Transferencia de Calor Aplicada a La Ingeniería [Welty]

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TRANSFERENCIA DE CALOR APLICADA A LA INGENIERIA ~

JAMES R. WELTY Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad Estatal de Oregon, Corvallis

~LlMUSA NORIEGA EDITORES MÉXICO. Espana • Venezuela. Colombia

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VERSiÓN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA .PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO: ENGINEERING HEAT TRANSFER

©

JOHN WILEY

&

SONS , INC .

COLABORADOR EN LA TRADUCCiÓN: SERGIO FERNÁNDEZ EVERST INGENIERO DE SISTEMAS DE IBM DE MÉxIco. REVISiÓN : GERARDO HIRIART LE BERT DOCTOR EN INGENIERíA NAVAL. POSTGRADUATE SCHOOL, CALIFORNIA. PROFESOR

DE LA FA-

CULTAD DE INGEN IERíA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉxIco. JOSt: LUIS FERNÁNDEZ ZAYAS DOCTOR EN INGENIERíA DE LA UNIVERSIDAD DE BRISTOL, INGLATERRA. PROFESOR INVESTIGADOR DE LA FACULTAD DE INGENIERíA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉx Ico.

LA PRESENTACiÓN Y DISPOSICiÓN EN CONJUNTO DE TRANSFERENCIA DE CALOR APLICADA A LA INGENIERrA SON PROPIEDAD 'DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYEI\IXJ EL FOTCCOPIADO, LA GRABACIÓN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACiÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiÓN), SIN CONSENTlMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS:

© 1996, EDITORIALLlMUSA, SA

DE C.V.

--':;' GRUPO NORIEGA EDITORES

95, MÉXICO, D .F. 06040 '(ji' 521-21-05 ~ 512-29-03 BALDERAS C.P.

CANIEM NÚM.

121

SÉPTIMA REIMPRESiÓN HECHO EN MÉxICO ISBN

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968-18-0628-X

- - - - - - - - - _ ._._--

'7 J 265 W o

g;nlt+&t + g;nrltHt - g;rlt - g;nlt !::..t

(2-16)

Rearreglando la ecuación (2.16) en la forma

dg; = lím [g;nltHt - g;nlt + g;mltHt _ g;rlt]

(2-17) dt t->o!::..t !::..t!::..t y pasando el primer término al lado derecho de la ecuación (2-17) se tiene que

d , g;nlt+&t - g;nlt 11m = -.:Tu &1->0 !::..t dt que es la razón de cambio de la propiedad g; dentro del propio volumen de control, ya que en !::..t ->- 0, la región 11 coincide con el volumen de control. En forma integral, este término es /1)J

lím g;n llHt - g;nlt &t->o!::..t

= (~g;) = ~ dt

cv

r fzp dV

at .Jcv

(2-18)

en donde d V es un elemento de volumen, p es la densidad de masa y

/t es la forma específica de g;. El segundo y tercer términos del lado derecho de la ecuación (217) representan las cantidades de g; que salen y entran debidas al flujo de masa a través de la frontera del volumen de control. Se obtiene una forma más compacta de estos términos de flujo si se considera primeramente el volumen de control como se muestra en la figura 2.3. n

...- ...-"'-

...-"'-

...-"'-

----

--- ---- -

- / - - - - - - - - - - . . ,....

Figura 2.3 Volumen de control para el "análisis integral.

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28

LAS ECUACIONES DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

Para el área pequeña dA sobre la frontera del volumen de control, se puede escribir la razón de movimiento de la propiedad f!jJ en la forma flujo de f!jJ

=,

(pv)(dA cos e)

Note que el producto pv dA cos e es la razón de flujo de masa a través de dA, en donde el vector de velocidad v y el vector normal n dirigido hacia afuera de dA están separados por un ángulo e. Del álgebra vectorial se puede escribir el producto de los términos en la forma ,(pv)(dA cos e)

= ,(p dA)[lvllnl cos e]

El ténnino dentro de los corchetes es el producto punto o escalar n, con lo que el término del flujo de la propiedad queda

V·

'p(v. n) dA

Integrado en toda la superficie de control, el flujo de la propiedad dt>bido al flujo de la masa es

r 'p(v. n) dA

Jes

Se debe notar que esta integral es positiva cuando se evalúa en toda la porción de la superficie de control en donde el flujo de la masa está dirigida hacia afuera, ya que el ángulo () en todos casos es menor que 90° . En todos los casos en que el flujo de la masa es dirigido hacia el volumen de control, el ángulo e es mayor de 90°, con lo que el producto punto V· n es negativo. En consecuencia, esta única integral tomada en toda la superficie de control incluye el flujo fuera de y hacia el volumen de control; equivale a los dos últimos términos a la derecha de la ecuación (2.17). Finalmente se puede escribir la fórmula d e transformación como d f!jJ

dt

I sistema

=

Iat

f

cv

, p dV

+f

fÍ p(v, n) dA

(2-19)

es

Exprt>sado con palabras, la ecuación (2 -19) indica que la razón de cambio d e una propiedad f!jJ para un sistema equivale a la razón de cambio de f!jJ para un volumen de control más la razón neta de eflujo d e f!jJ por efecto del flujo de masa a través de las fronteras del volumen de control. A continuación se establecen las leyes básicas en forma integral, usando la relación de transformación, ecuación (2 -19).

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LEYES BASICAS DEL ANA LISIS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

2.1-2.1

29

Conservación de la masa; formulación integral

En el caso de la conservación de la masa , las formas general y específica de propiedad son f!jJ = m, /t = l. Aplicando la ecuación (219), se obtiene

~

dm \ = dt sistema at

f

p dV

cv

+ r p(v· n) dA

(2-20)

Jes

Nuevamente se nota que la masa de un sistema es constante por definición, lo que requiere que (dm/ dt) sistema = O. La fórmula resul tante para la conservación de l.a masa queda entonces

~

at

2.1-2.2

f

+ r p(v· n) dA = O

p dV

ev

(2-21)

J es

Primera ley de la termodinámica; formulación in tegral

Anteriormente se hizo notar que la primera ley de la termodinámica enunciada en forma de razón pa~a un sistema de acuerdo con la ecuación (2 -9) es (2-9)

Para poder usar la relación de la transformación integral, en primer lugar se debe expresar la propiedad f!jJ en la forma apropiada. Para este caso, f!jJ

=

E,

/t = e

y, empleando la ecuación (2-19), se obtiene dE dt

I

=~

at

sistema

r ep dV + Jr ep(v· n) dA

Jcv

(2-22)

es

En consecuencia, se puede escribir una forma integral de la primera ley en la forma

-ClQ .. - -ClW. = -a dt

dtat

J' ep dV +i ep(v. n) dA .c v

(2-23)

es

Como se mencionó en la sección 2.1-1.2, el término de la razón de trabajo incluye componentes de la razón de trabajo de la flecha, la razón de trabajo viscoso y la razón de trabajo de flujo. Nuevamente se escriben las razones de trabajo de flecha y viscosa en las formas ClWs/dt y ClW/l/dt, respectivamente . Para la presión estable, la razón de trabajo de flujo se escribe dV

P-

P d

P dm

= - - (pV) = - dt p dt p dt

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(2-24)

...

30

LAS ECUACIONES DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

en donde dml dl es la razón de flujo de masa que cruza la superficie de control. Usando la forma integral para el eflujo de masa neta a través de la superficie de control, el término de la razón de trabajo de flujo queda .

-Pdm - = p dt

5, -P p(v • n) dA es

(2-25)

p

Finalmente, todas las componentes de trabajo de flujo se pueden incluir en la ecuación (2-23), lo que da la forma integral de la primera ley de la termodinámica .

oQ -

- O - Ws - O - WI' = -()

1

+

i(+ -

P) p(v. n) dA

(2-26) p Nuevamente se recuerda al lector que la razón de flujo de calor es positiva cuando se dirige hacia el volumen de control y que es positiva la razón de trabajo cuando se hace por el volumen de control sobre su medio ambiente. Expresada en palabras, la ecuación (2 -26) dice que el calor neto agregado a un volumen de control menos la razón de trabajo de flecha y de corte , es igual a la razón de aumento de energía dentro del volumen de control más la razón neta de eflujo de energía a través de la frontera del volumen de control debido al flujo de masa. dt

2.1-2.3

dt

dt

(}t

ep dV

ev

e

es

Segunda ley del movimiento de Newton; formulación integral

La segunda ley del movimiento de Newton se escribe

.L F = -d (mv) dt

(2-27)

que se puede enunciar como "la fuerza ejercida en un sistema es igual a la razón del cambio de impulso del sistema." Se debe notar que esta ecuación involucra cantidades vectoriales en contraste con las ecuaciones escalares que se han considerado hasta este momento. Aplicando la ecuación (2 -19), los valores aplicables de f!jJ y fÍ son mv, fÍ = v y se obtiene la forma integral de la segunda ley de Newton f!jJ

=

.L F = a r vp dV + r vp(v. n) dA (}t Jev

(2-28)

J es

La ecuaClOn (2 -28) establece que la fuerza neta en un volumen de control equivale a la razón de tiempo del cambio en impulso del volum en de control, más la razón neta de eflujo de impulso del volumen de control por efecto del flujo de masa. Las ecuaciones (2-21), (2-26) y (2-28) son las fórmulas integrales a las que se hará referencia y que se aplicarán en capítulos posteriores .

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LEYES BASICAS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

2.1-3

31

Formulación diferencial de las leyes básicas

Habiendo generado las formas integrales de las leyes básicas en la sección anterior, ahora es posible obtener las formas diferenciales rápidamente aplicando el teorema de la divergencia del cálculo vectorial. Este enfoque es matemáticamente sólido , aunque proporciona una comprensión física limitada relativa a las ecuaciones diferenciales resultantes. El lector que esté interesado en otro desarrollo de las formas diferenciales de las leyes básicas puede consultar la obra de Welty, Wicks y Wilson. 1 Para una cantidad vectorial general A, que es continua y diferenciable, y para un volumen V encerrado por una superficie lisa S en sentido de los incrementos, el teorema de la divergencia establece que

LA .

n dS =

iv .

