Transferencia de Calor

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA DE ALIMENTOS

211611 TRANSFERENCIA DE CALOR

VICTOR JAIRO FONSECA VIGOYA CARLOS GERMAN PASTRANA BONILLA (Director Nacional)

BOGOTA D.C. Marzo 2010

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado originalmente en el año 2007 por el Ing. Víctor Jairo Fonseca Vigoya, docente de la UNAD, y ubicado en el CEAD José Celestino Mutis, Ingeniero Químico (Universidad Nacional de Colombia 1965), Oficial de Servicios (Escuela de Ingenieros Militares de Colombia 1966), Maestro Cervecero (Bavaria S.A. 1967), Especialización en Procesos en Alimentos y Biomateriales (UNAD 2003). En el segundo semestre del 2009 se hizo una adaptación al excelente material del Ing. Victor Jairo Fonseca Vigoya, de acuerdo con la presentación que solicitó la Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería. Este ajuste lo realizó el Ing. Carlos Germán Pastrana Bonilla, Ingeniero Químico (Universidad nacional de Colombia 1967), Especialización en Procesos en Alimentos y Biomateriales (UNAD 2008). Actualmente, en marzo de 2010, se elabora otro módulo, con base en el material del Ing. Fonseca y del módulo Unisur de Operaciones en la Industria de Alimentos I, cuyos autores son los ingenieros Jaime Alberto Leal, Víctor Jairo Fonseca, Darío Fernando López y Silvianne de Durán, con la siguiente distribución: tres unidades, nueve capítulos y cuarenta y cinco lecciones. Este compendio lo realiza el Ing. Carlos Germán Pastrana B.

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CONTENIDO

UNIDAD 1. TRANSMISION DE CALOR Capítulo 1. Conducción Lección 1. Mecanismos de transferencia de calor Lección 2. Conducción Lección 3. Estado estacionario Lección 4. Coeficiente de transferencia de calor Lección 5. Flujo unidimensional estado inestable Capítulo 2. Convección Lección 6. Generalidades Lección 7. Convección libre Lección 8. Coeficiente de película Lección 9. Convección forzada Lección 10. Coeficiente total de transferencia de calor Capítulo 3. Radiación Lección 11. Generalidades Lección 12. Cuerpo negro Lección 13. Energía radiante emitida Lección 14. Energía radiante absorbida Lección 15. Transferencia de calor combinada

UNIDAD 2. PROCESOS TERMICOS Capítulo 4. Procesos de Calefacción Lección 16. Cocción Lección 17. Extrusión Lección 18. Calentamiento indirecto Lección 19. Calefacción eléctrica Lección 20. Microondas Capítulo 5. Procesos de enfriamiento y refrigeración Lección 21. Enfriamiento y refrigeración Lección 22 Congelación Lección 23 Crioconcentración Lección 24 Liofilización Lección 25 Ultracongelación Capítulo 6. Procesos de conservación. Lección 26. Deshidratación

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Lección Lección Lección Lección

27. 28. 29. 30.

Esterilización Escaldado Ebullición Condensación.

UNIDAD 3. EQUIPOS PARA TRANSMISION DE CALOR Capítulo 7. Intercambiadores de calor Lección 31. Intercambiadores de doble tubo. Lección 32. Intercambiadores de tubo y coraza Lección 33. Intercambiadores de placas Lección 34. Calderas Lección 35. Evaporadores Capítulo 8. Equipos para tratamientos térmicos Lección 36. Hornos Lección 37. Recipientes Lección 38. Condensadores Lección 39. Marmitas Lección 40. Hervidores Capítulo 9. Equipos para conservación de alimentos Lección 41. Refrigeradores Lección 42 Congeladores Lección 43. Pasteurizadores Lección 44. Esterilizadores Lección 45. Liofilizadores.

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INTRODUCCION Prácticamente todas las operaciones que tienen lugar en la industria de alimentos, implican la generación y/o absorción de energía en la forma de calor. Multitud de equipos en el desarrollo de su trabajo requieren de calor para su servicio o desprenden calor como subproducto o excedente de operación. La termodinámica estudia el calor y su relación con las formas de energía en un sistema previamente seleccionado. La transferencia de calor estudia el flujo o transporte de calor que ocurre en un sistema, las leyes que rigen dicho flujo y su aplicación práctica en los equipos que transfieren el calor. En el presente texto se estudiarán los mecanismos básicos del flujo de calor y los sistemas o métodos cuantitativos de cálculo para su posterior aplicación en operaciones como: Calentamiento o Enfriamiento, Evaporación Refrigeración Congelación Liofilización, etc.

Secado

Destilación

Humidificación,

Dado que algunas de estas operaciones implican transferencia de masa, es importante tener presente las consideraciones sobre balance de materiales y obviamente sobre balance de energía.

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UNIDAD 1 TRANSMISION DE CALOR

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OBJETIVOS General 

Definir los mecanismos de transferencia de calor, los coeficientes de transferencia y realizar sus cálculos teóricos de transferencia de calor.

Específicos 

Identificar los mecanismos de transferencia de calor.



Establecer la ecuación general de transmisión de calor.



Hallar los coeficientes de transferencia de calor.



Realizar cálculos teóricos de procesos de transferencia de calor por conducción, convección y radiación.



Elaborar memorias de cálculo para aplicaciones en problemas de la industria.



Resolver problemas ingenieriles mediante hojas de cálculo.

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AUTOEVALUACION INICIAL Seleccione la respuesta correcta 1. El calor es una energía debida a: a. movimiento gravitatorio b. posición de los cuerpos c. movimientos moleculares d. interacción atómica 2.- La temperatura es la medida de: a. el contenido de calor de los cuerpos b. el equilibrio de sistemas termodinámicos c. la energía interna de los cuerpos d. calor o frio de los cuerpos 3. El flujo de calor ocurre cuando se tienen cuerpos: a. fríos y calientes b. a diferentes temperaturas c. en diferentes fases e. en diferentes estados 4.- Las unidades del flujo de calor en el sistema MKS son a.- Julios/segundo b.- kilocalorías/segundo c.- kilocalorías/hora d.- calorías/minuto 5. Complete las siguientes afirmaciones: A. El enfriamiento de los alimentos en los cuartos fríos implica la aplicación de la ley de la termodinámica.

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B. El flujo de calor entre dos cuerpos que se encuentran a diferente temperatura y se ponen en contacto ocurre en el sentido de __________________________________ C. La transmisión de calorocurre mediante los mecanismos de , y D. El mecanismo de transmisión de calor que ocurre mediante una camisa de vapor como en el caso de una marmita se denomina ______________________ E. El principal mecanismo de flujo de calor para los sólidos se denomina ______________________________________________ F. La energía radiante emitida por un cuerpo caliente es transmitida por el espacio en forma de _______________________________________________ G. La ley referida a la transferencia de calor (enfriamiento o calentamiento) por convección se denomina __________________________________________ H. El mecanismo de transmisión de calor en fluidos que ocurre cuando se inducen artificialmente movimientos que asignan mezcla o turbulencia se denomina _______________________________________________________ 6. Para el escaldado de frutas se prepara agua caliente a 90 oC. Determine la cantidad de calor necesaria para preparar 4.500 litros de agua que se encuentran 15 oC . El calor específico del agua puede tomarse como 1 cal/g oC. 7. Establezca la cantidad de calor que se requiere retirar a 465 kilos de o mermelada que se encuentran a 75 C y debe ser enfriada a 55 oC para su envasado. El calor específico es de 3,2 J / kg oC 8. Una fuente de calor produce 80000 kcal/hr y se emplea para concentrar una salmuera del 20% al 50%. Asumiendo un aprovechamiento del 70% del calor producido, determine la cantidad de salmuera concentrada por hora, cuando se alimenta a 20 oC. Datos obtenidos de tablas: Entalpía solución al 20%: 34 kcal/kg. Temperatura ebullición: 108 oC. Entalpía solución al 50%: 154 kcal/kg. Temperatura ebullición: 143 oC. Temperatura de ebullición del agua: 100oC. Calor latente de vaporización del agua: 540 kcal/kg.

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CAPITULO 1 CONDUCCION Lección 1 MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Todo flujo de masa o energía implica una fuerza motriz que ha de vencer una resistencia que se opone al flujo; en el caso de fluidos la fuerza motriz es una presión que se aplica a la masa y vence la viscosidad que posee el fluido; el resultado es un movimiento que puede ser medido por la magnitud conocida como velocidad. La corriente eléctrica o intensidad eléctrica tiene lugar cuando una diferencia de potencial eléctrico vence una resistencia eléctrica. Para la transferencia de calor, la diferencia de temperaturas es la fuerza motriz que vence una resistencia térmica para permitir el flujo de calor, así: Fuerza Motriz FM Flujo= -------------------- = -----(1.1) Resistencia R El flujo tiene como base de medida la cantidad de masa, peso o energía que se transporta por unidad de tiempo. Para el calor la magnitud a transportar es: calorías en el sistema CGS, kilocalorías en MKS, BTU en el inglés o Julios en el internacional, siendo común para todas ellas el segundo como unidad de tiempo. El flujo de calor, conocido por la letra q se expresa como cantidad de calor Q transportada por unidad de tiempo t.

Dadas las cantidades de calor que se transfieren durante un proceso, se acostumbra a usar Kcal/hr, BTU / hr ó Watios. El calor fluyendo de cuerpos o zonas de cuerpos, de alta temperatura a cuerpos o zona de cuerpos a baja temperatura lo hace fundamentalmente en uno ó más de tres mecanismos de transferencia de calor. Ellos son conocidos como CONDUCCION, CONVECCION Y RADIACION mecanismos que en la práctica se presentan en forma individual o simultánea. Para efectos de un estudio teórico, inicialmente se estudiará cada uno en forma independiente para concluir con el estudio simultáneo de ellos.

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1.1 Conducción La conducción es un mecanismo de transferencia que ocurre sustancialmente en sólidos y en muy poco grado en fluidos y obedece al cambio de momentum o cantidad de movimiento de los átomos o moléculas de los cuerpos por la variación de la energía interna consecuencia de los cambios de temperatura. En los sólidos el cambio de la cantidad de movimiento trae como consecuencia un arrastre de electrones y en los fluidos en reposo colisiones en las moléculas. Ocurre transferencia de calor por conducción en las paredes de un horno, en placas metálicas de un radiador, en la base de una plancha, en paredes de tuberías, en las cuales fluyen líquidos calientes, etc. Cuando las caras de un objeto están expuestas a diferentes temperaturas ocurre un flujo de calor de la zona de más alta temperatura a la de más baja temperatura. Fourier, Biot y otros investigadores establecieron que el flujo de calor es proporcional directamente al área a través de la cual fluye el calor, al gradiente o diferencia de temperatura e inversa a la distancia que recorre el calor. q α A ∆ T/ x

(1-3)

Siendo q el flujo de calor A el área normal o perpendicular al flujo ∆ T gradiente o diferencia de temperatura x gradiente de distancia o recorrido. En un comienzo Fourier y col, establecieron para cada sustancia una constante de proporcionalidad K, llamada conductividad térmica para expresar:

q = K .A.∆T / x

(1-4)

Las unidades para conductividad térmica, deducidas de la ecuación (1-4) son: Kcal m ----------, s m2 0C

Btu ft ----------- , s ft2 0F

W m ------------, m2 0K

En la práctica se emplean las unidades siguientes: Kcal Btu ----------, -------------, hr m2 0C hr ft2 0F

W ----------, m2 0K

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Estudios posteriores demostraron que la conductividad térmica no es constante sino que varía en mayor o menor grado con la temperatura; en la mayoría de los sólidos la variación es muy pequeña pero en los líquidos y gases la variación es muy amplia. En los metales los valores de K son altos, en sólidos no metálicos los valores son relativamente bajos en tanto que los líquidos y gases poseen valores bajos como se aprecia en la lista siguiente: K Metales Aleaciones Sólidos no metálicos Líquido no metálico Materiales aislantes Gases

Btu/hr ft 0F 30 - 240 7 - 70 1 - 10 0,1 - 0,4 0,02 - 0,1 0,004 - 0,1

En las figuras 1-7 y 1-8 y Tabla No 1 se dan valores de K para los materiales más comunes en ingeniería. Algunos autores presentan la ecuación (1-4) con signo menos q = - KA dT/ dX (1-5) En concordancia a un gradiente matemático que se toma como estado final menos estado inicial. Dado que el flujo de calor obedece a un gradiente físico o diferencial positivo de temperatura como se establece en la 2ª ley de la termodinámica, en el presente texto se empleará la ecuación 1-4 tomando siempre como gradiente de temperatura, la diferencia entre la más alta y la más baja. Ejemplo 1. Determinar el flujo de calor a través de la pared de un cuarto cuyas temperaturas superficiales en la pared son -20 oC y 40 oC, la conductividad térmica del material es de 0,8 Kcal/hr m oC y su espesor es de 10 cm. Solución. Dado que no se especifica el área de la pared, se puede o bien calcular el flujo de calor por unidad de superficie q/A, o el flujo de calor en 1 m2 de pared. La figura 1 da una representación gráfica del flujo.

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Para la segunda opción, aplicando la ecuación 1-4 y con datos. K = 0,8 Kcal / hr m oC A = 1 m2 Δ T = 40 - (-20) oC = 60 oC x = 0,1 m Para aplicar la ecuación 1-5 el gradiente matemático de temperatura puede ser 60 oC ó 60 oC, dependiendo de cual temperatura 40 ó -20 se toma como inicial. Con la ecuación (1-4), se establece que el flujo de calor ocurre de la superficie que está a 40 0C hacia la que está a -20 0C.

