Transferencia de Calor

TRANSFERENCIA DE CALOR GUÍA DE CLASE

NÉSTOR GOODING GARAVITO

TRANSFERENCIA DE CALOR

TRANSFERENCIA DE CALOR

CONTIENE : FUNDAMENTOS TEORICOS 94 PROBLEMAS RESUELTOS 264 PROBLEMAS PROPUESTOS

NESTOR GOODING GARAVITO INGENIERO QUIMICO PROFESOR ASOCIADO FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

SEGUNDA EDICION 2008

TABLA DE CONTENIDO CAPITULO 1 - INTRODUCCION

1

Conducción – Convección – Radiación – Problemas resueltos – Problemas Propuestos.

CAPITULO 2 - CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL

11

Ecuación básica de energía – Placa plana – Sistemas radiales – Conducción con conductividad térmica variable – Condiciones de contorno con convección – Coeficiente global de transferencia de calor – Espesor crítico de aislamiento – Sistemas con generación de calor – Transferencia de calor desde aletas – Problemas resueltos – Problemas propuestos.

CAPITULO 3 - CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL

39

Solución analítica – Solución gráfica – Análisis numérico – Analogía eléctrica para la conducción bidimensional – Problemas resueltos – Problemas propuestos.

CAPITULO 4 - CONDUCCION NO ESTACIONARIA

65

Sistemas de capacidad térmica global – Números de Biot y Fourier – Flujo de calor transitorio en un sólido semi-infinito – Condiciones de contorno convectivas – Soluciones gráficas (Diagramas de Heisler) – Sistemas multidimensionales – Análisis numérico – Problemas resueltos – Problemas propuestos.

CAPITULO 5 - CONVECCION FORZADA

109

Capa límite hidrodinámica – Capa límite hidrodinámica y laminar en una superficie plana isotérmica – Capa límite térmica – Número de Nusselt y coeficiente de transferencia de calor – Analogía entre la transferencia de calor y la fricción – Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento – Procedimiento de cálculo en convección forzada para flujo sobre placas planas – Flujo por el interior de tubos – Flujo a través de conductos no circulares – Flujo transversal a cilindros – Flujo a través de haces

de tubos – Relaciones empíricas para convección forzada – Problemas resueltos - Problemas propuestos. CAPITULO 6 - CONVECCION NATURAL

151

Ecuaciones para la convección natural en una placa plana vertical – Parámetros adimensionales – Coeficiente local de transferencia de calor – Coeficiente medio de transferencia de calor – Relaciones empíricas para convección natural – Ecuaciones simplificadas para el aire – Problemas resueltos – Problemas propuestos. CAPITULO 7 - CONDENSACION Y EBULLICION

173

Condensación – Tubos verticales – Tubos horizontales – Condensación en película turbulenta - Ebullición – Ebullición en recipientes – Relaciones simplificadas para el agua – Problemas resueltos – Problemas propuestos.

CAPITULO 8 - INTERCAMBIADORES DE CALOR

191

Tipos de intercambiadores de calor – Coeficiente global de transferencia de calor – Temperatura media logarítmica – Método del NTU–Rendimiento Factor de suciedad – Problemas resueltos – Problemas propuestos.

CAPITULO 9 - RADIACION

229

Propiedades y definiciones – Radiación del cuerpo negro – Superficies reales y cuerpo gris – Intercambio de calor entre cuerpos negros (factor de forma) – Intercambio de calor entre cuerpos grises – Pantallas de radiación – Problemas resueltos – Problemas propuestos.

TABLAS

BIBLIOGRAFIA

271

CAPITULO 1

INTRODUCCION El área de la ingeniería conocida como ciencia térmica incluye la termodinámica y la transferencia de calor. El papel de la transferencia de calor es complementar la termodinámica, la cual considera sólo sistemas en equilibrio, con leyes adicionales que contemplan la rapidez con que se transfiere dicha energía. Estas leyes están basadas en las tres formas fundamentales de transferencia de calor, comunmente llamadas conducción, convección y radiación.

1.1 CONDUCCION Un gradiente de temperaturas dentro de una sustancia homogénea, da como resultado una transferencia de energía, que según la termodinámica, debe efectuarse desde la región de alta temperatura hasta la región de baja temperatura. Se dice que la energía se ha transferido por conducción y que el flujo de calor es proporcional al gradiente normal de temperatura. Dicho flujo de calor puede ser calculado por la expresión: ∂T q = - k A ⎯⎯ ∂x donde q es el flujo de calor, (∂T/∂x) es el gradiente de temperaturas en la dirección normal al área A. La constante positiva k se llama conductividad térmica del material y se coloca el signo menos para satisfacer el segundo principio de la termodinámica, es decir, que el calor debe fluir en el sentido de las temperaturas decrecientes. La ecuación anterior se denomina ley de Fourier y las unidades de k son vatio por metro y por grado Celsius en un sistema de unidades en el que el flujo de calor se expresa en vatios. Si el perfil de temperaturas dentro del medio es lineal (ver figura), es posible reemplazar el gradiente (derivada parcial) por:

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ΔT T2 – T1 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ Δx x2 – x1

T

T1

T2

x1

x2

x

La linealidad anterior siempre existe en un medio homogéneo de conductividad térmica constante y con transferencia de calor en estado estacionario. La transferencia de calor en estado estacionario ocurre cuando la temperatura de cada punto dentro del cuerpo, incluyendo las superficies, es independiente del tiempo. Si la temperatura cambia con el tiempo (τ), la energía se está almacenando o removiendo desde el cuerpo. Este flujo de energía es: ∂T qalmacenada = m cP ⎯⎯⎯ ∂τ donde la masa m es el producto del volumen V y la densidad ρ.

1.2 CONVECCION Cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido y si las temperaturas del fluido y del sólido son diferentes, habrá transferencia de calor entre el fluido y la superficie sólida debido al movimiento relativo entre el fluido y la superficie, a este mecanismo de transferencia de calor se le denomina convección. Se dice que existe convección forzada si el movimiento es inducido

CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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artificialmente, bomba o ventilador que impulse el fluido sobre la superficie. Se dice que existe convección libre (o natural) si el movimiento del fluido es ocasionado por fuerzas de empuje debidas a diferencias de densidad causadas por diferencias de temperatura en el fluido. Si la temperatura del fluido es T∞ y la temperatura de la superficie del sólido es Ts el calor transferido por unidad de tiempo está dado por: q = h A (Ts - T∞) La ecuación anterior es conocida como la ley de Newton del enfriamiento, donde A es el área de la superficie y h se denomina coeficiente de transferencia de calor por convección. Las unidades de h son vatio por m2 y por grado Celsius, cuando el flujo de calor se expresa en vatios. La determinación de este coeficiente se hace analíticamente, pero en situaciones complejas debe hacerse experimentalmente. Es importante notar que el intercambio fundamental de energía en el límite sólido-fluido es por conducción y que dicha energía es llevada por convección a través del fluido. Por comparación de las ecuaciones para conducción y convección puede obtenerse:

h A (Ts - T∞) = - k A (∂T/∂y) y=0 donde el sub-índice en el gradiente de temperaturas indica su evaluación para y=0.

1.3 RADIACION La transferencia de calor por conducción y por convección requieren de un medio material para la propagación de la energía. Sin embargo, el calor puede propagarse en el vacío absoluto mediante el mecanismo de radiación. A una temperatura dada, todos los cuerpos emiten radiación en forma de energía electromagnética en diferentes longitudes de onda, siendo la radiación dependiente de la temperatura absoluta del cuerpo y de sus características superficiales. Evidencias experimentales indican que la transferencia de calor por radiación es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. La ley de Stefan-Boltzmann es: q = σ A T4

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donde T es la temperatura absoluta. La constante σ es independiente de la superficie, medio y temperatura, se denomina constante de Stefan-Boltzmann y su valor es 5,669 x 10-8 W/m2 K4. El emisor ideal o cuerpo negro, es aquel cuya energía radiante está dada por la ecuación anterior. Todas las demás superficies emiten algo menos de ésta cantidad de energía y la emisión térmica de muchas superficies (cuerpos grises) puede representarse por: q = ε σ A T4 donde ε es la emisividad de la superficie, que relaciona la radiación de la superficie “gris” con la de la superficie ideal negra, su valor esta en un intervalo de 0 a 1. La radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura absoluta T1 hacia una envolvente a temperatura T2 que lo rodea completamente y la cual se comporta también como cuerpo negro, puede evaluarse mediante la expresión: q = σ A1 (T14 – T24) Por otra parte, la radiación emitida por un cuerpo gris a una temperatura T1 hacia la misma envolvente a temperatura T2, puede calcularse ahora mediante la expresión: q = ε1 σ A1 (T14 – T24) Si se considera la radiación entre dos cuerpos grises a temperaturas absolutas T1 y T2 respectivamente, el flujo neto de energía radiante entre ellos puede calcularse mediante la expresión: q = σ F A1 (T14 – T24) donde F es una función que depende de las emisividades de ambos cuerpos y de la fracción de energía radiante emitida por el cuerpo 1 que es interceptada por el cuerpo 2.

CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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PROBLEMAS RESUELTOS 1.1 Determinar el flujo de calor transferido por unidad de área a través de un bloque homogéneo de 4 cm de espesor con sus dos caras mantenidas a temperaturas uniformes de 40ºC y 20ºC. La conductividad térmica del material es 0.1903 W/m oC. W (20 – 40) oC W q T2 – T1 ⎯ = - k ⎯⎯⎯⎯ = - 0.1903 ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 95.15 ⎯⎯⎯ m oC 0.04 m2 A x2 – x1 1.2 Una cara de una placa de cobre ( k = 370 W/m oC ) de 3 cm de espesor se mantiene a 450ºC y la otra cara se mantiene a 80ºC. ¿Qué cantidad de calor se transfiere a través de la placa? q ΔT (80 – 450) MW ⎯ = -k ⎯⎯ = - 370 ⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.56 ⎯⎯⎯ A Δx 0.03 m2 1.3 El coeficiente de transferencia de calor por convección forzada para un fluido caliente que circula sobre una superficie fría es 226.8 W/m2 oC. La temperatura del fluido es 120ºC y la superficie está a 10ºC. Determinar el flujo de calor transferido por unidad de área desde el fluido hasta la superficie.

q W W ⎯ = h (T∞ - Ts) = 226.8 ⎯⎯⎯ x (120 – 10) oC = 24948 ⎯⎯ m2 A m2 oC 1.4 Sobre una placa caliente de 60 x 90 cm que se mantiene a 280ºC pasa aire a 18ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 25 W/m2 o C. Calcular el flujo de calor transferido. q = h A (Ts - T∞) = 25 W/m2 oC x (0.6 x 0.9) m2 x (280 – 18) oC = 3.537 kW 1.5 Una corriente eléctrica pasa por un hilo de 1 mm de diámetro y 15 cm de largo. El hilo se encuentra sumergido en agua líquida a la presión atmosférica y se incrementa la corriente interior hasta que el agua hierve. Si h = 5000 W/m2 oC y la temperatura del agua es 100ºC. ¿Cuánta potencia eléctrica se debe suministrar al hilo para mantener su superficie a 118ºC?

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El área superficial del hilo será: A = π D L = π (0.001) (0.15) = 4.71 x 10-4 m2 q = h A (Ts - T∞) = 5000 W/m2 oC x 4.71 x 10-4 m2 x (118 – 100) oC = 42.39 W 1.6 Luego de una puesta del sol, la energía radiante puede ser percibida por una persona parada cerca de una pared de ladrillo. Tales paredes con frecuencia tienen una temperatura en su superficie de 44ºC y el valor de la emisividad del ladrillo es del orden de 0.92. ¿Cuál podría ser el flujo de radiación térmica por m2 desde la pared de ladrillo?

q W W ⎯ = ε σ T4 = 0.92 x 5,669 x 10-8 ⎯⎯⎯ x (44+273)4 k4 = 526.6 ⎯⎯ m2 A m2 k4 1.7 Dos placas infinitas a 800oC y 300oC intercambian calor por radiación. Calcular el calor transferido por unidad de área.

q W kW ⎯ = σ (T14 – T24) = 5,669 x 10-8 ⎯⎯⎯ x (10734 – 5734) k4 = 69.03 ⎯⎯ m2 A m2 K4

1.8 Un termopar de 0.8 mm de diámetro se emplea para medir la temperatura del aire en un horno eléctrico. La lectura del termopar es de 150ºC. Se sabe, sin embargo, que el flujo de calor por radiación que recibe el termopar de la pared del horno es igual a 0.001 W/cm de longitud. El coeficiente de transferencia de calor en el termopar es igual a 5 W/m2 oC. Estimar la temperatura correcta del aire en el horno.

q W W ⎯ = h π D (Ts - T∞) = 0.001 ⎯⎯ = 0.1 ⎯⎯ L cm m

CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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q/L 0.1 W/m T∞ = Taire = Ts - ⎯⎯⎯ = 150ºC - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ πDh π (0.8/1000) m x 5 W/m2 T∞ = 150 – 7.95 = 142oC 1.9 En el problema 1.4, si la placa tiene 3 cm de espesor y una conductividad térmica de 40 W/m oC y suponiendo que se pierden por radiación desde la placa 300 W, calcular la temperatura interior de la placa. qconducción = qconvección + qradiación ΔT - k A ⎯⎯ = 3.537 + 0.3 = 3.837 kW Δx 3.837 ΔX 3.837 X 0.03 ΔT = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = - 5.33 oC -kA - 40 x (0.6 x 0.9) La temperatura en el interior de la placa será: 280 + 5.33 = 285.33 oC

1.10

Una tubería horizontal de acero que tiene un diámetro de 5 cm se mantiene a una temperatura de 60ºC en un salón grande donde el aire y las paredes están a 20ºC. La emisividad de la superficie de la tubería de acero puede tomarse como 0.8. El coeficiente de transferencia de calor, en convección natural puede tomarse como h = 6.5 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor de la tubería por unidad de longitud.

Por metro de longitud de tubería: A = π D L = π x 0.05 x 1 = 0.157 m2 qconv = h A (Ts - T∞) = 6.5 W/m2 oC x 0.157 m2 x (60 – 20) oC = 40.82 W El calor transferido por radiación será: qrad = ε1 A1 σ (T14 – T24) = 0.8 x 0.157 m2 x 5,669 x 10-8 W/m2 k4 x (3334 – 2934)

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qrad = 35.07 W La pérdida total de calor por metro de longitud será: qtotal = qconv + qrad = 40.82 + 35.07 = 75.89 W

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.11 Una pared plana de 15 cm de espesor, hecha de material homogéneo con k = 0.4325 W/m oC tiene temperaturas estables y uniformes de 71ºC y 21ºC. Determinar el flujo de calor transferido por m2 de área superficial.

1.12 Si por conducción se transfieren 3 kW a través de un material aislante de 1 m2 de sección recta, 2.5 cm de espesor y cuya conductividad térmica puede tomarse igual a 0.2 W/m oC, calcular la diferencia de temperaturas entre las caras del material. 1.13 En una capa de fibra de vidrio de 13 cm de espesor se impone una diferencia de temperaturas de 85ºC. La conductividad térmica de la fibra de vidrio es 0.035 W/m oC. Calcular el calor transferido a través del material por hora y por unidad de área. 1.14 Un cilindro de 30 cm de alto está hecho de aluminio. El diámetro es 7.5 cm. La superficie inferior se mantiene a 90ºC y la superior a 540ºC. La superficie lateral está aislada. ¿Cuál es el flujo de calor en vatios? La conductividad térmica del aluminio puede suponerse 215 W/m oC. 1.15 Las temperaturas de las caras de una pared plana de 15 cm de espesor son 370ºC y 93ºC. La pared está construida de vidrio con una conductividad térmica de 0.78 W/m oC. ¿Cuál es el flujo de calor a través de la pared? 1.16 Un material superaislante cuya conductividad térmica es 2 x 10-4 W/m oC se utiliza para aislar un depósito de nitrógeno líquido que se mantiene a – 196ºC; para evaporar 1 kg de nitrógeno a esa temperatura se necesitan 199 kJ. Suponiendo que el depósito es una esfera que tiene un diámetro interior de 0.61 m, estimar la cantidad de nitrógeno evaporado por día

CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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para un espesor de aislante de 2.5 cm y una temperatura ambiente de 21ºC. Suponer que la temperatura exterior del aislante es 21ºC. 1.17 Una capa de 5 cm de asbesto, poco compacta, está colocada entre dos placas a 100ºC y 200ºC. Calcular el calor transferido a través de la capa. La conductividad térmica del asbesto es 0.149 W/m oC. 1.18 Un aislante tiene una conductividad térmica de 10 W/m oC. ¿Qué espesor será necesario para que haya una caída de temperatura de 500ºC para un flujo de calor de 400 W/m2? 1.19 Considere el cárter de un automóvil. Este tiene aproximadamente 75 cm de longitud, 30 cm de ancho y 10 cm de profundidad. Suponiendo que la temperatura de la superficie del cárter es de 80ºC cuando el vehículo se desplaza a 100 km/h y que el coeficiente de transferencia de calor es igual a 82 W/m2 oC, determine el calor disipado. Desprecie la radiación y use para las superficies del frente y de atrás el mismo coeficiente de transferencia de calor que para el fondo y los lados. La temperatura del aire ambiente es 30ºC. 1.20

Un oleoducto de 50 cm de diámetro transporta, en el Ártico, petróleo a 30ºC y está expuesto a una temperatura ambiente de – 20ºC. Un aislante especial de polvo de 5 cm de espesor y de conductividad térmica 7 mW/m oC cubre la superficie del oleoducto. El coeficiente de convección en el exterior del oleoducto es 12 W/m2 oC. Calcular la pérdida de energía del oleoducto por unidad de longitud.

1.21 Aire es forzado a fluir a través de un intercambiador de calor convectivo. El coeficiente de transferencia de calor es 1134 W/m2 oC. La temperatura de la superficie del intercambiador puede considerarse constante a 65oC y la del aire es 18oC. Determinar el área superficial del intercambiador para un flujo de calor de 8.78 kW. 1.22 Una tubería desnuda que transporta vapor húmedo a una presión absoluta de 1 MPa se localiza en una habitación cuya temperatura ambiente es 20ºC. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el tubo y el ambiente es de 10 W/m2 oC, calcular las pérdidas de calor por metro de longitud. El diámetro es igual a 10 cm. 1.23 Una placa cuadrada vertical de 30 x 30 cm que está fría se expone al vapor de agua a una presión de 1 atm de modo que se condensan 3.78 kg/h. Calcular la temperatura de la placa. Se pueden consultar las tablas de vapor de agua para las propiedades que se requieran.

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 10 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1.24 Una de las caras de una pared plana se mantiene a 100ºC mientras que la otra se expone al ambiente que está a 10ºC, siendo h = 10 W/m2 oC el coeficiente de convección. La pared tiene una conductividad térmica k= 1.6 W/m oC y un espesor de 40 cm. Calcular el flujo de calor a través de la pared. 1.25 Dos superficies perfectamente negras están dispuestas de tal manera que toda la energía radiante que sale de una de ellas, que se encuentra a 800ºC, es interceptada por la otra. La temperatura de esta ultima superficie se mantiene a 250ºC. Calcular la transferencia de calor entre las superficies, por hora y por unidad de área de la superficie que se mantiene a 800ºC. 1.26 Dos planos paralelos y muy grandes, cuyas condiciones superficiales se aproximan a las de un cuerpo negro, se mantienen a 1100oC y 425ºC, respectivamente. Calcular el calor transferido entre los planos por unidad de tiempo y por unidad de área. 1.27 Un pequeño calentador radiante tiene tiras de metal de 6 mm de ancho con una longitud total de 3 m. La emisividad de la superficie de las tiras es 0.85.¿A qué temperatura habrá que calentar las tiras si tienen que disipar 1600 W de calor a una habitación a 25ºC? 1.28 Calcular la energía emitida por un cuerpo negro a 1000ºC. 1.29 Si el flujo radiante del sol es 350 W/m2, ¿cuál sería su temperatura equivalente de cuerpo negro? 1.30 Una esfera de 4 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 150ºC y se coloca en una habitación muy grande que se encuentra a 20ºC. Calcular la pérdida de calor por radiación si la emisividad de la superficie de la esfera es 0.65.

CAPITULO 2

CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL 2.1 ECUACION BASICA DE ENERGIA La ecuación básica para un sistema tridimensional con generación interna de energía y variación de la temperatura con el tiempo es: ∂2T ∂2T q* 1 ∂T ∂2T ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯ = ⎯ ⎯⎯ ∂x2 ∂y2 ∂z2 k α ∂τ donde: α = difusividad térmica = k / ρ c q* = energía generada por unidad de volumen y por unidad de tiempo τ = tiempo ρ = densidad c = calor específico del material

Para flujo unidimensional, estacionario y sin generación interna de calor se tiene: (∂2T/∂y2) = 0 ; (∂2T/∂z2) = 0 luego: (d2T/dx2) = 0 constante.

: (∂T/∂τ) = 0 ; (q*/k) = 0

que es la misma ecuación de Fourier cuando q es

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2.2 PLACA PLANA El problema más simple de transferencia de calor es la conducción unidimensional en estado estacionario a través de una placa plana de material homogéneo, cuya conductividad térmica es constante y cuyas temperaturas en ambas caras son uniformes. Ver figura. A partir de la ley de Fourier: kA T2 – T1 q = - k A ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ (T1 – T2) Δx x2 – x1

T1

q /A

T2

Δx x1

x2

o también: diferencia de potencial térmico T1 – T2 q = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δx / kA resistencia térmica Nótese que la resistencia al flujo de calor es directamente proporcional al espesor del material, inversamente proporcional a la conductividad térmica del material e inversamente proporcional al área normal a la dirección de la transferencia de calor.

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Estos conceptos pueden extenderse al caso de una pared plana compuesta como se aprecia en la siguiente figura:

q

a b

1

2

3

En estado estacionario el flujo de calor transferido que entra por la cara izquierda es el mismo que sale por la cara derecha, por tanto:

T1 – T2 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δxa/kaA

y

T2 – T3 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δxb/kbA

T1 – T3 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (Δxa/kaA) + (Δxb/kbA) Las ecuaciones anteriores ilustran la analogía entre la transferencia de calor por conducción y el flujo de corriente eléctrica o de manera similar entre la ley de Fourier y la ley de Ohm. Puede ser conveniente expresar la ley de Fourier asÍ:

diferencia global de temperaturas flujo de calor por conducción = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ suma de las resistencias térmicas La extensión de las ecuaciones anteriores para tres o más paredes es obvia.

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2.3 SISTEMAS RADIALES La siguiente figura muestra un cilindro hueco de una sola capa compuesta de un material homogéneo de conductividad térmica constante y temperaturas uniformes interna y externa. Para un radio dado (r) el área normal para un flujo de calor radial por conducción es 2πrL, donde L es la longitud del cilindro. Sustituyendo lo anterior en la ecuación de Fourier e integrando para q constante:

T2

r1

r1

T1 r2

a

T3

T2

T1

r2 r3

b

q r2 T2 – T1 = - ⎯⎯⎯ ln ⎯⎯ 2πk L r1 o también, 2πkL (T1 – T2) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln (r2/r1) A partir de la ecuación anterior, la resistencia térmica de una capa cilíndrica simple es [ln(r2/r1)] /2πkL. Para un cilindro con dos capas (ver figura) el flujo de calor transferido está dado por:

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2πL (T1 – T3) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 r3 1 r2 ⎯ ln ⎯ + ⎯ ln ⎯ kb r2 ka r1 La ecuación anterior puede extenderse a tres o más capas. Para transferencia de calor por conducción radial en una pared esférica el área para un radio (r) está dada por 4πr2. Sustituyendo en la ley de Fourier e integrando con q constante:

4πk (T1 – T2) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 1 ⎯ - ⎯ r2 r1 A partir de la ecuación anterior, la resistencia térmica de una capa esférica simple es [(1/r1) – (1/r2)] / 4πk. Para un sistema multicapas esféricas la resistencia total es la suma de las resistencias individuales de cada capa.

2.4 CONDUCCION CON CONDUCTIVIDAD TERMICA VARIABLE La conductividad térmica de un metal puede representarse generalmente en un amplio intervalo de temperaturas por: k = ko (1 + bθ + cθ2) donde θ = T – Tref

y ko es la conductividad a la temperatura de referencia Tref.

Para la mayoría de las aplicaciones en ingeniería el intervalo de temperaturas es relativamente pequeño y la conductividad puede tomarse como: k = ko ( 1 + bθ)

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Se demuestra que las ecuaciones de transferencia de calor para placas planas y sistemas radiales son: T1 – T2 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δx / km A 2πkm L (T1 – T2) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln (r2/r1) donde km es la conductividad térmica evaluada a la temperatura media de la pared.

2.5 CONDICIONES DE CONTORNO CON CONVECCION Para la transferencia de calor por convección: (Ts - T∞) qconv = h A (Ts - T∞) = ⎯⎯⎯⎯⎯ 1/ h A donde el término 1/hA es la resistencia a la transferencia de calor por convección.

2.6 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR Para la pared plana de la figura en contacto con un fluido caliente A por una cara y con un fluido más frío B por la otra cara. La transferencia de calor se expresa por:

kA q = h1A(TA – T1) = ⎯⎯ (T1 – T2) = h2A(T2 – TB) Δx

CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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TA Fluido A T1 q

h2 T2

h1

Fluido B

TB

La transferencia de calor global se calcula como el cociente entre la diferencia total de temperaturas y la suma de las resistencias térmicas.

TA – TB q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1/h1A) + (Δx/kA) + (1/h2A)

La transferencia de calor global que combina la conducción y la convección se expresa con frecuencia en función de un coeficiente global U, definido por la relación: q = U A ΔTglobal luego el coeficiente global será:

1 U = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1/h1) + (Δx/k) + (1/h2) Para el esquema de un cilindro hueco con contorno convectivo:

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Fluido B

Fluido A

1

2

TA – TB q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 1 ln(re/ri) ⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯ hiAi 2πk L heAe Los términos Ai y Ae representan las áreas de las caras interna y externa del tubo interior.

2.7 ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO Considerando una capa de aislamiento instalada alrededor de una tubería circular:

h

ri

T∞

Ti re

CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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La temperatura interna del aislante es Ti y la temperatura externa está expuesta a un entorno T∞ . La transferencia de calor será:

2πL (Ti - T∞) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 ln(re/ri) ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ k reh Para determinar el radio exterior de aislamiento re que hace máxima la transferencia de calor se debe cumplir que (dq/dre) = 0 , lo que conduce a la relación: re = k/h. Si el radio exterior es menor que el valor dado por esta relación, la transferencia de calor aumentará al añadir más aislante.

2.8 SISTEMAS CON GENERACION DE CALOR Tienen aplicación en conductores eléctricos para calentamiento, generación de calor en reactores nucleares y en sistemas químicamente reactivos.

PAREDES PLANAS

Se considera la pared plana con generación interna de calor mostrada en la figura:

Suponiendo conductividad térmica constante y dimensiones muy grandes en las direcciones y, x, el gradiente de temperatura es sólo significativo en la dirección x, y el flujo puede considerarse unidimensional. La ecuación del balance de energía es: 2 q* dT ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 dx2 k

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(a)

(b)

Para la figura (a) se fijan las siguientes condiciones de contorno: T = T1 para x = 0

y

T = T2

para

x = 2L

Integrando doblemente la ecuación anterior respecto a x se tiene: q* T = - ⎯⎯ x2 + C1 x + C2 2k Utilizando las condiciones de contorno dadas: q* L T2 – T1 C1 = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ 2L k

C2 = T1

Reemplazando los valores de las constantes en la ecuación integrada: ⎡ T − T1 q * (2 L − x ) ⎤⎥ x + T1 + T=⎢ 2 2k ⎣ 2L ⎦

el flujo de calor dependerá de la localización de x. Para el caso más sencillo como el de la figura (b), x=L

y

T1 = T2 = Ts

CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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Se tiene: To =

q * L2 + Ts 2k

Ts = temperatura en la superficie ; To = temperatura en el centro de la pared Diferenciando la ecuación anterior respecto a x, dT q* L ⎯⎯ = ⎯⎯⎯ dx k Introduciendo la expresión anterior en la ley de Fourier q = - q* A L El signo menos indica que el calor se transfiere en sentido contrario a la coordenada x, para x = 2L sería el mismo valor pero positivo. El producto AL es la mitad del volumen de la placa.

CILINDRO La ecuación del balance de energía será ahora: 2 q* dT ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 k dr2

Considerando como condiciones de contorno: T = Ts

para

r=R

y

dT/dx = 0 para

Se demuestra que T − Ts =

R2 q * ⎡ ⎢1 − 4k ⎢ ⎣

To = Ts +

2 ⎛r ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ R ⎠ ⎦⎥

q *R2 4k

r=0

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To = temperatura para r = 0 (centro del cilindro)

2.9 TRANSFERENCIA DE CALOR DESDE ALETAS Las superficies extendidas o aletas son utilizadas para incrementar la efectividad del área superficial en la transferencia de calor por conducciónconvección en intercambiadores de calor, máquinas de combustión interna, equipo electrónico, etc.

ALETAS RECTANGULARES Haciendo referencia a la figura, se realiza un balance de energía en un elemento de espesor dx de aleta, así: Energía que entra por la cara izquierda

=

Energía que sale por la cara derecha

Energía perdida por convección

+

qconv t

A → q’2

q’1 →

Z

Δx

L x

El anterior balance de energía conduce a la siguiente ecuación: d2θ ⎯⎯ - m2 θ = 0 dx2

CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Donde: h = coeficiente de convección,

θ = T - T∞ ,

m=

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hP / kA

La solución general de la ecuación diferencial anterior es: θ(x) = C1 e mx + C2 e -mx Una condición de contorno es: x = 0 , θ(x) = θ0 = T0 - T∞ = C1 + C2 Una segunda condición de contorno: x = ∞ , θ(∞) = C1 (∞) + (C2/∞) → C1 = 0 → C2 = θ0 Reemplazando en la ecuación general: [ θ(x) / θ0 ] = e - mx Esta ecuación indica la distribución de temperaturas en la aleta. La transferencia de calor a través de la aleta puede ahora calcularse tomando el flujo de calor por conducción que llega a la base de la aleta: q = - kA (dT/dx)x=0 = - kA (dθ/dx)x=0 Para el caso presente de una aleta rectangular de longitud infinita se tiene: q = k A m θ0 Dos casos que pueden presentarse son también los siguientes:

Aleta de longitud finita con extremo aislado. cosh [m (L – x) ] Distribución de temperaturas: θ/θ0 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL Calor transferido: q = k A m θ0 [tanh (mL)]

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Aleta de longitud finita con pérdida de calor por convección en el extremo. Distribución de temperaturas: cosh [m (L – x) + (h/mk) senh [m (L – x)] ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL + (h/mk) senh mL Calor transferido: senh mL + (h/mk) cosh mL q = k A m θ0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL + (h/mk) senh mL

EFICIENCIA DE ALETAS El propósito fundamental de las aletas es incrementar la efectividad del área superficial de transferencia de calor que está expuesta a un fluido en un intercambiador. El comportamiento de las aletas se expresa en términos de su eficiencia ηa que no es otra cosa que la razón entre la transferencia de calor de aleta a la transferencia de calor que existiría sin la aleta o:

calor real transferido ηa = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ calor transferido si toda la aleta está a la temperatura base Como ejemplo para una aleta de sección transversal uniforme y extremo aislado la eficiencia sería:

hPkA θ0 tanh mL tanh mL ηa = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ mL hPLθ0

CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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PROBLEMAS RESUELTOS 2.1 Un horno industrial está construido de un ladrillo refractario de 20 cm de espesor con k = 1.038 W/m oC. El horno está recubierto de una superficie externa de 3 cm de espesor de material aislante con k = 0.07 W/m oC. La superficie interior está a 980ºC y la superficie exterior está a 38ºC. Calcular el calor transferido por m2 de superficie. Considerando las dos capas como a y b: 980 – 38 W q T1 -T3 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1516 ⎯⎯ Δxb 0.20 0.03 m2 A Δxa ⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ka kb 1.038 0.07 2.2 Con frecuencia en ingeniería el problema es la determinación del espesor de un aislamiento que se necesita para un flujo especificado de calor. Si en el problema 2.1 el máximo flujo de calor se establece en 1000 W/m2, la pared de ladrillo se mantiene y se utiliza el mismo material aislante, ¿cuál debe ser el espesor de este material?

980 – 38 q T1 – T3 ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1000 A Δxa Δxb 0.20 Δxb ⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ kb 1.038 0.07 ka Resolviendo: Δxb = 0.052 m = 5.2 cm

2.3 Una pared está formada por tres capas así: 0.5 cm de placa de aluminio, 0.25 cm de una capa de asbesto y 2 cm de un material aislante. El asbesto es la capa central. La superficie externa de aluminio está a 500ºC y el material interno aislante está a 50ºC. Determinar el flujo de calor por unidad de área. Las conductividades térmicas son: kAl = 268.08 W/m oC, kasb = 0.166 W/m oC, kaisl = 0.0548 W/m oC.

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q 500 – 50 ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1184 W/m2 A 0.005 0.025 0.02 ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ 268.08 0.166 0.0548 2.4 Una pared exterior de una casa se puede aproximar a una capa de 10.16 cm de ladrillo corriente (k = 0.7 W/m oC) seguida de una capa de 3.81 cm de yeso (k = 0.48 W/m oC). ¿Qué espesor aislante de lana de roca (k = 0.065 W/moC) debería añadirse para reducir en un 80% la pérdida de calor a través de la pared? Sin aislamiento: q ΔT ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A ΔxL Δxy ⎯⎯ + ⎯⎯ ky kL Con aislamiento: q ΔT ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δxy Δxaisl A ΔxL ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ ky kaisl kL (q/A)sin a. – (q/A)con a. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.8 (q/A)sin a. (q/A)con a. 1 - ⎯⎯⎯⎯ = 0.8 (q/A)sin a. (q/A)con a. ⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.2 (q/A)sin a.

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(0.1016/0.7) + (0.0381/0.48) 0.2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (0.1016/0.7) + (0.0381/0.45) + (Δxaisl/0.065) Δxaisl = 0.058 = 5.8 cm 2.5 Un tubo de paredes gruesas de acero inoxidable (k = 19 W/m oC) de 2 cm de diámetro interior (Di) y 4 cm de diámetro exterior (DE), se cubre con una capa de 3 cm de aislante de asbesto (k = 0.2 W/m oC). Si la temperatura de la pared interna del conducto se mantiene a 600 oC, calcular la pérdida de calor por metro de longitud. La temperatura exterior es 100ºC. Calcular también la temperatura de la interfaz tubo-aislante.

2π (600 – 100) q 2π (T1 – T3) ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 680 W/m ln(r3/r2) ln(2) ln(5/2) L ln(r2/r1) ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯ + ⎯⎯⎯ kaisl ka 19 0.2 Utilizando este flujo de calor, se calcula la temperatura de la interfaz entre la pared del tubo y el aislante. q 2π (T2 – T3) ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 680 W/m L ln(r3/r2)/k T2 = 595.8 oC 2.6 Una pared de cobre (k = 375 W/m oC) de 1 cm de espesor, la cual está expuesta por una de sus superficies a vapor de agua condensándose (h = 10000 W/m2 oC) a una temperatura de 200ºC. La otra superficie está en contacto con aire ambiente (h = 5 W/m2 oC) a una temperatura de 25ºC. Calcular el calor transferido por unidad de área a través de la placa, y las temperaturas de ambas superficies. 200 – 25 q T1 – T2 ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 874.45 W/m2 A 1 Δx 1 1 0.01 1 ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ k h2 10000 375 5 h1

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Puesto que el calor transferido por convección del vapor a la placa es igual al calor por conducción a través de ésta y a su vez al calor por convección de la placa al aire. (q/A) = h1(T∞ - T1) ⇒ T1 = T∞ - (q/A)/h1 T1 = 200 - (874.45/10000) = 199.91oC (q/A) = h2(T2 - T∞) ⇒ T2 = T∞ + (q/A)/h2 T2 = 25 + (874.45/5) = 199.89oC 2.7 Una pared de ladrillo de 30 cm de espesor se utiliza en un edificio. En un día de invierno las siguientes temperaturas fueron medidas: temperatura interior del aire, Ti = 21ºC; temperatura exterior del aire, To = - 10ºC; temperatura de la superficie interna, T1 = 13ºC; temperatura de la superficie externa, T2 = - 7ºC. Utilizando k = 1.31 W/m oC, determinar los valores promedio de los coeficientes de transferencia de calor hi y ho. Para la pared de ladrillo: (q/A) = - k(ΔT/Δx) = - 1.31 (- 7 – 13)/0.3 = 87.23 W/m2 (q/A) = 87.33 = h1(21 – 13) ⇒ hi = 10.91 W/m2 oC (q/A) = 87.33 = ho[ - 7 – (- 10)] ⇒ ho = 29.11 W/m2 oC 2.8 Por el interior de un tubo de 2.5 cm de diámetro interior circula agua a 50ºC de modo que hi = 3500 W/m2 oC. El tubo tiene una pared de 0.8 mm de espesor, con una conductividad térmica de 16 W/m oC. El exterior del tubo pierde calor por convección natural con h = 7.6 W/m2 oC. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor y la pérdida de calor por unidad de longitud hacia el aire circundante, que está a 20ºC. Se calculan las correspondientes resistencias térmicas. 1 1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00364 oC/W (3500) (π) (0.025) (1) hi Ai

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ln(Do/Di) ln (0.0266/0.025) ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00062 oC/W 2πkL 2π(16)(1) 1 1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.575 oC/W (7.6) (π) (0.0266) (1) ho Ao La resistencia exterior a la transferencia de calor por convección es la mayor y en consecuencia controla la transferencia total de calor. El coeficiente global de transferencia de calor se basará en el área exterior del tubo y por lo tanto: q = (ΔT/ΣR) = U Ao ΔT 1 1 Uo = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ao (ΣR) [(π) (0.0266) (1)] [(0.003364) + (0.00062) + (1.575)] Uo = 7.577 W/m2 oC Observar que el valor es muy próximo al valor de ho = 7.6 q = U Ao ΔT = (7.577) (π) (0.0266) (1) (50 – 20) = 19 W (por m de longitud) 2.9 Calcular el espesor crítico de aislamiento para el asbesto (k = 0.17 W/moC) que rodea a una tubería y se halla expuesto al aire de una habitación a 20ºC con h = 3 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor desde una tubería a 200ºC, de 5 cm de diámetro, cuando se cubre de aislante con el radio crítico y sin aislamiento. re = (k/h) = 0.17/3 = 0.0567 m = 5.67 cm El radio interior del aislamiento es 5/2 = 2.5 cm 2π (200 – 20) 2πL (Ti - T∞) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 105.77 W/m 1 ln(5.67/2.5) 1 ln(ro/ri) ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ k reh 0.17 (0.0567) (3) Sin aislamiento, la convección desde la superficie exterior de la tubería es:

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(q/L) = (h) (2π) r (Ti – To) = (3) (2π)(Ti – To) = (3) (2π) (0.025) (200 – 20) (q/L) = 84.8 W/m Luego la adición de 3.17 cm de aislamiento, lo que está haciendo es aumentar la transferencia de calor en 105.73 – 84.8 = 20.93 W/m

2.10

Para una placa plana con generación uniforme de calor se tiene los siguientes datos: k = 200 W/m oC, q* = 40 MW/m3, T1 = 160ºC (x=0) , T2 = 100ºC (x=2L), espesor de la placa 2 cm. Determinar: (a) T como una función de x. (b) q/A en la cara izquierda. (c) q/A en la cara derecha. (d) q/A en el centro de la placa.

a) ⎡ T − T1 q * (2 L − x ) ⎤⎥ x + T1 T=⎢ 2 + 2 L 2 k ⎣ ⎦ ⎡ 100 − 160 ( 4 x 10 7 ) (0.02 − x ) ⎤ 3 5 2 T=⎢ + ⎥ x + 160 = 160 − 10 x − 10 x 2 (200) ⎥⎦ ⎢⎣ 0.02

T en oC

y

x en m

b) Se calcula dT/dx en x = 0 y se reemplaza en la ecuación de Fourier. (dT/dx) = - 103 – (2) (105) x (dT/dx) x=0 = - 103 (q/A) = - k (dT/dx) = - (200) (-103) = + 200 kW/m2 El signo + significa que el calor fluye hacia el interior de la cara izquierda. c) Se calcula dT/dx en x = 2L y se reemplaza en la ecuación de Fourier (dT/dx)2L = - 103 – 2 (105) (0.02) = - 5 (103) (q/A)2L = - k (dT/dx) = - (200) (- 5 x 103) = 1 MW El balance de energía en la placa es

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(q/A)x=2L = (q/A)x=0 + (q* x volumen /A) el cual puede ser utilizado para chequear los resultados. d) (dT/dx)x=L = - 103 – 2 (105) (0.01) = - 3 x 103 (q/A)x=L = - (200 (- 3 x 103) = + 600 kW/m2 2.11

Una corriente de 200 amperios pasa a través de un hilo de acero inoxidable (k = 19 W/m oC) de 3 mm de diámetro. La resistividad del acero puede tomarse como 70 μΩ.cm y la longitud del hilo es 1 m. Se sumerge el hilo en un líquido a 110ºC siendo el coeficiente de transferencia de calor por convección de 4 kW/m2 oC. Calcular la temperatura en el centro del hilo y el calor generado por unidad de volumen.

