Transferts thermiques

ECOLE CENTRALE PARIS

CENTRALE

Pére et &aime &THÉS d'ÉTUDES

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P

A

R

I

&

TRANSFERTS TiliïRMIQUKS Conduction in stationnaire

Transferts radiatifs Convection

Jean TAINE

Jean-Pierre PETIT

A CONSUL I u SUR PLAC La majeure partie de ce document est issue d'un ouvrage publié par les éditions DUNA sous le titre TRANSFERTS THERMIQUES par Jean GAINE avec la collaboration de Jean-Pierre PEUT

& BORDAS Paris 1989 - IBN 2-04-018760-X. Réalisé dans le cadre du cours qui y est actuellement enseigné le présent polycopié est strictement réservé aux Élèves et aux Enseignants de l'Ecole Centrale de Paris & en accord avec l'éditeur il est mis à leur disposition par la Caisse de Secours des Elèves.

1994 - 1995

Tome &

Transferts thermiques

ti

à MaffdeJeine et Jacques Huez

L'auteur tient à remercier

& pour ses fructueuses discussions ou communications de documents & Serge Bores Sébastien CandeJ et Jean-Marie Delhaye, & pour un échange permanent de vies d'appréciables contributions et une aide efficace dans la relecture de i ouvrage tous les membres de l'équipe pédagogique de Trans­ fer Thermiques de l'E.C.P. et plus particulièrement Pascal Berlaud Chidrac Chidiac, Michel Desaulty, Jean-Luc Désire Jean-Jacques Greffer Jean-Pierre Martin Serge Meu­ nier Philippe Mignon Marie Vonne Perron Jean-Pierre Petit Louis Philipp Nouas Sou£ani, Jean-Luc Schulz et Mures Zaréa.

H adresse enfin ses remerciements à Marie-France Martin qui a mené à terme avec disponibilité et efficacité la délicate réalisation matérielle de cet ouvrage.

AVANT-PROPOS

(2*me édition

Cet ouvrage a deux ambitions & & constituer une approche pédagogique progressive et assez complète des transferts thenuiques, rédigée avec le point de vue du physicien & être un ouvrage général de référence pour l'étudiant, l'ingénieur ou le chercheur.

Il est organisé en cinq parties. Les quatre premières auteur Jean Gaine constituent le cours proprement dit la cinquième partie intitulée & Données de 6aje"(auteur Jean-Pierre Petit est un outil indispensable pour aborder un grand nombre d'applications concrètes. L'ensemble forme évidemment un tout cohérent et indissociable.

Les auteurs n'ont pas hésité à introduire des terminologies et formalismes nouveaux relatifs aux concepts clés rayonnement d'équilibre, flux conduitconvectif etc choix dictés par deux impératifs & la simplicité de langage et la rigueur physique. Une approche progressive des transferts thermiques nécessite l'étude appr.­ fondiez de la première partie intitulée &Introduction aux transferts stationnaires d'énergie" & avant d'aborder les notions et méthodes relatives aux divers modes de transfert parties II à IB. La démarche choisie a l'avantage de présenter dans une première phase l'ensemble de la discipline et de permettre lors de l'étude d'un mode de transfert particulier d'utiliser des concepts es­ senties relatifs aux autres processus. Les notions abordées dans les chapitres

terminaux XIXVI et XVII des différentes partie bien que deja appliquées dans certains bureaux d'étude font encore l'objet de recherches. Le présent cours est complété par un ouvrage intitulé & TRANSFERTS THERMIQUES & Applications & exercices intégralement corrigés

Duna (1991) Les points essentiels de la discipline sont illustrés à partir du traitement complet de systèmes d'intérêt industriel ou empruntés à la vie courante.

Novembre 1993

Jean Gaine Jean-Pierre Petit

SOMMAIRE

Préface de Roger Sézéria Avant-propos Table des matières data Nomenclature

vii ix ée

xi xix

iErp PARTIE INTRODUCTION AUX TRANSFERTS STATIONAIRES L'ÉNERGIE

&

CHAPITRE I & Les principaux modes de transferts d'énergie

&

II & Transferts inductifs linéaires

&

III & Première approche des transferts convectifs. Applications

P

IV & Introduction aux transferts radiatifs

A

& eme PARTIE TRANSFERTS INDUCTIFS IN STATIONNAIRES

V & Limitation de l'étude. Théorèmes généraux VI & Géométrie semi infinie. Réponse après un intervalle de temps court VII & Géométrie finie. Réponse d'un système à un instant quelconque VIII & Échelles de temps et de longueur

105

107 115 125 131

& eme PARTIE TRANSFERTS RADIATIFS

157

IX & Propriétés radiatives des corps opaques X & Transferts radiatifs entre corps opaques XI & Notions sur les milieux semi-transparents &tme PARTIE MÉCANIQUE DES FLUIDES ANISOTHERMES.

