Transformaciones en El Plano

 

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Trabajo Realizado por: Prof. Marcela Báez 2013  

-1-

 

INDICE RED SEMÁNTICA…...……………………………………………………. 

3

DEFINICIONES

4

PREVIAS…………………………………………………  

TRASLACIONES…………………………………………………………...  5

COMPOSICION DE TRASLACIONES……………………………………. 

7

ROTACIONES…………………………………………………………….. 

8

COMPOSICIÓN DE ROTACIONES……………………………………… 

10

SIMETRÍA AXIAL………………………………………………………….  11

SIMETRÍA CENTRAL……………………………………………………... 

12

CURIOSIDADES……………………………………………………………  14  ANEXO…………………………………………………………………… 

15

……………………………………………………………

BIBLIOGRAFÍA

  20

 

-2-

 

 

-3-

 

¡A TRABAJAR Leo se es observa diseñador le encargaron unpidieron logotipodistintas para unapropuestas, marca de zapatillas. Inicialmente, creoenelesa dibujo que engráfico, la figuray A. Pero como le Leo hizo algunos cambios figura y logró alternativas que se aprecian en las figuras B, C y D. ¿Qué otras alternativas podrían proponer ustedes, del estilo de las que creo Leo?

1.  ¿Qué cambio pudo haber aplicado Leo a la imagen de la figura A para obtener la B? 2.  Leo dice que para lograr la figura C tuvo que aplicar dos cambios en A ¿Qué opinan? 3.  ¿Qué cambio se aplico a la figura D? Comparen sus respuestas y los procedimientos usados con los de sus compañeros.

Definiciones previas ¿Qué es una transformación geométrica? geométrica?

Una transformación geométrica es una función puntual porque a cada punto del plano le hace corresponder otro  punto, de ese modo las figuras se se transforman en otras figuras. La figu figura ra que se le hace corresponder se llama homóloga. ¿Qué son los movimientos en el plano?

Llamamos movimientos en el plano a aquellos en los que la única transformación que se observa es la del cambio de posición. Decimos que estos movimientos son isometrías, es decir, aplicaciones entre dos conjuntos donde se conservan las distancias entre puntos. Son ejemplos de isometrías en el plano las traslaciones, las rotaciones y las simetrías.

 

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PARA TRABAJAR EN GRUPOS: En una clase de diseño, les dieron a los alumnos una hoja blanca con una letra A y les solicitaron que trasladaran la figura 4 cm. Juana la traslado así:

Pedro la traslado así:

a)  ¿Las imágenes que obtuvieron son idénticas? ¿Cuántas posibilidades tenían? A otros alumnos se les indicó que el traslado debía ser horizontal. Tanto Luisa como Pablo dibujaron la nueva A

en el mismo renglón que la original, pero ella lo hizo a la derecha y él a la izquierda

 b)  Los resultados que obtuvieron estos cuatro alumnos, ¿Son los lo s únicos? c)  ¿Qué condición hubieran agregado ustedes para que todos lograran el mismo resultado? d)  Comparen sus respuestas y procedimientos usados con los de los otros grupos.

 

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Conocimientos Previos:   

Vectores: un vector es un segmento orientado. Se lo denomina con una letra, o con nombres de los  puntos donde comienza y termina.



v

Dirección

 

Sentido (lo indica la orientación de la flecha)

V

(Recta que contiene al vector)

Módulo (medida de la longitud) Dos vectores paralelos tienen igual dirección. Pero si además tienen igual sentido y módulo, son equipolentes.   El vector nulo es aquel en el cual coinciden el extremo con el origen.   Dos vectores son opuestos cuando tienen la misma dirección, el mismo módulo, pero distinto sentido. 

v

  -



v

Traslación

 

Una traslación con respecto a un vector v , es el movimiento en el plano en que todos los puntos de la figura se mueven en la misma dirección, sentido y módulo que v   