Ejemplo 2. En un ensayo para determinar la conductividad térmica de un material, se empleó un bloque de 1 x 1 pies de área y 1 pulgada de espesor; cuando se tuvo un flujo de 800 BTU/ hr a través del bloque, se registraron temperaturas de 80 y 120 oF en cada una de sus caras. Calcular el valor de la conductividad térmica. Solución. La figura 2 representa gráficamente el flujo de calor. Aplicando la ecuación general de la transferencia por conducción, se obtiene el valor de

:

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1.2 Convección La convección es un fenómeno de transferencia que ocurre únicamente en los fluidos y tiene lugar por la mezcla de porciones calientes de un material con porciones frías del mismo. Igualmente existe el mecanismo de convección cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido ó a través de ductos o tuberías que se encuentran a temperatura diferente a las del fluido. En términos generales la convección ocurre cuando se tiene flujo de calor por mezcla o turbulencia. En el flujo laminar o de capas delgadas de los fluidos puede ocurrir transferencia de calor por conducción pero normalmente tiende a cambiarse al mecanismo por convección debido a la formación de remolinos o turbulencia causados por los cambios de densidad con la temperatura. En la práctica el flujo de calor por convección siempre va acompañado de flujo por conducción debido a que el calor pasa a través de películas o capas laminares en el mecanismo propio de la conducción y no es sencillo o no se acostumbra considerarlos independientes para su aplicación. En su estudio teórico cada mecanismo inicialmente se estudiará por separado, pero en los problemas se plantearán situaciones concordantes con la realidad en la que influyen por lo menos dos de los tres mecanismos existentes. Transferencia de calor por convección ocurre en el calentamiento de una habitación empleando un calentador eléctrico ó de vapor; en el calentamiento de líquidos en recipientes, vasijas y en la industria en innumerables equipos que se denominarán intercambiadores de calor y en los cuales el flujo de calor se efectúa entre la superficie del equipo y el fluido que pasa en contacto con ella. Para facilitar los cálculos de transferencia de calor entre una superficie que se encuentra a una temperatura Ts y un fluido que se desplaza sobre ella a una temperatura Tf si Ts >Tf se ha introducido un coeficiente de transferencia de calor, h, y se aplica la ecuación q = h A (Ts-Tf)

(1-6)

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donde q que es el flujo de calor en dirección normal o perpendicular a la superficie y h coeficiente de transferencia de calor por convección también conocido como coeficiente de película y cuyas unidades son: en sistema internacional

A diferencia de la conductividad térmica K, que es específica para un material a una temperatura dada, el coeficiente de película h, varía de acuerdo a la velocidad del fluido, por consiguiente es función del ducto que transporta el fluido o del tamaño del recipiente que lo contiene, igualmente es función de ciertas propiedades del fluido como son calor específico, densidad, viscosidad y aún de la misma conductividad térmica, propiedades que como bien se sabe varían con la temperatura. Ejemplo 3 Una superficie transfiere 28 Btu / min ft2 a un fluido que se encuentra a 42 oF. a) Determinar la temperatura de la superficie cuando el coeficiente de película es de 40 Btu/hr ft2 oF. b) Determinar la temperatura del fluido cuando la superficie conserva su temperatura y el coeficiente varia a 50 Btu/hr ft 2 oF. Solución. En el problema, típico de convección se dispone para la parte a) de los datos siguientes: q/A = 28 Btu / min ft2 Tf = 42 oF h = 40 Btu / hr ft2 oF La temperatura de la superficie puede obtenerse de la ecuación 1-6, en la que puede tomarse como área de transferencia de calor 1 ft2, o expresar la ecuación como: q/A = h(Ts-Tf), de esta expresión, Ts = q/Ah + Tf Para aplicarla, se debe tener consistencia de unidades y el flujo por unidad de área debe llevarse a horas, luego

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1.3 Radiación Todo cuerpo emite radiaciones que se transmiten a través del espacio o a través de ciertos cuerpos. La naturaleza de estas radiaciones se ha planteado por diversas hipótesis, la de Planck establece que las radiaciones están constituidas por fotones o paquetes de energía también llamados quantum. Maxwell en su teoría clásica establece que ellas son ondas electromagnéticas, las dos teorías pueden conjugarse considerando que los paquetes de energía, de carácter electromagnético, viajan en forma ondulatoria. Acorde a la longitud de onda, las radiaciones producen efectos específicos, desde los denominados rayos cósmicos cuyos efectos son de orden termonuclear hasta las ondas hertzianas de amplio usoen las telecomunicaciones y su clasificación se hace por dichos efectos. Así y en secuencias de las más pequeñas longitudes de onda se tiene:

longitudes

a las más grandes

Longitudes de onda metros Rayos cósmicos Rayos gamma Rayos equis Ultravioleta Visibles o luz Infrarrojos Radio Ultralargas

10-13 10-10 a 10-13 6 x 10-6 a 10-10 14 x 10-9 a 4 x 10-7 0,4 x 10-7 a 0,8 x 10-6 0,8 x 10-6 a 4 x 10-6 4 x 10-6 a 104 > 104

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En todo el espectro se genera calor pero los efectos son notorios en la zona de los rayos infrarrojos y la emisión o absorción de energía radiante térmica ocurre principalmente para estas longitudes de onda. La emisión o absorción de energía radiante en los sólidos y líquidos es un proceso secuencial. Para la emisión de energía, la temperatura interior genera la radiación que fluye hacia el exterior y se emite a través de la superficie. Para la absorción, la radiación que llega al cuerpo, incide sobre la superficie del mismo y penetra en él, en donde se va atenuando pero aumentando la temperatura del cuerpo. En la mayoría de los sólidos el efecto de la radiación incidente se atenúa a una distancia muy pequeña de la superficie (distancia del orden de micras) y el fenómeno recibe el nombre de RADIACION DE SUPERFICIE. En los gases la radiación actúa sobre todo el volumen, bien sea emitida o absorbida, en este caso se tiene la RADIACION GLOBAL. No toda la radiación que incide sobre un cuerpo es absorbida por el mismo. Parte es reflejada y en algunos la radiación pasa de largo. Igualmente no toda la radiación disponible de un cuerpo es emitida, parte de ésta es retenida. Los cuerpos ideales que absorben toda la energía radiante que incide sobre ellos se llaman cuerpos negros, igual denominación reciben los cuerpos ideales que emiten toda energía radiante disponible. Los cuerpos reales que no absorben o emiten la totalidad de la energía radiante que incide o disponible, reciben el nombres de cuerpos grises. De acuerdo a como se comporta un cuerpo, respecto a la radiación que incide sobre él, se clasifican en: a) Cuerpos Opacos: aquellos que absorben la casi totalidad de la energía radiante y la convierten en calor, son la mayoría de cuerpos que existen en el universo. b) Cuerpos Transparentes: aquellos que dejan pasar la casi totalidad de la energía radiante que llega de ellos, ejemplo de ellos son el cuarzo fundido, el vidrio transparente y gases no polares. c) Cuerpos Reflexivos o Espejos Térmicos: aquellos que reflejan la mayor parte de la radiación incidente, cuerpos metálicos con superficies opacas pulidas y los espejos ópticos son ejemplos. Los cuerpos de color negro y las superficies mate absorben la mayor parte de la radiación incidente transformándolas cuantitativamente en calor. Experimentalmente se ha establecido que la energía radiante emitida por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta a la cual se encuentra. E α T4

(1-7) Siendo E la energía radiante.

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Los científicos, Stefan por métodos experimentales y Boltzmanm por deducciones matemáticas establecieron que la constante de proporcionalidad llamada de Stefan-Boltzmanm y representada por la letra δ, tiene valores de: 0, 1714 x 10-8 Btu/hr ft2 oR4 4,878 x 10-8

Kcal/m2hr oK4

0,56697 x 10 W/m2 oK4 La ecuación (1-7) se convierte en E = δ T4 (1-8) Con unidades de E Btu/hr ft2, Kcal/hr m2, W/m2 El flujo de calor por radiación implica un cuerpo emisor, con A1 que se encuentra a una temperatura T1 y un cuerpo receptor con A2 que se encuentra a una temperatura T2, siendo T1>T2. Cuando los dos cuerpos son negros e infinitos, el flujo de calor por radiación para el cuerpo de área A2, que absorbe toda la radiación del cuerpo de área A1 es: q = δ A1(T 1

- 2T 4)

4

(1-9)

Donde q es el flujo de calor en Btu/hr ó Kcal/hr ó Watios. La ecuación (1-9) expresa lo que se denomina la ley de Stefan-Boltzmanm. Desde el punto de vista de radiación térmica, se llama cuerpo infinito aquel que recibe toda la radiación que sale de otro cuerpo. El ejemplo más clásico es el de un cuerpo A, encerrado totalmente por un cuerpo B, es decir un objeto dentro de una caja o una esfera. Toda la radiación que sale del cuerpo A ó del objeto llega al cuerpo B ó a la caja. En el capítulo específico de radiación se estudiará la radiación de los cuerpos grises, fundamentada en el fenómeno para los cuerpos negros. Hoy por hoy, la radiación térmica adquiere una preponderante importancia en el aprovechamiento de la fuente térmica más importante de la naturaleza como es el sol. Ejemplo 4 Calcular la energía radiante disponible de un cuerpo negro que se encuentra a 80 oF. Solución. Para aplicar la ley Stefan-Boltzmanm se tiene T = (80 + 460)0R = 540 0R y E = δT4 = 0,1714 X 10-8 X 5404

δ = 0,1714 x 10-8 Btu/hr ft2 0R4 BTU/hr ft2 0 = 145,7 BTU/hr ft2 0 Resp 145,7 BTU/hr ft2

0

Ya se mencionó como en la naturaleza o en la industria el flujo de calor se hace por dos ó los tres mecanismos y es elempleo de la resistencia térmica R, lo que nos permite trabajar la presencia simultánea de los mecanismos.

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1.4. - Circuito térmico - Resistencia térmica. En aplicaciones industriales se pueden presentar simultáneamente dos o los tres mecanismos. En la conducción se puede presentar flujo a través de paredes compuestas. Para estos casos se introduce la analogía con los sistemas eléctricos y más concretamente con los circuitos y resistencias. De la ecuación de flujo, igual a fuerza sobre resistencia se obtienen las resistencias térmicas así: ∆T Para conducción q =K A --x

=

Para convección q = h A ∆ T

Para radiación q = δ A

(T14

-T2)

∆T ------ ==> R = R ∆T = -----==> R R

∆T -----R

x ----- (1-10) KA 1 = ----(1-11) hA

∆T 4 ==> R = -----------------δA(T1 -T2 )

Teniendo en los tres casos como unidades: hr oF / BTU,

(1-12)

hr oC / Kcal,

4

0

4

/W

El concepto de resistencia permite emplear los llamados circuitos térmicos, que de acuerdo a los mecanismos o cuerpos involucrados serán en serie o en paralelo.

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Lección 2 Conducción La conducción se puede estudiar fácilmente a partir de la conducción en los sólidos, ya que no hay interacción de la convección o mejor este último mecanismo no tiene incidencia en los sólidos. Como todas las leyes físicas, la ley básica de la conducción del calor se basa en observaciones experimentales iniciadas por el físico Biot pero planteadas matemáticamente por el físico Joseph Fourier. En muchas situaciones, un material es sometido a un calentamiento o enfriamiento y su temperatura va cambiando a medida que transcurre el tiempo. Al cabo de un lapso de tiempo la temperatura se estabiliza, como en las paredes de los hornos de panadería. Con base al comportamiento de las temperaturas se establecen dos casos particulares que merecen estudios muy enfatizados al comportamiento de las temperaturas del cuerpo o de partes del cuerpo.

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Cuando la temperatura se mantiene constante a través del tiempo se tiene el estado estacionario o estable y cuando la temperatura cambia con el tiempo se tiene el estado inestable, no estacionario o transitorio

2.1. Conducción en estado estacionario Recordando que la tasa de operación es la relación entre la fuerza o potencial y la resistencia que se opone a esa fuerza, podemos establecer: Rata o tasa =

Fuerza conductora dT ---------------------------- = ----------- (1-13) Resistencia dR

En este caso la fuerza conductora es la diferencia o gradiente de temperatura a lo largo del sólido, siendo necesario que exista una desigualdad de temperaturas para que el calor fluya, como se aprecia en la figura No. 1-6. Con estas consideraciones la ley de transferencia de calor por conducción establece que la tasa o rata de transferencia de calor q, efectuada en una dirección dada, es proporcional al área A normal o perpendicular a la dirección del flujo del calor y al gradiente de temperatura

∆T (fuerza conductora) en esa dirección, e inversamente proporcional al espesor ∆X en la dirección dada así: dT q = ------------ = dR

Adt K ---------dX

(1-14)

Siendo K una propiedad de los cuerpos conocida como conductividad térmica del material. La conductividad térmica, K, es una característica física o propiedad específica del material.

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El valor de K depende pues del material y de su temperatura, aunque la variación con esta última es relativa y para valores pequeños de T puede considerarse a K como constante. En las figuras 1-7 y 1-8 se relacionan los valores de las conductividades térmicas para diferentes sustancias. La conductividad térmica de los metales en estado sólido y de composición conocida disminuye con la temperatura aunque en las aleaciones el fenómeno se presenta a la inversa. En términos generales, la conductividad térmica puede ser representada en un amplio rango de temperatura por la ecuación general: K = Ko [1 +b∆T +c(∆T)2j

(1-15)

donde Ko es la conductividad a una temperatura de referencia y ∆T la diferencia entre temperatura para K y la temperatura de referencia; b y c son constantes específicas para cada sustancia. Para materiales no homogéneos, la conductividad depende de la densidad aparente lo cual se define como la relación de masa de la sustancia, dividida por el volumen total que ocupa, que incluye a su vez el volumen vacío, tal como el de las burbujas de aire o gas, o aun vacíos dentro del material; como regla general para las sustancias no homogéneas la conductividad térmica aumenta al incrementarse la temperatura o la densidad aparente.

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Los líquidos tienen un comportamiento en general similar al de los metales, la conductividad disminuye con el aumento de la temperatura y no varía con la presión. El agua presenta un comportamiento diferente pues muestra aumento de K hasta cerca de los 3000F y luego disminuye teniendo de todas formas la más alta conductividad térmica de los líquidos, con excepción de los metales líquidos. Para los gases el comportamiento en general es opuesto a los líquidos y sólidos; aumentan al elevar la temperatura, siendo independiente de la presión en una franja de presión cercana a la atmosférica. Para altas presiones, el efecto de ésta es muy significativo y debe hacerse corrección. Cuando K varía sensiblemente con la temperatura y se tienen valores grandes de ∆T, puede emplearse sin inducir error apreciable un valor K promedio bien sea de los valores de la constante para las temperaturas inicial o final o al valor de la constante para la temperatura promedio. Los sólidos tienen valor relativamente alto de conductividad térmica en tanto que para la mayoría de los líquidos y gases los valores son bajos. Son pocos los datos seguros y exactos de la conductividad térmica, debidos principalmente a la dificultad de su medida ya que ella es muy sensible a los cambios aun pequeños de la composición química y estructura física de los cuerpos.

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2.2. Flujo de calor en estado estacionario a través de una lámina plana Considerando flujo de calor en una dimensión y a través de una lámina plana como en la figura 1- 6, en que la conducción de calor tiene lugar en estado estacionario o en el cual no hay ni acumulación ni desprendimiento de calor en el interior de la lámina para una distancia X, tenemos: Comparando las ecuaciones 1- 5 y 1- 6 se encuentra que dx dR = ----- y KA

x R = ----KA

Igualmente q, tasa de transferencia, es la cantidad de calor Q, transmitida por unidad de tiempo t, es decir: Q q= -----(1-16) t Luego T2 - T1 ∆T q = KA ------------ = KA ----x x

(1-17)

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Para estas ecuaciones se tiene como unidades de q Q X A K T t

Cal/hr o BTU/hr Calorías o BTU metro o pie (ft) metro2 o pie2 (ft2) Cal-m/m2 hr0C o BTU - ft / ft2 hr0F o watios / m0C 0 C o 0F Tiempo en segundos u horas

Como ya se había mencionado en las figuras 1-7 y 1-8 se grafican las conductividades térmicas de algunas sustancias empleadas en Ingeniería. Como puede apreciarse en las figuras, la conductividad térmica es función de la temperatura y muy diferentes para los distintos materiales. Ejemplo 5 Un horno tiene paredes en ladrillo refractario de 1 pie de espesor, con temperatura interior de 6000F y exterior de 700F ¿Cuál es la tasa de transferencia de calor para una pared de 9 ft2 de espesor. Solución: Aplicando la ecuación (1-15), con valor de K = 0,25 BTU / (ft hr tabla 1. ∆T q = K A -----x

o

F) obtenido de la

600 - 70 = 0,25 x 9 x ------------- = 1.192,5 BTU/hr 1

Para este ejemplo establezca la consistencia de unidades Resp: 1.192,5 BTU /hr

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Ejemplo 6 Se desea construir en ladrillo, la cámara de combustión de una caldera siendo las paredes laterales de 24 ft2 cada una. 0 La temperatura interior es de 2.2000F y se busca que la exterior sea de 100 F.