A dV

(2-29)

Ahora se aplica esta relación a las formas integrales de las leyes básicas para dar las ecuaciones diferenciales deseadas.

2.1-3.1

Conservación de la masa; formulación diferencíal

En la sección 2.1-2.1 se estableció que la forma integral de la ley de la conservación de la masa es

r E.. p dV +Jcsr p(v. n) dA = O

Jcvat

(2-21)

Aplicando la ecuación (2-29) se puede convertir la integral de superficie a integral de volumen en la siguiente forma:

rp(v. n) dA = JevrV • pv dV

Jes

(2-30)

Incluyendo el primer miembro de la ecuación (2-21) en una sola integral de volumen se puede escribir

1cv(at + ap

V • pv) dV

=

O

(2-31)

Para que la ecuación (2 -31) sea verdadera, en general el integrando debe ser igual a cero, con lo que la ecuación resultante es ap

-

at

+V'pv= O

(2-32)

1]. R . Welty , C. E. Wicks, y R . E. Wilson Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Tran s(er. (Nueva York: John Wiley and Sons, Inc. , 1969), caps . 9, 15 , 25.

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32

LAS ECUACIONES DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

que es la forma diferencial de la ley de la conservación de la masa . Si se separa el término de la divergencia, se obtiene una forma equivalente de esta ecuación como sigue:

op

- + v • Vp + pV • v = O ot

(2-33)

Los términos que involucran derivadas parciales de la densidad están expresados en una forma que se encuentra con tal frecuencia que se ha reservado un nombre y símbolos especiales para esta agrupación . El nombre es la derivada sustandal y el símbolo para el operador de la derivada sustancial es D I Dt . Por definición, esta operación es

a v·V -D := -+ Dt

(2-34)

ot

de manera que también se puede escribir la ecuación de continuidad, ecuación (2-32), en forma diferencial como

Dp Dt

+ pV.v = O

(2-35)

En este punto es necesario discutir brevemente el significado físico de la derivada sustancial. Primero considere la presión atmosférica P, considerada en general como una función de la posición y el tiempo, expresada como P = P(x, y, z, t). Para evaluar el cambio en la presión atmosférica , se puede escribir la diferencial de P, en coordenadas cartesianas como dP .

oP oP oP = -oP dt + - dx + - dy + - dz ot . ox ay oz

en donde dx, dy y dz son desplazamientos arbitrarios en las direcciones x, y y z respectivamente. Si se dividen todos los términos entre dt, se obtiene la razón del cambio de la presión como dP

oP

oP dx

oP dy

oP dz

dt

ot

ox ,d t

oy dt

oz dt

-=-,- + - - +--+~­

(2-36)

Considere tres enfoques para la evaluación de dP I dt . En primer lugar, el instrumento para medir la presión está localizado en una estación climatológica , que naturalmente está fija en la superficie terrestre. En este caso los coeficientes dx l dt, dy l dt y dz l dt son cero, y para un punto fijo de observación la derivada total dPI dt es igual a la derivada local en el tiempo oPlot. Un segundo enfoque implica que el instrumento para la medición oe la presión se encuentre en una aeronave que pueda volar en cualquier dirección elegida, además de elevarse o descender conforme

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LEYES BASICAS DEL ANALlSIS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

33

quiera el piloto. En tal caso, las derivadas dx/dt, dy/dt, y dz/dt son las componentes x, y y z de la velocidad del avión, respectivamente. Se escogen arbitrariamente estas componentes y sólo tienen relación casual con las corrientes de aires. Una tercera situación es una en que el instrumento de medición de la presión está en un globo que deriva, cae o se eleva con el aire en que está suspendido el globo. Aquí las derivadas dx/ dt, dy/ dt y dz/ dt son las componentes de la velocidad del propio medio, v"', vv' y v" respectivamente. Esta tercera situación corresponde a la definición de la derivada sustancial y se pueden agrupar los términos de la ecuación (2 -36) en la siguiente forma: dP dt

=

DP Dt

= ap + v at razón local del cambio de presión

ap '" ax

+v y

ap ay

,

+v

ap , az

(2-37)

razón del cambio de presión debido al movimiento del fluido

Es más sencillo demostrar que la ecuación (2-37) es la forma de las coordenadas cartesianas del operador de la derivada sustancial más generalizado dado en la ecuación (2-34). Por tanto se ve que la derivada sustancial es la derivada que sigue el flujo del fluído. Se puede interpretar al operador D/ Dt como la razón de tiempo de cambio de una variable dada evaluada a lo largo de la trayectoria del elemento fluí do en el campo de flujo. Se puede aplicar este operador tanto a cantidades escalares como vectoriales, como se encontrará y usará más adelante. Una observación final con relación a la ecuación de continuidad dada por las ecuaciones (2-32) y (2-35) es la forma muy sencilla que resulta para el caso de flujo incompresible. En este caso, la ecuación queda

V.y

2.1-3.2

=o

(2-38)

Primera ley de la termodinámica; enfoque diferencial

El punto de partida para la generación de la forma diferencial para la primera ley de la termodinámica es la ecuación (2-26) que se repite a continuacióñ para posteriores referencias. c5Q _ c5Ws dt dt

_

c5W¡t dt

= ~i at

ev

ep dV +1 (e +~)p(y. n) dA p

(2-26)

es

Trabajando primero con el segundo miembro de la ecuación (2-26), se intercambia el orden de la diferenciación e integración para la inhttp://setlibros.com/

34

LAS ECUACIONES DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR.

te?;ral de volumen y se rescribe la integral de superficie como una integral de volumen. El resultado de estos cambios es

-oQ - -oWs - -OWI' = dt

dt

dt

i

[ -a (ep)

ev

+ V . (epv + Pv)]

at

dV

(2-39)

Considerando luego los términos del primer miembro de estas ecuaciones, primero se encuentra la razón de flujo de calor oQfdt. Se considera que el flujo de calor es debido a la conducción a través de la frontera del volumen de control o a la generación interna por los efectos de calentamiento de resistencia eléctrica, reacción química u otros semejantes. Incluyendo ambos efectos, se puede escribir el tér mino de razón de flujo de calor en la forma

-oQ. = dt

1- - . q

A

es

n dA

1

+ ti d V

(2-40)

cv

El primer término, que involucra la integral de superficie, expresa la transferencia de calor conductivo a través de la frontera en función del vector q de flujo de calor, expresado en la ecuación (1-2) como una función de la conductividad térmica y el gradiente de temperatura. El signo menos en este término en la ecuación (2 -40) se debe a que el flujo de calor está definido como positivo hacia el volumen de control. El segundo término involucra la razón total de calor generado dentro del volumen de control. Se puede modificar la ecuación (2-40) escribiendo el vector de flujo de calor en función del gradiente de temperatura en la ecuación (1 -2). Ahora la ecuación (2 -40) queda

oQ dt

=f

k VT • n dA

~

+1 q

dV

(2-41)

cv

y, aplicando el teorema de la divergencia al término de la integral de superficie se tiene

oQ = dt

f

(V . k VT

+ q) dV

(2-42)

cv

Después se deben tomar en cuenta los dos términos de la razón de trabajo . Para un elemento diferencial, se toma como cero la razón de trabajo de flecha (el desarrollado por algún efecto dentro del volumen de control); en consecuencia

oWs

-=0 dt

(2-43)

La razón de tr abajo viscoso se evalúa tomando el prod ucto escalar de la velocidad y el esfuerzo viscoso en toda la superficie de control.

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35

Para simplific ar la evaluación de esta cantidad, se define el término A como la razón de trabajo viscoso por volumen unitario y se escribe el término de la ecuación de energía como oWI' = 1 AdV dt cv

(2-44)

Efectuando las sustituciones indicadas por las ecuaciones (2-42), (2 -43) Y (2-44), la ecuación de la energía queda como

1cv

[~(ep) ot + v.(epv + PV) - V.kVT - q+AJ dV = O

(2-45)

Nuevamente se usa el argumento de que para que en general sea verdadera la ecuación (2-45) , el integrando debe ser cero . El resultado es la forma diferencial general de la primera ley de la termodinámica

~ (ep) + V • (epv) + V . Pv -

ot

V • k VT - q

+A = O

(2-46)

Se puede lograr otra forma de la ecuación (2-46) escribiéndola como e [~:

+ v . pvJ + p [~: + v . Ve] + V . Pv -

V • k VT -

q+ A = O

(2-47)

El pnmer término entre corchetes en la ecuación (2-47) es cero de acuerdo con la ecuación de continuidad (ecuación (2-32». Es posible escribir el segundo término en corchetes en forma más sencilla en la forma de la derivada sustancial. Entonces la ecuación queda

+ V • Pv - V . k VT - q + A = O (2-48) Dt La ecuación (2-48) es bastante general, e incluye efectos convectivos y conductivos. Para un sistema estacionario, la conducción es el único modo significativo de transferencia de calor, lo que reduce la ecuación (2-48) a p De

p

oe _ V • k VT - q = ot

O

(2-49)

En este caso, la única forma significativa de energía en e es la energía interna, que se puede escribir como eT,2 en donde e es el calor específico . Entonces, la ecuación (2 -49) queda

pe 00: - V . k Vr. -

q=

O

(2-50)

2 Hab la n do con rigor, la relación e = cT supone un compo rtamiento fí sico simple . como que to oos los ¡¡ases son ideales. los sólid os son incompresi bles y demás, Aunque esta expresión no es vero adcra en un sentido absoluto . es un a aproximación qu e es vál ida práctic amente en tod os los c asos d e interés p a ra la ingeni ería .

