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Reactores Químicos

Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

CAPITULO 11 Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 11.1. INTRODUCCIÓN Como se mencionó en el Capítulo 10, cuando se llevan a cabo reacciones heterogéneas los reactivos llegan a la superficie interna del catalizador luego de atravesar dos resistencias: 1) la capa límite que rodea al catalizador y 2) la longitud del poro para llegar a todas las superficies internas del sólido. Estos procesos pueden demorar la velocidad de la reacción global. En efecto, aunque la velocidad en la superficie del catalizador sea rápida, si los procesos de transferencia de masa externos o internos son lentos, la velocidad global del proceso se verá disminuida respecto a la velocidad superficial. En primer lugar se hará una introducción a parámetros que son comúnmente usados para el modelado de reactores de lecho fijo y para la caracterización de catalizadores. En segundo lugar se estudiará el modelado de reacciones heterogéneas con presencia de frenos difusionales externos, para finalmente presentar los problemas de transferencia de masa externa.

11.2. VARIABLES USADAS PARA EL MODELADO DE REACTORES DE LECHO LECHO FIJO Y CARACTERIZACIÓN DE CATALIZADORES 11.2.1. Velocidad de Reacción Recordemos el balance de masa, por ejemplo, de un RT para reacciones homogéneas:  A dF  dV 

= r  A  

(11.1) 

La velocidad de reacción en este caso tiene unidades de mol/m 3s. Para muchas reacciones heterogéneas, la velocidad de reacción puede estar dada por: [r  A´]=mol/Kgcat s, o [r  A´´]=mol/mcat2 s, o Si queremos utilizar el balance 11.1 y las uniidades de velocidad de reacción anteriores, tenemos los siguientes dos casos:

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

11 ..1 1 

 

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dF   A dV  dF   A dW 

= r  A  ´ ρ B

o

(11.2) 

 

=

r  A´ 

donde  ρ B =densidad del lecho, Kgcat/m3reactor . W=masa de catalizador, Kgcat. dF   A dV 

= r  A´´ Sg  ρ B

(11.3) 

 

donde Sg =Area superficial del catalizador , m2cat/Kgcat.

11.2.2. Densidades y porosidades En un reactor de lecho fijo, ver Figura 11.1, existen varios tipos de densidades:

Figura 11.1. Reactor de Lecho Fijo, o Empacado

•

Densidad del lecho:  ρ B

=

Kg cat  3 mreactor 

 

(11.4) 

Esta densidad es el peso del catalizador por unidad de volumen del reactor (calculado a partir del diámetro del tubo interno). Una manera práctica de determinar esta densidad es empacar un tubo de un diámetro elegido con el catalizador, golpear las paredes para lograr

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

11 ..2  2  

 

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una cierta compactación y, por último pesar el tubo empacado. Haciendo el cociente del peso del catalizador dividido el volumen interno del tubo se establece la densidad del lecho.  lecho.  •

Densidad de la partícula:  ρ  p

=

Kg cat  3 m partícula

 

(11.5) 

Esta densidad es el peso del catalizador por unidad de volumen de la partícula, pastilla o pellet (todos estos estos sustantivos son sinónimos sinónimos para expresar expresar el sólido catalizador). catalizador). La densidad de la partícula puede determinarse por la técnica de intrusión de mercurio o adsorción de nitrógeno, dependiendo el tamaño de poros del catalizador. •

Densidad del sólido:  ρ s

=

Kg cat  3 msólido

 

(11.6) 

Como sabemos, la mayoría de los catalizadores tienen poros internos, de manera que el volumen de la pastilla no es coincidente con el volumen del sólido de la misma pastilla. Por lo tanto, la densidad del sólido representa la masa del catalizador que existen por unidad de volumen de material sólido (i.e., sin poros). Esta densidad puede determinarse por la técnica de adsorción de nitrógeno.  Afortunadamente  Afortunadame nte las densidades pueden relacionarse entre sí mediante el uso de porosidades. Sin embargo, debemos resaltar que existen dos tipos de porosidades: •

Porosidad del lecho: ε B

=

3 mvacíos 3 m reactor  3 m partícula

1 − ε B

 

(11.7) 

3 = m reactor 

La porosidad del lecho se define como el volumen vacío del reactor respecto al volumen total del mismo. La Figura 11.2 ilustra en la zona gris el volumen de vacíos del lecho.