Determine el espesor de la pared para tener pérdidas de calor de 3,7 BTU/seg. Solución: De la ecuación 1-15 obtenemos X

Una pregunta que surge de los dos ejemplos anteriores es ¿pueden construirse paredes en ladrillo de espesores tan definidos como 1 ft (30,5 cm) ó 0,95 ft (28,98 cm) cuando normalmente los ladrillos tienen dimensiones de 25 x 6 x 12 cm? ó ¿qué ocurre con el espesor de la mezcla que se emplea para pegar los ladrillos? Pues bien, los fabricantes de ladrillos refractarios, proveen cementos igualmente refractarios con coeficientes iguales de tal forma que las dimensiones se ajustan haciendo más o menos anchas las juntas o pegues de los ladrillos. Ejemplo 7 Una cava o cuarto frío para almacenamiento de productos perecederos debe ser mantenida a 2 0C, siendo la temperatura ambiente de 38 0C. Para aislar las paredes se emplea lámina prensada de corcho, que tiene conductividad térmica de 0,021 BTU ft / ft2 hr oF a 32 0F y 0,032 a 200 0F. Determine el espesor de la lámina si se espera un flujo de calor de 200 BTU/hr a través de la pared de 25 ft2. Solución: Comercialmente se acostumbra a expresar la conductividad térmica en la unidades BTU ft / ft2 hr oF ó BTU in / ft2 hr oF , consecuente al espesor de la lámina ( en pies, ft o pulgadas, in ) y a la superficie o área de transferencia ( en pies cuadrados, ft2 ). Para determinar K se puede tomar la temperatura promedio e interpolar para el valor obtenido

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En los anteriores ejemplos, se ha tomado la tasa de transferencia de calor a través de una resistencia constituida por un solo cuerpo uniforme de espesor X. El flujo de cualquier energía, como calor o electricidad, puede ser considerado como la relación entre una fuerza conductora y una resistencia; para el caso de la energía eléctrica la tasa de flujo eléctrico se expresa como la relación: I = E/R Siendo E la fuerza conductora o voltaje y R la resistencia. Comparando esta ecuación con la correspondiente a la del calor o ecuación de Fourier, se encuentra que la tasa de flujo de calor es análoga a la intensidad eléctrica.

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En la industria es de común ocurrencia tener placas planas materiales unidas en serie formando un conjunto sólido o pared.

de diferentes

El flujo de calor a través de varias resistencias térmicas en serie presenta un comportamiento análogo al flujo de corriente a través de varias resistencias eléctricas en serie. Al tomar un conjunto de placas de diferente material unidas entre sí formando una serie de capas como se aprecia en la figura 1-11 el flujo de calor a través de cada una de ellas es constante y para cada una de ellas puede hacerse un análisis independiente para determinar el flujo de calor. Relacionado a la figura 1-11 las temperaturas interior y exterior del conjunto son Ti y Te respectivamente cuando Ti > Te el flujo ocurrirá en el sentido de izquierda a derecha. Para la primera placa que tiene conductividad térmica K1 el flujo a través del área común A es

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Para la placa 2 de conductividad K2 se tiene flujo

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Ejemplo 8. Las paredes de un horno, paralelepípedo están construidas de una placa de ladrillo silica -o- cel, de 12 cm. de espesor, con conductividad térmica de 0,09 Kcal m/m2 hr 0C y ladrillo común formando capa de 24 cm., la conductividad térmica de esta última es de 1,2 Kcal m/m2 hr oC. (Unidades comerciales). La temperatura en la pared interior del horno es de 800 0C y la de la pared exterior es de 85 0C, Dibujar el circuito térmico correspondiente y determinar las resistencias térmicas, la temperatura de la interface de los ladrillos y el flujo de calor en Kcal / hr Solución. En la figura 12 se representa el circuito térmico respectivo. Como el flujo de calor es por m2 bien puede tomarse como área de transferencia 1 m2 Se denomina interface a la zona ó superficie de contacto de los dos materiales. Para la solución se dispone de los siguientes datos

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La situación representada en la figura 1-12 esquematiza el evento cuando el interior del horno y la pared están a 8000C, y el flujo de calor ocurre unidimensionalmente; sin embargo al iniciarse la operación de calentamiento la temperatura de la pared interior es la ambiente. Suponiendo que ella es de 850C la recta A representa la distribución de temperatura en las paredes. Al ocurrir una exposición brusca de la pared a la temperatura de 800 0C, la cara de la pared alcanza dicha temperatura y comienza el flujo de calor al cabo de cierto tiempo; la distribución de la temperatura puede representarse por la curva B. En este Instante, la temperatura para un punto dado P, está aumentando y obviamente ella depende del tiempo, el proceso de transferencia de calor es de conducción de flujo no estacionario. Ya cuando la pared se mantiene en contacto con el foco caliente y el foco frío durante largo tiempo se obtiene el flujo estacionario cuya representación gráfica es la línea C. En este estado estacionario, T es una función exclusiva de la posición y la velocidad de flujo de calor en un punto cualquiera es constante. Al iniciar el estudio de flujo por convección se tomó el flujo unidimensional y en una área perpendicular a la dirección del flujo siendo esta área plana.

2.3 Elaboración de la hoja de cálculo en procesos térmicos Las Hojas de Cálculo permiten resolver múltiples problemas con base a sencillos programas elaborados ya bien sea para situaciones particulares o situaciones generales. En la elaboración de la Hoja de Cálculo, para problemas de conducción unidimensional en estado estacionario se establece las variables que intervienen en un problema de transferencia de calor y ellas son:

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Material Conductividad Térmica Espesor Resistencia Térmica Temperatura Alta Temperatura Baja y Diferencial o gradiente de temperatura

M K X R Ta Tb ∆T

A estas variables se les asignan sendas columnas con los símbolos correspondientes, e igualmente se colocan las unidades consistentes, en los diversos sistemas ingenieriles o en unidades comerciales. Se pueden anotar las palabras, como se muestra en las hojas de cálculo inicialmente presentadas, o los símbolos como se ve en algunos ejemplos presentados en el anexo. Son normales los casos de varias placas o paredes en problemas que se llaman de paredes compuestas; en este caso de deja una fila para totalizar las resistencias y las caídas o diferencias de temperaturas. Normalmente en los problemas de Transferencia de Calor q, para la situación del enunciado, pretende encontrar el flujo q, de calor a través de una pared de área A. Para estas variables se asignan filas tal como se representa en el siguiente cuadro:

Es conveniente acompañar el desarrollo del problema con un diagrama de la situación presentada, ya que ello facilita su solución. Se puede adicionar una fila de comprobación para las caídas de temperaturas, las resistencias térmicas o el flujo de calor, obtenidas por un medio diferente a como se calculó en el total. En términos prácticos el problema se plantea, anotando en las casillas respectivas los datos suministrados en el enunciado del problema, u obtenidos de tablas y diagramas. La resolución del problema consiste en realizar un análisis de la situación que permita llenar todos los espacios vacíos.

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Para la resolución de problemas la fundamentación está en las resistencias térmicas y las analogías con circuitos, de ahí que la resolución por la hoja de cálculo implica siempre el cálculo de las resistencias térmicas. La Hoja de Cálculo es una valiosa ayuda o herramienta para el ingeniero, pero no reemplaza en ninguna circunstancia los conocimientos ni el proceso analítico que obligadamente debe tenerse para la resolución de problemas. Por el contrario para hacer una Hoja de Cálculo se requieren sólidos conocimientos de la temática a trabajar. En principio la resolución a través de la hoja de cálculo es más dispendiosa al plantearla en las memorias de cálculo, no obstante una vez se tenga la experiencia y habilidad adecuadas no se requieren de las memorias salvo para plantear el problema y acudir a referencias bibliográficas como se muestra en próximos ejemplos. En el ejemplo 8 ya presentado, se resolvió en forma convencional enseguida se hará la presentación para la hoja de cálculo. Es decir se establecerán claramente los datos a consignar en la hoja. En lo posible se debe establecer antes de consignar los datos que se tengan unidades consistentes. En el caso de unidades de fácil conversión ello se puede hacer directamente en la casilla correspondiente como por ejemplo pulgadas a pies en que el valor en pulgadas se transcribe dividiéndolo por 12, o centímetros a metros dividiendo el valor por 100 En el cuadro de presentación de datos se anotan en los respectivos espacios, los valores dados en el ejemplo y que se constituyen en los datos necesarios para resolver el problema. Igualmente se ha tomado como base de cálculo un área de 1 metro cuadrado.

En un tercer y cuarto paso se determina: el flujo de calor, aplicando q = ∆T / R y las caídas o diferencial de temperatura aplicando para cada pared ∆T = q x R. Finalmente en un sexto paso se establece la temperatura de la interface tomando la temperatura alta del primer material y restándole su respectivo diferencial o caída de temperatura

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Lección 3 Flujo de calor en estado estacionario a través de una pared cilíndrica Numerosas aplicaciones industriales de transferencia de calor se hacen a través de las paredes de tubos o tuberías y numerosos equipos de transferencia de calor empleados en la industria de alimentos

tienen paredes cilíndricas. Considerando la

conducción en flujo estacionario, en una dimensión para un cilindro hueco, como el mostrado en la figura 1-13, la temperatura es función sólo del radio r del cilindro.

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Ecuación análoga a la (1-17) empleada en flujo de calor a través de placas planas. Volviendo a la ecuación (1-34), el área media logarítmica puede expresarse en función de un radio medio logarítmico r2 y de una longitud L

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Cuando se conocen las temperaturas T3 y T0 y las magnitudes de las resistencias térmicas individuales, se puede encontrar la tasa total de flujo de calor q a través de un área A en un sistema compuesto de varias capas por medio de la ecuación (1-25) Ejemplo 9 Una tubería de acero de 3” de diámetro conduce vapor y está cubierta por una capa de amianto de 1/2” de espesor y a su vez está recubierta con una capa de lana de vidrio de 2” de espesor. Determinar: •

La transferencia de calor (pérdidas) en BTU/hr por pie lineal de tubería, si la temperatura exterior del tubo es de 320 0F y la exterior a la lana de vidrio es de 70 0F.

•

La temperatura de la interface entre la lana de vidrio y el amianto.

De tablas, se tiene Amianto K1 = 0,120 BIU/hrft 0F Lana de vidrio K2 = 0,0317 BIU/hr ft 0F

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El Ejemplo se resuelve analíticamente mediante la hoja de cálculo que transcribe en seguida: Se ha tomado como base de cálculo 1 pie lineal de longitud de tubería. Se han omitido algunas unidades, para facilitar la impresión de la hoja de cálculo

Las unidades omitidas son para: K BTU /Hr ft °F y RESISTENCIA

° F Hr / BTU

Como se puede apreciar, este desarrollo se basó en el cálculo de las resistencias, con la Hoja muy similar a la empleada para placas planas en serie. Puede observarse como la mayor caída de temperatura ocurre en la lana de vidrio. Ejemplo 10 Una tubería de acero 3" calibre 80 conduce vapor a 280 oF y esta' recubierta de una capa de asbesto de 1" de espesor la que a su vez esta' cubierta por una capa de lana de vidrio de 2”. La temperatura en el interior de la tubería es de 278 oF y en el exterior de la capa de vidrio de 70 oF. Determinar: a) La transferencia de calor (pérdidas) en BTU/hr en 100 pies de tubería, b) Las temperaturas de las interfaces c) Cantidad de vapor condensado por 100 pies de tubería.

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Solución: a) Para calcular el flujo de calor se toman temperaturas en el interior de la tubería y en el exterior de la capa de lana de vidrio, y algunos datos de tablas, para calcular las resistencias parciales, y luego resistencia total. De las tablas de tuberías, para diámetro = 3" cal 80 De = 3,50" = 0,292'

re = 0.146' Di = 2,90" = 0,242'

ft oF

Xc = 0.025'

ri = 0.121' K = 30 BTU/hr

Para la capa de asbesto r = 0,146', Xc = 1" = 0,0083, r = 0,229', K = 0,1 BTU/hr ft oF Para la lana de vidrio r = 0,229'. Xc = 2" = 0,166' r = 0,395, K = 0,03 BTU / hr ft oF Las resistencias de cada capa se calculan tomando una longitud de 100 pies

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c) El flujo de calor que se transfiere al exterior de la tubería proviene del vapor que se condensa. q = m λ = 5.750 BTU/hr donde m es la cantidad de vapor que se condensa yλ calor latente de condensación a 280 oF también: q = m (Hv - Hl ) donde Hv es la entalpia del vapor a 280 oF = 1.173,8 BTU/lb Hl entalpia del líquido a 280 oF = 249,06 BTU/lb q 5.750 m = ------------ = --------------------------Hv - Hl 1.173,8 – 249,6

=

6,23 lb/hr

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3.1 Flujo de calor en estado estacionario, a través de paredes esféricas En el caso de paredes esféricas, (figura 1-16) el área para una pared de radio r es 4π r2 y la ecuación (1-14) se nos convierte en:

4π K (T1 - T2) q = ----------------------------1 1 ------ - -----r1 r2

(1-40)

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De acuerdo con esta ecuación la resistencia térmica R, para paredes esféricas será: R = (1/r1 - 1/r2) / 4π K (1-41) Cuando se tienen varias capas esféricas concéntricas se aplica la ecuación (1-24). Ejemplo 11. Las condiciones de diseño de un reactor de síntesis implican para un volumen de 40 ft3 una temperatura de 1400 oF; se ha seleccionado una forma esférica cuya pared interior debe ser de magnesita vitrificada con espesor de 3/4", y pared exterior lámina de acero de 1/2”. Debe seleccionarse un aislamiento en un espesor no mayor de 3" y que permita una temperatura exterior no mayor de 98 oF. El flujo máximo admisible de calor se ha calculado sea del orden de 15000 BTU/hr. Calcular las temperaturas de las interfaces y elaborar una hoja de trabajo para el cálculo del reactor Solución. Para el volumen especificado se debe determinar el radio de la esfera, así como espesores y radios exteriores de cada una de las capas. Aunque el diseño no lo especifica, el aislamiento debe ser recubierto de una lámina metálica para su protección física y puede ser de 1/16" de espesor. Para el volumen dado, el radio interior es: r = (4V /3 ) 1/3 = (4 x 40)1/3 = 2,57 ft Para seleccionar el aislamiento, con un espesor prefijado, se puede determinar su resistencia térmica y calcular la conductividad térmica que debe tener. Como hemos visto anteriormente las resistencias de las paredes metálicas son muy bajas y es válido considerar que en el presente caso, la resistencia total obedece a la del material vitrificado y a la del aislamiento. Ello se puede apreciar en la hoja de cálculo ∆T 1.400 - 98 Resistencia total Rt = ------- = ------------------ = 0,0868 hr oF/BTU q 15.000 La resistencia para el vitrificado, de un espesor de 3/4" = 0,75" se aplicando la ecuación (1-41), con los valores de r1 = 2,57 pies; r2 = 2,57 + 0,75/12 = 2,6325 pies

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obtiene

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Buscando en tablas, se encuentra que el fieltro de asbesto de 40 láminas por pulgada tiene una conductividad a 500 oF de 0,048 que resulta un poco alta; para el valor requerido lana de vidrio de densidad 0,5 lb/ft tiene un valor de 0,035 para 600 oF, luego puede seleccionarse este material. El hecho de emplear la lana de vidrio especificada disminuye el flujo de calor en un 11% sobre el valor inicialmente fijado. Debe observarse que la lana de vidrio sometida a una temperatura muy próxima a la de trabajo que es del orden de 600 oC.y los datos consignados en la hoja de trabajo para iniciar los cálculos son:

Buscando en tablas los datos de conductividades térmicas y efectuando las correspondientes operaciones se llega a :

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Lección 4 Coeficiente total de transferencia de calor En resolución de problemas de transferencia de calor frecuentemente, se emplea el llamado coeficiente total de transferencia de calor U, con el fin de caracterizar la conducción unitaria de una estructura compuesta. Para la cual, la resistencia térmica total R se relaciona con U, mediante la ecuación: UA = 1/R(1-42) En donde U tiene como unidades BTU / hr ft2 0F o w/m2 0C. La tasa total de transferencia de calor q, a través del área A en una estructura compuesta cualquiera que sea su forma geométrica y desde la temperatura T1 hasta T2 se calcula, por la ecuación qT= A U (T1 - T2) = A U ∆T BTU / hr o W (1-43) Siendo qT, la transferencia total de calor Paredes planas. Tomando una pared plana que separa dos fluidos, a y b, que están a temperaturas Ta y Tb respectivamente (figura 17) La pared plana tendrá como temperaturas T1 y T2; el flujo de calor en el sistema ocurre por convección en los líquidos y por conducción en la pared. La transferencia de calor en las dos caras de la pared plana, con respecto al líquido (por convección) será q = A ha (Ta - T1 ) = A hb (T2 - Tb) (1-44) Equivalente a: Ta - T1 q = ---------------1 / ha A

T2 - Tb = ------------1 / hb A

(1-45)

Conforme a la ecuación (1-11) 1 / h A es la resistencia térmica producida por la convección. Como el flujo de calor debe ser exactamente igual dentro del material que constituye la pared plana se tiene

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Ejemplo 12 Una pared de concreto de 15 cm de ancho con una conductividad térmica de 0,86 W/m0C, está expuesta por un lado al ambiente cuya temperatura es de 250C , siendo el coeficiente de convección de 11,352 W / m2 0C, y el otro lado de la pared está en contacto con el aire de un cuarto frío con temperatura de -180C y coeficiente de 56,766 W/m2 0C. Determinar la tasa de transferencia de calor, por unidad de área. 