Trasladar el punto punto p según según el vector vector V significa significa encontrar un punto p´, tal que



 p p   =



v

 

Para realizar la traslación del punto p respecto de v  , Pueden seguir los siguientes pasos:   Se dibuja una semirrecta con origen en p que tenga la misma dirección y sentido del vector.   Se apoya la punta del compás en el punto p con abertura igual a la longitud del vector y se traza un arco que corte a la semirrecta en p´. 

 p

p´ 

V    

T v

(p)=

p´

EJERCICIOS (IR A ANEXO)  ANEXO) 

 

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PARA TRABAJAR EN GRUPOS: Juana y Pablo están aprendiendo a jugar al ajedrez. Los chicos ya saben que el caballo se mueve en forma de L: se desplaza dos casillas contiguas en dirección horizontal o vertical, y luego se mueve una casilla en dirección perpendicular a la primera. O también, se mueve primero una casilla y luego dos, según las direcciones ya mencionadas. En cualquiera de los dos casos, el movimiento movimiento puede ser avanzando o retrocediendo, hacia la derecha o a la izquierda. Después de observar el tablero. Pedro dice que al desplazar el caballo blanco llegaría a la casilla (h; 6), mientras Juana afirma que llegaría a la (d; 4)

8 7 6 5 4 3 2 1 a b c d e f g h a) ¿Cuántas traslaciones haría el caballo para ir desde la casilla en que se encuentra hasta la posición (h; 6)?  b) ¿¿Cuántas Cuántas traslaciones haría el caballo para ir desde la casilla en que se encuentra hasta la posición (d; 4)? c) ¿Podría desplazarse el caballo realizando una sola traslación?

d) C Comparen omparen sus respuestas y procedimientos con las de sus compañeros. c ompañeros.

Conocimientos previos 

 

La suma de dos o más vectores da como resultado otro vector, llamado vector suma o resultante. Un  método gráfico para sumarlos consiste en “ubicar” cada vector sumando a continuación del anterior,

 para luego trazar la resultante, resultante, que irá desde el origen del prim primer er sumando hasta el extrem extremoo del último sumando. 

v2   

v1  



v

=

v1 + v 2 + v 3   







v3   

v

 

 

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Composición de Traslaciones  Aplicar una composición de dos movimientos a una figura significa aplicarle a un movimiento, y a la figura resultante, el otro movimiento.

Toda composición de traslaciones puede ser representada por una única traslación equivalente, indicada por un vector que va desde la posición inicial de todo el movimiento hasta la final. Ese vector es la resultante o suma de todos los vectores que representan las traslaciones intermedias.

d´´

d´

c´

a´ d a

b´ c b

a´´

c´´

b´´

Este ejemplo se simbolizaría así: 

y donde v



 

T V  



 

T    V  

1



 

T V   que se lee “traslación T   compuesta con traslación T   ”, 2

2

1



v1   v2 .

EJERCICIOS (IR ANEXO)

PARA TRABAJAR EN GRUPOS: En un programa de televisión de preguntas y respuestas, los participantes  pueden hacer una consulta consulta telefónica a un grupo de especialistas especialistas reunidos en una habitación. El llamado debe hacerse desde un teléfono antiguo, como el que se ve en la imagen, que tiene un disco de marcar con diez agujeritos. Para marcar un dígito hay que colocar el dedo en el agujero correspondiente, hacer girar el disco en sentido horario hasta llegar al gancho tope, y luego soltarlo para que retorne a su posición original. Cada participante debe deducir el número de seis dígitos que tiene que discar, a  partir de ciertaspara pistas relaciona relacionadas das con ellas disco en su original. Por ejemplo, el primer participante pistas sonposición las siguientes:    

a.   b.  c.  d. 

