (v1 + v2 ) ∈ Ker (T ). iii) k ∈ K, v ∈ Ker (T ) ⇒ kv ∈ Ker (T ). i) 0 ∈ Ker (T ) ya que T (0) = 0.

CAP´ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

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ii) Debemos demostrar que T (v1 + v2 ) = 0. Como v1 · v2 ∈ Ker (T ) entonces se cumple T (v1 ) = 0 = T (v2 ), luego, T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = 0 + 0 = 0. iii) Para que kv ∈ Ker (T ) debemos demostrar que T (kv) = 0. Como T (v) = 0 entonces es inmediato obtener T (kv) = kT (v) = k · 0 = 0. Por i), ii)y iii) concluimos que Ker (T ) / V . b) Debemos demostrar que i) Si T es monomorfismo entonces Ker (T ) = {0V }. ii) Ker (T ) = {0V } entonces T es monomorfismo. i) Sea v ∈ Ker (T ), debemos demostrar que v = 0. Como T (v) = 0W y adem´as T (0) = 0W entonces T (v) = T (0) y dado que T : V → W es un monomorfismo (es decir T es inyectiva) entonces, v = 0. ii) Sea T (x) = T (y) debemos demostrar que x = y. Si T (x) = T (y) entonces T (x) − T (y) = 0, es decir, T (x − y) = 0; as´ı, (x − y) ∈ Ker (T ), de donde x − y = 0 y entonces, x = y.

Ejemplo 13.4.3. Sea T : R2 (x) → M (2, R) una transformaci´ on lineal tal que µ ¶ 0 0 T (a + bx + cx2 ) = . a a+b+c a) Determine dim(Ker (T )). b) Extienda la base de Ker (T ) a una base de R2 (x). Soluci´ on. a) Sea a + bx + cx2 ∈ Ker (T ) entonces µ ¶ 0 0 T (a + bx + cx ) = , 0 0 2

de esto u ´ltimo deducimos que µ

¶ µ ¶ 0 0 0 0 = . a a+b+c 0 0

Solucionando el sistema que se origina concluimos que a = 0, a + b + c = 0, as´ı a = 0, c = −b. © ª Concluimos entonces que Ker (T ) = bx − bx2 / b ∈ R . © ª Como bx −bx2 = b(x−x2 ) ∈ Ker (T ), b ∈ R entonces Ker (T ) = h x − x2 i de donde dim(Ker (T )) = 1 ya que el conjunto formado por un u ´nico vector es linealmente independiente.

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b) R2 (x) tiene dimensi´on 3, por lo tanto, a la base del Ker (T ) debemos agregar dos vectores tal que, los tres vectores sean linealmente independientes (maximal L.I.). Podemos agregar, por ejemplo, los vectores can´onicos 1, x2 . © ª Se puede verificar, r´apidamente, que 1, x −³x2 , x2 ´ es un conjunto linealmente in10 0 dependiente (por ejemplo usando la matriz 0 1 −1 , que est´a escalonada) 00 1

13.5.

´ LINEAL ESPACIO IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION

Definici´ on 13.5.1. Sea T : V → W una transformaci´on lineal, definimos la Imagen de T denotada Im(T ) como: Im(T ) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V tal que w = T (v)} . Observaci´ on 13.5.1. Im(T ) 6= ∅ ya que T (0) = 0. Teorema 13.5.1. Sea T : V → W una transformaci´ on lineal entonces Im(T ) / W . Demostraci´ on. a) Claramente 0 ∈ Im(T ). b) Sean w1 , w2 ∈ Im(T ) entonces existen v1 , v2 ∈ V tal que T (v1 ) = w1 y T (v2 ) = w2 , as´ı, T (v1 ) + T (v2 ) = T (v1 + v2 ) = w1 + w2 , por lo tanto, w1 + w2 ∈ Im(T ). c) Sea w ∈ Im(T ), k ∈ K, entonces existe v ∈ V tal que T (v) = w; como T es una Transformaci´on Lineal entonces T (kv) = kT (v) = kw, de donde kw ∈ Im(T ).