El coeficiente total de transferencia de calor.



Las temperaturas de superficies de la pared.

Solución: Para comprender el manejo del problema es conveniente hacer un gráfico

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El ejemplo se resuelve fácilmente empleando la hoja de cálculo Para cada uno de los casos que se presentan en transferencia de calor en conducción estable, paredes o placa planas, paredes cilíndricas y paredes esféricas se puede elaborar un patrón de la hoja de cálculo de tal forma que llenarla se hace fácil y rápidamente. Para el cálculo del coeficiente total de transferencia se adiciona una última fila como se observa en la resolución del problema. El estudiante encontrará que en las hojas de cálculo, la resolución se logra por un análisis, diferente al realizado por los medios comunes

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Paredes cilíndricas. Considerando una pared cilíndrica, condiciones similares a la pared plana del caso anterior

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(figura

1-17)

en

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Como las áreas exterior e interior son diferentes, es necesario especificar el área sobre la cual se calcula U, (el área de un cilindro varía en dirección radial). En ingeniería normalmente se emplea el coeficiente total de transferencia de calor basado en la superficie externa del cilindro, ya que el diámetro exterior puede medirse fácilmente. Basado en la superficie interior A1 se tiene

donde los subíndices de K se refieren a los radios que comprenden la capa respectiva.

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Ejemplo 13 10 pies de una tubería de acero de 2” de diámetro interior y 2,2” de diámetro exterior están cubiertos con una capa aislante de amianto de 0.5” de espesor. Por el interior de la tubería circula gas caliente (6000F) que transfiere calor con convección a la pared interna de la tubería con un coeficiente de transferencia de calor h = 50 BTU/hr ft2 0F. La superficie exterior del amianto está expuesta al aire ambiente a temperatura de 900F y un coeficiente de 3 BTU / hr ft2 0F. 

Determinar el calor cedido al aire ambiente por la tubería



La caída de temperatura a través del acero, del amianto



Establezca el coeficiente total de transferencia de calor, referido a la superficie externa De tablas K acero = 25 BTU/hr ft 0F ó 43,26 W / m OC K amianto = 0,10 BTU / hr ft 0F ó 0,173 W / m 0C



Solución: El flujo o transferencia de calor a través del tubo está dado por ∆T q = ----------------------------------- = U A ∆T Ra+ R1 + R2+ Rb Siendo Ra, resistencia del gas caliente, con ha = 50 BTU/hr ft2 0F Siendo R1, resistencia del acero, con K = 25 BTU/hr ft 0F Siendo R2, resistencia del amianto, con K = 0,10 BIU/hr ft0F Siendo Rb, resistencia del aire, con hb = 3 BTU/hr ft2 0F Siendo ∆T, caída total de temperatura (600-90)0F = 5100F Siendo ra = radio interno = 1” Siendo r1 = radio de la 1a. capa (acero) 1,1” Siendo r2 = radio de la 2a. capa (amianto) 1,6” Elaborando un sencillo diagrama tenemos

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Nuevamente se observa que la caída de temperatura, a través de la tubería metálica es ínfima - Para determinar U referido al área exterior, ésta es

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En la siguiente hoja de cálculo no se incluyen las unidades. Como se observa la presentación del ejemplo y su resolución son muy sencillas y se tiene un panorama muy completo de la situación, visualizándose todas las variables que intervienen el flujo de calor

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4.1 Espesor crítico de aislantes cilíndricos En ejemplos anteriores se ha establecido que en muchos casos la resistencia térmica que presentan las paredes de tubos metálicos o de conductos, es tan pequeña que puede ser despreciable y puede asumirse que la temperatura de las paredes del tubo es a menudo igual a la temperatura del fluido que se encuentra dentro del tubo. Las capas de aislantes presentan una resistencia térmica bastante alta, de otra parte el uso de aislantes implica obras adicionales así como sobrecostos en el montaje de tuberías y equipos en los cuales existe transferencia de calor. Estas circunstancias llevan a buscar espesores en las capas de aislantes, que permitan un menor costo ante las menores pérdidas de calor. El espesor que cumple estos requisitos se denomina Espesor Optimo. Para una capa de aislante (figura 1-21) la tasa de transferencia de calor por unidad de longitud se expresa

Esta relación de q/L en función de r, permite establecer un mínimo de q/L para r = K/h, siendo este r el radio crítico r crít = r c = K/h (1-52) Así si r1 < r crit, la tasa de pérdida de calor aumenta al acrecentar el espesor del aislante hasta que el radio sea igual al crítico y luego, si disminuye De otro lado si r1 > r crít, la tasa de calor disminuye al aumentar el espesor del aislante

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Ejemplo 14 Determinar el radio crítico para un tubo aislado en asbesto, coeficiente de transferencia de calor externo, ho, es de 1,5 BTU/hr pie2 0F

cuando

el

Solución: De las tablas, K del asbesto es 0,12 BTU/hrft0F

Ejemplo No. 15 0 Por una tubería de acero de diámetro 1" circula un fluido con temperatura de 400 F, en tanto que la temperatura ambiente es de 80 0F. La tubería se va a aislar con asbesto, cuyo K se supone sea constante e igual a 0,12 BTU / hr ft F

Elaborar una gráfica que exprese las pérdidas de calor por unidad de longitud en función del radio del aislamiento, cuando el coeficiente de transferencia de calor externo ho es de 1,5 BTU/hr ft2 0F Determine en ella el radio crítico del aislamiento Solución. De la ecuación (1-51) y teniendo T1 - To =T = 400 - 80 = 3200F K = 0,12 BTU /hr ft 0F h = 1,5 BTU/hr ft2 F r1 = 0,5” = 0,0417ft q 2 π (T1 - T0) 2 π (320 OF) 2010.62 -------- = ------------------- = ------------------------------ = -------------------------------L In (r/r1) 1 In (r / 0.5) 1 In (r / 0.5) 8 ----------+ ----------------- + ---------------------- + -----K hr 0.12 1.5r/12 0.12 r Dando valores a r, radio del aislamiento (desde r = 0,5; espesor 0”)

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Examinando la gráfica se establece que para el tubo sin aislamiento (r =0,5 y espesor cero) q/L tiene un valor de 125,66 y con radio de aislamiento hasta de 0,96; q/L es mayor, es decir las pérdidas son mayores aun teniendo la tubería descubierta y que las pérdidas son mayores para un aislamiento con radio igual al radio crítico. Antes de especificar el espesor del aislante, en tubos de pequeño diámetro es necesario establecer el radio crítico, para evitar mayores pérdidas que con la tubería desnuda. El coeficiente de transferencia de calor, se ha tomado como constante, pero este varía de acuerdo con la distribución de temperatura en el aislante que a la vez es función del espesor del mismo. Ya con conocimientos sobre transferencia por convección puede determinarse una correlación más exacta.

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Lección 5 Flujo de calor en estado no estacionario El estado estacionario se caracteriza porque no hay variaciones de parámetros correlacionados respecto al tiempo. Específicamente en la transferencia o flujo de calor, el estado estacionario implica que no hay variaciones de la temperatura con el tiempo. Sin embargo, en muchas aplicaciones de la transferencia de calor la temperatura varía con el tiempo. Este estado se denomina no estacionario, o transitorio o de condiciones inestables. Esta situación se presenta en la mayoría de procesos térmicos en alimentos sólidos, como escaldado, cocción, enfriamiento y sub-enfriamiento, etc.

5.1 Ecuación general de la energía de conducción Tomando un elemento de volumen de una sustancia homogénea (figura 1-23) que está sometido a un calentamiento, se produce un flujo de energía para el cual se aplica la primera ley de la termodinámica, llamando: Q la tasa de flujo de calor a través de un área A en la dirección positiva de una coordenada (X o Y o Z) en BTU/hr o Cal/hr o W. q’ flujo de calor en la dirección positiva de la coordenada (X o Y o Z) en BTU/hr It2 ó cal/hr cm2 ó W/m2; ∂T q’ = q/A = K -----∂n

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La tasa neta de calor, que sale del elemento de volumen en dirección X a través de la superficie en la posición (X + ∆X) es: Q (x + ∆x)

∂Qx = Qx + ---------- ∆X ∂x

(1-54)

Tasa neta de calor que entra por conducción al elemento en dirección X es (1-53) - (1-54). ∂Qx ∂Qx Ix = Qx - ( Qx + ------ ∆X ) = -- -------- ∆X (1-55) ∂x ∂x Reemplazando Qx por (1-53) ∂ q‘ x I x = - ------------ ∆X ∆Y ∆Z ∂x

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Análogamente para las direcciones Y y Z las tasas netas de calor que entran por conducción al elemento de volumen son: ∂ q‘ y - ----------- ∆X ∆Y ∆Z ∂y

y,

-

∂ q‘ z --------- ∆X ∆Y ∆Z (1-56) ∂z

Así, la tasa neta de calor por conducción que entra al elemento en todas las direcciones será: ∂q’x ∂q’y ∂q’z I = - (----------- + --------- + -----------) ∂x ∂y ∂z

∆X ∆Y ∆Z

(1-57)

El término II o tasa de energía generada se establece partiendo de una tasa q’ por unidad de tiempo y por unidad de volumen con unidades BTU/hr ft3 o cal/ min cm3 o W/m3. Debe recordarse que para una sustancia no comprensible cualquier trabajo hecho se convierte en energía térmica, luego: ll = q"∆X ∆Y ∆Z (1-58) Para la tasa de incremento de la energía interna, considerando el elemento de volumen no compresible los calores específicos a presión y volumen constantes son iguales, es decir Cp = Cv Para el elemento de volumen, el incremento de energía interna acumulada por unidad de volumen y de temperatura es el producto de la densidad y el calor específico: ∂U = ρ Cp ∆X ∆Y ∆Z∂T III = ∂U / ∂T = ρCp ∆X ∆Y ∆Z ∂T / ∂t (1-59) En donde ρ y Cp no varían con el tiempo. Reemplazando los valores I, II, III en la ecuación (1-52) y dividiendo por ∆X ∆Y ∆Z ∂q’x ∂q’y ∂q’z ∂T - ------ + -------- + --------- + q” = ρ Cp ---∂x ∂y ∂z ∂t

(1-60)

∂T dado que q’ = q/A = - K -------∂n La ecuación (1-60) se nos convierte en: ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ------- ( K ------) + -----( K -----)+----- (K ------) + q” = ρCp ------(1-61) ∂X ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t Que es la ecuación general de conducción

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En la mayoría de los problemas de ingeniería, K es constante, luego la ecuación (1-61) puede expresarse: ∂2T ∂2T ∂2T q” -1 dT - -------- + ------- + -------- + ------- = ------ ------∂x2 ∂y2 ∂z2 K α dt

(1-62)

Para manejar fácilmente las propiedades termodinámicas, Cp , K y ρ introduce una propiedad termodinámica derivada, llamada Difusividad Térmica, identificada con la letra α K α = ---------(1-63) ρ Cp

se

Esta propiedad tiene como unidades m2 /hr, ó ft2 /hr, es función de la temperatura y se encuentran sus valores para diversos materiales, en tablas de diversas fuentes bibliográficas. - Sin generación de energía (q” = 0), no hay fuentes de calor La ecuación general puede restringirse a los casos: ∂2T ∂2T ∂2T ---------+ -------- + --------∂x

2

∂y

2

∂z

1 ∂T = ------ ---------

2

α

(1-64)

∂t

Conocida como ecuación de Fourier - Estado estable con conversión de energía interna; el estado estable implica que no hay variación de temperatura ∆T = 0 y ∂2T ∂2T ∂2T q” --------- + ------- + -------- + -------- = 0 ∂x2 ∂y2 ∂z2 K

(1-65)

Denominada ecuación de Polsson - Estado estable y sin generación de energía (q’ = 0, T = 0) luego, ∂2T ∂2T ∂2T --------- + ----- + ------∂x2 ∂y2 ∂ z2

= 0

(1-66)

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Llamada Ecuación de Laplace La solución a la Ecuación de Laplace puede ser muy compleja de acuerdo a las condiciones iniciales del flujo de calor, también llamadas condiciones de frontera. Para la mayoría de los problemas de Ingeniería se presentan soluciones particulares que pueden corresponder a casos particulares del flujo inestable. Las aplicaciones de la ecuación general a casos particulares se enmarca en el flujo a través de a) flujo unidimensional, bi y tridimensional b) flujo bi y tridimensional para cuerpos finitos e infinitos A la vez se presenta el flujo para cuerpos de resistencia interna despreciable y cuerpos de resistencia interna significativa. En el flujo unidimensional, como su nombre lo indica ocurre flujo de calor en una dimensión y la ecuación general tiene soluciones de acuerdo a la forma de los cuerpos, placas planas, cilindros y esferas y en función del eje de flujo que generalmente es perpendicular en las placas plana y radial en cuerpos cilíndricos y esferas. El flujo en dos y tres dimensiones se maneja desde el punto de vista de los cuerpos finitos e infinitos. Se denominan cuerpos infinitos, aquellos sólidos cuyas formas geométricas permiten el flujo de calor a través de una dimensión, lo suficientemente grande como para considerar el flujo a través de las otras dimensiones insignificante o despreciable. En una torta rectangular muy delgada el mayor flujo es el perpendicular a sus caras en tanto que el flujo a lo ancho o a lo largo es muy pequeño; en una salchicha sometida a un cocimiento, el flujo de calor en las puntas es muy pequeño comparando con el flujo a través de su superficie cilíndrica. En una esfera el flujo siempre es radial y se puede considerar como cuerpo infinito cuerpos infinitos; un helado en tarro resulta de la intersección de un cilindro infinito y de una placa plana infinita., como se aprecia en la figura. 1-24

