Transform Ada y Anti-Transformada de Laplace

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM CLASE # 11

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COMPETENCIA: Manejo de técnicas para solucionar Ecuaciones Diferenciales con la TRANSFORMADA DE LAPLACE. Temas: Transformada y Antitransformada de LAPLACE. Método de Descomposición en fracciones parciales de HEAVISIDE.

TRANSFORMADA DE LAPLACE L DEFINICIÓN: Es una integral que permite transformar una función f ( t ) que está en el dominio del tiempo t, al dominio de la frecuencia compleja S como una función F ( s ).

F(s) =

L

+∞

[ f(t) ] =

∫ e –st

f(t)

dt

0

Donde: s = σ + j w ; Frecuencia compleja. σ = Frecuencia de Nieper o Neperiana. w = Frecuencia Angular o Velocidad Angular. [rad / seg] Consulte la definición de la frecuencia de Nieper, el uso que recibe y sus unidades.

ANTI-TRANSFORMADA DE LAPLACE L

-1

DEFINICIÓN: Es una integral que permite transformar una función F ( s) que está en el dominio de la frecuencia compleja S, al dominio del tiempo t como una función f ( t ). +∞

f(t) =

L

-1

[ F(s ) ] =

1 . 2πj

∫ e st

F( s ) ds

0

L [f(t)] f(t) Dominio del tiempo

F(s) Dominio de la Frecuencia S

L

-1

[F(s)]

TABLAS DE TRANSFORMADA DE LAPLACE L A continuación se presenta un ejemplo de tablas de transformadas de Laplace: ANTITRANFORMADAS DE LAPLACE -1

f ( t ) = L -1 [ F ( s ) ] A

L

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

L

F(s) = L [ f (t)] A/s . 1 . ; s >a e at (s–a) Sen ( a t ) . a . s2 + a2 Cos ( b t ) . s . s2 + b2 n t . n! . s (n+1) t . 1 . s2 Recuerde las convenciones de las tablas: Primeras letras del abecedario representan constantes.

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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA L A continuación se presentan algunas propiedades de las transformadas de Laplace:

1) Sea una función f ( t ), L

su transformada de laplace es:

[ f (t) ] = F(s)

EJEMPLO # 1: f ( t ) = 18 L [ f (t) ] = ? L

[ f ( t ) ] = F ( s ) = 18 / s

EJEMPLO # 2: g ( t ) = e 14 t L [ g (t) ] = ? L

[ g (t) ] = G(s) = . 1 . ( s – 14 )

;

Siempre que se cumpla que: s > 14

EJEMPLO # 3: i ( t ) = Sen ( 7 t ) L [ i (t) ] = ? L

[ i (t) ] = I(s) = . 7 . s2 + 72

=

. 7 s2 + 49

.

EJEMPLO # 4: v ( t ) = Cos ( 31 t ) L [ v (t) ] = ? L

[ v (t) ] = V(s) = . s . s2 + 312

2) Sea una función L

[ a* f (t)] =

= . s . s2 + 961

a * f ( t ), donde a es una constante, su transformada de L es: a* L

[ f (t)]

=

a* F(s)

EJEMPLO # 1: m ( t ) = 3 * e 14 t L [ 3*m (t) ] = ? L

[ 3*m (t) ] = 3 *L

[ m(t) ] = 3* M(s) = 3* . 1 ( s – 14 )

.

= . 3 ( s – 14 )

.;

donde: s > 14

EJEMPLO # 2: q ( t ) = Sen ( 7 t ) L [ 25 * q ( t ) ] = ? L

[ 25 * q ( t ) ] = 25 * L

[ q ( t ) ] = 25 * Q ( s ) =

25 * . 7 ( s2 + 72 )

.

= . 175 ( s2 + 49 )

EJEMPLO # 3: v ( t ) = Cos ( 31 t ) L [9* v (t) ] = ? L

[ 9*v (t) ] = 9*L

[ v (t) ] = 9* V(s) = 9*. s ( s2 + 312)

3) Sea una función: m ( t ) =

.

a*f(t) + b*g(t)

= . 9s s2 + 961

.