Figura 11.2. La zona gris representa el volumen de vacíos del lecho

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

11 ..3 3 

 

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Para reactores del lecho fijo empacados con esferas la porosidad del lecho puede calcularse en función de la siguiente correlación empírica: ε B

 (d t  d  p − 2 )2    = 0 .38 + 0 .073 1 + 2   (d t  d  p ) 

(11.8) 

dondedt=diámetro interno del tubo, m dp=diámetro de la esfera de catalizador, diámetro de partícula, m •

Porosidad de la partícula: ε  p

=

3 mvacíos 3 m partícula

1 − ε  p

=

3 msólido 3 m partícula

 

(11.9) 

La porosidad de la partícula se define como el volumen vacíos de la partícula respecto al volumen total de la misma. La Figura 11.3 muestra en la zona gris el volumen de vacíos de la partícula.

Figura 11.3. La zona gris oscura representa el volumen de vacíos de la partícula.

La porosidad de la partícula también puede calcularse si se conoce el volumen de vacíos por unidad de masa del catalizador y la densidad de la partícula: ε P  = V g    ρ  p  

(11.10)

donde: 3 V gg =es =   es el volumen de vacíos por unidad de masa del catalizador, mvacíos Kg cat   

•

Relaciones entre densidades y porosidades porosidades:: De acuerdo a las definiciones anteriores, surgen las siguientes relaciones entre

densidades y porosidades: porosidades:

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11 ..4 4 

 

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 ρ B

= (1 −  ε B )ρ P  =

 ρ P  = (1 − ε P )ρ s

=

3 m partícula

Kg cat 

3 3 mreactor  m partícula 3 msólido

Kg cat 

3 3 m partícula msólido

=

=

Kg cat  3 mreactor 

Kg cat  3 m partícula

 

 

(11.11)

(11.12) 

11.2.3. Area externa de catalizador Cuando estudiemos problemas de difusión externa, los procesos de transporte de masa ocurrirán en la capa límite que rodea al catalizador. En algunas correlaciones utilizaremos el área externa del catalizador por unidad de volumen de reactor. Esta área puede expresarse, para un catalizador esférico, como sigue:

ac  =

2  π d  p2  m partícula 3 4π d  p3 m partícula

 

(1 − ε B )

3 m partícula   3 mreactor 

2 

=

6 (1 − ε B ) m partícula   d  p m3

(11.13) 

reactor 

3 x 8 

11.2.4. Area superficial El área externa del catalizador por unidad de volumen del reactor (ac) no debe confundirse con el área superficial de un catalizador (S g). El área superficial de un catalizador, computa el área externa y también todo el área superficial interna disponible en los poros. Sg es mucho más grande que ac, y puede determinarse experimentalmente en ensayos de adsorción de nitrógeno.

11.2.5. Reformador de gas natural En las Figuras 11.4 y 11.5 se muestran detalles de un reformador de gas natural similar al existente en la planta de Profertil S:A., tecnología TOPSOE.

Figura 11.4b. Vista frontal del Reformador Primario 

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

11 ..5  5  

 

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Figura 11.4a. Vista lateral del Reformador Primario

Figura 11.5. Catalizador de níquel utilizado en el Reformador Primario. TOPSOE  

11.3. RESISTENCIAS ALTRANSPORTE DE MASA 11.3.1. Introducción En la Figura 11.6 se presenta un esquema de la pastilla de catalizador donde se señalan los nombres de las variables que se utilizarán para modelar problemas con resistencias a la transferencia de masa. Poros

C Ab

C Ai

C As

SENO DE LA FASE GAS

CAPA LÍMITE PARTÍCULA Figura 11.6. Esquema de una pastilla de catalizador e indicación de las variables a utilizar para modelar reactores con problemas de transferencia de masa. 

