UNIVERSITE DE NGAOUNDERE ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DES SCIENCES AGRO INDUSTRIELLES
OPTION : INDUSTRIES AGRICOLES ET ALIMENTATIRES
INTERFACE
TRANSFERT THERMIQUE
Département de Génie Des Procédés et d’Ingénierie Ecole Nationale Supérieure des Sciences Agro Industrielles BP 455 Ngaoundéré-Cameroun
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E-mail :
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INTERFACES, TRANSFERTS ET PROCEDES I.
Généralités__________________________________________________________________4
A.
OBSERVATIONS___________________________________________________________________4
B.
Quelques définitions_________________________________________________________________4 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3.
Corps isotrope_____________________________________________________________________________4 Surfaces iso concentrations et iso températures___________________________________________________4 La chaleur:________________________________________________________________________________4 Flux thermique :___________________________________________________________________________5 Densité de flux thermique____________________________________________________________________5 bilan sur la quantité de chaleur________________________________________________________________5 La Couche Limite__________________________________________________________________________6 Les modes de Transfert Thermique_____________________________________________________________6
II. LA CONDUCTION THERMIQUE_______________________________________________8 A.
GENERALITES____________________________________________________________________8 1. 2.
DEFINITION_____________________________________________________________________________8 Applications______________________________________________________________________________8
B.
Loi de Fourier______________________________________________________________________8
C.
conductivite thermique des materiaux_________________________________________________10
D.
Conduction à travers un mur plan homogène___________________________________________12 1. 2. 3.
E.
Conduction à travers plusieurs murs plans homogènes, en série____________________________14 1. 2.
F.
Expression du flux thermique de conduction à travers des murs en série_______________________________15 Expression de la résistance thermique équivalente à des murs en série________________________________16
Conduction à travers plusieurs murs plans homogènes, en parallèle________________________17 1. 2.
G.
Expression du flux thermique de conduction à travers des murs en parallèle___________________________17 Expression de la résistance thermique équivalente à des murs en parallèle_____________________________18
Conduction à travers la paroi d'un tube cylindrique circulaire_____________________________19 1. 2. 3.
H.
2.5.1. Expression du flux thermique à travers un tube cylindrique____________________________________19 Expression de la résistance thermique d'un tube cylindrique________________________________________21 Profil radial des températures à travers le tube___________________________________________________22
Conduction à travers deux tubes concentriques accolés___________________________________22 1.
I.
Expression de la résistance thermique équivalente de deux tubes cylindriques accolés___________________22
Conduction à travers une Paroi quelconque____________________________________________23 1. 2.
J.
Expression du flux thermique à travers deux tubes cylindriques accolés_______________________________23 Remarque : rayon critique de l’isolant_________________________________________________________23
Exercices__________________________________________________________________________24
III. A.
transport convectif_________________________________________________________26 GENERALITES___________________________________________________________________26
1. 2.
B.
Définition_______________________________________________________________________________26 Applications_____________________________________________________________________________26
Transport de chaleur aux interfaces : coefficient de transfert______________________________27
A.
CAS PARTICULIERS______________________________________________________________29 1. 2. 3.
A.
IV. A.
Expression du flux thermique de conduction dans un mur plan______________________________________13 Expression de la résistance thermique de conduction d'un mur plan__________________________________13 Profil des températures à travers le mur________________________________________________________14
Conduction ET CONVECTION AUTOUR D'une plaque__________________________________________29 Conduction ET CONVECTION AUTOUR D'un CYLINDRE______________________________________29 Autres cas_______________________________________________________________________________30
Exercices__________________________________________________________________________30
Transport par radiation_____________________________________________________30 GENERALITES___________________________________________________________________30
3
1. 2. 3.
B.
Observations_____________________________________________________________________________30 DESCRIPTION___________________________________________________________________________30 Applications_____________________________________________________________________________32
Principales propriétés_______________________________________________________________32 1. 2. 3.
C.
Émittance________________________________________________________________________________32 Luminance énergétique_____________________________________________________________________32 Loi de Lambert___________________________________________________________________________33
Lois du rayonnement thermique______________________________________________________33 1. 2. 3.
D.
Loi de Planck_____________________________________________________________________________33 Loi de Stefan-Boltzmann___________________________________________________________________33 Loi de Wien (ou loi du maximum d’émission)___________________________________________________33
Absorption de l’énergie rayonnée_____________________________________________________34 1. 2.
E.
Loi de Kirchhoff__________________________________________________________________________34 Loi de Kirchhoff généralisée_________________________________________________________________34
Transfert de chaleur par rayonnement entre deux surfaces________________________________34 1.
A.
Facteur de forme__________________________________________________________________________34
Exercices__________________________________________________________________________34
ANNEXE______________________________________________________________________________37 B.
RAPPEL DE STATISTIQUE DES FLUIDES___________________________________________37 1. 2.
A.
Généralités_______________________________________________________________________________37 Statique des fluides________________________________________________________________________38
Rappels sur les nombres sans dimension________________________________________________40 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Nombre de Reynolds_______________________________________________________________________40 Nombre de Prandtl________________________________________________________________________40 Nombre de Nusselt________________________________________________________________________41 Nombre de Péclet_________________________________________________________________________41 Nombre de Grashof________________________________________________________________________41 Nombre de Froude_________________________________________________________________________41 Nombre d’ébullition_______________________________________________________________________41 Nombre de Lockaert-Martinelli______________________________________________________________42 Nombre de Rayleigh_______________________________________________________________________42 Pression réduite___________________________________________________________________________42
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I.
GÉNÉRALITÉS
Les multiples procédés utilisés dans l'industrie sont très souvent le siège d'échanges de chaleur, soit parce que c'est le but recherché (fours, coulée, échangeurs, thermoformage, induction, lits fluidisés, trempe, refroidissement), soit parce que ceuxci interviennent d'une manière inévitable (chocs thermiques, pertes de chaleurs, rayonnement). (Prof.H.Hofmann, 2007) Des connaissances de base en ce domaine sont donc nécessaires à l'ingénieur de production ou de développement pour comprendre les phénomènes physiques qu'il observe; maîtriser les procédés et donc la qualité des produits. Il serait important pour la compréhension de ce cours de faire des rappels sur la mécanique des fluides (dérivées particulaire, conservation de la masse…), les bilans énergétiques et l’utilisation de la similitude dimensionnelle.
A.
OBSERVATIONS Nous allons, dans un premier temps, décrire une expérience permettant de faire sentir au lecteur quel est l’objet d’étude du transfert de chaleur. Vous avez placé depuis longtemps au réfrigérateur un moreau de viande. La température à l’intérieur du réfrigérateur est par exemple de 4°C. C’est aussi la température de la viande. Pour maintenir la viande à cette température à l’extérieur du réfrigérateur, il faut l’«isoler», par exemple en l’entourant d’une paroi en polystyrène. Si l’on supprime cette paroi à un instant donné, le morceau de viande va se réchauffer pour atteindre peu à peu la température extérieure. Nous savons tous que cette évolution n’est pas instantanée. Dans cette expérience, il existe donc deux situations distinctes: celle où la viande se réchauffe, et celle où la température de la viande atteint la température de la pièce. Dans ce dernier cas, on dit que le liquide est en équilibre thermique avec le milieu extérieur (les deux corps ayant la même température). Notons que le morceau de viande se trouvait aussi en équilibre thermique avec son environnement à l’intérieur du réfrigérateur. Par contre, placé sans protection sur la table le morceau de viande s’est réchauffé. Dans cette phase intermédiaire, il est hors d’équilibre, on dit qu’il subit une transformation (il y a transfert thermique.), pour passer d’un état d’équilibre à un autre. Lorsque la chaleur passe d’un système I à un système II on dit qu’il y a transfert de chaleur de I vers II ; si c’est de la matière qui passe de I dans II il y’a transfert de masse. Le mot transfert est préférable au mot échange car un échange suppose une réciprocité qui n’existe pas nécessairement dans un transfert.((Fortier A., 1975)).
B.
QUELQUES DÉFINITIONS
1.
CORPS ISOTROPE Corps dont les propriétés physiques sont identiques dans toutes les directions.
2.
