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Chapitre 5 : Les bases du transfert de chaleur Jean-Marie SEYNHAEVE 5.1 Les trois modes de transfert de chaleur - Lois 5.2 Équation de la conduction 5.3 Conditions aux limites 5.4 Cas particuliers : plaque plane, paroi cylindrique 5.5 Cas d’étude : épaisseur optimum d’isolation 5.6 Les échangeurs de chaleur - Illustrations

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5.1 Les trois modes de transfert de chaleur - Lois 1. Transfert de chaleur par conduction ⇒ Phénomène à l’échelle moléculaire (pas de mouvement macroscopique) ⇒ Solides : - Transfert d’énergie via les électrons libres (matériaux métalliques) - Transfert d’énergie (mécanique) de vibration des molécules

⇒ Gaz : - Mouvement «Brownien» - transfert d’énergie (mécanique) par chocs intermoléculaires

⇒ Liquide : entre gaz et solide

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⇒ Loi de FOURIER

G G q = - k —T G q k G —T

Densité de flux en W/m2 Conductibilité (Conductivité) thermique W/mK

∂T ∂T ∂T , , Gradient de température - Vecteur : ∂x ∂y ∂z ICHEC - D4 - Chap 5 : Les bases du transfert de chaleur

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⇒ Valeurs de conductibilité thermique (W/mK)

Métaux purs : 40 … 450 W/mK Alliages : 20 … 200 W/mK Métaux liquides : 10 … 100 W/mK Liquides non métalliques : 0.2 … 2. W/mK Solides non métalliques : 0.02 … 20 W/mK Isolants : 0.02 … 0.4 W/mK Gaz : 0.002 … 0.2 W/mK

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⇒ Exemple simple : conduction 1-D en régime permanent ⇒ Régime permanent :

q x = - k

dT = Cte dx

⇒ Densité de flux thermique (W/m2) :

q x = - k e

⇒ Flux thermique (W) :

T2 - T1 DT = -k x2 - x1 e

DT   Qx = Aqx = - Ak e

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2. Transfert de chaleur par convection ⇒ Phénomène à l’échelle de « particules » (mouvement macroscopique) ⇒ Entre une surface solide (liquide) et un fluide (liquide ou gazeux) : ⇒ convection naturelle ou forcée : cause du mouvement du fluide - naturelle : mouvement provoqué par la pesanteur - forcée : mouvement provoqué par toute autre cause

⇒ Exemples : cylindre vent chaud

froid

Convection forcée autour d’un obstacle Convection naturelle dans un local ICHEC - D4 - Chap 5 : Les bases du transfert de chaleur

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⇒ Loi de Newton

Q = h S ΔT Q Flux thermique en W

h Coefficient de convection en W/m2K S Surface d’échange en m2 ΔT Différence de températures en K ΔT  tw − t f

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⇒ Ordre de grandeur des coefficients de convection (W/m2 K)

Question : Comment évaluer en pratique le coefficient de convection ?

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3. Transfert de chaleur par rayonnement ⇒ Transfert de chaleur par phénomène électromagnétique ⇒ Transfert de chaleur de surface (solide, liquide) à surface ⇒ Le rayonnement est peu absorbé par les gaz

Irradiation G

Radiosité J Radiosité J

Irradiation G

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⇒ Définitions - Bilan de flux thermiques

„

Irradiation G (W/m2)

Bilan

„

„

Réflectivité : ρ G (W/m2)

„

Absorptivité : α G (W/m2)

„

Transmittivité : τ G (W/m2)

α + ρ +τ = 1

Réflectivité : ρ G (W/m2) „

„

Radiosité J (W/m2)

Pouvoir emissif : E (W/m2) Bilan

J = E + ρG

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⇒ Loi de Stefan-Boltzmann „

Pouvoir emissif d’un corps noir : Ec.n. (W/m2)

Ec.n. = σ T 4 avec σ = 5,67 10−8 Wm −2 K −4 „

Emissivité d’une surface :

ε (T ) =

E (T ) ≤1 Ec.n (T )

⇒

J = ε Ec . n + ρ G

⇒ Loi de Kirchhoff Ei (T j )

= constante.