3   C  Ab= Concentración de la especie A en el seno de la fase, mol  A mgas 3   C  As= Concentración de la especie A en la superficie externa del catalizador, mol  A mgas 3   C  Ai = Concentración de la especie A en los poros del catalizador, mol  A mgas

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11 ..6  6  

 

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11.3.2. Gradientes de concentración Si existen problemas para transportar masa desde el seno de la fase gas al interior de los catalizadores, significa que se observarán gradientes de concentración en los lugares donde hay una resistencia al transporte de masa. La Figura 11.7 muestra los gradientes de concentración de un reactivo que se esperaría tener si existen resistencia al transporte de masa tanto en la capa límite (resistencias al transporte externo) como dentro de los poros (resistencias al transporte interno). La concentración dentro de los poros varía con la distancia radial de la partícula. Poros

C Ab

C Ai C As

SENO DE LA FASE GAS

CAPA LÍMITE

C Ab C As

PA PARTÍCULA RTÍCULA

C Ai  

Figura 11.7. Gradientes de masa esperados cuando las resistencias al transporte de masa externas e internas son importantes

Poros

C Ab

C Ai C As

SENO DE LA FASE GAS

CAPA LÍMITE PARTÍCULA

C Ab

C Ai

C As= C Ab  

Figura 11.8. Gradientes de masa esperados cuando la resistencia al transporte de masa interno es importante y importante  y la resistencia al transporte externo es despreciable  despreciable 

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11 ..7  7  

 

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La Figura 11.8 presenta los gradientes de concentración de un reactivo que se esperaría tener si existen resistencia al transporte de masa interno es importante y si los problemas asociados a la difusión externa son despreciables. Como puede observarse, en este caso la concentración en la superficie es idéntica a la del seno del fluido.

C Ab

Poros

C Ai C As

SENO DE LA FASE GAS

CAPA LÍMITE PARTÍCULA

C Ab C Ai=C As C As  

Figura 11.9. Gradientes de masa esperados cuando la resistencia al transporte de masa externo es importante y importante  y la resistencia al transporte interno es despreciable.

La Figura 11.9 muestra los perfiles de concentración de un reactivo en el caso que la resistencia al transporte interno sea despreciable y a su vez la resistencia a la transferencia de masa externa sea de importancia. En este caso particular se verifica que la concentración dentro de los poros es idéntica a la que se encuentra en la superficie del catalizador. Si las resistencias al transporte no son importantes ni en la capa límite ni dentro del poro, los gradientes de concentración esperados se presentan en la Figura 11.10. En este caso la concentración en el seno del fluido es idéntica a la de la superficie del catalizador, e igual a la presente dentro de los poros. El sistema opera con un único valor de concentración, siendo este el caso que veníamos modelando hasta el presente. Por último cabe aclarar que algunos catalizadores no son porosos, el material activo sólo se encuentra depositado en la capa externa. En estos casos particulares, sólo pueden presentarse en el proceso problemas de transporte de masa en la capa límite. En todos los casos las concentraciones de las especies en la superficie y dentro de los poros no pueden ser medidas, por lo tanto se ha estudiado la manera de relacionar dichas concentraciones con la de la fase gas, la cual es la única que puede ser medida experimentalmente.

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

11 ..8  8  

 

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Poros

C Ab

C Ai C As

SENO DE LA FASE GAS

CAPA LÍMITE PARTÍCULA

C Ab=C Ai=C As   Figura 11.10. Gradientes de masa esperados cuando la las s resistencia al transporte de masa externo e interno son despreciables.

11.4. DIFUSIÓN INTERNA 11.4.1. TRANSPORTE DE MASA 11.4.1.1. Balance de masa en los poros (dentro de la partícula) partícula) En la Figura 11.11 se muestra el esquema de una partícula de catalizador esférica, donde se indican las variables que utilizaremos en el BM.

C Ai C As

r  r+∆r  r 

 

Figura 11.11. Esquema de la partícula para el planteo del BM den dentro tro de los poros poros  

Si planteamos el BM para un elemento elemento de un volumen de control en esférico resulta:

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11 ..9 9 

 

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´   ρ     p 4π r 2 ∆r  = 0   N  A r  − N  A r + ∆r  + r  A

(11.14)

donde N A representa un flujo molar debido a la difusión de las especies, mol A  A/s. Si dividimos por el delta radio de pastilla y aplicamos el límite, resulta:*  dN  A

+ r  A´  ρ     p 4π r 2  = 0  

dr 

(11.15)

donde N A puede expresarse mediante la Ley de Fick como sigue: N  A  A

= −De

dC  A dr 

 

(11.16)

donde: 2  .   A =  4π r 2  = área de partícula, m partícula

De

3 = Difusividad efectiva (ya se verá más adelante su definición), m g  m partícula s .