Teorema 13.5.2. Sea A ∈ M (m, n, R) la matriz asociada a la transformaci´ on lineal T : Rn → Rm entonces las columnas de A generan Im(T ). Demostraci´ on. Sea {E1 , E2 , . . . , En } base de Rn . Si v ∈ Rn entonces existen n escalares αi tal que v = α1 E1 + α2 E2 + · · · + αn En , entonces T (v) = T (α1 E1 + α2 E2 + · · · + αn En ), esta u ´ltima expresi´on es T (v) = α1 T (E1 ) + α2 T (E2 ) + · · · + αn T (En ) = α1 (AE1 ) + α2 (AE2 ) + · · · + αn (AEn ). Como AEi es la i-´esima columna de A, y dado que todo elemento en Im(T ) es combinaci´ on lineal de {AE1 , AE2 , . . . , AEn } concluimos que las columnas de A generan la imagen de T.

CAP´ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

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Ejemplo 13.5.1. Considere la transformaci´ on lineal T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (x + y, x − y + z). Determine dim(Im(T )). Soluci´ on. Encontremos la matriz asociada a la transformaci´on lineal y con respecto a las bases can´onicas; para ello determinamos la imagen de los vectores can´onicos del espacio de partida y los expresamos como combinaci´ on lineal de los vectores de la base can´onica del espacio de llegada, tenemos: T (1, 0, 0) = (1, 1) , as´ı, la matriz buscada es

T (0, 1, 0) = (1, −1) ,

T (0, 0, 1) = (0, 1),

µ ¶ 1 1 0 A= . 1 −1 1

Como los vectores columna de la matriz A generan la imagen de T entonces Im(T ) = h{(1, 1), (1, −1), (0, 1)}i; naturalmente que s´olo dos vectores son linealmente independientes, por ejemplo, (1, 1) y (0, 1); por lo tanto el conjunto {(1, 1), (0, 1)} es base de Im(T ) de donde dim(Im(T )) = 2.

13.6.

´ TEOREMA DE LA DIMENSION

Teorema 13.6.1. Sea T : V → W una transformaci´ on lineal tal que dim(V ), dim(W ) < ∞, entonces dim(V ) = dim(Ker (T )) + dim(Im(T )). Demostraci´ on. Determinamos una base de Ker (T ) y una base de Im(T ) y postulamos que el conjunto formado por los elementos de Ker (T ) junto con pre-imagenes de los elementos de Im(T ) forman una base de V . Sea {v1 , v2 , v3 , . . . , vn } base de Ker (T ) y {w1 , w2 , w3 , . . . , wm } base de Im(T ), entonces dim(Ker (T )) = n y dim(Im(T )) = m, debemos demostrar que dim(V ) = n + m. Como w1 , w2 , . . . , wm ∈ Im(T ) entonces existen u1 , u2 , . . . , um ∈ V tal que T (ui ) = wi , ∀ i = 1, 2, . . . , m. Postulamos que B = {v1 , v2 , . . . , vn , u1 , u2 , . . . , um } es base de V . B es L.I., en efecto, sea a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn + c1 u1 + c2 u2 + · · · + cm um = 0,

(13.2)

debemos demostrar que los escalares ai , cj son nulos y u ´nicos. Aplicando la transformaci´on lineal a la u ´ltima combinaci´ on lineal obtenemos a1 T (v1 ) + a2 T (v2 ) + · · · + an T (vn ) + c1 T (u1 ) + c2 T (u2 ) + · · · + cm T (um ) = 0,

(13.3)

pero T (vi ) = 0, ∀ i = 1, 2, . . . , n, de donde (13.3) queda c1 T (u1 )+c2 T (u2 )+· · ·+cm T (um ) = 0, como {T (uj ) = wj / j = 1, 2, . . . , m} es base de Im(T ) entonces cj = 0, u ´nicos, ∀ j = 1, 2, . . . , m. Reemplazando esto u ´ltimo en (13.2) obtenemos a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn = 0, y como {vi / i = 1, 2, . . . , n} es base concluimos que ai = 0, u ´nicos, ∀ i = 1, 2, . . . , n.