SURFACES ISO CONCENTRATIONS ET ISO TEMPÉRATURES Surface ayant en un point donné dans un corps isotropes les mêmes concentrations ou les mêmes températures.
3.
LA CHALEUR: La chaleur représente le phénomène physique par lequel la température s'élève ((Larousse, 1992)). Pour le cours "Phénomènes de transfert" nous disons simplement que c'est une forme de l'énergie. Disons aussi que, lorsqu'on introduit une quantité de chaleur dans un corps, la température de ce dernier augmente. Dans le cas d'un changement de phase, une partie de cette chaleur est utilisée 5
pour satisfaire les besoins thermiques liés à ce phénomène (fusion, évaporation, etc...) ((Prof.H.Hofmann, 2007)) La chaleur peut être produite par différents mécanismes : • dégradation de l'énergie électrique • ralentissement de neutrons et composés nucléaires • dégradation de l'énergie mécanique (viscosité) • conversion de l'énergie chimique en chaleur (réaction) . 4.
FLUX THERMIQUE : Le flux thermique, c'est la quantité d'énergie thermique qui traverse une surface isotherme par unité de temps. Il est appelé puissance thermique pour les équipements thermiques.
Le flux 'exprime en Watt : W en calorie par seconde : kcal.s-1 (unité utilisée par les thermiciens). 5.
1.
DENSITÉ DE FLUX THERMIQUE La densité de flux thermique (ou flux thermique surfacique) c'est le flux thermique par unité de surface. La densité de flux thermique s'exprime en watt par mètre carré (W.m-2).
BILAN SUR LA QUANTITÉ DE CHALEUR Le bilan est présenté ici en régime stationnaire. Il consiste alors à écrire : Entrée Sortie +-réaction homogène S Qx.dt - S Qx+dx dt + s S dx J.m-3.s-1
J.m-3.s-1 dQ s 0 dx
Nx
dV S
Nx+dx
dx Cette équation différentielle intégrée donne la distribution du flux de chaleur. Une deuxième intégration permet de déterminer le profil de température. Deux constantes d'intégration apparaissent. Ces constantes sont déterminées en considérant les conditions limites du problème. Différentes conditions limites permettre de clôturer le problème : • température de surface spécifiée • quantité de chaleur donnée • aux interfaces solide-solide continuité des températures et des quantités de chaleur • aux interfaces solide-fluide la quantité de chaleur peut être reliée à la différence de chaleur entre le fluide Tf et la température de l'interface : Q h( T Tf ) où h est le coefficient de transfert de chaleur (voir chapitre C)
6
2.
3.
LA COUCHE LIMITE L’espace entourant un objet immergé dans un écoulement peut être délimité en deux régions ; Une région représentant l’espace dans lequel l’écoulement n’est pas perturbé par l’objet Une région au voisinage de l’objet qui présente des profils de vitesse et de température très marqués- encore appelée couche limite. LES MODES DE TRANSFERT THERMIQUE Le transfert de chaleur se caractérise par la densité du flux de chaleur Q en J.s -1.m-2. Cette quantité de chaleur peut être échangée ou produite dans un système par différents mécanismes développés ci-dessous. Q
Quantité de chaleur passant par secondes et par unité de surface
Le transfert de chaleur d’un système I dans un système II peut s’effectuer de 3 façons ; par conduction, par convection ou par rayonnement. Le transfert de chaleur s’effectue par conduction lorsque le mécanisme du transfert s’effectue d’une partie d’un corps à une autre partie du même corps sans déplacement appréciable des particules de ce corps. La conduction caractérise également le transfert de chaleur d’un corps à un autre corps en contact physique avec le premier. L'énergie diffuse dans un milieu, la température augmente de proche en proche (par exemple, si une cuillère est dans un plat chaud et que sa queue dépasse dehors, la chaleur se transmet à la queue de la cuillère par conduction). Le transfert s’effectue par convection lorsqu’il y’a mouvement relatif à l’échelle macroscopique d’un système par rapport à l’autre ; le transfert d'énergie s'accompagne de mouvement de molécules dans un fluide (liquide ou gaz). La convection est naturelle si le mouvement du fluide résulte uniquement des différences de masse volumique causées par les différences de température. La convection est forcée si le mouvement du fluide est provoqué par des moyens mécaniques. Le transfert de masse s’effectue par diffusion moléculaire lorsque le passage des molécules du système I dans le système II est du au mouvement d’agitation des molécules sans qu’il y’ait de mouvement d’ensemble d’un système par rapport l’autre. Le transfert de masse a lieu par convection lorsqu’il y’a mouvement relatif à l’échelle macroscopique d’un système par rapport à l’autre. Le transfert de chaleur (transfert d’énergie) s’effectue par rayonnement lorsque le passage de l’énergie du système I vers le système II s’effectue par l’intermédiaire des ondes électromagnétiques. C’est le transfert de chaleur d’un corps à un autre, sans aucun contact entre eux, par le déplacement d’ondes dans l’espace. On distingue le rayonnement thermique qui concerne les longueurs d’ondes comprises entre 100 μm et 0,01 μm et va de l’infrarouge à l’ultraviolet en couvrant le visible, et le chauffage par bombardement électronique qui concerne les longueurs d’ondes de 10–11 à 10–12 m. Par exemple, le volume d’eau contenu dans un verre d’eau laissé exposé au soleil va diminué avec le temps d’exposition à cause de l’énergie rayonnante transférée à l’eau pour lui permettre de s’évaporer. De façon générale, le transfert par chaleur se réalise généralement par une combinaison de plusieurs modes. Toutefois, lorsque la combinaison des trois modes fait apparaître un mode prédominant, l’analyse du phénomène se fait alors comme celui du seul mode prédominant. Par exemple, le système chauffage central, combine la convection (en général forcée) pour chauffer le fluide dans la chaudière, la conduction pour chauffer les parois du radiateur et la convection (en général naturelle) pour chauffer l'air autour du radiateur. Dans le cas d'un chauffage d'un solide (non 7
transparent au sens strict du terme) par radiation, la transmission de chaleur sera une combinaison de radiation et de conduction. C'est le cas du verre chauffé par le rayonnement solaire. Dans ce cas, le transfert pourra être également combiné avec une convection naturelle derrière la vitre d'une pièce. On notera que parfois le transfert thermique s'accompagne d'un transfert de matière. Par exemple, c'est le cas de l'ébullition une partie du liquide subit une transformation de phase et le gaz ainsi créé se déplace. ((Wikipédia, 2007)) Le transfert thermique a été développé de façon similaire au transfert de matière. Son développement a d'ailleurs précédé le développement du transfert de matière. Ainsi, par exemple, ce sont les corrélations utilisées pour définir le coefficient de transfert thermique qui ont été extrapolées au transfert de matière.
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II. A.
LA CONDUCTION THERMIQUE GENERALITES
1.
DEFINITION La conduction thermique est la propagation de la chaleur, de molécule à molécule, dans un corps ou dans plusieurs corps contigus et non réfléchissants, sans qu’il y ait mouvement du milieu ou que ce mouvement intervienne dans la transmission. Ce mode de transmission caractérise essentiellement les transferts de chaleur dans les solides ou entre corps solides contigus. La conduction intervient également dans les liquides et les gaz mais, sauf dans le cas des liquides très visqueux ou des gaz emprisonnés dans des matériaux poreux, son effet est marginal par rapport à celui de la convection. Il ne faut pas confondre la conduction thermique et le chauffage par passage de courant électrique directement dans la pièce à chauffer, appelé chauffage par conduction électrique ((René LELEU, 2007)).
2.
APPLICATIONS Le transfert de chaleur par conduction caractérise tous les transferts de chaleur qui s’effectuent dans les parois séparant deux corps à des températures différentes. C’est le cas des surfaces d’échange des échangeurs de chaleur, mais c’est aussi celui des murs et vitrages d’un bâtiment, des cuves contenant des liquides chauds ou froids, des parois des fours, etc. Il est courant que les parois soient constituées de plusieurs matériaux ayant chacun un rôle spécifique (réfractaire, revêtement anticorrosion, isolant thermique, etc.) et qui sont des parois composites à travers lesquelles s’effectue le transfert de chaleur ((René LELEU, 2007)).