159 175 201

CONVECTION

211

XII & Approche dimensionnelle de la convection XIII & Équations de bilan

213 223

XIV & Convection laminaire externe. Couches limites

231

XV & Convection laminaire interne. Établissement de régime

245

XVI & Convection forcée turbulente

255

XVII & Corrélations empiriques en régime turbulent

287

XVIII & Notions sur les couplages convection rayonnement

293

&me PARTIE DONNE DE BASE

312

SECTION

a &&

I & Convection forcée interne II & Convection forcée externe III & Convection naturelle externe IV & Convection naturelle interne V & Convection mixte externe VI & Convection mixte interne

VII & Rayonnement VIII & Facteurs de conversion échelles de température IX & Propriétés thermo physiques X & Équations de la convection dans différents systèmes de coordonnées

Bibliographie Index thématique

v -

&

TABLE DES MATIÈRES

Patres

Nomenclature

X(X.^XXi

l Fère PARTIE INTRODUCTION AUX TRANSFERTS STATIONAIRESL'ÉNERGIE

CHAPITRE I & Les principaux modes de transferts d'énergie A. Limitations physiques de l'étude

&

& &

Le système

Équilibre thermodynamique parfait et équilibre thermique Notion de milieu continu

Déséquilibre thermique

L'hypothèse de l'équilibre thermodynamique local (E.T.L.) Objectifs de cet ouvrage (conventions) 1.2. Première notion de flux radiatif 1.3. Le transfert inductif

& &

Flux inductif

Ordres de grandeur des conductivités thermiques 1.4. Flux convectif et flux conducto-convectif à une paroi

&

Le phénomène de convection Flux surfacique inductif à une paroi couplé au phénomène de convection

1.5. Conditions aux limites classiques

&

Exemple & Exemple &

Exemple & & contact thermique Interface mobile entre deux phases 1.6. Bilan d'énergie pour un transfert stationnaire et sans mouvement Formulation générale du bilan

&

Exemple d'application à une dimension II & Transferts inductifs linéaires

11.1. L'analogie électrique et ses limites

&

&

Principe Exemples simples d'application

11.2. Ailette et approximation de l'ailette Approximation de l'ailette

&

Calcul de l'efficacité d'une ailette

Dimensionnement du problème 11.3. Conduction stationnaire à plusieurs dimension Étude bi dimensionnelle d'une ailette

Validité de l'approximation de l'ailette

&

Références

v&

II.4. Exemple d'application & bilan énergétique simplifié d'un appartement

&

Le problème posé La démarche Solution

III & Première approche des transferts convectifs. 111.1.

111.2. 111.3. 111.4.

111.5.

Applications Point de vue d'un système matériel Point de vue d'un système ouvert à frontières fixes Cas général d'un milieu déformable Théorèmes préliminaires dits de transport Établissement des équations de bilan pour un élément matériel de fluide Une application immédiate & transfert convectif dans une conduite Hypothèses simplificatrices Bilan d'énergie pour une tranche élémentaire Notions sur les échangeurs de chaleur

P A I É

&

&

Efficacité et nombre d'unités de transfert

Principe d'un calcul d'échangeur IV & Introduction aux transferts radiatif

IV. A. Domaine du rayonnement thermique IV A. Expression d'un flux monochromatique

A

H O

Flux monochromatique directionnel Flux monochromatique hémisphérique I.R. Équilibre thermique et facteurs monochromatiques directionnels caractérisant un corps opaque

P

Absorptivité et réflectivité monochromatiques directionnelles Rayonnement d'équilibre Émissivité monochromatique directionnelle Loi fondamentale du rayonnement thermique Cas particuliers usuels IV.4. Propriétés du rayonnement d'équilibre IV.5. Exemples d'application immédiate Corps opaque convexe entouré par un corps noir Corps opaque convexe de petite dimension placé dans une enceinte en équilibre thermique Principe de la pyrométrie dichromatique

& &

I.R. Conditions de linéarisation du flux radiatif

&

IV.7. Extension au cas de milieux transparents par bandes I.R. Exemples d'application Mesure par thermocouple de la température d'un gaz Étude thermique d'une ampoule à incandescence ANNEXE & & Conventions adoptée

& P

& & Tenseurs des taux de déformations et des contrainte

D O

Transferts thermiques

vii

& & Bilan en régime stationnaire d'un Systems ouvert à frontières fixes

103

&fane PARTIE TRANSFERTS INDUCTIFS INSTATIONNAIRES

105

V & Limitation de l'étude. Théorèmes généraux

107

Vol. Le problème général

107

V A. Limitation de létude

109

B.A. La technique de superposition V.4. Analyse dimensionnelle - Théorème II

110 113

VI & Géométrie semi infinie. Réponse après un intervalle de temps court 115 VI.l. Exemple de réponse d'un système après un intervalle de temps court 115 I.R. Réponse d'un système à une condition extérieure périodique. Comparaison entre phénomènes de diffusion et de propagation 117 Solution en régime forcé. Dégénérescence du phénomène de diffusion en phénomène de propagation Réponse à un flux extérieur constant I.R. Mise en contact thermique de deux corps 122 VII & Géométrie finie. Réponse d'un système à un instant quelconque VII. A. Cas d'une perturbation instantanée VII.2. Réponse à un régime forcé VII.3. Généralisation à des problèmes bi et tridimensionnels

125 125 127

127

VIII Échelles de temps et de longueur VIII. A. Temps caractéristiques

131 131

VIII.2. Nombre de Fourier

133

ANNEXE & & Limite de validité de la loi de Fourier

& & Fonctions d'erreur ers& Erft & & Exemple d'utilisation de la transformation de Laplace Rappels succin sur la transformation de Laplace Application au problème d'une barre de rayon R