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hBi = V , en efecto: Sea v ∈ V entonces, T (v) ∈ Im(T ) de donde T (v) = d1 w1 + d2 w2 + · · · + dm wm , definiendo vr como vr = v − d1 u1 − d2 u2 − · · · − dm um y aplicando la transformaci´on lineal obtenemos T (vr ) = T (v) − d1 T (u1 ) − d2 T (u2 ) − · · · − dm T (um ) = d1 w1 + d2 w2 + · · · + dm wm − d1 w1 + d2 w2 + · · · + dm wm = 0, as´ı, vr ∈ Ker (T ), luego este vector se escribe como combinaci´ on lineal de los vectores de la base del Ker (T ) obteniendo vr = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn ; tenemos entonces vr = v − d1 u1 − d2 u2 − · · · − dm um = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn de donde, al despejar v conseguimos v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn + d1 u1 + d2 u2 − · · · + dm um , esto u ´ltimo nos indica que hBi = V . Corolario 13.6.1. Sea T : V → W una transformaci´ on lineal, entonces 1. dim(Im(T )) ≤ dim(V ). En efecto, como dim(V ) = dim(Ker (T )) + dim(Im(T )) ≥ dim(Im(T )) entonces dim(Im(T )) ≤ dim(V ). 2. Si dim(W ) < dim(V ) entonces Ker (T ) > 0, es decir, en esas condiciones la transformaci´ on T no es un monomorfismo. En efecto, como Im(T ) / W entonces dim(Im(T )) ≤ dim(W ), como por hip´ otesis se tiene dim(W ) < dim(V ) entonces dim(Im(T )) ≤ dim(W ) < dim(V ). Despejando dim(Ker (T )) tenemos dim(Ker (T )) = dim(V ) − dim(Im(T )) > 0. 3. Si dim(V ) = dim(W ) entonces T inyectiva ⇔ T sobreyectiva. En efecto, como dim(Im(T )) + dim(Ker (T )) = dim(V ) = dim(W ) entonces dim(Ker (T )) = dim(W ) − dim(Im(T )). Si T es inyectiva entonces dim(Ker (T )) = 0 de donde dim(W ) = dim(Im(T )) y entonces T es sobreyectiva. Si T es sobreyectiva entonces dim(W ) = dim(Im(T )) de donde dim(Ker (T )) = 0 y entonces T es inyectiva.

CAP´ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

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Ejemplo 13.6.1. Determine una transformaci´ on lineal T : R3 → R3 tal que Ker (T ) = h{(1, 2, 0)}i e Im(T ) = h{(0, 1, 2), (0, 0, 3)}i. Determine adem´ as T (−1, 2, 3). Soluci´ on. Sabemos que una transformaci´on lineal queda completamente determinada cuando conocemos lo que ella le hace a una base del espacio dominio. Usando la demostraci´on del Teorema de la Dimensi´on, debemos agregar dos vectores a la base del Ker (T ) para formar una base de RR3 ; si escogemos v1 = (0, 1, 0) tal que T (0, 1, 0) = (0, 1, 2) y v2 = (0, 0, 1) tal que T (0, 0, 1) = (0, 0, 3) entonces el conjunto {(1, 2, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es base de RR3 , observe que el conjunto es linealmente independiente ya que   1 2 0 0 1 0 0 0 1 est´a escalonada con las tres filas no nulas y es entonces un conjunto m´aximo de vectores L.I. Sea v = (x, y, z) ∈ RR3 entonces, existen escalares u ´nicos a1 , a2 , a3 ∈ R tal que (x, y, z) = a1 (1, 2, 0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 0, 1), de aqu´ı deducimos el sistema lineal   x = a 1 y = 2a1 + a2   z = a3 de donde a1 = x, a2 = y−2x, a3 = z; luego, (x, y, z) = x(1, 2, 0)+(y−2x)(0, 1, 0)+z(0, 0, 1), aplicando la transformaci´on lineal T obtenemos T (x, y, z) = xT (1, 2, 0) + (y − 2x)T (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1) = x(0, 0, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + z(0, 0, 3) = (0, y − 2x, 2y − 4x + 3z). Ahora, T (−1, 2, 3) = (0, 4, 17). Ejemplo 13.6.2. Sea T : R3 → R3 una transformaci´ on lineal tal que T (1, 2, 0) = (3, 1, 0), T (0, 1, 2) = (1, 1, 1). a) Determine T (x, y, z). b) Determine T (1, 2, 3). Soluci´ on. a) Para determinar una transformaci´on lineal necesitamos conocer la acci´on de ella sobre una base, por lo tanto debemos agregar un vector a los dos vectores dados, declarando su imagen. Si agregamos el vector can´onico (0, 0, 1) tal que, por ejemplo, T (0, 0, 1) = (0, 0, 1) entonces podemos expresar el vector (x, y, z) como combinaci´ on lineal de la base {(1, 2, 0), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}.