B.
LOI DE FOURIER La conduction de la chaleur est le mécanisme de transport de la chaleur similaire à la viscosité et à la diffusion respectivement dans le cas de la mécanique des fluides et du transfert de matière. Ainsi dès qu'il existe un gradient de température entre deux points, la conduction de chaleur transporte de la chaleur de façon à réduire cet écart et retourner à l'équilibre. La loi de Fourier exprime pour les corps immobiles et isotropes à masse volumique constante ; la quantité énergie diffusante passant par unité de temps et de surface au travers des surfaces iso températures et dans une direction normale à ces surfaces ((Marce Loncin, 1976)). En d’autres termes, elle traduit la relation existant, en chaque point d’un corps, entre le flux thermique et le gradient de température. Soit un corps solide, homogène et isotrope à travers lequel passe un courant unidirectionnel de chaleur. Soit une petite couche plane perpendiculaire à la direction x de propagation de la chaleur d’épaisseur dx et d’aire S à l’intérieur de ce milieu (voir Figure 1) Les 2 faces de cette couche sont des surfaces isothermes. La première est à la température Θ et la seconde à la température Θ + dΘ (avec dΘ < 0).
9
Figure 1 : Conduction dans une couche élémentaire de mur plan
Le gradient de température , est la variation de la température par unité de longueur, lorsqu’on se déplace dans la direction de propagation de la chaleur. La densité de flux thermique traversant la couche est proportionnelle au gradient de température. Cette expression, dans la mesure où la position d’un point peut être caractérisée par une seule dimension (paroi plane, cylindrique ou Sphérique par exemple), s’écrit : d d dS
dx
avec Φ (W) flux de chaleur, θ (oC) température, S (m2) surface d’échange, x (m) coordonnée du point considéré, λ (W/(m · oC) conductivité thermique. W.m-2=J.m-2.s-1=kg.s-3 Q
d dx
K
m
kg.m.s-3.K-1 La diffusivité thermique α grandeur souvent utilisée dans les problèmes de transfert thermique est défini par rapport à la conductivité :
2 -1 C p avec m .s
où es la masse volumique du milieu considéré et Cp sa chaleur spécifique. Le coefficient de proportionnalité λ est la conductivité thermique du matériau. Elle dépend du matériau et de sa température. Le calcul intégral permet de généraliser la loi de Fourier à des corps de forme quelconque. Cette loi traduit le fait que le flux de chaleur est proportionnel au gradient de température. La direction de l’écoulement de chaleur coïncide avec celle du gradient de température. Le signe – caractérise le fait que l’écoulement de chaleur s’effectue dans le sens des températures décroissantes, du chaud vers le froid. Dans le cas où les trois directions de l’écoulement sont donc considérées : grad
10
Plus la conductivité thermique est élevée, plus les matériaux conduisent facilement la chaleur. Au contraire les matériaux de faible conductivité thermique conduisent difficilement la chaleur et sont donc utilisés comme isolants.
C.
CONDUCTIVITE THERMIQUE DES MATERIAUX Les tables donnent les valeurs des conductivités thermiques. A titre d’exemple le tableau suivant illustre les conductivités thermiques de différents matériaux.. Tableau 1Conductivité thermique de différents matériaux en W. m-1. °C-1 () METAUX ET ALLIAGES (à la température ambiante) Aluminium à 99,9 % 228 Zinc
111
Aluminium à 99 %
203
Acier doux (1 % de C)
46
Cuivre à 99,9 %
386
Acier inox (Cr 18 % - Ni 8 %)
16
Etain
61
Alliage (Al 92 % - Mg 8 %)
104
Fer pur
85
Laiton (Cu 70 % - Zn 30 %)
99
Nickel pur
61
Titane
21
Plomb pur
35 SOLIDES NON METALLIQUES (à la température ambiante)
Amiante (feuilles)
0,162
Liège
0,046
Béton plein
1,7
Matières plastiques phénoplastes
0,046
Briques de terre cuite pleines
1,16
Matières plastiques polyester
0,209
Plaque de fibrociment
0,74
Matières plastiques polyvinyles
0,162
Verre courant
0,70
Porcelaine
0,928
Verre pyrex
1,16
Laine de verre
0,046
Electrographite
116 LIQUIDES
Eau à 20°C
0,59
GAZ (à 0°C et sous la pression normale) Air 0,024
Eau à 100°C
0,67
Azote
0,024
Dowtherm A à 20°C
0,139
Acétylène
0,019
Benzène à 30°C
0,162
Hydrogène
0,174
11
Mercure à 20°C
8,47
Anhydride carbonique
0,014
Sodium à 200°C
81,20
Oxygène
0,024
On constate que parmi les solides, les métaux sont beaucoup plus conducteurs que les composés non métalliques à l’exception du graphite (utilisé dans certains échangeurs de chaleur). L’acier inoxydable est moins conducteur que la plupart des autres métaux et alliages. Parmi les liquides : o o
le mercure se détache nettement les métaux fondus sont de bons conducteurs ce qui explique par exemple l’utilisation de sels de sodium comme fluide caloporteur pour le refroidissement des réacteurs nucléaires.
Sauf pour les métaux fondus : λ des gaz < λ des liquides < λ des solides
La conductivité thermique varie avec la température. Dans la pratique, on adopte dans les calculs une valeur moyenne qui est la moyenne arithmétique des valeurs aux températures extrêmes. Les valeurs publiées pour les métaux sont souvent celles de produits purs. Il faut savoir que les impuretés présentes dans les produits industriels peuvent modifier sensiblement la conductivité thermique. Cette modification est d’autant plus sensible que le métal est bon conducteur (argent, cuivre...). La conductivité d’un alliage n’obéit pas à la règle de composition des alliages. La loi de Wiedman et Franz énonce que le rapport des conductivités thermique et électrique est le même pour tous les métaux à température donnée. Ce rapport serait proportionnel à la température absolue d’après Lorentz. Ces lois sont très approximatives et admettent des écarts de 10 à 15 % en moyenne, pouvant même atteindre 50 %. Pour les solides, on peut admettre, en première approximation, que les variations sont linéaires, soit : λ = λ0 . (1 + a.θ) o où λ0 est la conductivité thermique à 0°C et λ la conductivité thermique à θ°C. a est une constante appelée coefficient de température du solide considéré. a > 0 pour de nombreux matériaux isolants. a < 0 pour la plupart des métaux et alliages (à l’exception de l’aluminium et du laiton). Pour les liquides, la conductivité thermique diminue quand la température augmente (à l’exception de l’eau et du glycérol). Pour les gaz, la conductivité thermique croît avec la température. Remarques : - La conductivité thermique d’un mélange ne varie pas linéairement avec la composition du mélange. Il est donc impossible de prévoir la conductivité thermique d’un alliage en connaissant sa composition et la conductivité des différents éléments constituant cet alliage. Il faut donc mesurer expérimentalement cette conductivité. - La conductivité thermique des matériaux poreux augmente avec leur densité et avec la température. En effet, Un matériau poreux est une masse compacte contenant des cavités remplies d’air ou de gaz. Le solide étant plus conducteur et plus dense que le gaz, un matériau dense qui contient moins de pores est plus conducteur qu’un matériau léger. Les matériaux 12
fibreux répondent, en gros, aux mêmes variations de la conductivité en fonction de la densité que les matériaux poreux. De plus, la conductivité thermique d’un matériau fibreux est considérablement influencée par l’orientation des fibres. Pour le bois, par exemple, le rapport de la conductivité dans le sens des fibres à la conductivité dans le sens perpendiculaire aux fibres est de l’ordre de 2. - Un matériau humide est plus conducteur de la chaleur qu’un matériau sec. En particulier, lorsque les maçonneries d’un four sont terminées et avant de le mettre en exploitation, il convient de procéder à son séchage par une montée progressive en température qui permettra l’évaporation de l’eau. D.
CONDUCTION À TRAVERS UN MUR PLAN HOMOGÈNE Soit un mur plan homogène, d’aire S et d’épaisseur e, constitué par un matériau de conductivité thermique moyenne λ. L’une des faces est à la température Θ1 et l’autre à la température Θ2 (voirFigure 2 )
Figure 2 : Conduction dans un mur plan
13
1.