La potencia generada en el interior del hilo se disipa por convección hacia el líquido. P = I2R = q = hA(Ts - T∞) La resistencia del hilo es: R = ρ (L/A) = 70 x 10-6 [100/(π) (0.15)2] = 0.099 Ω donde ρ es la resistividad del hilo. El área superficial del hilo es πDL, luego: (200)2(0.099) = (4000) (π) (0.003) (1) (TP – 110) = 3960 W TP = 215oC El calor generado por unidad de volumen será: P 3960 q* = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 560.2 MW/m3 (π) (0.015)2(1) πr2L

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La temperatura en el centro del hilo será: (5.602 x 108) (0.015)2 q* ro2 To = ⎯⎯⎯ + TP = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 215 = 231.6 oC 4k (4) (19)

2.12

Una superficie extendida de sección transversal rectangular tiene las siguientes dimensiones: longitud 3.5 cm, ancho 3.0 cm y espesor 0.2 cm. Si la aleta es de aluminio (k = 205 W/m oC), el coeficiente promedio de transferencia de calor es 600 W/m2 oC, la temperatura en la base es igual a 135ºC y la temperatura del aire ambiente es 40ºC, calcular el calor disipado por la aleta. Considere longitud finita y desprecie el flujo de calor en el extremo de la aleta. q = hPkA (To - T∞) Tanh mL A = (0.03) (0.002) = 6 x 10-5 m2 (2) (A) (2 ) (6 x 10-5) m2 (P/A) ≈ (2/t) ⇒ P = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.06 m t 0.002 m m = 2h / kt = (2)(600) /(205)(0.002 ) = 54.1 m-1 L = 0.035

Reemplazando: q=

(600)(0.06)(205)(6x10 −5 (135 – 40) [tanh (54.1 x 0.035)]

q = 60.21 W

PROBLEMAS PROPUESTOS 2.13 Una pared de concreto (k = 1 W/m oC) de 10 cm de espesor tiene sus superficies a 80oC y 20ºC, respectivamente. Calcular el flujo de calor por unidad de área a través de la pared.

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2.14 Se va a construir una pared de 2 cm de espesor con un material que tiene una conductividad térmica media de 1.3 W/m oC. Se aisla la pared con un material que tiene una conductividad térmica media de 0.35 W/m oC de modo que la pérdida de calor por m2 no supere los 1830 W. Suponiendo que las temperaturas de las superficies interna y externa de la pared aislada son 1300ºC y 30ºC, calcular el espesor de aislante necesario. 2.15 Una pared compuesta está formada por una placa de cobre de 2.5 cm, una capa de asbesto de 3.2 mm y una capa de 5 cm de fibra de vidrio. La pared está sometida a una diferencia de temperaturas total de 560ºC. Calcular el flujo de calor por unidad de área a través de la estructura compuesta. 2.16 Encontrar la transferencia de calor por unidad de área, a través de la pared compuesta esquematizada. Suponer flujo unidimensional.

B C

A T1 = 370oC

T2 = 66oC

D

2.5 cm

7.5 cm

5.0 cm

Se tienen además los siguientes datos: kA = 150 W/m oC, kB = 30, kC = 50, kD = 70, AB = AD , AC = 0.1 m2. 2.17 Una cara de un bloque de 5 cm de espesor se mantiene a 260ºC. La otra cara está cubierta con una capa de fibra de vidrio de 2.5 cm de espesor. El exterior de la fibra de vidrio se mantiene a 38ºC, y el flujo total de calor a través del conjunto cobre-fibra de vidrio es 44 kW. ¿Cuál es el área del bloque? 2.18 Una pared exterior de un edificio consiste en una capa de 10 cm de ladrillo corriente y una capa de 2.5 cm de fibra de vidrio (k = 0.05 W/m oC). Calcular el flujo de calor a través de la pared para una diferencia de temperaturas de 45ºC. 2.19 Una cara de un bloque de cobre de 4 cm de espesor se mantiene a 175ºC. La otra cara está cubierta con una capa de fibra de vidrio de 1.5 cm de

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espesor. El exterior de la fibra de vidrio se mantiene a 80ºC, y el flujo total de calor a través del bloque compuesto es 300 kW. ¿Cuál es el área del bloque? 2.20 Un material determinado tiene un espesor de 30 cm y una conductividad térmica de 0.04 W/m oC. En un instante dado la distribución de temperaturas en función de x, distancia desde la cara izquierda, es T = 150 x2 – 30 x, donde x está en metros. Calcular el flujo de calor por unidad de área en x=0 y x=30 cm. ¿Se está enfriando o calentando el sólido? 2.21 Una pared está construida con 2 cm de cobre, 3 mm de lámina de asbesto (k = 0.166 W/m oC) y 6 cm de fibra de vidrio. Calcular el flujo de calor por unidad de área para una diferencia de temperaturas total de 500ºC. 2.22 Una pared está construida con una chapa de 4 mm de espesor de acero inoxidable (k = 16 W/m oC) con capas plásticas idénticas a ambos lados del acero. El coeficiente de transferencia de calor global, considerando convección a ambos lados del plástico es 120 W/m2 oC. Si la diferencia total de temperaturas a través del conjunto es 60ºC, calcular la diferencia de temperaturas a través del acero inoxidable. 2.23 Un depósito esférico, de 1 m de diámetro, se mantiene a una temperatura de 120ºC y está expuesto a un ambiente convectivo con h=25 W/m2 oC y T∞ = 15ºC, ¿qué espesor de espuma de Styrofoam habría que añadir para asegurarse que la temperatura externa del aislante no sobrepase los 40ºC? ¿Qué tanto por ciento de reducción de pérdida de calor se obtiene al instalar este aislante? 2.24 Una pared de concreto de 15 cm de espesor, tiene una conductividad térmica k = 0.865 W/m oC y está expuesta al aire a 20ºC por una cara y a aire a –7ºC por la cara opuesta. Los coeficientes de transferencia de calor son hI = 11.34 w/m2 oC sobre la cara de 20ºC y ho = 56.7 W/m2 oC sobre la cara de –7ºC. Determinar el flujo de calor transferido y la temperatura superficial de las dos caras. 2.25 La pared de un horno de una estufa está constituida por dos placas de acero delgadas, con aislante de fibra de vidrio (k = 0.035 W/m oC) en el interior de ellas. La temperatura máxima de operación del horno puede suponerse 250ºC, mientras la temperatura ambiente de la cocina es 35ºC. Calcular el espesor de aislante que deben tener las paredes para evitar que la temperatura en la superficie exterior no exceda de 60ºC. El coeficiente de transferencia de calor para convección en ambas superficies puede suponerse 10 W/m2 oC.

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2.26 La pared de una casa se puede aproximar a dos capas de 1.2 cm de plancha de fibra aislante, una capa de 8 cm de asbesto poco compacta, y una capa de 10 cm de ladrillo corriente. Suponiendo coeficientes de transferencia de calor por convección de 15 W/m2 oC en ambas caras de la pared, calcular el coeficiente global de transferencia de calor de este conjunto. 2.27 Una tubería de acero de 7.62 cm de diámetro exterior está recubierta con una capa de asbesto de 1.25 cm, la cual a su vez está recubierta con 5 cm de lana de vidrio. Determinar: a) El flujo de calor por metro de longitud. b) La temperatura de la interfaz entre el asbesto y la lana de vidrio, si la temperatura exterior de la tubería es 205ºC y la temperatura exterior de la lana de vidrio es 35ºC. 2.28 Una tubería de acero de 5 cm de diámetro exterior (DE) está recubierta por un aislamiento de 6.4 mm de asbesto (k = 0.166 W/m oC), seguido de una capa de 2.5 cm de fibra de vidrio (k = 0.048 W/m oC). La temperatura de la pared de la tubería es 315ºC, y la temperatura del exterior del aislamiento es 38ºC. Calcular la temperatura de la interfaz entre el asbesto y la fibra de vidrio. 2.29 Una tubería de vapor caliente con una temperatura superficial interna de 250ºC tiene un diámetro interior de 8 cm y un espesor de pared de 5.5 mm. Ésta está recubierta de una capa de 9 cm de un aislante que tiene k = 0.5 W/m oC, seguida de una capa de 4 cm de aislante que tiene k = 0.25 W/m oC. La temperatura exterior del aislamiento es 20ºC. Calcular la pérdida de calor por metro longitudinal. Suponer k = 47 W/m oC para la tubería. 2.30 Una tubería está recubierta con asbesto (k = 0.208 W/m oC). El coeficiente externo de transferencia de calor es 8.5 W/m2 oC. Si Ti = 120ºC y To = 20ºC, construya un gráfico de (q/L) W/m en función del radio ri haciendo variar ri desde 1.25 cm hasta 3.8 cm. Analizar el gráfico respecto al radio crítico de aislamiento. 2.31 Una pared plana de 6 cm de espesor genera internamente un calor de 0.3 MW/m3. Una cara de la pared está aislada, y la otra cara está expuesta a un entorno a 93ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la pared y el entorno es 570 W/m2 oC. La conductividad térmica de la pared es 21 W/m oC. Calcular la temperatura máxima de la pared. 2.32 En una varilla cuadrada de cobre de 2.5 cm, se genera un calor de 35.3 MW/m3. La varilla está expuesta a un entorno convectivo a 20ºC, y el

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coeficiente de transferencia de calor es 4000 W/m2 oC. Calcular la temperatura superficial de la varilla. 2.33 Una placa de 3 cm de espesor genera uniformemente un calor de 5 x 105 W/m3. Una cara de la placa se mantiene a 200ºC y la otra cara a 50ºC. Calcular la temperatura en el centro de la placa para k = 20 W/m oC. 2.34 En una placa de acero inoxidable cuyo k = 20 W/m oC, se genera calor de manera uniforme. El espesor de la placa es 1 cm y la generación de calor es 500 MW/m3. Si las dos caras de la placa se mantienen a 100ºC y 200ºC, respectivamente, calcular la temperatura en el centro de la placa. 2.35 Una placa con un espesor de 4 mm tiene una generación interna de calor de 200 MW/m3 y una conductividad térmica de 25 W/m oC. Una cara de la placa está aislada y la otra cara se mantiene a 100ºC. Calcular la temperatura máxima de la placa. 2.36 El alambre de un calentador de resistencia eléctrica tiene un diámetro de 2.03 mm. La resistividad eléctrica es 80 x 10-6 Ω.cm y la conductividad térmica es 19.03 W/m oC. Para una corriente eléctrica de 150 amperios que pasa por el alambre, determinar la elevación de temperatura desde la superficie del alambre hasta su centro. 2.37 Un cable de 30 cm de largo de acero inoxidable y 3.2 mm de diámetro, se somete a un voltaje de 10 voltios. La temperatura de la cara externa del cable se mantiene a 93ºC. Calcular la temperatura del centro del cable. Tomar la resistividad del cable como 70 μΩ.cm y la conductividad térmica como 22.5 W/m oC. 2.38 Un cable eléctrico de una aleación de aluminio tiene k = 190 W/m oC, un diámetro de 30 mm, y transporta una corriente eléctrica de 230 amperios. La resistividad del cable es 2.9 μΩ.cm, y la temperatura de la superficie exterior del cable es 180ºC. Calcular la temperatura máxima dentro del cable si el aire ambiente está a 15ºC. 2.39 El exterior de un hilo de cobre de 2 mm de diámetro está expuesto a un entorno convectivo con h = 5000 W/m2 oC y T∞ = 100ºC. ¿Qué corriente debe pasar a través del hilo para que la temperatura en el centro sea de 150ºC? La resistividad del cobre es 1.67 μΩ.cm. 2.40 Un tubo hueco que tiene 2.5 cm de diámetro interior y una pared de 0.4 mm de espesor está expuesto a un entorno con h = 100 W/m2 oC y T∞ = 40ºC. ¿Qué generación de calor por unidad de volumen dentro del tubo

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originará una temperatura máxima del tubo de 250ºC para k = 24 W/m o C? 2.41

Por el interior de una tubería de aluminio de 2.5 cm de diámetro interior (DI) circula agua. El espesor de la pared es 2 mm, y el coeficiente de convección en el interior es 500 W/m2 oC. El coeficiente de convección en el exterior es 12 W/m2oC. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor.

2.42 Una esfera de acero inoxidable (k = 16 W/m oC) que tiene un diámetro de 4 cm está expuesta a un ambiente convectivo a 20ºC, h = 15 W/m2 oC. Dentro de la esfera se genera un calor uniforme de 1.0 MW/m3. Calcular la temperatura en el centro de la esfera. 2.43 Una aleta recta rectangular de 2 cm de espesor y 14 cm de longitud está fabricada en acero y colocada en el exterior de una pared mantenida a 200ºC. La temperatura del ambiente es de 15ºC, y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 20 W/m2 oC. Calcular el calor perdido por la aleta por unidad de anchura. 2.44 Una aleta recta rectangular tiene una longitud de 2 cm y un espesor de 1.5 mm. La conductividad térmica es 55 W/m oC, y está expuesta a un ambiente convectivo a 20ºC y h = 500 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor máxima posible para una temperatura de la base de 150ºC. ¿Cuál es la pérdida real de calor para esta temperatura de la base? 2.45

Una aleta anular de perfil rectangular rodea un tubo de 2.5 cm de diámetro. La longitud de la aleta es 6.4 mm, y el espesor es de 3.2 mm. La aleta está fabricada con acero templado. Si se sopla aire sobre la aleta de modo que se alcance un coeficiente de transferencia de calor de 28 W/m2 oC, y las temperaturas de la base y el aire son 260 y 93oº, respectivamente, calcular la transferencia de calor desde la aleta.

2.46 Una aleta de aluminio de 1.6 mm de espesor rodea un tubo de 2.5 cm de diámetro. La longitud de la aleta es 12.5 mm. La temperatura de la pared del tubo es 200ºC y la temperatura ambiente es 20ºC. El coeficiente de transferencia de calor es 60 W/m2 oC¿Cuál es el calor perdido por la aleta? 2.47

Una aleta recta de perfil rectangular está fabricada en duraluminio (94% Al, 3% Cu) con un espesor de 2.4 mm. La aleta tiene 19 mm de longitud, y está sometida a un entorno convectivo con h = 85 W/m2 oC. Si la temperatura de la base es 90ºC y el ambiente está a 25ºC, calcular la transferencia de calor por unidad de longitud de la aleta.

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2.48 Un tubo de 2.5 cm de diámetro tiene aletas anulares de perfil rectangular, longitudinalmente espaciadas en incrementos de 9.5 mm. Las aletas son de aluminio, de 0.8 mm de espesor y 12.5 mm de longitud. La temperatura de la pared del tubo se mantiene a 200ºC, y la temperatura ambiente es 93ºC. El coeficiente de transferencia de calor es 110 W/m2 o C. Calcular la pérdida de calor del tubo por metro de longitud. 2.49 Una aleta recta rectangular de acero (1% de C) tiene 2.6 cm de espesor y 17 cm de largo. Está colocada en el exterior de una pared mantenida a 230ºC. La temperatura del aire circundante es 25ºC, y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 23 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor de la aleta por unidad de anchura y el rendimiento de la aleta.

CAPITULO 3

CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL La ecuación de Laplace aplicable a un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional y suponiendo conductividad térmica constante sin generación de calor es: ∂2T ∂2T ∂2T ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 ∂x2 ∂y2 ∂z2 El objetivo fundamental es con frecuencia determinar el flujo de calor o la temperatura resultante de un flujo de calor. Teniendo en cuenta que la principal aplicación de la ecuación anterior se hará sólo en las dimensiones x, y (flujo bidimensional) la ecuación será: ∂2T ∂2T ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 ∂y2 ∂x2 La solución de la ecuación anterior proporciona la temperatura en un cuerpo bidimensional como función de x e y. El flujo de calor puede calcularse después a partir de las ecuaciones de Fourier: qx = - kA (∂T/∂x)

y

qy = - kA (∂T/∂y)

Estos flujos de calor se dirigen en la dirección x o y. El flujo total de calor en cualquier punto del material es el resultado de qx y qy en este punto. El vector flujo total de calor es entonces perpendicular a las líneas de temperatura constante en el material (ver figura).

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qy

q = qx + q y

qx

Existen diferentes métodos para resolver la ecuación de Laplace, entre los cuales están: técnicas analíticas, gráficas, numéricas y análogas.

3.1 SOLUCION ANALITICA Considerando la placa rectangular del diagrama, como caso particular y más sencillo y resolviendo la ecuación de Laplace por el método de separación de variables y con una distribución sinusoidal de temperaturas se tiene:

Y T = f(x)

T1

T1

H

T1 W

X

Para las siguientes condiciones de contorno: T = T1 en y = 0 ; T = T1 en X = 0 ; T = T1 en x = W ; T = T2 en y = H

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

T – T1 2 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯ T2 – T1 π

∞

∑ n=1

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( - 1)n+1 + 1 nπx senh (nπy/W) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ n W senh (nπH/W)

3.2 SOLUCION GRAFICA

La figura representa una tubería con una capa de material aislante. La superficie interior está a T1 mientras que la superficie exterior se encuentra a T2 y existe un flujo de calor en la dirección T1> T2.

isotermas típicas

Δx Δy T1 > T2 T2

Como se ve en la figura, las isotermas y las líneas de flujo de calor forman grupos de figuras (elementos) curvilíneas. El flujo de calor por unidad de profundidad para cada elemento será: (q/L) = - k Δx (ΔT / Δy) Cada sección perpendicular a la línea isotérmica puede llamarse un “ducto” de flujo de calor y el número de éstos correspondiente a un área determinada será M. Si en cada elemento Δx ≅ Δy se tiene: (q/L) = k ΔT

ΔT debe tomarse positivo

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Como el flujo de calor es proporcional a ΔT a través de cada elemento debe ser el mismo dentro de cada “ducto” de flujo de calor, por lo tanto: ΔT = ΔTglobal / N = (T1 – T2) / N

N = número de elementos por ducto

Luego el flujo de calor a través de los M “ductos” de calor será: q (T1 – T2) ⎯⎯ = k ⎯⎯⎯⎯ x M L N Para el ejemplo de la figura, en cada cuadrante: M = 4 y N = 4. Luego (M/N) = 1. La relación (M/N) se denomina factor de forma conductivo y se representa por la letra S. En un sistema bidimensional en el que sólo hay involucradas dos temperaturas límite el flujo de calor por unidad de profundidad será: q/L = k S ΔTglobal = k S (T1 – T2) Valores de S se han calculado para diversas geometrías y se pueden consultar en la siguiente tabla: Tabla 3-1 Factores de Forma Conductivos Nota: Para objetos inmersos, la diferencia de temperaturas es ΔT = Tobjeto – Tcampo lejano . La temperatura del campo lejano se toma igual a la temperatura de la superficie isoterma para un medio semi-infinito. Sistema Físico Cilindro isotermo de radio r inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma.

Esquema

Factor de forma

Isoterma

Restricciones L>>r

2πL ⎯⎯⎯⎯⎯ -1 cosh (D/r)

2π L ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln (D/r)

L>>r D>3r

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Esfera isoterma de radio r inmersa en un medio infinito

Esfera isoterma de radio r inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma ΔT = Tsup – Tcampo lejano

Conducción entre dos cilindros isotermos de longitud L inmersos en un medio infinito.

4π r

Isoterma

4πr ⎯⎯⎯⎯ 1 – r/2D

2πL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 2 2 D – r1 – r2 -1 cosh (⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯) 2r1r2

L>>r L>>D

Cubo inmerso en un medio infinito, lado L 8.24 L

Cilindro isotermo de radio r situado en un medio semi-infinito como se muestra.

Paralelepípedo rectangular isotermo inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma.

2πL ⎯⎯⎯⎯ ln (2L/r)

b -0.59 1.685 L [log (1 + ⎯ ) a b -0.078 x ( ⎯) c

L>>2r

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Pared plana

A/L

Flujo de calor unidimensional

Cilindro hueco, longitud L. 2πL ⎯⎯⎯⎯ ln(re/ri)

L>>r

Esfera hueca 4 π reri ⎯⎯⎯⎯ re - ri Disco delgado horizontal inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma

Semiesfera inmersa en un medio semi-infinito ΔT = Tesfera – Tcampo lejano Esfera isoterma inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie está aislada.

Dos esferas isotermas inmersas en un medio infinito

Placa rectangular delgada de longitud L, inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma.

Isoterma

4r 8r 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -1 (π/2) – tan (r/2D)

D=0 D >>2 (D/2r)>1 -1

tan (r/2D) en radianes

2π r

4π r ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 + (r/2D)

4π r2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 4 r2 (r1/D) 2r2 ⎯ [1- ⎯⎯⎯⎯] - ⎯⎯ 2 1 – (r2/D) D r1 πW ⎯⎯⎯⎯ ln(4W/L) 2π W ⎯⎯⎯⎯ ln(4W/L)

D>5rmáx

D=0 W>L D>>W W>L

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Discos paralelos inmersos en un medio infinito.

Cilindros excéntricos de longitud L

Cilindro centrado en un prisma cuadrado de longitud L

Cilindro horizontal de longitud L centrado en una placa infinita.

Disco delgado horizontal inmerso en un medio semi infinito cuya superficie es adiabática.

2π W ⎯⎯⎯⎯⎯ ln(2πD/L)

W>>L D>W

4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ π -1 [ ⎯ - tan (r/D)] 2

D>5r

45

-1

tan (r/D) en radianes

2πL L>>r2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 2 2 r1 + r2 - D -1 cosh (⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯) 2r1r2

2π L ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln(0.54W/r)

L>>W

2π L ⎯⎯⎯⎯ ln(4D/r)

(D/2r) >1 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -1 (π/2) + tan (r/2D)

Para facilitar los cálculos: cosh-1 x = ln (x ±

-1

tan (r/D) en radianes

x2 − 1 )

Un caso particular como la pared tridimensional de un horno, se utilizan por separado factores de forma para calcular el flujo de calor a través de las secciones de las aristas y de las esquinas.

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Si todas las dimensiones interiores son mayores que un quinto del espesor de la pared: Spared = (A/L) ; Sarista = 0.54 D ; Sesquina = 0.15 L A = área de la pared L = espesor de la pared D = longitud de la arista

3.3 ANALISIS NUMERICO

Consideramos el cuerpo bidimensional de la figura. El cuerpo tiene un espesor uniforme L en la dirección z y no hay gradiente de temperaturas en esta dirección. Considerando incrementos Δx y Δy apropiados, el cuerpo se divide en un gran número de rectángulos, donde cada uno tiene un punto nodal o nodo en su centro.

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Un balance de energía al interior de un punto nodal, en estado estacionario es: q 1⇒

n

+ q2⇒n + q3⇒n + q4⇒n = 0

Utilizando la ecuación de Fourier:

(T2 – Tn) (T3 – Tn) (T4 – Tn) (T1 – Tn) kL(Δy) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δx) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δy) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δx) ⎯⎯⎯⎯ = 0 Δx Δy Δx Δy Si Δx = Δy T1 + T2 + T3 + T4 – 4 Tn = 0 Para aplicar el método numérico debe escribirse la ecuación anterior para cada nodo dentro del material y resolver el sistema de ecuaciones resultante para las temperaturas de los nodos. La solución del sistema de ecuaciones puede hacerse empleando matrices, regla de Cramer, método de eliminación de variables de Gauss, método de relajación o utilizando el método iterativo de Gauss-Seidel. Para ilustrar la aplicación del método anterior consideramos el ejemplo mostrado en la figura:

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Las cuatro ecuaciones para los nodos 1,2,3 y 4 son: 100 + 500 + T2 + T3 – 4 T1 = 0 T1 + 500 + 100 + T4 – 4 T2 = 0 100 + T1 + T4 + 100 – 4 T3 = 0 T3 + T2 + 100 + 100 – 4 T4 = 0 La solución a este sistema es: T1 = T2 = 250ºC

y

T3 = T4 = 150oC

Por la simetría del material se puede deducir que T1 = T2 y T3 = T4. El calor puede calcularse ahora a partir de: q = ∑ k Δx (ΔT / Δy) donde ΔT se toma en los contornos. El flujo de calor sobre la cara de 500ºC o sobre las tres caras de 100ºC será: Sobre la cara de 500ºC y considerando que Δx = Δy: q = - k [ (250 – 500) + (250 – 500)] = 500 k Sobre las tres caras de 100ºC:

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q = - k [(250 – 100) + (150 – 100) + (150 – 100) + (150 – 100) + (150 – 100) + (250 – 100)] q = - 500 k

Nodo exterior con contorno convectivo Con frecuencia las temperaturas de los nodos exteriores no se conocen y deben ser calculadas como se muestra en el siguiente ejemplo:

T∞

El balance de energía en estado estacionario alrededor del nodo n es: T2 – Tn (Δy) T 3 - Tn (Δy) T 1 – Tn kL ⎯⎯ ( ⎯⎯⎯⎯ ) + kL(Δx) ( ⎯⎯⎯⎯ ) + kL ⎯⎯ ( ⎯⎯⎯⎯ ) 2 Δx Δy 2 Δx + hL(Δx)(T∞ - Tn) = 0 La ecuación anterior se simplifica hasta 1 (T1 + 2 T2 + T3 ) + h Δx (T∞ ) − ( h Δx + 2) Tn = 0 2 k k

Las ecuaciones nodales para otras geometrías se dan en la siguiente tabla:

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Tabla 3.2 Ecuaciones nodales para cálculos de diferencias finitas Configuración física

h, T∞

Ecuación nodal para incrementos iguales de x e y Esquina exterior con contorno convectivo

1 hΔx hΔx ⎯ ( T1 + T2) + ⎯⎯⎯ (T∞) – ( ⎯⎯⎯ + 1 ) Tn = 0 2 k k

Esquina interior con contorno convectivo

h, T∞

1 hΔx hΔx T1 + T4 + ⎯ (T2 + T3) + ⎯⎯⎯ (T∞) – ( ⎯⎯⎯ + 3 ) Tn = 0 2 k k

Contorno aislado 1 ⎯ (T1 + T2) + T3 – 2Tn = 0 2

Nodo interior cercano a un contorno curvo

T1 T2 T3 T4 1 1 ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ( ⎯ + ⎯ ) Tn = 0 a(a+1) b+1 a+1 b(b+1) a b

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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3.4 ANALOGIA ELECTRICA PARA LA CONDUCCION BIDIMENSIONAL La conducción eléctrica en régimen estacionario en un material homogéneo de resistividad constante es análoga a la conducción de calor en régimen estacionario para un cuerpo de forma geométrica similar. Para la conducción eléctrica bidimensional es aplicable la ecuación de Laplace: ∂2E ∂2E ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 ∂x2 ∂y2 donde E es el potencial eléctrico. Una forma muy sencilla de resolver un problema de conducción de calor bidimensional es establecer una analogía eléctrica y determinar experimentalmente los factores de forma geométricos para utilizarlos en la ecuación: q = k S ΔTglobal.

PROBLEMAS RESUELTOS 3.1 Para el plato mostrado en la figura, determine la temperatura en el centro del plato. W = H = 2 m., T1 = 280 K, T = f(x) = 320 K.

Y T = f(x)

T1

T1

H

T1 W

X

La temperatura en el centro del plato corresponde a x=1 , y=1

Se construye la siguiente tabla:

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n

1 3 5

(-1)n+1 +1 ⎯⎯⎯⎯⎯ n

nπx sen ⎯⎯ W

2 0.666 0.4

1 -1 1

nπy senh ⎯⎯ W 2.3013 55.6544 1287.98

nπH senh ⎯⎯ W 11.5487 6195.82 3.31 x 106

Reemplazando en la ecuación: 2 T – T1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯ T2 – T1 π

∞

∑ n=1

( - 1)n+1 + 1 nπx senh (nπy/W) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ n W senh (nπH/W)

T – T1 2 π senh (π/2) 3π senh (3π/2) ⎯⎯⎯ = ⎯⎯ [ (2) ( sen ⎯ ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯ ) + (0.666) ( sen ⎯ ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯ ) π 2 senh π 2 senh 3π T2 – T1 5π senh (5π/2) + (0.4) ( sen ⎯⎯ ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) 2 senh 5π T – T1 ⎯⎯⎯ = (2/π) (0.398538 – 0.005988 + 0.000155 ....) = 0.25 T2 – T1 T = (T2 – T1) + T1 = (320 – 280) (0.25) + 280 = 290 K 3.2

Una tubería horizontal de 15 cm de diámetro y 4 m de longitud está enterrada a una profundidad de 20 cm. La temperatura de la pared de la tubería es de 75ºC y la temperatura de la superficie de la tierra es de 5ºC. Suponiendo que la conductividad térmica de la tierra es 0.8 W/m oC, calcular el calor perdido por la tubería.

El factor de forma tomado de la tabla 3-1, y teniendo en cuenta que L >>r 2πL 2π (4) S = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 15.35 m cosh-1 (20/7.5) cosh-1 (D/r) El flujo de calor será:

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

53

q = kS ΔT = (0.8) (15.35) (75 – 5) = 859.6 W

3.3 Un pequeño horno cúbico de dimensiones interiores 50 x 50 x 50 cm y 10 cm de espesor está construído de ladrillo refractario (k=1.04 W/m oC). El interior del horno se mantiene a 500ºC y el exterior se mantiene a 50ºC. Calcular el calor perdido a través de las paredes. El factor de forma se calcula sumando los factores de forma de las paredes aristas y esquinas.: Paredes:

S = (A/L) = (0.5) (0.5) / 0.1 = 2.5 m

Aristas :

S = 0.54 D = (0.54) (0.5) = 0.27 m

Esquinas:

S = 0.15 L = (0.15) (0.1) = 0.015 m

Hay seis secciones de pared, doce aristas y ocho esquinas, de modo que el factor de forma total es S = (6) (2.5) + (12) (0.27) + (8) (0.015) = 18.36 m y el flujo de calor será: q = kS ΔT = (1.04) (18.36) (500 – 50) = 8.592 kW º

3.4 Un disco de 30 cm de diámetro que se mantiene a una temperatura de 95 C está enterrado a una profundidad de 1 m en un medio semi-infinito cuya superficie, que es isoterma, está a 20ºC y cuya conductividad térmica es 2.1 W/m oC. Calcular el calor perdido por el disco. A partir de la tabla 3-1, el factor de forma seleccionado es aquel para el cual (D/2r) = (1/0.3) =3.33 > 1 4πr S = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (π/2) – tan-1 (r/2D) 4π (0.15) 4π (0.15) S = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.26 m [ (π/2) – 0.07486] (π/2) – tan-1 (0.15/2)

54

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Para objetos enterrados, el factor de forma está basado en que ΔT = Tobjeto – Tcampo lejano . La temperatura del campo lejano se toma como la temperatura de la superficie isoterma, y el calor perdido por el disco es: q= kS ΔT = (2.1) (1.26) (95 – 20) = 198.45 W

3.5 Dos discos paralelos de 50 cm de diámetro están separados 1.5 m en un medio infinito de k = 2.4 W/m oC. Un disco se mantiene a 80ºC y el otro a 20ºC. Calcular el calor transferido entre los discos. De la tabla 3-1 como D>5r el factor de forma será: 4πr 4π (0.25) S = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.235 m (π/2) – tan-1 (0.25/1.5) (π/2) – tan-1 (r/D) q = kS ΔT = (2.3) (2.235) ( 80 – 20) = 308.4 W

3.6

El diagrama muestra la sección de una chimenea. Suponiendo que el material tiene una conductividad térmica uniforme, la temperatura interna es 150ºC y la temperatura exterior es 40ºC, Calcular las temperaturas correspondientes a los nodos a, b, c, d, y e.

a

b

c

d o

40 C

o

150 C

e

f

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Por simetría del diagrama: Tb = Td

55

; Ta = Te ; Tb = Tf

Las ecuaciones nodales serán: Nodo c:

Tb + Td + 40 + 40 – 4Tc = 0

Nodo d:

Tc + Te + 150 + 40 – 4Td = 0

Nodo e:

Td + Tf + 150 + 40 – 4Te = 0

Ordenando y simplificando: 2Tc – Td + 0 = 40 - Tc + 4Td – Te = 190 0 – Td + 2Te = 95 Resolviendo por la regla de Cramer: Tc = 62.9oC Td = 85.8oC Te = 90.4oC 3.7 Con referencia al cuadrado de la figura, calcular la temperatura de los nodos indicados y el flujo de calor en los contornos. El lado es 1 metro. o

T = 500 C

1

2

3

o

T = 100 C

o

T∞ = 100 C 4

7 o

5

6

8

9

T∞ = 100 C

56

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

La conductividad térmica del material es k = 10 W/m oC y el coeficiente h = 10 W/m2 oC. Para los nodos 1, 2, 4 y 5 las ecuaciones son: Nodo 1: 100 + 500 + T2 + T4 – 4T1 = 0 Nodo 2: 500 + T3 + T1 + T5 – 4T2 = 0 Nodo 4: 100 + T7 + T1 + T5 – 4T4 = 0 Nodo 5: T6 + T8 + T2 + T4 – 4T5 = 0 Para los nodos 3, 6, 7 y 8, se aplica la ecuación de un nodo exterior con contorno convectivo (ver teoría), las ecuaciones son: Nodo 3: 2T2 + T6 + 567 – 4.67 T3 = 0 Nodo 6: 2T5 + T3 + T9 + 67 – 4.67 T6 = 0 Nodo 7: 2T4 + T8 + 167 – 4.67T7 = 0 Nodo 8: 2T5 + T7 + T9 + 67 – 4.67T8 = 0 Para el nodo 9, es una esquina exterior con contorno convectivo, se aplica la ecuación de la tabla 3-2: Nodo 9: T6 + T8 + 67 – 2.67T9 = 0 Las nueve ecuaciones con nueve temperaturas se resuelven por un método numérico y los resultados finales son: Nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9

T (oC) 280.67 330.3 309.38 192.38 231.15 217.19 157.70 184.71 175.62

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

57

Los flujos de calor en los contornos se calculan de dos modos: como flujos conductivos para las caras a 100ºC y 500ºC y como flujos convectivos en las otras dos caras. Para la cara de 500ºC el flujo que entra es: q= ∑ kΔx (ΔT/Δy) = (10) [500 – 280.67 + 500 – 330.3 + (500 – 309.38)(1/2))] q = 44843.4 W/m El flujo que sale de la cara de 100ºC es:

q = (10) [280.67 – 100 + 192.38 – 100 + (157.7 – 100) (1/2)] = 3019 W/m

El flujo que sale de la cara derecha viene dado por la relación de convección: q = ∑ hΔy(T - T∞) q = (10) (1/3) [309.38 – 100 + 217.19 – 100 + (175.62 – 100) (1/2)]

q = 1214.6 W/m

Finalmente, el flujo que sale de la cara inferior es: q = ∑ hΔy(T - T∞) q = (10)(1/3)[(100–100)(1/2)+157.7–100+184.71–100 + (175.62–100)(1/2)] q = 600.7 W/m El flujo total de calor que sale es: qsale = 3019 + 1214.6 + 600.7 = 4834.3 W/m Resultado que es igual al calor que entra por la cara superior.

58

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

PROBLEMAS PROPUESTOS 3.8 En la barra de sección transversal cuadrada que se muestra en la figura, determinar la temperatura en el punto x = 0.2 m , y = 0.2 m. o

100 C

o

0C

o

0C

o

0C 0.3 m

3.9 Determine la temperatura en el centro de la figura. Y 100oC 200oC

50oC

50oC

X

3.10 Encontrar la temperatura en el centro del plato rectangular de la figura.

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

59

Y 2

80oC

0oC

0oC

0oC

1

X

3.11 Una tubería de 6 cm de diámetro cuya superficie se mantiene a 210ºC pasa por el centro de una losa de hormigón de 45 cm de espesor. Las temperaturas exteriores de la losa se mantienen a 15ºC. Utilizando la tabla 3.1, calcular las pérdidas de calor por unidad de longitud en la tubería. 3.12 Un cubo de 35 cm de lado exterior está construido de ladrillo refractario. El espesor de la pared es 5 cm. La temperatura de la superficie interior es 500ºC y la temperatura de la superficie exterior es 80ºC. Calcular el flujo de calor en vatios. 3.13

Dos cilindros largos de 8 y 3 cm de diámetro están completamente rodeados por un medio de k = 1.4 W/m oC. La distancia entre los centros es 10 cm y los cilindros se mantienen a 200oC y 35oC. Calcular el calor transferido por unidad de longitud.

3.14 Una esfera de 1 m de diámetro que se mantiene a 30ºC está enterrada en un lugar donde k = 1.7 W/m oC. La profundidad del centro es 2.4 m y la temperatura de la superficie de la tierra es 0oC. Calcular el calor perdido por la esfera. 3.15

Un gran tanque esférico de almacenaje de 2 m de diámetro, está enterrado en la tierra en un lugar donde la conductividad térmica es 1.5 W/m oC. El tanque se utiliza para almacenar agua y hielo a 0oC, y la temperatura del ambiente de la tierra es 20ºC. Calcular la pérdida de calor del tanque.

60 3.16

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Dos largos cilindros excéntricos de 15 y 4 cm de diámetro respectivamente se mantienen a 100ºC y 20ºC separados por un material de k = 3 W/m oC. La distancia entre centros es 4.5 cm. Calcular el calor transferido por unidad de longitud entre los cilindros.

3.17 Dos tuberías enterradas se mantienen a las temperaturas de 300ºC y 125ºC. Sus diámetros son 8 y 16 cm y la distancia entre centros es 40 cm. Calcular el flujo de calor por unidad de longitud si la conductividad térmica de la tierra en ese lugar es k = 0.7 W/m oC. 3.18 Una esfera caliente de 1.5 m de diámetro se mantiene a 300ºC inmersa en un material de k = 1.2 W/m oC cuya superficie exterior está a 30ºC. La profundidad del centro de la esfera es 3.75 m. Calcular la pérdida de calor. 3.19 Dos tuberías están inmersas en un material aislante de k = 0.8 W/m oC. Una de las tuberías tiene 10 cm de diámetro y lleva un fluido caliente a 300ºC, mientras que la otra tiene 2.8 cm de diámetro y lleva un fluido frío a 15ºC. Las tuberías son paralelas y sus centros están separados 12 cm. Calcular el flujo de calor por metro de longitud entre las tuberías. 3.20 En cierto lugar la conductividad térmica de la tierra es k = 1.5 W/m oC. En este lugar, una esfera isoterma que tiene una temperatura de 5ºC y cuyo diámetro es 2 m se encuentra enterrada, estando su centro a una profundidad de 5 m. La temperatura de la tierra es 25ºC. Calcular el calor ganado por la esfera. 3.21 Dos tuberías de 5 cm y 10 cm de diámetro están totalmente rodeadas de asbesto poco compacto. La distancia entre los centros de las tuberías es 20 cm. Una de las tuberías lleva vapor a 110ºC, mientras que la otra lleva agua fría a 3ºC. Calcular el calor por unidad de longitud perdido por la tubería caliente. 3.22 Un cilindro largo cuya superficie se mantiene a 135ºC está inmerso en un material cuya conductividad térmica es k = 15.5 W/m oC. El diámetro del cilindro es 3 cm y la profundidad de su eje es 5 cm. La temperatura de la superficie del material es 46ºC. Calcular el calor por metro de longitud perdido por el cilindro. 3.23 Una esfera de 3 m de diámetro contiene hielo y agua a 0oC y está inmersa en un medio semi-infinito que tiene una conductividad térmica k = 0.2 W/m oC. La superficie superior del medio es isoterma a 30ºC y el centro de la esfera está a una profundidad de 8.5 m. Calcular el calor perdido por la esfera.

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

61

3.24 Un calentador eléctrico con forma de placa de 50 por 100 cm, está situado en la parte superior de una medio semi-infinito que tiene una conductividad térmica de k = 0.74 W/m oC. Toda la superficie del calentador se mantiene a 120ºC y la temperatura del material aislante a gran distancia del calentador es 15ºC. Calcular el calor transmitido por conducción al material aislante. 3.25 Las dimensiones interiores de un pequeño horno son 60 x 70 x 80 cm y su espesor 5 cm. Calcular el factor de forma de esta configuración geométrica. 3.26

Una tubería de 15 cm de diámetro, que lleva vapor a 150ºC, está enterrada cerca de una tubería de 5 cm que lleva agua fría a 5ºC. La distancia entre los centros es 15 cm y la conductividad térmica de la tierra en este lugar puede tomarse como k = 0.7 W/m oC. Calcular el calor por unidad de longitud perdido por la tubería de vapor.

3.27 Si en el problema 3.6 la temperatura interna es 100ºC y la temperatura externa es 0oC en los cuatro lados, determine las temperaturas en los nodos a, b, c, d, e y f. 3.28 Calcular las temperaturas de los puntos 1, 2, 3 y 4. utilizando un método numérico. o

700 C

4

1

o

100 C

o

400 C 2

3

o

500 C

62

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3.29 Calcular las temperaturas de los nodos 1 a 6 de la figura.