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Sea (x, y, z) = a(1, 2, 0) + b(0, 1, 2) + c(0, 0, 1), entonces del sistema que se produce obtenemos la siguiente relaci´on a = x, b = y − 2x, c = z − 2y + 4x, as´ı, (x, y, z) = x(1, 2, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)(0, 0, 1). Tenemos, T (x, y, z) = xT (1, 2, 0) + (y − 2x)T (0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)T (0, 0, 1), de donde T (x, y, z) = x(3, 1, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)(0, 0, 1) = (x + y, −x + y, 2x − y + z). b) Reemplazando en la transformaci´on lineal encontrada obtenemos T (1, 2, 3) = (3, 1, 3).

13.7.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 13.1. Verifique si la transformaci´on T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x+y, y, x− y), es una transformaci´on lineal. Soluci´ on. a) Sean v1 = (x, y), v2 = (p, q) ∈ R2 , entonces T (v1 + v2 ) = T (x + p, y + q) = ((x + p) + (y + q), y + q, (x + p) − (y + q) = ((x + y) + (p + q), y + q, (x − y) + (p − q)) = (x + y, y, x − y) + (p + q, q, p − q) = T (x, y) + T (p, q) = T (v1 ) + T (v2 ) b) Sean v = (x, y) ∈ R2 , k ∈ R, entonces T (kv) = T (kx, ky) = (kx + ky, ky, kx − ky) = k(x + y, y, x − y) = kT (x, y) = k(T v) As´ı, T es una transformaci´on lineal.

Ejercicio 13.2. Verifique si la transformaci´on T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x + y, x − y + 2), es una transformaci´on lineal. Soluci´ on. Claramente T no es transformaci´on lineal ya que T (0, 0) = (0, 2) 6= (0, 0).

CAP´ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

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Ejercicio 13.3. Verifique si la transformaci´on T : M (n, R) → M (n, R) tal que T (X) = M X + XM donde M es una matriz fija en M (n, R), es una transformaci´on lineal. Soluci´ on. a) Sean A, B ∈ M (n, R) entonces: T (A + B) = M (A + B) + (A + B)M = (M A + M B) + (AM + BM ) = T (A) + T (B). b) Sea A ∈ M (n, R), k ∈ R entonces T (kA) = M (kA) + (kA)M = kM A + kAM = k(M A + AM ) = kT (A). Por a) y b), T es una transformaci´on lineal. Ejercicio 13.4. Sea T : R2 (x) → M (2, R) una transformaci´on lineal tal que µ ¶ 0 0 2 T (a + bx + cx ) = . a a+b+c a) Determine dim(Ker (T )). b) Extienda la base de Ker (T ) a una base de R2 (x). c) Determine dim(Im(T )). Soluci´ on. a) Sea a + bx + cx2 ∈ Ker (T ) entonces µ ¶ 0 0 T (a + bx + cx ) = , 0 0 2

de esto u ´ltimo deducimos que µ

¶ µ ¶ 0 0 0 0 = . a a+b+c 0 0

Solucionando el sistema que se origina concluimos que a = 0, aª+ b + c = 0, as´ı a = 0, © c = −b. Concluimos entonces que Ker (T ) = bx − bx2 / b ∈ R . © ª Como bx −bx2 = b(x−x2 ) ∈ Ker (T ), b ∈ R entonces Ker (T ) = h x − x2 i de donde dim(Ker (T )) = 1 ya que el conjunto formado por un u ´nico vector es linealmente independiente.