EXPRESSION DU FLUX THERMIQUE DE CONDUCTION DANS UN MUR PLAN Si Θ1 > Θ2, un flux thermique s’écoule par conduction à travers le mur de la face 1 vers la face 2. On suppose qu’il n’y a aucune perte de chaleur par les faces latérales du mur. Les lignes d’écoulement de la chaleur sont rectilignes et perpendiculaires aux faces isothermes 1 et 2. Les faces latérales du mur limitent un tube d’écoulement et la loi de conservation de la chaleur nous permet d’écrire : flux thermique Φ1= entrant par la face 1.
flux de chaleur Φ = traversant toute flux de chaleur Φ2 = sortant section intérieure parallèle aux par la face 2 faces.
Le flux thermique traversant par conduction une mince paroi d’épaisseur dx située à une distance x de la face 1 et dont les faces sont respectivement aux températures Θ et Θ + dΘ , est donné par la loi de FOURIER :
Après intégration on obtient :
soit
d’où l’expression du flux thermique : La densité de flux thermique est le flux rapporté à l’unité de surface soit : 2.
EXPRESSION DE LA RÉSISTANCE THERMIQUE DE CONDUCTION D'UN MUR PLAN Comme en électricité, la résistance est le rapport d’une différence de potentiel donc ici de température et d’un débit d’énergie donc ici le flux Φ, d’où l’expression suivante de la résistance thermique
Exemple d’application 1.1: - Calculer le flux traversant une vitre de 1 m² de surface et de 3,5 mm d’épaisseur. La température de la face interne de la vitre est égale à 10°C, celle de la face externe est égale à 5°C. En déduire la résistance thermique de la vitre. Conductivité thermique du verre : λv = 0,7 W.m-1.K-1 14
- Pour les mêmes températures de paroi, calculer le flux traversant un m² de mur de briques de 26 cm d’épaisseur. En déduire la résistance thermique. -1 -1 Conductivité thermique des briques : λv = 0,52 W.m .K . 3.
PROFIL DES TEMPÉRATURES À TRAVERS LE MUR Reprenons l’expression de la loi de FOURIER : Φ.dx = - λ.S. dΘ Intégrons cette équation entre la face 1 d’abscisse x = 0 et une surface d’abscisse x à la température Θ: On obtient : Φ. x = -λ . S. (Θ – Θ1) soit :
La température diminue donc linéairement avec x entre les 2 faces du mur. Le profil des températures est donc linéaire. Pour un mur d’épaisseur donnée, la chute de température (Θ1 - Θ2) est d’autant plus grande que la conductivité thermique du matériau constituant le mur est petite. Remarque : Θ1 et Θ2 sont les températures des surfaces elles-mêmes. Leur mesure est très délicate, car dès que l’on s’écarte un peu de la paroi vers l’extérieur, la température peut beaucoup varier E.
CONDUCTION À TRAVERS PLUSIEURS MURS PLANS HOMOGÈNES, EN SÉRIE Considérons plusieurs murs limités par des plans parallèles (voirFigure 3), constitués par des matériaux de conductivités différentes, mais en contact parfait. Soient λ1, λ2, λ3, les conductivités thermiques moyennes de chaque mur dont les épaisseurs sont respectivement e1, e2, e3. On suppose comme précédemment qu’il n’y a pas de pertes latérales de chaleur.
15
Chaque mur est donc traversé par le même flux thermique Φ.
Figure 3: Conduction à travers plusieurs murs plans en série
1.
EXPRESSION DU FLUX THERMIQUE DE CONDUCTION À TRAVERS DES MURS EN SÉRIE On peut écrire d’après le paragraphe précédent le flux traversant chaque mur, et en déduire les différences de température entre les faces de chaque mur :
Pour le mur 1 :
Pour le mur 2 :
Pour le mur 3 :
et en additionnant membre à membre :
D’où l’expression du flux thermique :
16
2.
EXPRESSION DE LA RÉSISTANCE THERMIQUE ÉQUIVALENTE À DES MURS EN SÉRIE L’expression précédente du flux peut être en faisant passer S au dénominateur :
On voit ainsi apparaître la résistance thermique de chacun des murs : Ces 3 résistances sont placées en série et leur somme constitue la résistance thermique équivalente des 3 murs en série, soit :
Donc
avec R = R1 + R2 + R3
Comme en électricité, la résistance équivalente à des murs en série et la somme des résistances de chaque mur. Remarque : Les relations précédentes supposent qu’il y a un contact thermique parfait entre les murs successifs. Si le contact n’est pas parfait, s’il existe par exemple, une mince lame de gaz entre 2 murs, cette lame même très mince, introduit une résistance supplémentaire considérable car la conductivité thermique des gaz est très faible. Exemple d’application 1.2: Etude des pertes par conduction à travers un double vitrage Un double vitrage est constitué de deux plaques de verre séparées par une couche d’air sec immobile. L’épaisseur de chaque vitre est de 3,5 mm et celle de la couche d’air est de 12 mm. La conductivité thermique du verre est égale à 0,7 W.m-1.°C-1 est celle de l'air est de 0,024 W.m-1.°C-1 sur le domaine de température étudié. Pour une chute de température de 5°C entre les deux faces extrêmes du double vitrage, calculez les pertes thermiques pour une vitre de 1 m². (Note : ce calcul néglige l’effet du coefficient de convection de part et d’autre de chaque vitre). Comparez ces pertes thermiques à celles qui seraient obtenues avec une seule vitre d’épaisseur égale à 3,5 mm.
17
F.
CONDUCTION À TRAVERS PLUSIEURS MURS PLANS HOMOGÈNES, EN PARALLÈLE Supposons maintenant que différents éléments solides soient juxtaposés par bandes, les uns à cotés des autres et que la température soit uniforme sur chacune de leurs deux faces (voir Figure 4). La différence de température (Θ1-Θ2) est donc la même pour chacun des éléments traversé respectivement par les flux thermiques Φ1 , Φ2 , Φ3.
Figure 4: Conduction à travers plusieurs murs plans en parallèle.
1.
EXPRESSION DU FLUX THERMIQUE DE CONDUCTION À TRAVERS DES MURS EN PARALLÈLE Si R1, R2, R3 représentent les résistances thermiques de chacun des éléments, alors les flux traversant chaque mur sont donnés par :
avec : Le flux thermique total à travers l'ensemble est : Φ
18
2.
EXPRESSION DE LA RÉSISTANCE THERMIQUE ÉQUIVALENTE À DES MURS EN PARALLÈLE Les résistances thermiques R1, R2, R3 de chacun des éléments sont en parallèle et R est la résistance équivalente. Si les différents éléments en parallèle n'ont pas la même épaisseur comme représenté sur la figure II.5. Le raisonnement précédent s'applique à condition de pouvoir négliger les échanges thermiques par les faces latérales des bandes juxtaposées.
On obtient
avec
Figure II.5 Figure 5: Conduction à travers plusieurs murs plans d'épaisseurs différentes en parallèle. En résumé, comme en électricité : Si les résistances thermiques sont en série, la résistance équivalente est égale à la somme des résistances Si les résistances thermiques sont en parallèle, l'inverse de la résistance équivalente est égale à la somme des inverses des résistances. Exemple d'application 1.3 : Calculer le flux traversant la façade de 50 m² d'une maison. Le mur est constitué de briques de 26 cm d'épaisseur. La façade est percée de 4 vitres de 2 m² de surface et 3,5 mm d'épaisseur et d'une porte en bois de 2m² et de 42 mm d'épaisseur. On suppose que la température de paroi interne est égale à 10°C pour tous les matériaux constituant la façade, de même, la température de paroi externe est de 5°C. Cond1uctivité thermique du verre : λv = 0,7 W.m-1.K -1 Conductivité thermique des briques : λb = 0,52 W.m-1.K-1 Conductivité thermique du bois : λbois = 0,21 W.m-1.K -1 19
G.