2 o

h=12 W/m C T∞ = 15oC

o

50 C

1

2

3

4

5

6

o

50 C

o

50 C Δx = Δ y = 25 cm o

k = 1.5 W/m C

3.30 Las superficies interior y exterior de una chimenea cuya sección º o transversal se muestra en el esquema se encuentran a 100 C y 0 C. Determine las temperaturas en los nodos 1, 2, 3, y 4.

o

o

100 C

0C

1

2

3

4

3.31 El diagrama muestra la sección transversal de una barra. El material tiene o una conductividad térmica de 3 W/m C y el coeficiente de transferencia

CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

63

de calor por convección es 10 W/m2 oC. Determine las temperaturas en los nodos 1 al 9. (Δx = Δy = 0.1 m)

o

500 C

1

2

3

4

5

6

7

8

9

o

100 C

o

T∞ = 100 C

3.32 Dos superficies de una barra de sección transversal cuadrada como la mostrada en la figura se mantienen a 100ºC mientras las otras dos se mantienen a 0oC. Determine las temperaturas en los nodos 1, 2, 3 y 4. o

0C

o

100 C

1

2

3

4

o

100 C

o

0C

64

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3.33 Calcular las temperaturas en los nodos 1 a 9. h = 25 o

T∞ = 5 C

Aislado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Δx = Δy = 25 cm o

100 C

k = 1.5

o

100 C

3.34 En la siguiente sección, la superficie 1-4-7 está aislada. El coeficiente de 2 transferencia de calor por convección en la superficie 1-2-3 es 28 W/m o o C. La conductividad térmica del material sólido es 5.2 W/m C. Calcular las temperaturas de los nodos 1,2,4 y 5.

Aislada

T∞ = 0oC h = 28

1

4

7

2

5

8

3

6

9

o T7 = T8 = T 9 = 38 C

30 cm

T3 = T6 = 10oC

CAPITULO 4

CONDUCCION NO ESTACIONARIA Hasta el momento se han considerado problemas de transferencia de calor en los cuales la temperatura es independiente del tiempo. En muchas aplicaciones, sin embargo, la temperatura está variando con el tiempo. El análisis de tales problemas llamados no estacionarios pueden entenderse bajo la ecuación general de la conducción tomada inicialmente en una dimensión: ∂2T 1 ∂T ⎯⎯ = ⎯ ⎯⎯ ∂x2 α ∂τ Para la solución de la ecuación anterior se necesitan condiciones de contorno en la dirección x y una condición de tiempo como se verá más adelante.

4.1 METODO DE CAPACIDAD TERMICA GLOBAL O INTERNA DESPRECIABLE

RESISTENCIA

Algunos autores lo denominan también análisis por bloques. Para que pueda aplicarse este método debe considerarse que la temperatura de un sistema durante un calentamiento o un enfriamiento depende casi exclusivamente del tiempo y no de la distancia. Puede suponerse que en estas circunstancias la conductividad térmica del material que constituye el sistema es suficientemente alta para que la caída de temperatura en su interior sea insignificante. En igual forma si las dimensiones del cuerpo son muy pequeñas, las diferencias de temperatura en su interior son también insignificantes. Si suponemos el cuerpo mostrado en la figura, el cual está inicialmente a una temperatura To, y éste se sumerge repentinamente en un fluido a menor temperatura T∞ cuyo valor es constante, la resistencia interna a la conducción es insignificante respecto a la resistencia externa a la convección. La temperatura del cuerpo dependerá únicamente del tiempo.

66

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

q = hA(T - T∞) = - CρV (dT/dτ)

La pérdida de calor por convección desde el cuerpo equivale a la disminución de la energía interna del cuerpo. q = hA(T - T∞) = - CρV (dT/dτ) donde: h = coeficiente de transferencia de calor. A = área del cuerpo para transferencia de calor por convección. ρ = densidad del material que constituye el sistema. V = volumen del cuerpo. C = calor específico del material que constituye el sistema. La solución a la ecuación anterior para T = To en τ = 0 es:

T – T∞ ⎯⎯⎯ = To - T∞

e

- (hA/ρCV) τ

T∞ = temperatura del ambiente convectivo. La cantidad CρV/hA se denomina constante de tiempo del sistema ya que tiene las dimensiones de tiempo.

4.2 NUMEROS DE BIOT Y FOURIER Si se considera la relación V/A = s como una longitud característica del sólido , el grupo hs/k es adimensional y se llama número de Biot. Bi = Número de Biot = (hs/k)

CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

67

El número de Fourier Fo es adimensional y se define como: Fo = Número de Fourier = (ατ/s2) = (kτ/ρCs2) El número de Biot compara los valores relativos de la resistencia a la transferencia de calor por convección en la superficie y la resistencia interna a la conducción. Puede aplicarse el método de capacidad térmica global con un error de no más del 5% si Bi 0.7. No obstante, en un tubo no circular los coeficientes de

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

127

convección varían alrededor de la periferia, aproximándose a cero en las esquinas. En consecuencia al utilizar una correlación de tubo circular, se supone que el coeficiente es un promedio sobre el perímetro. Para flujo laminar, el uso de correlaciones de tubo circular es menos preciso, en particular con secciones transversales caracterizadas por esquinas agudas. Para tales casos, el número de Nusselt que corresponde a condiciones completamente desarrolladas se puede obtener de la tabla 5-2 que se basa en soluciones de las ecuaciones diferenciales de momento y energía para flujo por las diversas secciones transversales del tubo.

TABLA 5-2 - Números de Nusselt y factores de fricción para flujo laminar completamente desarrollado en tubos de diferente sección transversal Sección Transversal Circulo

Cuadrado Rectángulo Rectángulo Rectángulo Rectángulo Rectángulo Rect. Infinito triángulo

b/a 1.0 1.43 2.0 3.0 4.0 8.0 ∞ -

Nud = h DH/k Ts (constante) qconstante 4.36 3.61 3.73 4.12 4.79 5.33 6.49 8.23 3.11

3.66 2.98 3.08 3.39 3.96 4.44 5.60 7.54 2.47

f (Red) 64 57 59 62 69 73 82 96 53

5.10 FLUJO TRANSVERSAL A CILINDROS El coeficiente local de transferencia de calor (Número de Nusselt) para un cilindro simple sometido a un flujo transversal de aire con temperatura y velocidad aproximadamente uniformes varía ampliamente de un punto a otro. El número de Nusselt promedio está bien representado por la siguiente correlación: Nuf = C Rendf Pr

1 3

Las constantes de la ecuación anterior se tabulan en la tabla 5-3.

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 128 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla 5-3 C 0.989 0.911 0.683 0.193 0.0266

Redf 0.4 - 4 4 - 40 40 - 4000 4000 - 40000 40000 - 400000

n 0.330 0.385 0.466 0.618 0.805

5.11 FLUJO A TRAVÉS DE HACES DE TUBOS En los intercambiadores de calor se utilizan frecuentemente haces de tubos cilíndricos poco espaciados. En esta situación las estelas de los tubos localizados aguas arriba ejercen influencia sobre la rapidez de la transferencia de calor y las características de flujo sobre los tubos situados aguas abajo. Para los primeros tubos se presentan variaciones de tubo a tubo y después no hay cambios perceptibles. El tipo de arreglo es otro factor de influencia; en la siguiente figura se muestran los dos arreglos más comunes.

d

d

u∞

Disposición en línea

Disposición escalonada

Los resultados de varios investigadores fueron evaluados por E.D. Grimson, quien encontró que el coeficiente promedio de transferencia de calor para haces de por lo menos 10 tubos de profundidad en la dirección del flujo está dado por

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎛u d ρf hd = C ⎜⎜ máx kf μ f ⎝

129

n

1 ⎞ ⎟⎟ Pr 3 ⎠

En la tabla 5-4 se dan los valores de la constante C y del exponente n en función de parámetros geométricos utilizados para describir la disposición del haz de tubos. El número de Reynolds está basado en la velocidad máxima que se tiene en el haz de tubos, esto es, la velocidad a través del área de flujo mínima. Esta área dependerá de la disposición geométrica de los tubos. Para haces de tubos que tienen menos de 10 tubos en la dirección del flujo, Kays y Lo, obtuvieron los coeficientes de corrección h / h10 dados en la tabla 5-5. En corrientes perpendiculares a haces de tubos en línea, el máximo de la velocidad de la corriente se producirá donde, para esa configuración, sea mínima el área (a – d) normal a la corriente incidente de velocidad u∞. Así

umáx = u∞ [ a / (a – d)]

(disposición en línea)

En la disposición escalonada la velocidad máxima de la corriente será igual si el área normal a la entrada del haz de tubos es el área de paso mínima. Esto no ocurre cuando la separación es pequeña en la dirección longitudinal, así como cuando “b” es pequeña. En el caso correspondiente a la distribución escalonada, la corriente entra al haz de tubos a través del área (a – d), y después se divide en las dos áreas [(a /2)2 + b2]0.5 – d. Si la suma de estas dos áreas es menor que (a – d), entonces representan el área de flujo mínima y la velocidad máxima en el haz de tubos será:

umáx =

u∞ (a / 2)

[(a / 2) + b ] 2

2

1 2

− d

donde u∞ es la velocidad de la corriente libre que entra al haz de tubos.

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 130 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

TABLA 5-4 a/d b/d

1.25 C1

1.25 1.5 2 3

0.348 0.367 0.418 0.290

0.6 0.9 1 1.125 1.25 1.5 2 3

0.518 0.451 0.404 0.310

1.5 n

0.592 0.586 0.570 0.601

0.556 0.568 0.572 0.592

2

n C1 Tubos en línea 0.275 0.608 0.100 0.250 0.620 0.101 0.299 0.602 0.229 0.357 0.584 0.374 Tubos escalonados

3

C1

0.497

0.558

0.505 0.460 0.416 0.356

0.554 0.562 0.568 0.580

n

C1

n

0.704 0.702 0.632 0.581

0.0633 0.0678 0.198 0.286

0.752 0.744 0.648 0.608

0.446

0.571

0.213 0.401

0.636 0.581

0.476 0.519 0.452 0.482 0.440

0.565 0.556 0.568 0.556 0.562

0.518 0.522 0.488 0.449 0.421

0.560 0.562 0.568 0.570 0.574

TABLA 5-5 – Relación h / h10

Escalonados En línea

Número de tubos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.68 0.75 0.83 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99 0.64 0.80 0.87 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 0.99

5.12 RELACIONES EMPIRICAS PARA CONVECCION FORZADA Los datos en los que se basan las relaciones experimentales, con frecuencia se obtienen bajo condiciones de laboratorio donde puede ejercerse un control riguroso de las variables de la corriente. Es posible que la aplicación de estas relaciones difiera de los resultados obtenidos en la práctica, pero su sencillez compensa lo anterior. Puede utilizarse el siguiente procedimiento de cálculo para la mayoría de los problemas: ♦ ♦

Establecer la geometría de la configuración. Determinar las propiedades del fluido.

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

♦ ♦ ♦

131

Establecer el tipo de régimen según el número de Reynolds calculado. Seleccionar la ecuación que se ajuste a la geometría y al régimen de flujo. Se calcula el valor de h y el flujo de calor.

En la tabla 5-6 se presentan las más importantes correlaciones empíricas utilizadas en convección forzada. TABLA 5-6 ECUACIONES PARA CONVECCIÓN FORZADA – TUBOS, CILINDROS Y ESFERAS – FLUJO INTERNO Y EXTERNO Subíndices: b = temperatura promedio, f = temperatura de película, ∞ = temperatura de la corriente libre, p = temperatura de la pared

Régimen de Flujo

Restricciones

Ecuación

Corriente en un tubo

Flujo turbulento completamente desarrollado. n = 0.4 para calentamiento n = 0.3 para enfriamiento 0.6 < Pr < 100 5 2500 < Re < 1.25 x 10 Propiedades a Tm

Nud = 0.023 Re0d.8 Pr n

Corriente en un tubo

0.5 < Pr < 1.5 104 < Re < 5 x 106 Propiedades a Tm

Nu = 0.021(Re 0.8 − 100) Pr 0.4

Corriente en un tubo

1.5 < Pr < 500 6 3000 < Re < 10 Propiedades a Tm Flujo turbulento completamente desarrollado Propiedades a Tm 4 0.7 < Pr < 1.67 x 10 4 Re > 10 (L/D) > 10 Flujo turbulento Propiedades a Tm

Nu = 0.012 (Re 0.87 − 280) Pr 0.4

Corriente en un tubo

Corriente en un tubo, región de entrada Corriente en un tubo

Corriente en un tubo

Flujo turbulento completamente desarrollado 0.5 < Pr < 2000 4 6 10 < Red < 5 x 10 Tp > Tb n = 0.11 Tp < Tb n = 0.25 n = 0 para flujo de calor constante o gases Propiedades a Tf Laminar Propiedades a Tm

Nu d = 0.027 Re 0d.8 Pr

⎛ μ ⎜ ⎜ μp ⎝

1 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

0.14

Ecuación de Sieder Tate

Nu d = 0.036 Re 0d.8 Pr Nud =

1 3

⎛d⎞ ⎜ ⎟ ⎝L⎠

0.055

( f / 8) Red Pr 1 2

1.07 + 12.7 (f / 8) (Pr

2

3

⎛ μb ⎜ ⎜ − 1) ⎝ μp

f = (0.590 ln Red − 1.64) − 2

Nu d = 3.66 +

0.0668 (d / L) Re d Pr

1+ 0.04 [(d / L )Re d Pr ]

2

3

n

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 132 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Corriente en un tubo

Flujo laminar completamente desarrollado Red Pr (d/L) > 10

Nu d = 1.86 (Re d Pr)

1 3

⎛d⎞ ⎜ ⎟ ⎝L⎠

1 3

Propiedades a Tm

Tubos rugosos Corriente transversal a cilindros Corriente transversal a cilindros

Flujo turbulento completamente desarrollado 0.4 < Red f < 400 000 C y n de la tabla 5-3 Propiedades a Tf 2 7 10 < Ref < 10 Pe > 0.2 Propiedades a Tf -1

5

2

St b Pr f

3

=

0.14

f 1 3

1

0.62 Re f 2 Pr 2 ⎡ 3⎤ ⎢1+ ⎛⎜ 0.4 ⎞⎟ ⎥ ⎢ ⎝ Pr ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

Corriente transversal a cilindros Corriente transversal a cilindros

10 < Ref < 10 Propiedades a Tf

Corriente transversal a cilindros

10 < Re < 2 x 10 Gases: Propiedades a Tf Líquidos: Propiedades a T∞

⎛ Pr Nu = 0.2 Re 0.6 Pr 0.38 ⎜ f ⎜ Prp ⎝

Corriente alrededor de esferas Corriente alrededor de esferas Corriente alrededor de esferas

Pr ≅0.7 (gases) 17 < Re < 70 000 Propiedades a Tf Agua y aceites 1 < Re < 200 000 propiedades a T∞ 0.7 < Pr < 380 3.5 < Re < 80 000 propiedades a T∞

Nu df = 0.037 Re 0df.8

1 3 1 4

5 ⎡ 8⎤ ⎢1+ ⎛⎜ Re ⎞⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 282.000 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

4

5

Nu f = (0.35 + 0.56 Re 0f.52 ) Prf0.3

3

1 < Re < 10 Gases: Propiedades a Tf Líquidos: Propiedades a T∞ 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

8

Nu f = C Re ndf Pr

Nu df = 0.3 +

⎛ μ ⎜ ⎜ μp ⎝

5

⎛ Pr Nu = (0.43 + 0.50 Re 0.5 ) Pr 0.38 ⎜ f ⎜ Prp ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

0.25

0.25

Nu Pr − 0.3 (μp / μ)0.25 = 1.2 = 0.53 Re0d.54 1

2

Nu = 2 + (0.4 Red 2 + 0.06 Red 3 ) Pr 0.4 (μ ∞ / μp )

1 4

PROBLEMAS RESUELTOS 5.1 Sobre una placa plana circula aire a 27ºC y 1 atm., a una velocidad de 2 m/s. Calcular el espesor de la capa límite a una distancia de 20 cm. La viscosidad del aire a 27ºC es 1.85 x 10-5 kg/m.s. Suponer la unidad de longitud en la dirección z. La densidad del aire se calcula a partir de

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

133

PM 101.325 x 28.84 ρ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.17 kg/m3 RT (8.319) (300) El número de Reynolds se calcula (1,17) (2.0) (0.2) Re = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 25297 1.85 x 10-5 El espesor de la capa límite será (4.64) (0.2) δ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00583 m = 0.583 cm (25297) 0.5 5.2 Considerar que la placa plana de la corriente del problema 5.1, se calienta en toda su longitud hasta una temperatura de 60ºC. Calcular el calor transferido. Se desea obtener la transferencia de calor total sobre la longitud de la placa; así que se necesita calcular el coeficiente de transferencia de calor medio. Con este fin evaluamos las propiedades a la temperatura de película.

27 + 60 Tf = ⎯⎯⎯⎯ = 43.5ºC = 316.5 K 2 Las propiedades evaluadas a la temperatura anterior son ν = 17.36 x 10-6 m2/s k = 0.02749 W/m oC CP = 1.006 kJ/kg oC CP μ CP ρν (1006) (17.36 x 10-6) (1.17) Pr = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.7 k k 0.02749

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 134 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

u∞ x (2) (0.2) Rex = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 23041 ν 17.36 x 10-6 Nu x =

1 1 hx x = 0.332 Re x 2 Pr 3 k

Nux = (0.332) (23041)0.5 (0.7)0.333 = 44.74 hx = Nux (k/x) = 44.74 (0.02749 /0.2) = 6.15 W/m2 oC El valor medio del coeficiente de transferencia de calor es dos veces este valor, _

h = (2) (6.15) = 12.3 W/m2 oC

El flujo de calor es _

q = h A (Ts - T∞) = (12.3) (0.2) (1) (60 – 27) = 81.18 W Se supuso la unidad de longitud en la dirección z.

5.3 Sobre una placa cuadrada de 20 cm de lado, se obliga a moverse aceite motor a 20ºC, a una velocidad de 1.2 m/s. La placa se calienta hasta una temperatura uniforme de 60ºC. Calcular el calor perdido por la placa. Se evalúa la temperatura de película 20 + 60 T = ⎯⎯⎯⎯ = 40oC 2 Las propiedades del aceite motor son ρ = 876 kg/m3

;

ν = 0.00024 m2/s

;

k = 0.144 W/m oC

CP = 1.965 kJ/kg oC (0.00024) (876) (1965) Pr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2870 0.144

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

135

El número de Reynolds es (1.2) (0.2) u∞ L Re = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 1000 ν 0.00024 Como el número de Prandtl es tan grande se utiliza la siguiente ecuación: 1

Nu x =

Nu x =

0.3387 Re x 2 Pr

1 3

2⎤ ⎡ ⎢1 + ⎛ 0.0468 ⎞ 3 ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ Pr ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎥

(0.3387) (1000)

1 2

(2870)

2 ⎤ ⎡ 3 ⎢1 + ⎛⎜ 0.0468 ⎞⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 2870 ⎠ ⎥ ⎦ ⎣

1 4

1 4

1 3

= 152.2

(152.2) (0.144) hx = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 109.6 W/m2 oC 0.2 El valor medio del coeficiente de convección es _

h = (2) (109.6) = 219.2 W/m2 oC

La transferencia de calor total es _

q = h A (Ts - T∞) = (219.2) (0.2)2 (60 – 20) = 350.6 W 5.4 Para la corriente del problema 5.2, calcular la fuerza de resistencia ejercida sobre los 20 cm de la placa, utilizando la analogía entre la fricción en el fluido y la transferencia de calor.

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 136 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Para calcular el coeficiente de fricción se emplea la ecuación St x Pr

2

3

=

fx 2

La densidad a 316.5 K es P 1.0132 x 105 ρ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.115 kg/m3 RT (287) (316.5) _

_

St =

h ρ CP u ∞

=

12.3 = 5.48 x 10 −3 (1.115) (1006) (2)

(f/2) = (5.48 x 10-3) (0.7)0.666 = 4.32 x 10-3 τP = (4.32 x 10-3) (1.115) (2)2 = 0.0192 N/m2 La fuerza de resistencia es el producto de este esfuerzo cortante por el área Fuerza = (0.0192) (0.2) = 0.00384 N 5.5 Sobre una placa plana sopla aire a 20ºC, 1 atm y 35 m/s de velocidad. La placa tiene 75 cm de largo y se mantiene a 60ºC. Suponiendo la unidad de longitud en la dirección z, calcular la transferencia de calor desde la placa. Se evalúan las propiedades a la temperatura de película. 20 + 60 Tf = ⎯⎯⎯⎯ = 40ºC = 313 K 2 P 1.0132 x 105 ρ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.128 kg/m3 RT (287) (313) μ = 1.906 x 10-5 kg/m.s

;

k = 0.02723 W/m oC

Con los datos anteriores Pr = 0.7

;

CP = 1.007 kJ/kg oC

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

137

El número de Reynolds es (1.128) (35) (0.75) ρ u∞ L ReL = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.553 x 106 μ 1.906 x 10-5 La capa límite es turbulenta porque el número de Reynolds es mayor que 5x105 Por tanto, se utiliza la ecuación NuL =

1 hL = Pr 3 (0.037 Re L0.8 − 871) k

NuL = (0.7)0.333 [(0.037) (1.553 x 106)0.8 - 871] = 2180 h = NuL (k/L) = [(2180) (0.02723) / (0.75)] = 79.1 W/m2 oC q = h A (Ts - T∞) = (79.1) (0.75) (60 – 20) = 2373 W 5.6 Se calienta aire a 2 atm y 200ºC mientras circula por un tubo de 2.54 cm de diámetro a una velocidad de 10 m/s. Calcular el calor transferido por unidad de longitud de tubo si se mantiene en la pared una condición de flujo de calor constante, siendo la temperatura de la pared 20ºC superior a la temperatura del aire a lo largo de todo el tubo. ¿Cuánto aumentaría la temperatura promedio en 3 m de longitud del tubo? En primer lugar se calcula el número de Reynolds para determinar si el flujo es laminar o turbulento y después se selecciona la correlación empírica adecuada para calcular el calor transferido. Las propiedades del aire a una temperatura promedio de 200ºC son P (2) (1.0132 x 105) ρ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.493 kg/m3 RT (287) (473) Pr = 0.681

;

μ = 2.57 x 10-5 kg/m.s

;

k = 0.0386 W/m oC

CP = 1.025 kJ/kg oC

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 138 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ρ um d (1.493) (10) (0.0254) Red = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 14756 μ 2.57 x 10-5 de modo que el flujo es turbulento. Se utilizará la siguiente ecuación para calcular el coeficiente de transferencia de calor Nu d = 0.023 Re 0d.8 Pr n

Nud = (0.023) (14756)0.8 (0.681)0.4 = 42.67 h = (k/d) Nud = (0.0386) (42.67) / (0.0254) = 64.85 W/m2 oC El flujo de calor por unidad de longitud es (q/L) = h πd (Ts – Tb) = (64.85) (π) (0.0254) (20) = 103.5 W/m Ahora se establece el balance energético para calcular el aumento de la temperatura promedio en una longitud de tubo de 3 m: ο

q = m CP ΔTb = L (q/L) ο

m = ρ um (πd2/4) = (1.493) (10) (π) [(0.0254)2 /4] = 7.565 x 10-3 kg/s

(7.565 x 10-3) (1025) (ΔTb) = (3.0) (103.5) ΔTb = 40.04 oC 5.7 En un tubo de 2.54 cm de diámetro entra agua a 60ºC a una velocidad media de 2 cm/s. Calcular la temperatura de salida del agua si el tubo tiene 3.0 m de longitud y la temperatura de la pared permanece constante a 80ºC. En primer lugar se evalúa el número de Reynolds a la temperatura media a la entrada para determinar el régimen de flujo. Las propiedades del agua a 60ºC son ρ = 985 kg/m3

;

CP = 4.18 kJ/kg oC

k = 0.651 W/m oC

;

;

μ = 4.71 x 10-4 kg/m.s

Pr = 3.02

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

139

ρUmd (985) (0.02) (0.0254) Red = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1062 μ 4.71 x 10-4 de modo que el flujo es laminar. Calculando el parámetro adicional se tiene (1062) (3.02) (0.0254) Red Pr (d/L) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 27.15 > 10 3 de modo que es aplicable la siguiente ecuación Nud = 1.86 ( Re d

1 1 ⎛d⎞ 3 3 Pr)

⎜ ⎟ ⎝L⎠

⎛ μ ⎜⎜ ⎝ μP

⎞ ⎟⎟ ⎠

0.14

La temperatura media para evaluar las propiedades no se conoce aún, así que el primer cálculo se realiza sobre la base de 60ºC, se determina una temperatura media a la salida y se realiza una segunda iteración para obtener un valor más preciso. Si las condiciones en la entrada y salida se designan con los subíndices 1 y 2, respectivamente, el balance de energía es Tb + Tb2 ⎛ q = hπdL ⎜⎜ TP − 1 2 ⎝

⎞ ο ⎟ = m CP Tb − Tb 2 1 ⎟ ⎠

(

)

(a)

A la temperatura de la pared de 80ºC se tiene μP = 3.55 x 10-4 kg/m.s ⎡ (1062) (3.02) (0.0254) ⎤ Nu d = (1.86) ⎢ ⎥ 3 ⎣ ⎦

1 3

⎛ 4.71 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3.55 ⎠

0.14

= 5.816

h = Nud (k/d) = (0.651) (5.816) /(0.0254) = 149.1 W/m2 oC El flujo másico es ο

m = ρum (πd2/4) = (985) (π) (0.0254)2 (0.02) / (4) = 9.982 x 10-3 kg/s

Introduciendo el valor de h en la ecuación (a) así como el flujo de masa y Tb1 = 60ºC y TP = 80ºC se obtiene

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 140 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tb + 60 ⎞ ⎛ ⎟ = (9.982 x 10 −3 ) ( 4180) (Tb − 60) (149.1) ( π) (0.0254) (3.0) ⎜⎜ 80 − 2 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠

Esta ecuación puede resolverse para dar Tb2 = 71.98oC Entonces habría que volver atrás y evaluar las propiedades a

71.98 + 60 Tb, media = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 66oC 2 Se obtiene ρ = 982 kg/m3

;

CP = 4185 J/kg oC

k = 0.656 W/m oC

;

;

μ = 4.36 x 10-4 kg/m.s

Pr = 2.78

(1062) (4.71) Red = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1147 4.36 (1147) (2.78) (0.0254) Re Pr (d/L) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 27.00 3 Nud = (1.86) (27.00)0.333 (4.36/3.55)0.14 = 5.743 (0.656) (5.743) h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 148.3 W/m2 oC 0.0254 Se introduce de nuevo este valor de h en la ecuación (a) para obtener Tb2 = 71.88oC

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

141

La iteración de este problema da como resultado una diferencia muy pequeña. Si se hubiese encontrado una diferencia de temperaturas media grande, el cambio en las propiedades podría haber tenido un mayor efecto.

5.8

Un tubo de 2 cm de diámetro, cuya rugosidad relativa es 0.001, se mantiene a la temperatura constante de 90ºC. En el tubo entra agua a 40ºC y sale a 60ºC. Si la velocidad a la entrada es 3 m/s, calcular la longitud de tubo necesaria para conseguir el calentamiento.

En primer lugar se calcula el calor transferido a partir de ο

q = m C P ΔT

q = (989) (3.0) (π) (0.01)2 (4174) (60 – 40) = 77.812 W Dada la condición de tubo rugoso, puede emplearse la ecuación Nu d =

( f / 8) Re d Pr 1.07 + 12.7 ( f / 8)

1 2

(Pr

2

3

⎛ μb ⎜⎜ μ − 1) ⎝ P

⎞ ⎟⎟ ⎠

n

La temperatura de película media es 90 + 50 Tf = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 70oC 2 y las propiedades del fluido son ρ = 978 kg/m3

;

μ = 4.0 x 10-4 kg/m.s

;

k = 0.664 W/m oC

Pr = 2.54 También, μb = 5.55 x 10-4 kg/m.s El número de Reynolds es entonces

;

μP = 2.81 x 10-4 kg/m.s

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 142 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(978) (3) (0.02) Red = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 146700 4 x 10-4 Consultando la gráfica 5-1, se encuentra el factor de fricción como f = 0.0218

;

f/8 = 0.002725

Puesto que TP > Tb se toma n = 0.11 y se obtiene Nu d =

(0.002725) (146700) (2.54) 1.07 + (12.7) (0.002725)

1 2

(2.54

2

3

⎛ 5.55 ⎞ ⎟ ⎜ 2.81 ⎠ − 1) ⎝

0.11

= 666.8

h = (666.8) (0.664) / (0.02) = 22138 W/m2 oC La longitud del tubo se obtiene a partir del balance de energía _

_

q = h π d L (TP − T b ) = 77812 W

L = 1.4 m 5.9 Transversalmente a un cilindro de 5 cm de diámetro circula aire a 1 atm y 35ºC a la velocidad de 50 m/s. La superficie del cilindro se mantiene a una temperatura de 150ºC. Calcular el calor perdido por unidad de longitud del cilindro. En primer lugar se determina el número de Reynolds, las propiedades del aire se evalúan a la temperatura de película 150 + 35 TP + T∞ Tf = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 92.5oC 2 2 P 1.0132 x 105 ρf = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.966 kg/m3 RT (287) (365.5) μf = 2.14 x 10-5 kg/m.s kf = 0.0312 W/m oC

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

143

Prf = 0.695 ρu∞d (0.966) (50) (0.05) Redf = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.129 x 105 μ 2.14 x 10-5 Se utilizará la ecuación Nu f = C Rendf Pr

C = 0.0266

1 3

n = 0.805

1 hd = (0.0266) (1.12 x 10 5 ) 0.805 (0.695) 3 = 275.1 kf

h = (275.1) (0.0312) / (0.05) = 171.7 W/m2 oC Por lo tanto el calor transferido por unidad de longitud es (q/L) = hπd (TP - T∞ ) = (171.7) (π) (0.05) (150 – 35) = 3100 W/m 5.10 Alrededor de una esfera de 12 mm de diámetro circula una corriente de aire a 1 atm y 27ºC con una velocidad de la corriente libre de 4 m/s. Un pequeño calentador situado dentro de la esfera mantiene la temperatura de la superficie a 77ºC. Calcular el calor perdido por la esfera. Se utilizará la ecuación 1

2

Nu = 2 + (0.4 Re d 2 + 0.06 Re d 3 ) Pr 0.4 (μ ∞ / μ P )

1 4

Las propiedades se evalúan a T∞ = 27ºC = 300 K ν = 15.69 x 10-6 m2/s

;

k = 0.02624 W/m oC

μ∞ = 1.8462 x 10-5 kg/m.s Para TP = 77ºC = 350 K μP = 2.075 x 10-5

;

Pr = 0.708

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 144 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

El número de Reynolds es (4) (0.012) Red = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 3059 15.69 x 10-6 2 ⎤ 1 ⎛ 1.8462 ⎞ ⎡ Nu = 2 + ⎢(0.4) (3059) 2 + (0.06) (3059) 3 ⎥ (0.708) 0.4 ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ 2.075 ⎠ _

1 4

= 31.4

_ _ ⎛ k ⎞ (31.4) (0.02624) h = Nu ⎜ ⎟ = = 68.66 W / m 2 o C d 0 . 012 ⎝ ⎠

El calor transferido es _

q = h A (TP - T∞) = (68.66) (4π) (0.006)2 (77 – 27) = 1.55 W 5.11 A través de un haz de tubos en línea formado por 15 filas transversales y 5 filas en la dirección de la corriente, fluye aire a 1 atm y 10ºC a la velocidad de 7 m/s medida en un punto de la corriente antes de que el aire entre al haz de tubos. Las superficies de los tubos se mantienen a 65ºC. El diámetro de los tubos es 2.54 cm; están dispuestos en línea, de modo que la separación en ambas direcciones normal y longitudinal es 3.81 cm. Calcular el calor total transferido por unidad de longitud del haz de tubos y la temperatura de salida del aire. Se utilizará la ecuación: ⎛u d ρf hd = C ⎜⎜ máx kf μ f ⎝

n

1 ⎞ ⎟⎟ Pr 3 ⎠

Las constantes pueden obtenerse de la tabla 5-4, empleando b 3.81 ⎯ = ⎯⎯ = 1.5 d 2.54

a 3.81 ⎯ = ⎯⎯ = 1.5 d 2.54

de modo que C = 0.278

n = 0.620

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

145

Las propiedades del aire se evalúan a la temperatura de película, que a la entrada del haz de tubos es 65 + 10 Tp + T∞ Tf1 = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 37.5 oC = 310.5 oK 2 2 PM (101.3) (28.84) ρ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.131 kg/m3 RT (8.319) (310.5) μf = 1.894 x 10-5 kg/m.s kf = 0.027 W/m.oC CP = 1007 J/kg oC Pr = 0.706 Para calcular la velocidad máxima, debe determinarse el área de paso mínima.

a (7) (3.81) umáx = u∞ ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 21 m/s a–d 3.81 – 2.54 donde u∞ es la velocidad incidente a la entrada del haz de tubos. El número de Reynolds se calcula utilizando la velocidad máxima. ρ umáx d (1.131) (21) (0.0254) Re = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 31 851 μ 1.894 x 10 –5 El coeficiente de transferencia de calor será: hd ⎯⎯ = (0.278) (31851)0.62 (0.706)0.333 = 153.3 kf (153.3) (0.027) h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 162.9 0.0254

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 146 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Éste es el coeficiente de transferencia de calor que se obtendría si hubiese 10 filas de tubos en la dirección de la corriente. Puesto que hay sólo 5 filas, este valor debe multiplicarse por el factor 0.92, como se deduce de la tabla 5-5. El área de la superficie para transferencia de calor, por unidad de longitud de los tubos, es A = N π d (1) = (15) (5) π (0.0254) = 5.985 m2/m donde N es el número total de tubos. Antes de calcular el calor transferido, debe observarse que la temperatura del aire aumenta cuando el aire atraviesa el haz de tubos. Por tanto, hay que tener esto en cuenta cuando se utilice q = h A (TP - T∞) Como buena aproximación, puede utilizarse el valor de la media aritmética de T∞, escribiéndose el balance energético T∞,1 + T∞,2 ⎛ q = h A ⎜⎜ Tp − 2 ⎝

⎞ • ⎟⎟ = m C p (T∞, 2 − T∞,1 ) ⎠

donde los subíndices 1 y 2 designan ahora la entrada y la salida del haz de tubos. El flujo másico a la entrada de los 15 tubos es •

m = ρ ∞ u ∞ (15) a

PM (101.3) (28.84) ρ∞ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.24 kg/m3 (8.319) (283) RT∞ •

m = (1.24) (7) (15) (0.0381) = 4.96

Reemplazando en la ecuación del balance energético se tiene: 10 + T∞, 2 ⎛ (0.92) (162.9) (5.985) ⎜⎜ 65 − 2 ⎝

Resolviendo:

T∞, 2 = 19.06oC

⎞ ⎟ = ( 4.96) (1007) (T∞, 2 − 10) ⎟ ⎠

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

147

El calor transferido es q = (4.96) (1007) ( 19.06 – 10) = 45252.16 W = 45.25 kW Este resultado podría mejorarse algo volviendo a calcular las propiedades del aire a un valor medio de T∞, pero la diferencia sería muy pequeña.

PROBLEMAS PROPUESTOS 5.12 Calcular el flujo másico del agua que circula sobre una placa plana a 15ºC y 3 m/s, a través de la capa límite a una distancia de 5 cm del borde de ataque de la placa. 5.13 Sobre una placa plana circula aire a 90ºC, 1 atm y una velocidad de 30 m/s. ¿Cuál es el espesor de la capa límite a una distancia de 2.5 cm del borde de ataque de la placa? 5.14 Sobre una placa plana circula aire en condiciones estándar de 1 atm y 30oC a 20 m/s. La placa es cuadrada, tiene 60 cm de lado y se mantiene a 90ºC. Calcular la transferencia de calor desde la placa. 5.15 Sobre una placa plana cuadrada de 30 cm de lado, circula aire a 7 kPa y 35ºC, a 7.5 m/s. La placa se mantiene a 65ºC. Estimar la pérdida de calor de la placa. 5.16 Sobre una placa horizontal circula aire a 90ºC y presión atmosférica, a 60 m/s. La placa es un cuadrado de 60 cm de lado y se mantiene a una temperatura uniforme de 10ºC. ¿Cuál es la transferencia total de calor? 5.17 Calcular la transferencia de calor desde una placa cuadrada de 30 cm de lado, sobre la que circula aire a 35ºC y 14 kPa. La temperatura de la placa es 250ºC y la velocidad de la corriente libre es 6 m/s. 5.18

Alrededor de una gran superficie de hormigón de 15 cm de ancho, mantenida a 55ºC, sopla aire a 1 atm y 27ºC. La velocidad de la corriente es 4.5 m/s. Calcular la pérdida de calor por convección de la superficie.

5.19 Sobre una placa cuadrada de 1 m de lado, circula aire a 300 K, 75 kPa y 45 m/s. La placa se mantiene a una temperatura constante de 400 K. Calcular el calor perdido por la placa.

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 148 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

5.20 Una placa plana horizontal se mantiene a 50ºC y tiene unas dimensiones de 50 x 50 cm. Se sopla aire sobre la placa, a 50 kPa, 10ºC y 20 m/s. Calcular el calor perdido por la placa. 5.21

Sobre una placa cuadrada de 20 cm de lado, circula aire con una velocidad de 5 m/s. Las condiciones de la corriente libre son 10ºC y 0.2 atm. Un calentador en la superficie de la placa proporciona un flujo de calor constante en la pared, de modo que la temperatura media de la pared es 100ºC. Calcular el flujo de calor de la superficie y el valor de h en una posición de x = 10 cm.

5.22 Sobre una placa cuadrada de 2 m de lado, circula aire a 50 kPa y 250 K, a una velocidad de 20 m/s. La placa se mantiene a una temperatura constante de 350 K. Calcular el calor perdido por la placa. 5.23 Sobre una placa plana circula aire a 1 atm y 350 K con una velocidad de 30 m/s. Calcular el flujo másico a través de la capa límite para valores de x para los que Rex = 106 y 107. 5.24 Sobre una placa plana isoterma mantenida a una temperatura constante de 65ºC circula aire. La velocidad del aire es 600 m/s con las propiedades estáticas de 15ºC y 7 kPa. Calcular el coeficiente de transferencia de calor medio para una placa de 1 m de largo. 5.25 En un tubo de 5.0 mm de diámetro entra aceite de motor a 120ºC. La pared del tubo se mantiene a 50ºC y el número de Reynolds a la entrada es 1000. Calcular el calor transferido, el coeficiente de transferencia de calor medio y la temperatura de salida del aceite para longitudes del tubo de 10, 20 y 50 cm. 5.26 Se calientan 3 kg/s de agua desde 5 hasta 15ºC pasando a través de un tubo de cobre de 5 cm de diámetro interior. La temperatura de la pared del tubo se mantiene a 90ºC. ¿Cuál es la longitud del tubo? 5.27 Se calientan 0.8 kg/s de agua desde 35 hasta 40oC en un tubo de 2.5 cm de diámetro cuya superficie está a 90ºC. ¿Qué longitud debe tener el tubo para conseguir este calentamiento? 5.28 En un tubo de 1.25 cm de diámetro y 3 m de longitud entra aceite de motor a una temperatura de 38ºC. La temperatura de la pared del tubo se mantiene a 65ºC y la velocidad de la corriente es de 30 m/s. Estimar el calor total transferido al aceite y su temperatura de salida.

CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

149

5.29 Por un tubo liso de 2.5 cm de diámetro interior y 15 m de longitud se fuerza la circulación de 0.5 kg/s de agua. La temperatura de entrada del agua es 10ºC y la temperatura de la pared del tubo es 15ºC mayor que la temperatura del agua a lo largo de todo el tubo. ¿Cuál es la temperatura de salida del agua? 5.30 Por un tubo de 3 cm de diámetro y rugosidad relativa 0.002 cuya pared se mantiene a una temperatura constante de 80ºC circula agua. Si el agua entra a 20ºC estimar el coeficiente de convección para un número de Reynolds de 105. 5.31 En un tubo de 6 mm de diámetro entran 8 x 10-5 kg/s de aire a 110 kPa y 40ºC. La temperatura de la pared del tubo se mantiene constante a 140ºC. Calcular la temperatura de salida del aire para una longitud de tubo de 14 cm. 5.32 En un tubo de 1 cm de diámetro entra aceite de motor siendo el flujo másico tal que el número de Reynolds a la entrada es 50. Calcular la temperatura de salida del aceite para una longitud de tubo de 8 cm y una temperatura en la pared constante de 80ºC. La temperatura de entrada es 20ºC. 5.33 Por un tubo de 2 cm de diámetro circula agua, siendo la velocidad media de la corriente 8 m/s. Si el agua entra a 20ºC y sale a 30ºC y la longitud del tubo es de 10 m, estimar la temperatura media necesaria en la pared para que se transfiera el calor requerido. 5.34 En un tubo de 2.0 mm de diámetro entra aceite de motor a 20ºC a una velocidad de 1.2 m/s. La temperatura de la pared del tubo es constante e igual a 60ºC y el tubo tiene 1 m de longitud. Calcular la temperatura de salida del aceite. 5.35 En un tubo de 3 mm de diámetro entra agua a 21ºC y sale a 32ºC. El flujo másico es tal que el número de Reynolds es 600. La longitud del tubo es de 10 cm y se mantiene a una temperatura constante de 60ºC. Calcular el flujo másico de agua. 5.36 Por un tubo de 5 mm de diámetro circula un flujo másico de glicerina tal que el número de Reynolds es 10. La glicerina entra a 10ºC y sale a 30ºC. La pared del tubo se mantiene constante a 40ºC. Calcular la longitud del tubo. 5.37 Un cilindro de 5 cm de diámetro se mantiene a 100ºC y está situado en una corriente de nitrógeno a 2 atm y 10ºC. El nitrógeno circula

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 150 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

transversalmente al cilindro con una velocidad de 5 m/s. Calcular el calor por unidad de longitud perdido por el cilindro. 5.38 Se sopla aire a 1 atm y 0oC transversalmente a un cilindro de 4 cm de diámetro cuya superficie se mantiene a una temperatura de 54ºC. La velocidad del aire es 25 m/s. Calcular el calor perdido por el cilindro por unidad de longitud. 5.39 Se sopla aire a 200 kPa transversalmente a un cilindro de 20 cm de diámetro a una velocidad de 25 m/s y una temperatura de 10ºC. El cilindro se mantiene a una temperatura constante de 80ºC. Calcular el calor transferido. 5.40 Alrededor de una esfera de 3 mm de diámetro circula agua a 6 m/s. La temperatura de la corriente libre es 38ºC, y la esfera se mantiene a 93ºC. Calcular el flujo de calor. 5.41 Una esfera caliente de 3 cm de diámetro se mantiene a la temperatura constante de 90ºC y está situada en una corriente de agua a 20ºC. La velocidad de la corriente de agua es 3.5 m/s. Calcular el calor perdido por la esfera. 5.42 En un haz de tubos en línea que consta de cinco filas de diez tubos cada una entra aire a 300 K y 1 atm. El diámetro de los tubos es 2.5 cm y a = b = 5.0 cm. La velocidad en la entrada es 10 m/s y la temperatura de las paredes de los tubos es 350 K. Calcular la temperatura de salida del aire. 5.43 Un haz de tubos utiliza una disposición en línea con a = b = 1.9 cm y 6.33 mm de diámetro de tubos. Se emplean 6 filas de tubos que constan de una pila de 50 tubos de altura. La temperatura de la superficie de los tubos se mantiene constante a 90ºC y transversalmente a ellos circula aire atmosférico a 20ºC siendo 4.5 m/s la velocidad antes de que la corriente entre al haz de tubos. Calcular el calor total por unidad de longitud transferido en el haz de tubos. 5.44

Una corriente de aire a 3.5 MPa y 38ºC fluye transversalmente a un haz de tubos que consta de 400 tubos de 1.25 cm de diámetro exterior, dispuestos escalonadamente con 20 filas de altura; b = 3.75 cm y a = 2.5 cm. La velocidad a la entrada de la corriente es 9 m/s y la temperatura de las paredes de los tubos se mantiene constante a 20ºC mediante vapor que condensa en el interior de los tubos. La longitud de los tubos es 1.5 m. Estimar la velocidad de salida del aire cuando sale del haz de tubos.

CAPITULO 6

CONVECCION NATURAL En el capítulo anterior se describió el fenómeno de convección forzada, en donde el fluido se hace pasar a través de la superficie de transferencia de calor mediante la acción de algún agente externo al sistema. Sin embargo a diferencia de la convección forzada, el movimiento del fluido en la convección natural resulta como consecuencia de las fuerzas de empuje que se ejercen sobre éste cuando disminuye su densidad, al encontrarse en la vecindad de la superficie de transferencia de calor y en presencia de un campo gravitacional o centrífugo en una máquina rotatoria. No obstante que el coeficiente de transferencia de calor en convección natural es relativamente bajo en comparación con el de convección forzada, muchos dispositivos dependen enteramente de este modo de transferencia de calor para su correcto funcionamiento. Tal es el caso de algunos transformadores eléctricos, radiadores para calefacción en edificios de tipo residencial, transistores en equipos electrónicos, etc. Aun cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección natural puede obtenerse analíticamente mediante la solución simultánea de las ecuaciones de continuidad, movimiento y energía, en geometrías relativamente sencillas, la tarea es enormemente compleja. Esta dificultad estriba en que las distribuciones de velocidad y de temperatura están íntimamente relacionadas entre sí y dependen la una de la otra.

6.1 ECUACIONES PARA LA CONVECCION NATURAL EN UNA PLACA PLANA VERTICAL Se considera la placa vertical de la figura a temperatura Ts que está expuesta a un fluido de menor temperatura cuyo valor es T∞. A diferencia de la convección forzada, la velocidad del fluido es igual a cero en la interfase, aumenta hasta un cierto valor máximo y luego disminuye a cero en el extremo de la capa límite. Por otra parte el desarrollo de la capa límite es inicialmente laminar, pero a medida que el fluido progresa a lo largo de la placa se empiezan a experimentar perturbaciones y el flujo sufre una transición a régimen turbulento.

152

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Turbulento 9 (Gr Pr > 10 )

Laminar 4 9 (10 < Gr Pr < 10

El estudio de un elemento finito bidimensional dentro de la capa límite conduce a la ecuación de la cantidad de movimiento de la capa límite en convección natural:

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

153

∂u ∂u ∂2u ρ ( u ⎯⎯ + v ⎯⎯ ) = g ρ β (T - T∞) + μ ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y2 El primer término del lado derecho de la ecuación es la fuerza de flotación, y el flujo se origina debido a que la densidad ρ es variable; se hace evidente como la fuerza de flotación se relaciona con la diferencia de temperaturas. 1 β = ⎯ (∂V/∂T)P = coeficiente de expansión térmica V u = componente de la velocidad en la dirección del flujo. v = componente de la velocidad perpendicular a la placa.

El conjunto de ecuaciones que gobierna la convección natural es por lo tanto:

∂u ∂v ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 ∂x ∂y ∂u ∂u ∂2u ρ ( u ⎯⎯ + v ⎯⎯ ) = g ρ β (T - T∞) + μ ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y2 ∂T ∂T ∂2T u ⎯⎯ + v ⎯⎯ = α ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y2

6.2 PARÁMETROS ADIMENSIONALES El primer número adimensional es el llamado número de Grashof local que representa la razón de las fuerzas de empuje a las fuerzas viscosas que actúan sobre el fluido. Está dado por la siguiente expresión:

154

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Grx =

g β ρ 2 (Ts − T∞ ) x 3 μ2

El segundo número adimensional es el llamado número de Rayleigh que sirve como criterio para la transición de régimen laminar a régimen turbulento y que depende de la magnitud relativa de las fuerzas de empuje y viscosa en el fluido. Está dado por la siguiente expresión y no es otra cosa que el producto del número de Grashof por el número de Prandtl. Ra x = Grx Pr =

g β ρ (Ts − T∞ ) x 3 μα

El valor de Rax crítico donde ocurre la transición es 109. En las ecuaciones anteriores: β = coeficiente de expansión volumétrica x = longitud desde el borde de la capa límite. μ = viscosidad dinámica Ts = temperatura de la pared T∞ = temperatura del fluido α = difusividad térmica Las propiedades se evalúan a la temperatura de película Tf.

6.3 COEFICIENTE LOCAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR El coeficiente de transferencia de calor puede evaluarse a partir de ⎛ dT ⎞ qP = − k A ⎜⎜ ⎟⎟ = h A (TP − T∞ ) ⎝ dy ⎠ P

Haciendo uso de las ecuaciones de la capa límite para encontrar la distribución de temperatura pueden obtenerse las siguientes ecuaciones 1 −1 −1 δ = 3.93 Pr 2 (0.952 + Pr) 4 Grx 4 x

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

h=

155

2k δ

donde δ es el espesor de la capa límite. Utilizando las relaciones anteriores se puede llegar a la siguiente ecuación adimensional que permite calcular el coeficiente local hx de transferencia de calor. Nu x = 0.508 Pr

1 2

(0.952 + Pr)

−1 4

1

Grx 4

6.4 COEFICIENTE MEDIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR La ecuación para Nux da la variación del coeficiente de transferencia de calor local a lo largo de la placa vertical. El valor medio del coeficiente de transferencia de calor puede calcularse realizando la siguiente integración:

h=

Nu =

1 L

L

∫h 0

x

dx =

4 h x =L 3

1 1 −1 hL = 0.677 Pr 2 (0.952 + Pr) 4 GrL 4 k

GrL =

g β ρ 2 (Ts − T∞ ) L3 μ2

6.5 RELACIONES EMPIRICAS PARA CONVECCION NATURAL En la mayor parte de los casos, la ecuación fundamental para calcular el coeficiente de transferencia de calor por convección está dado por la siguiente relación: N uf = C (Grf Prf)m

156

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

El subíndice f indica que las propiedades en los grupos adimensionales se evalúan a la temperatura de película T∞ + Ts 2 En la tabla 6-1 se proporciona un resumen de las correlaciones, para varias geometrías, con los valores de las constantes C y m. Tf =

Tabla 6-1 Constantes para la ecuación Nuf = C (Grf Prf)m para superficies isotermas GEOMETRIA Planos y cilindros verticales

Cilindros horizontales

Superficie superior de placas calientes o superficie inferior de placas frías Superficie superior de placas calientes o superficie inferior de placas frías Superficie inferior de placas calientes o superficie superior de placas frías Cilindro vertical (altura = diámetro). Longitud característica = diámetro Sólidos irregulares, longitud característica = distancia que una partícula fluida recorre en la capa límite

Grf Prf

C

m

10 - 10 4 9 10 – 10 9 13 10 – 10 9 13 10 – 10 -5 0 – 10 -5 4 10 - 10 4 9 10 – 10 9 12 10 – 10 -10 -2 10 – 10 -2 2 10 – 10 2 4 10 - 10 4 7 10 – 10 7 12 10 – 10 4 6 2 x 10 – 8 x 10

Gráfica 6-1 0.59 0.021 0.10 0.4 Gráfica 6-2 0.53 0.13 0.675 1.02 0.850 0.480 0.125 0.54

Gráfica 6-1 1/4 2/5 1/3 0 Gráfica 6-2 1/4 1/3 0.058 0.148 0.188 1/4 1/3 1/4

6

-1

4

8 x 10 – 10

11

0.15

1/3

5

11

0.27

1/4

4

6

0.775

0.21

4

9

0.52

1/4

10 – 10

10 – 10 10 - 10

La dimensión característica que se utiliza en los números de Nusselt y Grashof depende de la geometría del problema. Para una placa vertical es la altura de la placa L; para un cilindro horizontal es el diámetro d, etc.

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Gráfica 6-1

157

Correlación de la transferencia de calor por convección natural en placas verticales calientes

6.5.1 CONVECCION NATURAL EN PLANOS Y CILINDROS VERTICALES CON SUPERFICIES ISOTERMAS Los números de Nusselt y Grashof en paredes verticales, se forman con la altura de la superficie L como longitud característica. La transferencia de calor en cilindros verticales puede calcularse con las mismas relaciones de las placas verticales si el espesor de la capa límite no es grande comparado con el diámetro del cilindro. El criterio general es que un cilindro vertical puede tratarse como una placa plana vertical cuando D 35 > 1 L GrL 4

donde D es el diámetro del cilindro. Las relaciones de la tabla 6-1 pueden ser aplicadas, pero las siguientes relaciones dadas por Churchill y Chu son aplicables en un intervalo más amplio del número de Rayleigh:

158

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

0.670 Ra

Nu = 0.68 +

⎡ ⎢1 + ⎛⎜ 0.492 ⎞⎟ ⎢ ⎝ Pr ⎠ ⎣

1 Nu 2

0.387 Ra

= 0.825 + ⎡ ⎢1 + ⎢ ⎣

⎛ 0.492 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Pr ⎠

1 4 9

16 ⎤

4

para Ra L < 10 9 9

⎥ ⎥ ⎦

1 6

9

16 ⎤

8

para 10 −1 < Ra < 1013 27

⎥ ⎥ ⎦

6.5.2 CONVECCION NATURAL EN PLANOS Y CILINDROS VERTICALES CON FLUJO DE CALOR CONSTANTE Las correlaciones para este caso se presentan en función de un número de Grashof modificado, Gr*. Grx* = Grx Nu x =

g β qp x 4 k ν2

donde qp es el flujo de calor, por metro cuadrado, en la pared. Los coeficientes de transferencia de calor locales están correlacionados en el intervalo laminar por la siguiente relación: 1

Nu xf =

hx = 0.60 (Grx* Prf ) 5 kf

10 5 < Grx* < 1011 ; qp = constante

El criterio para flujo laminar, expresado en función de Grx* , no es el mismo que el expresado en función de Grx. La transición de la capa límite comienza entre Grx* = 3 x 1012 y 4 x 1013 y termina entre 2 x 1013 y 1014. Los coeficientes para transferencia de calor locales para la región turbulenta se pueden calcular a partir de: 1

Nu x = 0.17 ( Grx* Pr) 4

2 x 1013 < Grx* Pr < 1016 ; qp = constante

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

159

En las ecuaciones anteriores las propiedades se evalúan a la temperatura local de película. El coeficiente medio de película se puede evaluar por: h=

1 L

L

∫h 0

x

dx =

5 h x =L 4

qp = constante

6.5.3 CONVECCION NATURAL DESDE PLACAS HORIZONTALES ISOTERMAS El coeficiente de calor medio se calcula por la ecuación: N uf = C ( Grf Prf)m

Las constantes se toman de la tabla 6-1. La dimensión característica se toma como la longitud de un lado en un cuadrado, la media de las dos dimensiones en una superficie rectangular y 0.9 D en un disco circular. También es posible utilizar como dimensión característica: L=A/P donde A es el área de la superficie y P su perímetro. Esta relación es aplicable a formas planas no simétricas.

6.5.4 CONVECCION NATURAL DESDE PLACAS HORIZONTALES CON FLUJO DE CALOR CONSTANTE Se utilizan las siguientes correlaciones: Para la superficie caliente mirando hacia arriba. 1

Nu L = 0.13 (GrL Pr) 3

Nu L = 0.16 (GrL

1 3 Pr)

para GrLPr < 2 x 108 para 2 x 108 < GrL Pr < 1011

Para la superficie caliente mirando hacia abajo.

160

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1

para 106 < GrLPr < 1011

NuL = 0.58 (GrL Pr) 5

En estas ecuaciones todas las propiedades excepto β se evalúan a la temperatura Te definida por: Te = TP – 0.25(TP -T∞) TP = temperatura media de la pared, relacionada, con el flujo de calor mediante la ecuación: qp

h=

TP − T∞

El número de Nusselt es en este caso: NuL = h

qp L L = k (TP − T∞ ) k

6.5.5 CONVECCION NATURAL DESDE CILINDROS HORIZONTALES Se pueden utilizar las constantes de la tabla 6-1, pero las siguientes relaciones pueden ser aplicadas en un intervalo más amplio:

Nu

1 2

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ Gr Pr = 0.60 + 0.387 ⎨ 16 ⎬ 9 ⎤ 9 ⎪ ⎪⎡ 16 ⎪ ⎪ ⎢1 + ⎛⎜ 0.559 ⎞⎟ ⎥ ⎪ ⎪⎢ Pr ⎠ ⎥ ⎝ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣ ⎦

NuD = 0.36 +

0.518 (Gr Pr)

1 4

9 ⎤ ⎡ 16 ⎢1 + ⎛⎜ 0.559 ⎞⎟ ⎥ ⎢ ⎝ Pr ⎠ ⎥ ⎦ ⎣

4

1 6

para 10-5 < Gr Pr < 1012

para 10-6 < Gr Pr < 109 9

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Gráfica 6-2

161

Correlación de la transferencia de calor por convección natural de cilindros horizontales calientes

6.5.6 CONVECCION NATURAL EN ESFERAS Se recomiendan las siguientes ecuaciones empíricas para la transferencia de calor desde esferas al aire: Nu f =

1 hD = 2 + 0.392 Grf 4 kf

para 1< Grf < 105

La ecuación anterior puede modificarse con la introducción del número de Prandtl, asï, Nu f = 2 + 0.43 (Grf Prf )

1 4

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar para la convección natural en gases y en ausencia de mayor información pueden utilizarse también para líquidos. Para agua e intervalos mayores del número de Rayleigh, puede utilizarse la siguiente correlación,

162

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Nu f = 2 + 0.5 (Grf Prf )

1 4

3 x 105 < Gr Pr < 8 x 108

6.6 ECUACIONES SIMPLIFICADAS PARA EL AIRE En la tabla 6-2 se dan las ecuaciones simplificadas para el coeficiente de transferencia de calor desde distintas superficies al aire a presión ambiente y temperaturas moderadas. Estas relaciones pueden extenderse a presiones más altas o más bajas multiplicando por los factores siguientes: ⎛ p ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 101.32 ⎠ ⎛ p ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 101.32 ⎠

2

1 2

3

para casos laminares

para casos turbulentos

donde la presión p es la presión en kilopascales. Debe tenerse cuidado con el uso de estas relaciones simplificadas, ya que éstas son sólo aproximaciones de ecuaciones más precisas establecidas anteriormente.

Tabla 6-2 Ecuaciones simplificadas para la convección natural desde varias superficies hacia el aire a presión atmosférica Superficie

Laminar 4 9 10 < GrfPrf < 10

Plano o cilindro vertical

⎛ ΔT ⎞ h = 1.42 ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠

1 4

Cilindro horizontal

⎛ ΔT ⎞ h = 1.32 ⎜ ⎟ ⎝ d ⎠

1 4

Placa horizontal: Placa caliente mirando hacia arriba o placa fría mirando hacia abajo

⎛ ΔT ⎞ h = 1.32 ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠

1 4

Placa caliente mirando hacia abajo o placa fría mirando hacia arriba

⎛ ΔT ⎞ h = 0.59 ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠

1 4

Turbulenta GrfPrf > 109 h = 1.31( ΔT ) h = 1.24 ( ΔT ) h = 1.52 ( ΔT)

1 3

1 3

1 3

⎛ ΔT ⎞ h = 0.59 ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠

1 4

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

163

h = coeficiente de transferencia de calor, W/m2 oC ΔT = TP - T∞ , oC L = dimensión vertical u horizontal d = diámetro, m

PROBLEMAS RESUELTOS 6.1 Una placa grande vertical de 4 m de alto se mantiene a 60ºC y se expone al aire atmosférico a 10ºC. Calcular el flujo de calor transferido si la placa tiene una anchura de 10 m. Se determina la temperatura de película 60 + 10 Tf = ⎯⎯⎯⎯ = 35ºC = 308 K 2 Las propiedades son β = (1/T) = (1/308) = 3.25 x 10-3 k-1 k = 0.02685 W/m oC ν = 16.5 x 10-6 m2/s Pr = 0.7 (9.8) (3.25 x 10-3) (60-10) (4)3 Gr Pr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x 0.7 = 2.62 x 1011 (16.5 x 10-6)2 Se utiliza la ecuación:

Nu

1 2

= 0.825 +

(0.387) (2.62 x 1011 ) ⎡ ⎢1 + (0.492 / 0.7) ⎣

Nu = 716

9

16 ⎤

⎥ ⎦

1 6

8

27

= 26.75

164

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

El coeficiente de transferencia de calor es (716) (0.02685) h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.8 W/m2 oC 4.0 El flujo de calor transferido q = h A (Ts - T∞) = (4.8) (4) (10) (60 – 10) = 9606 W También se podría haber utilizado la relación Nu = 0.10 (Gr Pr)

1 3

= (0.10) (2.62x1011 )

1 3

= 639.9

Este último valor es un 10% más bajo que el obtenido con la primera ecuación.

6.2 Un calentador de 2 cm de diámetro cuya superficie se mantiene a una temperatura de 38ºC se encuentra sumergido, en posición horizontal, en agua a 27ºC. Calcular, por unidad de longitud del calentador, el calor perdido por convección natural. La temperatura de película es 38 + 27 Tf = ⎯⎯⎯⎯ = 32.5oC 2 Las propiedades del agua, del apéndice k = 0.630 W/m2 oC Calculamos el término, g β ρ2 CP ⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.48 x 1010 μk el término anterior, multiplicado por D3 ΔT da como resultado Gr Pr. Gr Pr = (2.48 x 1010) (38 – 27) (0.02)3 = 2.18 x 106

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

165

Utilizando la tabla 6-1 se tiene: C = 0.53 y m = ¼ Nu = (0.53) (2.18 x 10 6 )

1 4

= 20.36

(20.36) (0.63) h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 642 W/m2 oC 0.02 La transferencia de calor será (q/L) = h π D (TP - T∞) = (642) (π) (0.02) (38 – 27) = 443 W/m 6.3 Un alambre delgado, que tiene un diámetro de 0.02 mm, se mantiene a una temperatura constante de 54ºC por medio de una corriente eléctrica. El alambre se expone al aire a 1 atm y a 0oC. Calcular la potencia eléctrica necesaria para mantener la temperatura del alambre si la longitud de éste es 50 cm. La temperatura de película es 54 + 0 Tf = ⎯⎯⎯⎯ = 27ºC = 300 K 2 Las propiedades del aire son β = 1/300 = 0.00333 K-1 k = 0.02624 W/m oC ν = 15.69 x 10-6 m2/s Pr = 0.708 El producto Gr Pr será (9.8) (0.00333) (54 – 0) (0.02 x 10 -3)3 Gr Pr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x (0.708) = 4.05 x 10-5 (15.69 x 10-6)2 En la tabla 6-1: C = 0.675 y m = 0.058

166

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Nu = (0.675) (4.05 x 10-5)0.058 = 0.375 k (0.375) (0.02624) h = Nu (⎯) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 492.6 W/m2 oC D 0.02 x 10-3 El flujo de calor transferido o la potencia necesaria es q = h A (TP - T∞) = (492.6) (π) (0.02 x 10-3) (0.5) (54 – 0) = 0.836 W 6.4

Una tubería horizontal de 0.3048 m de diámetro se mantiene a una temperatura de 250ºC en una habitación en la que el aire ambiente se encuentra a 15ºC. Calcular, por unidad de longitud, el calor perdido por convección natural.

250 + 15 Tf = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 132.5 oC = 405.5 K 2 k = 0.03406 W/m oC β = 1/T = 1/405.5 = 2.47 x 10-3 K-1 ν = 26.54 x 10-6 m2/s Pr = 0.687 gβ (TP - T∞) D3 GrD Pr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Pr ν2

(9.8) (2.47 x 10-3) (250 – 15) (0.3048)3 (0.687) GrDPr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.571 x 108 (26.54 x 10-6)2

De la tabla 6-1: C = 0.53 y m =1/4 NuD = 0.53 (Gr Pr)1/4 = (0.53) (1.571 x 108)1/4 = 59.4

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

167

(0.03406) (59.4) k NuD h = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 6.63 W/m2 oC D 0.3048 El calor transferido por unidad de longitud será, (q/L) = h π D (TP - T∞) = (6.63) (π) (0.3048) (250 – 15) = 1.49 kW/m Como alternativa, se podría emplear la ecuación

Nu

Nu

1 2

1 2

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ Gr Pr = 0.60 + 0.387 ⎨ 16 ⎬ 9 ⎤ 9 ⎪ ⎪⎡ 16 ⎪ ⎢1 + ⎛⎜ 0.559 ⎞⎟ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎪ Pr ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎩⎪ ⎣ ⎭⎪

⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ = 0.60 + 0.387 ⎨ ⎪⎡ ⎪ ⎢1 + ⎪⎢ ⎩⎪ ⎣

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 1.571x 10 8 16 ⎬ 9 ⎤ 9 ⎪ ⎛ 0.559 ⎞ 16 ⎥ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 0 . 687 ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎭⎪

1 6

1 6

Nu = 64.7 El resultado anterior es 8% mayor que el calculado anteriormente. 6.5 Un cubo de 20 cm de lado y que se mantiene a 60ºC, está expuesto al aire ambiente a 20ºC. Calcular la transferencia de calor. Se trata de un sólido irregular, así que, se utilizará la tabla 6-1, al no disponerse de una correlación específica para esta geometría. Las propiedades son

168

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β = 3.25 x 10-3 K-1 k = 0.02685 W/m oC ν = 17.47 x 10-6 m2/s Pr = 0.7 La longitud característica es la distancia que recorre una partícula en la capa límite, que en este caso es L/2 a lo largo de la cara inferior, más L a lo largo de la cara lateral, más L/2 a lo largo de la cara superior, esto es, 2L = 40 cm. (9.8) (3.25 x 10-3) (60 – 10) (0.4)3 Gr Pr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x (0.7) = 3.34 x 108 (17.47 x 10-6)2 De la tabla 6-1: C = 0.52 y m = 1/4 Nu = (0.52) (3.34 x 108)1/4 = 135.2 k (135.2) (0.02685) h = Nu ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 9.07 W/m2 oC L (0.4) El área del cubo será: A = 6 (0.2)2 = 0.24 m2 El calor transferido es q = h A (TP - T∞) = (9.07) (0.24) (60 – 10) = 108.8 W

PROBLEMAS PROPUESTOS 6.6 Una placa cuadrada vertical, de 1 m de lado, se calienta hasta 400ºC y se expone al aire ambiente a 25ºC. Calcular la pérdida de calor por una de las caras de la placa. 6.7 Un cilindro vertical de 1.8 m de alto y 7.5 cm de diámetro, se mantiene a una temperatura de 93ºC en un ambiente a 30ºC. Calcular la pérdida de calor por convección natural de este cilindro. Para el cálculo, el cilindro puede tratarse como una placa plana vertical.

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

6.8

169

Una placa vertical cuadrada de 30 cm de lado se calienta eléctricamente, de modo que se mantiene un flujo de calor constante, siendo 30 W el calor disipado. El aire ambiente se encuentra a 1 atm y 20ºC. Calcular el valor del coeficiente de transferencia de calor a 15 y 30 cm de altura. Calcular también el coeficiente de transferencia de calor medio de la placa.

6.9 Una placa vertical cuadrada de 0.3 metros de lado se mantiene a 49ºC y está expuesta al aire ambiente a 1 atm y 19ºC. Calcular la pérdida de calor por ambas caras de la placa. 6.10 Calcular la pérdida de calor por convección natural de una placa vertical cuadrada de 0.61 m de lado, que se mantiene a 100ºC y está en presencia de helio a 20ºC y 2 atm. 6.11 Una placa grande vertical de 6.1 m de altura y 1.22 m de ancha, se mantiene a una temperatura constante de 57ºC y está en presencia de aire atmosférico a 4ºC. Calcular la pérdida de calor de la placa. 6.12 Una placa cuadrada vertical, de 1 m de lado, se mantiene a 49ºC en aire ambiente a 21ºC. Calcular la pérdida de calor de la placa. 6.13

¿Qué distancia vertical se necesita para que, en aire en condiciones estándar y ΔT = 10ºC, el número de Rayleigh valga 10?

6.14

Una placa vertical de 25 x 25 cm está equipada con un calentador eléctrico que proporciona un flujo de calor constante de 1000 W/m2. La placa se sumerge en agua a 15ºC. Calcular el coeficiente de transferencia de calor y la temperatura media de la placa. ¿Qué cantidad de calor perdería una superficie isoterma a esta temperatura media?

6.15

Una placa vertical de 25 x 25 cm está equipada con un calentador eléctrico que proporciona un flujo de calor constante de 1000 W/m2. La placa se sumerge en agua a 15ºC. Calcular el coeficiente de transferencia de calor y la temperatura media de la placa. ¿Qué cantidad de calor perdería una superficie isoterma a esta temperatura media?

6.16 Un calentador eléctrico horizontal con D = 2 cm está colocado en un recipiente que contiene etilenglicol a 80oC. La temperatura de la superficie del calentador se mantiene a 200ºC. Calcular la transferencia de calor si el calentador mide 40 cm de largo. 6.17 Una varilla caliente horizontal de 3 cm de diámetro y 1 m de longitud está colocada en un recipiente con amoniaco líquido saturado a 20ºC. La

170

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

superficie del calentador se mantiene a una temperatura constante de 70ºC. Calcular el flujo de calor. 6.18 La condensación de vapor de agua a 120ºC en el interior de una tubería horizontal de 7.5 cm de diámetro se utiliza para suministrar calor a una cierta área de trabajo en el que la temperatura del aire ambiente es 17ºC. El calor total necesario es 29.3 kW. ¿Qué longitud de tubería se precisa para llevar a cabo este calentamiento? 6.19 Un alambre de platino de 10 cm de longitud y 0.4 mm de diámetro se coloca horizontalmente en un recipiente con agua a 38ºC y se calienta por medio de energía eléctrica, de manera que la temperatura de la superficie se mantiene a 93oC. Calcular el calor perdido por el alambre. 6.20 Por una tubería de acero de 2.5 cm de diámetro interior (DI) y 3 cm de diámetro exterior (DE) circula agua, con un flujo másico de 0.8 kg/s, a 90ºC. La temperatura de la superficie exterior de la tubería es 85ºC, y la temperatura del aire ambiente es 20ºC. La presión atmosférica es 1 atm. y la longitud de la tubería es 15 m. ¿Cuánto calor se pierde por convección natural al ambiente? 6.21 Una tubería horizontal de 8 cm de diámetro está colocada en un recinto en el que el aire ambiente está a 20ºC. La temperatura de la superficie de la tubería es de 140ºC. Calcular la pérdida de calor por convección natural por metro de tubo. 6.22 Un tubo horizontal de 1.25 cm de diámetro exterior se calienta hasta que la temperatura de su superficie alcanza los 250ºC y se expone al aire a una temperatura ambiente de 20ºC y 1 atm. ¿Cuál es la transferencia de calor por convección natural por unidad de longitud de tubo? 6.23 Un calentador eléctrico horizontal de 2.5 cm de diámetro se encuentra sumergido en un baño de aceite ligero a 93ºC. La temperatura de la superficie del calentador se mantiene a 150ºC. Calcular el calor perdido por unidad de longitud del calentador. 6.24 Un alambre delgado de 0.0254 mm de diámetro, se calienta por medio de una corriente eléctrica y se coloca horizontalmente en una cámara que contiene helio a 3 atm y 10ºC. Si la temperatura de la superficie del alambre no excede de los 240ºC, calcular la potencia eléctrica que hay que suministrar por unidad de longitud.

CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

171

6.25 Un conducto circular grande, de 3 m de diámetro, lleva gases calientes a 250ºC. El exterior del conducto está expuesto al aire ambiente a 1 atm y 20ºC. Estimar la pérdida de calor por unidad de longitud del conducto. 6.26 Un calentador cilíndrico de 2 cm de diámetro se coloca en un depósito de glicerina a 20ºC. La temperatura de la superficie del calentador es 60ºC y su longitud 60 cm. Calcular la transferencia de calor. 6.27 Un cilindro de 3.5 cm de diámetro contiene un calentador eléctrico que mantiene en la superficie un flujo de calor constante de 1500 W/m2. Si el cilindro está inclinado en ángulo de 35º con la horizontal y se halla expuesto al aire ambiente a 20ºC, estimar la temperatura media de la superficie. 6.28 Una tubería horizontal de 30 cm de diámetro se mantiene a una temperatura constante de 25ºC y está colocada en el aire ambiente a 20ºC. Calcular la pérdida de calor por convección natural de la tubería por unidad de longitud. 6.29 Un cilindro horizontal de 5 cm de diámetro y una longitud de 3 m se mantiene a 82.2ºC y se sumerge en agua que está a 15.6ºC. Calcular el calor perdido por el cilindro. 6.30 Un cilindro horizontal de 2 m de diámetro se mantiene a una temperatura constante de 77ºC y está colocado al aire, en un gran almacén a 27ºC. La longitud del cilindro es 20 m. Calcular el calor perdido por el cilindro. 6.31 Calcular el flujo de calor cedido por convección natural desde una esfera de 30 cm de diámetro que se mantiene a 90ºC y se halla expuesta al aire ambiente a 20ºC. 6.32 Una esfera de 2.5 cm de diámetro a 32ºC se sumerge en agua a 10ºC. Calcular el flujo de calor cedido por la esfera por convección natural. 6.33 Una esfera de 2.5 cm de diámetro se mantiene a 38ºC sumergida en agua a 15ºC. Calcular el flujo de calor en estas condiciones. 6.34 La superficie superior de una placa horizontal de 10 x 10 m se mantiene a 25ºC en un ambiente a 28ºC. Calcular la transferencia de calor. 6.35 Una placa circular caliente de 15 cm de diámetro, se mantiene a 150ºC en aire atmosférico que está a 20ºC. Calcular la pérdida de calor por convección natural cuando la placa está en posición horizontal.

172

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

6.36 Un calentador horizontal de 4 x 4 m está colocado en el aire ambiente de una habitación a 15ºC. Tanto la superficie superior como la inferior de la placa están a 50ºC. Calcular la pérdida total de calor por convección natural. 6.37 Una placa horizontal, a temperatura uniforme de 400 K, tiene la forma de un triángulo equilátero de 45 cm de lado y está expuesta al aire ambiente a 300 K. Calcular el calor perdido por la placa. 6.38 Un pequeño bloque de cobre que tiene la base cuadrada de 2.5 x 2.5 cm y una altura vertical de 5 cm se enfría en el aire ambiente a 1 atm y 20ºC. El bloque es isotermo y se encuentra a 93ºC. Calcular el flujo de calor. 6.39 Un pequeño calentador horizontal tiene la forma de un disco circular de 3 cm de diámetro. El disco se mantiene a 50ºC en presencia del aire ambiente a 30ºC. Calcular la pérdida de calor.

CAPITULO 7

CONDENSACION Y EBULLICION En muchos procesos de transferencia de calor en los que interviene un vapor saturado se experimenta un cambio de fase al estado líquido mediante el mecanismo de condensación. Este fenómeno ocurre cuando el vapor se pone en contacto con una superficie a menor temperatura. Por otra parte, en otros procesos se experimenta un cambio de fase inverso del estado líquido al de vapor mediante el mecanismo de ebullición. Los problemas de transferencia de calor en estas condiciones de condensación y ebullición son considerablemente más complejos que los de convección sin cambio de fase, por lo que en el presente capítulo se dará prelación a la comprensión física del mecanismo, limitándose el estudio a sustancias puras.

7.1 CONDENSACION Se considera la placa vertical de la figura, la cual se mantiene a una temperatura TP inferior a la de saturación del vapor que la rodea. Como consecuencia de la condensación generalmente se forma una película de líquido sobre la superficie, la cual fluye hacia abajo debido a la atracción gravitacional e incrementa su espesor a medida que una mayor cantidad de vapor se condensa en la interfase. A menos que la velocidad del vapor sea muy alta o el espesor de la película sea grande, el flujo de condensado es laminar y el calor se transfiere hacia la superficie solamente por conducción. A este fenómeno de transferencia de calor se le conoce como condensación en forma de película. En otras circunstancias menos comunes, cuando la superficie de transferencia de calor está contaminada con alguna sustancia que evita que el líquido se adhiera a la superficie, el vapor se condensa en gotas en vez de formar una película continua. A este fenómeno se le conoce como condensación en forma de gotas.

174

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

En el caso de la condensación en forma de película el coeficiente de transferencia de calor puede determinarse en forma analítica recurriendo a la metodología propuesta por Nusselt. Considerando el sistema de coordenadas mostrado en la figura, la temperatura de la placa se mantiene a Tp y la temperatura del vapor en el borde de la película es la temperatura de saturación Tsat. El espesor de la película se representa por δ, y se elige el sistema de coordenadas con la dirección positiva de las x medida hacia abajo. Se supone que el esfuerzo viscoso del vapor sobre la película es despreciable en y=δ. Se supone además que hay una distribución de temperaturas lineal entre las condiciones de la pared y del vapor. Haciendo un balance de fuerzas sobre un elemento de fluido, con profundidad unitaria, ver figura, se tiene:

δ-y

TP

x

Tsat

dx

dx μ (du/dy) dx

y

ρv g (δ-y) dx ρL g (δ-y) dx

δ

μL

du dx = g (ρ L − ρ V ) (δ − y) dx dy

A partir de la ecuación anterior se obtiene analíticamente la expresión para el coeficiente promedio de transferencia de calor: ⎡ ρ L (ρ L − ρ V ) g h fg k L3 h = 0.943 ⎢ ⎢⎣ L μ L (Tsat − TP )

⎤ ⎥ ⎥⎦

1 4

CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

175

En forma más general, el coeficiente promedio de transferencia de calor para una placa inclinada un ángulo φ respecto a la horizontal es ⎡ ρL (ρL − ρ V ) g h fg k L3 ⎤ h = 0.943 ⎢ sen φ⎥ ⎢⎣ L μ L (Tsat − TP ) ⎥⎦

1 4

Los resultados experimentales han demostrado que esta ecuación es conservativa, ya que los valores obtenidos con ella son aproximadamente un 20% más bajos que los valores medidos. En consecuencia, la relación recomendada para placas inclinadas (incluidas verticales) es ⎡ ρ L (ρ L − ρ V ) g h fg k L3 ⎤ h = 1.13 ⎢ sen φ⎥ ⎢⎣ L μ L (Tsat − TP ) ⎥⎦

1 4

Tubos verticales. La ecuación anterior, con senφ = 1, también es válida para las superficies interiores y exteriores de tubos verticales, cuando su diámetro D es grande comparado con el espesor de la película δ. No obstante, no es válida para tubos inclinados, ya que en este caso el flujo de la película puede no ser paralelo al eje del tubo. Tubos horizontales. Mediante un análisis de Nusselt para condensación externa se obtiene ⎡ ρ L (ρ L − ρ V ) g h fg k L3 h = 0.725 ⎢ ⎢⎣ D μ L (Tsat − TP )

⎤ ⎥ ⎥⎦

1 4

Cuando la condensación tiene lugar en una batería de n tubos horizontales dispuestos en una fila vertical, el condensado de un tubo superior que cae sobre los tubos inferiores afecta la velocidad de transferencia de calor en estos últimos. En este caso se debe calcular aproximadamente la transferencia de calor, reemplazando D por nD, ya que no se han desarrollado relaciones empíricas que tengan en cuenta las salpicaduras y otros efectos.

Condensación en película turbulenta. Cuando una película de líquido es suficientemente fuerte, el calor se transfiere no solo por conducción sino también mediante la difusión de remolino, la cual es una característica de la turbulencia. Este fenómeno puede ocurrir en superficies verticales altas o en baterías de tubos horizontales. El criterio para determinar si el flujo es laminar o

176

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turbulento es el número de Reynolds y para el sistema de condensación éste se define como Re f =

VDhρ L 4 ρL A V = μL P μL

Dh = diámetro hidráulico ≅ 4 A/P A = área de flujo P = perímetro mojado V = velocidad media de la corriente

donde

Pero ο

m = ρAV ο

4m Re f = P μL ο

donde m es el flujo de masa a través de la sección particular de la película de condensado. Para una placa vertical de anchura unidad, P=1; para un tubo vertical P = π D. El número de Reynolds crítico es aproximadamente 1800, y se deben usar las correlaciones de turbulencia para la transferencia de calor a números de Reynolds mayores que ese valor. Algunas veces el número de Reynolds se expresa en función del flujo de masa por unidad de anchura de la placa Γ. de modo que Ref = 4 Γ /μL En el cálculo de los números de Reynolds, el flujo de masa puede relacionarse con la transferencia total de calor y con el coeficiente de transferencia de calor mediante ο

q = h A (Tsat –TP) = m hfg donde A es el área total de la superficie de transferencia de calor. ο

m=

q h A (Tsat − TP ) = h fg h fg

CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Re f =

Pero:

A = LW

y

177

4 h A (Tsat − TP ) h fg P μ L

P=W

donde L y W son la altura y el ancho de la placa, respectivamente, de modo que Re f =

4 h L (Tsat − TP ) h fg μ L

Para superficies inclinadas de anchura W, A/P = LW/W = L; para tubos verticales, A/P = πDL/πD = L; y para tubos horizontales, A/P = πDL/L = πD. En este punto debe observarse que el número de Reynolds de transición para un tubo horizontal es 3600 en lugar de 1800, ya que la película fluye hacia abajo por ambos lados del tubo. Sin embargo, esto resulta académico, pues sobre un tubo horizontal difícilmente se presenta flujo turbulento, debido a su pequeña dimensión vertical. El mecanismo de la condensación es algo diferente si el vapor que condensa está recalentado en lugar de saturado. Los resultados experimentales han demostrado que en la mayoría de casos se puede despreciar el efecto del recalentamiento y pueden utilizarse las ecuaciones para vapores saturados, sin que el error introducido sea apreciable. Debe hacerse énfasis, sin embargo, en que (Tsat – TP) sigue siendo la diferencia de temperatura que rige y la temperatura real del vapor recalentado no interviene en los cálculos. En todas las relaciones de condensación, las propiedades del condensado se evalúan a la temperatura media de la película Tf = (Tsat + TP)/2; las propiedades del vapor se evalúan a la temperatura de saturación y hfg se toma a la temperatura de saturación del vapor.