C  A

3 .  = Concentración de la especie A, mol  A m g 

Reemplazando la ecuación (11.16) en la (11.15), resulta:  A  d  −  − 4π r 2 De dC    dr       

dr 

+ r  A´  ρ  p 4π r 2  = 0  

d 2 C  A dr 2 

+

2  dC  A  r  dr 

+

´  r  A ρ  p

De

(11.17)

= 0  

(11.18)

Si la velocidad de reacción esta expresada en términos de unidad de área de catalizador, recordar de multiplicar el término de generación de A además por el área superficial!!! Si la velocidad de reacción puede ser expresada mediante una cinética del Ley de la potencia, la ecuación tiene solución analítica. Sustituyendo la velocidad de reacción por este tipo de cinética en la ecuación (11.18) resulta: d 2 C  A dr 2 

+

2  dC  A  r  dr 

−

n ρ  p kC  A

De

= 0  

(11.19)

Las condiciones de borde para la resolución de esta ecuación son: r  = 0  C  A

= Valor  finito   r  = R  C  A = C  A s

(11.20)

Consideremos la siguiente definición de variables adimensionales: adimensionales:

4

*

  dV esfera

=

2 

2 

  dr  = 4π r  dr    3 π 3 r 

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11 ..10  10  

 

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*  C  A

r * 

C  A

= =

C  As r 

 

(11.21)

R 

Reemplazando estas variables en la ecuación (11.19) resulta: d 2 C *   A

dr * 2 

*  2  dC 

R 2 kC n −1 ρ  p

*  − + r *  dr  A

De

* n C  A

 As

= 0  

(11.22)

Si al factor que acompaña a la concentración adimensional elevada a la n se denomina φ 2 , la ecuación (11.22) se convierte en: *  d 2 C  A * 2 

*  2  dC  A   r *  dr * 

+

dr 

− φ 2 C  A* n = 0  

(11.23)

El parámetro φ  es  es muy importante y se denomina Módulo de Thiele: φ  = R 

n −1 kC  As  ρ  p

De

 

(11.24)

En la ecuación (11.23) se considera que la constante de velocidad de reacción es la ´

), de que acompaña a una velocidad expresada por unidad de masa de catalizador 3n n −1 manera que las unidades de k son: mgas mol  A Kg cat s . Si la velocidad de reacción es la (r  A

basada por unidad de área de catalizador (r  A´´), el módulo de Thiele es: φ  = R 

n −1 kSg C  As  ρ  p

De

 

(11.25)

3n n −1 2  Para este último caso unidades de k son: m gas mol  A m particula s . Es muy

importante chequear que el módulo de Thiele quede ADIMENSIONAL!!.  El parámetro φ   relaciona la velocidad de reacción en la superficie (valor máximo posible de reacción) con respecto a la velocidad de difusión. 2 

φ 

=

n ρ  p R  kS g C  As

De (C  AS

− 0 ) /  R 

 

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

(11.26)

11 ..11 11 

 

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Si el módulo de Thiele es grande (alta velocidad de reacción o bajo coeficiente de difusión) indica que el proceso será  controlado por la difusión interna (el transporte de masa es mas lento que la reacción química). Si el módulo de Thiele es chico (baja velocidad de reacción o alto coeficiente de difusión) indica que el proceso será  controlado

por la reacción química (el transporte de masa es más rápido que la reacción química). En este último caso se desprecian las resistencias a la transferencia de masa.

11.4.1.2.

Resolución del Balance de de masa en los poros (dentro de la

partícula) Se debe resolver la ecuación (11.23) junto con las condiciones de borde que se listan a continuación. En particular si el orden de reacción es 1, el sistema que se debe resolver es: *  d 2 C  A * 2 

dr 

+

*  2  dC  A   * 

− φ 2 C  A* n = 0  

* 

(11.27)

r  dr  r * 

= 0  C  A*  = valor  finito

r * 

= 1 C  A*  = 1

 

(11.28)

En estas condiciones la solución analítica es (recordemos (recordemos que C A en el poro es C Ai): *  C  A

=

C  Ai  C  As

=

( )

 senh φ  r *   *  r   senh(φ ) 1

(11.29)

 



1 0.9 0.8 0.7     s      A

0.6

      C       / 0.5      A

      C

0.4

φ=10

0.3

φ=0.1

0.2

φ=1

0.1 0 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

r*

 

Figura 11.12. Perfiles de la concentración de reactivo en la coordenada ra radio dio del catalizador para di distintos stintos valores de módulo de Thiele.  Thiele. 