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36

LAS ECUACIONES DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

Para un medio isotrópico con propiedades materiales que se suponen independientes de la temperatura se puede escribir

oT _ ~ V 2T _ .f = O

ot

pe

(2-51)

pe

El cociente de las propiedades físicas k( pe, es en sí una propiedad física designada por la dzfusividad térmica ex. En el apéndice A se tabulan valores de ex, contra la temperatura para distintos materiales. Para un sistema sin fuentes de calor, la ecuación (2-51) queda (2-52)

que se llama la segunda "ley" de Fourier de la conducción de calor, ecuación de campo ae Fourier o sencillamente la ecuación de calor. Para un sistema de estado estable con fuentes de calor, la ecuación (2-51) se reduce a la ecuación de Poisson (2-53)

En el caso sencillo de un medio conductor sin fuentes de calor y sin dependencia en el tiempo, la relación que resulta es la ecuación de Laplace (2-54)

La ecuación de Laplace escrita en coordenadas cartesianas es

o2T

o2T

oZT

-ox z +-+ oyZ -ozz =0

(2-55)

en coordenadas cilíndricas es

oZT

1 oT

1

oZT

oZT

- +-Z - z + - =0 z .or+ r or r oe ozz

(2-56)

y en coordenadas esféricas es

1.2~(r2 OT) + _2 1_ ~(Sin e OT) + 2 1 2 o2T = r 0r or r sin e oe oe r sin e oc!}

2.1-3.3

O

(2-57)

Segunda ley del movimiento de Newton; formulación diferencial

Como en los casos anteriores, el punto de partida para generar la forma diferencial de la segunda ley del movimiento de Newton será

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LEYES BASICAS DEL ANA LISIS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

37

la fonna integral que se consideró antes. A continuación se repite la ecuación (2-28) como referencia

I

F

-ª-1

=

ot

vp dV

ev

+1

(2-28)

vp(v· n) dA

es

El primer miembro de la ecuación (2-28), la fuerza neta ejercida en el volumen de control, es la resultante de fuerzas superficiales y de cuerpo. Actuando en la superficie de un volumen de control fluído está el tensor de esfuerzo, que incluye efectos tanto de presión como viscosos. La única fuerza de cuerpo que se considera es la gravedad. La fuerza neta, incluyendo estos efectos , se puede escribir como

I

F

=f .;.. n dA +f pg dV es

(2-58)

cv

o, aplicando el teorema de la divergencia al ténnino de la integral de superficie,

I

F

=1

(v . .;.

ev

+

(2-59)

pg) dV

También se puede modificar el segundo miembro de la ecuación (2-28) usando el teorema de la divergencia para remodelar el término de la integral de superficie, lo que da

-ª-l ot

vp dV

ev

+1

vp(V· n) dA

es

=1 [-ªev

ot

(vp)

+ V . pvv]

dV

(2-60)

Usando las ecuaciones (2-59) y (2-60), se puede escribir toda la ecuación como una integral de volumen

1[

V,';'

ev

+ pg -

-ª-ot (vp) -

V . pvv] dV = O

(2-61)

Y, usando los argumentos usuales, haciendo el integrando igual a cero, se obtiene la forma diferencial deseada V . 't

~

+ pg = -oto (vp) + V . pvv

(2-62)

El segundo miembro de la ecuación (2-62), se puede modificar dando

V.

't

~

+ pg = v[op + v. pv] · + p[ov + v. V'v] ot

ot

(2-63)

El primer término entre corchetes a la derecha desaparece según se requiere por continuidad, ecuación (2-32), y se puede escribir el

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38

LAS ECUACIONES DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

segundo término entre corchetes en forma más compacta en función de la derivada sustancial, lo que resulta .

pDv -

=

Dt

pg

+ V .'t"

(2-64)

-

Las formas escalares cartesianas componentes de la ecuación (2-64) son

a

D~

p D-t D~

p--¡;; D~

p--¡;;

= = =

pgx

a

a

+ ax a xx + ay TyX + az Tzx

a a a ax Tx T2 , 'Y

T3 : 5T1 2T1 TI

+ T 2 + 2T3 = 32 + 8T2 + T 3 = 29 + 2T2 + 4T3 = 28

Rescribiendo y despejando los valores de TI> T 2 , y T 3 en la forma prescrita se tiene

T1

= (1/5)(32 -

T2

-

T 2 = (1/8)(29 - 2T1

-

T a)

T1

-

2T2 )

Ta

=

(1/4)(28 -

2T3 )

°

Suponiendo que T 20 = T 3 = O, se obtiene

TI

= (1/5)(32 - O - O) = 6.40

T 2 = (1/8)(29 - 12.8 - O) = 2.025

T a = (1/4)(28 - 6.4 - 4.05) La segunda iteración da

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=

4.388

62

FORMULACION NUMERICA DE LAS ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE CALOR

= (1/5)(32 - 2.025 - 8.776) = 4.240

TI

T 2 = (1/8)(29 - 8.48 - 4.388) = 2.017 Ta

= (l/4)(28 - 4.24 - 4.034) = 4.932

A continuación se da un registro tabular de estos resultados y de dos iteraciones adicionales, hasta cuatro decimales: Iteración No.

TI

T2

Ta

O 1 2 3 4 5

O 6.400 4.240 4.024 4.002 4.000

O 2.025 2.017 2.003 2.000 2.000

O 4.388 4.932 4.993 5.000 5.000

Obviamente , la respuesta exacta al problema de ejemplo es TI = 4 , T 2 = 2,

T a = 5.

Se puede lograr cualquier grado de exactitud por la técnica de Gauss-Seidel, con la condición que exista una solución, si se itera el número suficiente de veces. Para propósitos de la programación de computadora, generalmente se usa uno de dos métodos para detener el proceso·. Los dos métodos son

l. Establecer algún límite a la máxima diferencia entre dos valores sucesivos de T i' por ejemplo (3-29)

para toda i. 2. Establecer algún límite sucesivos de T i

B

T(k) -

_

max

a la diferencia relativa entre valores

T(k-l)

1

I

,

(k)

Ti

I<

e

(3-30)

En la figura 3.5 se muestra el diagrama de flujo para un proceso de computación iterativo de Gauss-Seidel. En este punto, una preocupación lógica es la convergencia de la técnica de Gauss-Seidel. En el ejemplo 3 .2 se tiene exactitud hasta cuatro decimales en cinco iteraciones, comenzando desde cero. Se puede preguntar: ¿qué haría que el conjunto convergiera en forma más rápida? ¿más lenta? ¿Cuáles son las condiciones que hacen imposi ble la convergencia? En base intuitiva parece útil tener valores relativamente grandes para las A ii , o sea dividir entre grandes números cada vez, lo que se

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PROCESOS

DE

COMPUTACION PARA PROBLEMAS FORMULADOS NUMERICAMENTE

SUMA =SUMA

SUMA = O

+ Ajj T i

¡'; RR = Ti

63

= TI:"M P

I

T F.MP - Ti ' n "M P

TI:"M P = ~(B i-SUm a)

A¡ ..

SI

MAX

= I:"RR

Figur a 3.5 Diagrama de flujo pa ra la iteración de G a uss·Seidel.

puede demostrar más formalmente si se considera el caso más sencillo posible , el de dos ecuaciones con dos incógnitas: AU T 1 A 21 T 1

+ A 12 T 2 = B 1 + A 22 T 2 = B 2

Para la k -ésima iteración, se encuentran los valores de T?) y T Jk) de T 1( k )

-

_1_ [B . _ A T(k-ll] A 1 12 2 U

(k) T 2 -

_1_ [B _ A T(k)] A 2 21 1 22

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64

FORMULACION NUMERICA DE LAS ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Después de la k-ésima iteración, los errores en TI y T 2 , denotados por !1T1 y !1T2 , se expresan como

!1 Tik).

=

TI - Tik)

!1 Tik) = T2

-

T~k )

Haciendo las sustituciones para Ti y T? )de las ecuaciones originales de las expresiones de iteraciones, se puede escribir !1T?) como

y

y

Se pueden combinar estos resultados para obtener

etc. o , en general,

y

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CONSIDERACIONES ADICIONALES QUE COMPRENDEN SOLUCIONES NUMERICAS

65

Para que ocurra la convergencia, es claro que conforme k se hace grande , ~T?> -+ O, Y ~Tik> -+ O; lo que hace necesario que . A12Aln) < 1 An A 22 Esta condición se cumple bajo las siguientes condiciones: ya sea (

ó o sea que los términos de las diagonales deben ser al menos tan grandes como los términos fuera de las diagonales y mayores en al menos un caso. La terminología usada es cuando la matriz de coeficientes, Aij, sea dominante diagonalmente. Naturalmente, la convergencia es más rápida para valores cada vez mayores de los términos de la diagonal . Aquí conviene mencionar algo con relación a la selección que se debe hacer entre las soluciones directa e interativa . Cuando ambas son posibles, los artificios iterativos frecuentemente dan resultados aceptables con menor trabajo. Los procesos iterativos se prefieren definitivamente cuando están involucradas propiedades variables del medio en los coeficientes y constantes, las Aii y B i ; se pueden actual i.zar estos términos conforme se encuentran valores más nuevos para T?>. Sin embargo, puede ser necesaria la eliminación de Gauss si no se satisfacen las condiciones requeridas para la convergencia de la iteración de Gauss-Seidel , o sea si la matriz de los coeficientes no es dominante diagonalmente. En capítulos posteriores se incluyen soluciones a problemas que involucran tanto la eliminación de Gauss como la iteración de GaussSeidel. 3.3

CONSIDERACIONES ADICIONALES QUE COMPRENDEN SOLUCIONES NUMERICAS

Un aspecto negativo de los resultados obtenidos en la maquinana moderna de computación es que la solución obtenida puede no ser correcta, si es que se llega a obtener una solución. En este contexto, lo que se debe considerar se refiere a la estabilidad, exactitu d y convergencia de la solución. Ahora se estudian brevemente estos 'concep tos. 3.3-1

Errores en las soluciones numéricas

El error en una solución numérica generalmente se considera de dos tipos: error numérico o de redondeo y error de discretización o de

truncado . http://setlibros.com/

66

FORMULACION NUMERICA DE LAS ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE CALOR

El error de redondeo ' ocurre cuando no se utiliza un número adecuado de cifras significativas para el cálculo. El redondeo en el decimal octavo o 120. es ~nsignific.ante cuando se considera un solo término; sin embargo, después de realizar millares o millones de cálculos, el error acumulado debido al redondeo puede ser intolerable . Afortunadamente, la maquinaria moderna de computación tiene suficiente capacidad para hacer que este tipo de error sea de poco cuidado en un proceso de solución numérica cuidadosamente programado . Los errores de truncado o discretización son el resultado de remplazar derivadas por diferencia" finitas. Las cantidades designadas por O(~x) y O(~X2) en las ecuaciones (3-ll) y (3-12) son de este tipo. Esta clase de error es inherente a la diferenciación, y por tanto es inevitable. Sin embargo, se puede reducir disminuyendo el tamaño de los incrementos de tiempo y espacio en alguna forma prescrita. Si los errores se acumulan conforme avanza la solución y este crecimiento no es acotado, se dice que la solución es inestable. La inestabilidad también es el resultado de que los errores crezcan a una razón más rápida que la razón a la que se aproxima a la convergencia . La figura 3 .6 ilustra algunos de los conceptos que se han estudiado. La solución inestable, mostrada con la línea punteada, es un patrón típico para el caso de un crecimiento no acotado de error. Las dos líneas que muestran soluciones estables dan resultados inexactos: uno es aceptable en tanto que el otro obviamente no lo es.