CONDUCTION À TRAVERS LA PAROI D'UN TUBE CYLINDRIQUE CIRCULAIRE Considérons un tube cylindrique (voirFigure 6 ) Soient r1 le rayon de la paroi interne, r2 celui de la paroi externe, Θ1 et Θ2 , les températures respectives des faces interne et externe et λ la conductivité thermique moyenne entre Θ1 et Θ2 du matériau constituant le tube.
Figure 6: Vue d'un tube cylindrique traversé par un flux de conduction 1.
2.5.1. EXPRESSION CYLINDRIQUE
DU
FLUX
THERMIQUE
À
TRAVERS
UN
TUBE
On désire connaître le flux thermique qui traverse le tube de l'intérieur vers l'extérieur (lorsque Θ1 > Θ2 ) pour une longueur L de tube. Par raison de symétrie, les lignes d'écoulement de la chaleur sont des droites dirigées selon des rayons. On dit que le transfert de chaleur est radial
Soit un cylindre de rayon intermédiaire r avec r1< r < r2 et d'épaisseur dr (voir Figure 7)
Figure 7: Vue en coupe d'un tube cylindrique traversé par un flux de conduction La densité de flux thermique à travers ce cylindre est donnée par la loi de FOURIER :
Le flux thermique correspondant est : 20
S étant l'aire de la surface latérale du cylindre de rayon r et de longueur L soit : S = 2.Π.r.L
donc :
ou encore
Comme Φ est constant à travers tout cylindre coaxial de rayon r compris entre r1 et r2 , l'équation précédente peut donc s'intégrer de l'intérieur à l'extérieur du cylindre de la manière suivante :
d'où :
On en déduit l'expression du flux thermique Remarque : Ce flux ne dépend pas des dimensions absolues du tube. Il ne dépend que du rapport r2 /r1 .Transformons cette expression pour la rendre semblable à celle d'un mur plan : Pour cela, rappelons la définition de la moyenne logarithmique appliquée aux deux rayons r1 et r2
e étant l'épaisseur du tube.
d'où : soit en remplaçant dans l'expression du flux
La surface latérale interne du tube est : S1 = 2 Π . r1 .L La surface latérale externe du tube est : S2 = 2 Π . r2 .L La moyenne logarithmique de ces 2 surfaces est
21
D'où l'expression finale du flux à travers un tube :
Cette expression est semblable à celle obtenue pour le mur plan, la surface S est remplacée par la surface moyenne logarithmique. Très fréquemment, comme l'épaisseur du tube est faible, on peut remplacer la surface moyenne logarithmique par la surface moyenne arithmétique soit Sma = (S1 + S2 ) / 2 = Π .L. (r1 +r2 ) 2.
EXPRESSION DE LA RÉSISTANCE THERMIQUE D'UN TUBE CYLINDRIQUE A partir de l'expression du flux, on déduit l'expression de la résistance thermique d'un tube :
donc :
soit Exemple d'application 1.4 : Soit un tube d'acier 20/27 dont la température de la paroi interne est Θ1= 119,75°C et celle de la paroi externe Θ2 = 119,64°C. Conductivité thermique de l'acier : l = 46 W.m-1.°C-1 Calculer : a) la résistance thermique du tube pour une longueur de 1 m. b) le flux correspondant.
22
3.
PROFIL RADIAL DES TEMPÉRATURES À TRAVERS LE TUBE Chaque cylindre concentrique constitue une surface isotherme. On peut donc parler de profil radial de température. On intègre l'expression donnant dΘ en fonction de Φ et r et dr entre la face interne du tube de rayon r1 et un cylindre de rayon r (r1 < r < r2 ) à la température Θ.
d'où
et
.
Cette expression montre que le long d'un rayon, la température décroît de Θ 1 et Θ2 , selon une loi logarithmique. Le profil radial des températures n'est pas linéaire.
H.
CONDUCTION À TRAVERS DEUX TUBES CONCENTRIQUES ACCOLÉS Considérons 2 tubes concentriques de longueur L en contact thermique parfait (voir figure II.8).
Θ1 est la température de la face interne du tube 1 de conductivité thermique λ1. Θ3 est la température de la face externe du tube 2 de conductivité thermique λ2. Θ2 est la température de l'interface entre les 2 tubes Figure 8: Vue en coupe de 2 tubes cylindriques accolés
1.
EXPRESSION DE LA RÉSISTANCE THERMIQUE ÉQUIVALENTE DE DEUX TUBES CYLINDRIQUES ACCOLÉS Le tube 1 constitue une première résistance thermique R1 au transfert de chaleur.
e1 étant l'épaisseur du tube 1 et S1ml la surface moyenne logarithmique du tube 1.
Le tube 2 constitue une seconde résistance thermique au transfert de chaleur :
23
e2 étant l'épaisseur du tube 2 et S2ml la surface moyenne logarithmique du tube 2. Ces 2 résistances sont placées en série et la résistance équivalente est :
I.
CONDUCTION À TRAVERS UNE PAROI QUELCONQUE Dans le cas plus général d’une surface de forme quelconque, il faut utiliser les équations fondamentales de la conduction de la chaleur pour résoudre le problème par des méthodes analogiques ou numériques. Dans les problèmes usuels, les résultats précédents constituent une approximation suffisante.
1.
EXPRESSION DU FLUX CYLINDRIQUES ACCOLÉS
THERMIQUE
À
TRAVERS
DEUX
TUBES
D'après la résistance équivalente calculée ci-dessus, on déduit l'expression du flux thermique : (si Θ1 > Θ3 )
Ce calcul s'applique pour déterminer l'effet d'un calorifugeage de tube ou pour prévoir l'augmentation de la résistance thermique quand un tube est encrassé ou entartré. Exemple d'application 1.5 : L'intérieur du tube 20/27 étudié dans l'exemple précédent (1.4) est entartré sur une épaisseur de 2 mm. On suppose que les températures intérieures et extérieures restent inchangées : la température de la paroi interne est Θ1= 119,75°C et celle de la paroi externe Θ2 = 119,64°C. Calculer : a) la résistance thermique de la couche de tartre (pour une longueur de 1 m). b) la résistance équivalente du tube entartré. c) le flux thermique correspondant.
Conductivité thermique du tartre : λC = 2,2 W.m-1.°C-1 2.
REMARQUE : RAYON CRITIQUE DE L’ISOLANT Quand on ajoute un isolant sur un objet cylindrique ou sphérique, on défavorise l’échange thermique avec le matériau isolant, mais on augmente en même temps la surface de contact avec l’extérieur. Il peut arriver que l’échange thermique croisse jusqu’à une certaine épaisseur de l’isolant, correspondant à ce rayon critique, avant de décroître. Si on a une épaisseur d’isolant égale à r3-r2, alors le rayon critique r3 sera donné par la relation r3 , avec λ la conductivité thermique de l’isolant et h b le coefficient de transfert de chaleur par hb
convection à l’extérieur du tube. 24
Dans la pratique, il convient de faire attention à l’efficacité réelle de l’isolation de petits tuyaux. R 2 faible et inférieur à ce rayon critique, lui même fonction du matériau utilisé et de la déperdition par convection naturelle vers l’atmosphère. Dans certains cas ce calcul montre que la présence de l’isolant reste importante du point de vue sécurité – la température de surface est plus faible et il y a donc moins de risques de brûlures- mais aussi la perte thermique est plus importante.
J.