El número 1 se encuentra a 60º del gancho tope; Los dígitos que debe discar se consiguen haciendo girar el disco 180º, 120º, 240º, 180º,300º y 300º, en ese orden. El primero de sus tres intentos permitidos, este participante llamó al número 342365 y no pudo hacer consulta. Sin hacer cuentas, ¿podrían haber predicho que su intento iba a ser inútil? Luego hizo un cálculo mental y estimó que el número podría ser el 324355. ¿podría haber sido el número correcto? Finalmente, hizo otro cálculo mental y discó el número 537599¿pudo lograr la comunicación? Comparen sus respuestas y procedimientos usados con los de los otros grupos.

 

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Rotaciones: Un giro o rotación de ángulo  y centro o es una transformación en el plano que a cada punto p de una figura F lo transforma en otro punto p´, de modo que op    op´  y  po p´   . El conjunto de  puntos p´, obtenidos con la rotación rotación o giro, forman así la figura F´. ˆ



Sobre una hoja de papel cuadriculado podemos marcar un punto o y hacer una figura F; luego colocamos un  papel transparente fijándolo en el el punto o y calcamos la figura. Giramos o rotamos el papel transparente alrededor del punto o, y sobre el papel que se usó como base dibujamos la figura y la llamamos F´. F´es la imagen rotada de F a través de una rotación o giro con centro o, en la que rotamos r otamos un ángulo de amplitud    en el sentido de las agujas del reloj.

F

F´ o

Una rotación con centro o, en la que se ha fijado una amplitud    y un sentido de rotación, es una función que a todo punto p del plano le hace corresponder como imagen un punto p´, de modo que:

op    op´  y  po p´ ˆ



 

 

p F

     

 

 

p´

 

F´

o

Para indicar la rotación de centro o y por ejemplo una amplitud de 30º en el sentido contrario de las agujas del reloj, escribimos: R 0;30º    Y si el sentido es el de las agujas del reloj: R 0;  30º   

EJERCICIOS (VER ANEXO)

 

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PARA TRABAJAR EN GRUPOS:  En la clase de Astronomía, los chicos aprenden que la luna rota alrededor de la tierra, y también rota sobre su  propio eje. Además, las velocidades velocidades de ambas rotaciones rotaciones son iguales, haciendo que ssiempre iempre veamos la misma cara de la luna, como muestra este esquema plano simplificado. Por ejemplo, si hubiese una base lunar en el  punto B, la veríamos siempre siempre en el mismo lugar. En la clase, los alumnos analizan dos modelos posibles para explicar este comportamiento: en el primero, pr imero, ambas rotaciones tienen distinto signo; en el segundo, ambos sentidos coinciden. Osvaldo es partidario del modelo 1. Él dice que el sentido de giro antihorario de la Luna sobre sí misma compensa el sentido horario de su giro alrededor de la tierra, y por eso siempre le vemos la misma cara. María es  partidaria del modelo 2. Ella dice que si si la luna no girase sobre sí mism mismaa en el sentido que lo hace alrededor de la tierra, se “atrasaría” y no le veríamos siempre la misma cara.   B Analicen el argumento de Osvaldo. Analicen el argumento de María. Evalúen si, a pesar de coexistir dos rotaciones, es posible describir el movimiento de la base B de una forma sencilla. B Comparen sus respuestas y procedimientos con las de sus compañeros.

Composición de Rotaciones: Dada una rotación R 1 de centro O1 y ángulo  1 , seguida de otra rotación R 2 de centro R 2 de centro ˆ

1

O2 y ángulo

 2 ˆ

, la composición de ambas se simboliza  Ro2 ; 2  o  Ro1 ; 1  .  

 

Si ambas rotaciones tienen el mismo centro de giro, su composición puede ser representada por otra equivalente con igual centro, y cuyo ángulo de rotación será la suma algebraica de los ángulos de cada una de las componentes. En símbolos:  RO ;   =  RO ; 2  = R   O ; 1  con ˆ

ˆ

ˆ

  ˆ

       1   2   ˆ

 

ˆ

EJERCICIOS (IR A ANEXO)

PARA TRABAJAR EN GRUPOS: Observen las dos figuras “gemelas”.          