Solución exacta

t

Solu ción estable convergida a un resultado aproximado

'- --'

""

'

,~,

/

\

\

\

,-I

I

I

I

Solución estable convergida a una solu ción incorrecta

Solución inestable

Tiempo. t _ _

Figura 3.6 Tip"s de posibles resultados en las soluciones numü icas .

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CONSIDERACIONES ADICIONALES QUE COMPRENDEN SOLUCIONES NUMERICAS

67

La curva superior de solución es suficientemente cercana a la solución exacta para ser aceptable; el error se debe a la discretización. La línea inferior para la solución numérica convergida es inaceptable debido a que tiene un gran error, aunque la solución es estable. Las causas posibles para este comportamiento son:

1. La ecuación diferencial dominante no está representada en forma adecuada por la ecuación de diferencias. 2. Se interrumpió la iteración en cada incremento de tiempo antes que se lograra la convergencia a los valores correctos. 3. Se satisficieron todos los criterios de convergencia, aunque se logró la convergencia a la solución errónea. Con frecuencia se desconocen las razones para que ello ocurra . Esta última categoría no se encuentra con frecuencia ; dichos resultados pueden ocurrir al resolver conjuntos de ecuaciones altamente no lineales. Los criterios de convergencia en problemas de conducción de calor deben hacerse en base a un balance global de calor, por ejemplo calor de entrada - calor de salida debe ser menor que alguna pequeña cantidad B . No bastan los criterios basados en el cambio de temperatura entre iteraciones sucesivas como las especificadas por las ecuaciones (3-29) y (3-30). 3.3~1.1

Criterios para la estabilidad

En la ecuación (3.19) se dió el método explícito para resolver la ecuación de calor, usando una representación de primera diferencia hacia adelante para la derivada del tiempo. Hablando en términos de computadora, este enfoque es deseable; sin embargo, puede no ser utilizable en determinados casos . La ecuación (3 -19) es estable cuando ex. !1t < !1x2 -

1/2

(3-31)

o, en dos dimensiones, cuando ex.

!1t(_l- + _1_) S ,!1x 2 !1y2

1/2

(3-32)

El criterio para la estabilidad de la expresión de balance de calor explícito, ecuación (3-23), no es tan directo debido a la influencia de las propiedades dependientes de la temperatura. Bray y MacCracken 2 sugieren como el criterio en este caso la relación 2 A. P . Bray y S. J. MacCracken , Knolls Atomic Power Laboratory Report, KAPL 2044 (AEC), mayo 1959.

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68

FORMULACION NUMERICA DE LAS ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE CALOR

(3-33)

Cada una de las tres ecuaciones anteriores indica que se debe acompañar una disminución en el tamaño de un incremento de espacio con una disminución asociada en el tamaño del incremento de tiempo, lo que frecuentemente produce incrementos considerablemente pequeños de tiempo. Los procesos implícitos de solución son incondicionalmente estables en su mayor parte. La forma implícita para resolver la ecuación del calor, dada como la ecuación (3-20), y el método de Crank-Nicholson, ecuación (3 -21) con F = 1/2, son inherentemente estables. Una conclusión de esta discusión es que los procesos implícitos pueden ser más deseables que los explícitos, ya que los problemas de estabilidad no son causa de dificultades, lo cual es cierto incluso aunque grandes conjuntos de ecuaciones simultáneas puedan requerir una solución. Un efecto es ú,til que se pueden emplear mayores incrementos de tiempo en los procesos implícitos; por tanto, el tiempo para lograr una solución puede no ser tan grande comparado con un método explícito como se puede suponer inicialmente. Todavía se debe tener cuidado con relación a los errores de discretización cuando se emplean los métodos implícitos para que no se sacrifique la exactitud al usar incrementos demasiado grandes en el espacio y tiempo. Se han logrado determinados desarrollos en los procesos numéricos que incorporan la facilidad de cálculo de los métodos explícitos con la exactitud y estabilidad numérica de los procesos implícitos . Se llaman procedimientos multiniveles y de dirección alternante a algunos de los enfoques más exitosos, cuya discusión está más allá del alcance de este tratado. El lector interesado puede consultar a Carnahan, Luther y Wilkes 3 o a Trent y Welty 4 para obtener detalles acerca de estos procesos más avanzados .

3.4

CONCLUSION

Este capítulo se ha dedicado completamente a los aspectos de la formulación numérica de las ecuaciones de transferencia de calor. En los próximos años los cálculos de transferencia de calor se harán cada vez con mayor frecuencia por medio de computadores, por lo que se le da importancia a este tema en este texto . 3 B. Carnahan, H. A . Luther , y J. O . Wilkes , ApPlied Numerical Methods (Nueva York: John Wiley and Sons, Ine ., 1969). D. S. Trent y J. R . Welty, A Summary of Numerical Methods for Solving Transient Heat Gonduction Problerns, Oregon State Univ. Engr. Expt. Station Bulletin (en prensa).

4

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CONCLUSIONES

69

Se estudiaron las formulaciones fundamentales basadas en las diferencias de las ecuaciones diferenciales que dominan y en la generación de las ecuaciones de diferencias a partir de un balance de calor en un pequeño elemento; se recomendó en forma general el método de balance de calor debido, en parte, a su mayor flexibilidad para aceptar condiciones complejas de frontera. Se discutieron técnicas de soluciones que involucran métodos explícitos e implícitos . Se discutieron las técnicas de eliminación de Gauss y la iteración de Gauss-Seidel en forma detallada y se presentaron los diagramas de flujo correspondientes. Se presentó una breve discusión de los problemas de error, convergencia y estabilidad asociados con las soluciones numéricas. Los procesos implícitos por lo general son numéricamente estables, y con frecuencia más deseables que los explícitos, que deben satisfacer determinados criterios para asegurar la estabilidad. En los siguientes capítulos se incluyen problemas de ejemplo que incorporan soluciones numéricas.

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CAPITULO

4___________________ Transferencia de calor por conducción

En el capítulo 1 se dió una introducción de la transferencia de calor por conducción. Ya se han discutido algunos términos y conceptos básicos. En este capítulo se considera con más detalle la transferencia de calor por conducción y se desarrollan bastantes problemas de ejemplo, incluyendo algunos por métodos numéricos. Primeramente se consideran los sistemas estables, comenzando con los casos unidimensionales y luego pasando a sistemas bi y tridimensionales. Se consideran casos especiales de interés práctico en los momentos apropiados, tales como la sección de transferencia de calor desde álabes o aletas y superficies extendidas. Se emplearán técnicas de soluciones analíticas y numéricas. Luego se sonsideran las situaciones de estado inestable casi en el mismo orden que para los sistemas de estado estable. En los casos inestables, se emplean las técnicas de solución gráfica al igual que los enfoques analítico y numérico para las soluciones a los problemas.

4.1

CONDUCCION Dl: ESTADO ESTABLE

Se llama estado estable al caso de transferencia de calor en que el tiempo no es un factor. Considerar la transferencia de calor en donde no interviene el tiempo permite simplificar el análisis en cierta medida. Como se discutió en el capítulo 2, la ecuación principal para la conducción de estado estable con generación interna es (2-53)

que se conoce como la ecuación de Poisson; la ecuación de Laplace se aplica para la conducción de estado estable sin generación interna de calor: 71

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72

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

(2-54)

Las dos ecuaciones anteriores se aplican a un medio isótropo, o sea el medio cuyas propiedades no varían con la dirección; se supone que las propiedades físicas también son independientes de la temperatura. La consideración inicial será la conducción de estado estable unidimensional sin generación interna de energía.

4.1-1

Sistemas unidimensionales sin generación

Tal como se acaba de mencionar, se aplica a este caso la ecuación de Laplace. Una forma general de la ecuación de Laplace en una di· mensión es

.É... (Xi dx

dT) =O dx

(4-1)

en donde i = O, 1, ó 2 en coordenadas rectangulares, cilíndricas yesféricas, respectivamente. 4.1-1.1

Paredes Planas

En el caso de una pared plana como la mostrada en la figura 4.1, se aplica la ecuación (4-1) con i = O. La ecuación y condiciones de frontera que se deben satisfacer son 2

-ddX2T = O

Figura 4.1 Conducción de estado estable en una pared plana.