EXERCICES a)
Pratique abaques de Heisler
b)
Isolation des cables
1Calculer les pertes thermiques par mètre linéaire d’un tube de 6 cm de diamètre contenant de la vapeur à 120 °C, dans les conditions suivantes : T extérieur = 20 °C, tube nu, tube isolé avec 5 cm de laine de verre. 2Un tube en verre de diamètre extérieur 6 cm doit être isolé avec une bande d’amiante. Calculer l’épaisseur de l’isolant nécessaire pour réduire la perte thermique en régime laminaire. L’amiante doit être remplacée par de la laine de roche ; quelle est l’épaisseur de ce matériau pour obtenir le même résultat. Quelle est la température maximale admissible ?
c)
Transferts en régime transitoire
25
26
III. TRANSPORT CONVECTIF A. 1.
GENERALITES DÉFINITION La convection est un processus physique de transmission de la chaleur qui s’appuie sur un milieu matériel avec mouvement de matière. On ne peut donc avoir de convection que dans les liquides et les gaz. Elle caractérise la propagation de la chaleur dans un Fluide, gaz ou liquide, dont les molécules sont en mouvement. Imaginons un solide baignant dans un fluide en mouvement. Si le solide et le fluide ne sont pas à la même température, de la chaleur est échangée entre le solide et les particules fluides qui sont à son contact. Cet échange se fait par conduction. Mais la particule de fluide, dès qu’elle a échangé de la chaleur, se déplace et est remplacée, au contact du solide, par une autre particule. Par ailleurs, la particule fluide initiale rencontre, au cours de son déplacement, d’autres particules fluides avec lesquelles elle échange de la chaleur par conduction. Le mécanisme élémentaire de transfert de chaleur est la conduction thermique mais le phénomène global, qui est la convection thermique, résulte de la combinaison de cette conduction avec les mouvements du fluide qui obéissent à des lois spécifiques. Par conséquent la chaleur peut se propager dans un système à cause du mouvement du fluide. Deux types de convection sont généralement distingués : — La convection naturelle dans laquelle le mouvement résulte de la variation de la masse volumique du fluide avec la température ; cette variation crée un champ de forces gravitationnelles qui conditionne les déplacements des particules du fluide ; — la convection forcée dans laquelle le mouvement est provoquée par un procédé mécanique indépendant des phénomènes thermiques ; c’est donc un gradient de pression extérieur qui provoque les déplacements des particules du fluide. Dans tous les cas, le mouvement du fluide favorise le transfert thermique. L’étude de la transmission de chaleur par convection est donc étroitement liée à celle de l’écoulement des fluides.
2.
APPLICATIONS Les applications du transfert de chaleur par convection sont beaucoup trop nombreuses pour que l’on puisse envisager de les citer toutes. Elles interviennent chaque fois que l’on chauffe ou que l’on refroidit un liquide ou un gaz, qu’il s’agisse de faire bouillir de l’eau dans une casserole, du radiateur de chauffage central, du radiateur associé au moteur d’une voiture ou de l’échangeur dans un procédé, évaporateur ou condenseur. La convection s’applique même si la surface d’échange n’est pas matérialisée par une paroi, ce qui est le cas des condenseurs par mélange ou des réfrigérants atmosphériques, voire des sécheurs à air chaud.
27
B.
TRANSPORT DE CHALEUR AUX INTERFACES : COEFFICIENT DE TRANSFERT Le flux de chaleur transmis par convection, entre une paroi à température T1 et un fluide à température T2 (température mesurée loin de la paroi), peut s’écrire sous la forme Q h i 0 avec h en kg.s-3.K-1 ou W.m-2.K-1 température aval température amont
T0 Ti
où h est le coefficient d’échange par convection (unité Wm-2K-1). Cette relation (relation de Newton) ne constitue pas une loi, mais plutôt une description phénoménologique du processus de transmission par analogie avec la conduction. Quel que soit le régime d’écoulement, y compris turbulent, il existe au voisinage immédiat de la paroi une zone d’écoulement laminaire appelée couche limite. Ce film, adjacent à la surface avec condition d’arrêt de l’écoulement le long de la paroi (vitesse nulle), constitue la principale résistance thermique au transfert de chaleur entre la paroi et le fluide en mouvement. C’est pourquoi on parle souvent de coefficient de film pour désigner le coefficient de transfert convectif à la paroi. Lorsque la turbulence de l’écoulement augmente, l’épaisseur du film laminaire diminue, sa résistance thermique décroît. Le flux de chaleur, pour un écart de température donné, est donc d’autant plus important que le régime d’écoulement est turbulent.
Figure 9 : Transferts convectifs Ainsi si le fluide est plus chaud que le solide, il existe un flux de chaleur vers le solide proportionnel à la différence de température par l'intermédiaire du coefficient h. Ce coefficient dépend de la géométrie du problème et de l'hydrodynamique existant sur le solide considéré ainsi que les propriétés du fluide. On comprend bien intuitivement que si la vitesse du fluide autour de l'objet est plus élevée la quantité de chaleur échangée est plus grande. Dans la pratique, on détermine la valeur de h à partir d’expériences. Les résultats de ces expériences sont traduits en termes de lois de corrélations faisant intervenir des grandeurs adimensionnelles. Les plus utilisés sont récapitulées dans le tableau ci après :
28
Tableau 2 Nombres adimensionnels caractéristiques du transport par convection Nombre sans dimension Nusselt
Ab. Nu
Relation
Reynolds
Re
Prandtl
Pr
vL Pe Re
h
Signification flux de chaleur en présence de convection / flux de chaleur conductif en l'absence de convection force de convection / force visqueuse
dH
viscosité / conduction thermique =diffusion mouvement / diffusion thermique
Des corrélations permettent de calculer l'épaisseur de la couche limite de diffusion en exprimant le nombre de Nusselt en fonction des conditions opératoires : l'hydrodynamique Re et les propriétés de la solution Pr : si Pr>>1
1
Nu C(Re) 2 .(Pr)
1
3
Le coefficient de proportionnalité C varie suivant la géométrie de l'écoulement C=0,339 dans le cas particulier d'une plaque chauffée avec écoulement parallèle. De manière générale, on distingue deux types de convection : La convection forcée et convection naturelle Au cours de la convection forcée, le mouvement du fluide est imposé par des actions mécaniques extérieures (pompes, ventilateurs, etc...). L’écoulement est alors laminaire ou turbulent suivant la valeur du nombre de Reynolds. Les coefficients d’échange h sont exprimées par l’intermédiaire du nombre de Nusselt Nu, lequel caractérise l’efficacité du transport thermique convectif par rapport à ce que serait le seul transport conductif dans le gaz. L’expérience montre que Nu = f(Pr,Re) où Pr est le nombre de Prandtl qui résume les propriétés thermo physiques du fluide. Ainsi, on posera la plupart du temps Nu = ARe mPrn où A est une constante dépendant de la géométrie considérée et de la valeur du nombre de Reynolds. La convection libre (ou naturelle) résulte des variations de masse volumique du fluide résultant des échanges de chaleur eux-mêmes (poussée d’Archimède sur les éléments de fluide chaud). Il en résulte une convection laminaire ou turbulente, suivant la valeur du nombre de Grasshof Gr, ou de Rayleigh Ra. En fonction de la valeur du nombre de Rayleigh, le transfert de chaleur a les caractéristiques suivantes : Ra < 103 : convection négligeable ; le transfert a lieu essentiellement par conduction 103 < Ra < 109 : le transfert a lieu en régime de convection libre laminaire (rouleaux convectifs stables dans le temps) Ra > 109 : le transfert a lieu en régime de convection libre turbulente. L’expérience montre que Nu = ARan = A(PrGr)n où A est une constante dépendant de la géométrie considérée et de la valeur du nombre de Rayleigh. Valeurs du coefficient d’échange h. Il est difficile de donner des valeurs de h, les valeurs pouvant varier énormément en fonction de la géométrie, du fluide et du type de convection. On peut cependant retenir que pour l’air, aux alentours de la température ambiante et en convection naturelle, h est donné par h 1,4
0 , 25
D
ce
qui donne des valeurs d’environ 5Wm-2K-1. Pour l’eau, toujours aux alentours de la température ambiante, le coefficient h est environ 10 fois plus élevé.
29
A.
CAS PARTICULIERS
1.
CONDUCTION ET CONVECTION AUTOUR D'UNE PLAQUE
1
x h1
1*
2*
h2
2
On a continuité du flux de chaleur le long du mur : A * Q h1 A( 1 1* ) ( 2* ) h2 A( 2* 2 ) e 1 d'où 1 2 Q 1 e 1 h1 A A h2 A Une analogie peut être réalisée avec la loi d'Ohm en électricité où I=U/R relative à la conduction du courant électrique. Le flux de chaleur correspond alors à l'intensité du courant traversant le circuit et la différence de température à différence de potentiel appliquée aux bornes du circuit. Les termes 1 e et sont alors appelés respectivement résistance thermique et résistance thermique hA A superficielle. On peut démontrer que dans le cas d'une plaque composée matériaux différents juxtaposés et parallèles, les résistances thermiques s'ajoutent. 2.