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b) R2 (x) tiene dimensi´on 3, por lo tanto, a la base del Ker (T ) debemos agregar dos vectores tal que, los tres vectores sean linealmente independientes (maximal L.I.). Podemos agregar, por ejemplo, los vectores can´onicos 1, x2 . © ª Se puede verificar, r´apidamente, que 1, x − x2 , x2 es un conjunto linealmente independiente, por ejemplo usando la matriz   1 0 0 0 1 −1 , 0 0 1 que est´a escalonada. c) Usando el Teorema de la dimensi´on obtenemos dim(Im(T )) = dim(R2 (x)) − dim(Ker (T )) = 3 − 2 = 1.

Ejercicio 13.5. Sea T : R3 → R3 una transformaci´on lineal tal que T (1, 2, 0) = (3, 1, 0) ,

T (0, 1, 2) = (1, 1, 1).

a) Determine T (x, y, z). b) Determine T (1, 2, 3). Soluci´ on. a) Para determinar una transformaci´on lineal necesitamos conocer la acci´on de ella sobre una base, por lo tanto debemos agregar un vector a los dos vectores dados, declarando su imagen. Si agregamos el vector can´onico (0, 0, 1) tal que, por ejemplo, T (0, 0, 1) = (0, 0, 1) entonces podemos expresar el vector gen´erico (x, y, z) como combinaci´ on lineal de la base {(1, 2, 0), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}. Sea (x, y, z) = a(1, 2, 0) + b(0, 1, 2) + c(0, 0, 1), entonces del sistema que se produce obtenemos la siguiente relaci´on: a = x, b = y − 2x, c = z − 2y + 4x, as´ı (x, y, z) = x(1, 2, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)(0, 0, 1). Tenemos T (x, y, z) = xT (1, 2, 0)+(y −2x)T (0, 1, 2)+(z −2y +4x)T (0, 0, 1), de donde T (x, y, z) = x(3, 1, 0) + (y − 2x)(0, 1, 2) + (z − 2y + 4x)(0, 0, 1) = (x + y, −x + y, 2x − y + z). b) Para determinar la imagen del vector (1, 2, 3) por la transformaci´on lineal T basta con reemplazar, en la transformaci´on lineal ya determinada, x, y, z por 1, 2, 3 respectivamente, obtenemos T (1, 2, 3) = (3, 1, 3).

CAP´ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

13.8.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 13.1. Determine cuales de las siguientes transformaciones son transformaciones lineales. a) T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (x, y). b) T : R3 → R3 tal que T (X) = X. c) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x, y, z) + (1, 2, 3). d) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (2x, y, x − z). e) T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (x + 1, z + 2). f) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (ax + by, cx + dy), a, b, c, d ∈ R − {0}. g) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x2 , y 2 ). h) T : R2 → R tal que T (x, y) = |x − y|. i) T : M (2, R) → R tal que T (A) = det(A). j) T : M (n, R) → M (n, R) tal que: i) T (A) = AB − B 2 A, B ∈ M (n, R) matriz fija. ii) T (A) = AB − BA, B ∈ M (n, R) matriz fija. iii) T (A) = At . Ejercicio 13.2. Sean V, W dos espacios vectoriales sobre R y T : V → W una transformaci´on lineal a) Si T (u) = w y T (v) = 0 demuestre que T (u + v) = w, u, v ∈ V . b) Demuestre que T (−v) = −T (v). c) Si Ker (T ) = {v ∈ V / T (v) = 0} demuestre que Ker (T ) / V . d) Demuestre que Im(T ) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V tal que w = T (v)} / W . e) Demuestre que si T (0V ) 6= 0W entonces T no es transformaci´on lineal. f) Si f : V → R, g : V → R son dos transformaciones lineales demuestre que la transformaci´on S : V → R2 tal que S(v) = (f (v), g(v)) es una transformaci´on lineal. g) Si A = {v1 , v2 , . . . , vn } es base de V entonces T (v) se escribe de manera u ´nica. Ejercicio 13.3. Sea V el espacio formado por todas las funciones continuas de R en R. Definimos la transformaci´on Z x T (f (x)) = f (t)dt. 0

Demuestre que T es una transformaci´on lineal.

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Ejercicio 13.4. Sea T : R2 → R2 una transformaci´on lineal tal que T (x, y) = (x + y, 2x − y). a) Determine Ker (T ). b) Determine dim(Ker (T )).