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(4-2)

CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

T(x) T(x)

= =

= To T(L) = T L

73

enx = O enx = L

T(O)

La ecuación (4-2) se puede separar e integrar dos veces para obtener

=

T(x)

clx

+ C2

(4-3)

y se pueden evaluar las constantes de integración las ecuaciones de frontera, con lo que se obtiene

Cl

Y

C2 '

aplicando

y

Cuando se sustituyen Cl y C2 en la ecuación (4-3), la expresión final para el perfil de la temperatura queda T(x)

=

T(x)

=

TL

-

L

To

x

+ To

ó To -

To - TL L

x

(4-4)

De acuerdo con la ecuación (4 -4), la variación de la temperatura es lineal en una pared plana bajo las condiciones especificadas como se muestra en la figura 4.1 Se puede usar la ecuación de la razón de Fourier para determinar el tlujo de calor o la razón de flujo de calor en este caso . Para referencia, a continuación se repite la ecuación de la razón, presentada en el capítulo 1 en forma escalar. q

= x

- kA dT dx

(1-1)

Dado que en el caso de estado estable qx es constante, se puede separar e integrar directamente esta ecuación como qx

{L dx

Jo

= -kAfT dT To

lo que da (4-5) En otra forma, se puede líaber evaluado el gradiente de temperatura dTjdx de la ecuación (4 -4) y sustituido en la ecuación (1-1) para lograr un resultado idéntico . En los siguientes capítulos se emplean estas dos formas alternas de evaluar el flujo de calor, ya sea por integración directa de la ecuación de la razón de Fourier o resolvien -

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74

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

do el perfil de la temperatura y sustituyendo la expreSlon del gra diente de temperatura en la ecuación de la razón. En determinados casos un enfoque puede ser más sencillo que el otro , aunque no se puede establecer un enunciado general en este sentido. La cantidad kA/L, en la ecuación (4-5) se denomina la conductancia térmica para una placa o pared plana. Se llama resistencia térmica al recíproco de esta cantidad, L/kA. Los dos ejemplos siguientes ilustran el uso de las ecuaciones (4-4) y (4-5) al igual que el concepto de la resistencia térmica.

Ejemplo 4.1 Se desea transportar agua a presión por un tubo empotrado en una pared de 4ft de espesor. Se desea colocar el tubo en la pared en donde la temperatura es de 250°F . Se mantiene una de las superficies de la pared a 425°F y la otra a 160°F como se muestra en la figura 4 .2. Si el material de la pared tiene una conductividad térmica que varía con la temperatura de acuerdo con

k = 0.5(1

+ 0.06T)

en donde T está en °F y k está en Btu/ hr-ft-OF, ¿a qué distancia de la pared se debe colocar el tubo? En este problema no es válido el perfil lineal de la temperatura debido a la dependencia de k en la temperatura. Con k definida como una función lineal de T en la forma k(.T) = a(l + fl T) , la ecuación de la razón queda

qx

425°F

=

dT

-a(1

+ flT)A dx

nlll~11111

0

160 F

Figura 4.2 Sistema de pared plana para el ejemplo 4 . 1.

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CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

75

Separando las variables e integrando se obtiene

fJ3. ('"dx = A

Jo

o:J'"T (l + f3T) dT o

ó

o. hasta

cuando se integra desde x = L, se llega a la relación

una posición general x. Si se integra desde x

Para el problema que se está considerando, q",!A es constante, L = 4 ft, T = 250. °F, T o = 425 6 F , T L = 160.°F y y f3 son los coeficientes en la expresión para k. Igualando las expresiones para q",/A , se tiene

o:

=«~}t.

y sustituyendo los valores conocidos para T"" T o, TL, Y {J, se tiene que x Es interesante hacer notar que si se hubiera ignorado la dependencia de la temperatura en la conductividad térmica y se supusiera la variación lineal de la temperatura, se hubiera colocado al tubo a, 2.64 ft de la pared caliente . A esta distancia la temperatura real es de 294°F. La presión de saturación del agua a 25O. o F es de 29.82 psi y a 294°F e! valor es de 61.20.1 psi, un factor de más de 2 a 1. Obviamente . fue conveniente en este caso incluir la dependencia de la conductividad térmica en la temperatura.

Ejemplo 4.2 Se construye Ul1a pared de horno con ladrillo de arcilla refractaria de 3 in (k = 0..65 Btu/ hr-ft-OF) próximo a una caja de fuego o fogón y acero suave de 1/4 in k = 24 Btu/ hr-ft-OF) en e! exterior. La superficie interior de! tabique está al 2O.O. o F Y e! acero está rodeado por aire a 8O. o F con un coeficiente de superficie exterior de 12 Btu /hr-ft2-°F. Encontrar a) e! flujo de calor a través de cada metro cuadrado de acero b) la temperatura de la superficie exterior de! acero e) el porcentaje de incremento en e! flujo de! calor, si además de las condiciones especificadas, hay dos pernos de acero de 1.9 cm de diámetro que se extienden a través de la pared compuesta por 3/ 4 iÍl2 de área de la pared. Para la pared compuesta , el circuito eléctrico análogo es T2

TI

o

VV'v Rt a bi q u('

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o

T3

NI' R an' ro

o

T4

Wv Rco ll v

o

76

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

y el flujo se puede evaluar usando la ecuación (1-14):

(1-14) A su vez, las resistencias térmicas son

R,abique=

L kA

R

L kA

acero =

I

3j12 ft (0.65 Btujhr-ft-OF) (A , ft2)

ta biqu e=

I acero =

0.25j12 ft (24 Btujhr-ft-°F)(A , ft2)

1

Rconv

hA

=

1 =

(12 Btujhr-ft2-OF) (A , ft2)

=

=

=

0.385 hr-o¡.. Btu

-;;¡-

0.00087 hr-oF - -ABtu

0.0833 hr-oF - ABtu

La resistencia térmica combinada es

1

R

0.469 hr-°F

= A (0.385 + 0.00087 + 0.0833) = -"A Btu

y el flujo de calor es

q

A=

1200 - 80 0.469

=

1120 0.469

=

2390 Btujhr-ft

2

Conocido el flujo de calor, se puede encontrar la temperatura de la superficie de acero, usando cualquiera de las si~ientes ecuaciones:

1200 - T 3 T3

-

80

= q(Rt a bique + Race ro)

= qRconv

El valor resultante para T 3 es

T 3 = 1200 - (2390 Btujhr-ft2)(0.386 hr-OFjBtu)

= 80 + (2390 Btu/hr-ft2)(0.0833 hr-OFjBtu) =

278°F

En el caso de pernos adicionales de acero a través de la pared, existen dos caminos por los que puede fluir el calor desde el interior de la pared del horno al aire exterior. Abajo se muestra el circuito eléctrico equivalente en este caso .

R a jetas

T , 0 - --

----1

\ r - - - o T aire Rco nv

R ta biqu e

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R acer o

CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

Se conocen Rtabique Ra ce ro' acero igual a

Se calcula la resistencia térmica para los pernos de

Rconv

L

Rpcrnos

77

3.25/12 ft

= kA = (24 Btu/hr-ft-oF)

/

[

7T

2

X

(0.75\2J ft2 ft2 A

¡ U J

1.84 hr-oF Btu

=A

La resistencia equivalente a la parte del circuito conectada en paralelo es

Requiv

= ---------

0.319 hr-oF

(0.543

--+ 2.59)A = Btu A

La resistencia térmica total para la pared y pernos es

0.319

A

0.402

0.0833

+ -A -

A

y el flujo térmico resultante es

q

t1T

A

R

- =-

=

1200 - 80 0.402

1120

= - - = 2790 Btu/hr-ft2 0.402

que significa un aumento de 400 Btu/hr-ft2 o sea pernos.

4.1-1.2

16.7% sobre la pared sin

Cilindros huecos

Para la conducción de calor de estado estable a través de una pared cilíndrica en la dirección radial, la ecuación de Laplace toma la forma

.E..(r dT) dr dr

=

O

(4-6)

Separando las variables e integrando se obtiene

dT =~ r

c1ln r

+C

y nuevamente

T

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=

(4-7)

dr

2

(4-8)

78

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

Figura 4.3 Cond ucción de estado estable en una pared cilíndrica.

Si el sistema y las condiciones de frontera son como se indica en la figura 4.3, o sea que T(r i ) = Ti Y T(ro) = T o, entonces las constantes de integración el Y e2 quedan

= -

el

1'; - To

con lo que la expresión para T(r) queda ln~

1'; - T

r·

= - ' (1'; -

To)

(4-9)

In ro ri

Al determinar la razón de -flujo de calor se aplica la ecuación de la razón de Fourier en su forma cilíndrica q r

=

dT -kA dr

El área en este caso es 27TrL, y el gradiente de temperatura dTldr está dado por la ecuación (4-7). Sustituyendo estos términos en la expresión de la razón del flujo de calor se tiene

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CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

79

que es equivalente a la ecuación (1 -5) que se obtuvo de distinta for ma. En el ejemplo 1.1 se demostró la aplicación de la ecuación (1-5).

4.1-1.2

Esferas huecas

En el caso esférico, la forma unidimensional de la ecuación de Laplace para el caso del flujo de calor radial es

!!:"'(r2 dT) = O dr

(4-11)

dr

Separando las variables e integrando dos veces se obtiene dT

el - -

-

( 4-12)

el T = - r

+e

(4-13)

2

Las condiciones aplicables de frontera para este'caso esférico son T(r i ) = Ti y T(r o) = To' Apiicando estas condiciones de frontera se obtiene, para las constantes de integración. el = -

y,

1'; - To

1

1

finalmente , para T(r), 1

T(r) - Ti

=

1

t--l (1'; r·

r

To)

(4-14)

La expresión para el flujo radial d.e calor en una capa esférica es q

r

=

dT - kAdr

en dondeA = 4m 2 y dT/drestá dada por la ecuación (4-12). Cuando se efectúan estas sustituciones, qr queda

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80

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

(4-15)

o, en forma equivalente,

(4-16)

De la ecuación ~ 4 -16) se ve que la resistencia térmica para una esfera hueca es (4-17)

y el factor de forma es

47Tr r

i O s =--

(4-18)

ro - ri

Por ser de utilidad, en la tabla 4.1 se resumen las expresiones para la razón de flujo de calor, la resistencia térmica y el factor de forma para los tres casos unidimensionales de estado estable que se han considerado hasta ahora .