135

137 137

Tabulation des solutions

& & Exemple d'utilisation de la méthode de séparation des variables

& & Utilisation de la fonction de Green Définition de la fonction de Green Fonction de Green associée à un milieu infini Fonction de Green associée à un milieu semi infini onction de Green associée à un milieu fini

& & Solution du problème du contact thermique

145

148

155

Références

X

&ime PARTIE TRANSFERTS RADIATIFS

IX & Propriétés radiatives des corps opaques IX. A. Corps opaques dans des conditions de laboratoire Les conséquences de la théorie électromagnétique

Notions physiques sur le phénomène d'absorption (solides) I.R. Corps opaques usuels

157

159 159

170

Paramètres modifiant les propriétés radiatives des corps opaques Obtention de propriétés radiatives réalistes X & Transferts radiatifs entre corps opaque

X.l. Le problème général des transferts radiatifs

175

175

Expression du flux radiatif Exemple de calcul direct & intérêt des écrans radiatifs C.A. La méthode des flux incident et partant 179 Hypothèses générales Expression des flux radiatifs Cas particulier où toutes les surfaces sont grises Exemple d'application & Étalon de luminance Retour sur le rayonnement d'équilibre C.A. Propriétés des facteurs de forme 185 Propriétés principales et dénombrement La technique de la surface fictive Facteurs de forme différentiels - Technique de calcul X.4. Exemple d'application simple de la méthode de transferts radiatifs :cas d'une structure isolante en cryogénie 190 X.5. Généralisation de la méthode

192

Généralisation au cas de parois partiellement transparentes

Généralisation au cas de rayonnements incidentas directionnel(s) XI & Notions sur les milieux semi-transparent

201

XI.l. Généralités

201

I.R. Phénomènes d'absorption, d'émission et de diffusion Phénomène d'absorption

202

Phénomène d'émission Phénomène de diffusion

I.R. Équation de transfert du rayonnement XI.4. Notions sur le calcul des transferts dans un milieu semi-transparent

206 207

&aime PARTIE MÉCANIQUE DES FLUIDES ANISOTHERMES. CONVECTION

XII & Approche dimensionnelle de la convection XII.l. Premier exemple & convection forcée XII.2. Deuxième exemple & convection naturelle

213

215 M6 220

Transferts thermiques

X

XII.3. La notion de similitude en convection

222

XII.4. Transition entre régime laminaire et régime turbulent

225

XIII & Équations de bilan XIII.l. Équations dimensionnées Équations générales Dépendance en température et pression des grandeurs thermo physiques Limitations du problème XIII.2. Équations de bilan dimensionnées XIV & Convection externe laminaire. Couches limites

XIV. A. Couches limites mécanique et thermique XFV.2. Plaque plane isotherme dans un écoulement isotherme à vitesse constante au loin en régime stationnaire

225 225

230 233

233 235

Solution exacte

Solution approchée formalisme intégral Discussion des résultats obtenus - Applications XIV A. Plaque plane verticale isotherme dans un fluide isotherme et au repos au loin

convection naturelle XIV.4. Autres géométries

243 245

XV & Convection laminaire interne. Établi ment de régime & & 247 XV. A. Établissement du régime mécanique 249 XV.2. Établissement du régime thermique 251 & er cas & régime mécanique deja établi &eme cas & régime mécanique non établi XVI & Convection forcée turbulente

XVI. A. Premières notions sur la turbulence

257

258

Cas d'une plaque plane Cas d'un tube de section constante

XVI.2. Les équations de bilan

261

Grandeurs turbulentes

Équations statistiques de bilan

Échelles de production et de dissipation de turbulence. Cascade énergétique XVI.3. Le problème de la fermeture 269 Fermeture par équations de bilan supplémentaires Généralités sur le concept de diffusion turbulente Le modèle de fermeture de Prandtl

XVI.4. Structure d'un écoulement turbulent dans tin tube. Modèles de Van Priest et de Chebec 273

Contrainte totale de cisaillement RyAt

Flux surfacique thermique radial Structure de l'écoulement et échelles de référence

XVI.5. Structure d'un écoulement turbulent dans une autre géométrie

285

Références

xi

XVI.6. Notion Ur les modèles à une équation supplémentaire (Prandtl-Kolmogorov) et à deux équations supplémentaires k & & M6 XVII & Corrélations empirique en régime turbulent 291 XVII. A. Corrélations pour une plaque plane convection forcée ou naturelle 291 Convection forcée Convection naturelle

XVII.2. Corrélations pour un tube en régime établi convection forcée

293

XVII.3. Traitement empirique d'une viscosité dépendant de la température XVII.4. Longueur d'établissement en régime turbulent XVIII & Notions sur les couplages convection-rayonnement XVIII.l. Exemples d'application XVIII.2. Nature physique des couplages XVIII.3. Modélisation du rayonnement & Bases de données pour les gaz

294 295 297 297 298 301

C

des milieux denses

Bases de données pour les gaz Modèles de transferts radiatifs

XVIII.4. Modélisation des transferts thermiques turbulents XVIII.5. Interaction rayonnement-turbulence XVIII.6. Exemples de transferts couplés ANNEXE & D mètre hydraulique

305 306 307 310

Sul ë€*

&

PARTIE & DONNE DE BASE

SECTION I & Convection forcée interne

5.1.1

1.1.