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En un buen número de productos, con figuras geométricas definidas, en procesos térmicos de calentamiento o enfriamiento, se presentan para un tiempo dado diferentes temperaturas en diferentes zonas, el ejemplo clásico es el de una papa sometida a un proceso de cocción, en un momento dado la superficie o cáscara se ha cocinado en tanto que el centro esta crudo. En otra sustancias ya sean por tamaño pequeño o por la misma naturaleza de la sustancia, la temperatura del cuerpo se considera homogénea; si bien, existen diferencias de temperatura entre la superficie y el centro, ellas son tan pequeñas que se puede considerar homogénea la temperatura de todo el producto. Las causas de este comportamiento están en el hecho de que el cuerpo recibe o cede calor a un sistema externo que dispone de una resistencia externa en tanto que el cuerpo tiene su propia resistencia interna. Cuando esta resistencia interna es muy pequeña respecto a la del sistema exterior la temperatura para un momento dado es homogénea. Son cuerpos de resistencia interna despreciable

5.2 Flujo unidimensional en estado inestable En la figura 1-25 se representa una lámina a través de la cual fluye calor en una dirección X

Figura 1.25 En la ecuación general de conducción (1-62), al tener flujo unidimensional en la dirección X, los términos referentes a Y y Z desaparecen y para el caso específico en el cual no hay generación interna de energía (Ecuación de Fourier), la expresión llega a ser: ∂2T 1 --------- = ------∂x2 α Equivalente a: ∂2T ∂T α ------ = ------∂x2 ∂t

∂T -----∂t

(1-67)

(1-67A)

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Lo cual significa, que la acumulación de calor en la lámina provoca un aumento en la temperatura de la misma y es función del tiempo, condición propia del estado no estacionario. En algunos problemas de condiciones no estacionarias la diferencia de temperatura con un cuerpo, puede ser muy pequeña y poca importancia tiene; sin embargo, para gran número de problemas, la temperatura promedio de un cuerpo o la temperatura en un punto dado del objeto puede variar rápidamente con el tiempo; esto puede ocurrir con objetos cuya difusividad térmica es muy grande y según la ecuación 1-67. Existen soluciones generales a las ecuaciones (1-67), (1-67A) de flujo unidimensional por conducción en estado no estacionario. Para una lámina infinita de espesor conocido para calentamiento o enfriamiento y con temperaturas constantes en las superficies, es decir que cada temperatura de la superficie, de la lámina es sensiblemente igual a la temperatura de los medios de calentamiento y enfriamiento. La ecuación general (167 A) integrada corresponde a: Ts - Tb 8 1 1 -a F° -9 aF° -----------= = ------( e + ----- e + ------ e-25 aF° +……..) Ts - Ti π2 9 25

(1-68)

Donde: Ts Ti Tb F0 α a t L

Temperatura media constante de la superficie de la lámina Temperatura inicial de la lámina Temperatura media de la lámina al instante t Número de Fourier = α t /L2 Difusividad térmica ( π/2)2 Tiempo Longitud característica

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Durante el calentamiento de un sólido la distribución de temperaturas es como aparece en la figura 1-26. Número de Fourier

F0

Llamado también módulo de Fourier es un tiempo adimensional que se define por: αt 0

F

= -----L2

(1-69)

Donde: α t L

Es la difusividad térmica Tiempo dimensional Longitud característica, para una lámina L = X/2 de un sólido

En general la longitud característica L es resultado de dividir el volumen del sólido por su área superficial. V L = -----------As

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Para un cilindro sólido de longitud infinita, radio rm (radio característico) la ecuación es

Las anteriores ecuaciones se reducen a su primer término cuando el número de Fourier es superior aproximadamente a 0,1 ya que los otros términos de la ecuación son despreciables. El tiempo t que se requiere para que la temperatura varíe de T1 obtenerse reordenando las ecuaciones (1-68), (1-70) y (1-71).

hasta Tb puede

Para una lámina de longitud infinita tT= 1 / α (L / π )2 ln 8 / π2 ( Ts - T1 / Ts -Tb)

(1-72)

Para un cilindro infinito r m2 Ts - T1 t = --------- In 0,692 ----------------5,78 α Ts - Tb

(1-73)

Para una esfera r m2 Ts- T1 t = --------- In 0,608 ----------------9,87 α Ts - Tb

(1-73)

Ejemplo No. 16 Una máquina termo moldeadora debe inicialmente calentar láminas de plástico de 2,5cm de espesor, que entran a 200C, hasta 1000C. Las planchas metálicas que calientan el plástico se encuentran a 1200C. Determinar: El tiempo requerido para calentar la lámina y La cantidad de calor que se transmite al plástico, durante este tiempo, por metro cuadrado de superficie. Las características del plástico son: Densidad Conductividad calorífica K Calor específico Cp

0,85 gr/cm3 ó 850 Kg/m3 0,112 Kcal/m hr 0C 0,40 cal/gr 0C

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Solución: Empleamos dos expresiones donde se correlacionan el tiempo t de calentamiento o enfriamiento, una es el No. de Fourier F0, que se correlaciona con las temperaturas mediante la ecuación (1-68), la otra es directamente con la ecuación (1-72), lo que implica el conocer α, o difusividad térmica y relacionada mediante ecuación (1-69) con F0. Empleando la gráfica que relaciona F0 con diferencia de temperatura, figura 1-27, tenemos:

-

Ts - Tb 120 - 100 --------- = ------------ = 0,20 Ts - T1 120 -20

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Para una lámina de espesor X con densidad ρ para una unidad de masa, el área total de una superficie (o cara) será: 1 ------Xρ La cantidad de calor transmitido (absorbido) será: Am

=

Q = m Cp ∆T y por unidad de área y unidad de masa Q Cp ∆T -------- = ---------A 1 / Xp

= XpCp∆T

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Sustituyendo valores Q/A

= 0,0250 x 850 x 0,40 x (100 -20) = 680 Kcal / m2 Resp: 16,70 minutos. 680 Kcal / m2

5.3 Flujo unidimensional. Cuerpo infinito Se recuerda que el flujo inestable unidimensional ocurre cuando la temperatura del cuerpo varía con el tiempo, a lo largo de una dimensión, en tanto que en las otras dos dimensiones el flujo es tan pequeño que se puede despreciar, igualmente las temperaturas en esas dimensiones no cambian sensiblemente. En este caso particular se dice que el cuerpo es infinito en las dos dimensiones en las cuales se mantiene la temperatura constante. EJEMPLO 17 Determinar la temperatura en el centro de un eje de acero de 8 pulgadas de diámetro y 16 pies de largo que se introduce durante 10 minutos en un molde a 600 oF. Solución: Como se conoce el material, sus dimensiones y tiempo de proceso, se puede determinar el número de Fourier mediante la Figura 20, obtener la relación adimensional de temperatura para luego encontrar la temperatura en el centro Tb. Puede suponerse temperatura inicial, Ta, la ambiente, del orden de 80 oF y tomar la del molde como Ts, 600 oF De tablas para temperatura promedio del acero (600 + 80)/2 = 340 oF, la difusividad es 0,47, con radio de 4" = 0,333 pies y tiempo t = 10/60 = 0,167 hr, el número de Fourier es: 0,47 x 0,167 Fo = ------------------- = 0,705 0,333 2 de la gráfica, la relación de temperaturas es 0.011 Ts - Tb ------------- = 0.011 =========Î Tb = Ts - 0,011(Ts -Ta) Ts – Ta Tb = 600 - 0,011 (600 - 80) = 594,3 oF empleando el primer término de la ecuación (1-73) 0,333 Ts - Ta 0,167 = --------------- ln 0.692 ----------5,78 x 0,47 Ts - Tb

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Ts - Ta -------Ts - Tb

y Tb = 593,2 oF

= 85,17

Se presenta una pequeña diferencia en virtud de la lectura de la figura Resp 593,2 oF Como se aprecia en el ejemplo, la temperatura del centro llega a ser muy cercana a la de la superficie en tan corto tiempo de proceso, ello obedece al hecho de tener el acero una conductividad térmica relativamente alta.

5.4 Cuerpos infinitos con resistencia interna despreciable. Se debe recordar que el cuerpo infinito es, desde el punto de vista de transferencia de calor, aquel para el cual el flujo en una dimensión es tan pequeño respecto al flujo en las otras dos dimensiones que se puede despreciar en esa dirección. Cuando el cuerpo es de alta conductividad térmica y está en contacto con otro de alta resistencia térmica se tiene el caso particular de cuerpos de resistencia interna despreciable. Muchos cuerpos de uso y aplicaciones en ingeniería, presentan como característica particular que su temperatura es homogénea es decir, que en cualquier instante, las temperaturas de diversos puntos del cuerpo son sensiblemente iguales. El asumir que la temperatura sea igual en todo el cuerpo puede inducir un error , pero este es menor del 5% cuando la resistencia térmica interna es la décima parte de la externa. Tomando el cuerpo sumergido es un fluido, las resistencias internas y externas, serán: Ri = x/ K A

y

Re = 1/h A

Dividiendo una por otra Ri x/K A hx ------- = ---------- = ---Re 1/h A K Donde h es el coeficiente de película del fluido K conductividad térmica del cuerpo y X longitud significativa de flujo de calor, conocida como longitud característica, L, del cuerpo, con el mismo significado que se tiene para el número de Fourier.

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La relación de resistencias, se conoce como el número de Biot, es decir hL Bi = ----(1-75) K Cuando Bi < 0,1 , se establece que el cuerpo tiene resistencia despreciable y el flujo de calor dentro del cuerpo se hace rápidamente.

interna

Para este caso, la temperatura dentro del cuerpo es sensiblemente igual en cualquier tiempo t; el cambio de energía interna, del cuerpo en un lapso de tiempo en que su temperatura varía en un dT obedece al calor que es cedido o retirado por el fluido. Se tiene

dQ = M C dT = V ρ C dT, dQ q = ---dt

= h As (Ts -T)

(1-76)

donde: M V ρ C dT h As T Ts dt

es la masa del cuerpo volumen del cuerpo densidad del cuerpo calor específico del cuerpo cambio de temperatura del cuerpo coeficiente de película del fluido área superficial del cuerpo temperatura promedio del cuerpo en el tiempo t temperatura del fluido lapso de tiempo de calentamiento o enfriamiento

Todas ellas en unidades consistentes. Igualando las expresiones V ρ C dT = h As (Ts - T) dt

(1-77)

separando variables y ordenando dT h As dt ---------- = ------------Ts - T V ρC

(1-78)

integrando la ecuación entre temperatura inicial Ta para el tiempo t = 0 y temperatura final Tb, para el tiempo t, se obtiene: Tb h As t ln ---------- = - -------------Ts - Ta VρC

(1-79)

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esta ecuación se puede reorganizar con la expresión h As t/ V r C, ó h t /L r C , que corresponde al producto de los números de Biot por Fourier. Ts - Tb h As t K L hL αt ln ---------- = - ----------- x ----- x ------ = - --------- x --------------Ts - Ta V ρC K L K L2 ó

Ts - Tb -BiFo --------- = e (1-80) Ts - Ta esta ecuación puede graficarse en función de los números de Biot y Fourier, como se muestra en la figura 1-28

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EJEMPLO 18 Bolas de acero de 4" de diámetro deben ser sometidas a un tratamiento térmico, para el efecto se introducen en un horno calentado por gases, (h = 35 BTU/hr ft oF) a 1050 oF. Determinar el tiempo requerido para lograr que las bolas alcancen una temperatura de 730 oF Solución. En términos generales los metales tienen resistencia interna despreciable, es decir su número de Biot es menor de 0,1. Cuando se conoce la relación adimensional de temperaturas y el número de Biot, para determinar el tiempo de proceso en un cuerpo rodeado por un fluido, debemos encontrar el No. de Fourier, empleando la ecuación (1-80) ó la figura 1-27 Se asume que las bolas se introducen a temperatura ambiente, aprox. 70 oF. De los datos del problema y de tablas, tenemos: Ta = 70 oF, Tb = 730 oF, Ts = 1050 oF. k = 25 BTU / hr ft oF,= 0,48 m /hr , h = 35 BTU/hr ft oF diámetro D = 4", radio r = 1" = 0.1666 ft. La relación adimensional de temperaturas es: Ts - Tb 1050 - 730 -------- = ------------------ = 0,3265 Ts - Ta 1050 - 70 La longitud característica de la esfera es: V 4/3 π r r L = ---- = -------- = ---- = 0,0555 ft S 4 π r 3 El Número de Biot hL 35 x 0,0555 Bi = ------- = ----------------- = 0,0777 K 25 Luego se puede aplicar la ecuación 1-80 y Bi Fo = 1.119,

Fo = 14,40

Despejando el tiempo t = 14,40 x 0,0555 / 0,48 = 0,09 hr Resp: t = 0,09 hr = 5,43 min. Este tiempo de calentamiento es realmente corto para el calentamiento tan grande.

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5.5 Cuerpos infinitos con resistencia interna apreciable. Para cuerpos geométricos definidos, con resistencia interna apreciable, es decir con números de Biot mayores de 0,1 se han calculado la distribución de temperaturas y el flujo de calor y los resultados se han relacionado en gráficas de fácil manejo. En estos cuerpos las temperaturas en diferentes puntos del cuerpo varían sensiblemente para un tiempo dado, de ahí que la relación adimensional de temperaturas se establezca para un punto específico del cuerpo. La ubicación del punto se referencia al punto ubicado en el centro geométrico y se establecen Números de Fourier y Biot, conocidos como modificados, para la superficie del cuerpo, es decir tomando como longitud característica el semi espesor de una lámina o el radio en el caso de un cilindro o una esfera. Para una lámina: h X/2 Bi* = ------K

α t Fo* = ---------(X/2)2

(1-81)

Para un cílindro y para una esfera: hr Bi* = ----K

α t Fo* = ----------r2

(1-82)

La relación adimensional de temperaturas se grafica en función del Número de Fourier para diferentes inversos del número de Biot como se representa en las figuras 1-29, 1-30, 1-31 El calor intercambiado en el proceso también es función de los Números de Biot y de Fourier, ya que la temperatura en el cuerpo no es homogénea. Se han graficado para la placa, el cilindro y la esfera la relación adimensional de Q /Qo en función de Fo y de Biot, siendo Q el calor intercambiado en el proceso y Qo el calor que se intercambia cuando todo el cuerpo está a la temperatura Tb

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Ejemplo 19. Se desea enfriar una naranja de 10 cms de diámetro introduciéndola en un congelador (- 8 oC., h = 8 Kcal/hr m2 oC.). Hasta que la temperatura en la corteza baje a 0 oC. Establecer el tiempo de enfriamiento y la temperatura en el centro de la fruta. Solución: Los alimentos en general tienen resistencia interna significativa, por tal razón se debe trabajar con Biot modificado para basados en la relación adimensional de temperaturas encontrar el número de Fourier modificado y así determinar el tiempo de proceso. Para la segunda parte del problema se toman los Números. de Biot y Fourier y de gráficas se encuentra la relación adimensional de temperaturas. Las propiedades de la naranja son muy similares a las del agua, K= C= ρ=

0,49 Kcal/hr m oC. 1,0 Kcal/kg oC. 1050 Kg/m3

α= D= L=

4,7 x 10-3 m 2 / hr 0,10 m ; r = 0,05 m r/3 = 0,0166 m

hL 8 x 0,01666 Bi = ----- = ------------------- = 0,272 > 0,1 K 0,49 dado que el número de Bi es mayor de 0,1 debe trabajarse con el número de Biot modificado hr 8 x 0,05 Bi* = ----- = ---------------- = 0,81 K 0,49 Relación adimensional de temperaturas, para temperatura inicial de la naranja, la ambiente, 25 oC. Ts - Tb -8-0 ------------- = ------------ = 0,242 Ts - Ta - 8 - 25 Con 1/Bi* = 1/0,81 = 1,22, de la gráfica, se obtiene Fo* = 0,54; despejando el tiempo, 0,54 x 0,05 t = ------------ = 2,95 hr 4,9 x 10 -3

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Para determinar la temperatura en el centro, r / r = 0, con valores de 1/Bi* = 1,22 y Fo = 0,58, la gráfica da un valor de 0,34 para la relación adimensional de temperaturas, Tb = Ts + 0,34 ( Ts - Ta ) Resp : t = 2,95 Hr T = 3,22 CTb = -8 + 0,34 ( -8 - 25 ) = 3,22 oC o

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Ejemplo 20 Una torta moldeada en forma de placa de 1 x 0,5 x 0,166 ft se saca de un refrigerador a 32 oF y se lleva a un horno a 250 oF (h = 24 BTU/hr ft oF.) . Establecer las temperaturas en el centro y en la superficie, al cabo de 1,5 horas de calentamiento. Se tiene como propiedades: 

Conductividad térmica, K 0,35 BTU/hr ft oF.