• 1ière loi :

αi (T j )

• 2ième loi :

Gi (T ) = Ec. n (T )

• 3ième loi :

Ei (T ) Ei (T ) αi (T ) = = = ε i (T ) Gi (T ) Ec.n (T )

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5.2 Équation de la conduction • Hypothèses : ⇒ Vitesse = 0 : solide ⇒ Conductibilité thermique k = Constante

• Équation générale de la conduction :

∂T − k ∇ 2T = ρ qr ρc ∂t

P 1 ∂T ∇T+ = k a ∂t 2

ou

⇒ T : température fonction du temps et de la position dans l’espace (°C) ⇒ P : génération de puissance thermique (W/m3) ⇒ a : diffusivité thermique (m2/s)

a

k ρc

∇ 2 Laplacien ICHEC - D4 - Chap 5 : Les bases du transfert de chaleur

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• Cas particuliers :

1 ∂T ∇T= a ∂t 2

⇒ P = 0 : Équation de la diffusion

⇒ Régime permanent : Équation de Poisson

⇒ Régime permanent et P = 0 : Équation de Laplace

→ Coordonnées rectangulaires → Coordonnées cylindriques

P ∇ T + =0 k 2

∇ 2T = 0

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ∇T 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 2

∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T ∇T 2 + + + ∂r r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 2

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• Exemples : Équation de Laplace en 1-D T1

• Équation de Laplace :

⇒ T = c1 x + c2

T ( 0 ) = T1 et T ( e ) = T2 T −T • Température : T ( x ) = 2 1 x + T1 e T −T dT • Densité de flux (W/m2) : q = −k = k 1 2 = Cte dx e d ⎛ dT ⎞ • Équation de Laplace : ⎜r ⎟ = 0 ⇒ T = c1 ln r + c2 dr ⎝ dr ⎠ T ( ri ) = T1 et T ( re ) = T2 • Conditions aux limites : • Conditions aux limites :

T2 x e

Plaque plane T1

T2 ri

d 2T =0 dx 2

• Température :

T ( r ) − T1 T2 − T1

=

ln ( r ri )

ln ( re ri )

k (T2 − T1 ) • Densité de flux (W/m2) : q = − k dT = − ≠ Cte

re

Paroi cylindrique

r ln ( ri re ) 2π k (T2 − T1 )   Q = Aq = − = Cte ln ( ri re ) dr

r • Flux par mètre (W/m) :

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5.3 Conditions aux limites • Interface solide-solide (contact parfait) • Même température

Ti = Ti ,1 = Ti ,2 • Même flux thermique à l’interface

qi = qi ,1 = qi ,2

⇒

dT1 dT2 k1 = k2 dx i dx

i

• Interface fluide-solide (sans rayonnement) • Même température : Tp • Même flux thermique à la paroi Tf Tp

qi = qi ,conv = qi ,cond

⇒ ⇒

qi ,cond = k

dT dx

i

qi ,conv = h (Tp − T f

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) 15

• Exemple de conditions aux limites

φr : Solar Radiation Qout : Outside air convection from enclosure Qin Inside air convection from enclosure

φenc : Enclosure radiation φgr : Ground radiation Qup : Upside air convection from mirror Qdown : Downside air convection from mirror

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5.4 Cas particuliers : plaque plane, paroi cylindrique, ailette • Plaque plane

e

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• Hypothèses : ⇒ Régime permanent ⇒ Pas de flux de rayonnement ⇒ Pas de génération de chaleur

• Conditions aux limites (flux thermiques) :

Q = Q convection gauche = Q conduction gauche = Q conduction droite = Q convection droite Surface de gauche

Régime permanent

Surface de droite

• Solution :

T −T T −T T −T T∞1 − T∞ 2 T −T = ∞1 ∞ 2 Q = ∞1 1 = 1 2 = 2 ∞ 2 = 1 e 1 1 e 1 1 + + Ah∞1 Ak Ah∞ 2 Ah∞1 Ak Ah∞ 2 ( AU ) • Coefficient de transfert global AU :

1 1 e 1 = + + Rth = ( AU ) Ah∞1 Ak Ah∞ 2

• Notion de résistance thermique :

T∞1 − T∞ 2 = ΔT = Rth Q

Rth =

U = RI

1 = Rconv , gauche + Rcond + Rconv , droite ( AU )

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• Plaque plane composée :

e1

e2

T∞1 − T∞ 2 = Rth Q Avec

Rth =

e3

Q en W

e e 1 1 + 1 + ... + n + Ah∞1 Ak1 Akn Ah∞ 2

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• Exemple plaque plane : séchage de bois aggloméré Bois

hl = 40 W / m 2 K

k =1 W / mK e = 20 mm hr = 40 W / m 2 K

Lampes I.R. Φ = 2000 W / m 2

TL

TR

2000 = Air à 20 °C

⇒

• Conditions aux limites en régime permanent : 1. En SR :