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

11 ..12  12  

 

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Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

La Figura 11.12 muestra los perfiles de concentración del reactivo en función de la coordenada radial adimensional del catalizador, para diferentes valores de módulo de Thiele. Como puede observarse, cuando el módulo de Thiele es muy bajo la concentración dentro del poro es prácticamente igual a la de la superficie y por lo tanto se puede despreciar las resistencias de transporte internas. Por el contrario cuando el módulo de Thiele es alto los gradientes de concentración son muy importantes y no pueden ser despreciados (resistencias (resistencias al transporte interno muy importantes!!).

11.4.1.3. Definición y cálculo del factor de efectividad ( ) Como se observa en la Figura 11.12 o bien en la ecuación (11.29) la concentración del reactivo C  Ai  varía punto a punto dentro de la pastilla del catalizador, consecuentemente la velocidad de reacción también varía en la coordenada radial de la partícula. El factor de efectividad es un parámetro que relaciona la velocidad promedio de reacción dentro de la pastilla del catalizador con la velocidad de reacción en la superficie

η  =

Velocidad  promedio int erna   Velocidad sin freno difusional evaluada en la sup erficie ( C  As ,T s )

(11.30)

En otros términos el factor de efectividad es: W  p

η  =

(   )

´  ∫ r  Ai  C  Ai ,T i  dW  p  / W  p

0 

´  r  As ( C  As ,T s )

 

(11.31)

Para una reacción de primer orden: R 

2 

∫ kC  Ai 4π r   ρ  p dr 

− η  =

0 

4 3  p 3 π R   ρ 

− kC  As

 

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

(11.32)

11 ..13 13 

 

Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

Reactores Químicos

Reemplazando la concentración de reactivos dentro de los poros resulta (ecuación 11.29): R 

∫ k (T i )C  As

η  = 0 

R   senh(φ  r  R )  2   r  dr     r   senh(φ )  3

k ( T s )C  As

 

(11.33)

R  3

Si la pastilla opera isotérmicamente (Ti=Ts) resulta: R 

η  =

∫ r  senh(φ  r  R )dr  3 0    senh(φ ) R 2 

(11.34)

Integrando la ecuación 11.34, se obtiene la siguiente ecuación para el factor de efectividad, la cual es válida para una reacción de primer orden, pastilla isotérmica y

catalizador esférico: η  =

3 2 

φ 

(φ   coth φ  − 1)  

(11.35)

Significa entonces que la velocidad promedio dentro de la pastilla puede expresarde como sigue: ´  = r  Ai 

W   p

(   )

´  ´  ∫ r  Ai  C  Ai ,T i  dW  p  / W  p = η r  As  

(11.36) 

0 

En el balance de masa del reactor, si los frenos difusionales externos son

depreciables  resulta que r  As´  es igual a la r  Ab´, por lo tanto donde figura la velocidad de reacción en el BM del reactor, debe aparecer aparecer el factor de efectividad como sigue: dF   A dV 

= η r  A´ (C  As ) ρ B = η r  A´ (C  Ab ) ρ B  

(11.37) 

Como el factor de efectividad para un proceso isotérmico siempre es menor

que uno, indica que los problemas de transferencia de masa interna conducirán a velocidades de reacción globales menores. De modo que si quiero obtener igual conversión, un proceso limitado por la transferencia de masa interna requerirá un reactor más grande que el usado en un caso de resistencias al transporte despreciables. Volvamos al factor de efectividad dado por la ecuación 11.35, la Figura 11.13 muestra la dependencia del factor con el valor del modulo de Thiele. Es importante notar que el módulo de Thiele se evalua en las condiciones de la superficie del catalizador (C As  y TS ), que en ausencia de frenos difusionales externos son iguales a las variables en el seno del fluido, por lo tanto son variables fácilmente medibles. medibles.