7.2 EBULLICION Cuando un fluido confinado en un recipiente se calienta desde abajo, por ejemplo, con un alambre sumergido, y la adición de calor es lenta, se observa la formación de vapor en la superficie libre. A medida que aumenta el flujo de calor se forman burbujas en la superficie del elemento de calefacción, las cuales cambian de tamaño mientras suben por el fluido, además de la evaporación en la superficie libre. Esta formación de burbujas, con la agitación que le es propia, se denomina ebullición.

178

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El comportamiento de un fluido durante la ebullición depende en gran medida del exceso de temperatura, ΔTx = TP – Tsat , medido a partir de la temperatura de ebullición del fluido. La figura indica seis regímenes diferentes para la ebullición en recipiente típica; la curva de flujo de calor se denomina comúnmente curva de ebullición. Régimen I. El calor se transfiere por convección libre, como se describe en el capítulo anterior. Régimen II. Empiezan a aparecer burbujas en la superficie de calefacción y suben, en forma individual, hasta la superficie libre. Régimen III. La acción de la ebullición se hace tan fuerte que las burbujas individuales se combinan unas con otras, rápidamente para formar una columna de burbujas de vapor que llega hasta la superficie libre.

Exceso de temperatura ΔTx = TP - Tsat , F o

Gráfica 7-1 Alambre de calefacción horizontal de cromel de 0,04 pulgadas de diámetro en agua a 1 atm 2

(BTU/hr.pie ) = 3.15 W/m

2

2 o

2 o

(BTU/hr.pie F) = 5.67 W/m C

CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

179

Régimen IV. Las burbujas se forman tan rápidamente que cubren la superficie de calefacción, evitando que nuevas partículas de fluido se pongan en contacto con ella. La resistencia de la película se incrementa, reduciendo el flujo de calor y la rapidez de transferencia de calor disminuye, aumentando la diferencia de temperatura. Debido a que la película se desvanece y reaparece intermitentemente, este régimen es muy inestable. Régimen V. La película sobre la superficie de calefacción se hace estable. Cuando ΔT alcanza aproximadamente los 540ºC, la transferencia de calor por radiación empieza a tener importancia, en realidad se hace predominante, y el flujo de calor vuelve a aumentar cuando aumenta ΔT. El flujo de calor pico, punto B se llama punto de quemado. Esta es la condición que se presenta cuando el incremento del flujo de calor debido al aumento de ΔT se compensa con el incremento de la resistencia de la película de vapor que cubre la superficie de calefacción. Los dos efectos se equilibran, produciendo lo que a veces se denomina ebullición crítica o desviación de la ebullición en núcleos. Para muchos fluidos comunes, la temperatura en D es superior al punto de fusión de la mayoría de los materiales de calefacción y el calentador falla antes de alcanzarla. Si el calentador no se funde, la curva de ebullición continúa ascendiendo más allá del punto D. Como la ebullición es un fenómeno predominantemente local, el coeficiente de transferencia de calor h generalmente se expresa sin la barra superior. Sin embargo, la mayoría de aplicaciones requieren el cálculo de un flujo promedio de calor. Como el quemado de los elementos de calefacción es un problema corriente de ebullición y el flujo de calor más alto es una cantidad local para un régimen determinado, el valor local es el que se debe utilizar en diseño, lo cual constituye un criterio conservativo.

Ebullición en recipientes. Convección Libre (Régimen I). Utilizando la ecuación general de la convección natural, hL = C (GrL Pr)m k

la rapidez de transferencia de calor en este régimen está dada por q = h A (TP – Tb)

⇒

q/A = h (TP – Tb)

180

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k q = C (GrL Pr) a (TP − Tb ) L A

donde Tb es la temperatura media volumétrica y las constantes m y C se toman de la tabla correspondiente del capítulo anterior. Como GrL = g β (TP – Tb) L3 /ν2 y el exponente a es generalmente ¼ para flujo laminar y 1/3 para flujo turbulento, la rapidez de transferencia de calor en éste régimen varía con ΔT a la potencia 5/4 para flujo laminar y 5/3 para flujo turbulento.

Ebullición en núcleos (Regímenes II y III). La correlación general más aceptada para la transferencia de calor en los regímenes de ebullición en núcleos es la debida a W.M. Rohsenow. q = μ L h fg A

donde:

g (ρ L − ρ V ) σ*

⎡ C (T − T ) ⎤ ⎢ L P s sat ⎥ ⎢⎣ h fg PrL C fs ⎥⎦

3

CL = calor específico del líquido saturado, J/kg oC Csf = constante para la combinación superficie –fluido (ver tabla) g = aceleración de la gravedad, m/s2 hfg = entalpía de evaporación, J/kg PrL = número de Prandtl del líquido saturado q/A = flujo de calor por unidad de área TP – Tsat = ΔTx = exceso de temperatura, oC μL = viscosidad del líquido, kg/m.s σ* = tensión superficial, N/m ρL = densidad del líquido saturado, kg/m3 ρV = densidad del vapor saturado, kg/m3 s = 1.0 para el agua y 1.7 para otros líquidos

La constante para la combinación superficie-fluido, es función de la rugosidad superficial y del ángulo de contacto entre la burbuja y la superficie de calefacción. En la siguiente tabla se dan algunos valores.

Combinación superficie-fluido Agua-latón Agua-cobre Agua-níquel

Csf 0.006 0.013 0.006

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Agua-platino CCl4 - cobre Benceno-cromo n-Pentano-cromo Alcohol etílico-cromo Alcohol isopropílico-cobre n-Alcohol butílico

181

0.013 0.013 0.010 0.015 0.0027 0.0025 0.0030

Para la tensión superficial del agua se puede utilizar la siguiente ecuación: σ* = (0.07708) (0.9584 – 0.00234 T) T ( oC)

y

σ (N/m)

Flujo de calor pico. En el punto donde la transferencia de calor es máxima (punto B de la gráfica), se recomienda la correlación ⎡ σ * (ρL − ρ V ) g ⎤ ⎡q⎤ = (0.18) ρ V h fg ⎢ ⎥ ⎢A⎥ ρ 2V ⎣ ⎦ máx ⎢⎣ ⎥⎦

1 4

⎡ ρL ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ρL + ρ V ⎦

1 2

Obsérvese que el flujo de calor pico es independiente del elemento de calefacción. Ebullición en forma de película (Regímenes IV, V y VI) Tubo horizontal. Con base en un estudio de la conducción a través de la película sobre un tubo caliente y la radiación del tubo, L. A. Bromley propuso las siguientes ecuaciones para determinar el coeficiente de transferencia de calor por ebullición, en estos regímenes: ⎛h ⎞ h = hc ⎜ c ⎟ ⎝ h ⎠

1 3

+ hr

⎡ k v ρ v (ρL − ρ v ) g (h fg + 0.4 C v ΔTx ) ⎤ hc = (0.62) ⎢ ⎥ D μ v ΔTx ⎣ ⎦

1 4

182

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hr =

4 σ ε (TP4 − Tsat ) TP − Tsat

En las ecuaciones anteriores σ es la constante de Stefan-Boltzmann y ε es la emisividad de la superficie. En la ecuación para hc, D es el diámetro exterior del tubo y las propiedades del vapor se toman a la temperatura media de película, Tf = (TP + Tsat) / 2. Tubo vertical. Para tubos verticales, Y. Y. Hsu y J. W. Westwater propusieron la correlación

h = (0.002) Re

0.6

⎡ g ρ v (ρL − ρ v ) k 3v ⎤ ⎢ ⎥ μ 2v ⎢⎣ ⎥⎦

1 3

donde ο

4m Re = πDμv ο

m = flujo de vapor en el extremo superior del tubo. Para condiciones análogas, el flujo de calor es mayor para tubos verticales que para horizontales.

Flujo mínimo de calor. Utilizando la inestabilidad hidrodinámica del límite líquido-vapor, N. Zuber y M. Tribus encontraron la siguiente ecuación para expresar el flujo mínimo de calor en la ebullición por película (punto C de la gráfica). ⎡ g (ρ L − ρ v ) ⎤ ⎡q⎤ = (0.09) ρ v h fg ⎢ ⎥ ⎢A⎥ ⎣ ⎦ min ⎣ ρL + ρ v ⎦

2

3

⎡ ⎤ σ ⎢ ⎥ ρ − ρ g ( ) L v ⎦ ⎣

1 2

⎡ ⎤ μf ⎢ ⎥ ρ − ρ g ( ) v ⎦ ⎣ o L

1 3

Las propiedades se evalúan a la temperatura media de película y go es la aceleración normal de la gravedad, 9.81 m/s2. Relaciones simplificadas para el agua. Se han desarrollado muchas relaciones para estimar los coeficientes de transferencia de calor por ebullición del agua. Jakob y Hawkins presentan algunas de las relaciones más sencillas para la ebullición del agua sobre el

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183

exterior de superficies sumergidas a presión atmosférica. Esos coeficientes de transferencia de calor pueden modificarse para tener en cuenta la influencia de la presión haciendo uso de la relación empírica ⎛p ⎞ hp = h1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠

donde

Superficie Horizontal Vertical

0.4

hp = coeficiente de transferencia de calor a presión p. h1 = coeficiente de transferencia de calor a presión atmosférica determinado en la siguiente tabla. p = presión del sistema p1 = presión atmosférica normal q/A, kW/m2 q/A < 16 16 < (q/A) < 240 q/A < 3 3 < (q/A) < 63

h, W/m2 oC 1.042(ΔTx)0.33 5.56 (ΔTx)3 537 (ΔTx)0.143 7.96 (ΔTx)3

ΔTx, oC 0 – 7.76 7.32 – 14.4 0 – 4.51 4.41 – 9.43

Intervalo de h 0 – 2060 2180 – 16600 0 – 670 680 - 6680

Para ebullición local en convección forzada en el interior de tubos verticales, se recomienda la siguiente relación h = 2.54 ( ΔTx ) 3 e

p 1.551

donde ΔTx es la diferencia de temperaturas entre la de la superficie y la del líquido saturado en oC, y p es la presión en MPa. La ecuación es válida en el intervalo de presiones de 5 a 170 atm.

PROBLEMAS RESUELTOS 7.1 Una placa vertical cuadrada, de 30 x 30 cm, se coloca en presencia de vapor de agua a presión atmosférica. La temperatura de la placa es 98ºC. Calcular la transferencia de calor y la masa de vapor de agua condensado por hora.

184

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Debe comprobarse el número de Reynolds para determinar si la película de condensado es laminar o turbulenta. Las propiedades se evalúan a la temperatura de película 100 + 98 Tf = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 99oC 2 ρL = 960 kg/m3

μL = 2.82 x 10-4 kg/m.s

;

;

kL = 0.68 W/m oC

En este problema, la densidad del vapor es muy pequeña en comparación con la del líquido, y está justificado hacer la sustitución: ρL (ρL - ρv) ≈ ρL2 Al tratar de calcular el número de Reynolds, se encuentra que éste depende del flujo másico de condensado. Pero este último depende del coeficiente de transferencia de calor, el cual depende a su vez del número de Reynolds. Para resolver el problema se supone o flujo laminar o turbulento, se calcula el coeficiente de transferencia de calor y después se comprueba el número de Reynolds para ver si la hipótesis inicial del flujo era correcta o no. Suponiendo condensación en película laminar. A presión atmosférica se tiene º

Tsat = 100 C

hfg = 2255 kJ/kg

⎡ ρL2 g h fg k L3 ⎤ h = 0.943 ⎢ ⎥ ⎢⎣ L μ L (Tsat − TP ) ⎥⎦ ⎡ (960) 2 (9.8) (2255x10 3 ) (0.68) 3 ⎤ h = 0.943 ⎢ ⎥ −4 ⎢⎣ (0.3) (2.82 x 10 ) (100 − 98) ⎥⎦

1 4

1 4

= 13150 W / m 2 o C

Al comprobar el número de Reynolds se tiene Re f =

Re f =

4 h L (Tsat − TP ) h fg μ L

( 4) (13150) (100 − 98)(0.3) (2.255x10 6 ) (2.82x10 − 4 )

= 49.6

CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

185

de manera que la hipótesis de laminar es correcta. La transferencia de calor se calcula ahora por q = h A (Tsat – TP) = (13150) (0.3)2 (100 – 98) = 2367 W El flujo de masa de condensado es ο

m=

q 2367 = = 1.05 x 10 −3 kg / s h fg 2.255 x 10 6

7.2 Cien tubos de 1.27 cm de diámetro están dispuestos formando un cuadrado y en presencia de vapor de agua a presión atmosférica. Calcular la masa de vapor de agua condensado, por unidad de longitud de tubos, para una temperatura de la pared del tubo de 98ºC. Las propiedades del condensado se toman del problema anterior. Para la solución se sustituye D por nD con n=10. ⎡ ρL2 g h fg k L3 ⎤ h = 0.725 ⎢ ⎥ ⎢⎣ nD μ L (Tsat − TP ) ⎥⎦ ⎡ (960) 2 (9.8) (2.255 x 10 6 ) (0.68)3 ⎤ h = 0.725 ⎢ ⎥ −4 ⎣⎢ (2.82 x 10 ) (10) (0.0127) (100 − 98) ⎦⎥

1 4

1 4

= 12540 W / m 2 o C

El área de la superficie total es (A/L) = n π D = (100) (π) (0.0127) = 3.99 m2/m La transferencia de calor es (q/L) = h (A/L) (Tv – TP) = (12540) (3.99) (100 – 98) = 100.07 kW/m El flujo de masa total de condensado por metro de longitud es ο

m=

q 1.0007 x 10 5 = = 0.0444 kg / s h fg 2.255 x 10 6

186

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7.3 Un alambre de 1.0 mm de diámetro y 150 mm de longitud, se sumerge horizontalmente en agua a presión atmosférica. La caída de voltaje en el alambre es de 10.1 voltios y la corriente de 52.3 amperios. Determinar el flujo de calor en W/m2 y la temperatura aproximada del alambre en oC. La energía liberada es q = EI = (10.1) (52.3) = 528.23 W El área superficial del alambre es A = π D L = π (1.0 x 10-3) (150 x 10-3) = 4.7124 x 10-4 m2 El flujo de energía para la ebullición es q 528.23 W ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.121 x 106 W/m2 A 4.7124 x 10-4 m2 Para aproximar el exceso de temperatura utilizando la gráfica 7-1 hay necesidad de expresar q/A en unidades británicas de ingeniería BTU q BTU/hr-pie2 6 2 ⎯ = 1.121 x 10 W/m x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 355573 ⎯⎯⎯⎯ hr-pie2 A 3.153 W/m2 De la gráfica 7-1 ΔTx = 40ºF x (oC/1.8ºF) = 22oC TP = 100 + 22 = 122oC 7.4 Calcular el flujo de calor pico, en W/m2, para agua en ebullición a presión atmosférica normal. ⎡ σ (ρ L − ρ V ) g ⎤ ⎡q⎤ = (0.18) ρ V h fg ⎢ ⎥ ⎢A⎥ ρ 2V ⎣ ⎦ máx ⎣⎢ ⎦⎥

ρL = 958.42 kg/m3

;

ρV = 0.6 kg/m3

σ = 0.0584 N/m

;

;

1 4

⎡ ρL ⎤ ⎥ ⎢ ⎣ ρL + ρ V ⎦

1 2

hfg= 2.25 x 106 J/kg

g = 9.8 m/s2

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187

⎡ (0.0584)(958.42 − 0.6)(9.8) ⎤ ⎡ 958.42 ⎤ ⎡q⎤ = (0.18)(0.6)(2.25x10 6 ) ⎢ ⎥⎢ ⎢A⎥ ⎥ (0.6) 2 ⎣ ⎦ máx ⎣ ⎦ ⎣ 958.42 + 0.6 ⎦

1 2

⎡q⎤ = 1.517 x 10 6 W / m 2 ⎢A⎥ ⎣ ⎦ máx

7.5 Una placa de níquel calentada a 105.5ºC se sumerge horizontalmente en agua a presión atmosférica. Calcular el flujo de calor por unidad de área. Para un exceso de temperatura ΔTx = 105.5 – 100 = 5.5ºC x (1.8ºF/oC) = 10oF La gráfica 7-1 indica que la ebullición se realiza muy probablemente en núcleos y la ecuación de Rohsenow es válida g (ρ L − ρ V ) σ

q = μ L h fg A

⎡ C (T − T ) ⎤ ⎢ L P s sat ⎥ ⎢⎣ h fg PrL C fs ⎥⎦

3

Las propiedades son hfg = 2.25 x 106 J/kg μL = 2.82 x 10-4 kg/m.s

; ;

ρL = 961.5 kg/m3 σ = 0.05831 N/m

Pr = 1.74

;

; ;

ρV = 0.6 kg/m3 CL = 4214.3 J/kg oC

Cfs = 0.006

⎤ ( 4214.3)(5.5) (9.8)(961.5 − 0.6) ⎡ q x⎢ = (2.82x10 − 4 ) (2.25x10 6 ) ⎥ 6 0.05831 A ⎣ (2.25x10 )(1.74)(0.006) ⎦

3

q = 2.45x10 5 W / m 2 A

7.6 Por el interior de un tubo de 2.54 cm de diámetro circula agua a 5 atm en condiciones de ebullición local, estando la pared del tubo a una

188

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temperatura de 10ºC por encima de la de saturación. Calcular la transferencia de calor para una longitud de tubo de 1 m. Para este cálculo se utiliza la ecuación h = 2.54 ( ΔTx ) 3 e

p 1.551

ΔTx = 10oC p = (5) (1.0132 x 105) = 0.5066 MPa El coeficiente de transferencia de calor será h = (2.54) (10)3 e0.5066 / 1.551 = 3521 W/m2 oC El área de la superficie para 1 m de longitud de tubo es A = π D L = π (0.0254) (1.0) = 0.0798 m2 El calor transferido es q = h A (TP – Tsat) = (3521) (0.0798) (10) = 2810 W

PROBLEMAS PROPUESTOS 7.7 Vapor saturado a presión de 1 atm. se condensa sobre una placa vertical de 0.5 m de altura. La placa tiene una temperatura uniforme de 60ºC. Calcular el coeficiente promedio de transferencia de calor. 7.8 Una placa vertical, de 30 cm de ancho y 1.2 m de alto, se mantiene a 70ºC en presencia de vapor de agua saturado a 1 atm. Calcular el calor transferido y la masa total de vapor que se condensa por hora. 7.9 Una placa, de 40 x 40 cm, está inclinada un ángulo de 30º con respecto a la vertical y en presencia de vapor de agua saturado a 1 atm. La placa se mantiene a 98ºC. Calcular el calor transferido y el flujo de masa de vapor condensado.

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189

7.10 Una placa cuadrada, de 50 x 50 cm, se mantiene a 95ºC en presencia de vapor de agua saturado a la presión de 1 atm. Calcular la cantidad de vapor condensado por hora. 7.11 Calcular el flujo de masa de vapor que condensa sobre una placa vertical de 1.5 x 1.5 m que se mantiene a 4ºC en presencia de vapor de agua saturado a 13ºC. 7.12 Una placa vertical, de 40 x 40 cm, está expuesta a vapor de amoniaco saturado a 38ºC, mientras que la temperatura de su superficie se mantiene constante a 30ºC. Calcular el flujo de masa de amoniaco condensado si hfg = 1111.4 kJ/kg a 38ºC. 7.13 Vapor de agua saturado a 1 atm condensa sobre el exterior de un tubo, de 30 cm de diámetro, cuya superficie se mantiene a 95ºC. La longitud del tubo es de 15 m. Calcular la cantidad de vapor de agua condensado en una hora. 7.14 La condensación de dióxido de carbono a 20ºC se realiza en contacto con un tubo horizontal, de 10 cm de diámetro, que se mantiene a 15ºC. Calcular el flujo de masa de dióxido de carbono condensado por unidad de longitud de tubo, si hfg = 153.2 kJ/kg a 20ºC. 7.15 Un haz cuadrado de tubos, de 400 tubos de 6.35 mm de diámetro cada uno, se utiliza para condensar vapor de agua a presión atmosférica. Las paredes de los tubos se mantienen a 88ºC por medio de un fluido refrigerante que circula por el interior de ellos. Calcular la cantidad de vapor de agua condensado por hora y por unidad de longitud de los tubos. 7.16 En un tubo horizontal, de 5 cm de diámetro y 1.5 m de largo, se condensa vapor de agua saturado a 1 atm. Calcular la cantidad de vapor condensado para una temperatura de la pared del tubo de 98ºC. 7.17 Se condensa vapor de agua a 1 atm en el exterior de un haz de 10 x 10 tubos horizontales, de 2.54 cm de diámetro. La superficie de cada tubo se mantiene a 95ºC. Calcular la cantidad de vapor de agua condensado para una longitud de los tubos de 0.61 m. 7.18 Un condensador de amoniaco utiliza un haz de 20 x 20 tubos, de 6.35 mm de diámetro y 0.305 m de longitud cada uno. El amoniaco se condensa a 32.2ºC, y las paredes de los tubos se mantienen a 27.8ºC por medio de una corriente de agua en su interior. Calcular el flujo de masa de amoniaco condensado. hfg = 1135 kJ/kg a 32.2ºC.

190

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

7.19 Se ha diseñado un condensador para condensar 10000 kg/h de refrigerante 12 (CCL2F2) a 37.8ºC. Se utiliza un haz de tubos cuadrado de 25 x 25 tubos con un diámetro de 12 mm cada uno. Por el interior de los tubos circula agua que mantiene la temperatura de sus paredes a 32.2ºC. Calcular la longitud de cada tubo. hfg = 129.96 kJ/kg a 37.8ºC. 7.20 Una placa vertical caliente a una temperatura de 107ºC está sumergida en el agua de un recipiente a presión atmosférica. La temperatura del agua es de 100ºC, y la ebullición tiene lugar en la superficie de la placa. El área de ésta es 0.3 m2. ¿Cuál es el flujo de calor cedido por la placa en vatios? 7.21 Una placa de cobre cuadrada, de 30 x 30 cm, sirve de fondo de una olla con agua a presión de 1 atm. La temperatura de la placa se mantiene a 117ºC. Determine el calor transferido por la placa en una hora. 7.22 Por el interior de un tubo de 2 cm de diámetro, circula agua a 4 atm en condiciones de ebullición local. La temperatura de la pared del tubo es 12ºC por encima de la de saturación. Calcular la transferencia de calor para una longitud del tubo de 60 cm. 7.23 Un hilo de níquel de 15.24 cm de longitud y 1.016 mm de diámetro está sumergido horizontalmente en agua a una presión manométrica de 689 kPa y requiere 131.8 A a 2.18 V para mantenerse a 176.7ºC. ¿Cuál es el coeficiente de transferencia de calor? 7.24 Una varilla calefactora de cobre, de 5 mm de diámetro, está sumergida en agua a 1 atm. El exceso de temperatura es 11ºC. Calcular la pérdida de calor por unidad de longitud de la varilla. 7.25

Un tubo horizontal, de 3 mm de diámetro y 7.5 cm de largo, está sumergido en agua a 1.6 atm. Calcular la temperatura de la superficie necesaria para generar un flujo de calor de 0.2 MW/m2.

7.26

Un tubo horizontal que tiene un diámetro exterior de 1.25 cm, está sumergido en agua a 1 atm. y 100ºC. Calcular el flujo de calor para las siguientes temperaturas de superficie: (a) 540ºC (b) 650ºC (c) 800ºC. Suponer una emisividad, ε = 0.8.

CAPITULO 8

INTERCAMBIADORES DE CALOR Un intercambiador de calor es cualquier dispositivo en el cual se efectúa la transferencia de energía térmica desde un fluido hasta otro. En los intercambiadores más sencillos el fluido caliente y el fluido frío se mezclan directamente; sin embargo, los intercambiadores más comunes son aquellos en los cuales los fluidos están separados por una pared. Estos últimos pueden variar desde una simple placa plana que separa dos fluidos hasta configuraciones complejas que incluyen pasos múltiples., aletas y deflectores. En este caso se requieren los principios de transferencia de calor por conducción y convección y en ocasiones por radiación, para describir el proceso de intercambio de energía. En el diseño de los intercambiadores de calor intervienen muchos factores, entre los cuales se incluyen el análisis térmico, tamaño, peso, resistencia estructural, caída de presión y costo. En este capítulo se tratará principalmente el análisis térmico. Con excepción de la resistencia estructural y el costo, los factores mencionados se pueden evaluar adecuadamente, utilizando los principios de los capítulos anteriores.

8.1 TIPOS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR En la figura se muestra un intercambiador de calor de doble tubo y con flujos en paralelo. En caso de que los fluidos circulen en direcciones opuestas, el intercambiador de calor viene a ser de flujos opuestos o en contracorriente. En cualquiera de estos dos casos uno de los fluidos, el caliente o el frío, ocupa el espacio anular y el otro circula por dentro del tubo interior.

192

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La siguiente figura ilustra un intercambiador de calor del tipo coraza y tubos con dos pasos en los tubos (intercambiador 1-2). En este caso uno de los fluidos circula por el interior de los tubos, mientras que el otro circula por el espacio que dejan éstos y la coraza del intercambiador. Dependiendo del arreglo geométrico que se tenga en los cabezales del intercambiador se pueden tener uno o más pasos de tubos, con el fin de incrementar el área de la superficie efectiva de transferencia de calor por unidad de volumen. El fluido que circula por el exterior con frecuencia es conducido mediante el uso de deflectores o “baffles”.

Otro tipo de intercambiador de calor es el de corrientes cruzadas que se emplea generalmente para calentar aire o gases y en aplicaciones de refrigeración. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de un intercambiador de este tipo, en el que se puede hacer circular un gas a través de un haz de tubos, mientras que en el interior de los tubos se utiliza otro fluido, con fines de calentamiento o

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refrigeración. En este intercambiador se dice que el gas que circula transversalmente a los tubos es una corriente mezclada, mientras que la del fluido del interior de los tubos se dice que es sin mezclar. El gas es mezclado porque puede moverse libremente por el intercambiador mientras intercambia calor. El otro fluido está confinado dentro de conductos tubulares separados mientras se encuentra dentro del intercambiador, de modo que no puede mezclarse consigo mismo durante el proceso de transferencia de calor. La siguiente figura muestra un tipo diferente de intercambiador de corrientes cruzadas. En este caso, el gas circula a través de haces de tubos con aletas, por lo que es no mezclado puesto que está confinado en canales separados por las aletas, según pasa a través del intercambiador. Este intercambiador es típico entre los utilizados en aplicaciones de acondicionamiento de aire.

Existen otros intercambiadores dentro de los cuales pueden estar las calderas o generadores de vapor, condensadores, torres de enfriamiento, intercambiadores compactos, radiadores y regeneradores.

194

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8.2 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR En la sección 2.6, se ha tratado ya el coeficiente global de transferencia de calor, al estudiar la transferencia de calor a través de la pared plana, ver figura, y expresada por q=

TA − TB Δx 1 1 + + h1 A k A h 2 A

donde TA y TB son las temperaturas del fluido a cada lado de la pared.

TA Fluido A T1

h2 T2

q h1

Fluido B

TB

El coeficiente global de transferencia de calor se define mediante la relación q = U A ΔTglobal Desde el punto de vista del diseño del intercambiador de calor, la pared plana resulta de aplicación poco frecuente; un caso más importante para tener en cuenta sería el de un intercambiador de calor con dos tubos concéntricos como se muestra en la siguiente figura. En esta aplicación, un fluido circula por el interior del tubo más pequeño, mientras que el otro fluido circula por el espacio anular que hay entre los dos tubos. Los coeficientes de convección se calculan por los métodos descritos en los capítulos anteriores, y el coeficiente global de transferencia de calor se obtiene del circuito térmico de la figura como

CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

q=

195

TA − TB ln(re / ri ) 1 1 + + hi A i 2πkL he A e

donde los subíndices i y e corresponden al interior y al exterior del tubo interior más pequeño.

Fluido B

Fluido A

1

2

El coeficiente global de transferencia de calor puede estar basado tanto en el área interior del tubo como en la exterior, a discreción del diseñador. Por tanto Ui =

1 A ln(re / ri ) A 1 1 + i + i hi 2πkL A e he

Ue =

1 A e ln(re / ri ) Ae 1 1 + + A i hi 2πkL he

La siguiente tabla muestra algunos valores típicos del coeficiente U global para diferentes combinaciones de fluidos. Combinación de fluidos Aceite a aceite Sustancia orgánica a sustancia orgánica Vapor de agua a soluciones acuosas Vapor de agua a aceite combustible pesado Vapor de agua a aceite combustible liviano Vapor de agua a gases Agua a alcohol Agua a salmuera Agua a aire comprimido Agua a alcohol condensado Agua a amoniaco condensado

U W/m2 oC 170-312 57-340 567-3400 57-170 170-340 28-284 284-850 567-1135 57-170 255-680

850-1420

196

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Agua a freón 12 condensado Agua a aceite condensado Agua a gasolina Agua a aceite lubricante Agua a solventes orgánicos Agua a agua

454-850 227-567 340-510 113-340 284-850 850-1700

8.3 TEMPERATURA MEDIA LOGARITMICA Tomando como referencia el intercambiador de doble tubo, los fluidos pueden circular tanto en paralelo como en contracorriente y los perfiles del temperatura se muestran en los siguientes diagramas:

T Th1 Th2

Flujo en paralelo

Tc2 Tc1

1

2

T Th1 Tc1

Th2

Flujo en contracorriente

Tc2 1

2

En los diagramas anteriores h representa el fluido caliente y c el fluido frío.

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197

La transferencia de calor en este intercambiador de doble tubo puede calcularse a partir de q = U A ΔTm donde:

U = coeficiente global de transferencia de calor A = superficie de transferencia de calor consistente con la definición de U ΔTm = diferencia media de temperaturas apropiada a través del intercambiador de calor

Teniendo en cuenta que la diferencia de temperaturas entre el fluido caliente y el fluido frío varía entre la entrada y la salida del intercambiador es posible determinar un valor apropiado de ΔTm, el cual se demuestra que es

ΔTm =

(Th2 − Tc 2 ) − (Th1 − Tc1 ) ⎡ (T − Tc 2 ) ⎤ ln ⎢ h2 ⎥ ⎣ (Th1 − Tc1 ) ⎦

Esta diferencia de temperaturas recibe el nombre de diferencia media logarítmica de temperaturas (LMTD). Dicho en palabras, es la diferencia de temperaturas en un extremo del intercambiador, menos la diferencia de temperaturas en el otro extremo del intercambiador, dividido entre el logaritmo natural del cociente de estas dos diferencias de temperaturas. La ecuación anterior puede utilizarse para flujo en contracorriente. Además puede utilizarse en evaporadores y condensadores de un solo paso, donde uno de los fluidos permanece a temperatura constante. Si se emplea un intercambiador de calor distinto al de doble tubo, se utiliza un factor de corrección (F) que se aplica a la LMTD para un dispositivo de doble tubo en contracorriente con las mismas temperaturas fría y caliente para el fluido. La ecuación de la transferencia de calor adopta la forma: q = U A F ΔTm Los valores del factor de corrección F se obtienen de las siguientes cuatro gráficas (Gráficas 8-1 a 8-4) para diversos tipos de intercambiadores de calor. Cuando interviene un cambio de fase, como en el caso de la condensación o la ebullición (evaporación), el fluido permanece a temperatura constante y las

198

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

relaciones se simplifican. Con esta condición P o R se hacen cero y se obtiene que F=1.0.

Gráfica 8-1 Factor de corrección para un intercambiador de calor de coraza y tubo con 2,4, etc pasos de tubos

Gráfica 8-2 Factor de corrección para un intercambiador de calor con dos pasos de coraza y 4,8, etc, pasos de tubos

CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

199

Gráfica 8-3 Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales y ambos fluidos sin mezclar

Gráfica 8-4 Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales con un fluido mezclado y otro sin mezclar.

200

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8.4 METODO DEL NTU-RENDIMIENTO La aproximación de la LMTD para el análisis de intercambiadores de calor, es útil cuando las temperaturas de entrada y salida son conocidas o se pueden determinar con facilidad. En estos casos, la LMTD se calcula fácilmente, y el flujo de calor, el área de la superficie, o el coeficiente global de transferencia de calor pueden determinarse. Cuando hay que evaluar las temperaturas de entrada o de salida de un intercambiador determinado, el análisis supone con frecuencia un procedimiento iterativo, debido a la función logarítmica que aparece en la LMTD. En estos casos, el análisis se efectúa con mayor facilidad utilizando un método basado en el rendimiento del intercambiador de calor durante la transferencia de una cantidad de calor determinada. El método del rendimiento también ofrece muchas ventajas para el análisis de problemas en los que hay que comparar varios tipos de intercambiadores de calor, con el fin de seleccionar el tipo más adecuado para cubrir un objetivo de transferencia de calor en particular. Se define el rendimiento del intercambiador de calor como Transferencia de calor real Rendimiento = ε = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Transferencia de calor máxima posible La transferencia de calor real se puede obtener calculando tanto la energía perdida por el fluido caliente, como la ganada por el fluido frío. Para el intercambiador en paralelo se tiene: ο

ο

q = m h ch (Th1 – Th2) = m c cc (Tc2 – Tc1) Para el intercambiador en contracorriente se tiene: ο

ο

q = m h ch (Th1 – Th2) = m c cc (Tc1 – Tc2) ο

Se define ahora m c = C = flujo de capacidad térmica Para determinar la máxima transferencia de calor posible para el intercambiador, se admite en primer lugar que este valor máximo se alcanzaría si uno de los fluidos experimentase una variación de temperatura igual a la

CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

201

diferencia máxima de temperaturas que se da en el intercambiador, que es la diferencia entre las temperaturas de entrada de los fluidos caliente y frío. El fluido que podría experimentar esta diferencia máxima de temperaturas sería aquel que tuviese el valor de C mínimo, puesto que el balance de energía exige que la energía recibida por uno de los fluidos sea igual a la cedida por el otro; si fuese el fluido con mayor C el que alcanzara la máxima diferencia de temperaturas, esto exigiría que el otro fluido experimentase una diferencia de temperaturas mayor que la máxima, y esto es imposible. Así, la transferencia de calor máxima posible se expresa como qmáx = Cmín (Th entrada – Tc entrada) Si se define ahora el número de unidades de transferencia (NTU) como NTU = N = U A / Cmín C = Cmín / Cmáx se demuestra que para un intercambiador de doble tubo en paralelo ε=

1 − e − N (1+C) 1+ C

Cuando se trata de procesos de ebullición o condensación la temperatura del fluido permanece prácticamente constante, o lo que es lo mismo, el fluido actúa como si tuviera calor específico infinito. En estos casos Cmín/Cmáx → 0 y todas las relaciones de rendimiento de intercambiadores de calor tienden a una única y sencilla ecuación ε = 1 − e −N

Por otra parte, en el caso de que ambos fluidos tengan la misma capacidad calorífica, es decir C = 1, la ecuación se reduce a ε=

1− e − 2 N 2

La siguiente tabla proporciona las fórmulas de rendimiento para diferentes tipos de intercambiadores y se indican además las gráficas correspondientes.

202

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EXPRESIONES DEL RENDIMIENTO DE INTERCAMBIADORES DE CALOR

Tipo de intercambiador Flujo paralelo un solo paso

Flujo contracorriente un solo paso

Coraza y tubos: (un paso por la coraza; 2, 4, 6, etc., pasos por los tubos

Rendimiento ε=

ε=

Gráfica

− N (1+C )

1− e 1+ C

8-5

1− e − N(1−C)

8-6

1− C e − N(1−C)

1 2 2 ⎡ ⎤ 1 1+ e − N(1+C ) 2 2⎥ ⎢ ( 1 C ) ε1 = 2 1 + C + + 1 2 2 ⎢ ⎥ 1 − e − N(1+C ) ⎣ ⎦

⎡⎛ 1− ε C ⎞ n ⎤ 1 ⎟ − 1⎥ ε = ⎢⎜⎜ ⎥ ⎢⎝ 1 − ε1 ⎟⎠ ⎦ ⎣

Flujo cruzado (las dos corrientes no mezcladas)

ε = 1− exp C N0.22 exp − C N0.78 − 1

Flujo cruzado (las dos corrientes mezcladas) Flujo cruzado (la corriente con Cmin no mezclada)

Flujo cruzado (la corriente con Cmáx no mezclada)

{

[ [

8-9

−1

Coraza y tubos: (n pasos por la coraza; 2n, 4n, 6n, etc., pasos por los tubos)

⎤ ⎡⎛ 1 − ε1C ⎞ ⎟⎟ − C⎥ ⎢⎜⎜ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 1 − ε1 ⎠

−1

] ]}

8-10

8-8

−1

NC ⎡ N ⎤ ε = N⎢ + − 1⎥ ⎣ 1 − e − N 1 − e −N C ⎦ 1 ε = {1 − exp[− C[1− exp(− N)]]} C ⎫ ⎧ 1 ε = 1− exp ⎨− [1 − exp[− N C]]⎬ C ⎭ ⎩

8-7 (línea trazos)

8-7 (línea llena)

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Gráfica 8-5 Rendimiento de un intercambiador de calor con flujos en paralelo

Gráfica 8-7 Rendimiento de un intercam biador de corrientes cruzadas con un fluido mezclado

203

Gráfica 8-6 Rendimiento de un intercambiador con flujos en contracorriente

Gráfica 8-8 Rendimiento de un intercambiador de corrientes cruzadas con fluidos sin mezclar.

204

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Gráfica 8-9 Rendimiento de un intercambiador 1-2 ( 1 paso de carcasa, 2 pasos de tubos )

Gráfica 8-10 Rendimiento de un intercambiador multipaso 2-4 en contracorriente

8.5 FACTORES DE SUCIEDAD Tras un periodo de funcionamiento, las superficies de transferencia de calor de un intercambiador pueden llegar a recubrirse con varios depósitos presentes en las corrientes, o las superficies pueden corroerse como resultado de la interacción entre los fluidos y el material empleado en la fabricación del intercambiador de calor. En cualquiera de los casos, esta capa supone una resistencia adicional al flujo de calor y, por tanto, una disminución en su funcionamiento. El efecto global se representa generalmente mediante un factor de suciedad, o resistencia de suciedad, Rf, que debe incluirse junto con las otras resistencias térmicas para obtener el coeficiente global de transferencia de calor. Los factores de suciedad se tienen que obtener experimentalmente, mediante la determinación de los valores de U del intercambiador, tanto en condiciones de limpieza Ulimpio = UC o de suciedad Usucio = UD El factor de suciedad se define entonces como Rf =

1 1 − Usucio Ulimpio

CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

205

En la siguiente tabla se ofrece una lista abreviada de valores recomendados del factor de suciedad de varios fluidos. Rf 2 o (m C/W) 0.00009 0.002 0.0002 0.0009 0.0007 0.00009 0.00009 0.0002 0.0004

Tipo de fluido o

Agua de mar, por debajo de 51.7 C o Por encima de 51.7 C o Agua para caldera tratada, por encima de 51.7 C Fuel Oil Aceite de templar Vapores de alcohol Vapor de agua, libre de aceite Líquido refrigerante Aire industrial

8.6

CALCULO DEL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN INTERCAMBIADORES DE DOBLE TUBO

Coeficiente de película por el tubo interior. Area de flujo = ap = π D2/4 D = diámetro interno del tubo interior. Velocidad másica = Gp = m/ap

m = flujo de masa D Gp (Re)p = ⎯⎯⎯⎯ μ

μ = viscosidad a la temperatura media A partir de la gráfica 8-11 se determina: jH = (hi D / k) (Cμ / k) -1/3 Se calcula ahora: (Cμ/k)1/3

206

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C, μ, k : se determinan a la temperatura media Se despeja hi y se corrige para obtener hio mediante la fórmula: hio = hi (DI/DE) hio = coeficiente de película referido al diámetro exterior. DI = diámetro interno DE = diámetro externo.