Tabla 4.1 Un resumen de resultados para la conducción unidimensional de estado estable de calor Razón de flujo de calor Configuración Pared plana

Cilindro hueco

Esfera hueca

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Resistencia térmica

Factor de forma S

qx

Rt

S

kA L

L kA

A L

1nro ri 21TkL

21TL

qx = - I:!..T

_ 21TkL I:!..T qr - - ro ln ri _ 41TkrOYi I:!..T ro - ri

qr - - -

ro - ri . 41TkrirO

1nro ri 41TroYi ro - ri

CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

4.1-2

81

Conducción de calor unidimensional de estado estable con generación interna

En esta sección se dan dos ejemplos que involucran sistemas con generación interna de energía térmica. Los efectos más obvios de esta consideración adicional, en sentido analítico, son las distintas formas de las ecuaciones gobernantes y los . resultados provenientes de aquellos encontrados en la sección anterior. La energía agregada en un medio como generación interna se denomina una fuente homogénea en tanto que la agregada en una frontera o localización específica en el medio, es una fuente heterogénea. Una adición homogénea de energía altera la forma de la ecuación gobernante. La adición heterogénea de energía no cambia la ecuación gobernante, aunque se muestra a cambio como una condición de frontera con lo que afecta el resultado en forma distinta. En esta sección se considera la adición de energía del tipo homogéneo. Ejemplo 4.3 Para la pared plana mostrada en la figura 4.4, comparar las expresiones para T(x) que se aplican a los casos de a) una razón de generación volumétrica uniforme q. b) una razón de generación que vaña linealmente con la temperatura en la forma

En ambos casos, se puede tomar la temperatura de la superficie como una constante. Se aplica la forma unidimensional de la ecuación de Poisson. La ecuación (2·54), escrita para la dirección de las x es

d 2T dx2

q

+k =

O

(4-19)

La primera separación de variables e integración da

dT dx

q

+ -k x

= e

1

Se evalúa la constante de integración el aplicando la condición de simetría en la frontera dT/dx = O en x = O. Por tanto, se encuentra que la constante el es cero. Mediante una segunda separación de variables e integración obtenemos

qx2

T

+-. = e 2 2k

En este caso la condición aplicable de frontera es T( ±L) = T Lo por lo que e2 se evalúa como

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82

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

Figura 4.4 Configuración de pared plana con generación interna de energía térmica .

La expresión que resulta para T(x) es

(4-20) Para el caso b), la ecuación aplicable es

Se puede poner esta expresión en forma más conveniente mediante un ligero cambio en la variable si = T - T o' La temperatura T o es un valor constante de referencia. Ahora la ecuación en es

e

e

d 2e dX2

q

+ k-'! (1 + pe) = o

Las condiciones de frontera aplicables son

de = dx

-

o

en x =

o (simetría)

Introduciendo las constantes A y B, definidas como

B =~ k

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CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

83

se tiene una forma todavía más sencilla para la ecuación gobernante

La solución general a esta ecuación diferencial de segundo orden es

o=

el cos Ax

+ e2 sin Ax

- B/ A2

Aplicando las condiciones de frontera se obtiene

B

+ A2

(}L

el = e2

cosAL

=O

Por lo que se puede escribir la expresión final para O en la forma

(O

()-

L

B) cos Ax +- - -AB2 A 2 cos AL

(4-21)

La consideración adicional de la generación variable con la temperatura tiene el resultado obvio de matemáticas más complicadas para llegar al resultado final.

Ejemplo 4.4 Se tiene una columna cilíndrica de concreto 3 ft empleada para la construcción de un puente . La longitud de la columna es suficiente para que se pueda despreciar la variación de la temperatura a lo largo de su longitud . Tratando la columna como concreto sólido con una conductividad térmica promedio igual a 0.54 Btu/hr-ft-oF, determinar la temperatura al centro del cilindro al tiempo en que se encuentra que la temperatura de la superficie exterior es de 180°F. Se puede considerar que el calor de hidratación del concreto es igual a 1.1 Btu/lbmhr, I Y se puede suponer una densidad promedio de 1501b/ft3 para el mismo. La ecuación dominante es la ecuación umdimensional de Poisson en las coordenadas cilíndricas

+ 1.

1 d ( dT) ;: dr r dr

k

= O

Las condiciones de frontera son

dT = O en r = O (simetría) dr

y

T = TL en r = R . Separando las variables e integrando una vez, se obtiene

dT dr

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ti

r

+ k2

el r

84

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

De la condición de simetría se tiene que la constante el es O. Mediante una segunda separación de las variables e integración se obtiene para T ,

JTLdT+l{ JorR~dr=O q k

To

TL

-

2

R2 T o +k4 =0

ó

q R2

To

=

TL

+ k4

Sustituyendo los valores numéricos apropiados para T L

°

T o = 180 F = 180

4.1-3

+

(4-22) ,

q, k, y R

se obtiene

(1.1 Btujlb m hr)(l50 Ib m jft 3 ) (1.5 ft)2

+ 172

0.54 Btujhr-ft-oF

-4-

= 352°F

Transferencia de calor desde superficies extendidas

Un método para aumentar la transferencia de calor entre una superficie y un fluído adyacente es aumentando el área superficial en contacto con el fluído. Este aumento en el área puede ser de la forma de puntas, álabes y otros tipos de superficies extendidas con distintas configuraciones. La figura 4.5 ilustra una situación general que se empleará para formular los análisis de las superficies extendidas.

Figura 4 .5 Una superficie extendida de c.onfiguración general.

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CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

85

Bajo las condiciones de estado estable, un análisis de la primera ley del volumen de control de espesor ~x, área transversaIA(x), y área superficial S(x), se reduce a

óQ

-= 0 dt

Suponiendo que la conducción del calor está en la dirección positiva de las x (o sea que la aleta está a mayor temperatura que el fluído adyacente), se puede escribir la relación de la primera ley como

o, expresado en palabras, la energía de entrada por conducción en x es igual a la energía de salida por conducción en x + ~x más la energía de salida por convección .. Si se sustituye la expresión adecuada de la razón para cada una de las q, suponiendo una forma de mosaico en todas, excepto en la dirección de las x, se tiene kA dT dx

I X+dX

kA dT dx

Ix -

hS(T - T ",)

=

O

Ahora se expresa S(x) como el producto del perímetroP(x) por ~x, y se divide entre ~x para obtener kA dT dx

I - kA dT I x+dx

.

dx

x _

hP(T _ Too)

=

O

~x

Tomando el límite cuando general

~x -+

O, se obtiene la ecuación diferencial

-d [ kA(x) -dT] - hP(x)[T - Too] dx dx

=

O

(4-23)

La ecuación (4.23) da muchas formas distintas cuando se aplica a distintas geometría:;. En las secciones siguientes se consideran tres configuraciones representativas.

4.1-3.1

Aletas o agujas de sección. transversal uniforme

En la figura 4.6 se muestran dos configuraciones posibles, en donde P(x) = P y A(x) = A, son constantes. Considerando también constantes a k y h, la expresión general dada en la ecuación (4-23) se reduce a

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86

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION 2

d T _ hP (T _ T ) dX2 kA 00

=o

(4-24)

= Figura 4.6 Dos configuraciones de superficies extendidas con secciones transversales uniformes.

4.1-3.2

Superficies rectas con seccwn transversal uniformemente variable

La figura 4.7 muestra una aleta de sección transversal rectangular con espesor variable linealmente. Para los valores de A y P designados por Ao y Po en la raíz y AL YP L en el extremo, se puede expresar la variación en A (x) y P(x) en forma lineal como

Denotando el semiespesor de la aleta por t o Y t L en x = O Y x = L, respectivamente, las expresiones para A o, AL' Po Y P L por longitud unItaria de aleta son Po

PL

= =

+ 1) 2(2t L + 1)

2(2/0

La ecuación diferencial dominante aplicable en este caso, con k y h constantes es

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CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

87

~--~~----L----------~

Figura 4.7 Una aleta rectangular de espesor variable linealmente.

4.1-3.3

Superficies curvadas con espesor uniforme

La aleta circular de espesor constante, como se muestra en la figura ' 4.8, es un tipo común de superficie extendida. Para esta configuración, se pueden escribir , A(r}y P(r) en la forma A(r) P(r)

= 47Tr! = 47Tr

La sustituclOn de estas cantidades en la ecuación (4-23) da la expresión aplicable para este caso. Con k y h constantes, se tiene

~ (r dT) dr

dr

_

hrkt (T -

T oc,)

=

O

(4-26)

Además de las complejidades obvias introducidas para geometrías más complejas, la consideración de k y h variables haría mucho más difícil el análisis. Las soluciones a cada una de las ecuaciones desarrolladas son de gran interés. Solamente se entra en detalle con relación a la primera de las tres configuraciones que se consideraron, o sea con relación a la aleta recta de sección transversal constante.

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88

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

Figura 4.8 Una aleta circular con espesor constante .

4.1-3.4

Soluciones para aletas rectas de sección transversal constante

La relación por resolver es la ecuación (4-24). Combinando términos en el coeficiente, se escribe hP/kA = m2, y transformando la variable dependiente como () = T - Too , se obtiene, para la relación dominante, (4-27)

La solución general de la ecuación (4-27) es de la forma (4-28)

ó () = A cosh mx

+ B senh mx

(4-29)

Cualquiera de las formas para la solución general es correcta; una de ellas puede ser preferible para un caso dado.