.

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L L L

[ m (t)] [ m (t)] [ m (t)] M(s)

EJEMPLO # 1: m ( t ) = 3 e 14 t L [ m (t) ] = ? L

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= L [ a*f(t) + b*g(t)] = L [ a*f(t)] + L [b*g(t)] = a* L [ f(t)] + b* L [g(t)] = a * F(s) + b* G(s)

+

25 Sen ( 7 t )

[ 3 e 14 t + 25 Sen ( 7 t ) ] = L = 3* L

[ 3 e 14 t ] + L [ 25 Sen ( 7 t ) ] [ e 14 t ] + 25 * L [ Sen ( 7 t ) ]

= 3* . 1 . ( s – 14 )

+

=

+

. 3 . ( s – 14 )

25 * . 7 . ( s2 + 49 ) .

175 . ( s2 + 49 )

EJEMPLO # 2: v ( t ) = 9 Cos ( 31 t ) + 18 L [ 9 Cos ( 31 t ) + 18 ] = ? L

[ 9 Cos ( 31 t ) + 18 ] = =

9*L

[ Cos ( 31 t ) ] + L

9* . s . + ( s2 + 312 )

=

[ 18 ]

18 * 1 s

. 9s . ( s2 + 9612 )

+

18 s

TRANSFORMADA L DE DERIVADAS E INTEGRALES A continuación se presentan otras propiedades de las transformadas de Laplace:

1) Sea una función f ( t ), L

[ df (t) ] = dt

en el dominio del tiempo, entonces:

s*F(s) -

f(0-)

EJEMPLO # 1:

Sea una función f ( t ) = Sen ( 7 t ); L

[ df (t) ] = dt

?

L

[ df (t) ] = dt

s*F(s) -

L

[ d Sen ( 7 t ) ] = dt

f ( 0 - ) = 12

entonces:

f(0-)

s * . 7 . ( s2 + 49 )

2) Sea una función f ( t ),

con

-

12

=

. 7 s . ( s2 + 49 )

- 12

en el dominio del tiempo, entonces:

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L

[ d2 f ( t ) ] = dt2

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s2 * F ( s ) - s f ( 0 - )

- df(0-) dt

EJEMPLO # 1:

Sea una función f ( t ) = Sen ( 7 t );

con f ( 0 - ) = 12

y

d f ( 0 -) = 5

entonces:

dt L

[ d2 Sen ( 7 t ) ] = d t2

L

[ d2 f ( t ) ] = dt2

L

[ d2 Sen ( 7 t ) ] = dt2

s2 * . 7 . ( s2 + 49 )

L

[ d2 Sen ( 7 t ) ] = dt2

. 7 s2 . 2 ( s + 49 )

?

s2 * F ( s ) - s f ( 0 - )

3) Sea una función f ( t ),

- df(0-) dt

- s * 12 - 12 s

- 5

- 5

en el dominio del tiempo, entonces:

t

L

∫0 f ( t ) dt ] = 1 * F ( s )

[

s EJEMPLO # 1:

Sea una función f ( t ) = Sen ( 7 t ),

entonces:

t

L

∫0 Sen (7t) dt ] = ?

[

Considerando que: t

L

∫0 f ( t ) dt ] = 1 * F ( s )

[

s t

L

[

∫0 Sen (7t) dt ] = ? t

L

[

∫0 Sen ( 7 t ) dt ] = s

1 * . 7 . = . 7 . ( s2 + 49 ) s ( s2 + 49 )

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN RACIONAL PROPIA

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Dada una expresión racional de la forma P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ 0. Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), la fracción racional se llama fracción propia.