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

11 ..14 14 

 

Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

Reactores Químicos

1

 ,    d   a    d    i   v    i    t   c   e    f   e   e    d   r   o    t   c   a    F

0.1 0. 0001

0 0..001

0.01

0.1

1

10

100

Módulo de Thiele, φ

 

Figura 11.13: Factor de efectividad, para un catalizador esférico, reacción de primer orden e isotérmica, en función del módulo d de e Thiele. Thiele.  

La Figura 11.13 indica que cuando el módulo de Thiele es muy bajo, el factor de efectividad es aproximadamente 1, por lo tanto el sistema está controlado por la reacción química (los gradientes de concentración en el interior del poro son despreciables: i.e. C Ai=C AS). Por otra parte cuando φ es muy grande, el factor de efectividad es muy bajo y las resistencias internas al transporte de masa controlan el proceso. Como el módulo de

Thiele es directamente proporcional al radio de la pastilla, resulta claro que la disminución del tamaño de los catalizadores permite aumentar el factor de efectividad. Si la geometría de los catalizadores es diferente a la esférica, los módulos de Thiele y factores de efectividad poseen expresiones diferentes. Para una velocidad de reacción de

primer orden expresada por unidad de masa del catalizador, el módulo de Thiele se define del siguiene modo según sea la forma del catalizador:

Geometría Planar

Cilíndrica

Esférica

Módulo de Thiele φ  = L

φ  = R 

φ  = R 

k   ρ  p

Factor de Efectividad η=tanh(φ)/φ 

 

De  ρ  p k 

De k   ρ  p De

 

 

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

η=2/φ Ι1(φ)/Ι0(φ) 

η  =

3 φ 2 

(φ   coth φ  − 1)  

11 ..15  15  

 

Reactores Químicos

Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

donde: L: es la mitad del espesor de una placa plana R: es el radio del cilindro o radio de la esfera Cuando φ→ 0; η → 1  para todas las geometrías, en cambio si  φ→ ∞  se verifica que para : •

Placas planas: η →1/φ  2/φ Cilindros:η → 2/φ

•

Esferas: η→ 3/φ 3/φ 

•

 A modo de ejemplo la Figura 11.14 muestra los factores de efectividad para una esfera y placa plana en función del modulo de Thiele, como allí puede obervarse las curvas dependen del tipo de geometría del catalizador.

Figura 11.14: Factor de de efectividad para esferas esferas y placa plana en función del módulo de Thiel Thiele. e.  

Para independizarse del tipo de geometría, Aris (Introduction to the analysis of chemical reactors, 1965) introdujo una generalización que conduce al mismo gráfico de η  vs φ para las tres geometrías discutidas. Para ello redefinió los módulos de Thiele y factor de efectividad como sigue:  A modo de ejemplo la Figura 11.14 muestra los factores de efectividad para una esfera y placa plana en función del módulo de Thiele, como allí puede observarse las curvas dependen del tipo de geometría del catalizador.

Capítulo 11– Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

11 ..16  16  

 

Reactores Químicos

Geometría Planar

Transferencia de masa en procesos con reacciones heterogéneas 

Módulo de Thiele

Factor de Efectividad

modificado

generalizado

φ  = L

Cilíndrica

φ  =

φ  =

 

η=1/φ Ι1(2φ)/Ι0(2φ) 

De

R    k ρ  p 3

η=tanh(φ)/φ   

De

R    k ρ  p 2 

Esférica

k   ρ  p

De

 

η  =

1 2 

3φ 

(3 φ coth 3φ  − 1)  

Con la generalización realizada, cuando φ→ 0; η → 1,   en cambio si φ→ ∞; η→1/φ          para todas las geometrías. La Figura 11.15 muestra que con la nueva definición del módulo de Thiele, todas las fórmulas de factor de efectividad conducen a una única curva.

Figura 11.15: Factor de efectividad efectividad generaliz generalizado ado en función del módulo de Thie Thiele. le.

Como reglas generales generales puede puede decirse, para para cualquier tipo de geometría, geometría, que si 

φ> 5 hay fuerte control difusional interno y el factor de efectividad puede ser aproximado a η ∼1/φ. En cambio  si  φ