Tube circulaire

5.1.1

1.2.

Canal rectangulaire Espace annulaire concentrique Plaques parallèles

5.1.7

1.3. 1.4.

SECTION II & Convection forcée externe

5.1.13 5.1.28 X II. & A II. &

II.4.

Plaque plane ou de courbure faible Cylindre d'axe perpendiculaire à l'écoulement Sphère Faisceau de tubes. Écoulement perpendiculaire

II.I

Faisceau de tubes. Écoulement laminaire axial

X I.

SECTION m & Convection naturelle externe

5.IH.1

m. I.R.

I.R.

C I.

P I. E I.

III.1.

Plaque plane verticale

5.ID.1

III.2.

Plaque inclinée Plaque horizontale Cylindre horizontal isotherme Sphère isotherme Cylindre vertical

5.III.2

Angle Disque et anneau horizontaux

5.III.7

III.3. III .4. III.5.

L.G.

m. H.P.

SECTION IV & Convection naturelle interne

IV. A.

5.IH.4 5.ID.5 5.IH.5

5.ID.6

5.III.7 5.IV.1

Plans parallèles isothermes horizontaux. Cellule rectangulaire horizontale

5.IV.1

5.IV.3

IV.4.

Cellule rectangulaire verticale Cellule rectangulaire inclinée Plans verticaux parallèles

IV.5.

Conduites ouvertes verticales

5.IV.7

I.R.

Couche annulaire concentrique Couche sphérique concentrique

5.IV.8

I.R.

I.R.

IV.7. I.R. IV.9.

Cylindre vertical Cellule rectangulaire avec partition

5.IV.4

5.IV.5

5.IV.9 5.IV.1C 5.IV.12

SECTION V & Convection mixte externe

Vol. B.A. B.A. V.

Autour d'un cylindre horizontal Autour d'un cylindre vertical Plaque plane Plaque plane en mouvement SECTION VI & Convection mixte interne

5.V.1

5.V.1 5.V.4 5.V.5 5.V.7 5.VI.1

VI. A.

Dans un tube vertical

5.VI.1

I.R.

Dans un tube horizontal

5.VI.2

SECTION VII & Rayonnement

5.VII.1

VII.l.

Facteurs de forme /45/

5.VII.1

VII.2.

Loi de Planck /45/

5.VII.7

VII.3.

Fonction z (0,X&Am T & pour le rayonnement d'équilibre /45/

5.VII.8

SECTION VIII & Facteurs de Conversion échelles de température

5.VIII.1

SECTION IX

& Propriétés thermo physiques

SECTION X

& Équations de la convection dans différents systèmes de coord. ées

Bibliographie

Index Thématique

5.IX.1

5.X.1

Bl.

Nomenclature

XX

NOMENCLATURE

caractères usuels

a (a, mais que si le phénomène est envisagé globalement il s'agit alors de diffusion caractérisée par une dispersion de la célérité. Remarque & Discussion physique sur la diffusion Une perturbation thermique même dépendant du temps imposée en la face x & & d'un

mur semi-fini peut être décomposée après analyse spectrale sur l'ensemble du spectre de pulsations u en composantes élémentaires à la pulsation url Chacune des composantes se propage avec une célérité C(u>) et avec une certaine atténuation epauj. Le signal global qui correspond à l'ensemble des composantes représentant toutes les pulsations u est donc doublement déformé lors de sa progression à l'intérieur du milieu & c'est le phénomène de diffusion.

Une méthode mathématique puissante pour résoudre ce type de problème avec une per­ turbotin thermique quelconque consiste à faire subir au système une transformation de

Laplace (ou de Fourier ce qui est mathématiquement équivalent & C' équation aux dérivées partielles que représente C' équation de l énergie dégénère alors en équation différentielle

Chapitre VI & Géométrie semi-infinie. Réponse après un intervalle de temps court

121

s'il y a une seule variable d'espace à considérer voir l'annexe & de cette deuxième par­ tir. Le fondement physique de cette méthode est clair & la transformation de Laplace correspond à une analyse spectrale du signal thermique existant & le fait que l'équation

de l'énergie dégénère à une fréquence donnée en une équation différentielle correspond à la dégénérescence du phénomène de diffusion en phénomène de propagation plus facile à étudier. La transformation inverse permet de reconstituer par intégration spectrale la réponse du phénomène de diffusion. VI.A.A. Réponse à un flux extérieur constant

Il s'agit de déterminer la solution Ti(x,t & du sous-système VI 13). Dans la mesure où a est une constante condition d'obtention de VI 13.1), l'équation de l'énergie peut être écrite en termes de flux on pose &

VI 25)

et on obtient le système en ipi(x,t) & VI 26.1) VI 26.2) Les deux autres conditions deviennent évidemment &

VI 26.3) et

VI 26.4)

Le système VI26) est formellement du même type que le système (V,18) dont la solution est donnée dans le paragraphe VI. A. On trouve la solution en fx(x,t) &

VI 27)

où erfc(u) désigne la fonction d'erreur complémentaire voir annexe & de cette parti. La solution en température se déduit immédiatement de VI27), en utilisant les conditions

VIA.& et VI13.4) qui sont identiques en variable x/(2y/ât) et la loi de Fourier & VI 28) VI 29)

122

gemme Partie & Transferts inductifs in stationnaires

L'intégrale classique qui apparaît dans l'expression VI29) est tabulée dans l'annexe & de cette partie.