EJEMPLOS: - x + 22 x2 -2x – 8

,

11x – 11 6x2 + 7x -3

,

5x2 + 3x + 6 x3 +2x2 +3x

4x4 + 4x3 + x2 + 5x + 7 2x5 + 12x4 – 6x3 + x2 - 5x + 14

,

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES Cualquier fracción propia P(x) / Q(x), escrita en su mínima expresión se puede descomponer en una suma de FRACCIONES PARCIALES de la siguiente forma:

CASO A): Si Q(x) tiene un factor lineal no repetido de la forma ( ax + b ), entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene un término de la forma: . A . , donde A es una constante a determinar. ( ax + b )

EJEMPLO:

.

5x -1 (x+2)

.

=

. A . ; donde A es la constante a determinar. ( x + 2)

CASO B): Si Q(x) tiene un factor lineal que se repite k veces, de P(x) / Q(x), contiene términos de la forma:

. A1 . ( ax + b )1

+

. A2 . ( ax + b )2

+

de la forma ( ax + b ), entonces la descomposición en fracciones parciales

. A3 . ( ax + b )3

+

EJEMPLO: . 6x2 - 14x - 27. = . A1 . + .

A2

………….. + . Ak . ( ax + b )k . + .

A3

. ;

Donde A1 , A2 y A3 son constantes a

determinar.

( x - 3)3

( x - 3 )1

( x - 3 )2

( x - 3 )3

CASO C): Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite: PROCEDIMIENTO 1) : Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite, entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene un término de la forma:

. Ax + B . ; ax2 + bx + c EJEMPLO:

Donde A y B son las constantes a determinar.

. x2 + 1. = . Ax + B . x2 + x + 1 x2 + x + 1

; Donde A y B son las constantes a determinar.

PROCEDIMIENTO 2) : Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite, entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), puede realizarse después de reducir la expresión ( ax2 + bx + c ) ya no en los reales, sino en los números complejos: ( ax2 + bx + c ) = ( x + e + j f ) * ( x + e – j f ) Y entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), tiene dos términos de la forma: .

A

.

+

.

A

*

.

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM CLASE # 11 (x+e+jf )

Docente: Martha Guzmán. Página # 6 de 11

( x+e–j f )

EJEMPLO:

.

x2 + 1 . = . x2 x +x+1 (x+e+jf 2

Donde A y A* ( Conjugado de A) ,

+

1

.

=

.

) ( x+e–j f )

A

.

+

(x+e+jf )

.

A*

.

( x+e–j f )

son las constantes a determinar.

CASO D): Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que se repite k veces, descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene términos de la forma:

. A1 x + B1 . ( ax2 + bx + c )1 Donde A1, EJEMPLO: determinar.

+

. A2 x + B2 . ( ax2 + bx + c )2

+

. A3 x + B3 . ( ax2 + bx + c )3

B1, A2, B2, A3, B3, Ak, Bk, . x2 - x + 1.

= . A1x + B1 .

(x2 + 2x + 2)2

(x2 + 2x + 2)1

+

entonces la

………. + . Ak x + Bk . ( ax2 + bx + c )k

son las constantes a determinar.

+ . A2x + B2 .

;

Donde A1,

B1, A2, B2 son las constantes a

(x2 + 2x + 2)2

CASO E) COMBINACIÓN DE CASOS: Si Q(x) tiene factores de tal forma que se presente cualquier combinación de los casos anteriores, entonces por cada caso se presentará una descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), según se dijo anteriormente. EJEMPLOS:

1) .

5x - 1 . (x+2) (x–3)

2)

. 6 x2 - 14x – 27 ( x + 8 ) ( x - 5 )3

=

. A . + ( x + 2)

.

B . ; (x–3)

. = . A . + . (x+8)

B

( x - 5 )1

donde A y B son las constantes a determinar.

. + . C ( x - 5 )2

. + .

D

.

( x - 5 )3

Donde A, B, C, D son las constantes a determinar.

3)

. 3 x2 - 6x – 2 ( x - 4 ) ( x + 1 ) ( x2 + x + 1 )

. = . A . + (x-4)

. B .

(x+1)

+

. Cx + D

.