Coeficiente de película para el ánulo. Area de flujo = aa = π (D22 - D12) / 4 D2 = diámetro interno del tubo exterior. D1 = diámetro externo del tubo interior. Velocidad másica = Ga = m / aa m = flujo de masa De Ga (Re)a = ⎯⎯⎯⎯ μ μ = viscosidad a la temperatura media De = diámetro equivalente (D22 - D12) De = ⎯⎯⎯⎯⎯ D1 μ = viscosidad a la temperatura media. A partir 8-12 se calcula jH. El coeficiente de película para el agua será:

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ho = jH (k / De) (Cμ / k)1/3 (μ / μw)0.14 Coeficiente global limpio UC. h io . h o UC = ⎯⎯⎯⎯⎯ h io + h o Coeficiente de diseño UD. q UD = ⎯⎯⎯⎯ A . Δt q = Flujo de calor transferido en el intercambiador. A = área total de transferencia de calor. A = π (DE) L DE = diámetro externo del tubo interno. L = longitud total del intercambiador. Δt = diferencia media logaritmica de temperatura. Factor de suciedad (Rd) combinado. UC - UD Rf = ⎯⎯⎯⎯ UC . UD

207

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Grafico 8-11 CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO Diagrama para el cálculo de JH por el interior de tubos ( Tomado del libro de Procesos de transferencia de Calor de D.Q. Kern )

Gráfico 8-12 CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO Diagrama para el cálculo de JH por el ánulo en intercambiadores de doble tubo o por la coraza en intercambiadores de tubo y coraza ( Tomado del libro de Procesos de transferencia de Calor de D.Q. Kern )

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209

PROBLEMAS RESUELTOS 8.1 Por una tubería horizontal de acero de 2 pulgadas, con número de listado 40 (k = 54 W/m oC), circula agua caliente a 98ºC, y la tubería se encuentra rodeada por aire ambiente a 20ºC. La velocidad del agua es de 25 cm/s. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor, basado en el área externa de la tubería. Las dimensiones de una tubería de 2 pulgadas de número de listado 40, tomadas de la tabla A-7, son: DI = 2.067 pulg = 0.0525 m DE = 2.375 pulg = 0.06033 m El coeficiente de transferencia de calor para el flujo de agua por el interior de la tubería se determina a partir de las condiciones de la corriente, habiéndolas evaluado a la temperatura promedio. El coeficiente de transferencia de calor por convección natural, en el exterior de la tubería, depende de la diferencia de temperaturas entre la superficie y el aire ambiente. Esta diferencia de temperaturas depende del balance de energía global. Primero se evalúa hi y a continuación se elabora un procedimiento iterativo para determinar he. Las propiedades del agua a 98ºC son ρ = 960 kg/m3 ; μ = 2.82 x 10-4 kg/m.s ;

k = 0.68 W/moC ; Pr = 1.76

El número de Reynolds es ρuD (960) (0.25) (0.0525) Re = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 44680 μ 2.82 x 10-4

(a)

y puesto que el flujo es turbulento, se utiliza la ecuación Nu = 0.023 Re0.8 Pr0.4 = (0.023) (44680)0.8 (1.76)0.4 = 151.4 k (151.4) (0.68) hi = Nu ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1961 W/m2 oC D 0.0525

(b)

210

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

La resistencia térmica del acero, por unidad de longitud de tubería, es ln (0.06033/0.0525) ln (re/ri) Ra = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.097 x 10-4 2πk 2 π 54

(c)

De nuevo, la resistencia térmica en el interior, por unidad de longitud, es 1 1 1 Ri = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 3.092 x 10-3 h i Ai hi 2π ri (1961) (π) (0,0525)

(d)

La resistencia térmica para la superficie exterior es todavía desconocida, pero se escribe, por unidad de longitud 1 1 Re = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ he 2πre he Ae

(e)

La relación simplificada para he para flujo laminar, tomada del capítulo 6, es ⎛ ΔT ⎞ h e = 1.32 ⎜ ⎟ ⎝ D ⎠

1 4

⎛ T − T∞ ⎞ = 1.32 ⎜ e ⎟ ⎝ D ⎠

1 4

(f)

donde Te es la temperatura desconocida de la superficie exterior de la tubería. La temperatura de la superficie interior de la tubería se designa por Ti y la temperatura del agua por Tw, así, el balance de energía requiere T − Te T − T∞ Tw − Ti = i = e Ri Ra Re

(g)

La combinación de las ecuaciones (e) y (f) da 5 Te − T∞ 1.32 = 2πre 1 (Te − T∞ ) 4 Re D 4

(h)

CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

211

Esta relación se puede introducir en la ecuación (g) para dar lugar a dos ecuaciones con las dos incógnitas Ti y Te. Ti - Te 98 - Ti ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 4.097 x 10-4 3.092 x 10-3 Ti − Te 4.097x10

−4

=

( π) (0.06033) (1.32) (Te − 20)

5

4

1 (0.06033) 4

Es un sistema no lineal que se puede resolver por iteración, para dar Te = 97.6ºC

Ti = 97.65oC

Como consecuencia, el coeficiente de transferencia de calor y la resistencia térmica exteriores son he =

(1.32) (97.6 − 20) 1 (0.06033) 4

1 4

= 7.91 W / m 2 o C

1 Re = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.667 (0.06033) (7.91) (π) El cálculo ilustra de una manera clara el hecho de que la convección natural controla el coeficiente global de transferencia de calor, porque Re es mucho mayor que Ri y que Ra. El coeficiente global de transferencia de calor basado en el área exterior, en función de estas resistencias, queda

Ue =

1 A e (R i + R a + R e )

Introduciendo valores numéricos 1 Ue = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 7.87 W/m2 oC π (0.06033) (3.093 x 10-3 + 4.097 x 10-4 + 0.667)

212

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Así, se ve que el coeficiente global de transferencia de calor está controlado, casi por completo, por el valor de he. Se podría esperar este resultado basándose estrictamente en la experiencia que se tiene sobre la magnitud relativa de los coeficientes de convección; los valores para convección natural del aire son muy bajos comparados con los de convección forzada en líquidos. 8.2 Se calienta un flujo de masa de agua de 68 kg/mi, desde 35ºC hasta 75ºC, con un aceite de calor específico igual a 1.9 kJ/kg oC. Los fluidos se utilizan en un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente, y el aceite entra al intercambiador a 110ºC y sale del mismo a 75ºC. El coeficiente global de transferencia de calor es 320 W/m2 oC. Calcular el área de intercambio térmico. El calor transferido se determina a partir de la energía absorbida por el agua ο

q = m w cw ΔTw = (68) (4180) (75 – 35) = 11.37 MJ/min = 189.5 kW Como todas las temperaturas de los fluidos son conocidas, el LMTD puede calcularse mediante el esquema correspondiente a un intercambiador en contracorriente (110 – 75) – (75 – 35) ΔTm = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 37.44 oC ln [(110 - 75) / (75 – 35)] q = U A ΔTm 1.895 x 105 A = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 15.82 m2 (320) (37.44) 8.3 Suponer que para el problema 8.2 se utiliza un intercambiador de tubo y coraza del tipo 1-2. Calcular el área necesaria para este intercambiador, suponiendo que el coeficiente global de transferencia de calor se mantiene en 320 W/m2 oC. Para resolver este problema, de la gráfica 8-1 se determina un factor de corrección que se usará con el LMTD sobre la base de un intercambiador en contracorriente. Los parámetros son T1 = 35ºC

T2 = 75ºC

t1 = 110ºC

t2 = 75oC

CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

213

t2 – t1 75 – 110 P = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.467 35 – 110 T1 – T2 35 – 75 T1 – T2 R = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.143 t2 – t1 75 – 110 F = 0.81 q = U A F ΔTm 1.895 x 105 A = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 19.53 m2 (320) (0.81) (37.44)

8.4 En un intercambiador de calor de coraza y tubos se calientan 3.783 kg/s de agua, desde 37.78 oC hasta 54.44ºC. Se utiliza agua como fluido caliente, con un flujo de masa de 1.892 kg/s, con un paso en la parte de la coraza y entra al intercambiador a 93.33ºC. El coeficiente global de transferencia de calor es 1419 W/m2 oC, y la velocidad media del agua en los tubos de 0.366 m/s. El diámetro de los tubos es1.905 cm. Debido a limitaciones de espacio, la longitud del tubo no debe superar los 2.438 m. Calcular el número de pasos en los tubos, el número de tubos por paso, y la longitud de los tubos compatible con esta restricción. Primero se supone un paso de tubos y se comprueba si satisface las condiciones del problema. La temperatura de salida del agua caliente se calcula a partir de ο

ο

q = m cccΔTc = m hchΔTh (3.783) (4180) (54.44 – 37.38) ΔTh = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 33.31 oC (1.892) (4180) de modo que

El calor transferido es

Th, salida = 93.33 – 33.31 = 60oC

214

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

q = (3.783) (4182) (54.44 – 37.78) = 263.6 kW Para un intercambiador en contracorriente, teniendo la temperatura requerida (93.33 - 54.44) – (60 – 37.78) LMTD = ΔTm = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 29.78 oC ln [(93.33 – 54.44) / (60- 37.78) q = U A ΔTm 2.636 x 105 A = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 6.238 m2 (1419) (29.78) Utilizando la velocidad media del agua en los tubos y flujo de masa, se calcula el área total de la corriente con mc = ρ A u 3.783 A = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.01034 m2 (1000) (0.366) Esta área es el producto del número de tubos por el área de cada tubo π D2 0.01034 = n ⎯⎯⎯ 4 (0.01034) (4) n = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 36.3 π (0.01905)2 es decir, n = 36 tubos. El área de la superficie de cada tubo, por metro de longitud es nπdL = 6.238 πD = π (0.01905) = 0.0598 m2 /m La longitud será 6.238 L = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.898 m (36) (0.0598)

CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

215

Esta longitud supera los 2.438 m permitidos, de modo que es necesario utilizar más de un paso de tubos. Cuando se aumenta el número de pasos, se aumenta a la vez el área total de la superficie necesaria, debido a la reducción del LMTD causada por el factor de corrección F. Se prueba a continuación con dos pasos en los tubos. De la gráfica 8-1, F = 0.88 q 2.636 x 105 Atotal = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 7.089 m2 (1419) (0.88) (29.98) UFΔTm El número de tubos para cada paso sigue siendo 36, debido al condicionamiento de la velocidad. El área total de la superficie del intercambiador con dos pasos por los tubos, se relaciona ahora con la longitud por Atotal = 2 n π D L 7.089 L = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.646 m (2) (36) (0.0598) Esta longitud cumple con el requisito de los 2.438 m, de modo que la elección final para el diseño es Número de tubos por paso = 36 ; Número de pasos = 2 Longitud del tubo por cada paso = 1.646 8.5 Se utiliza un intercambiador de corrientes cruzadas y un fluido sin mezclar, para calentar un aceite que está en el interior de los tubos (c = 1.86 kJ/kg o C) desde 15ºC hasta 85ºC. Por la parte exterior de los tubos, se hace circular un flujo de masa de vapor de agua de 5.2 kg/s, que entra a 130ºC y sale a 110ºC. El coeficiente global de transferencia de calor es 275 W/m2 o C y para el vapor de agua c= 1.86 kJ/kg oC. Calcular el área del la superficie del intercambiador de calor. ο

q = m vcvΔTv = (5.2) (1.86) (130 – 110) = 193 kW El ΔTm se calcula como si fuera de doble tubo en contracorriente (130 – 85) – (110 – 15) ΔTm = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 66.9oC ln[(130 – 85) / (110 – 15)]

216

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De la gráfica 8-4, t1 y t2 representarán el fluido sin mezclar (el aceite), y T1 y T2 representarán el fluido mezclado (el vapor de agua), de modo que T1 = 130

T2 110

t1 = 15

130 – 110 R = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.286 85 – 15

t2 = 85

85 – 15 P = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.609 130 – 15 F = 0.97

q 193000 A = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 10.82 m2 (275) (0.97) (66.9) UFΔTm 8.6

Investigar el comportamiento del intercambiador de calor del problema anterior, si el flujo de masa de aceite se reduce a la mitad mientras que el del vapor de agua se mantiene igual. Suponer que U mantiene el valor de 275 W/m2 oC.

El flujo de masa de aceite es ο

q = m accacΔTac ο

m ac = 193 / [(1.9) (85 – 15)] = 1.45 kg/s

El nuevo flujo de masa será la mitad de este valor, es decir, 0.725 kg/s. Se supone que las temperaturas de entrada siguen siendo las mismas, 130ºC para el vapor de agua y 15ºC para el aceite. La nueva relación para la transferencia de calor es ο

ο

q = m accac (Ts, ac – 15) = m vcv (130 – Ts, v)

(a)

pero las temperaturas Ts, ac y Ts, v son desconocidas. Además, ΔTm es desconocida sin estas temperaturas, como lo son los valores de R y P en la gráfica 8-4. Esto significa que hay que emplear un método iterativo para resolver en las temperaturas de salida, utilizando la ecuación (a) y q = U A F ΔTm

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217

El procedimiento general consiste en ir suponiendo valores de las temperaturas de salida, hasta que los calores q de (a) y (b) coincidan entre sí. El objetivo de este ejemplo es demostrar que, cuando no se conocen las temperaturas de entrada y salida, o no se pueden calcular fácilmente, se necesita un procedimiento iterativo. No es necesario insistir en esta iteración, porque se puede evitar utilizando la técnica del método NTU-Rendimiento.

8.7 Resolver el problema anterior empleando el método NTU-Rendimiento. Para el vapor de agua o Cv = (5.2) (1.86) = 9.67 kW/ C

Para el aceite Ca = (0.725) (1.9) = 1.38 kW/oC de modo que es el aceite el flujo de capacidad térmica mínima. C = Cmín/Cmáx = 1.38/9.67 = 0.143 NTU = UA/Cmín = (275) (10.82)/1380 = 2.156 Se utilizará la tabla de fórmulas y como Cmín (aceite) es la corriente sin mezclar se aplica la fórmula ⎧ ⎡ 1 ⎤⎫ ε = C ⎨1 − exp ⎢− [1− exp(− N)]⎥ ⎬ ⎣ C ⎦⎭ ⎩

{

[

]}

ε = (1/ 0.143) 1 − exp − (0.143) (1 − e −2.156 ) = 0.831

Si se utiliza la gráfica 8-7, se tendría que haber evaluado C = Cmezclado/Csin mezclar = 7.01 y se habría obtenido también ε ≈ 0.8. Ahora utilizando el rendimiento se puede determinar la diferencia de temperaturas del fluido con flujo de capacidad térmica mínima (aceite) ΔTa = ε (ΔTmáx) = (0.831) (130 – 15) = 95.5oC

218

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ο

q = m acaΔTa = (1.38) (95.5) = 132 kW y se encuentra que una reducción de un 50% en el flujo de masa de aceite origina una reducción del calor transferido de sólo un 32%.

8.8 El intercambiador de calor del problema 8-2 se emplea para calentar agua. Utilizando las mismas temperaturas de entrada de los fluidos, calcular la temperatura de salida del agua cuando sólo se calientan 40 kg/mi de agua, pero se emplea la misma cantidad de aceite. Calcular también el calor total transferido con estas nuevas condiciones. El flujo de masa de aceite se calcula a partir del balance de energía del problema original ο

ο

m hchΔTh = m cccΔTc

(68) (4180) (75 – 35) ο

m = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 170.97 kg/mi (1900) (110 – 75)

Se calculan ahora los flujos de capacidades térmicas con las nuevas condiciones Ch = (170.97/60) (1900) = 5414 W/oC Cc = (40/60) (4180) = 2787 W/oC de modo que el agua (fluido frío) es el fluido con la capacidad térmica mínima Cmín/Cmáx = (2787/5414) = 0.515 UA (320) (15.82) NTUmáx = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.816 2787 Cmin donde el área de 15.82 m2 se toma del problema 8-2. A partir de la gráfica 8-6 o de la tabla, el rendimiento es ε = 0.744

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219

y debido a que el fluido frío es el de flujo de capacidad térmica mínima. se puede escribir ΔTfrío ΔTfrío ε = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.744 110 – 35 ΔTmáx ΔTfrío = 55.8oC y la temperatura de salida del agua es TW, salida = 35 + 55.8 = 90.8oC El calor total transferido bajo las nuevas condiciones es ο

q = m cccΔTc = (40/60) (4180) (55.8) = 155.5 kW Nótese que aunque el flujo de masa se ha reducido en un 41% (de 68 a 40 kg/min), el calor transferido se ha reducido en un 18% (de 189.5 a 155.5 kW), porque el intercambiador es más efectivo a flujos de masa más bajos. 8.9 Para calentar 2.36 m3/s de aire a 1 atm desde 15.55ºC, hasta 29.44ºC, se emplea un intercambiador de calor de tubos con aletas como se ilustra en los diagramas iniciales. El agua caliente entra en los tubos a 82.22ºC, y el aire circula transversalmente a los tubos, con un coeficiente global medio de transferencia de calor de 227 W/m2 oC. El área total de la superficie del intercambiador es 9.29 m2. Calcular la temperatura del agua a la salida y el flujo de calor. La transferencia de calor se calcula aplicando el balance de energía al aire. La densidad del aire es

PM (101.3) (28.84) ρ = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.217 kg/m3 RT (8.319) (288.55) El flujo de masa de aire es ο

m c = (2.36) (1.217) = 2.872 kg/s

220

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El calor transferido es ο

q = m cccΔTc = (2.872) (1006) (29.44 – 15.55) = 40.13 kW Por el enunciado del problema no se sabe si el fluido con flujo de capacidad térmica mínima es el aire o el agua. Si es el aire el fluido con flujo de capacidad térmica mínima, se puede calcular de manera inmediata el NTU y utilizar la gráfica 8-9 para determinar el flujo de masa de agua, y por tanto, la temperatura de salida del agua. Si es el agua el fluido de flujo de capacidad térmica mínima, hay que emplear un método de ensayo y error con la gráfica 8-8 o con la tabla. Se supone que el aire es el fluido de flujo de capacidad térmica mínima y después se comprueba esta hipótesis. o Cc = (2.872) (1006) = 2889 W/ C

UA (227) (9.29) NTUmáx = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.73 2889 Cmín y el rendimiento basado en el aire 29.44 – 15.55 ΔTaire ε = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.208 82.22 – 15.55 ΔTmáx En la gráfica 8-8, resulta imposible hacer corresponder estas cantidades con las curvas. Esto exige que sea el fluido caliente el de flujo de capacidad térmica mínima. Hay que ir suponiendo, por tanto, valores para el flujo de masa de agua hasta conseguir encajar el funcionamiento, según viene dado por la gráfica 8-2. Primero se ve que Cmáx = 2889 W/oC NTUmáx = UA/Cmín ΔTh ΔTh ε = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 82.33 – 15.55 ΔTmáx 4.034 x 104 4.034 x 104 ΔTh = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ch Cmín

(a)

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221

La iteraciones son: C

0.5 0.25 0.22

Cmín

ΔTh

NTUmáx

1452 726 639

1452 2.905 3.301

27.78 55.56 63.13

Gráfica 8-8

0.65 0.89 0.92

Ecuación (a)

0.417 0.833 0.947

Se estima así que el flujo de masa de agua es aproximadamente Ch = 645 W/oC ο

m h = (645/4180) = 0.154 kg/s

La temperatura de salida del agua es Tw, salida = 82.22 – (4.034 x 104 / 645) = 19.68oC 8.10 Se emplea aceite caliente a 100ºC para calentar aire en un intercambiador de calor de coraza y tubos. El aceite recorre seis pasos en los tubos y el aire recorre un paso en la coraza; se tienen que calentar 2.0 kg/s de aire, desde 20ºC hasta 80ºC. El calor específico del aceite es 2100 J/kg oC, y su flujo de masa es 3.0 kg/s. Calcular el área del intercambiador para U = 200 W/m2 oC. El balance de energía básico es ο

ο

m accacΔTac = m acaΔTa

(3.0) (2100) (100 – Tac) = (2.0) (1009) (80 – 20) Tac = 80.78 Ch = (3.0) (2100) = 6300 W/oC Cc = (2.0) (1009) = 2018 W/oC el aire es el fluido de flujo de capacidad mínima. C = Cmín/Cmáx = (2018/6300) = 0.3203

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El rendimiento es 80 – 20 ΔTc ε = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.75 ΔTmáx 100 – 20 Se puede ahora utilizar la gráfica 8-9. NTU = 1.99 A = NTU (Cmín/U) = (1.99) (2018) / (200) = 20.09 m2 8.11 Un intercambiador de coraza y tubos se utiliza como condensador de amoniaco. El vapor de amoniaco entra en la coraza como vapor saturado a 50ºC. El agua entra a un solo paso de tubos a 20ºC, y el calor transferido es 200 kW. El coeficiente global de transferencia de calor es 1000 W/m2 oC. Determinar el área necesaria para conseguir un rendimiento del intercambiador de 60%, con una temperatura de salida del agua de 40ºC. ¿Qué porcentaje de reducción en la transferencia de calor se obtendría si el flujo de masa de agua se reduce a la mitad, manteniendo iguales el área del intercambiador y el valor de U? El flujo de masa de agua será ο

m w = (200) /[(4.18) (40 – 20)] = 22.39 kg/s

Debido a que es un condensador, el agua es el fluido de flujo de capacidad térmica mínima, y Cmín = (2.39) (4.18) = 10 kW/oC NTU = -ln(1-ε) = -ln(1-0.6) = 0.916

Cmín N (10000) (0.916) A = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 9.16 m2 U 1000 Cuando se reduce a la mitad el flujo de masa, el nuevo valor de N es

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UA (1000) (9.16) N = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.832 (10000/2) Cmín Y el rendimiento se calcula como ε = 1 – e-N = 0.84 La nueva diferencia de temperaturas del agua es ΔTw = ε (ΔTmáx) = (0.84) (50 – 20) = 25,2 oC q = Cmín ΔTw = (10000/2) (25.2) = 126 kW Reduciendo el flujo de masa a la mitad, se disminuye la transferencia de calor en un 37%. 8.12 Un intercambiador de calor transfiere 10% más de calor cuando está nuevo que después de haber sido utilizado durante seis meses. Suponiendo que opera entre las mismas diferencias de temperatura y que la incrustación producida no es suficiente para cambiar el área superficial efectiva, determinar el factor de suciedad efectivo en función del coeficiente global limpio (nuevo) de transferencia de calor. qlimpio = Ulimpio A ΔTm qsucio = Usucio A ΔTm (qlimpio/qsucio) = (Ulimpio/Usucio) = 1.10

PROBLEMAS PROPUESTOS 8.13 En un intercambiador de calor de doble tubo un fluido entra a 49ºC y sale a 260ºC. El otro fluido entra a 482ºC y sale a 315ºC. ¿Cuál es la diferencia media logarítmica de temperaturas (LMTD) para (a) flujo paralelo y (b) flujo en contracorriente? 8.14 A un intercambiador de calor de flujo paralelo entran gases a 426ºC y salen a 260ºC, calentando 90800 kg/h de agua desde 32ºC hasta 82ºC. Para un área superficial de 371 m2, ¿cuál es el coeficiente global de transferencia de calor?

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8.15 En una planta procesadora de alimentos se calienta salmuera desde una temperatura de –12ºC hasta – 6.ºC en un intercambiador de calor de doble tubo con agua que entra a 32ºC y sale a 21ºC, a razón de 9 kg/mi. Si el coeficiente global de transferencia de calor es 850 W/m2 oC, ¿qué área de intercambio de calor se necesita (a) en flujo paralelo (b) en contracorriente. 8.16 Se utiliza aceite caliente para calentar una corriente de agua que tiene un flujo de masa de 0.1 kg/s, desde 40ºC hasta 80ºC, en un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente. Encontrar el área de transferencia de calor si el coeficiente global de transferencia de calor es 300 W/m2 oC y el aceite entra a 105ºC y sale a 70ºC. 8.17 En un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente se calienta agua a razón de 28 kg/mi desde 18ºC hasta 35ºC con un aceite que tiene un calor específico de 1.5 kJ/kg oC. El aceite entra al intercambiador a 93ºC y sale a 60ºC. Determinar el área de intercambio de calor para un coeficiente global de transferencia de 284 W/m2 oC. 8.18

Aceite caliente ( c = 2.09 kJ/kg oC ) que fluye a través de un intercambiador de calor en contracorriente a razón de 0.63 kg/s, entra a 193ºC y sale a 65ºC. Aceite frío ( c = 1.67 kJ/kg oC ) abandona el intercambiador a 149ºC a razón de 1.0 kg/s. ¿Qué área de transferencia de calor se necesita si el coeficiente global de transferencia de calor basado en el área interior es 0.7 kW/m2 oC?

8.19 Para los mismos parámetros del problema 8-16, ¿qué área se requiere cuando se utiliza un intercambiador de calor de coraza y tubos con el agua haciendo un paso por la coraza y el aceite dos pasos por los tubos? 8.20 Repetir el problema anterior para dos pasos por la coraza y cuatro pasos por los tubos. 8.21 ¿Qué área sería necesaria para las condiciones del problema 8-16 si se sustituyera el intercambiador de calor de doble tubo por un intercambiador de coraza y tubos? El agua hace un paso por la coraza y el aceite hace dos pasos por los tubos. 8.22

Un intercambiador de calor de flujo cruzado con ambos fluidos no o º mezclados se utiliza para calentar agua (c = 4.181 kJ/kg C) desde 4 C º hasta 27 C, la cual fluye a razón de 1.0 kg/s. ¿Cuál es el coeficiente global de transferencia de calor, si un flujo de aceite caliente (c = 1.9

CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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kJ/kg oC), que fluye a razón de 2.6 kg/s, entra al intercambiador a 100ºC? El área de transferencia de calor es 20 m2. 8.23 Calcular el área superficial necesaria en un intercambiador de calor de flujo cruzado que opera con ambos fluidos no mezclados, para enfriar 22700 kg/h de aire desde 49ºC hasta 38ºC con agua a 15ºC, que fluye a razón de 52210 kg/h. Suponer que el valor promedio del coeficiente global de transferencia de calor es 170 W/m2 oC. 8.24 Un intercambiador de calor de doble tubo y flujo paralelo utiliza aceite (c=1.88 kJ/kg oC) a una temperatura inicial de 204ºC para calentar agua, la cual fluye a razón de 227 kg/h, desde 15ºC hasta 43ºC. El flujo de masa de aceite es 272 kg/h. (a) ¿Qué área de intercambio de calor se requiere si el coeficiente global de transferencia de calor es 340 W/m2 oC? (b) Determinar el número de unidades de transferencia NTU. (c) Calcular el rendimiento del intercambiador. 8.25 A un intercambiador de calor de doble tubo, en contracorriente, entra agua a 38ºC y 45.4 kg/min, para ser calentada con aceite (c=1.88 kJ/kg oC) que fluye a razón de 91 kg/min y entra al intercambiador a una temperatura de 115ºC. Si el área es 13 m2 y el coeficiente global de transferencia de calor es 340 W/m2oC, determinar el calor total transferido. 8.26 A un intercambiador de calor de flujo cruzado (con los dos fluidos no mezclados) entra agua a 15ºC a razón de 27240 kg/h, para enfriar 36320 kg/h de aire desde una temperatura de 121ºC. Para un coeficiente global de transferencia de calor de 227 W/m2 oC y un área superficial del intercambiador de 241 m2, ¿cuál es la temperatura de salida del aire? 8.27 Resolver el problema anterior para un intercambiador de coraza y tubos con un paso por la coraza y 10 pasos por los tubos. 8.28 Agua a 82ºC entra a los tubos de un intercambiador de calor de coraza y tubos (con dos pasos por la coraza y 8 pasos por los tubos), a razón de 36 kg/min, para calentar una corriente de helio desde – 7ºC. El coeficiente global de transferencia de calor es 113.4 W/m2 oC, y el área del intercambiador de calor es 10.2 m2. Si el agua sale a 49ºC, determinar la temperatura de salida del helio y su flujo de masa. 8.29 Un intercambiador de calor en contracorriente tiene un coeficiente global de transferencia de calor de 227 W/m2 oC y un área superficial de 84 m2. El fluido caliente (c=3.55 kJ/kg oC) entra a 93ºC y fluye a razón de 9080 kg/h. El fluido frío (c=11.674 kJ/kg oC) entra a 15ºC y fluye a razón de 8172 kg/h. ¿Cuál es el calor transferido?

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8.30 Agua a razón de 15000 kg/h se calienta desde 38ºC hasta 55ºC en un intercambiador de calor de coraza y tubos. El fluido caliente que circula por la coraza es agua, la cual entra al intercambiador de calor a una temperatura de 94ºC y a razón de 7500 kg/h. El coeficiente global de transferencia de calor basado en el diámetro interior de los tubos es 1400 W/m2 oC, y la velocidad promedio del agua por el interior de los tubos es 0.37 m/s. El diámetro de los tubos es 1.91 cm. Debido a limitaciones de espacio el intercambiador de calor no debe tener una longitud mayor de 2.5 m. Calcular el número de pasos de tubos, el número de tubos por paso y la longitud de los tubos. 8.31 En un intercambiador de calor en contracorriente entra agua a 75ºC y sale a 30ºC. El agua se utiliza para calentar aceite desde 25ºC hasta 48ºC. ¿Cuál es el rendimiento del intercambiador de calor? 8.32 Por el interior de una tubería de acero de 1 pulg, de número de listado 80, circula aire a 2 atm y 200ºC siendo h= 65 W/m2 oC. Un gas caliente a 400ºC con h=180 W/m2 oC, circula transversalmente a la tubería por el exterior. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor. 8.33 En un intercambiador de tubo con aletas de flujo cruzado, se emplean gases calientes de escape para calentar 2.5 kg/s de agua desde 35ºC hasta 85ºC. Los gases (c=1.09 kJ/kg oC) entran a 200ºC y salen a 93ºC. El coeficiente global de transferencia de calor es 180 W/m2 oC. Calcular el área del intercambiador de calor utilizando (a) el LMTD (b) el método NTU-Rendimiento. 8.34 Un intercambiador pequeño de coraza y tubos con un paso en los tubos (A = 4.64 m2 y U = 280 W/m2 oC), se va a utilizar para calentar agua a alta presión, inicialmente a 20ºC, con aire caliente a 260ºC. Si la temperatura de salida del agua no va a superar los 93ºC y el flujo de masa de aire es 0.45 kg/s, calcular el flujo de masa de agua. 8.35

Se va a utilizar un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente, para calentar 0.6 kg/s de agua desde 35ºC hasta 90ºC con una corriente de aceite de 0.9 kg/s. El aceite tiene un calor específico de 2.1 kJ/kgoC y entra al intercambiador de calor a una temperatura de 175ºC. El coeficiente global de transferencia de calor es 425 W/m2 oC. Calcular el área del intercambiador de calor y el rendimiento.

8.36 Se diseña un pequeño condensador de vapor para condensar 0.76 kg/mi de vapor a 83 kPa, con agua de refrigeración a 10ºC. La temperatura de salida del agua no debe pasar de 57ºC. El coeficiente global de

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transferencia de calor es 3400 W/m2 oC. Calcular el área necesaria para un intercambiador de calor de doble tubo. 8.37

Se va a utilizar un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente para calentar agua desde 20ºC hasta 40ºC, enfriando un aceite desde 90ºC hasta 55ºC. Se diseña el intercambiador para una transferencia de calor total de 29 kW, con un coeficiente global de transferencia de calor de 340 W/m2 oC. Calcular el área superficial del intercambiador.

8.38 Un calentador de agua de alimentación utiliza un intercambiador de coraza y tubos con vapor de agua que condensa a 120ºC en un paso de coraza. El agua entra en los tubos a 30ºC y recorre cuatro pasos, de modo que el valor de U global es 2000 W/m2 oC. Calcular el área del intercambiador para un flujo de masa de agua de 2.5 kg/s, con una temperatura de salida del agua de 100ºC. 8.39 En una instalación grande de acondicionamiento de aire, hay que calentar 1500 m3/mi de aire a 1 atm. y 10ºC en un intercambiador de calor de tubo con aletas, por medio de agua caliente que entra al intercambiador a 80ºC. El coeficiente global de transferencia de calor es 50 W/m2 oC. calcular el área del intercambiador de calor necesaria para una temperatura de salida del aire de 35ºC y una temperatura de salida del agua de 50ºC. 8.40 En un intercambiador de calor de coraza y tubos que tiene un paso en la coraza y dos pasos en los tubos, se utiliza un flujo de masa de 95 kg/min de aceite caliente a 120ºC, para calentar 55 kg/min de agua que entra a 30ºC. El área del intercambiador es 14m2. Calcular el calor transferido y la temperatura de salida de ambos fluidos, si el coeficiente global de transferencia de calor es 250 W/m2 oC. 8.41 Un intercambiador de calor de coraza y tubos funciona con dos pasos de coraza y cuatro pasos de tubos. El fluido de la coraza es etilenglicol, que entra a 140ºC y sale a 80ºC, con un flujo de masa de 4500 kg/h. Por los tubos circula agua, que entra a 35ºC y sale a 85ºC. El coeficiente global de transferencia de calor para este dispositivo es 850 W/m2 oC. Calcular el flujo de masa de agua necesario y el área del intercambiador de calor. 8.42 Una unidad de recuperación de calor aire-aire utiliza un intercambiador de calor de flujo cruzado con ambos fluidos sin mezclar y un flujo de masa de aire de 0.5 kg/s por ambos lados. El aire caliente entra a 400ºC, mientras el aire frío entra a 20ºC. Calcular las temperaturas de salida para U = 40 W/m2 oC y un área total del intercambiador de 20 m2.

228

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8.43

Un intercambiador de calor de tubo con aletas, de flujo cruzado, emplea agua caliente para calentar aire desde 20ºC hasta 45ºC. La temperatura de entrada del agua es 75ºC y su temperatura de salida es 45ºC. El flujo de calor total que se transfiere es 29307 W. Si el coeficiente global de transferencia de calor es 50 W/m2 oC, calcular el área del intercambiador de calor.

8.44 Un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente se emplea para calentar amoniaco líquido desde 10ºC hasta 30ºC, con agua caliente que entra al intercambiador a 60ºC. El flujo de masa de agua es 5 kg/s y el coeficiente global de transferencia de calor es 800 W/m2 oC. El área del intercambiador es 30 m2. Calcular el flujo de masa de amoniaco. 8.45

Un intercambiador de calor de coraza y tubos, con un paso de coraza, tiene vapor de agua que condensa a 100ºC, en el lado de la coraza. Se utilizan dos pasos en los tubos a los que entra aire a 10ºC. El área total de la superficie del intercambiador es 30 m2 y puede tomarse el coeficiente global de transferencia de calor igual a 150 W/m2 oC. Si el rendimiento del intercambiador es del 85%, ¿cuál es el flujo de calor transferido?

8.46 Un intercambiador de coraza y tubos del tipo 1-2, se utiliza como sistema de transferencia de calor agua-agua, estando el fluido caliente en la parte de la coraza. El agua caliente se enfría desde 80ºC hasta 60ºC, y el fluido frío se calienta desde 5 oC hasta 60ºC. Calcular el área superficial necesaria para una transferencia de calor de 60 kW y un coeficiente de transferencia de calor 1100 W/m2 oC. 8.47 Se ha diseñado un intercambiador de calor de coraza y tubos del tipo 1-4, para calentar 4000 kg/h de aceite motor desde 40ºC hasta 80ºC, con el aceite por los tubos. En la coraza se tiene vapor de agua que condensa a 1 atm de presión y el corficiente global de transferencia de calor es 1200 W/m2 oC. Calcular de masa de vapor de agua condensado si el flujo de masa de aceite se reduce a la mitad, mientras que se mantienen los mismos valores de la temperatura de entrada y de U. 8.48

Se desea calentar 4.500 kg/h de etilenglicol desde 25ºC hasta 50ºC utilizando agua caliente que entra a 75ºC y sale a 35ºC. Se utiliza para ello un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente. Puede asignarse un factor de suciedad para el intercambiador de 0.002. Se deben utilizar pinzas de 6 metros de longitud, en tubería de acero, número de cédula 40 con diámetros nominales de 2 y 1 pulgada. ¿Cuántas pinzas se requieren?

CAPITULO 9

RADIACION A diferencia con los mecanismos de transferencia de calor por conducción y convección en donde el transporte de energía requiere de un medio para llevarse a cabo, el calor puede propagarse por radiación aún en el vacío. La radiación térmica es la radiación electromagnética emitida por un cuerpo como resultado de su temperatura. En la figura se ilustra la mayor parte del espectro electromagnético. La radiación térmica está comprendida entre longitudes de onda de 1 x 10-7 m y 1 x 10-4 m. También es de interés el estrecho espectro visible, el cual abarca desde 3.9 x 10-7 m y 7.8 x 10-7 m.

Una unidad conveniente para expresar las longitudes de onda es el micrómetro: 1 μm = 10-6 m. En estas unidades, la radiación térmica cubre el intervalo de 0.1 a 100 μm y la porción visible del espectro va desde 0.39 hasta 0.78 μm. Otra unidad de longitud de onda utilizada comúnmente es el angstrom: 1 A =10-10 m. La velocidad de propagación en el vacío para todos los tipos de radiación electromagnética es c = λ ν = 3 x 108 m/s

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donde λ es la longitud de onda, ν es la frecuencia de la radiación y c es la velocidad de la luz.

9.1 PROPIEDADES Y DEFINICIONES La palabra espectral se utiliza para designar la dependencia de la longitud de onda de una cantidad de radiación. El valor de la cantidad a una longitud de onda determinada se llama valor monocromático.

9.1.1 Absortividad, reflectividad y transmisividad. Cuando la energía radiante incide sobre una superficie, se puede absorber una parte, reflejar una parte y transmitir otra parte a través del cuerpo receptor. Si definimos α = fracción absorbida de la radiación incidente = absortividad ρ = fracción reflejada de la radiación incidente = reflectividad τ = fracción transmitida de la radiación incidente = transmisividad

α+ρ+τ=1 Para la mayoría de los sólidos, con excepción de aquellos que son visiblemente transparentes o translúcidos, no transmiten radiación y por lo tanto α+ρ=1 La ecuación anterior se aplica con frecuencia a los líquidos, aunque la transmisividad de los líquidos depende en gran parte de su espesor.

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

231

Los gases reflejan generalmente muy poca energía radiante y la ecuación se simplifica para dar α+τ=1

9.1.2 Potencia emisiva y radiosidad. La potencia emisiva total, designada por E, es la energía térmica radiante total (en todas las longitudes de onda y en todas las direcciones) emitida por una superficie, por unidad de tiempo y por unidad de área de la superficie emisora. La potencia emisiva total de una superficie depende del material o sustancia, de las condiciones superficiales y de la temperatura. La radiosidad, J, designa la energía térmica radiante que abandona una superficie por unidad de tiempo y por unidad de área de la superficie. Así, la radiosidad es la suma de los flujos de energía radiante, emitida y reflejada, que parten de una superficie. Como en el caso de la potencia emisiva total, la radiosidad total representa una integración sobre la distribución espectral y direccional.

9.1.3 Superficies especulares y difusas. La reflexión de energía térmica radiante en una superficie se puede describir con la ayuda de dos modelos ideales. El reflector especular perfecto se muestra en la figura (a); en este caso el ángulo de incidencia, φi, es igual al ángulo formado por el rayo reflejado, φr. En la figura (b) se muestra un reflector difuso; en este caso la magnitud de la energía reflejada en una dirección específica φr es proporcional al coseno de φr, y φr se mide a partir de la normal N. Si la dimensión (altura) de la rugosidad de una superficie real es considerablemente menor que la longitud de onda de la irradiación incidente, la superficie se comporta en forma especular, si la dimensión de la rugosidad es grande respecto a la longitud de onda, la superficie refleja difusamente.

232

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Fuente

Fuente

Superficie difusa o rugosa

Superficie especular

(a)

(b)

9.1.4 Intensidad de la radiación. Definimos la intensidad de la radiación, I, como la energía radiante por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido y por unidad de área del emisor, proyectada normalmente a la línea de visión desde el elemento radiante hasta el receptor. Para la geometría representada en la figura, la energía radiada desde el elemento dA1 que es interceptada por el elemento dA2 es dq1→2 = I (cosφ dA1)dω dω = (dA2/r2) = senφ dθ dφ es el ángulo sólido subtendido por dA2, y cosφ dA1 es el área de la superficie emisora proyectada normalmente a la línea de visión dirigida a la superficie receptora. Por sustitución de la ecuaciones anteriores q1→2 = dA 1

2π

∫ ∫ 0

π

2

I cos φ sen φdθ dφ

0

la cual es la relación general entre la potencia emisiva total de un cuerpo (en este caso el elemento dA1) y la intensidad de radiación. Si la superficie emisora es difusa, I = constante se integra para dar

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

233

q1→2 = E = πI dA 1

9.2 RADIACION DEL CUERPO NEGRO En el estudio de transferencia de calor por radiación, la superficie ideal es el cuerpo negro, el cual se define como aquel que cumple la condición αb = 1. De este modo, el cuerpo negro absorbe toda la radiación térmica incidente, sin importar sus características espectrales o direccionales. Ver figura

Radiación incidente

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9.2.1 Potencia emisiva del cuerpo negro. La potencia emisiva total (hemisférica) de un cuerpo negro se expresa mediante la ecuación de Stefan-Boltzmann: Eb = σ T4 donde σ, es la constante de Stefan-Boltzmann, igual a 5.6697 x 10-8 W/m2 K4.

