TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONE DEFORMACIONES S TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material. Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo ð.



El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente x' y' ðx'y' que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que:





Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en una área `da'. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal `da cos ð' y un área lateral `da sen ð' Suma de fuerzas en la dirección x¶: x' da = x da cos ð cos ð + y da sen ð sen ð + ðxy da cos ð sen ð + ðxy sen ð cos ð x' = x sen2ð + y cos2ð + 2 ðxy cos ð sen ð x' = (x + y )/2 + ( x - y )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð) Suma de fuerzas en la dirección y¶: ðx'y' da = y da cos ð sen ð - ðxy da sen ð sen ð + ðxy cos ð cos ð - x da sen ð cos ð ðx'y' = y cos ð sen ð - ðxy sen2ð + ðxy cos2ð- x sen ð cos ð ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - (x - y )/2 (sen 2ð) Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen.

ESFUERZOS PRINCIPALES Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando. El esfuerzo normal máximo se deduce derivando x' con respecto al ángulo ð : dx' /dð = 0 = - ( x - y ) (sen 2ð) + 2 ðxy (cos 2ð) Tan 2ð = 2 ðxy / (x - y ) La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen: ð y ð + 90 Al evaluar usando estos valores para el ángulo ð se obtienen los esfuerzos normales máximo (1) y mínimo (2). Es importante destacar que si se iguala ðx'y' = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (1 y 2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero. En definitiva:

1, 2 = (x + y) / 2 + / -



El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo ð. dtx'y' / dð = 0 = -2 ðxy (sen 2 ð) - ( x - y ) (cos 2ð) Tan 2ð = - (x - y ) / 2 ðxy Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva: ð1

y

ð2

=

+

/

-



ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS



El esfuerzo cortante máximo difiere del esfuerzo cortante mínimo solo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Además, puesto que las dos raíces de la ecuación tan 2ð = - (x - y) / 2 ðxy sitúan el plano a 90°, este resultado significa también que son iguales los valores numéricos de los esfuerzos cortantes en planos mutuamente perpendiculares. En esta deducción, la diferencia de signo de los dos esfuerzos cortantes surge de la convención para localizar los planos en que actúan estos esfuerzos. Desde el punto de vista físico dichos signos carecen de significado, por esta razón al mayor esfuerzo cortante, independientemente de su signo, se llama esfuerzo cortante máximo. El sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar por la sustitución directa de la raíz particular de ð en la ecuación ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - ( x - y )/2 (sen 2ð) un esfuerzo cortante positivo indica que este actúa en el sentido supuesto y viceversa. La determinación del esfuerzo cortante máximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte. A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no ocurren esfuerzos cortantes, los esfuerzos cortantes máximos actúan en planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La situación de ð de la ecuación Tan 2ð = - ( x - y ) / 2 ðxy en la x' = (x + y )/2 + ( x - y )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð) muestra que los esfuerzos normales que actúan en los planos de los esfuerzos cortantes máximos son * = (x + y )/2 por consiguiente, el esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que se anule x + y.

Si x y y de la ecuación ð1 y ð2 = + / -

son esfuerzos principales, ðxy es cero y la ecuación se simplifica en ðmax = (x - y )/2

CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

CASO

BIDIMENSIONAL



En dos dimensiones el círculo de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:





NOTA:

El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van

hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior. Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal

y el eje vertical representa la tensión cortante o

tangencial

para cada uno de los planos anteriores.

Los valores del círculo quedan representados de la si guiente manera:

y

Centro del círculo de Mohr:



y

R adio

del círculo de Mohr:





Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:



Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:





CASO TRIDIMENCIONAL El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.





En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (,) caen

siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre un único círculo. Cada uno de los 3 círculos que delimitan la región de posibles pares (,) se conoce con el nombre de círculo de Mohr.

CIRCULO DE MOHR PARA MOMENTOR DE INERCIA Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica del círculo de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, el círculo de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio del círculo de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

y

Centro del círculo:



y



R adio

del círculo:





TRANSFORMACION DE ESFUERZO PLANO Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material. Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo

g.