( x2 + x + 1 )

Donde A, B, C, D son las constantes a determinar. . 15x3 + 4x2 + x – ( x + 12 ) ( x - 5 ) ( x2 + x +1 )2

4)

2 . = . A . + . ( x + 12 )

(x-5)

B

. + . Cx + D . + . Ex + F

( x2 + x + 1 ) 1

.

( x2 + x + 1 )2

Donde A, B, C, D, E, F son las constantes a determinar

MÉTODO DE HEAVISIDE Es un método que permite calcular las constantes de los desarrollos en fracciones parciales para fracciones racionales propias P(x) / Q(x).

PROCEDIMIENTO: 1) Factorizar el denominador Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x). 2) Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador. 3) Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x).

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4) Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión. 5) Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho. 6) Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual.

7) Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. 8) 9)

Y establecer condiciones (léase ecuaciones) para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad. Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que usted conozca. Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.

EJEMPLO #1: I(s) = .

1)

Sea una función de la variable frecuencia compleja S:

2S+8 . S2 + 3S +2

Cuál es el desarrollo en fracciones parciales de I (s) ?

Factorizar el denominador Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x).

S2 + 3S +2 = ( s + 1 ) ( s + 2 ) I(s) = .

2)

2S+8 . S2 + 3S +2

=

.

2S + 8 . (s+1) (s+2)

Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador.

Se trata de un doble caso A).

3)

Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x).

. 2S+8 . (s+1) (s+2)

4)

. B . (s+2)

Donde A y B son las constantes a determinar.

=

. A(s+2)+ B(s+1) . (s+1)* (s+2)

=

A(s+2)+ B(s+1)

Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual.

2S+8 2S+8

7)

+

Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho.

2S+8

6)

. A . (s + 1 )

Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión.

. 2S+8 . (s+1) (s+2)

5)

=

= =

As + 2A + Bs + B ( A + B ) S + ( 2A + B )

Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (léase ecuaciones) para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad.

2S+8

=

( A + B ) S + ( 2A + B )

Las condiciones para que se cumpla esta igualdad son: 2 = (A + B) Ecuación # 1. 8 = ( 2A + B ) Ecuación # 2.

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8)

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Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que usted conozca.

A= 6 B=-4

9)

Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.

. 2S+8 . (s+1) (s+2)

=

. A . (s + 1 )

+

. B . (s+2)

. 2S+8 . (s+1) (s+2)

=

. 6 . (s + 1 )

+

.(- 4 ) . (s+2)

. 2S+8 . (s+1) (s+2)

=

. 6 . (s + 1 )

-

. 4 . (s+2)

. 6 . (s + 1 )

-

. 4 . (s+2)

Finalmente es possible decir que: I(s) = .

2S+8 . S2 + 3S +2

EJEMPLO #2: Q(s) = .

1)

=

Sea una función de la variable frecuencia compleja S:

S+3 . S2 + 2S + 1

Cuál es el desarrollo en fracciones parciales de Q (s) ?

Factorizar el denominador Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x).

S2 + 2S + 1 Q(s) = .

2)

= (s+1) (s+1) = (s+1)2

S+3 . S2 + 2S + 1

=

.

S+3 . (s+1)2

Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador.

Los factores del denominador corresponden al caso B).

3)

Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x).

.

4)

+

.

B . (s+1)2

S+3 . (s+1)2

=

.

A(s+1) + B (s+1)2

.

Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho.

S+3

6)

= . A . (s+1)1

Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión.

.

5)

S+3 . (s+1)2

=

A( s + 1 ) + B

Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual.

S+3 S+3

= =

As + A + B As + ( A + B )

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7)

Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (léase ecuaciones) para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad.

1

= A = ( A+B)

3

8)

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Ecuación # 1. Ecuación # 2.

Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que usted conozca.

A=1 B=2

9)

Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.

Q(s) = .

S+3 . (s+1)2

= . A . (s+1)1

+

.

B . (s+1)2

Q(s) = .