Dans cette expression apparaît encore l'effusivité y/Xpc notée b qui caractérise la réponse du synème aux instants qui suivent immédiatement une perturbation. On constate qu'un système de grande effusivité verra sa température plus faiblement perturbée qu'un système de faible effusivité.

Remarques &

& A la paroi en x & N la température du système croît en y/t, de même qu'à l'intérieur du milieu si les deux conditions x/(2y/ât) & & et at/L& & & sont vérifiées. & L'analyse dimensionnelle montre que le système VI 13) dépend de & grandeurs inde­ pendantes (ou & T& & x t a A if& & s'exprimant en fonction de quatre unités indépendantes

&m,s,W,KA. La solution dépend donc de deux groupements indépendants & at/x& et t&x/[\(ou & T„)]; en fait ici ce sont les combinaisons xj(2y/ât) et ip& y/âi/[\(Ti & T& & qui

interviennent explicitement dans l'expression VI28). & La fonction intégrale qui apparaît dans l'expression VI29) a une largeur à mi-hauteur caractérisée également par & x/(2y/ât) & 1/2; la constante de temps de ce phénomène est

toujours T & x& & A et la longueur de diffusion y/ât.

I.R. Mise en contact thermique de deux corps

Un problème très courant consiste à étudier l'évolution thermique d'un système constitué de deux corps notés & et & initialement isothermes à des températures différentes T et

TFE & et mis brusquement en contact thermique à l'instant t & & figure VI.3). On fait les hypothèses suivantes & & Les grandeurs thermo physiques caractérisant les

deux corps (Aj,

c62i

(A-,68)

soit &

dfdSx di & —cosdidQ& avec di & &r

Mi Mi

X 69)

Chapitre X & Transferts radiatifs entre corps opaques

189

& de d vers S noté fds& s& &

(*,70) & de Si vers (IS2, noté dfs^ d&

(*,71) & et bien sûr le facteur de forme global noté SSl s &

X 72) Les facteurs de forme différentiels se déduisent souvent facilement des facteurs de forme

globaux. Prenons un exemple soit à calculer à l'intérieur d'un tube le facteur de forme

entre deux segments cylindriques élémentaires de largeurs DC et d' figure X.13), noté par commodité fdxdx' & Supposons connaître le facteur de forme fxx& entre les deux disques de rayon R centrés en x et c' respectivement. On a de manière évidente &

donc à partir de la relation de réciprocité &

(*,74) Par un raisonnement analogue on trouve &

(*,75) (*,76) Les facteurs de forme différentiels susceptibles d'intervenir en transfert thermique dans un tube se déduisent donc aisément du facteur de forme entre deux disques noté fx x& voir &eme partie & Données de base section VII

Seme Partie & Transferts radiatifs

190

X.4. Exemple d'application simple de la méthode de transferts radiatifs & cas d'une structure isolante en cryogénie On utilise souvent à l'intérieur d'une enceinte vidée (10

à &

torr une structure isolante constituée d'un empilement de pailles tubes cylindrique pour limiter les trans­

fer radiatifs entre les parois extérieures et la zone à conditionner à très basse température. En effet en l'absence de transferts conducto-convectifs vide et compte tenu de la faiblesse des transferts inductifs faible conductivité des "pailles", mauvais contact thermique en­ Tre génératrices de pailles voisine les échanges radiatifs sont importants même aux très basses températures considérées.

On considère ici un empilement régulier de pailles représenté sur la figure X.14; ces pailles ont une émissivité e indépendante de la longueur d'onde et de la direction.

Figure X.14

On considère pour simplifier que tous les éléments d'une demi-couche &n constituée de demi-cylindres) sont isothermes à T2A et vérifient les propriétés Hl H et H. On con­

sidérera les flux radiatifs surfaciques partants ou incidents notés

f2n

V>2n, Van re&

spectivement, suivant qu'on considère l'intérieur ou l'extérieur des cylindres. Dans ces condition on peut écrire &

a à l'intérieur d'un cylindre figure X.15) (*,77)

(*,78)

(*,79)

191

Chapitre X & Transferts radiatifs entre corps opaques

X 80) le flux radiatif surfacique compté positivement suivant Oz est & (*,81)

b à l'extérieur de & quarts de cylindre figure X.16) & Les facteurs de forme à prendre en compte se calculent avec la méthode de la surface fict.­ Ve &

(*,82)

X 83) (*,84)

les relations entre les flux surfaciques y?2n+i & V2n+i e&c- sont analogues aux relations (X,77) à (X,80) et on obtient &

(*,85)

Les flux radiatifs par unité de surface ipR& et ipR& sont constant en régime stationnaire de n & & à n & &N si les transferts autres que radiatifs sont négligeables et vérifient &

(*,86)

Saime Partie & Transferts radiatifs

192

ce qui conduit aux relations cherchées entre les températures T& ,Ti,

& T2N+1 &

X.5. Généralisation de la méthode

X.5.1. Généralisation au cas de parois partiellement transparentes X.5.1.1. Quelques notions sur les milieux serai transparents

Nous n'abordons pas dans ce paragraphe le cas général de parois semi-transparentes voir le chapitre XI nous nous limitons au cas de parois partiellement transparentes non ab­ sortantes ou absorbantes mais isotherme à propriétés radiatives isotropes. Précisons dans un premier temps ce qu'il faut entendre par rayonnements transmis ab­ sorbé et réfléchi pour un tel milieu en nous aidant de l'exemple de la figure X.17.