Ejercicio 13.5. Sea T : V → W una transformaci´on lineal tal que Ker (T ) = {0}. Demuestre que si {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es un conjunto linealmente dependiente entonces el conjunto {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente dependiente. Ejercicio 13.6. Sea T : R3 → R3 una transformaci´on tal que T (1, −1, 1) = (−1, 0, 3) ,

T (0, 2, 0) = (4, 2, 2) ,

T (1, 0, 0) = (1, 1, 2).

a) Demuestre que A = {(1, −1, 1), (0, 2, 0), (1, 0, 0)} es base de R3R . b) Determine la transformaci´on lineal T (x, y, z). c) Determine dim(Ker (T )). Ejercicio 13.7. Sea T : R4 → R4 una transformaci´on y A = {(0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 2), (1, 0, 0, 0)} . Asigne im´agenes a los vectores de A de modo que T sea una transformaci´on lineal inyectiva. Ejercicio 13.8. Sea T : R3 → R3 una transformaci´on tal que T (x, y, z) = (x − y + 2z, x + 2y, −x − 2y + 2z). a) Demuestre que T es una transformaci´on lineal. b) Determine dim(Ker (T )). c) Extienda la base encontrada de Ker (T ) a una base de R3R . Ejercicio 13.9. Determine una transformaci´on lineal T : M (3, 1, R) → R3 tal que *1+   1 Ker (T ) =   2 y adem´as Im(T ) = h{(1, 0, 1), (−2, 1, 3)}i. Justifique.

CAP´ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

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Ejercicio 13.10. Sea T : R3 → R3 una transformaci´on lineal tal que T (x, y, z) = (x − y + 2z, 2x + y, −x − 2y + 2z). ¿Qu´e condiciones deben cumplir a, b, c ∈ R para que (a, b, c) ∈ Ker (T )?.

Ejercicio 13.11. Sea T : M (n, R) → M (n, R) una transformaci´on lineal tal que T (A) = BAB t , con B ∈ M (n, R) una matriz fija. a) Demuestre que T es una transformaci´on lineal. ¡ ¢ determine: b) Si n = 2 y B = 00 −2 1 i) Ker (T ). ii) dim(Ker (T )). Ejercicio 13.12. Hallar una transformaci´on lineal T : R4 → R4 tal que h{v1 = (1, −1, 2, 1), v2 = (0, −1, 2, 1)}i = Ker (T ) y h{w1 = (1, 2, −1), w2 = (2, 1, −2)}i = Im(T ).

Ejercicio 13.13. Sea T : R2 [t] → R una transformaci´on lineal tal que Z 2

T (at + bt + c) =

1

(at2 + bt + c)dt.

0

a) Determine dim(Ker (T )). b) Determine dim(Im(T )). Ejercicio 13.14. Sea T : R3 → R2 una transformaci´on definida por T (x, y, z) = (x+y, 2z). a) Si B es la base can´onica ordenada de R3R y B1 es la base can´onica ordenada de R2R determine la matriz asociada a la transformaci´on lineal T . b) Si B = {v1 = (1, 0, −1), v2 = (1, 0, 0), v3 = (1, 1, 1)} y B1 = {w1 = (0, −1), w2 = (1, 2)}. ¿Cu´al es ahora la matriz asociada a la transformaci´on lineal T ?.

Ejercicio 13.15. Defina una transformaci´on lineal T : R2 [x] → M (2, R) tal que ½µ ¶ ¾ © ª a b 2 Ker (T ) = h 1 + x i , Im(T ) = ∈ M (2, R) / a = b, d = c . c d

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Ejercicio 13.16. Sea B = {v1 + v3 , v2 + v3 , v1 + v2 } base de VK , definimos la transformaci´on T : V → V por T (k1 (v1 + v3 ) + k2 (v2 + v3 ) + k3 (v1 + v2 )) =

3 X

ki vi .

i=1

a) Demuestre que T es una transformaci´on lineal. b) Demuestre que T es un isomorfismo. Ejercicio 13.17. Se define la transformaci´on T : M (n, R) → R por T (A) =

n X n X

aij .

i=1 j=1

a) Demuestre que T es una transformaci´on lineal. b) ¿Es T una transformaci´on lineal inyectiva?. Justifique.