 

Analicen la validez de las siguientes afirmaciones.  Una de las figuras corresponde a una traslación de la otra. Una de las figuras corresponde a una rotación de la otra. Cada punto de una figura y su transformado en la otra equidistan de la recta que los separa. Cada punto de una figura y su transformado en la otra determinan una perpendicular a la recta que separa esas figuras. La recta que separa a las figuras es mediatriz del segmento determinado por cada punto de una figura y su transformado en la otra. Comparen sus respuestas y procedimientos con la de sus compañeros.

 

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Simetría axial Una simetría axial de eje E es el movimiento en el plano que a cada punto P de una figura le asigna un transformado P´ en la otra, de forma que el segmento  P  P   es mediatriz de E. A los puntos P y P´   se los llama simétricos con respecto al eje E, y lo simbolizamos así: S  E  P    P 

Aplicar una simetría axial de eje E al segmento  A B  del esquema, es encontrar el simétrico de cada extremo de  A B . Veamos cómo hacerlo: B

En símbolos:

B´

 

 A





S  E  A B    A   B .  

 A´

También puede darse el caso de tener una composición de simetrías axiales , donde a la figura resultante de aplicar la primera simetría se le aplica la segunda, como muestra el ejemplo que sigue.

B

En símbolos:

 A´

S  E  S  E  A B    A   B 

E´ ´´

B´´

EJERCICIOS (IR A ANEXO) 

Relaciones entre simetrías axiales y traslaciones. La composición de dos dos simetrías axiales de de ejes paralelos equivale a una traslación

E

 

E´

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Simetría Central Para determinar la figura simétrica S  respecto de otra S, aquí se necesita un punto, el cual será el centro de simetría. Veamos a través t ravés del siguiente ejemplo en qué cconsiste onsiste este tipo de transformación, llamado simetría central. Observa los dos triángulos de la figura:

B  A´ S  A

C 0

C´

S´ B´

1.  ¿Cómo son entre sí? 2.  ¿Qué tiene en común las líneas que unen los vértices homólogos? 3.  Mide la distancia de cada vértice al centro O y compárala con la distancia a que se encuentran sus vértices homólogos. ¿Qué observas?

 

Dos figuras S y S son simétricas con respecto a un punto O, llamado centro de simetría, si sus  puntos homólogos equidistan equidistan del centro O y están en línea recta con él. Diremos que las figuras S y S´ son congruentes, pues existe una transformación; en este caso se trata de una simetría de centro O que hace que S coincida con S´. Para aplicar una simetría central de centro O a la figura S, puede trazarse la recta que pasa por el vértice A y O, so pincha con el compás en O, se mide la distancia entre A y O, y se la marca en la semirrecta opuesta para determinar el punto A´. Se procede de igual forma con los vértices B y C, y finalmente se traza la figura S´.





   A En símbolos: S O  A BC      BC    ˆ

 

ˆ

También puede darse darse el cas casoo de tener una composición de simetrías centrales, donde la figura resultante de aplicar la primera simetría se le aplica la segunda B

 A   En símbolos:

 A B  

O  

S O S O  A B    A   B   

B  

 

EJERCICIOS

 A

(IR A ANEXO)

 

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Relaciones entre simetrías centrales y giros. Una simetría central de centro O equivale a un giro de 180º con ese mismo centro O. C

 A´ D 180º

B

B´

O  A

D´ C´

 

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CURIOSIDADES:  ¿Sabían que el procesador de textos MICROSOFT WORD , del paquete de ofimática MICROSOFT OFFICE, ofrece una barra de dibujo?  En esa barra hay distintas opciones para realizar varios tipos de dibujos y esquemas, y para poder aplicar transformaciones en esas figuras.   En el menú autoformas busquen Formas Básicas y elijan una imagen, por ejemplo: Hagan un clic sobre la imagen para seleccionarla, e investiguen cómo pueden aplicarle con el mouse una traslación y una rotación.   Con la figura seleccionada elijan el menú Dibujar, e investiguen las opciones del submenú Girar o voltear. Indiquen qué transformaciones del plano pueden conseguirse con esas opciones.  