CONDUCTION ET CONVECTION AUTOUR D'UN CYLINDRE Le même couplage de phénomène de conduction et de convection sur le transfert thermique dans un cylindre conduit à :
QS
T0 Ta
ln r r 1 0 2L h2rL
Le flux thermique varie comme l’inverse du dénominateur de l’équation. Or la résistance thermique n’est pas directement proportionnelle au rayon r total de calorifuge.
ln r r 1 0 R 2L h2rL En dérivant par rapport à r la résistance pour un rayon rc
dR 1 1 1 2 on note la présence d’un optimum : dr 2L r hr
appellé rayon critique de calorifuge. Il ui correspond une valeur critique pour h
l’épaisseur de calorifugre ec=rc-r0. - si r0, R lorsque r ou e (les pertes thermiques diminuent lorsque l’épaisseur de calorifuge augmente) Le calorifuge devient efficace que si r>rc. Notons que si rc est inférieur à r0, l’ajout de calorifuge est toujours efficace. 30
3.
AUTRES CAS Se reporter à la lecture de la fiche transfert de chaleur de Technique de l’Ingénieur.
A.
EXERCICES a)
Ecoulement et Chauffage sur un plan incliné
b)
Calcul du coefficient h à l’aide des corrélations
c)
Calcul du coefficient h à l’aide d’une solution analytique
d)
Convection naturelle
e)
Ebullition condensation
f)
Echangeur de chaleur
IV. TRANSPORT PAR RADIATION Le mécanisme de transport de l'énergie thermique par radiation est le transport par voie électromagnétique (transport à la vitesse de la lumière). Ainsi le transport de matière entre deux corps noirs dans le vide est proportionnel à la différence de température des deux corps à la puissance 4.
A.
GENERALITES
1.
OBSERVATIONS La chaleur du soleil frappe pourtant notre planète alors qu'il n'y a aucun support solide, liquide ou gazeux au delà de l'atmosphère terrestre. Ceci signifie donc que l'énergie thermique peut tout de même traverser le vide. Ce mode de transfert s'appelle le rayonnement. Il correspond à un flux d'ondes électromagnétiques émises par tout corps, quelle que soit sa température. Comme on l'imagine, le rayonnement électromagnétique est d'autant plus élevé que sa température est grande. Comme pour la conduction, ce sont les interactions entre atomes et molécules qui sont à l'origine de ce rayonnement. Elles peuvent le générer, ce qui diminue leur énergie, ou encore l'absorber, ce qui l'augmente. De par sa nature, le rayonnement n'intervient que dans les milieux transparents (gaz, verre, vide) ou semi opaque (gaz + fumées de CO2, gaz + vapeur d'eau) ((Ph Marty, 2001)).
2.
DESCRIPTION Le rayonnement thermique est de nature électromagnétique en raison de l’agitation de la matière sous l'effet de la température. Une onde électromagnétique consiste en un champ électrique ~E, un champ magnétique ~B et un vecteur d'onde ~k, tous trois perpendiculaires. L'onde se propage dans la direction du vecteur d'onde avec une vitesse c qui varie selon le milieu qu'elle traverse. Cette vitesse vaut c = c0n où c0 est la vitesse de la lumière dans le vide et n l'indice du milieu. La fréquence d'une onde électromagnétique ne varie pas avec le milieu qu'elle traverse. Elle est liée à c par la relation :
c cT
où ν = 1/T est la fréquence de l' onde électromagnétique. On voit donc que la longueur d'onde (λ) sera fonction du milieu traversé. 31
Figure 10 :Divers rayonnements électromagnétiques classés selon leur longueur d'onde. Dans la transmission de chaleur par rayonnement, le transfert thermique s’effectue par des vibrations électromagnétiques qui se propagent en ligne droite sans aucun support de matière. Le rayonnement thermique concerne les ondes électromagnétiques dont la longueur d’onde couvre le spectre ultraviolet et le spectre infrarouge (de 0,01 à 100 μm) en passant par le spectre visible (0,38 à 0,76 μm). Le rayonnement peut être décomposé en radiations monochromatiques qui concernent une longueur d’onde déterminée. Aux températures des applications industrielles, le rayonnement est surtout constitué par de l’infrarouge. Lorsqu’un flux d’énergie rayonnée rencontre un corps, une partie de l’énergie est absorbée, une partie est réfléchie, une partie continue son trajet après avoir traversé le corps. Si toute l’énergie incidente est absorbée, le corps est appelé corps noir ou radiateur intégral (NF X 02-206). Si une partie de l’énergie est absorbée, mais que cette partie est constante quelle que soit la longueur d’onde de l’énergie incidente, on dit que l’on a affaire à un corps gris (dans le cas contraire, à un corps coloré). Si la proportion d’énergie absorbée est indépendante de l’angle d’incidence du rayonnement reçu, on dit que le corps est mat (dans le cas contraire, on dit qu’il est poli ). Si aucune énergie ne traverse le corps, on dit que ce dernier est opaque (le contraire de transparent).
Figure 11 : Définition des flux réfléchis, absorbés et transmis. on appelle : Réflectivité r : r
a t r ; Absorptivité a : a ; Transmitivité t : t i i i
La conservation de l'énergie impose : r+a+t=1 32
Ces grandeurs varient selon la valeur de λ. Ainsi le verre laisse passer les UV et est opaque aux Infra-rouges. On doit donc définir r λ, aλ, tλ qui sont les réflectivités, absorptivités et transmitivités monochromatiques. Elles dépendent aussi de la direction d'émission. N.B : C'est un corps idéal qui absorberait, s'il existait , tout rayonnement qu'il recevrait , quelle que soit sa longueur d'onde. Pour qu'un corps noir reste en équilibre thermique (sa température reste constante) il doit émettre également de l'énergie par rayonnement. Son absorptivité est donc égale à 1. L'intérêt du corps noir réside dans le fait qu'il sert de référence pour définir les propriétés radiatives d'un corps réel. Il est important de noter qu'un corps noir n'est pas forcément de couleur noire. Un corps de couleur noire est donc noir dans le visible mais peut ne pas l'être pour d'autres longueurs d'onde. On doit donc retenir qu'un corps noir absorbe tout rayonnement incident mais émet suivant une loi particulière: la loi de Stefan-Boltzman (Prof.H.Hofmann, 2007). 3.
B. 1.
APPLICATIONS _ Le rayonnement infrarouge est appliqué dans de très nombreux procédés industriels. Son action sur la matière est essentiellement thermique et les applications principales concernent : — le séchage (papiers, cartons, textiles, etc.) ; — la cuisson (teintures, apprêts, enductions...) ; — le chauffage (avant formage de matériaux divers, traitements thermiques, soudage, chauffage de postes de travail...) ; — les polymérisations (encres, revêtements, emballages...) ; — la stérilisation (flacons pharmaceutiques, produits alimentaires divers...). _ Le rayonnement ultraviolet est constitué de photons dont l’énergie est de l’ordre de grandeur de l’énergie des liaisons atomiques. Ceux-ci agissent sur la matière par déplacement des électrons vers des niveaux énergétiques supérieurs. Lorsque la matière soumise au rayonnement y est sensible, il s’y produit des réactions chimiques. La partie du rayonnement ultraviolet absorbée par la matière et qui n’est pas utilisée à la réaction chimique est transformée en chaleur. Dans la pratique, cet échauffement reste faible et le rayonnement ultraviolet est principalement utilisé dans le domaine des réticulations de films plastiques et des polymérisations de produits organiques comme les encres d’imprimerie, les laques et vernis, opérations qui sont souvent appelées improprement séchages.
PRINCIPALES PROPRIÉTÉS ÉMITTANCE L’exitance énergétique appelée autrefois émittance est la quantité d’énergie émise par une source, par unité de temps et par unité de surface de cette source, dans tout le demi-espace délimité par cette surface et s’exprime en W/m2:
Φ (en W) étant le flux thermique et A (en m2) la surface de la source. 2.