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CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

89

Se necesitan dos condiciones de frontera para evaluar las constantes en la ecuación (4 -28) y o (4-29) . Se consideran cuatro conjuntos : l. Una aleta muy larga (J

=

en x = O enx-+co

(Jo

(J = O

2. Una temperatura conocida en x (J (J

= =

=

L

(Jo

en x

(J L

en x

=O =L

3. Un caso con aislamiento en el extremo (J = (Jo d(J

=

dx

en x = O

O en x

=

L

4. Conducción al extremo igual a la convección desde el extremo (J

k d(J

dx

= =

(Jo h()

en x en x

=

O

=

L

La primera condición de frontera en cada uno de estos conjuntos es igual, e indica que la temperatura en la base del álabe es la misma que la de la superficie primaria a la que está unido. La segunda condición en cada conjunto representa la condición en el otro extremo, en x = L . Usando el primer conjunto de condiciones de frontera con la ecuación (4 -27), se obtiene, para el perfil de la temperatura, (J (Jo

-m",

To - Too

= e

(4-30)

Para el conjunto (2) de las condiciones de trontera la expresión resultante para (J es (4-31) Observe que conformeL -+ co,la ecuaClOn (4-31) se aproxima a la ecuación (4 -30). Para el conjunto (3), la expresión resultante del perfil de la temperatura es (4-32)

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90

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

ó (J

T - Too

(Jo

To - Too .

cosh [m(L - x)] cosh mL

(4-33)

Nuevamente se notará que ambas expresiones se reaucen a la ecuación (4-30) conforme L -- oo. La solución para (J usando el conjunto (4) de condiciones de frontera es (J _ T - Too (Jo

=

To - Too

cosh [m(L - x)1 + (hjmk)senh[m(L - x)] cosh mL + (hjmk) senh mL

(4-34)

La ecuación (4-34) también se reduce a la ecuación (4-30) conforme L -- oo. Para evaluar la transferencia de calor desde una aleta cuyo perfil de temperatura está dado por una de las ecuaciones anteriores, se pueden tomar uno de dos enfoques. Un método posible es integrar sobre la superficie de la aleta de acuerdo con q

=

i

h[T(x) - Too] dS

=

i

h(J dS

(4-35)

Un segundo método es evaluar la razón de transferencia de calor al álabe por conducción en la raíz. La ecuación que se aplica en este caso es q

=

dTI d(J -kA = -kAdx 0:=0 dx

I

(4-36)

:>:=0

Normalmente , la ecuación (4-36) es la más fácil de usar de las dos. La tabla 4.2 relaciona los perfiles de temperatura y las razones de transferencia de calor de aletas rectas que se aplican a cada uno de los cuatro conjuntos de condiciones de frontera que se consideraron antes. Para geometrías más complicadas, se hacen más complejas las expresiones para la variación de la temperatur a y el flujo de calor, que las dadas en la tabla 4.2. Algunos de estos casos quedan como ejercicios para el lector . Es claro que un álabe sería más efectivo si la temperatura fuera la misma en todas partes al igual que en la superficie primaria a la que está unido. Para un álabe 100 % efectivo, la transferencia de calor a un fluido adyacente está dado por (4-37)

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------------- ---- - --------------

CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

91

Para un álabe con T(x) < T o para x > O, la transferencia de calor es menor que la dada por la ecuación (4-37). La razón de transferencia real de calor desde una superficie extendida al máximo posible, según lo expresa la ecuación (4-37), se denomina la ejectz'vidad del álabe y se representa por r¡f' r¡f

qr('a J

= - --

(4-38)

qmáxima

En la figura 4.9 se muestra una gráfica de la efectividad del álabe en función de parámetros significativos para un álabe recto y para un álabe circular de tres longitudes distintas. Para una superficie alabeada, la transferencia total de calor está dada por qtotal

=

qsuperfi cie primaria

+ 'faJotas (4-39)

Expresando el segundo término o sea la transferencia de calor desde los álabes en función de la efectividad del álabe, se tiene q t otal

= hAo(To - Too)

+ hAfr¡f(To -

T oo )

ó (4-40)

En la ecuación (4-40), Ao representa el área de la superficie primaria que está en contacto con el fluí do ambiente, y Af es el área superficial total del álabe. La diferencia de la temperatura T o - Too Y el coeficiente de la superficie h se suponen constantes. En el ejemplo 4.5 se ilustra una aplicación de la ecuación (4-40). Ejemplo 4.5 Se separan aire yagua mediante una pared plana hecha de acero dulce. Se propone aumentar la razón de transferencia de calor entre estos dos fIuídos agregando álabes rectangulares rectos de acero dulce de 0.05 in de espesor, 1 in de longitud y espaciados a 0.5 in entre los centros, a la pared. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la transferencia de calor que se puede lograr agregando álabes a a) el aire exterior, b) al lado del agua, e) a ambos lados, de la pared plana? Se pueden tomar los coefi· cientes del lado del aire y del agua iguales a 2 y 45 Htu/hr-ft2-"P, respectivamente. Para 1 in 2 de área original de pared , las áreas de las superficies primaria y alabeada sC'n

. (0.05/12 ft) Ao = 1 ft2 - (24 fins)(l ft) fin = 0.9 ft2

Af = (24fins)(1 ft)(2 x 1/12 ft) =4.1ft2

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+ 0.1 ft2

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4.

3.

2.

1.

00

e-mee

00

dO -k - (L) = hO(L) dx

cosh mL

00

)

+ e-m",

coshmL

+ (h/mk) senh mL

cosh[m(L - x)] + (h/mk) senh [m(L - x)]

cosh[m(L - x)]

O

mX

e mL _ e-mL

_ e-mL )(emX_e-

O(x) = T(x) - Too T o - Too

O

0(0) = 00

dx - (L) = O dx

0(0) = 00

O(L) = 0L

00

=

O = (O-.!:: _

00

O(

-l :%l

~

CONDUCCION DE ESTADO ESTABLE

93

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 1------1~"& f\.:

I

Modelo

Flujo de aceite

r-

~

\

-

1- ~

\

t--

R ~ ~ ~ 0.5 Y un valor de cpL(Tsat - To)jh,g 1.0, Rohsenow 67 sugiere remplazar el término [h,g + 3j8c pL(Tsat T o)] por [h,g + 0.68c P L(Tsat - T o)] , y se encuentra que esta expresión es bastante congruente con los datos experimentales. La expresión recomendada para los fluidos que se condensan en una pared plana inclinada un ángulo de la horizontal es

<

e

(5-222)

5.4-2.2 Condensación de película; consideraciones de flujo turbulento El flujo en una película de condensación se hace turbulento cuando el espesor de la película se hace notable, o sea cuando las razones de condensación son grandes o cuando la superficie fría es larga. En tales casos, ya no es válida la suposición laminar, inherente a todas las expresiones desarrolladas hasta este momento. Como se espera, el criterio para el flujo turbulento es número de Reynolds. En este caso, la forma que toma Re es

Re=

DeqVpromp

,u

4A

r

P

pA,u

67 W. M. Rohsenow , Trans. A. S. M. E. 78 (1956): 1645.

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P

4r

=-P--=-

,u

(5-223)

300

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION

en donde , como antes, r, es la razón de flujo de masa del condensado por ancho unitario de película. Para un tubo vertical, r es la razón de flujo de masa total d ividida entre 7rD. En el caso de una película de condensado, el número crítico de Reynolds es 1800. Rohsenow y Choi 68 sugirieron un procedimiento analítico para los casos en que una película de condensado está en flujo turbulento. En la figura 5.49 se muestra el coeficiente de transferencia de calor asociado con la condensación en superficies verticales, en función tanto del número de Reynolds de película, como de la magnitud del esfuerzo cortante en la interfase vapor-condensado. En esta figura se

102

104

103 Re

10S

=;;

Re =4r IJ

Figura 5.49 Coeficiente de transferencia de calor para flujo turbulento de una película condensada en superficies verticales. [De W. M. Rosenow y H. Choi, Heal, Mass, and Momenlum Transfer (Englewood Cliffs, N. J.: Prentice·Hall, Inc., 1961). Con permiso del editor.] 68

Rohse now y Choi , op. cit.

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TRANSFERENCIA DE CALOR CON CAMBIO DE FASE

301

puede determinar el coeficiente de transferencia para valores de Pr de 1 y 10. El parámetro 7,,* representa el esfuerzo de corte entre fases en forma adimensional; se define en la forma

* 7"

(5-224)

7"

= g(PL _ p,,)(y2/ g)1 / 3

En la ecuación (5-224), 7" es el esfuerzo cortante promedio en la interfase. Se calcula a partir de jG;prom

(5-225)

=---

7

"

2p"

para lo cual el coeficiente de fricción f se determina de la gráfica dada como figura 5.50. La velocidad de masa promedio del vapor, G" prom, se determina de las condiciones en la parte superior e inferior de la superficie de condensación, de acuerdo con G" prom= O.4(G"superior

+ 1.5G" fondo)

(5-226;

En el ejemplo 5.9 se ilustra el uso de estas figuras y ecuaciones. 0.1

~'" ~

Para un líquido en temperatura de ebullición

1~0..H-

0.05 /

0.02

f

r--.. .......

sb-t-

~

0.01

..... ¡¡;;,

-

¡...-¡.... ¡......¡...-

L /

/ ~

0.005

¿60' /

I /

/ ...r--

......

.....

40

~

~ :;:: ~f:::

30

/", 20~5 ",'

V ./

10

:::::::: ~~ t;:;: ;:t:; ~

S ~6

". 4

¡,...-2";;; ¡:::;

V

.....

./

-

1 0.5

.....

--

_ 0.2 ~

0.002

0.001 10 3

lO'

10 5

106

Figura 5.50 Coeficiente de fricción para un gas que fluye paralelo a una capa líquida m una pared. (De O . P. Bergelin, P. K. Kegel, F. G. Carpenter y C. Gozley, Heat Transfer and Fluid Mechanics Institute , Berkeley, Calif. , 1949. Con permiso :lel editor.)