El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente S x¶  Sy¶  tx¶y¶  que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :





Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en una área µda¶. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal µda cos a¶ y un área lateral µda sen a¶  Suma de fuerzas en la dirección x¶:



Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen. Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una ecuación de circunferencia: Se tiene que: x' = ( x + y )/2 + (( x - y )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð) ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - (( x - y )/2 ) (sen 2ð) La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma : x' - ( x + y )/2 = (( x - y )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð) Elevando al cuadrado se tiene: (x' - (x + y)/2)2 = (x - y)2/4 (cos 2ð)2 + (x - y) (cos 2ð) ðxy (sen 2ð) + ðxy2 (sen 2ð)2 Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene:

ðx'y'2 = ðxy2 (cos 2ð)2 - ðxy (cos 2ð) (x - y) (sen 2ð) + (x - y)2/4 (sen 2ð)2 Sumando ambas expresiones: (x' - ( x + y )/2)2 + ðx'y'2 = ðxy2 + (( x - y )2/2)2 Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces: ðxy2 + ((x - y)2/2)2 = b2 (x + y )/2 = a R escribiendo

queda:

(x' - a)2 + ðx'y'2 = b2 Si los ejes son: x = x' y = ðx'y' Tenemos: (x - a)2 + y2 = b2 Que representa a una circunferencia con centro en x = a; y = 0 con un radio r = b. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes características: Centro en: x = (x + y)/2; y = 0 R adio

de : r2 = ðxy2 + (( x - y )2/2)2

La figura siguiente muestra el círculo de Mohr creado a partir de un problema :







Torsión En ingeniería, torsión es la solicitación que se pres enta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él.

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:





1-Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. 2-Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

Diagrama momentos torsores Al aplicar las ecuaciones de la estática, en el empotramiento se producirá un momento torsor igual y de sentido contrario a T. Si cortamos el eje por 1-1 y nos quedamos con la parte de abajo, para que este trozo de eje este en equilibrio, en la sección 1-1 debe existir un momento torsor igual y de sentido contrario. Por tanto en cualquier sección de este eje existe un momento torsor T. El diagrama de momentos torsores será:



Ángulo girado por un eje



Para el estudio de la torsión de un eje cilíndrico vamos a suponer las siguientes hipótesis:

y

a) Hipótesis de secciones planas.

y

b) Los diámetros se conservan así como la distancia entre ellos.

y

c) Las secciones van a girar como si se tratara de cuerpos rígidos.

Planteadas estas hipótesis vamos a considerar un elemento diferencial de eje en el que estudiaremos su deformación y después las tensiones a las que esta sometido. Vamos a aislar el trozo dx de eje.





Cálculo de las tensiones a las que está sometido el elemento abcd El lado cd desliza hacia la derecha respecto al lado ab; por tanto exi ste una t. Este elemento trabaja a tensión cortante pura. El valor de t será: r = G . y = G . e . D/2 El círculo de Morh de este elemento es el círculo de la tensión cortante pura.





Las tensiones principales de este elemento serán:





Las direcciones principales del elemento estarán a 45º. 1

=  y  2 = - 

Si en vez de considerar al elemento la superficial abcd, hubiera considerado otro elemento a la distancia r del centro, la t a la que estaría sometido este elemento será:





Cálculo de t máx y del ángulo girado por el eje en función del momento torsor Supongamos que la figura representa la sección del eje y el momento torsor T que actúa La tensión t en el punto B vale:



Si tomamos un diferencial de are dA alrededor del punto B las t de ese dA dan una resultante dF.





Este F da un diferencial de momento torsor. El momento torsor de la sección será:





Formula que permite calcular el ángulo girado por el eje por unidad de longitud, en función del momento torsor. El ángulo total girado por el eje será:

Módulo resistente a la torsión

Hemos visto que



Esta expresión se puede poner en la forma:





Para la sección circular:



Diferencias y equivalencias entre torsión y flexión





Casos hiperestáticos en torsión 1º CASO: Supongamos un eje cilíndrico empotrado en los dos extremos sometidos a los momentos torsores de la figura.





Supongamos que hemos calculado T1 y T2. Ahora vamos a calcular el giro y la tmax en C. El giro de C será lo que gire la sección C respecto del empotramiento derecho o izquierdo ya que los empotramientos no giran. Trazando por C una vertical, y como los momentos torsores son mas fáciles a la izquierda que a ala derecha en el diagrama de momentos torsores calculamos el giro de C respecto del empotramiento izquierdo.





ºCASO

2

Supongamos un eje cilíndrico empotrado en los 2 extremos sometido a los momentos torsores de la figura.





Flexión acompañada con torsión El efecto que produce la carga P es equivalente a un par y a una fuerza actuando en O





Los puntos más peligrosos de la sección de empotramiento son el a y el b.





Los diagramas se representan así:





Estudio del punto a.





Estudio del punto b.

Por estar el punto b en la LN:







El punto a suele ser mas peligroso que el b, ya que tmax del punto a es superior a la del punto b.