Densidad 64,4 lb/ft.



Calor específico, Cp 0,98 BTU/lb oF.

Solución. Dado el espesor tan pequeño se puede considerar como una placa plana infinita, con longitud característica de x/2 L= 0,1666/ 2 = 0,08333. De gráficas, (ver ejemplo 16, capitulo 2) la relación adimensional para el centro es 0,2, y para la superficie es 0,05. La temperatura en el centro Tb = 250 - 0,2( 250 - [-20]) = 196 oF La temperatura en la superficie Tb = 250 - 0.05 x 270

= 236,5 oF Resp: 196

o

F

236,5 oF

Para cuerpos finitos de geometría regular,como grandes bloques rectangulares, tambores, etc., el cuerpo se estructura en base a cuerpos infinitos, como se aprecia en la figura 1-24 y analíticamente se ha establecido que la relación adimensional de temperaturas del cuerpo finito es igual al producto de las relaciones adimensionales de los cuerpos infinitos que lo estructuran. El tratamiento de estos casos, se encuentra en la bibliografía especializada.

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CAPITULO 2 CONVECCION

Lección 6 Generalidades El estudio del fenómeno de la convección es más complejo ya que involucra el movimiento natural o forzado del fluido. Igualmente puede ocurrir transferencia de calor en forma simultánea con transferencia de masa o con cambio de estado (entre fase de vapor y fase líquida o viceversa). De ahí la importancia de un adecuado conocimiento sobre la mecánica de fluidos y el establecimiento de condiciones dadas de la conservación de momentum, masa y energía. En gran número de casos, la transferencia de calor en que intervienen líquidos o gases, ocurre por el mecanismo de convección. En la Industria de Alimentos, innumerables procesos implican la transferencia de calor de líquidos o gases a través de paredes sólidas a otros líquidos o gases en procesos como esterilización en intercambiadores de calor, destilación en torres, condensación de vapores en serpentines, calentamientos en ollas o marmitas con camisas o serpentines de vapor, etc. La transferencia de calor en los fluidos ocurre por mezcla o turbulencia, eventos que pueden ser naturales, por cambios en la densidad del fluido o forzados por aparatos como bombas, ventiladores, etc. Para este segundo caso el mecanismo de convección forzada puede estar en flujo laminar o turbulento acorde al Número de Reynolds, como se ha visto en el flujo de fluidos. En la figura 1-32 se representan los gradientes de temperatura para un flujo estacionario de calor por conducción y convección entre dos fluidos separados por una superficie sólida (la pared de un tubo, una lámina, etc.) de espesor X. Teniendo el flujo caliente a una temperatura T1, el calor fluye hasta el fluido frío que se encuentra a una temperatura T2 Cuando se tiene un flujo turbulento en una tubería en las proximidades de las paredes o superficie de la tubería, la velocidad del fluido es aproximadamente cero; existe una zona relativamente estática o quieta del fluido en contacto con la pared. Esta zona se denomina película y una considerable cantidad de la caída de temperatura entre la superficie de la tubería y el fluido ocurre en la película, como se representa en la figura 1-32

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Para facilitar el entendimiento y por consiguiente los cálculos de transferencia de calor en flujo turbulento bajo condiciones isotérmicas, se asume un flujo laminar de la película del fluido y la nueva capa límite se define para un número crítico de Reynolds. En los flujos laminares a menudo se asume que el gradiente o caída de temperatura ocurre totalmente en la película; sin embargo, por la ausencia de mezcla en el cuerpo principal del fluido esta suposición puede causar errores sustanciales. Con estas consideraciones la temperatura del fluido caliente T1 baja a T2 en la superficie exterior de la película, y pasa a T3 en la superficie interior que está en contacto con la pared. En los cálculos de transferencia de calor es conveniente usar una temperatura del fluido, cercana a la más alta, T1, y no la temperatura exterior de la película T2; puede emplearse una temperatura media entre T1 y T2, considerando que existe una mezcla total y absoluta en el fluido. Esta temperatura se representa por las líneas punteadas Tn Igual consideración puede hacerse en el fluido frío y la temperatura escogida Tm será la media entre T5 y T6. Como se mencionaba, en la película ocurre una amplia caída de temperatura y se llega a T3 en la superficie interna de la película, y es la misma temperatura de la pared sólida. En un mecanismo estrictamente de conducción la temperatura llega a T4 en la superficie exterior de la pared sólida. La caída de dicha temperatura en la pared sólida, T4-T3 se determina empleando la conductividad térmica del material y en la mayoría de los casos es una pequeña fracción de la caída total de temperatura en el sistema. En la práctica las temperaturas de las películas se determinan mediante el empleo de termocuplas muy finas y exactas en tanto que la temperatura del fluido se toma con un termómetro cuyo bulbo está cerca del centro de la corriente.

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Balances de energía La resolución de problemas de transmisión de calor, se logra con base en los balances de energía y en las velocidades de transmisión de calor. Considerando que en los equipos de intercambios de calor no existe trabajo mecánico y que las energías tanto potencial como cinética son pequeñas en comparación con lo otros tipos de energía que aparecen en las ecuaciones del balance total de energía, la ecuación del balance se puede expresar como: Q= ∆H = m (H2 - H1) (1-83) Siendo m la velocidad del flujo del fluido Kg/hr H1 = Entalpía del fluido a la entrada o entalpía inicial Kcal / Kg H2 = Entalpía del fluido a la salida o entalpía final Kcal / Kg q = Flujo de calor por unidad de tiempo Al tener un fluido caliente circulando por el interior de una tubería, en tanto que por el exterior fluye un fluido frío, como se observa en la figura 1-32, se buscan las pérdidas menores o casi nulas de calor hacia el ambiente, empleando un aislamiento adecuado. Así, para el fluido caliente puede escribirse: q1 = m1 (H1 b - H1 a)

(1-83A)

q2 = m2 ( H2 b - H2 a)

(1-83B)

y para el fluido frío: Como el fluido caliente cede calor H1 b < H1 a y el signo de q1 será negativo, siendo: m1 Kg/hrm2 H1a H1 b H2a H2b

Velocidad de flujo de masa del fluido caliente Velocidad de flujo de masa del fluido frío Kg/hr Entalpía inicial del fluido caliente Kcal / Kg Entalpía final del fluido caliente Kcal / Kg Entalpía inicial del fluido frío. Entalpia final del fluido frío

Intercambio de calor en tubos concéntricos

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Dado que el calor perdido, por el fluido caliente es ganado por el fluido frío se tiene: q1 = q2

y

m1 ( H1 b - H1 a) = m2 (H2 a - H2 b)

(1-84)

que es la ecuación del balance global de energía. Una suposición válida para líquidos es que sus calores específicos son constantes, y la ecuación (1-84) se nos convierte en: q = m1 Cp1 (T1 b - T1 a) = m2 Cp2 ( T2 a - T2 b)

(1-85)

Siendo: Cp1= Calor especifico del fluido caliente Kcal / Kg oC Cp2= Calor específico del fluido frío Kcal / Kg oC T1 = Temperatura del fluido caliente T2 = Temperatura del fluido frío Para un condensador, en el cual entra vapor saturado para ser únicamente condensado, sin enfriamiento ulterior q = mv λv = m2 Cp2 ( T2 a - T2 b) (1-86) Donde m es la velocidad másica de vapor o tasa de condensación de vapor Kg/hr. λ calor latente de vaporización del vapor Kcal / hr. Cuando se tiene enfriamiento adicional al proceso de condensación se tiene: q = mv ( λv + Cpv [Tc- Tf] ) = m2 Cp2 ( T2a - T2b) Donde: Cpv = Calor específico del condensando Kcal / Kg oC Tf = Temperatura final del condensando oC

( 1-87)

EJEMPLO No. 20 Se desea recuperar calor de un aceite de freido caliente que está a 200 oC y sale a 70oC, cuyo calor específico es de 0,75 y fluye a razón de 0,8 Kg/seg, calentando aceite frío que está a 20 oC y se espera que salga a 150 oC. Determinar la cantidad de aceite frío que se puede calentar por hora, si su calor especifico es de 0,5 Kcal / kg 0C. Solución: Aplicando la ecuación (1-85) m2 Cp2 (T2a- T2b) 0,8 x 0,75 (200-70) m = ---------------------------- = -------------------------Cp1 (T1b - T1a) 0,5 (150-20) m = 1,2 x 3.600 = 4.320 Kg/hr

= 1,2 Kg/seg

Resp: 4.320 Kg/hr

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EJEMPLO No. 21 En un proceso de cocción de vegetales se emplea una olla con camisa de vapor. Las condiciones de proceso son: Vegetales

500 Kg

Temperatura inicial, T1a 25oC y final , T2a 85oC Calor específico Cp = 0,9 cal / gr oC Vapor de agua (saturado) Tc = 92 oC = λv = 540 cal/gr Agua condensada Temperatura final, Tf = 50 oC Cp = 1 cal/gr oC Determinar la cantidad de vapor gastado. SOLUCION: Aplicando la ecuación (1-87) m2 Cp2 (T1a- T2a) mv = -------------------------λv + Cpv (Tc - Tf)

500 x 0,9 (85 - 25) = -------------------------------540 +1(92-50)

= 46,39 Kg

Resp: 46,39 Kg/hr EJEMPLO No. 22 Establezca la temperatura máxima a que se pueden enfriar 1.000 kilos de agua a, 90oC, empleando 1.000 kilos de amoníaco que entra a ~40 oC; sale a 15 oC, siendo su calor específico Cp de 0,520. SOLUCION: El calor absorbido por el amoníaco es: q = mCp ∆T = 1.000 x 0,520 [15 - (-40)] = 28.600 Kcal Para el agua la caida de temperatura es: q 28.600 ∆T = ------------- = -------------- = 28,6 mCp 1.000 x 1 T2 = T1 - ∆T =90 - 28, 6 = 61,40C Resp: 61,4 0C Para una adecuada comprensión del tema, inicialmente se estudiará la convección dentro de un sistema térmico en el cual no hay cambio de fase ni movimientos causados por artificios o mecanismos, es decir se estudiará primero la llamada Convección Natural ó Libre, luego la Convección Forzada y terminar la temática con el fenómeno involucrado al cambio de fase.

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Lección 7 Convección libre El mecanismo de convección libre obedece fundamentalmente a la mezcla natural de porciones frías y calientes del fluido, existiendo un movimiento del fluido sea en un espacio abierto o en un recipiente o espacios delimitados como el interior de una tubería, tanques, etc. Cuando el movimiento obedece a fuerzas corporales generadas por el cambio en la densidad del fluido, consecuencia a la vez de los cambios de temperatura, se tiene la convección natural o libre. En muchas aplicaciones de Ingeniería se presenta la transferencia de calor por convección natural, como en los radiadores, transformadores, líneas de transmisión eléctrica, cocción de alimentos, etc.

Un caso particular de convección considerada como natural es el del fluido que se encuentra estático respecto a la tierra y un sólido a diferente temperatura se mueve a través de él, creándose movimientos en el fluido por desplazamiento del sólido, como un avión que se desplaza en el aire. Si bien la densidad es la propiedad que más influye en el movimiento del fluido que cambia su temperatura, otras propiedades del fluido y elementos colaterales a él, también juegan papel importante. Para el análisis del fenómeno de conducción se toma un elemento de volumen de un fluido frío que está en contacto con un sólido a más alta temperatura. Inicialmente el calor fluye del sólido al elemento de volumen debido al íntimo contacto entre los dos, teniendo lugar flujo de calor por conducción, que es función de la

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conductividad térmica tanto del sólido como del fluido El calor que llega al fluido causa una dilatación o expansión volumétrica, que es a la vez función de la temperatura del fluido 1 dV β = ---- --V dT p

(1-88)

expansión volumétrica causa un movimiento lateral y hacia arriba de los elementos de volumen adyacentes al escogido para el estudio. La expansión volumétrica puede expresarse en función de la densidad, dado que el peso del elemento de volumen es constante,

1 dρ β = - --- ------ρ dT p

(1-89)

Consecuencialmente se tiene un cambio en la densidad. En las condiciones establecidas, al incrementar el volumen la densidad disminuye y acorde al principio de flotación el elemento tiende a subir, causando el movimiento del fluido por la misma ascensión del elemento y el desplazamiento de los adyacentes. Es natural que a mayor gradiente de temperatura mayor desplazamiento se tiene y en consecuencia mayor flujo de calor. Así, se crean fuerzas ascensionales o fuerzas de empuje, que son función de la expansión volumétrica, densidad, y diferencia de temperatura. El incremento de temperatura es función del calor específico del fluido. Para el elemento de volumen: dQ = C dT Al movimiento se oponen la viscosidad del fluido y la gravedad terrestre. El flujo de calor es función entonces de: q = f (K, ρ, β, C, ∆ T, µ, g, A) Relación que se formula, mediante análisis dimensional en la ecuación q = h A ∆T (1-90) donde h es el llamado coeficiente de película o coeficiente de transferencia de calor por convección y es función de las propiedades del fluido y del gradiente de temperatura. Las unidades del coeficiente, deducidas de la ecuación son: BTU --------

Kcal , ------------- , hr m2 0C

W ----------- hr ft2 0 F m2 0 C

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La ecuación (1-90) recibe el nombre de Ley de Enfriamiento de Newton. La determinación del Coeficiente de Película h, es experimental ya que no se tiene una correlación directa entre las propiedades del fluido las cuales varían muy diferentemente en función del cambio de temperatura. La configuración del sólido en contacto también influye en su valorización. Algunos investigadores han desarrollado ecuaciones basados en los comportamientos de los fluidos en sus capas limites hidrodinámicas empleando analogías, sin embargo los resultados no son satisfactorios. Como se planteó anteriormente, el fluido presenta una capa o película donde se efectúa la transferencia de calor por conducción y es en esta película donde se tiene el mayor porcentaje de caída o diferencia de temperatura, como se aprecia en la figura 1-31. El fenómeno es análogo al gradiente de velocidad que se presenta en la capa limite hidrodinámica en el movimiento de los fluidos. El análisis experimental y el análisis dimensional han permitido encontrar las relaciones adecuadas para obtener el Coeficiente de Película. (Ver lectura complementaria) En la figura se aprecia la variación de temperatura para un fluido que se calienta como, para uno que se enfría teniendo: Tw, Temperatura de la pared en contacto con el fluido Tn, Temperatura media del fluido Tf, Temperatura de la película de fluido Ta, Tb Temperatura máxima o mínima del fluido. Cuando fluye calor de una pared sólida a una corriente de fluido, el primer fenómeno es de transferencia por conducción a través de una subcapa laminar del fluido que está en íntimo contacto la pared. La transferencia de calor depende del espesor de la subcapa y de la conductividad térmica del fluido, a la vez el espesor de la subcapa depende de las variables que constituyen el No. de Reynolds. El flujo de calor de la subcapa al grueso del fluido se hace por remolinos que están presentes en una capa de transición. La capacidad de un remolino de determinado tamaño para transportar calor desde la subcapa es proporcional a la capacidad calorífica del fluido; a la vez la magnitud y distribución de los remolinos es función también del No. de Reynolds. Se ha establecido que en el proceso de enfriamiento de un fluido se presenta una temperatura de película, diferente a cuando se calienta en los mismos limites de temperatura con idéntica configuración del sólido. Ello obedece a que las capas limites térmicas son diferentes, ya que dependen de la viscosidad del fluido, y a la vez el comportamiento de la viscosidad en un fluido es diferente cuando se calienta a cuando se enfría dentro de los mismos valores de temperatura Cuando un líquido se enfría, se parte de una temperatura alta, se tiene una viscosidad más baja y se tendrá mayor fluidez. Cuando se calienta, se parte de una temperatura baja, con viscosidad más alta y menor fluidez.