S+3 . (s+1)2

= . 1 . (s+1)1

+

.

2 . (s+1)2

EJEMPLO #3: V(s) = .

1)

Sea una función de la variable frecuencia compleja S:

1 . S2 + 2S + 5

Cuál es el desarrollo en fracciones parciales de V(s) ?

Factorizar el denominador Q(x). de la fracción racional propia P(x) / Q(x).

S2 + 2S + 5 = ( s + 1 – j 2 ) ( s + 1 + j 2 ) V(s) = .

2)

1 . S2 + 2S + 5

= . 1 . (s+1–j2) ( s+1+j2)

Identificar el caso o combinación de casos, al que corresponden los factores del denominador.

Los factores del denominador corresponden al caso C).

3)

Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fracción P(x) / Q(x).

. 1 . (s+1–j2) ( s+1+j2)

4)

A . + (s+1–j2)

.

A* . ( s+1+j2)

=

. A ( s + 1 + j 2 ) + A* ( s + 1 – j 2 ) . (s+1–j2) ( s+1+j2)

Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho.

1

6)

.

Buscar el común denominador para el lado derecho de la expresión.

. 1 . (s+1–j2) ( s+1+j2)

5)

=

=

A ( s + 1 + j 2 ) + A* ( s + 1 – j 2 )

Simplificar el lado derecho de la expresión de tal forma que su estructura se parezca a la expresión del lado izquierdo del igual.

1 1 1

= = =

A ( s + 1 + j 2 ) + A* ( s + 1 – j 2 ) AS + A + j2A + A*S + A* - j2A* ( A + A* ) S + ( A + A* ) + j2A - j2A*

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7)

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Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (léase ecuaciones) para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idénticamente la igualdad.

0 = ( A + A* ) 1 = ( A + A* ) + j2A - j2A*

8)

Ecuación # 1 Ecuación # 2

Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier método que usted conozca.

1 = ( A + A* ) + j2A - j2A* 1 = 0 + j2A - j2A* 1 = j2A - j2A* Considere que:

- j2A* = + j 2 A

Entonces: j2A - j2A* j2A + j 2 A j4A

1 = 1 = 1 = 1 = A j4 -j = A 4 - j 0.25 = A Entonces: + j 0.25

9)

= A*

Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.

V(s) =

V(s) =

. 1 . (s+1–j2) ( s+1+j2) . 1 . (s+1–j2) ( s+1+j2)

=

.

A . (s+1–j2)

=

. – j 0.25 . (s+1–j2)

. A* . ( s+1+j2)

+

+

. + j 0.25 ( s+1+j2)

.

ORIENTACIÓN PARA SU T.I. DE 6 HORAS CORRESPONDIENTE A ÉSTA SEMANA: 1. 2. 3.

4. 5. 6.

7.

Estudie el documento de apoyo a la clase # 11 Estudie sobre MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES. 2 x 2 y 3 x 3. Trabaje sobre todos los casos de DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES, por el método de HEAVISIDE. Realice el Taller de PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 11. Realice el Taller sobre PROBLEMAS PROPUESTOS. TPP CLASE # 11. entregarlo en la próxima clase con procedimiento. Consulte ejemplos sobre combinaciones de casos.

Este trabajo debe

Estudie los talleres ADICIONALES de problemas resueltos en MATLAB, sobre método de HEAVISIDE y solución de circuitos con LAPLACE.

BIBLIOGRAFÍA:

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM CLASE # 11

Docente: Martha Guzmán. Página # 11 de 11

ALGEGRA Y TRIGONOMETRÍA. Benjamín Buriticá. U de A. ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill. Cualquier libro de ECUACIONES DIFERENCIALES. ANÁLISIS DE CIRCUITOS. Jhonson. Cualquier libro de ANÁLISIS DE CIRCUITOS. Help de MATLAB sobre el comando syms. Help de MATLAB sobre el comando laplace. Help de MATLAB sobre el comando ilaplace. Help de MATLAB sobre el comando diff (int ( ) ).