9.2.2 Distribución espectral del cuerpo negro. En general, una superficie emite diferentes cantidades de energía a diferentes longitudes de onda. La potencia emisiva total se puede expresar en la forma E=

∞

∫ E dλ 0

λ

donde Eλ es el poder emisivo monocromático a la longitud de onda λ. Para un cuerpo negro, E=

∫

∞

0

Eb λ dλ = σT 4

La primera expresión exacta para Ebλ fué determinada por Max Planck; esta expresión es Eb λ =

C1 λ−5 exp (C 2 / λT ) − 1

C1 = 3.742 x 108 W-μm4/m2 C2 = 1.4387 x 104 μm-K En la siguiente figura se muestra la gráfica de Ebλ contra λ para varias temperaturas diferentes. El desplazamiento del valor máximo del poder emisivo monocromático hacia longitudes de onda más cortas cuando aumenta la temperatura es evidente. Este desplazamiento de las longitudes de onda se describe mediante la ley del desplazamiento de Wiem, λmáx T = 2897.6 μm-K

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

235

la cual se traza como una curva punteada que pasa por los valores pico de la potencia emisiva.

Con frecuencia es necesario determinar la cantidad de energía radiada por un cuerpo negro dentro y una porción específica de la banda de ondas de radiación térmica. La energía emitida en el intervalo entre 0 y λ a una temperatura específica T se puede expresar en la siguiente forma, E b ( 0 − λT ) =

∫

λT

0

1 Ebλ d(λT ) T

La fracción de energía total que está dentro de este intervalo es E b ( 0 − λT ) Eb

=

E b ( 0 − λT ) σT

4

=

λT

Ebλ

0

σT 5

∫

d(λT )

En la tabla 9-1 se presentan los valores del integrando y de la integral de la ecuación anterior.

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Tabla 9-1 λT μm.oR 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000 2 200 2 400 2 600 2 800 3 000 3 200 3 400 3 600 3 800 4 000 4 200 4 400 4 600 4 800 5 000 5 200 5 400 5 600 5 800 6 000 6 200 6 400 6 600 6 800 7 000 7 200 7 400 7 600 7 800 8 000 8 200 8 400 8 600 8 800 9 000 9 200 9 400 9 600 9 800

Funciones de Radiación para un cuerpo negro

Ebλ x105

E b( 0 − λ T )

λT

Ebλ x10 5

E b( 0 − λ T )

σT 5

σT

μm. R

σT 5

σT 4

10 400 10 600 10 800 11 000 11 200 11 400 11 600 11 800 12 000 12 200 12 400 12 600 12 800 13 000 13 200 13 400 13 600 13 800 14 000 14 200 14 400 14 600 14 800 15 000 16 000 17 000 18 000 19 000 20 000 21 000 22 000 23 000 24 000 25 000 26 000 27 000 28 000 29 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000

(μm. R) 5.142725 4.921745 4.710716 4.509291 4..317109 4.133804 3.959010 3.792363 3.633505 3.482084 3.337758 3.200195 3.069073 2.944084 2.824930 2.711325 2.602997 2.499685 2.401139 2.307123 2.217411 2.131788 2.050049 1.972000 1.630989 1.358304 1.138794 0.960883 0.815714 0.696480 0.597925 0.515964 0.447405 0.389739 0.340978 0.299540 0.264157 0.233807 0.207663 0.074178 0.032617 0.016479 0.009192 0.005521 0.003512

o

4

o

-1

(μm. R) 0.000039 0.001191 0.012008 0.062118 0.208018 0.517405 1.041926 1.797651 2.761875 3.882650 5.093279 6.325614 7.519353 8.626936 9.614973 10.463377 11.163315 11.714711 12.123821 12.401105 12.559492 12.613057 12.576066 12.462308 12.284687 12.054971 11.783688 11.480102 11.152254 10.807041 10.450309 10.086964 9.721078 9.355994 8.994419 8.638524 8.290014 7.950202 7.620072 7.300336 6.991475 6.693786 6.407408 6.132361 5.868560

o

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0010 0.0025 0.0053 0.0098 0.0164 0.0254 0.0368 0.0507 0.0668 0.0851 0.1052 0.1269 0.1498 0.1736 0.1982 0.2332 0.2483 0.2735 0.2986 0.3234 0.3477 0.3715 0.3948 0.4174 0.4394 0.4607 0.4812 0.5010 0.5201 0.5384 0.5561 0.5730 0.5892 0.6048 0.6197 0.6340 0.6477 0.6608 0.6733 0.6853

-1

0.7183 0.7284 0.7380 0.7472 0.7561 0.7645 0.7726 0.7803 0.7878 0.7949 0.8017 0.8082 0.8145 0.8205 0.8263 0.8318 0.8371 0.8422 0.8471 0.8518 0.8564 0.8607 0.8649 0.8689 0.8869 0.9018 0.9142 0.9247 0.9335 0.9411 0.9475 0.9531 0.9579 0.9621 0.9657 0.9689 0.9717 0.9742 0.9764 0.9891 0.9941 0.9965 0.9977 0.9984 0.9989

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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9.3 SUPERFICIES REALES Y CUERPO GRIS Una superficie real tiene una potencia emisiva total E, menor que la de un cuerpo negro. La relación entre la potencia emisiva total de un cuerpo y la potencia emisiva total de un cuerpo negro a la misma temperatura, se denomina la emisividad total (emisividad hemisférica total), y se representa por ε. ε = E/Eb En la tabla A-8 del Apéndice, se presentan algunos valores numéricos de emisividades totales. La emisividad monocromática (hemisférica), ελ, es útil en el tratamiento de superficies reales que presentan valores de emitancia espectralmente selectiva. Se expresa en la siguiente forma ελ = Eλ / Ebλ donde Eλ es la potencia emisiva de la superficie real a la longitud de onda λ y Ebλ es la potencia emisiva de un cuerpo negro a la misma longitud de onda y a la misma temperatura.

9.3.1 Ley de Kirchhoff. Suponiendo que se dispone de una cavidad perfectamente negra, esto es, que absorbe toda la radiación incidente que le llega, como se muestra en la figura.

Esta cavidad también emitirá radiación de acuerdo con la ley de StefanBoltzmann. Sea qi W/m2 el flujo radiante que llega a un área determinada de la cavidad. Suponiendo ahora que se coloca un cuerpo dentro de la cavidad y que se le permite alcanzar el equilibrio térmico con ésta. En el equilibrio, la energía

238

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absorbida por el cuerpo debe ser igual a la energía emitida; de otro modo, habría un flujo de energía hacia dentro o hacia afuera del cuerpo que elevaría o disminuiría la temperatura. En el equilibrio se puede escribir E A = qi A α Si ahora se sustituye el cuerpo de la cavidad por un cuerpo negro de la misma forma y tamaño y se le permite alcanzar el equilibrio con la cavidad a la misma temperatura Eb A = qi A (1) puesto que la absortividad de un cuerpo negro es la unidad. Si se dividen las ecuaciones anteriores (E / Eb) = α = ε y se encuentra que el cociente entre el poder emisor de un cuerpo y el poder emisor de un cuerpo negro a la misma temperatura, es también igual a la absortividad.

9.3.2

Emisión de una superficie real y aproximación del cuerpo gris.

Como puede verse en la siguiente figura, la potencia emisiva monocromática de una superficie real no es una fracción constante de la potencia emisiva monocromática de una superficie negra. Una idealización muy útil es la del cuerpo gris, definido por (ελ)gris = constante Las ventajas para fines de cálculo de esta idealización son evidentes si se considera la expresión: E=

∫

∞

0

E λ dλ =

∞

∫ε E 0

λ

bλ dλ

La cual se simplifica para ελ constante a E= ε

∫

∞

0

Ebλ dλ = εσT 4

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

239

9.3.3 Dependencia direccional de las propiedades. Además de depender de las variables discutidas previamente, las cuales ejercen influencia sobre las propiedades de la superficie, la emisividad de una superficie lisa depende en gran medida del ángulo polar φ medio entre la dirección de la radiación incidente y la normal a la superficie. En general, los materiales no conductores emiten con mayor intensidad en la dirección normal (o a ángulos polares pequeños) a la superficie, mientras los conductores emiten con mayor intensidad a ángulos polares amplios.

9.4 INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE CUERPOS NEGROS (FACTOR DE FORMA) Una vez establecidos los principales parámetros de radiación conviene ahora analizar el intercambio de energía radiante entre dos o más cuerpos a distintas temperaturas. El problema básico consiste en determinar la cantidad de radiación que sale de uno de ellos y es interceptada por el otro.

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Consideremos la configuración física más simple: dos planos infinitos paralelos, negros, que se mantienen a temperaturas diferentes (pero constantes) T1 y T2, como se indica en la siguiente figura

T1

T2

Eb1 Eb2

1

2

Si q1-2 = Flujo de energía que abandona la superficie 1 y llega a la superficie 2. q2-1 = Flujo de energía que abandona la superficie 2 y llega a la superficie 1 . El intercambio neto de energía entre las superficies 1 y 2 es: q 1↔2 = Eb1 A1 – Eb2 A2 Por unidad de área, q1↔2 /A = Eb1 – Eb2 = σ ( T14 − T24 ) Se consideran ahora, dos superficies negras de áreas A1 y A2 como se muestra en la siguiente figura y las cuales se encuentran a diferente temperatura:

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

241

Para resolver el problema de intercambio de calor por radiación se definen los siguientes factores de forma como: F1-2 = Fracción de energía radiante que sale de la superficie 1 y es interceptada por la 2. F2-1 = Fracción de energía radiante que sale de la superficie 2 y es interceptada por la 1. En la literatura se utilizan diferentes denominaciones del factor de forma, tales como, factor de configuración, factor de visión, y factor de ángulo. Según estas definiciones, la energía que sale de la superficie 1 y es interceptada por la 2 es, q1-2 = A1 Eb1 F1-2 Igualmente, la energía que sale de la superficie 2 y llega a la 1 es, q2-1 = A2 Eb2 F2-1 Puesto que ambas superficies 1 y 2 son negras y toda la radiación que les incide es absorbida, el intercambio neto de calor por radiación es, q1↔2 = A1 Eb1 F1-2 – A2 Eb2 F2-1 En caso de que ambos cuerpos negros se encuentren a la misma temperatura (T1=T2), el intercambio neto de calor es igual a cero y puesto que Eb1 = Eb2,

242

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A1 F1-2 = A2 F2-1 Esta relación se conoce como el teorema de reciprocidad. Haciendo uso de esta expresión puede ahora calcularse el flujo neto de calor como, q1↔2 = A1 F1-2 (Eb1 – Eb2) = A2 F2-1 (Eb1 – Eb2) o en forma alterna, q1↔2 = A1 F1-2 σ ( T14 − T24 ) = A2 F2-1 σ ( T14 − T24 )

Para simplificar el problema anterior se incluyen las gráficas 9-1 a 9-4 para geometrías sencillas.

Diagrama 9-1 Variación del factor de forma entre un elemento de área dA1 y un rectángulo de área A2

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Diagrama 9-2 Variación del factor de forma entre dos rectángulos paralelos

Gráfica 9-3 Variación del factor de forma entre dos discos paralelos

243

244

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Gráfica 9-4 Variación del factor de forma entre dos rectángulos perpendiculares

9.4.1 Analogía eléctrica. Analizando la siguiente ecuación: q1↔2 = A1F1-2(Eb1 – Eb2) = A2F2-1(Eb1 – Eb2) se observa que ésta tiene también una analogía con la ley de Ohm de circuitos eléctricos. Eb1 y Eb2 se interpretan como los potenciales eléctricos y el flujo neto de calor q1↔2 como una corriente, el término 1/A1F1-2 = 1/A2F2-1 representa físicamente una “resistencia espacial”. Es decir la ecuación anterior puede escribirse como q1↔2 =

Eb1 − Eb 2 Eb1 − Eb 2 = 1 1 A 1F1−2 A 2F2−1

El intercambio de calor por radiación entre más de dos cuerpos puede obtenerse fácilmente haciendo uso de este concepto de resistencia térmica. Considerando como ilustración el intercambio de radiación en una envolvente constituida por tres superficies negras a distintas temperaturas, la red equivalente para radiación se muestra en la siguiente figura:

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

245

Para este arreglo q1↔2 =

Eb1 − Eb 2 1 A 1F1− 2

q1↔3 =

Eb1 − Eb3 1 A1F1−3

q1↔envolvente = q1↔2 + q1↔3 = A1F1-2 (Eb1 – Eb2) + A1F1-3 (Eb1 – Eb3) q1↔envolvente = A1 [ Eb1 (F1-2 + F1-3) – Eb2 F1-2 – Eb3 F1-3 ] Puesto que en general F1-1 + F1-2 + F1-3 = 1 q1↔envolvente = A1 [Eb1 – (Eb1F1-1 + Eb2F1-2 + Eb3F1-3) Generalizando el resultado anterior para cualquier superficie i en una envolvente constituida por n superficies negras,

246

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n

qi↔envolvente = A i (Ebi −

∑E

bjFij )

j=1

9.5 INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE CUERPOS GRISES En la sección anterior se describió el intercambio de calor por radiación entre cuerpos negros y el análisis resultó sencillo puesto que toda la radiación incidente sobre un cuerpo negro es absorbida. Sin embargo, hay numerosos problemas en ingeniería en que la emisividad de las superficies involucradas dista mucho de ser igual a la unidad y no se comportan como cuerpos negros. En estas circunstancias el análisis de transferencia de calor es enormemente complejo, a menos que a las superficies se les suponga un comportamiento de cuerpo gris. Ante esta complejidad, el desarrollo que se presenta se limitará entonces a superficies grises que son difusas y con temperatura uniforme, y que las propiedades reflectoras y emisoras son constantes en todas las superficies. Se define: G = irradiación = radiación total incidente sobre una superficie por unidad de tiempo y por unidad de área. Teniendo en cuenta que la radiosidad J se había definido anteriormente como la radiación total que abandona una superficie por unidad de tiempo y por unidad de área, y sobre la hipótesis de que la radiosidad y la irradiación son uniformes para cada superficie, un balance de energía en la superficie de un material tal como se muestra en la figura, conduce a

J = ε Eb + ρG

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

247

donde ε es la emisividad y Eb es la potencia emisiva del cuerpo negro. Puesto que se supone la transmitancia igual a cero, la reflectancia puede expresarse como ρ=1-α=1-ε de modo que J = ε Eb + (1 - ε) G La energía neta que abandona la superficie es la diferencia entre la radiosidad y la irradiación q/A = J – G = ε Eb + (1 -ε) G – G o también q=

Eb − J (1 − ε) εA

9.5.1 Analogía eléctrica. La expresión anterior también tiene una analogía eléctrica. Si el numerador se interpreta como una diferencia de potenciales y el flujo de calor como una corriente, el denominador del lado derecho de la ecuación corresponde a una “resistencia superficial” de la forma (1-ε)/εA. Se considera ahora el intercambio de energía radiante entre dos superficies A1 y A2, mostrado en la figura De toda la radiación que abandona la superficie 1, la cantidad que llega a la superficie 2 es J1A1F1-2 y de toda la energía que sale de la superficie 2, la cantidad que alcanza la superficie 1 es J2A2F2-1

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q1↔2

El intercambio neto entre las dos superficies es q1↔2 = J1A1F1-2 – J2A2F2-1 Pero A1F1-2 = A2F2-1 de modo que q1↔2 = (J1 – J2)A1F1-2 = (J1 – J2)A2F2-1 q1↔2 = (J1 – J2) / (1/A1F1-2) Para construir un circuito para un problema concreto de transferencia de calor por radiación, sólo se necesita conectar una “resistencia superficial” a cada superficie y una “resistencia espacial”, entre los potenciales de radiosidad. Por ejemplo, dos superficies que intercambian calor entre sí y con nada más, podrían representarse por el circuito mostrado en la siguiente figura. En este caso la transferencia neta de calor sería la diferencia de potencial dividida entre la suma de las resistencias

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

249

Eb1 – Eb2 q1↔2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1-ε1) / ε1A1 + 1/A1F1-2 + (1-ε2) / ε2A2 En la siguiente figura se muestra un problema de tres cuerpos. En este caso, cada uno de los cuerpos intercambia calor con los otros dos. El intercambio de calor entre los cuerpos 1 y 2 sería:

q1−2 =

J1 − J 2 1/ A 1F1−2

q1−3 =

J1 − J3 1/ A1F1−3

y entre los cuerpos 1 y 3

Para determinar los flujos de calor en un problema de este tipo, hay que calcular los valores de las radiosidades. Esto puede conseguirse con métodos de análisis estándar utilizados en la teoría de circuitos de corriente continua. El método más apropiado es la aplicación de la ley de Kirchhoff al circuito, que dice que la suma de las corrientes que entran en un nudo es cero.

9.5.2 Superficies aisladas y superficies muy grandes Según se ha visto (Eb – J) representa la diferencia de potencial en el flujo de calor a través de una resistencia superficial (1 - ε)/εA. Si una superficie está completamente aislada, o vuelve a radiar toda la energía que le llega, tiene un flujo de calor igual a cero y la diferencia de potencial a través de la resistencia

250

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de la superficie es cero, dando como resultado que J = Eb. Pero, la superficie aislada no tiene una resistencia superficial igual a cero. En efecto, el nudo J del circuito está flotando, esto es, no extrae ninguna corriente. Por otra parte, una superficie con un área muy grande ( A→ ∞) tiene una resistencia superficial próxima a cero, que hace que se comporte como un cuerpo negro con ε = 1.0. Esta también, tendrá J = Eb, debido a que la resistencia superficial es cero. Entonces, estos dos casos – superficie aislada y superficie con un área muy grande – tienen ambos J = Eb, pero por dos razones completamente distintas. Un problema que puede resolverse fácilmente por el método del circuito de radiación es el de dos superficies planas que intercambian calor entre sí, pero conectadas a una tercera que no intercambia calor, esto es, que está perfectamente aislada. Sin embargo, esta tercera superficie influye en el proceso de transferencia de calor porque absorbe y vuelve a radiar energía a las otras dos superficies que intercambian calor. En la siguiente figura se muestra el circuito para este sistema.

Obsérvese que el nudo J3 no está conectado a una resistencia superficial de radiación porque la superficie 3 no intercambia energía. Existe una resistencia superficial (1 - ε)/εA, pero como no hay flujo de calor no hay diferencia de potencial, y J3 = Eb3. Obsérvese también que los valores de las resistencias de forma se han escrito F1-3 = 1 – F1-2 F2-3 = 1 – F2-1 puesto que la superficie 3 rodea completamente a las otras superficies. En el caso especial en que las superficies 1 y 2 sean convexas, esto es, que no se vean a sí mismas y F1-1 = F2-2 = 0, la figura anterior es un simple circuito serieparalelo que puede resolverse para dar el flujo de calor como

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

qneto =

251

σ A 1(T14 − T24 ) A 1 + A 2 − 2A 1F1− 2 A 2 − A 1 (F1−2 )

2

⎛ 1 ⎞ A + ⎜⎜ − 1⎟⎟ + 1 ⎝ ε1 ⎠ A 2

⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ − 1⎟⎟ ε ⎝ 2 ⎠

donde se ha utilizado la relación de reciprocidad A1 F1-2 = A2 F2-1 para simplificar la expresión.

9.5.3 Planos paralelos infinitos. Cuando se consideran dos planos paralelos infinitos, A1 y A2 son iguales; y el factor de forma de radiación es la unidad, ya que toda la radiación que sale de un plano llega al otro. El circuito es el siguiente

El flujo de calor por unidad de área haciendo A1 = A2 y F1-2 = 1.0, es σ (T14 − T24 ) q = A 1/ ε1 + 1/ ε 2 − 1

9.5.4 Cilindros concéntricos largos. Suponiendo que F1-2 = 1.0 q=

σ A 1(T14 − T24 ) 1/ ε1 + ( A 1 / A 2 ) (1/ ε 2 − 1)

cuando se trabaja con cuerpos cilíndricos, se puede sustituir la relación de áreas A1/A2, por la relación de diámetros d1/d2.

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9..5.5 Objeto convexo en un recinto cerrado grande. La última ecuación es particularmente importante cuando se aplica al caso límite de un objeto convexo completamente contenido en una superficie cóncava muy grande. En este caso A1/A2 → 0 y se obtiene la relación sencilla siguiente q = σ A 1 ε1 (T14 − T24 )

9.6 PANTALLAS DE RADIACION Una manera de disminuir la transferencia de calor por radiación entre dos superficies dadas es mediante la utilización de materiales que sean altamente reflectantes. Un método alternativo es emplear pantallas frente a la radiación entre las superficies que intercambian calor. Estas pantallas no aportan ni restan ningún calor al sistema en conjunto; sólo colocan otra resistencia en el camino del flujo de calor, de modo que se disminuye la transferencia de calor total. Si se consideran los dos planos paralelos mostrados en la figura (a), se ha demostrado que el intercambio de calor entre estas superficies es: σ (T14 − T24 ) q = A 1/ ε1 + 1/ ε 2 − 1

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253

Ahora se consideran los mismos dos planos, pero con una pantalla de radiación colocada entre ellos, como en la figura (b).

Puesto que la pantalla no aporta ni extrae calor al sistema, la transferencia de calor entre la placa 1 y la pantalla tiene que ser, la misma que la que hay entre la pantalla y la placa 2, y ésta es la transferencia de calor total. Así (q/A)1-3 = (q/A)3-2 = q/A σ (T34 − T24 ) σ (T14 − T34 ) q = = A 1 / ε 1 + 1 / ε 3 − 1 1/ ε 3 + 1/ ε 2 − 1

La única incógnita en la ecuación anterior es la temperatura de la pantalla T3. Una vez obtenida esta temperatura, la transferencia de calor se calcula fácilmente. Si las emisividades de las tres superficies son iguales, esto es, ε1 = ε2 = ε3 se obtiene la relación sencilla T34 = (1/ 2) (T14 + T24 )

y la transferencia de calor es q (1/ 2) σ (T14 − T24 ) = A 1/ ε 1 + 1 / ε 3 − 1

Pero como ε3 =ε2, se observa que este flujo de calor es justo la mitad del que existiría si no estuviera presente la pantalla. En la siguiente figura se tiene el correspondiente circuito de radiación.

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Examinando el circuito, se ve que la transferencia de calor por radiación está dificultada por la inserción de tres resistencias más que la que había con sólo dos superficies, una enfrente de la otra; una resistencia espacial extra y dos resistencias superficiales extra debidas a la pantalla. Cuanto mayor sea la reflectancia de la pantalla, esto es, cuanto más pequeña sea su emisividad, mayores serán las resistencias superficiales introducidas. Incluso con una pantalla negra, con ε = 1 y resistencia superficial nula, existirá todavía una resistencia espacial extra en el circuito. Si las emisividades de todas las superficies son iguales, se puede deducir una relación bastante simple para la transferencia de calor, cuando las superficies pueden considerarse planos paralelos infinitos. Sea n el número de pantallas. Considerando el circuito de radiación del sistema, todas las resistencias superficiales serán la misma. Habría dos de estas resistencias por cada pantalla y una por cada superficie de transferencia de calor. Habrá resistencias espaciales que serán todas iguales a la unidad, puesto que los factores de forma de radiación son la unidad para planos paralelos infinitos. La resistencia total del circuito será 1-ε R(n pantallas) = (2n + 2) ⎯⎯⎯ + (n + 1) (1) = (n + 1) [(2/ε) - 1] ε La resistencia cuando no hay pantalla es R(sin pantalla) = (1/ε) + (1/ε) – 1 = (2/ε) – 1 Se ve que la resistencia, cuando están colocadas las pantallas, es n+1 veces mayor que cuando faltan las pantallas. Así

1 (q/A)con pantallas = ⎯⎯⎯ (q/A)sin pantallas n+1

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si en ambos casos las temperaturas de las superficies con transferencia de calor son las mismas. El método del circuito de radiación se puede aplicar también a problemas con pantallas de radiación en los que estén implicados sistemas cilíndricos. En estos casos, al formular las resistencias han de emplearse las relaciones de área apropiadas.

PROBLEMAS RESUELTOS 9.1

La energía radiante total que incide sobre un cuerpo, el cual refleja, absorbe y transmite parcialmente, es 2200 W/m2. De esta cantidad, 450 W/m2 se reflejan y 900 W/m2 son absorbidos por el cuerpo. Encontrar la transmisividad τ. τ = 1 - ρ -α = 1 – (450/2200) – (900/2200) = 0.386

9.2 Determinar la potencia emisiva total de un cuerpo negro a 1000ºC. Eb = (5,6697 x 10-8) (1273)4 = 148.89 kW/m2 9.3

Para un cuerpo negro mantenido a 115ºC, determinar: (a) La potencia emisiva total. (b) La longitud de onda para la cual la potencia emisiva total es máxima. (c) La potencia emisiva monocromática máxima.

(a) Eb = σ T4 = (5.6697 x 10-8) (115+273)4 = 1284.95 W/m2 (b) λmáx T = 2897.6 μm K λmáx = (2897.6 μm K/388 K) = 7.46 μm (c) Según la ley de Planck, Eb λ =

C1 λ−5 exp (C 2 / λT ) − 1

C1 = 3.742 x 108 W-μm4/m2

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C2 = 1.4387 x 104 μm-K E bλ =

[

3.742 x 10 8

]

7.46 exp(1.4387x10 / 7.46x388) − 1 5

4

= 113.79 W/μm. m2

9.4 Suponiendo que el Sol es un cuerpo negro cuya temperatura es 6000 K. Determinar la longitud de onda en que la potencia emisiva total es máxima, y la fracción de energía emitida que se encuentra en el intervalo visible (0.38 – 0.78 μm). λmáx = 2897.6/6000 = 0.483 μm T = 6000 K = 10800 oR Por otro lado según la tabla 9-1, para λT = (0.38)(10800) = 4104 μm oR se obtiene que, (Eb

(0-λ) /Eb)

= 11.61%

De manera análoga, para λT = (0.78)(10800) = 8424 se obtiene, (Eb (0-λ) /Eb) = 59.09% Por lo tanto, la fracción emitida en el intervalo visible es 59.09 – 11.61 = 47.48%

9.5 Una placa de vidrio cuadrada, de 30 cm de lado, se utiliza para ver la radiación de un horno. La transmitancia del vidrio es 0.5 desde 0.2 hasta 3.5 μm. Se puede suponer que la emisividad es 0.3 hasta 3.5 μm y 0.9 por encima de este valor. La transmitancia del vidrio es cero, excepto en el intervalo comprendido entre 0.2 y 3.5 μm. Suponiendo que el horno es un cuerpo negro a 2000 oC, calcular la energía absorbida por el vidrio y la energía transmitida. T = 2000 + 273 = 2373 K = 4271.4 oR λ1T = (0.2)(4271.4) = 854.28 μm oR λ2T = (3.5)(4271.4) = 14949.9 μm oR

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A = (0.3)2 = 0.09 m2 De la tabla 9-1 Eb (0-λ1) ⎯⎯⎯ = 0 σT4 Eb(0-λ2) ⎯⎯⎯ = 0.86789 σT4 σT4 = (5.669 x 10-8) (2273)4 = 1513.3 kW/m2 La radiación total incidente entre λ, 0.3 μm y 3.5 μm es, Eb (0.2-3.5) = 1513.3 (0.86789 – 0) (0.3)2 = 118.2 kW Radiación total transmitida = (0.5)(118.2) = 59.1 kW Radiación absorbida entre 0 y 3.5 μm, (0.3)(118.2) = 35.46 kW Radiación absorbida entre 3.5 y ∞ μm, (0.9)(1-0.86789)(1513.3)(0.09) = 16.19 kW Radiación total absorbida = 35.46 + 16.19 = 51.65 kW

9.6 Hallar la cantidad de energía radiante emitida por una esfera de 30 mm de diámetro a 1200 K que choca contra una pared de 1 m por 1.5 m, colocada a 1 m de la esfera (ver figura). Suponer que todas las superficies son cuerpos negros. La esfera es lo suficientemente pequeña para ser tratada como un disco infinitesimal dA1 = πR

2

De la gráfica 9-1: Z/X = 1/0.75 = 1.33

Y/X = 0.5/0.75 = 0.66

258

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el factor de forma para una cuarta parte de la pared, es aproximadamente 0.021. De este modo, para la pared total A2, FdA1-A2 = 4 (0.021) = 0.084 q1→2 = F1→2 (σT14) dA = (0.084)(5.6697x10-8)(1200)4 (π) (15x10-3) = 6.98 W

9.7

Dos rectángulos de 1.8 m por 3.6 m, los cuales se comportan como cuerpos negros, son paralelos y directamente opuestos, y están separados 3.6 m. Si la superficie 1 está a T1 = 90ºC y la superficie 2 a T2 = 315ºC, determinar el flujo neto de calor.

De la gráfica 9-2, X/D = 1.8/3.6 = 0.5

y

Y/D = 3.6/3.6 = 1

El factor de forma es F1-2 = 0.12 q1-2 = A1F1-2σ (T14 – T24) = (1.8 x 3.6) (0.12) (5.6697x10-8) (3634 – 5884) q1-2 = -4504.6 W

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

259

9.8 Dos planos negros, infinitos y paralelos, se mantienen a 200ºC y 300ºC, respectivamente. Determinar el flujo de calor por radiación por unidad de área. Designando el plano más caliente como el plano 1: (q1-2/A) = σ (T14 – T24) = (5.6697x10-8) (5734 – 4734) = 3273 W/m2 9,9

Dos rectángulos negros de 0.6 m por 1.2 m, paralelos y directamente opuestos, están separados 1.2 m. El rectángulo inferior está a T1 = 500 K y el rectángulo superior a T2 = 900 K. Determinar: (a) El flujo de calor por radiación entre las dos superficies. (b) El flujo de energía perdida por el rectángulo inferior si sus alrededores (diferentes del rectángulo superior) se consideran negros a 0 K. (c) El flujo de energía perdida por el rectángulo inferior si sus alrededores (diferentes del rectángulo superior) se consideran negros a 300 K.

(a) Utilizando la gráfica 9-2, X/D = 0.6/1.2 = 0.5

y

Y/D = 1.2/1.2 = 1

El factor de forma F1-2 = F2-1 = 0.12 q1-2 = A1F1-2σ (T14 – T24) = (0.72)((0.12)(5.6697x10-8)(5004 – 9004) = -2907.8 W (b) n

qi↔envolvente = A i (Ebi −

∑E

bjFij )

j=1

q1↔envolvente = A1 (Eb1 – F1-2Eb2) = A1σ (T14 – F1-2 T24) q1↔envolvente = (0.72)(5.6697x10-8)[5004 – (0.12)(900)4] = -662.62 W es decir, una ganancia neta para la superficie 1. (c) F1-espacio = 1 – F1-1 – F1-2 = 1 – 0 –0.12 = 0.88 q1↔envolvente = A1 [Eb1 – F1-2 Eb2 – F1-espacio Eb espacio q1↔envolvente = (0.72)(5.6697x10-8) [5004 – (0.12)(9004) – (0.88)(3004)] = -953.6 W es decir, una ganancia para la superficie 1 aún mayor que en la parte (b).

260

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

9.10 Dos placas paralelas de 0.5 por 1.0 m están separadas 0.5 m. Una de las placas se mantiene a 1000ºC y la otra a 500ºC. Las emisividades de las placas son 0.2 y 0.5 respectivamente. Las placas se encuentran en una habitación muy grande, cuyas paredes se mantienen a 27ºC. Las placas intercambian calor entre sí y con la habitación, pero solo se van a considerar en el análisis las superficies que se ven mutuamente. Calcular la transferencia neta a cada placa y a la pared. Este es un problema de tres cuerpos, las dos placas y la habitación, así que el circuito de radiación es el que se muestra en la figura.

De los datos del problema T1 = 1000ºC = 1273 K T2 = 500ºC = 773 K ε1 = 0.2

A1 = A2 = 0.5 m2 T3 = 27ºC = 300 K ε2 = 0.5

Dado que el área de la habitación A3 es muy grande, la resistencia (1-ε3)/ε3A3 puede tomarse igual a cero y se obtiene que Eb3 = J3. Se calculan ahora los factores de forma,

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Y/D = 0.5/0.5 = 1

261

X/D = 1/0.5 = 2

De la gráfica 9-2, F1-2 = 0.285 = F2-1 F1-3 = 1 – F1-2 = 0.715 F2-3 = 1 – F2-1 = 0.715 Se calculan ahora las resistencias en el circuito, (1 - ε1)/ε1 A1 = (1-0.2) / (0.2 x 0.5) = 8 (1 - ε2)/ε2 A2 = (1-0.5) / (0.5 x 0.5) = 2 (1/A1F1-2) = 1/(0.5 x 0.285) = 7.02 (1/A1F1-3) = 1/(0.5 x 0.715) = 2.8 (1/A2F2-3) = 1/(0.5 x 0.715) = 2.8 Tomando la resistencia (1 - ε3)/ε3 A3 igual a cero, se tiene el circuito que se muestra. Para calcular los flujos de calor en cada superficie hay que determinar las radiosidades J1 y J2. El circuito se resuelve haciendo la suma de los calores que llegan a cada uno de los nudos, J1 y J2 igual a cero. nudo J1: [(Eb1 – J1)/8] + [(J2 – J1)/7.02] + [(Eb3 – J1)/2.8] = 0 nudo J2: [(J1 – J2)/7.02] + [(Eb3 – J2)/2.8] + [(Eb2 – J2)/2.0] = 0 Eb1 = σT14 = 148.87 kW/m2 Eb2 = σT24 = 20.241 kW/m2 Eb3 = σT34 = 0.4592 kW/m2 Introduciendo los valores de Eb1, Eb2 y Eb3 en las ecuaciones anteriores, se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas, J1 y J2, que se pueden resolver simultáneamente para dar J1 = 33.469 kW/m2

J2 = 15.054 kW/m2

262

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

El calor total perdido por la placa 1 es 148.87 – 33.469 Eb1 – J1 q1 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 14.425 kW 8 (1 - ε1)/ε1 A1 y el calor perdido por la placa 2 es 20.241 – 15.054 Eb2 – J2 q2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.594 kW 2.0 (1 - ε2)/ε2 A2

El calor total recibido por la habitación es J2 – J 3 J1 – J3 q3 = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ 1/A2F2-3 1/A1F1-3

33.469 – 0.4592 15.054 – 0.4592 q3 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 17.02 kW 2.8 2.8 Desde el punto de vista del balance global se debe cumplir q 3 = q1 + q2 porque la energía neta perdida por ambas placas debe ser absorbida por la habitación. 9.11 Dos rectángulos de 50 x 50 cm están colocados perpendicularmente con una arista común. Una superficie tiene T1 = 1000 K, ε1 = 0.6, mientras la otra está aislada y en equilibrio radiante con una gran habitación a 300 K. Determinar la temperatura de la superficie aislada y el calor perdido por la superficie a 1000 K. En la figura se muestra el circuito de radiación, donde la superficie 3 es la habitación y la superficie 2 es la superficie aislada. Obsérvese que J3=Eb3 porque la habitación es grande y (1 - ε3)/ε3A3 se aproxima a cero. Como la

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

263

superficie 2 está aislada, no tiene flujo de calor y J2=Eb2. J2 flota en el circuito y se determina a partir del balance de radiación global. Los factores de forma son, de la figura 9-4

F1-2 = 0.2 = F2-1 Debido a que F1-1 = 0 y

F1-3 = 1 – 0.2 = 0.8 = F2-3 A1 = A2 = (0.5)2 = 0.25 m2

Las resistencias son 1-ε 0.4 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.667 (0.6) (0.25) ε1 A1 1 1 1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 5.0 A2F2-3 (0.25) (0.8) A1F1-3

264

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1 1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 20.0 A1F1-2 (0.25) (0.2) También se tiene Eb1 = (5.669 x 10-8) (1000)4 = 5.669 x 104 W/m2 J3 = Eb3 = (5.669 x 10-8) (300)4 = 459.2 W/m2 El circuito completo es un montaje serie paralelo y la transferencia de calor es Eb1 – Eb3 q = ⎯⎯⎯⎯ Requivalente Se tiene 1 Requivalente = 2.667 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 6.883 (1/5) + 1/(20+5) 56690 – 459.2 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 8.229 kW 6.883 Esta transferencia de calor también puede expresarse como Eb1 – J1 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1 - ε1)/ε1 A1 Introduciendo los valores se obtiene J1 = 34745 W/m2 El valor de J2 se determina estableciendo la proporcionalidad de resistencias entre J1 y J2, así que J1 – J 3 J1 – J2 ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ 20 20+5

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

265

y J2 = 7316 = Eb2 = σ T24 Por último, se obtiene la temperatura de la superficie aislada como T2 = (7316 / 5.669 x 10-8)1/4 = 599.4 K 9.12 Una semiesfera de 30 cm de diámetro se mantiene a una temperatura constante de 500ºC y está aislada por su cara posterior. La emisividad de la superficie es 0.4. La parte abierta intercambia energía radiante con un gran recinto a 30ºC. Calcular el intercambio neto de radiación. Tomando el interior de la semiesfera como la superficie 1 y el recinto como la superficie 2 y una superficie imaginaria 3 que cubre la apertura, se tiene en realidad, un problema de dos superficies (1 y 2) y, por tanto,

Eb1 = σ T14 = σ (773)4 = 20241 W/m2 Eb2 = σ T24 = σ (303)4 = 478 W/m2 0.6 1 - ε1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 10.61 ε1 A1 (0.4) (0.1414) A2 → ∞ de modo que 1 - ε2 ⎯⎯⎯ → 0 ε2 A2

266

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Ahora, en este momento, se admite que toda la radiación neta que sale de la superficie 1, que al final llegará a la 2, también chocará con la superficie imaginaria 3; esto es, F1-2 = F1-3. También se tiene que A1F1-3 = A3F3-1 Pero, F3.1 = 1.0, así que F1-3 = F1-2 = A3/A1 = πr2/2πr2 = 0.5 Entonces, 1/A1F1-2 = 1 /(0.1414) (0.5) = 14.14 y la transferencia de calor puede calcularse por Eb1 – Eb2 q1↔2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1-ε1) / ε1A1 + 1/A1F1-2 + (1-ε2) / ε2A2 20241 – 478 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 799 W 10.61 + 14.14 + 0

9.13

Dos planos paralelos muy grandes con emisividades de 0.3 y 0.8 intercambian calor. Encontrar el porcentaje de reducción en la transferencia de calor, cuando se coloca entre ellos una pantalla radiante de aluminio pulido (ε=0.04).

La transferencia de calor sin la pantalla viene dada por σ (T14 − T24 ) q = 0.279 σ (T14 − T24 ) = A 1 / ε 1 + 1/ ε 2 − 1

El circuito de radiación con la pantalla colocada se muestra en la siguiente figura

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

267

1 – 0.3 1 - ε1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 2.333 0.3 ε1 1 – 0.04 1 - ε3 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 24.0 ε3 0.04 1 – 0.8 1 - ε2 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.25 ε2 0.8 La resistencia total es 2.333 + (2) (24.0) + (2) (1) + 0.25 = 52.583 y la transferencia de calor es q σ (T14 − T24 ) = = 0.01902 σ (T14 − T24 ) 52.583 A

de modo que la transferencia de calor se reduce en un 93.2%

PROBLEMAS PROPUESTOS 9.14 Determinar la potencia emisiva monocromática a 2.3 μm de un cuerpo negro a una temperatura de 1370ºC. 9.15 Determinar λmáx y el valor máximo de la potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro a (a) 1671ºC (b) 1393ºC (c) 1116ºC (d) 838ºC. 9.16 Suponiendo que la radiación solar es como la de un cuerpo negro a 5795 K, calcular la fracción de energía en las siguientes bandas de longitud de onda: (a) 0 a 0.2 μm. (b) 0.2 a 0.4 μm. (c) 0.4 a 1.0 μm. (d) 1.0 a 2.0 μm. (e) por encima de 2.0 μm.

268

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9.17 Una superficie negra está a 800ºC. Calcular la fracción de la energía total emitida entre (a) 1 y 2 μm. (b) 2 y 3 μm. (c) 3 y 4 μm. (d) 5 y 6 μm. 9.18 Un foco de radiación negra está a 1100ºC. Calcular la longitud de onda superior en micrómetros para emisiones de (a) 25% (b) 50% (c) 75% (d) 98% de la radiación total. 9.19 Dos discos concéntricos paralelos de D1 = 10 cm y D2 = 5 cm distan 10 cm. Determinar F1-2 y F2-1. 9.20 Una pared de una habitación de 3 x 3 x 3 m se mantiene a 260ºC; el suelo se mantiene a 90ºC. Las otras cuatro superficies están perfectamente aisladas. Se supone que todas las superficies son negras. Calcular el calor neto transferido entre la pared caliente y el suelo frío. 9.21 Dos planos paralelos perfectamente negros de 1.2 por 1.2 m distan 1.2 m. Un plano se mantiene a 800 K y el otro a 500 K. Los planos están situados en un recinto grande cuyas paredes están a 300 K. ¿Cuál es el calor neto transferido entre los planos? 9.22 Dos discos paralelos de 60 cm de diámetro distan 15 cm y están dentro de una habitación grande a 30ºC. Las propiedades de las superficies son T1= 540ºC, ε1 = 0.7, T2 = 300ºC, ε2 = 0.5. ¿Cuál es el calor neto transferido por radiación en cada superficie? (No debe incluirse el intercambio por la cara posterior, sólo el de las dos superficies enfrentadas. 9.23

Dos discos paralelos de 50 cm de diámetro distan 12.5 cm y están situados en un recinto grande a 300 K. Uno de los discos está a 100 K y el otro se mantiene a 500 K. Ambos tiene emisividades de 0.8. Calcular el flujo de calor en cada disco.