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La capa limite térmica tiene un espesor (σT ) definido por las propiedades del fluido y está relacionado con el espesor (σ) de la capa limite hidrodinámica. Matemáticamente se ha encontrado una relación entre las capas límites. Considerando una placa plana sobre la cual hay un fluido en movimiento, figura 1-35

Figura 1-35

siendo v la velocidad del fluido Recuérdese que la capa límite es la zona que está delimitada por la pared y un punto en donde la velocidad del fluido es igual al 99% del gradiente entre la velocidad media del fluido y la pared. La capa límite térmica, por analogía es aquella delimitada por la pared y un punto en donde se tiene un gradiente de temperatura, respecto a la pared, igual al 99% del gradiente entre la temperatura media del fluido y la de la pared. Por lo tanto la temperatura de película es la más representativa del proceso de transferencia de calor y es así como la mayoría de los investigadores emplean dicha temperatura para evaluar las propiedades del fluido en su aplicación a formulismos para cálculos del coeficiente de película.

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7.1 Gradientes de temperatura Se mencionó que en iguales condiciones de flujo los fenómenos de calentamiento, enfriamiento, llevan a establecer valores diferentes en los coeficientes de película y ello obedece a que el gradiente o caída de temperatura desde la pared al centro de la corriente del fluido es diferente para cada fenómeno como se aprecia en la figura 1-36, la curva abc muestra un enfriamiento en tanto que a’bc’ un calentamiento, tomando como temperatura promedio del fluido el valor de ∆T; para los dos casos, las propiedades Cp, µ y K serán iguales. Observando, la figura 1-36 se encuentra que la temperatura promedio de la película laminar es mayor que t para el caso del calentamiento y menor que t cuando el líquido se está enfriando, a la vez si el fluido es un líquido, la viscosidad es menor para la película laminar en el calentamiento que aquella para el enfriamiento y puede expresar que el espesor de la película laminar durante el calentamiento sea menor que en el enfriamiento. Esto conlleva a que el valor de h es mayor en el proceso de calentamiento que el de enfriamiento. Para gases la viscosidad es menor en el enfriamiento, la película y el coeficiente serán mayores en el enfriamiento. Para determinar la viscosidad en la pared de una tubería, µW , debe establecerse el valor de Tw. La determinación de Tw exige cálculos por ensayo y error obteniéndose las siguientes expresiones: Para llegar en el calentamiento Tw = t + ∆Ti (1-93) Para el enfriamiento Tw = t - ∆Ti (1-94) donde t es la temperatura promedio del fluido y la ∆T caída de temperatura del fluido que circula por el interior de la tubería y se determina mediante la expresión

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Esta ecuación requiere determinar previamente los coeficientes h1 y h2. Estos coeficientes se calculan mediante formulismos, dependiendo del equipo en el cual ocurre la transferencia de calor y que serán estudiados más adelante; por ejemplo Para simples tuberías cilíndricas. h2 = 0,35 + 0,56 ( D2G / µ)0.52

(1-96)

Siendo D2 el diámetro exterior de la tubería G el flujo másico µ Viscosidad del fluido Cuando dos fluidos circulan interior y exteriormente en una tubería pueden hacerlo en dos formas, una en paralelo en la cual, los fluidos circulan en la misma dirección y otra en contracorriente en la cual los fluidos circulan en sentido contrario, figura 1-36 Durante un proceso de intercambio de calor entre un fluido caliente y un fluido frío en tuberías la variación de temperaturas respecto a la longitud de la tubería ocurre como se representa en la figura 1-37, acorde al tipo de flujo que tiene lugar, es decir, si es en contracorriente o es en paralelo. Refiriéndose a la figura 1-38 la caída de temperatura ∆T1 es mucho mayor en la izquierda que en la derecha, ∆T2, por lo tanto es más rápida la transferencia de calor en el lado izquierdo que en el lado derecho y la ecuación general de transferencia de calor:

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q = UA ∆T Solamente puede aplicarse, cuando la superficie de calentamiento o enfriamiento se divide en un gran número de segmentos. dq = Ud A ∆T (1-97) La resolución de esta ecuación implica que el coeficiente total, U, debe ser constante, al igual que los calores específicos de los fluidos y que las pérdidas de calor al interior del sistema sean despreciables y que el flujo de calor sea estacionario. Debe tenerse en cuenta que el coeficiente total, U, no es una constante, sino función de la temperatura, pero el cambio de temperatura es gradual como se aprecia en la figura y en pequeños gradientes de la misma, el suponer que U es constante no induce a errores apreciables. Cuando los calores específicos de los fluidos son constantes, el flujo de calor es estacionario, las temperaturas varían respecto al flujo de calor, q , linealmente, de tal forma que la representación gráfica de T contra q da rectas (figura 1-38). En la parte superior están representadas las temperaturas de los fluidos en relación a q y en la parte superior la diferencia o gradiente de temperatura con respecto a q. Tomando a qT como el flujo total de calor en toda la superficie de la tubería, puede expresarse

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Expresión muy similar a la que define el radio medio logarítmico, ecuación 1- 36 Cuando los ∆T son aproximadamente iguales puede emplearse la diferencia medio aritmética de temperatura, sin que se cause un error apreciable. Se ha integrado la ecuación 1-99 en la suposición de que el coeficiente total de transferencia esconstante. Cuando el coeficiente U varía considerablemente de un extremo a otro en la tubería, puede suponerse que U varía linealmente con la caída de la temperatura a lo largo de la superficie y U1 ∆T2 - U2 ∆T1 qt = A -------------------------------ln ( U∆T2 / U∆T1 )

(103)

Siendo U1 y U2 los coeficientes totales de transferencia de calor para los extremos de la tubería, y ∆T1 y ∆T2, las caídas de temperaturas entre los fluidos para los extremos de las temperaturas. El caso de la tubería representada en la figura 1-36 y cuyas variaciones de temperaturas de los fluidos que circulan interior y exteriormente en ella se representan en la figura 1-37 constituye el ejemplo más sencillo de intercambiador decalor yen él pueden efectuarse procesos de calentamiento, enfriamiento, evaporación y condensación. EJEMPLO No. 23 En el diseño de un intercambiador de calor para enfriar en contracorriente de 86 a 0 560C un líquido caliente mediante un líquido frío que se caliente de 46 a 51 C, se tienen valores de coeficiente totales de transferencia de calor U1 y U2 de 300 y 150 Kcal/hr0C respectivamente. Determinar el flujo de calor por unidad de área, empleando:

  

La diferencia de temperatura, media aritmética El coeficiente total promedio La ecuación correspondiente.

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Solución: Se pide encontrar q/A teniendo ∆T1 ∆T2 U1 U2

= 86 - 46 = 400C = 56 - 51 = 5 oC = 300 Kcal/m2 hr0C = 150 Kcal/m2hr0C

La diferencia de temperatura media aritmética es ∆Tm

∆T1 + ∆T2 = ------------2

40+5 = -------------- = 22,5 2

q = UA ∆T Como se ha especificado el valor de U que se va a emplear tomando el valor promedio de U = (300 + 150)/2 = 225 Kcal / m2hr0C, se tiene: q/A = 225 x 22,5 = 5063 Kcal / m2hr Se aplica la ecuación q/A = U ∆TL siendo U = 225 Kcal / m2hroC Como ∆T2 - ∆T1 ∆TL = ---------------------ln ∆T2 / ∆T1 40 - 5 35 ∆TL = --------------- = ------------ = 16,83 oC ln (40 / 5 ) 2,079 Luego q/A = 225 x 16,83 = 3787 kcal / m2hr - Aplicando la ecuación (1-103) (300 x 5 ) - (150 x 40) - 4500 q / A = ------------------------------------ = -----------/ (150 x 40)) - 1,38

= 3.246 kcal / m2hr ln ((300 x 5)

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Es muy notoria la diferencia y ello obedece a que los Coeficientes son muy diferentes como para usar el promedio aritmético. Resp: 3.246 kcal / m2hr EJEMPLO No. 24 En un frigorífico, se enfría agua de 1000F a 400F empleando un intercambiador de calor de doble tubo con salmuera que entra a 100F y sale a 300F. El coeficiente total de transferencia de calor es de 160 BTU/hr ft2 0F Determinar la área requeridas cuando se tiene un enfriamiento de 30 lbs/minuto:  

Con flujo en paralelo. Con flujo en contracorriente.

Solución: Se pide encontrar A teniendo U = 160 BTU/hr ft2 oF m = 30 lbs/minuto = 1800 lb/hr Para flujo paralelo (ver figura 1-39) Agua

T1a = 1000F , T2a = 400F ∆Ta = 60 0F

Salmuera

T1a = 100F , T2a = 300F ∆Ts = 20 0F ∆T1 = 900F, ∆T2 = 100F

El calor que debe retirarse del agua es: q = m Cp∆Ta Tomando Cp = 1 BIU/lb 0F q = 1.800 lb/hr x 1 BTU/lb0F x 600F = 108.000 BTU/hr

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Se requiere menos área para el flujo en contracorriente y sería de esperar que todos los arreglos para los intercambiadores de doble tubo fueran hechos en esta forma. Sin embargo en algunas circunstancias las eficiencias térmicas pueden ser mejores en los arreglos en paralelo.

7.2 Relaciones adimensionales en convección Para facilitar el manejo experimental y análisis dimensional en el planteamiento de ecuaciones que determinen el Coeficiente de Película, se han introducido números adimensionales que relacionan propiedades del fluido y establecen igualmente relaciones entre fenómenos físicos inherentes a los fenómenos de transporte de calor. Los grupos adimensionales, números, más importantes empleados en la convección son: hL Nusselt Nu = ------- (1-104) K Cp µ Prandlt Pr = ----------K

(1-105)

g β ρ2 L3 T Grashof Gr = --------------------µ2

(1-106)

Lvρ Reynolds Re = ---------µ

(1-107)

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Donde: h

Coeficiente de película

L

Longitud de contacto del fluido y el sólido o diámetro para tubería horizontal

k

Conductividad térmica

Cp

Calor específico

µ

Viscosidad

g

Gravedad

β

Coeficiente de expansión volumétrica

∆T

Gradiente de temperatura entre el fluido y el sólido

ρ

Densidad

v

Velocidad del fluido

x

Distancia, a la cual se evalúa el Número.

El número de Nusselt establece la relación de la resistencia por conducción a la resistencia por convección en el fluido. Aunque es muy similar su fórmula a la del número de Biot, en este caso las dos resistencias están referidas al fluido en tanto que en el número de Biot, una resistencia, la interna es del sólido y la otra, la externa es del fluido que rodea el sólido

El número de Prandlt relaciona la capa límite térmica σt y la hidrodinámica σ del fluido σ Pr = ----σt

(1-108)

cuando Pr < 1 la capa limite térmica es mayor que la hidrodinámica, para Pr >1 la capa limite térmica es menor y para Pr = 1 las dos capas son iguales El número de Grashof, empleado en convección natural, relaciona las fuerzas que causan el movimiento del fluido, fuerzas ascensionales con las fuerzas que se oponen al movimiento o fuerzas viscosas y tiene el mismo sentido físico del número de Reynolds en convección forzada.

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Valores de No. de Prandlt para diferentes fluidos.

en función de la temperatura se encuentran en tablas,

Igualmente en tablas se encuentra la llamada base del número de Grashof, Grb, en función de la temperatura para los fluidos más usuales en Ingeniería.

Grb

β ρ2 g =----------µ

(1-109)

Para determinar Gr, se toma la base y se multiplica por el diferencial de temperatura entre el fluido y el sólido y por el cubo de la longitud de contacto de los mismos. En la convección natural el movimiento del fluido obedece a fuerzas generadas por los cambios en las propiedades del mismo. Generalmente los movimientos son lentos y más cuando se presentan grandes masas. Cuando los gradientes de temperatura entre el sólido y el fluido son altos se presentan rápidos movimientos, con formación de remolinos y turbulencia, ello lleva a que la Convección Natural se presente en los regímenes laminar y turbulento, con una zona de transición entre los dos. Siendo el Número de Grashof el que relaciona la fuerza ascensional respecto a la fuerza viscosa, sus valores numéricos permiten establecer las regiones de régimen laminar y turbulento. Se tiene para Números de Grashof: Gr < 108 8

Régimen laminar 10

10 < Gr < 10 Gr > 1010

Régimen de Transición Régimen Turbulento

EJEMPLO 25. En un tanque de 2 m de diámetro por 4 m de altura se almacena agua a 68 0C con temperatura de pared de 64 0C. y temperatura de fondo de 66 oC Determinar los regímenes de convección del agua para el fondo y paredes del tanque.

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Solución. Para determinar el número de Grashof del agua, de tablas se obtiene el valor de base del número a 66 0C (150 0F) Grb= 440 x 106 1/oF ft y: Para paredes

∆T = 68 - 64 = 40C, y convirtiendo a unidades en sistema inglés: Gr = 440 x 106 x (4 x 1,8) x (4 x 3,28)

Para fondo

Gr = 7,154 x 1012 régimen turbulento 0 ∆T = 68 - 66 = 2 C Gr = 440 x 106 x (2 x 1,8) x (2 x 3,28) Gr = 4,471 x 1011

régimen transición Resp: Régimen turbulento Régimen de transición

Algunos autores emplean el Número de Reynolds localizado como parámetro para definir el régimen. Otros autores emplean la relación GrPr, ya que esta expresión aparece muy a menudo en los formulismos para la determinación del coeficiente de película. Se ha generalizado para la convección natural los formulismos: Nu = a Grb Prc

(1-110)

y para la convección forzada: Nu = d Ree Prf

(1-111)

Tanto los coeficientes como los exponentes se determinan experimentalmente. En la bibliografía se encuentran numerosísimas expresiones para un sin número de casos de flujo de calor para convección tanto natural como forzada.