Un rayonnement incident en A sur la paroi considérée est en partie réfléchi dans le milieu

(1) avec une indicatrice complexe l'autre partie se propage dans le milieu (2) également avec une indicatrice complexe Pour simplifier nous suivrons le trajet principal de A à B feulement entre A et B ce rayonnement peut être absorbé en tout point ce qui est

représenté en A seulement sur la figure X.17; il peut également être diffusé en tout point vers d'autres direction ce qui est représenté en A& & certains rayons diffusés atteignent la face supérieure de la paroi cas de C"), d'autres la face inférieure cas de Bn & la fraction non absorbée et non diffusée du rayonnement se propage de A vers B & atteint B où elle est en partie réfléchie dans le milieu (2) réflexion interne en partie transmise dans le milieu

Chapitre X & Transferts radiatifs entre corps opaques

193

(3). Si on suit le rayonnement réfléchi de B vers C on retrouve les mêmes phénomènes qui précédemment de A vers B & & absorption diffusion réflexion interne vers D ou transmission dans le milieu (1) cette fois etc.

On appelle rayonnements réfléchis tous les rayonnements issus du rayon incident en A et repartant finalement vers les z & & dans le milieu (1), à l'interface & & & quel que soit le trajet suivi par ces rayons). On définit un facteur de réflexion global ou réflectance R comme le rapport du flux global réfléchi

au flux incident d$\ & (X,87)

De la même façon si on introduit les flux globalement transmis dx dans (3) vers les z & E et globalement absorbé d$\, on définit un facteur de transmission global ou transmittance T &

X 88) et un facteur d absorption global ou absorptance A

(*,89)

D'une manière évidente la conservation de l'énergie s'écrit & d$\ & d$^ & d$\ & où &

X 90) On ne considère ici que des propriétés radiatives isotrope pour simplifier & Ta et A sont indépendants de la direction considérée R est indépendant tant de la direction d'incidence que de la direction d'émergence. On appelle rayonnement globalement émis par la paroi l'ensemble des rayonnement qui

ayant été émis en un point quelconque de la paroi milieu (2)) se propagent soit dans le milieu (1) vers les z & E soit dans le milieu (3) vers les z négatif après avoir subit éventuellement des phénomènes de transmission de diffusion et de réflexion multiple au

sein du milieu (2). En général le milieu (2) n'est pas isotherme les flux émis globalement vers (1) et vers (3) sont différents. Comme il n'y a pas de température de référence on ne peut définir de facteur d'émission global analogue à A a A. Le calcul des flux émis dans ces conditions est complexe & il y a couplage étroit entre le champ de température et le champ de luminance dans le milieu voir la discussion du cours de conduction in stationnaire dans le chapitre VIII). Si nous nous limitons au cas particulier d'une paroi isotherme par exemple en régime instationnaire, telle que Bi & 1), le problème se simplifie & il est possible de définir un facteur global d'émission E par référence à la température T de cette paroi tel que le

flux surfacique monochromatique émis aussi bien vers les z & & que vers les z & E est &

gemme por&e & Transferts radiatifs

194

Nous considérons toujours le cas simplificateur de propriétés radiatives isotropes. On démontre à partir de considérations sur une situation d'équilibre) que dans ce cas parti­ culier on a alors la relation entre facteurs globaux d'absorption et d'émission & (X,92)

X.5.1.2. Expression des flux radiatifs

Si dans une enceinte fermée une des parois est partiellement transparente et isotherme à la température T&& paroi & de la figure X.18), il est possible de généraliser la méthode de calcul des transferts vue dans ce chapitre. es hypothèses H1,H2,H3 sont vérifiées & voir le paragraphe X.2.I.).

Figure X.18

On distingue la face inférieure et la face supérieure de la paroi même si celle-ci est infini­ ment mince et on considère deux sous-systèmes & & le sou système I est constitué par l'intérieur de l'enceinte & le rayonnement à la paroi

est caractérisé par les luminances LpNC et Lx & (*,93) (*,94) émis

réfléchi

transmis

où la luminance L Q X représente le rayonnement issu de II et transmis dans I. & le sous système II comprend la face supérieure de la paroi et le milieu extérieur & les rayonnements au-dessus de la paroi sont caractérisés par les deux luminances LA & x et

LA & a& la luminance L'Q & X dépend du milieu extérieur uniquement la luminance LA & x a pour expression &

(*,95) émis

réfléchi

transmis

Chapitre X & Transferts radiatifs entre corps opaques

195

Le couplage entre les deux sous-systèmes est assuré par les termes exprimant les rayon­ nenets transmis &

(X,96) (X,97)

X.5.1.8. Exemple d'application & Fenêtre d'un four

On considère une fenêtre en verre de sécurité disposée face à une paroi constituée d'un métal en fusion. Pour simplifier la géométrie est supposée infinie deux plans parallèle

figure X.19).