ADEMÁS...

El pintor y dibujante holandés Maurits C. Escher (1898-1973) hizo un estudio fascinante de las distintas maneras de cubrir todo un plano con repeticiones de pájaros, peces u otros motivos; ese cubrimiento realizado mediante la reproducción sucesiva de figuras fi guras se denomina mosaico. En toda la obra de escher hay mucha matemática; podemos observar en ellas un gran dominio de las transformaciones geométricas, las cuales están aplicadas con gran belleza.

Aquí podemos observar rotaciones, y otras transformaciones que conservan la ima en ero no el tam tamaño año..

Aquí podemos observar figuras simétricas respecto de un eje, y figuras

El arte islámico:

Todas las culturas han utilizado simetrías, traslaciones y giros giro s en sus manifestaciones artísticas. Los árabes fueron grandes maestros en utilizar los movimientos para decorar. Un bello y cercano ejemplo lo encontramos en la Alhambra de Granada, en la que adornaron paredes y suelos con lozas de colores que se delimitan sin dejar lagunas. Los diseños que se utilizaron en sus azulejos siempre eran figuras geométricas. Dos ejemplos de estos mosaicos son el polihueso y la pajarita:

El polihueso

La pajarita

Encontrar estructuras similares entre mosaicos árabes que aparecen en el video de enlace:

YouTube - +X- 03 La geometría se hace arte  arte   

 

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 ANEXO

 

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EJERCICIOS DE TRASLACIONES  Actividades: 1.  Apliquen la traslación indicada en cada caso: a)

a

b) 

v

 a

b 

v

d

c c)

d c

e a

 b

2.  Dibujen en cada caso el vector que se utilizó en las traslaciones. A)

 

f

g

e

d c

b

F

F´

B)

F´

F

3.  Resuelvan en un par de ejes ej es cartesianos a) Dibujen el cuadrilátero abcd, con a= (3; 1); b= (6; 0); c= (4;4); d= (2;3).  b) Dibujen a´b´c´d´si Ton(abcd)= a´b´c´d´, siendo o= (0;0) y n= (-3;2) c) Dibujen a´´b´´c´´d´´ si T sq (abcd)= a´´b´´c´´d´´, siendo s= (-3; 2) y q= (0;5)

 

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d) Escriban en ambos casos las nuevas n uevas coordenadas de los vértices. a´= a´´=

b´= b´´= 4. 

c´= c´´=

d´= d´´=

Dibujen en sus carpetas carpetas el rombo abad y aplíquenle un unaa traslación según el vector indicado en cada caso.  A  a)  v es equipolente a  D B . 



 b) 



v

es equipolente a C  B .

c) 

v

d) 

v



es opuesto al equipolente a  AC  .



es el vector nulo.

B

D



C

VOLVER

EJERCICIOS DE COMPOCISION DE TRASLACIONES Actividades:

1.  Hallen la composición de las traslaciones T V    T U   aplicada al rombo ABCD, en cada caso. 

 



a  



u

es equipolente a  AC  y

es equipolente a  AB  y  y   u es equipolente a  BD  



u





v

es equipolente a  DB  

es equipolente a  DB   v es opuesto a u   

v

b





d

c

VOLVER

EJERCICIOS DE ROTACIONES 1.  Dibujen un triángulo isósceles ABC con ángulos interiores  A   B  30º . o  Aplíquenle la rotación  RC ;120º   para obtener el triángulo  A B C  . Únanlos formando un cuadrilátero. ˆ

ˆ

  Aplíquenle al triángulo  A BC  la rotación  RC ; 120º   para obtener el triángulo  A B C  . ˆ

o

un cuadrilátero.   Únanlos Indiquenformando una transformación que convierta el cuadrilátero del primer ítem en el del segundo

o

ítem. 2.  Indiquen cuáles de las siguientes figuras tienen centro de rotación y escriban el ángulo utilizado en cada una de ellas.