Φ = qcond + qconv , r

2. En SL :

qcond = qconv ,l

k (TR − TL ) + hr (TR − 20 ) e

k (TR − TL ) = hl (TL − 20 ) e

• Solution : TL = 37.9 °C et TR = 52.1 °C • Si hr→ 0 : TL = 70 °C et TR = 110 °C

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• Paroi cylindrique L re

ri

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• Hypothèses : ⇒ Régime permanent ⇒ Pas de flux de rayonnement ⇒ Pas de génération de chaleur

• Conditions aux limites (flux thermiques) :

Q = Q convection int . = Q conduction int . = Q conduction ext . = Q convection ext . Surface intérieure

Régime permanent

Surface extérieure

• Solution :

T −T T −T T −T T∞1 − T∞ 2 T −T Q = ∞1 1 = 1 2 = 2 ∞ 2 = = ∞1 ∞ 2 1 1 1 ln ( re ri ) ln ( re ri ) 1 1 + + π 2π ri Lh∞1 2 r Lh ( AU ) 2π Lk 2π ri Lh∞1 2π Lk 2π re Lh∞ 2 ∞2 e • Coefficient de transfert global AU : ln ( re ri ) 1 1 1 = + + Rth = 2π Lk 2π re Lh∞2 ( AU ) 2π rLh i ∞1

Remarque : re/ri → 1 ?

• Notion de résistance thermique :

T∞1 − T∞ 2 = ΔT = Rth Q l

Rth =

U = RI

1 = Rconv ,int . + Rcond + Rconv ,ext . ( AU )

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• Paroi cylindrique composée : L

T∞1 − T∞ 2 = ΔT = Rth Q l Avec

Rth =

Q en W

ln ( r1 r0 ) ln ( rn rn −1 ) 1 1 1 = + + ... + + 2π Lkn 2π rn Lh∞ 2 ( AU ) 2π r0 Lh∞1 2π Lk1

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• Exemple paroi cylindrique : transport de vapeur ha = 14 W/m2K ha = 9.3 W/m2K T4 T3 T2

Air : 25 °C

L=1m

T1 Ri = 250 mm

hv = 760 W/m2K

Vapeur : 140 bar, 540 °C

Rth

1 1 ln ( r1 r0 ) + + 2π r1ha 2π r0 hv 2π k1

4.1 10-2 8.4 10-4

3.9 10-4

T1 = 530 °C

Q s ,i = 12.6 kW

k3 = 0.047 W/m2K k2 = 0.08 W/m2K

e3 = 35 mm e2 = 15 mm

k1 = 46.5 W/m2K

e1 = 30 mm

• Cas 2 : avec isolation

Rth ln ( r2 r1 ) 2π k 2

• Cas 1 : sans isolation =

Coating

4.1 10-2

ln ( r3 r2 )

K/W

2π k3 1 2π r3 ha

5.3 10-1 T1 =T2 ≈ 540 °C 1.0 10-1 T3 = 434 °C 3.8 10-1 T4 = 75 °C 0.5 10-2

Q a ,i = 0.97 kW

T2 = 525 °C • Efficacité d’isolation

ηisolation

Q s ,i − Q a,i = = 0.92  Q s ,i

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Ailette mince : Illustration calcul CFD (Fluent)

Surchauffeur de chaudière de récupération

Température

Coefficient de convection

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Illustration : conduction en transitoire - COND-2D

Réponse en transitoire d’une sonde PT100

⇒ Équation générale de la conduction

P 1 ∂T ∇T+ = k a ∂t 2

⇒ Discrétisation spatiale • Différences finies

Gainage Inox

ρ c ∂T = P +∇.(k∇T )

Alumine

∂t

Résistance PT100

• Volumes finis ∂T V ρc P = ∂t PV + ∑ k ∇T .ΔS

B A

Huile conductrice

P

D

C

faces

Doigt de gant ICHEC - D4 - Chap 5 : Les bases du transfert de chaleur

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5.5 Cas d’étude : Épaisseur optimale d’isolation thermique

Coût Coût total

Coût des pertes Epaisseur d’isolation

Coût de l’isolation eoptimum

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Exemple : Isolation thermique d’une chaudière

Air Atmosphérique

Eau chaude

k hi

Ti

he

Te

e

Tp

T0

Définitions : ⇒ e Épaisseur d’isolation ⇒ k Conductivité de l’isolant ⇒ hi he Coefficients de transfert par convection (+ rayonnement) ⇒ ΔT = Ti - Te Différence de température ⇒ Tp Température de paroi intérieure ⇒ T0 Température de paroi extérieure ICHEC - D4 - Chap 5 : Les bases du transfert de chaleur

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q0 =

• Flux de chaleur sans isolation en W/m2

Résistance thermique totale :

Rtotal =

ΔT Rtotal , sans

1 emetal 1 + + hi k metal he

Hypothèses : 1/hi