On a les relations &

& Sous système II &

(*,98) (X,99) & Sous système I &

X 100) (*, 101) A.X & 102) A.X & 103)

Soit tin système linéaire de & équations à & inconnues dont la solution conduit à l'expression du flux radiatif &

gemme parfje & Transferts radiatifs

196

Soit par exemple &

X 105) Il est évident qu'à l'équilibre thermique T& - Tx - Te & le numérateur s'annule A& a &

R&& & TAa & - D'autre part si le milieu & est opaque &T& a & P AOC & Cox & & & -R Aa & & & P Aa & alors l'expression devient & A.X & 106)

On retrouve alors le résultat (X,13).

Note on remarquera que dans le cas du verre en moyennant sur 6)\

A & & à &cm &

A&A X X

R.&A^O,05; T&A & & & corps "transparent")

A & & à &\im &

A&A - C 95;

R&& & C 05;

T&A - & corps opaque

X.5.2. Généralisation au cas de rayonnement(s) incidentas directionnel(s) X.5.2.1. La méthode

Des sources de rayonnements directionnels apparaissent dans certaines applications frac­ tian directe du rayonnement solaire non diffusé par l'atmosphère par exemple Pour ce type de source les flux reçus par les surfaces ne peuvent plus se calculer à partir du somalisme des facteurs de forme le calcul doit être conduit directement à partir de considérations

géométrique en tenant compte d'éventuels phénomènes d'ombre.

L'hypothèse d'isotropie des propriétés radiatives des corps opaques E E p\,a\) peut toujours être faite dans ces condition si bien que dès la première réflexion sur une surface les flux partant de cette surface sont caractérisés par une luminance iatro­ pe & le modèle du chapitre IX s'applique alors à ces contributions. Dans ces condition

les rayonnements incidents sur une surface SS se composent & a de rayonnements partant de surfaces Sk à propriétés radiatives isotrope entourant la surface SS & on introduit comme dans le paragraphe X.2, une luminance isotrope équivalente LU pour décrire ce rayonnement incident &

CX& 107)

où Lk désigne la luminance isotrope du rayonnement partant de la surface Skb d'un rayonnement directionnel qui n'apparaît que dans un angle solide d élémentaire si la source est ponctuelle unique et à l'infini; ce rayonnement est caractérisé par la

luminance L&& dtr& La seule difficulté de ce type de problème consiste à exprimer -x dtr et

la fraction du flux associé à cette luminance qui est réfléchie par la surface Ss. Illustrons cette méthode par un exemple.

X.5.2.2. Exemple d'application & flux radiatif dans un bâtiment & Énoncé

On considère un bâtiment supposé très allongé suivant Ax & dont une coupe suivant yOx est représentée sur la Figure X.20.

Chapitre X & Transferts radiatifs entre corps opaques

197

La surface vitrée & est plane inclinée de a sur l'horizontale) et reçoit un rayonnement solaire directionnel faisant l'angle & avec la verticale la luminance de ce rayonnement

est IAS& Pour caractériser le verre (sup­ posé non absorbant pour le spectre solaire on introduit une transmittance direction­

Helle T'x pour la direction d'incidence du rayonnement solaire et une transmittance TA une réflectance R et une absorptance AS pour des rayonnements non direction­ bels liées par &

En pratique on posera &

Les faces internes & et & opaques sont grises et caractérisées par les émissivités isotropes S et £3- L'air internes humide et l'atmosphère sont approximativement caractérisés par les propriétés radiatives suivantes &

Tout le rayonnement solaire reçu est supposé transmis entre & et Ai le coefficient de transfert par convection naturelle entre l'air interne à TAT et les parois est h,-, celui entre

& Pour utiliser cette modélisation il est nécessaire que les épaisseurs d'air considérées excèdent quelques mètres et que cet air soit riche en CO et H?0.

gym parfe & Transferts radiatifs

198

l'air externe à Te et la paroi & par convection forcée est he & Les parois & et & sont en

première approximation supposées thermiquement isolées. Exprimer le bilan énergétique du système. & Modélisation des transferts radiatifs

La modélisation la plus simple des transferts radiatifs consiste à décomposer les faces internes du bâtiment en quatre surfaces Si S Sy et Sy représentées sur la figure XA. Un séparé o en deux parties pour tenir compte

du phénomène d'ombre; on notera que le ray­ Donnement directionnel transmis par & n'est in­ codent que sur 3". On peut écrire avec les notations habituelles les relations suivantes en distinguant par Cam­ médité deux zones spectrales &

adomaine spectral solaire A & Ai & & Surface & face interne &

partie directionnelle partie isotrope l partie isotrope

&X& 108) X 109) X 110)

& Surface & face interne (*,111)

On remarquera que pour ce rayonnement directionnel aucun facteur de forme n'apparaît dans (X,lll); le recours aux luminances assure la conservation de l'énergie dans la mesure où l'air interne est transparent pour & A & Au.