VOLVER  

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EJERCICIOS DE COMPOCISION DE ROTACIONES 1.  Expliquen porqué en el ejemplo, acerca de la aguja del reloj, al adelantar la aguja del reloj, reloj , el ángulo queda negativo y viceversa. Si la posición original de la aguja eran las doce, indiquen entre qué minutos quedó señalado luego de la composición de rotaciones. ro taciones. 2.  Dibujen un rombo ABCD y un punto O exterior a él y aplíquenle las rotaciones indicadas en cada caso. Indiquen las rotaciones equivalentes a cada una. a.  R D;  90   R D;60     b.  R A;120     R A; 30         B  ; 45 R A;180   c.  RC ; 90  R

VOLVER

EJERCICIOS DE SIMETRÍA AXIAL 1.  Dibujen en cada caso un trapecio isósceles mnrt de base mayor m n y: o  Aplíquenle una S mr .     Aplíquenle una S rt .  

o

2.  Expliquen si las siguientes figuras tienen eje de simetría

3.  Dibujen los vértices del cuadrilátero abcd  en un par de ejes cartesianos, teniendo en cuenta que: a  1;3, b  4; 6,  c  5;3, d   3;2     Apliquen S ejex abcd    a b c d   

o

  Apliquen S ejey abcd    a  bc d   

o

  Apliquen S  R abcd      a1b  c d   siendo R la recta de ecuación x=5   1 1 1

o

  Apliquen S T  abcd      a2b  c d   siendo T la recta de ecuación y=7   2 2 2 o  Escriban las coordenadas de los vértices vértices de todas las figuras que obtuv obtuvieron ieron o

VOLVER

 

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EJERCICIOS SIMETRÍA CENTRAL 1.  Apliquen la simetría indicada a cada triángulo.   a) S  A  

b) S O  

C

A

B

O

C

A

B

2.  Resuelvan: a.  Ubiquen en un par de ejes cartesianos al triángulo mrt determinado por los puntos m   2;3, r     3;5, t   0;4    b.  Aplíquenle al triángulo una simetría respecto del punto d   1;2   c.  Escriban las coordenadas de los vértices del nuevo triángulo. 4.

Apliquen la simetría

S h

, donde h es el ortocentro del triángulo.

VOLVER

 

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BIBLIOGRAFÍA.              

Salpeter Claudio Alejandro y otros ; Matemática 3 ES ; Editorial Estrada S.A.: BS. AS; Argentina; Año 2010. Berio Adriana Beatriz y otros; Matemática 3. Logonautas; Editorial Puerto de Palos; BS. AS; Argentina; Año 2009. Mariana B. Amendo y otros; Matemática 2; Editorial Santillana; BS. AS; Argentina; Año 1996. …..; Matemática 9; Editorial e.d.b.; España; Año 1998. Descartes/Geometria/Movimientos_plano_puntos_segmento/Movimientos_puntos. /Descartes/4a_eso/Movimientos_en_el_plano_4/Movimi0.htm  recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Movimientos_en_el_plano_ralo nso/Ricardo_alonso_ud.htm –  

ENLACES

YouTube - Movimientos en el plano 1ª parte parte   parte   YouTube - Movimientos en el plano 2ª parte YouTube - Movimientos en el plano 3ª parte parte   parte   YouTube - Movimientos en el plano 4ª parte

www.publicatuslibros.com /.../Raul__Nunez_Cabello_-_Movimien  /.../Raul__Nunez_Cabello_-_Movimientos__en_el_plano.pd tos__en_el_plano.pdf  f   --

 

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