9.24

Dos discos paralelos perfectamente negros de 1 m de diámetro están separados una distancia de 0.25 m. Un disco se mantiene a 60ºC y el otro a 20ºC. Los discos se colocan en un cuarto grande cuyas paredes están a 40ºC. Suponer que las superficies exteriores de los discos (las superficies que no están frente a frente) están muy bien aisladas. Determinar el intercambio neto de radiación entre los discos. Determinar también el intercambio neto de radiación entre los discos y el cuarto.

9.25

Dos placas paralelas de 1 x 1 m, aisladas en sus lados posteriores y separadas 1 m, se pueden aproximar como cuerpos negros a 500 y 750 o K. Las placas se localizan en un cuarto cuyas paredes se mantienen a 300 oK. Determinar la transferencia de calor neta desde cada placa y la transferencia neta de calor relativa hacia las paredes del cuarto.

CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

269

9.26 Dos planos paralelos de 90 x 60 cm distan 60 cm. Un plano se mantiene a una temperatura de 800 K y tiene una emisividad de 0.6. El otro plano está aislado. Los planos están situados en una habitación grande que se mantiene a 290 K. Calcular la temperatura del plano aislado y la energía perdida por el plano caliente. 9.27 Una tubería larga de 5 cm de diámetro pasa a través de una habitación y está expuesta al aire a presión atmosférica y una temperatura de 20ºC. La temperatura de la superficie de la tubería es de 93ºC. Suponiendo que la emisividad de la tubería sea 0.6, calcular el calor perdido por radiación por unidad de longitud de tubería. 9.28 Una placa vertical de 60 cm de alto y 30 cm de ancho se mantiene a una temperatura de 95ºC en una habitación donde el aire está a 20ºC y 1 atm. Las paredes de la habitación están también a 20ºC. Se supone que en la placa ε = 0.8. ¿Cuánto calor pierde la placa por radiación? 9.29 Una tubería horizontal de 6 m de largo y 12.5 cm de diámetro se mantiene a una temperatura de 150ºC en una habitación grande donde el aire está a 20ºC y 1 atm. Las paredes de la habitación están a 38ºC. Suponiendo que en la tubería ε = 0.7. ¿Cuánto calor pierde la tubería por convección y radiación? 9.30 Dos cilindros concéntricos tiene longitudes de 30 cm. El cilindro interior tiene un diámetro de 8.0 cm. ¿Cuál debe ser el diámetro del cilindro exterior para que F1-2 = 0.8, considerando el cilindro interior como superficie 1? 9.31 Dos cilindros concéntricos de 10 y 20 cm de diámetro están situados en un recinto grande que se mantiene a 30ºC. La longitud de los cilindros es de 10 cm y el cilindro interior se mantiene a 700ºC, siendo su emisividad de 0.6. El cilindro exterior está perfectamente aislado y tiene una emisividad de 0.7. Calcular el calor perdido por el cilindro interior. 9.32 Un cuerpo gris tiene un área superficial de 0.3716 m2, tiene ε1 = 0.35 y T1=404.4ºC y está completamente encerrado por otro cuerpo gris que tiene un área de 3.34 m2, ε2 = 0.75 y T2 = 537.7 oC. Encontrar el flujo de calor neto entre las dos superficies si F1-1 = 0. 9.33

Dos paredes metálicas paralelas de un horno de cocina tiene temperaturas T1=232.3ºC y T3=26.6ºC y emisividades ε1=ε3= 0.3, donde los subíndices 1 y 3 designan la pared interior y la pared exterior,

270

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respectivamente. El espacio entre las paredes está lleno con un aislante de lana mineral. Suponiendo que este material aislante es transparente a la radiación térmica, calcular el flujo de calor radiante por unidad de área entre las dos paredes. (a) sin pantalla de radiación. (b) con una pantalla de radiación de lámina de aluminio que tiene ε1 = 0.09. 9.34

Se tienen tres placas paralelas infinitas numeradas en su orden 1,2 y 3. La placa 1 se mantiene a 1200 oK y la placa 3 se mantiene a 300 oK; ε1 = 0.2, ε2 = 0.5 y ε3 = 0.8. La placa 2 no recibe calor de fuentes externas. ¿Cuál es la temperatura de la placa 2?

9.35

Dos planos grandes paralelos cuyas emisividades son 0.3 y 0.5 se mantienen a unas temperaturas de 800 oK y 400 oK respectivamente. Entre los dos planos se coloca una pantalla de radiación cuya emisividad por ambas caras es 0.05. Calcular: (a) El flujo de calor por unidad de área sin la pantallas de radiación. (b) El flujo de calor por unidad de área con la pantalla de radiación. (c) La temperatura de la pantalla.

9.36 Dos cilindros concéntricos largos tienen 4 y 8 cm de diámetro respectivamente. El cilindro interior está a 80ºC y el exterior está a 100oC. Las emisividades del interior y del exterior son 0.8 y 0.4 respectivamente. Calcular en que porcentaje se reduce el calor transferido si entre los dos cilindros se coloca un apantallamiento radiante de 6 cm de diámetro y emisividad 0.3.

TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

271

TABLA A-1 PROPIEDADES DE LOS METALES o

Propiedades a 20 C ρ kg/m3

Aluminio

Plomo Hierro

Cobre

Magnesio Molibdeno Niquel

Plata Estaño Woframio Cinc

Puro Al-Cu (duraluminio) 94-96% Al, 3.5% Cu, trazas Mg Al-Si (siluminio, cobre-portador), 86.5% Al, 1% Cu Al-Si (alusil ), 78-80% Al, 20-22% Si Al-Mg-Si, 97% Al, 1% Mg, 1% Si, 1% Mn Puro Puro Hierro forjado, 0.5% C Acero al carbono 0.5% C Acero al carbono 1.0% C Acero al carbono 1.5% C Acero al niquel 0% Ni Acero al niquel 20% Ni Acero al niquel 40% Ni Acero al niquel 80% Ni Invar 36% Ni Acero al cromo 0% Cr Acero al cromo 1% Cr Acero al cromo 5% Cr Acero al cromo 20% Cr Cr-Ni 10% Ni 18% Cr, 8% Ni (V2A) 20% Cr, 15% Ni 25% Cr, 20% Ni Acero al wolframio 0% W Acero al wolframio 1% W Acero al wolframio 5% W Puro Bronce de aluminio, 95% Cu, 5% Al Bronce, 75% Cu, 25% Sn Latón rojo, 85% Cu, 9% Sn, 6% Zn Latón, 70% Cu, 30% Zn Plata alemana, 62% Cu, 15% Ni, 22% Zn Constantan, 60% Cu, 40% Ni Puro Mg-Al (electrlítico), 6-8% Ala.2% Zn Puro Puro (99.9%) Ni-Cr, 90% Ni, 10% Cr Ni-Cr, 80% Ni, 20% Cr Purísima Pura (99.9%) Puro Puro puro

αx 105 m2/s

CP kJ/kg oC

k W/m oC

2 707 2 787 2 659 2 627

0.896 0.883 0.867 0.854

204 164 137 161

8.418 6.676 5.933 7.172

2 707 11 373 7 897 7 849 7 833 7 801 7 753 7 897 7 933 8 169 8 618 8 137 7 897 7 865 7 833 7 689 7 865 7 817 7 833 7 865 7 897 7 913 8 073 8 954 8 666 8 666 8 714 8 522 8 618 8 922 1 746 1 810 10 220 8 906 8 666 8 314 10 524 10 525 7 304 19 350 7 144

0.892 0.130 0.452 0.460 0.465 0.473 0.486 0.452 0.460 0.460 0.460 0.460 0.452 0.460 0.460 0.460 0.460 0.460 0.460 0.460 0.452 0.488 0.435 0.3831 0.410 0.343 0.385 0.385 0.394 0.410 1.013 1.000 0.251 0.4459 0.444 0.444 0.234 0.234 0.2265 0.1344 0.3843

177 35 73 59 54 43 36 73 19 10 35 10.7 73 61 40 22 19 16.3 15.1 12.8 73 66 54 386 83 26 61 111 24.9 22.7 171 66 123 90 17 12.6 419 407 64 163 112.2

7.311 2.343 2.034 1.626 1.474 1.172 0.970 2.026 0.526 0.279 0.872 0.286 2.026 1.665 1.110 0.635 0.527 0.444 0.415 0.361 2.026 1.858 1.525 11.234 2.330 0.859 1.804 3.412 0.733 0.612 9.708 3.605 4.790 2.266 0.444 0.343 17.004 16.563 3.884 6.271 4.106

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TABLA A-2 CONDUCTIVIDAD TERMINA EN FUNCION DE LA TEMPERATURA o

o

Conductividad térmica k, W/m C en funcion de t C -100

Aluminio

Plomo Hierro

Cobre

Puro Al-Cu (duraluminio) 94-96% Al, 3.5% Cu, trazas Mg Al-Si (siluminio, cobre-portador), 86.5% Al, 1% Cu Al-Si (alusil ), 78-80% Al, 20-22% Si Al-Mg-Si, 97% Al, 1% Mg, 1% Si, 1% Mn Puro Puro Hierro forjado, 0.5% C Acero al carbono 0.5% C Acero al carbono 1.0% C Acero al carbono 1.5% C Acero al niquel 0% Ni Acero al niquel 20% Ni Acero al niquel 40% Ni Acero al niquel 80% Ni Invar 36% Ni Acero al cromo 0% Cr Acero al cromo 1% Cr Acero al cromo 5% Cr Acero al cromo 20% Cr Cr-Ni 10% Ni 18% Cr, 8% Ni (V2A) 20% Cr, 15% Ni 25% Cr, 20% Ni Acero al wolframio 0% W Acero al wolframio 1% W Acero al wolframio 5% W Acero al wolframio 10% W Puro Bronce de aluminio, 95% Cu, 5% Al Bronce, 75% Cu, 25% Sn

215 126 119 144 36.9 87

87

407

0

100

200

300

400

600

202 159 137 157

206 182 144 168

215 194 152 175

228

249

175 35.1 73 59 55 43 36

189 33.4 67 57 52 43 36

204 31.5 62 52 48 42 36

29.8 55 48 45 40 35

48 45 42 36 33

40 36 35 33 31

73 62 40 22

67 55 38 22

62 52 36 22

55 47 36 22

48 42 33 24

16.3

17

17

19

386

379

374

369

800

1000

1200

36 33 31 29 28

35 33 29 28 28

36 33 31 29 29

40 36 29 24

36 33 29 26

35 33 29 29

36

19

22

27

31

363

353

161 178

TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

273

TABLA A-2 CONDUCTIVIDAD TERMINA EN FUNCION DE LA TEMPERATURA (Continuación) o

o

Conductividad térmica k, W/m C en funcion de t C -100

Magnesio Molibdeno Niquel

Plata Estaño Woframio Cinc

Latón rojo, 85% Cu, 9% Sn, 6% Zn Latón, 70% Cu, 30% Zn Plata alemana, 62% Cu, 15% Ni, 22% Zn Constantan, 60% Cu, 40% Ni Puro Mg-Al (electrlítico), 6-8% Ala.2% Zn Puro Puro (99.9%) Ni-Cr, 90% Ni, 10% Cr Ni-Cr, 80% Ni, 20% Cr Purísima Pura (99.9%) Puro Puro puro

0

59 88 19.2 21 178 138 104

419 419 74 114

171 52 125 93 17.1 12.3 417 410 65.9 166 112

100

200

300

400

71 128 31 22.2 168 62 118 83 18.9 13.8 415 415 59 151 109

144 40 26 163 74 114 73 20.9 15.6 412 374 57 142 106

147 45

147 48

157 83 111 64 22.8 17.1

109 59 24.6 18.0

362

360

133 100

126 93

600

800

106

102

22.5

112

76

1000

1200

99

92

274

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

TABLA A-3 PROPIEDADES DE LOS NO METALES Sustancia Asbestopoco compacto

Cemento de asbesto: chapas Láminas Fieltro, 40 láminas/pulgada

20 láminas /pulgada

Corrugado, 4 ondas / pulgada

Cemento de asbesto Asfalto Baldosa acústica Carbón antracita Caucho duro Cemento, Portland Mortero Grafito, priolítico paralelo a las capas perpendicular a las capas Hormigón cenizas Grava, mezcla 1-2-4 Ladrillo de construcción corriente Ladrillo de construcción de fachada Ladrillo de carborundo Ladrillo de cromo

Ladrillo de tierras de diatomeas, moldeado y cocido Ladrillo refractario Ladrillo refractario cocido a 1330oC

Temp O C -45 0 100 20 51 38 150 260 38 150 260 38 93 150 20-55 30 30 30 23 30 30 23 20 20 600 1400 200 550 900 200 870 500 800

k W/m oC 0.149 0.154 0.161 0.74 0.166 0.057 0.069 0.083 0.078 0.095 0.112 0.087 0.100 0.119 2.08 0.74-0.76 0.06 0.26 0.15 0.29 1.16 1900 5.6 0.76 1.37 0.69 1.32 18.5 11.1 2.32 2.47 1.99 0.24 0.31 1.04 1.07

ρ kg/m3

C kJ/kg oC

α x 107 m2/s

470-570

0.816

3.3-4

290 1300 1200

1.3 1.25 2.0

1.6 1.6 0.62

2200 2200

0.71 0.71

12200 36

1900-2300 1600 2000

0.88 0.84

8.2-6.8 5.2

3000

0.84

9.2 9.8 7.9

2000

0.96

5.4

TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

275

TABLA A-3 PROPIEDADES DE LOS NO METALES (Continuación) Sustancia Ladrillo refractario cocido a 1450oC

Ladrillo Missouri

Magnesita Madera (transversal a la veta): Balsa, 42.97 kg/m2 (8.8 lb/pie2) ciprés abeto arce o roble pino amarillo pino blanco Mortero: yeso Varillas de metal Listones de madera Oxido de aluminio, zafiro Oxido de aluminio, policristalino Piedra: granito Piedra caliza Mármol Piedra arenisca Polietileno Polipropileno Polivinilo, cloruro de Serrin, baja densidad alta densidad Silicio, carburo de Teflón Titanio, dióxido de Vidrio, ventana Borosilicato

Temp O C 1100 500 800 1100 200 600 1400 200 650 1200 30 30 23 30 23 30 20 20 20 30 30 100-300 40 30 30 30 30 30 30 30 30 20 30-75

k W/m oC 1.40 1.28 1.37 1.40 1.00 1.47 1.77 3.81 2.77 1.90 0.055 0.097 0.11 0.166 0.147 0.112 0.48 0.47 0.28 46 36 1.73-3.98 1.26-1.33 2.07-2.94 1.83 0.33 0.16 0.09 0.079 0.17 490 0.35 8.4 0.78(prom) 1.09

ρ kg/m3

C kJ/kg oC

α x 107 m2/s

2300

0.96

5.8

2600

0.96

4.0

1.13

140 460 420 540 640 430 1440

3970 3970 2640 2500 2500-2700 2160-2300 960 1150 1700 590 1000 3150 2200 4150 2700 2200

2.72 2.4 2.8

0.96 1.28 0.82

0.84

4.0

0.76 0.76 0.82 0.90 0.80 0.71 2.1 1.9 1.1 1.3 1.3 0.68 1.05 0.7 0.84

150 120 8-18 5.6-5.9 10-13.6 11.2-11.9 1.64 0.73 0.48 1.0 1.3 2290 1.5 29 3.4

DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 276 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

TABLA A-4 PROPIEDADES DE L0S MATERIALES AISLANTES

Sustancia Cartón corrugado Celotex Corcho, 160.18 kg/m3 (10 lb/pie3) Cocho aglomerado Rectificado Diamante tipo IIa. aislante Fibra, chapa aislante Fibra de vidrio, conducto lineal Fibra de vidrio, poco soplado Fieltro, pelo Lana Hielo Insulex, seco Lana de bálsamo 35.24 kg/m3 (2.2 lb/pie3) Lana de vidrio, 24.03 kg/m3 (1.5 lb/pie3) Lana mineral, 160.18 kg/m3 (10lb/pie3) poco compacta Magnesioa, 85%

Miraguano Serrín Sílice aerogel Styrofoam Tierra de diatomeas (Sil-o-cel) Virutas de madera

Temp O C 32 30 32 32 30 20 30 30 30 30 0 32 32 23 32 150 260 38 93 150 204 30 23 32 32 0 23

k W/m oC 0.064 0.048 0.043 0.045 0.043 2300 0.048 0.038 0.043 0.036 0.052 2.22 0.064 0.144 0.04 0.038 0.040 0.067 0.087 0.067 0.071 0.074 0.080 0.035 0.059 0.024 0.033 0.061 0.059

ρ kg/m3

160 45-120 150 3500 240 32 16 130-200 330 910

35 24 160 64 270

140 320

C kJ/kg oC

α x 107 m2/s

1.88

2-5.3

0.509

12900

0.84 0.84

14.1 32

1.93

12.6

0.7

22.6

TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-5

PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO SATURADO

T, C

o

ρ, kg/m

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280.6 300

1002.28 1000.52 994.59 985.46 974.08 960.63 945.25 928.27 909.69 889.03 866.76 842.41 815.66 785.87 752.55 714.26

4.2128 4.1818 4.1784 4.1843 4.1964 4.2161 4.250 4.283 4.342 4.417 4.505 4.610 4.756 4.949 5.208 5.728

- 50 - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40 50

703.69 691.68 679.34 666.69 653.55 640.10 626.16 611.75 596037 580.99 564.33

4.443 4.467 4.476 4.509 4.564 4.635 4.714 4.798 4.890 4.999 5.116

3

277

o

cp, kj/kg C

ν, m /s 2

o

k, W/m C

Agua, H2O -6 1.788 x 10 0.552 1.006 0.597 0.658 0.628 0.478 0.651 0.364 0.668 0.294 0.680 0.247 0.685 0.214 0.684 0.190 0.680 0.173 0.675 0.160 0.665 0.150 0.652 0.143 0.635 0.137 0.611 0.135 0.580 0.135 0.540 Amoniaco, NH3 -6 0.435 x 10 0.547 0.406 0.547 0.387 0.549 0.381 0.547 0.378 0.543 0.373 0.540 0.368 0.531 0.359 0.521 0.349 0.507 0.340 0.493 0.330 0.476

α, m /s 2

Pr

1.308 x 10 1.430 1.512 1.554 1.636 1.680 1.708 1.724 1.729 1.724 1.706 1.680 1.639 1.577 1.481 1.324

-7

1.742 x 10 1.775 1.801 1.819 1.825 1.819 1.801 1.775 1.742 1.701 1.654

-7

13.6 7.02 4.34 3.02 2.22 1.74 1.446 1.241 1.099 1.004 0.937 0.891 0.871 0.874 0.910 1.019 2.60 2.28 2.15 2.09 2.07 2.05 2.04 2.02 2.01 2.00 1.99

β, K

-1

0.18 x 10

-3

2.45 x 10

-3

278

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-5 o

PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO SATURADO (continuación) o

T, C

ρ, kg/m

- 50 - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30

1156.34 1117.77 1076.76 1032.39 983.38 926.99 860.03 772.57 597.81

1.84 1.88 1.97 2.05 2.18 2.47 3.14 5.0 36.4

- 50 - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40 50

1560.84 1536.81 1520.64 1488.60 1463.61 1438.46 1412.51 1386.40 1359.33 1329.22 1299.10

1.3595 1.3607 1.3616 1.3624 1.3628 1.3636 1.3645 1.3653 1.3662 1.3674 1.3683

- 50 - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30

1546.75 1518.71 1489.56 1460.57 1429.49 1397.45 1364.30 1330.18 1295.10

0.8780 0.8847 0.8956 0.9073 0.9203 0.9345 0.9496 0.9659 0.9835

3

cp, kj/kg C

ν, m /s 2

o

k, W/m C

Dióxido de carbono, CO2 -6 0.119 x 10 0.0855 0.118 0.1011 0.117 0.1116 0.115 0.1151 0.113 0.1099 0.108 0.1045 0.101 0.0971 0.091 0.0872 0.080 0.0703 Dióxido de azufre, SO2 -6 0.484 x 10 0.242 0.424 0.235 0.371 0.230 0.324 0.225 0.288 0.218 0.257 0.211 0.232 0.204 0.210 0.199 0.190 0.192 0.173 0.185 0.162 0.177 Diclorodiflúormetano, CCl2F2 -6 0.310 x 10 0.067 0.279 0.069 0.253 0.069 0.235 0.071 0.221 0.073 -6 0.214 x 10 0.073 0.203 0.073 0.198 0.073 0.194 0.071

α, m /s 2

Pr

0.4021x 10 0.4810 0.5272 0.5445 0.5133 0.4578 0.3608 0.2219 0.0279 1.141x 10 1.130 1.117 1.107 1.097 1.081 1.066 1.050 1.035 1.019 0.999

-7

-7

-7

0.501x 10 0.514 0.526 0.539 0.550 -7 0.557 x 10 0.560 0.560 0.560

2.96 2.46 2.22 2.12 2.20 2.38 2.80 4.10 28.7 4.24 3.74 3.31 2.93 2.62 2.38 2.18 2.00 1.83 1.70 1.61 6.2 5.4 4.8 4.4 4.0 3.8 3.6 3.5 3.5

β, K

-1

14.00 x 10

-3

1.94 x 10

-3

2.63 x 10

-3

TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-5 o

279

PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO SATURADO (continuación)

T, C

ρ, kg/m

40 50

o

cp, kj/kg C

ν, m /s

1257.13 1215.96

1.0019 1.0216

0.191 0.190

0 10 20 30 40 50

1276.03 1270.11 1264.02 1258.09 1252.01 1244.96

2.261 2.319 2.386 2.445 2.512 2.583

0 20 40 60 80 100

1130.75 1116.65 1101.43 1087.66 1077.56 1058.50

2.294 2.382 2.474 2.562 2.650 2.742

0 20 40 60 80 100 120 140 160

899.12 888.23 876.05 864.04 852.02 840.01 828.96 816.94 805.89

1.796 1.880 1.964 2.047 2.131 2.219 2.307 2.395 2.483

0 20 50 100 150

13628.22 13579.04 13505.84 13.384.58 13264.28

0.1403 0.1394 0.1386 0.1373 01365

3

2

o

k, W/m C

0.069 0.067 Glicerina, C3H5(OH)3 0.00831 0.282 0.00300 0.284 0.00118 0.286 0.00050 0.286 0.00022 0.286 0.00015 0.287 Etilenglicol, C2H4(OH)2 -6 57.53 x 10 0.242 19.18 0.249 8.69 0.256 4.75 0.260 2.98 0.261 2.03 0.263 Aceite motor (sin usar) 0.00428 0.147 0.00090 0.145 0.00024 0.144 -4 0.839 x 10 0.140 0.375 0.138 0.203 0.137 0.124 0.135 0.080 0.133 0.056 0.132 Mercurio, Hg -6 0.124 x 10 8.2 0.114 8.69 0.104 9.40 0.0928 10.51 0.0853 11.49

α, m /s

Pr

0.555 0.545

3.5 3.5

2

0.983 x 10 0.965 0.947 0.929 0.914 0.893

-7

0.934 x 10 0.939 0.939 0.932 0.921 0.908

-7

0.911x 10 0.872 0.834 0.800 0.769 0.738 0.710 0.686 0.663

-7

42.99 x 10 46.06 50.22 57.16 63.54

-7

84.7 x 10 31.0 12.5 5.38 2.45 1.63 615 204 93 51 32.4 22.4 47100 10400 2870 1050 490 276 175 116 84 0.0288 0.0249 0.0207 0.0162 0.0134

β, K

-1

3

0.50 x 10

-3

0.65 x 10

-3

0.70 x 10

-3

1.82 x 10

-4

280

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-5 o

PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO SATURADO (continuación)

T, C

ρ, kg/m

200 250 315.5

13144.94 13025.60 12847

3

o

o

cp, kj/kg C

ν, m /s

k, W/m C

α, m /s

Pr

0.1570 0.1357 0.134

0.0802 0.0765 0.0673

12.34 13.07 14.02

69.08 74.06 81.5

0.0116 0.0103 0.0083

2

2

β, K

-1

Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA Los valores de μ, k, cP y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K

ρ, kg/m

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

3.6010 2.375 1.7684 1.4128 1.1774 0.9980 0.8826 0.7833 0.7048 0.6423 0.5879 0.5430 0.5030 0.4709 0.4405 0.4149

3

o

cP, kJ/kg C

μ x 10 , kg/m.s

1.0266 1.0099 1.0061 1.0053 1.0057 1.0090 1.0140 1.0207 1.0295 1.0392 1.0551 1.0635 1.0752 1.0856 1.0978 1.1095

0.6924 1.0283 1.3289 1.5990 1.8462 2.075 2.286 2.484 2.671 2.848 3.018 3.177 3.332 3.481 3.625 3.765

5

ν x 10 , m /s 6

Aire 1.923 4.343 7.490 11.31 15.69 20.76 25.90 31.71 37.90 44.34 51.34 58.51 66.25 73.91 82.29 90.75

2

o

k, W/m C

α x 10 , m /s

Pr

0.009246 0.013735 0.01809 0.02227 0.02624 0.03003 0.03365 0.03707 0.04038 0.04360 0.04659 0.04953 0.05230 0.05509 0.05779 0.06028

0.02501 0.05745 0.10165 0.15675 0.22160 0.2983 0.3760 0.4222 0.5564 0.6532 0.7512 0.8578 0.9672 1.0774 1.1951 1.3097

0.770 0.753 0.739 0.722 0.708 0.697 0.689 0.683 0.680 0.680 0.680 0.682 0.684 0.686 0.689 0.692

4

2

TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA (continuación) Los valores de μ, k, cP y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K

ρ, kg/m

900 950 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500

0.3925 0.3716 0.3524 0.3204 0.2947 0.2707 0.2515 0.2355 0.2211 0.2082 0.1970 0.1858 0.1762 0.1682 0.1602 0.1538 0.1458 0.1394

T, K

ρ, kg/m

144 200 255 366 477 589 700

0.3379 0.2435 0.1906 0.13280 0.10204 0.08282 0.07032

3

3

o

o

cP, kJ/kg C

μ x 10 , kg/m.s

ν x 10 , m /s

k, W/m C

α x 10 , m /s

Pr

1.1212 1.1321 1.1417 1.160 1.179 1.197 1.214 1.230 1.248 1.267 1.287 1.309 1.338 1.372 1.419 1.482 1.574 1.688

3.899 4.023 4.152 4.44 4.69 4.93 5.17 5.40 5.63 5.85 6.07 6.29 6.50 6.72 6.93 7.14 7.35 7.57

99.3 108.2 117.8 138.6 159.1 182.1 205.5 229.1 254.5 280.5 308.1 338.5 369.0 399.6 432.6 464.0 504.0 543.5

0.06279 0.06525 0.06752 0.0732 0.0782 0.0837 0.0891 0.0946 0.100 0.105 0.111 0.117 0124 0.131 0.139 0.149 0.161 0.175

1.4271 1.5510 1.6779 1.969 2.251 2.583 2.920 3.262 3.609 3.977 4.379 4.811 5.260 5.715 6.120 6.540 7.020 7.441

0.696 0.699 0.702 0.704 0.707 0.705 0.705 0.705 0.705 0.705 0.704 0.704 0.702 0.700 0.707 0.710 0.718 0.730

k, W/m C

o

α, m /s

Pr

0.0928 0.1177 0.1357 0.1691 0.197 0.225 0.251

0.5275 x 10 0.9288 1.3675 2.449 3.716 5.215 6.661

o

5

cP, kJ/kg C

μ, kg/m.s

5.200 5.200 5.200 5.200 5.200 5.200 5.200

125.5 x 10 156.6 181.7 230.5 275.0 311.3 347.5

6

2

Helio 2 ν, m /s -7

37.11 x 10 64.38 95.50 173.6 269.3 375.8 494.2

-6

4

2

2

-4

0.70 0.694 0.70 0.71 0.72 0.72 0.72

281

282

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA (continuación) Los valores de μ, k, cP y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K

ρ, kg/m

800

0.06023

3

o

cP, kJ/kg C

μ, kg/m.s

5.200

381.7

150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900

0.16371 0.12270 0.09819 0.08185 0.07016 0.06135 0.05462 0.04918 0.04469 0.04085 0.03492 0.03060 0.02723

12.602 13.540 14.059 14.314 14.436 14.491 14.499 14.507 14.532 14.537 14.574 14.675 14.821

150 200 250 300 350 400 450 500 550

2.6190 1.9559 1.5618 1.3007 1.1133 0.9755 0.8682 0.7801 0.7696

0.9178 0.9131 0.9157 0.9203 0.9291 0.9420 0.9567 0.9722 0.9881

200 300 400 500 600

1.7108 1.1421 0.8538 0.6824 0.5687

1.0429 1.0408 1.0459 1.0555 1.0756

ν, m /s 2

634.1 Hidrógeno -6 5.595 x 10 34.18 x 10 6.813 55.53 7.919 80.64 8.963 109.5 9.954 141.9 10.864 177.1 11.779 215.6 12.636 257.0 13.475 301.6 14.285 349.7 15.89 455.1 17.40 569 18.78 690 Oxígeno -6 -6 11.490 x 10 4.387 x 10 14.850 7.593 17.87 11.45 20.63 15.86 23.16 20.80 25.54 26.18 27.77 31.99 29.91 38.34 31.97 45.05 Nitrógeno -6 -6 12.947 x 10 7.568 x 10 17.84 15.63 21.98 25.74 25.70 37.66 29.11 51.19 -6

o

k, W/m C

α, m /s

0.275

8.774

2

Pr 0.72 -4

0.0981 0.1282 0.1561 0.182 0.206 0.228 0.251 0.272 0.292 0.315 0.351 0.384 0.412

0.475 x 10 0.772 1.130 1.554 2.031 2.568 3.164 3.817 4.516 5.306 6.903 8.563 10.217

0.718 0.719 0.713 0.706 0.697 0.690 0.682 0.675 0.668 0.664 0.659 0.664 0.676

0.01367 0.01824 0.02259 0.02676 0.03070 0.03461 0.03828 0.04173 0.04517

0.05688 x 10 0.10214 0.15794 0.22353 0.2968 0.3768 0.4609 0.5502 0.641

-4

0.773 0.745 0.725 0.709 0.702 0.695 0.694 0.697 0.700

0.01824 0.02620 0.03335 0.03984 0.04580

0.10224 x 10 0.22044 0.3734 0.5530 0.7486

-4

0.747 0.713 0.691 0.684 0686

TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA (continuación) Los valores de μ, k, cP y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K

ρ, kg/m

700 800 900 1000 1100 1200

o

cP, kJ/kg C

μ, kg/m.s

0.4934 0.4277 0.3796 0.3412 0.3108 0.2851

1.0969 1.1225 1.1464 1.1677 1.1857 1.2037

32.13 34.84 37.49 40.00 42.28 44.50

220 250 300 350 400 450 500 550 600

2.4733 2.1657 1.7973 1.5362 1.3424 1.1918 1.0732 0.9739 0.8938

0.783 0.804 0.871 0.900 0.942 0.980 1.013 1.047 1.076

273 323 373 423 473

0.7929 0.6487 0.5590 0.4934 0.4405

2.177 2.177 2.236 2.315 2.395

380 400 450 500 550 600 650 700

0.5863 0.5542 0.4902 0.4405 0.4005 0.3652 0.3380 0.3140

2.060 2.014 1.980 1.985 1.997 2.026 2.056 2.085

3

ν, m /s 2

65.13 81.46 91.06 117.2 136.0 156.1 Dióxido de carbono -6 -6 11.105 x 10 4.490 x 10 12.590 5.813 14.958 8.321 17.205 11.19 19.32 14.39 21.34 17.90 23.26 21.67 25.08 25.74 26.83 30.02 Amoniaco, NH3 -6 -5 9.353 x 10 1.18 x 10 11.035 1.70 12.886 2.30 14.672 2.97 16.49 3.74 Vapor de agua -6 -5 12.71 x 10 2.16 x 10 13.44 2.42 15.25 3.11 17.04 3.86 18.84 4.70 20.67 5.66 22.47 6.64 24.26 7.72

k, W/m C

o

α, m /s

Pr

0.05123 0.05609 0.06070 0.06475 0.06850 0.07184

0.9466 1.1685 1.3946 1.6250 1.8571 2.0932

0.691 0.700 0.711 0.724 0.736 0.748

0.010805 0.012884 0.016572 0.02047 0.02461 0.02897 0.03352 0.03821 0.04311

0.05920 x 10 0.07401 0.10588 0.14808 0.19463 0.24813 0.3084 0.3750 0.4483

0.0220 0.0270 0.0327 0.0391 0.0467

0.1308 x 10 0.1920 0.2619 0.3432 0.4421

-4

0.90 0.88 0.87 0.87 0.84

0.0246 0.0261 0.0299 0.0339 0.0379 0.0422 0.0464 0.0505

0.2036 x 10 0.2338 0.307 0.387 0.475 0.573 0.666 0.772

-4

1.060 1.040 1.010 0.996 0.991 0.986 0.995 1.000

2

-4

0.818 0.793 0.770 0.755 0.738 0.721 0.702 0.685 0.668

283

284

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA (continuación) Los valores de μ, k, cP y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K

ρ, kg/m

750 800 850

0.2931 0.2739 0.2579

3

o

o

cP, kJ/kg C

μ, kg/m.s

ν, m /s

k, W/m C

α, m /s

Pr

2.119 2.152 2.186

26.04 27.86 29.69

8.88 10.20 11.52

0.0549 0.0592 0.0637

0.883 1.001 1.130

1.005 1.010 1.019

2

2

TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-7 Tamaño nominal de tubería, pulg

DE, pulg

1/8

0.405

1/4

0.540

3/8

0.675

1/2

0.840

3/4

1.050

1

1.315

1 1/2

1.900

2

2.375

3

3.500

4

4.500

5

5.563

6

6.625

10

10.75

285

DIMENSIONES DE TUBERIAS DE ACERO Número de cédula

Espesor de la pared, pulg

DI, pulg

Area de la sección del metal, 2 pulg

Area de la sección transversal 2 interior, pie

40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 160 40 80 40 80 40 80 40 80 120 160 40 80 40 80

0.068 0.095 0.088 0.119 0.091 0.126 0.109 0.147 0.113 0.154 0.133 0.179 0.145 0.200 0.281 0.154 0.218 0.216 0.300 0.237 0.337 0.258 0.375 0.500 0.625 0.280 0.432 0.365 0.500

0.269 0.215 0.364 0.302 0.493 0.423 0.622 0.546 0.824 0.742 1.049 0.957 1.610 1.500 1.338 2.067 1.939 3.068 2.900 4.026 3.826 5.047 4.813 4.563 4.313 6.065 5.761 10.020 9.750

0.072 0.093 0.125 0.157 0.167 0.217 0.250 0.320 0.333 0.433 0.494 0.639 0.799 1.068 1.429 1.075 1.477 2.228 3.016 3.173 4.407 4.304 6.122 7.953 9.696 5.584 8.405 11.90 16.10

0.00040 0.00025 0.00072 0.00050 0.00133 0.00098 0.00211 0.00163 0.00371 0.00300 0.00600 0.00499 0.01414 0.01225 0.00976 0.02330 0.02050 0.05130 0.04587 0.08840 0.7986 0.1390 0.1263 0.1136 0.1015 0.2006 0.1810 0.5475 0.5185

286

TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tabla A-8

EMISIVIDAD TOTAL DE VARIAS SUPERFICIES Superficie

T, oF

ε

440-1070 212 299-940 100

0.039-0.057 0.09 0.20-0.31 0.216

476-674 494-710 530 70 120-660 100-2000

0.028-0.031 0.033-0.037 0.030 0.038 0.22 0.08-0.36

242 212 77 440-1160

0.023 0.052 0.78 0.018-0.035

212 800-1880 72 1620-1810 450-1950

0.066 0.14-0.38 0.44 0.60-0.70 0.20-0.32

68 212 1700-2040 75

0.61 0.31 0.87-0.95 0.80

240-440 75 390 530-1520

0.057-0.075 0.28 0.63 0.55-0.20

1340-4700 212 390-1110

0.096-0.202 0.071 0.41-0.46

212 1200-2290

0.072 0.59-0.86

212 120-1830 120-930 440-1160

0.059 0.65-0.79 0.95-0.98 0.054-0.104

Metales y sus óxidos Aluminio: Placa muy pulida, 98.3% pureza Lámina comercial Muy oxidado Cubiertas de aluminio Latón: 73.2% Cu, 26.7% Zn 62.4% Cu, 36.8% Zn, 0.4% Pb, 0.3% Al 82.9% Cu, 17.0% Zn Muy laminado, pulido, pero dirección de pulido visible Placa mate Cromo pulido Cobre: Pulido Placa calentada mucho tiempo, con capa gruesa de óxido Oro, puro, muy pulido Hierro y acero (sin incluir inoxidable): Acero pulido Hierro pulido Fundición, recientemente torneado torneado y calentado Acero dulce Superficies oxidadas: Placa de hierro bañada en ácido, luego con herrumbre roja Hierro, superficie gris oscura Lingote rugoso de hierro Lámina de acero con fuerte y áspera capa de óxido Plomo: Sin oxidar, 99.9% pureza Oxidado gris º º Oxidado a 149 C (300 F) Magnesio, óxido de magnesio Molibdeno: Filamento En bloque pulido º º Monel metal, oxidado a 599 C (1110 F) Níquel: Pulido Oxido de níquel Níquel, aleaciones: Cobre níquel pulido Nicrom, hilo, brillante Nicrom, hilo, oxidado Platino, placa pulida, puro

TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Superficie Plata: Pulida pura Pulida Aceros inoxidables: Pulidos Tipo 301:B Estaño, hierro estañado brillante Woframio, filamento Cinc, lámina de hierro galvanizada, bastante brillante

287

T, oF

ε

440-1160 100-200

0.020-0.032 0.022-0.031

212 450-1725 76 6000 82

0.074 0.54-0.63 0.043-0.064 0.39 0.23

Refractarios, materiales de construcción, pinturas y miscelánea Alúmina(85-99.5%, Al2O3, 0-12% SiO2, 0-1% Ge2O3): efecto tamaño medio grano (μm) 0.30-0.18 10 μm 0.39-0.28 50 μm 0.50-0.40 100 μm Asbesto, plancha 74 0.96 Ladrillo: Rojo, basto pero sin grandes irregularidades 70 0.93 Refractario 1832 0.75 Carbono: T-carbono (Gebrüder Siemens) 0.9% cenizas, comienza º con emisividad 0.72 a 127 C pero al calentar cambia a los valores dados 260-1160 0.81-0.79 Filamento 1900-2560 0.526 Placa rugosa 212-608 0.77 Negro de humo, depósito rugoso 212-932 0.84-0.78 Baldosas de hormigón 1832 0.63 Esmalte, fundido blanco, sobre hierro 66 0.90 Vidrio: Liso 72 0.94 Pyrex, plomo y sodio 500-1000 0.95-0.85 Pinturas, lacas barnices: Barniz esmalte blanco nieve sobre placa rugosa de hierro 73 0.906 Laca negra brillante, pulverizada sobre hierro 76 0.875 Laca negra brillante sobre lámina de hierro estañado 70 0.821 Laca negra mate 170-295 0.91 Laca blanca o negra 100-200 0.80-0.95 Laca negra lisa 100-200 0.96-0.98 Pinturas y lacas de aluminio: 10% Al, 22% laca, sobre superficie lisa o rugosa 212 0.52 Otras pinturas Al, con distinta antigüedad y contenido de Al 212 0.27-0.67 Porcelana, vidriada 72 0.92 Cuarzo, rugoso, fundido 70 0.93 Cartón para tejados 69 0.91 Caucho, duro, placa brillante 74 0.94 Agua 32-212 0.95-0.963

BIBLIOGRAFIA GOODING, N. Transferencia de calor – Guía de Clase. 2001. HOLMAN, J.P. : Transferencia de Calor, Mc Graw Hill. 1998 INCROPERA F.P. – DeWITT D.P. : Fundamentos de transferencia de calor, Pearson Prentice Hall, 1999 KARLEKAR, B.V. and DESMOND , R.M. : Transferencia de calor, Interamericana S.A. 1985. KRERTH, F. : Priciples of Heat Transfer, Harper Int. Ed 4ª 1986. MANRIQUE J.A.: Transferencia de calor, Ed. Harla México 1981. McADAMS, W.H.: Heat Transmission, McGraw Hill 3ª Ed. 1953 OZISIK, N.M.: Transferencia de Calor, McGraw Hill Lat. S.A. 1985 PITTS, D.R. and SISSOM, L.E.: Transferencia de Calor, McGraw Hill 1980 WELTY, J.R.: Transferencia de calor aplicada a la ingeniería, John Wiley & Sons. Ed. Limusa 1981