(*,112) X 113)

Si le rayonnement incident sur & comprend une partie directionnelle LyeCr et une partie diffuse (£3»^) tout le rayonnement partant de & est isotrope. La partie émise par & dans le domaine solaire est évidemment négligeable.

Chapitre X & Transferts radiatifs entre corps opaques

199

& Surfaces & et & faces internes):

On remarquera que les rayonnements émis par les parois dans l'intervalle [0, Ai sont négligeables.

Les flux radiatifs sur l'intervalle [0, Ai sont au niveau des surfaces 2,3' et 3".

X 118) (*,119) Le rayonnement n interagit pas avec le vitrage.

b Domaine infra-rouge A & Aj Il n'existe plus dans ce domaine de rayonnement directionnel d'autre part le verre est maintenant un corps opaque l'air est par contre transparent ou noir par bandes. bla Zones de transparence de l'air & On a alors les relations &

X 120)

X 121)

On remarquera que dans cette zone la paroi & émet vers l'extérieur sans recevoir de rayonnement en échange & c'est un cas exceptionnel b Zones d'absorption par l'air & Chacune des parois internes voit un corps noir e a& & & à la température TM de même la face & externe voit un corps noir à Te & On a &

200

fme Partie & Transferts radiatifs

L'échange entre la paroi & et l'atmosphère est caractérisé par &

I &

bandes d absorption

A. *{LUT.) - LUT.))d\ v

X 124)

& V & hx &k - T & &

&X& 125)

& Bilan thermique a Bilans des parois & & Parois & C' et & &

k & & 3'ou3" &

C'Ml &

Ces trois relations expriment que les surfaces S S et S& sont isolées thermiquement. & Paroi & &

&

& hi(Ti - Ti & heT& - T. & &

X 127)

b Bilan de l'air interne &

N

&

X 128)

k

Les températures TM T& & T&& T&& et Tf- peuvent être déterminées par résolution de & écha­ tians de bilan (X,125 à X,128), par une technique numérique itérative.

Chapitre XI & Notions de base sur le rayonnement des milieux denses et des gaz

201

CHAPITRE XI

NOTIONS DE BASE SUR LE

RAYONNEMENT DES MILIEUX DENSES ET DES GAZ

XI. A. Généralités

Un milieu quelconque (semi-transparent) est caractérisé optiquement par un indice Cam­ flexe n égal à n & Gex & dans cette expression n représente l'indice réel et x l'indice d'extinction du milieu voir dans le paragraphe IX. & la discussion sur les valeurs Cam­ parées de n et - L'indice n varie dans le cas de milieux semi-transparents en fonction de la variable d'espace r et évidement de la direction A. En fait il a été montré dans

le paragraphe IX.1.1.4 que pour des milieux semi-transparents x est généralement petit devant n verre air etc. Nous utiliserons cette propriété dans la suite en ne considérant que l'indice réel n pour définir les propriétés géométriques du faisceau. Il est cependant évident que l'absorption volumique par le milieu qui lui confère son caractère semi-transparent est étroitement liée à x et plus précisément à la partie complexe de la permittivité £2. De ce fait si la fréquence d'un rayonnement qui se propage dans vin mi­ lieu est invariante dans un référentiel donné la longueur d'onde de ce rayonnement est également une fonction de r et de A & XI &

où c et co représentent respectivement les célérités du rayonnement dans le milieu et dans

le vide. On notera cependant qu'en première approximation n vaut & à q &- près pour l'air et plus généralement pour les gaz. H n'est pas judicieux d'utiliser A pour caractériser

le rayonnement dans un milieu semi-transparent quelconque qui n'est pas un gaz & on utilise soit la fréquence 1/, exprimée en Hz et ses multiples c'est l'usage dans le domaine dit Hertzien les microondes), soit le nombre d'onde dans le vide Cr égal à V & CA & exprimé

usuellement en cm- ou en kaiser & kaiser & &-cm- & c'est l'usage dans le domaine infrarouge La luminance du rayonnement d'équilibre dépend également de r et de A & elle a pour expression /15/ & XI &

où L°(T) représente la luminance isotrope du rayonnement d'équilibre dans le vide (ou dans un milieu d'indice n égal à & & en pratique les gaz. La luminance d'équilibre, donnée par XI& n'est donc isotrope que dans la mesure où l'indice n du milieu est isotrope ce qui n'est pas général considérons le cas de milieux biréfringents, par exemple

202

Seme Partie & Transferts radiatifs

Le résultat XI& se généralise à des luminances quelconques au sein d'un milieu transat­ ent. Pour ce faire considérons des éléments de surfaces d& et FR2 et des angles solides élémentaires di et d& de directions principales Ai et A faisant les angles & et & avec les normales aux surfaces & tous ces éléments sont optiquement conjugués sur un axe optique d'abscisse curviligne & figure XI.l). La relation de Clausius relative à

la conservation de l'étendue optique

d'un faisceau /16/, qui est la kan­ Tite n& (r,A)dS cosddQ où n défi­ gne l'indice réel du milieu s'écrit &

nldSi Cos 9\dfi\ & n\dS2 Cos O