LUMINANCE ÉNERGÉTIQUE C’est le flux d’énergie émis par unité de surface, dans un angle solide Ω = 1 stéradian, normal à cette surface. elle (L) s’exprime en W/(m 2· sr). En réalité, les radiations ne peuvent être toutes normales à la surface et l’on définit un élément de surface dA. Un élément d’angle solide dΩ définit un pinceau dans lequel le flux d’énergie est dΦ. La luminance est donc :
33
quand dA et dΩ tendent vers 0. 3.
C. 1.
LOI DE LAMBERT Pour une source dont la luminance est indépendante de la direction (émission diffuse ou isotrope), l’énergie rayonnée par unité de surface dans une direction quelconque est égale à l’énergie rayonnée normalement à cette surface multipliée par le cosinus de l’angle formé par cette direction avec la normale à la surface.
LOIS DU RAYONNEMENT THERMIQUE LOI DE PLANCK L’exitance monochromatique d’un corps noir est :
avec λ longueur d’onde (en mètres), T température thermodynamique (en kelvins), h constante de Planck (= 6,626×10–34J · s),
2.
LOI DE STEFAN-BOLTZMANN Cette loi résulte de l’intégration de la formule de Planck et donne l’exitance totale du rayonnement du corps noir : M=(T/100)4 étant la constante de Stefan-Boltzmann: = 5,67010–8 W/(m2· K4)
3.
LOI DE WIEN (OU LOI DU MAXIMUM D’ÉMISSION) La formule de Planck montre que, pour chaque valeur de T, M passe par un maximum qui correspond à une longueur d’onde max telle que maxT = 0,002 896 m · K. Cette valeur maximale de l’exitance monochromatique est : Mmax = 128,7103(T/100)5 en W/m2.
34
D.
ABSORPTION DE L’ÉNERGIE RAYONNÉE
1.
LOI DE KIRCHHOFF On définit un facteur d’émission ε comme le rapport de l’exitance réelle à l’exitance du corps noir à la même température. ε est inférieur à 1 sauf pour les corps noirs. Un rayonnement qui tombe sur un corps noir est intégralement absorbé. S’il tombe sur un corps opaque non noir, il est partiellement absorbé et on définit un facteur d’absorption α comme le rapport de l’énergie absorbée à l’énergie incidente. On a α < 1 sauf pour les corps noirs. La loi de Kirchhoff établit que, pour chaque longueur d’onde et chaque direction de propagation du rayonnement émis par une surface ou incident sur celle-ci, les facteurs d’émission et les facteurs d’absorption monochromatiques directionnels sont égaux : εxλ=αxλ dans une direction x donnée et pour une longueur d’onde λ. Cette loi montre la relation étroite qui existe entre l’émission et l’absorption. Dans la plupart des applications industrielles, ces facteurs sont considérés comme une constante, pour une plage de température et un état de surface donnés, et une valeur moyenne est utilisée.
2.
LOI DE KIRCHHOFF GÉNÉRALISÉE Pour un corps commun, gris et mat, le facteur d’émission totale est égal au facteur d’absorption. Il en résulte que l’exitance d’un corps gris et mat à la température T est égale à l’exitance du corps noir à la même température multipliée par son facteur d’absorption totale. M=ασT4 ασ=σ0 coefficient de rayonnement.
E.
TRANSFERT DE CHALEUR PAR RAYONNEMENT ENTRE DEUX SURFACES
1.
FACTEUR DE FORME Considérons un échange par rayonnement entre deux surfaces quelconques A1 et A2 . Le facteur de forme FF 1→2, appelé aussi facteur d’angle, est une quantité purement géométrique qui représente la surface A2 vue d’un point de A1, ou plus généralement la fraction F1→2 du flux hémisphérique émis par A1 qui atteint A 2. La notion de facteur de forme permet d’écrire : Φ1→2=M1·A1·FF1→2 =Φ1·F1→2 De la même manière, nous aurons l’expression suivante pour la Part F2→1 de flux hémisphérique émis par A2 et qui atteint A1 : Φ2→1=M2·A2·FF2→1=Φ2·F2→1 Des expressions analytiques des facteurs de forme peuvent être données dans les cas de surface de géométrie relativement simple. Pour les cas les plus courants de géométrie complexe, il a été établi des abaques qui permettent de déterminer, par simple lecture, le Facteur de forme. Pour plus de détails, le lecteur se reportera à l’article Rayonnement thermique des matériaux opaques [A 1 520] dans le traité Génie énergétique.
A.
EXERCICES
35
a)
lecture des abaques facteurs de formes
b)
Cas pratiques (Séchoir solaire)
c)
Pertes d’energie par rayonnement
36
NOMENCLATURE f g h kB N R T u U
constante de Bolzman (1,38.10-23) nombre d’Avogrado (6,02.10+23) constante des gaz parfait (8,32) R=kB.N température vitesse locale
M.L2.T-2.K-1 atomes/moles M.L2.T-2.K-1.mol-1 K
REFERENCES BACCHIN « Cours procédés de Transfert et Interfaces » Université Paul Sabatier Toulouse, 2007. BIRD, R.B, W.E. STEWART et E. N. LIGHTFOOT, « Transport phenomena » Wiley 1960 CANDEL S., « Mécanique des fluides », Dunod Université, 1990 GUYON E., J.P. HULIN et L. PETIT, « Hydrodynamique physique », Editions du CNRS, 1991 MIDOUX N., « Mécanique et rhéologie des fluides en génie chimique » Lavoisier, 1985 PROBSTEIN. R.F. « Physicochemical hydrodynamics An introduction » Butterworths 1989 SAATDJIAN E. « Phénomènes de transport et leurs résolutions numériques » Polytechnica, 1993. VILLERMAUX J. « Génie de la réaction chimique : conception et fonctionnement des réacteurs » Lavoisier 1993.
37
ANNEXE B. 1.
RAPPEL DE STATISTIQUE DES FLUIDES GÉNÉRALITÉS Un fluide est définit comme un milieu constitué d'atomes ou de molécules sans rigidité c'est à dire déformable. Les liquides et les gaz sont des fluides. A titre d'exemple, les gaz rares sont des milieux constitués d'atomes. Tous les liquides, à l'exception du mercure sont à base de molécules. Gaz et liquide sont des fluides ayant propriétés très différentes de part leur structure atomique ou moléculaire. Un gaz est un milieu constitué d'atomes ou de molécules "diluées" alors qu'un liquide est un état condensé de la matière. Une différence importante vient alors de la distance intermoléculaire comme schématisé dans la figure suivante :
gaz
liquide
"mobilité" engendrée par le libre parcours moyen
"mobilité" engendrée par les collisions
peu d'interaction entre molécule
interaction attractive entre atome ou molécule
atome ou
masse volumique faible
masse volumique élevée
très compressible
peu compressible
viscosité faible
viscosité élevée
En mécanique du fluide, ce fluide est considéré comme un milieu continu (structure spatiale ininterrompue). A cette fin, on définit un motif élémentaire de fluide (appelé "point" ou "particule" de fluide). Ce point de fluide est infinitésimal du point de vue macroscopique (par rapport à l'échelle de l'étude) et dimension très supérieure aux distances intermoléculaires. Pour fixer les idées, la dimension d'un point est de l'ordre d'un micromètre (10 -6 m). Ce type de caractérisation est identique à celle qui est utilisée en thermodynamique. On distingue, de façon catégorique par rapport à la réalité physique, les fluides parfaits et les fluides réels (ou fluides visqueux). Pour ces derniers, les frottements entre couche de fluides (force de viscosité : définition chapitre x) qui s'opposent au glissement des couches fluides ne peuvent être négligées. Afin d'opérer cette distinction, on peut réaliser l'expérience suivante. Le milieu à considérer est placé entre deux cylindres coaxiaux. Le cylindre extérieur est mis en mouvement avec une vitesse de rotation w et on observe le cylindre intérieur. Trois cas peuvent se produire : le cylindre intérieur reste immobile w'=0. Le fluide est considéré parfait. Les forces de frottement entre couches de fluides ne permettent de transmettre le mouvement de l'extérieur vers l'intérieur. le cylindre intérieur tourne à la même vitesse que le cylindre intérieur w'=w. Le milieu présent entre les deux cylindres est un solide dont la rigidité transmet intégralement la vitesse. le cylindre intérieur tourne avec une vitesse inférieure à w'