Lección 8 Determinación del coeficiente de película, en convección natural Como ya se mencionó, el coeficiente de película se determina experimentalmente en función de los números adimensionales, teniendo por lo tanto que acudir a las fuentes bibliográficas para establecer los formulismos adecuados a aplicar en una situación específica. Para seleccionar el formulismo se debe tener presente los puntos siguientes: 1.- Clase de Convección, Natural o Forzada 2.- Forma geométrica del sólido 3.- Disposición espacial del sólido 4.- Régimen del flujo, Laminar o Turbulento 5.- Temperatura para evaluación de propiedades del fluido 6.- Restricciones o campo de aplicación del formulismo

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A continuación se presentará un caso entre los más usuales en el campo de la Ingeniería. Convección natural en placas El coeficiente de transferencia de calor , por convección libre o natural en placas planas depende de la posición de la placa y de la orientación de la superficie de transferencia. Generalmente se emplea la llamada temperatura ficticia o promedio del fluido y el sólido en contacto, para evaluar las propiedades del fluido aplicables en los formulismos. Placas Horizontales McAdams, correlacionó el Número de Nusselt promedio para una superficie plana horizontal, de longitud característica L, en función de los Números de Grashof y Prandlt Nu = c (Gr.Pr)n (1-112 ) donde c y n, constantes se presentan en la tabla 1. La longitud característica, L, tiene como valores: Para un lámina cuadrada, L = lado del cuadrado. Para una rectangular, L = (a+b)/2, a y b lados del rectángulo. Para un disco, L = 0.9 Diámetro del disco. EJEMPLO 26 Para una placa de 1 x 1 m que tiene una cara aislada y la otra se mantiene a una temperatura uniforme de 66 oC, colocada horizontalmente, calcular el coeficiente de película entre la superficie caliente y el aire que se encuentra a 10 0C., a) cuando la superficie está dirigida hacia arriba y b) cuando está dirigida hacia abajo. TABLA 1 Constantes c y n de la ecuación 1 - 112 Flujo

Orientación

Rango Gr.Pr

c

n

Sup. Superior Cal Laminar

ó

105 hasta 2 x 107 0,54

1/4

2 x 107 hasta 3 x 1010 0,14

1/3

3 x 105 hasta 3 x 1010

0,27

Sup. inferior fría

Sup. superior cal. Turbulento Sup. inferior fría

ó

Sup. inferior cal. Laminar

o

Sup. superior fría Fuente: McAdams W.- Heat Transmission. Mc Graw Hill Book Company.1990

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1/4

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Solución. Se aplica la ecuación 1- 112, con valores de c y n acorde a la tabla 1. Para el aire, sus propiedades deben ser evaluadas a temperatura promedio o temperatura ficticia de (66+10)/2 = 38o C. = 100,8 oF. de tablas a esta temperatura se encuentran los valores siguientes:   

Número de Prandlt = 0,72 Conductividad Térmica K = 0,0169 BTU / hr ftoF 6 Base del número de Grashof =1,76 x 10

y con las variables: L en pies, 1 x 3,28 = 3,28 ∆T = ( 66 - 10) x 1,8 = 100.8 0F. Gr = 1,76 x 106 x 100.8 x 3,283 = 6,26 x 109 El número de Grashof indica que el régimen es turbulento; a la vez Gr.Pr = 0,72 x 6,26 x 109 = 4,5 x 109 de la tabla 1, para la superficie dirigida hacia arriba: Nu = 0,14 (4.5 x 109)1/3 = 231,13 y

K 0,0169 h = Nu --- = 231 x ------------ = 1,19 BTU/ hr ft2 0F L Para la superficie dirigida hacia abajo,

3,28

Nu = 0,27 (4,5 x 109)1/4 = 445,43 ,0169 h = 445,43 ----------- = 2,30 BTU/hr ft2 0F 3,28 Resp h = 1,19 h = 2.30

BTU/hr ft2 BTU/hr ft2

Mac Adams igualmente desarrollo fórmulas simplificadas para el aire en rangos de temperaturas moderadas y presión ambiente. Para una placa plana estableció: Superficie caliente hacia arriba: Régimen turbulento

h = 0,22 ∆ T1/3

Régimen laminar

h = 0,27 ( ∆T/L)1/4

(1-113) (1-114)

Superficie fría hacia arriba: Régimen laminar h = 0,12 ( ∆T/L)1/4 (1-115) Con el gradiente de temperatura en grados Farenheit, el Coeficiente da en unidades inglesas, BTU/hr ft2 oF. Con los valores del ejemplo anterior: ∆T = (66 -10) x 1,8 = 100,8 h = 0,22 (100,8) = 1,16 Btu/hr ft2 0F. Valor sensiblemente igual al del ejemplo 26. 1/3

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EJEMPLO 27 Una placa plana expuesta horizontalmente al sol absorbe 100 BTU/hr ft2 Estando el aire a 70o, determinar la temperatura de equilibrio de la placa. Solución: La placa llega al equilibrio térmico cuando la cantidad de calor que absorbe es igual a la cantidad de calor que cede a sus alrededores. Dado que no se conoce ni la temperatura de equilibrio de la placa, ni el coeficiente de película, el problema se resuelve por ensayo y error. Para calcular el Coeficiente de Película puede emplearse una fórmula simplificada, suponiendo la temperatura de equilibrio o determinar un gradiente de temperatura basados en las ecuaciones de flujo de calor por convección y del coeficiente de película del aire con una forma simplificada Para tener idea del valor de h a suponer, se puede aplicar la ecuación 1-113, estableciendo: q = h A ∆t = 0,22 ∆ T1/3 A ∆ T = 0,22 ∆ T 0.33 A ∆ T1 = 0,22 ∆ T 1.33 A tomando 1 ft2 de área, ∆T = (q/0,22)1/1,33 ∆T = (100/0,22)1/1,33 = 98,550 F Aplicando la fórmula simplificada 1-113, h = 1,02 Btu/hr ft2 Como T del aire es 70

0

F, se puede suponer 70 + 100, la de la placa, es decir 1700 F.

Para corroborar el supuesto, se calcula el coeficiente con la ecuación 1-112 y propiedades del aire evaluadas a (100 + 70)/2 = 850 F, tomando una longitud de la lámina de 1 Ft ∆T = 170 - 70 = 100 Número de Prandlt = 0,72 Conductividad Térmica K = 0,0147 BTU/hr ft0 F Base del número de Grashof = 2,46x106 L en pies, = 1 Gr = 2,46 x 106 x 13 x 100 = 2,46 x 108 GrPr = 2,46 x 108 x 0,72 = 1,77 x 108, Luego Nu = 0,14 GrPr1/3 = 0,14 (1,77 x 108) 1/3 = 78,60 h = Nu K / L = 78,60 x 0,0147 / 1 = 1,15 BTU/ hr ft2 0 F El flujo de calor es: q = 1,15 x 1 x 100 = 115 > 100 BTU/hr El gradiente de temperatura debe ser menor e igualmente el coeficiente de película,

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tomando T = 900F, Gr = 2,214 x 108 , GrPr = 1,5941 x 108 Nu = 0,14 (1,5941 x 108)1/3 = 75,90 h = 75,90 x 0,0147/1 = 1.11 BTU/hr ft2 0F q = 1,11 x 1 x 90 = 100.42 BTU/hr, Valor consistente Con el gradiente de 900F, la temperatura de equilibrio es de 70 + 90 = 1600F Puede apreciarse que el coeficiente calculado por la fórmula condensada es sensiblemente igual al calculado por la ecuación 1-113 Resp T = 1600F Kern recomienda la ecuación simplificada h = 0,38∆T0,25

(1-116)

Empleando esta ecuación para el ejemplo anterior h = 0,38 x 900.25 = 1,17 BTU/hr ft2 0F, dando una diferencia del 5,1% Para otros caso especiales de convección natural ver anexo, memorias y hojas de cálculo En placas inclinadas. Para placas inclinadas, se emplea cualquiera de las fórmulas de placa horizontal, según sea el caso, con el Número de Grashoff multiplicado por el Seno del ángulo que forma la placa inclinada con la horizontal. En placas inclinadas se afecta el número de Grashof ya que tanto la fuerza viscosa como la de gravedad actúan sobre un plano inclinado. La ecuación para Nu. 1/4 Pr 2 Nu = 0,50 (-------------------) (Grp Pr)1/4 0,952 + Pr

g β ρ2 ∆T L3 Sen α Siendo Grp = -----------------------------µ2

(1-117)

=

Grb ∆T L3 Sen α

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EJEMPLO 28 Un talud plano de 6 x 6 ft a 1350F forma un ángulo de 320 con la horizontal. Calcular el flujo de calor para aire a 800F Solución. La temperatura promedio es de (135 + 80)/2 = 107,5, a esta temperatura, de tablas, para el aire K = 0,0135 BTU/hr ft 0F, Pr = 0,72 y Grb es 1,75 x 10 4/0F ft2, ∆T = 135 - 80 = 550F L = 6 ft, Luego Grp = 1,75 x 104 x Sen 320 x 63 x 55 = 1,10 x 108 A la vez Grp x Pr = 1,10 x 108 x 0,72 = 0,792 x 108 1/4 0,722 Nu = 0,50 ( ---------------- ) 0,952 + 0,72

(0,792 x 108)1/4 = 35,19

h = Nu(K/L) = 35,19 x 0,0154/6 = 0,089 BTU/ hr ft2 0F q = 0,089 x 36 x 55 = 176,22 BTU/hr

RESP: 176,22 BTU/hr

En placas verticales

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EJEMPLO 29 Las paredes de un cuarto (18 x 16 x 12 ft) se encuentran a 800F, en tanto que el aire esta a 400F. Determinar el flujo de calor de las paredes al aire. Solución. Para el cuarto se tienen 4 paredes verticales, una placa horizontal mirando hacia arriba y una horizontal mirando hacia abajo, todas mayores de 2 ft. ∆T = 80 - 40 = 400F Para las paredes verticales: hv = 0,3 ∆T0,25 = 0,3 x 400.25 = 0,75 BTU/hr ft2 0F Para el techo: ht = 0,2 ∆T0.25 = 0,2 x 400,25 = 0,50 BTU/hr ft2 0F Para el piso: hp = 0,38 ∆T0,25 = 0,38 x 400,25 = 0,96 BTU/hr ft2 0F El flujo será la suma de los flujos en paredes piso y techo, teniendo como factor común el gradiente de temperatura: q = hv x Av ∆T + ht x At x ∆T + hp x Ap x ∆T Observando que hay dos paredes iguales de 18 x 12 ft y otra dos iguales de 16 x 12, se tiene: q = [0,75 x 2 (18x12) + 0,75 x 2 (16x12) + 0,5 x 18 x 16 + 0,96 x 18 x 16] 40 q = 41.299,2 BTU/hr. RESP: q = 41.229 BTU/h Para cuartos de regulares dimensiones moderadas se puede emplear la ecuación

y

h = 0,3 ∆T0.25 Para el ejemplo anterior h = 0,3 x 400,25 = 0,75 y con área total de 1.392 ft2 se aplica q = 0,75 x 1392 x 40 = 41.760 BTU/hr

en

rangos

de

temperaturas

(1-123)

q = h A ∆T

la diferencia con el procedimiento anterior es del 1,1% EJEMPLO 30 La ventana de una habitación tiene 2 x 1 m. La temperatura interior es de 250C en tanto que la exterior es de -15,50C. El vidrio tiene un espesor de 5 mm. Determinar el flujo de calor a través de la ventana haciendo el estudio térmico correspondiente

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Solución. Como actividad de Aprendizaje trace el comportamiento de temperatura y el circuito térmico ya que se constituyen en ayuda para resolver el problema. Para el problema se presenta la siguiente hoja de trabajo, con unidades en sistema inglés.

Área 2 x 1 x 10,76 = 21,52 ft2 Temperatura interior =25 x 1,8 + 32 = 77 0 F Temperatura exterior = -15,5 x 1,8 + 32 = 4 0 F Para completar la hoja de trabajo se tiene: Conductividad térmica del vidrio, de tablas 0,45 BTU/hr ft 0F Como la conductividad y los coeficientes de película con fórmulas están expresados en unidades inglesas el problema se trabajará con estas unidades y luego se convertirán al SI. Para aire a temperaturas moderadas se emplearán fórmulas condensadas para determinar los coeficientes de película. Estas son en función de ∆T entre el vidrio y el aire, valores que no se conocen, luego se trabaja por ensayo y error. El proceso es en estado estable, y los ensayos se fundamentan en: ∆T ∆T2 q = ------ = h1A ∆T1 = h2 A ∆T3 = K A -----R x Siendo h1 el coeficiente de película del aire interior h2 el coeficiente de película del aire exterior Para paredes verticales h = 0,3∆T0,25 q = h1A∆T = 0,3 A ∆T0,25 ∆T = 0,3 A ∆T1,25 = K A (∆T3/ x) 0,3∆T1,25 = K (∆T3 / x), Dado que el vidrio es muy delgado (5mm = 0,01640 ft) puede suponerse una caída de temperatura en él muy baja.

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Recordando que la caída total de temperatura es ∆T = ∆T1 + ∆T2 + ∆T3 , y para el presente caso ∆T = 77 - 4 = 73 0 F, Tomando como 3 0F la caída de temperatura en el vidrio, la caída de temperatura en cada película de aire puede suponerse igual es decir ∆T1 =∆T3 De las anteriores relaciones ∆T1 + 3 + ∆T3 = 73 0 F = 2 x ∆T1 ==Î ∆T1 =70 / 2 = 35 y siendo el área la misma se tiene para el vidrio y el aire, 3 x 351,25 = 0,45 x 3/ 0,01640 25,54 =/ 82,31 efectuando otros ensayos se llega a ∆T3 = 1 y ∆T2 = 36 0,3 x 361,25 = 0,45 x 1/ 0,01640

26,45 Ù 27,43

La aproximación puede considerarse suficiente. La hoja de trabajo permite trabajar muy fácilmente el ensayo y error. Para ello se debe introducir un formulismo que nos permita establecer la comprobación del valor supuesto. En la hoja se obtiene un flujo de calor partiendo del formulismo q = ∆Τ / R. Como se está tratando de calcular los coeficientes de película, interior y exterior, se emplea el formulismo para el coeficiente de película, h = 0,3 ∆T0.25 y en base al valor obtenido se determina el flujo de calor por la ecuación q = h1A∆T. En la siguiente hoja de cálculo se muestra el primer ensayo colocando la caída en el vidrio de 3 0F apreciándose los resultados tan diferentes en los flujos de calor PRIMER ENSAYO CAPA

MATERIAL

K BTU / hr ft

1

Ambiemte Interior

2

Vidrio

5

Ambiente exterior

AREA Pies cuad. FLUJO DE CALOR

h 0

F BTU / hr ft

20

ESP. F

0,730 0,45 0,730

m

RESIS. hr oF / BTU

-

Tb

∆Τ

0

0

0

F

F

42,00 35,000

0,016

0,00169

42,00

39,00

-

0,06368

39,00

565,6357

COEFICIENTE TOTAL DE TRANSF. DE CALOR FLIJO DE CALOR COMPROBACION

F

77,00

0,12906 0

F

0,06368

21,52 BTU / hr ft

Ta

0,36

4,00 35,000 Total

COMPROB. BTU / hr ft

20

F

549,6023

Después de varios ensayos, concluida la hoja se tiene.

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3,000

73 73

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDACTICO DEL CURSO: 211611 – TRANSFERENCIA DE CALOR

RESOLUCION CAPA

MATERIAL

K BTU / hr ft

1

Ambiemte Interior

2

Vidrio

5

Ambiente exterior

AREA pies cuad. FLUJO DE CALOR

h 0

F BTU / hr ft

ESP. 20

F

M

0,735

-

0,45

RESIST.

Ta

Tb

∆Τ

hr oF / BTU

0

0

0

F

0,016

0,00169 40,98

40,02

-

0,06323 40,02

4,00 36,018

0,12815

Total

569,6489

COEFICIENTE TOTAL DE TRANSF. DE CALOR FLIJO DE CALOR

F

40,98 36,018

21,52 BTU / hr ft

F

0,06323 77,00

0,735

0

F

0,965

COMPROB. 0,36

BTU / hr ft

20

73 73

F

569,6466

En el anexo, memorias, se describe detalladamente la forma de proceder al ensayo. para placas generalizadas,

verticales

se

han

desarrollado

ecuaciones

empíricas

más

Ozisik presenta: Nu = 0,59 (GrPr)1/4 para Régimen laminar 104