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302

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION

Ejemplo 5.9 Se desea condensar 30 lb/min de vapor saturado a 250°F, usando un tubo de 2 in de diámetro interior cuya superficie se mantiene a 150°F ¿Cuál es la longitud mínima del tubo requerido? Con un tubo de longitud mínima , Gv ¡nfer = O, y 0.4(30 Ib/min)(60 min/hr) ~/4(2/12 ft)2

Gvavg =

33,000 Ib/hr-ft2

=

Ahora se puede calcular el número de Reynolds del vapor. Re = v

2 (33,000 Ib/hr-ft )C2/12 ft) = 172 000 5 (0.89 X 10- ft 2/sec)(3600 sec/hr) ,

Para leer ¡de la figura 5.51, se debe conocer la camidad(a",/a)(r/p). La tensión superficial relativa a ",/a = 1, y r Lprom es

r

L prom

+ 30 ~)

(60 min) mm hr lb = -'---7T-C""'2'""'¡""'12:-:-ft':-)---'- =1720hr-ft (

O

2

por lo que

a", r

Lprom

-;; - p-

=

1720Ib/hr-ft 59.91b/ft3 = 28:7 ft2/hr

El va lor correspondiente defes 0.013 . En e~te punto también se puede determinar el número de Reynolds de la película · de salida en esta forma 4(3440Ib/hr-ft) 0.195 x 1O-3 1b/seC-ft(3600

~:C)

= 19,600 y se ve que la película condensada está en flujo turbulento. Habiendo determinado ¡, se puede evaluar T v Y T V * en la siguiente forma:

T

V

= 0.013

Se g)2 3 ( l bm-ft ) ( 2(0.0723 lb".Ift ) 32.2 seg2-1b 3600 hr f

= 0.235 lb j /ft 2 y Tv

*

5 2 2 ( lb m) [ (0.395 X 10- ft /seg)2] 1/3 (32.2 ftjseg) 59.9 ft3 32.2 ft/set

= 49.9

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TRANSFERENCIA DE CALOR CON CAMBIO DE FASE

303

Usando la figura 5.49, se obtienen valores de (hm/k)(v 2/g)l /3 en Pr = 1 y 10, respectivamente, iguales a 0.58 y l. Para Pr = 1.83, el valor interpolado de (hm/k)(v 3 /g)1 /3 es 0.63 . Las cantidades necesarias para completar la solución son como sigue ahora:

0.63k 0.63(0.383 Btu/hr-ft-oF) h = -( V-2/g- )1-'3 = - ---;(f-=-tj-:-:-1-:-:27=-=3-:-:0)--

= q A

=

h Ó.T

(30 lb m /min)(946

=

Aj-rrD

BtUjlbm)(~)

(3150 Btu/hr-ft2-OF)(lOO°F)

= =

L

3150 Btu/hr-ft2-°F

5.40 ft2

= 5.40 ft2/-rr(2/12 ft) = 10.32 ft

5.4-2.3 Condensación de película,. cilindros horizontales solos Nusselt 69 propuso la siguiente expresión para el coeficiente medio de transferencia de calor en el caso de condensación de película en un cilindro horizontal de diámetro D:

El lector observará la semejanza entre la ecuación (5-227) para un cilindro horizontal y la ecuación (5-22 1) para un cilindro vertical. Se pueden combinar estas expresiones para obtener la relación hv crt hhoriz

=

O.943(D)1/4=1.3(D)1/4 0.725 L

L

(5-228)

Con h v ert = hhOriz, se puede resolver la ecuación (5-228) para obtener el resultado siguiente L

- = 2.86 D

(5-229)

Este resultado indica qu e para un tubo con razón de longitud a diámetro de 2.86, hay cantidad.es iguales de transferencia de calor para la orientación horizontal como para la vertical. Al aumentar la razón L / D es posible tener mayor transferencia de calor con un tubo horizontal. 69

Nusselt , 569.

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304

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION

5.4-2.4

Condensación de película; bancos de tubos horizontales

En el caso de varios tubos horizontales apilados en un banco vertical, el vapor que se condensa en el tubo de más arriba fluye hacia abajo y aumenta la cantidad de condensado en el tubo que está abajo del mismo. La cantidad total de condensado formada en un banco ver tical es el efecto acumulativo de la transferencia de calor a todos los tubos en el banco. Obviamente, la transferencia de calor y la razón de condensación para un tubo dado están afectados por la orientación del tubo en el banco y por su localización con relación a los otros. Nusselt 70 analizó el caso de la condensación de película en un banco vertical de n tubos horizontales y sugirió la siguiente ecuación para el coeficiente promedio de transferencia de calor: h = 0.72S{PLg(PL - Pv)k [h¡g + (3j8)Cr.at - To)]} prom n D¡¿(Tsat - To) 3

(S-230)

Chen 71 observó que los valores de hpromde la ecuación (5-230) están por debajo de los resultados experimentales. Incluyó el efecto de la condensación en la capa líquida entre los tubos y obtuvo la expresión hprom = 0.72S[1

+ 0.02 cpL(T"at -

To) (n - 1)J

h¡g X

[PLg(PL - pv)e[h¡g + (3j8)(T"at - To)]J1/4 (S-231) n D¡¿(T"at - To)

que es bastante congruente con los valores de los resultados experimentales. La ecuación (5-231) es válida para los valores de [cpL(Tsat - To)(n - l)jh/O] > 2.

5.5 RESUMEN En este capítulo se han considerado con mucho detalle los procesos de intercambio de energía que ocurren en una superficie sólida y un fluido adyacente. Al examinar los fundamentos de la convección, se consideró en primer lugar la naturaleza de la interacción fluido-sólido en un caso de flujo. Se dio el concepto de una capa límite y se desarrolló el análisis de capa límite tanto para casos de flujo interno como de flujo 70 ¡bid.

71 M. M. Chen . A. S. M. E . Trans ., Serie

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e

83 (196 1): 48.

RESUMEN

305

externo. Los parámetros importantes presentados incluyen los coeficientes de arrastre, de fricción superficial, el factor de fricción de Fanning , la difusividad turbulenta y la longitud de mezclados de Prandtl. Las técnicas empleadas para el análisis de capa límite son soluciones exactas de las ecuaciones diferenciales dominantes y las soluciones integrales aproximadas. Se examinó la naturaleza del flujo laminar al igual que la del flujo turbulento . Se estudiaron los aspectos fundamentales de la transferencia convectiva de calor en forma análoga a la del flujo de fluidos. Se estudió el concepto de la capa límite térmica y se analizó por medios exactos, integrales y analógicos. Los parámetros importantes adimensionales para la transferencia de calor por convección son el número de Nus selt, el número de Stanton, el número de Prandtl, el número de Grashof y el número de Reynolds. Se estudiaron los casos de convección natural y forzada y se estudiaron tanto por medios teóricos como empíricos. Se vieron ecuaciones adecuadas para el diseño de equipos y sistemas para la convección natural con distintas geometrías y para la convección forzada tanto con flujo interno como externo. Se consideraron con detalle las condiciones de temperatura superficial constante y las I condiciones de frontera de flujo de calor de superficie constante. El último tema que se consideró en este capítulo fue el de la transferencia de calor acompañada de un cambio de fase entre los lí quidos y los vapores. Se estudiaron los procesos de ebullición y condensación desde los puntos de vista tanto del mecanismo fundamenta l como de los medios que describen y predicen las razones de transf('[encia de calor, en donde las ecuaciones de descripción son principalmente empíricas.

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CAPITULO

6___________________ Transferencia de calor por radiación

La radiación térmica es la parte de la emisión electromagnética de una sustancia que está caracterizada por luz o transferencia de calor. La energía radiante emitida puede tener longitudes de onda consIderablemente cortas, como en el caso de los rayos cósmicos (A. r-J 10-10 cm), o del orden de kilómetros, como sucede para algunas ondas de radio. La banda térmica está en el rango intermedio y generalmente se considera que está entre 0.1 y 100 micras (1 micra, f.J" = lO-Smetros) . En la figura 6.1 se muestra el espectro electromagnético. En las consideraciones de la conducción y convección en las secciones anteriores, se notó que las razones de transferencia de calor varían con la diferencia de la temperatura en aproximadamente a la primera potencia. El intercambio de energía radiante entre dos cuerpos depende de las diferencias entre sus temperaturas elevadas a aproximadamente la cuarta potencia. Otra diferencia significativa entre el intercambio de calor radiante y los otros tipos es que no se requiere un medio para la propagación de energía radiante; en efecto, el intercambio radiante entre dos superficies es máximo cuando se vacía el espacio entre las superficies. Nuevamente se llama la atención del lector a la figura 6.1. Se ve que la banda de radiación térmica incluye el rango de luz visible que se extiende desde aproximadamente 0.38 hasta 0.76 micras. El rango visible se extiende desde el violeta a la banda del color rojo. Se sabe que un objeto caliente tiene un color característico que depende de su temperatura ; el término "rojo caliente" se refiere a la emisión de color rojizo de un cuerpo a elevada temperatura. En este capítulo, el propósito es familiarizar al lector con algunos de los conceptos básicos en la transferencia de calor radiante y presentar algunas técnicas en la descripción cuantitativa de los fenómenos de transferencia radiante de calor. El primer paso es considerar un cuerpo que radía "idealmente" y emplear el comporta307

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308

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADlACION

, Rayos cósmicos

lO-o

10-8

10-2

lO-s

t

1022

Rayos) gama

1020

1T

lO- o

100 10'8

Rayos X

1

10- 2

102

T TI V"". t[(==0.4-0.7/1)

10'S

Ultravioleta N t::

o~

"

:E. lO"

"C "C

"C "C

~

10'2

lO-o

Rojo

'"

'" "o

"

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~ 100 "C

"C

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" "" ":!' u..

lO'

" " o

lOs

~

'0

'0

10- 2 10- 3

"o

o" ...J

...J

E

.9108

lO'

10'0

'"

"C

(-0.7-25/1) 1-

"o '"

'0

"o

...J

108

~

'"

"C

~

lOs

j'~

Infrarrojo lejano

(25-1000/1)

'10- 2 100

"C "C

10'0

102

"o '"

"C "C

~

'0

"

10-' 100 10'

o

Radar, televisión y radio

T

Difusión en onda corta

...J

10'2

Infrarrojo cercano

Radiación

102

108

lOS

Visible

102 lO' 103

+

Difusión en ondtlarga

lO"

10'0

lO' Figura 6.1 El espectro d e r adiación electromagnética

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RADIACION DE SUPERFICIES IDEALES (NEGRAS)

309

miento de tal tipo de superficie como un estándar contra el que se pueden comparar otras superficies no ideales. En la siguiente sección se considera el comportamiento de superficies "negras" que irradian en forma ideal.

6.1

RADIACION DE SUPERFICIES IDEALES (NEGRAS)

Una superficie "negra" es una idealización basada en la respuesta de una superficie a la radiación térmica incidente. En este sentido, es necesario considerar lo que ocurre cuando la energía radiante incide en un cuerpo . Cuando la radiación incide en un cuerpo homogéneo, parte de la energía penetra en él y el resto se refleja. De la parte que penetra en la superficie, parte puede ser absorbida y parte transmitida a través del cuerpo con poco cambio en su naturaleza. La palabra "opaco" describe un cuerpo que no transmite nada de la energía que incide en él. La energía absorbida se convierte a energía interna del cuerpo de que se trata . En forma más completa se puede decir que la energía que incide en un cuerpo se refleja , se absorbe o se transmite. Si se designan por p, IX, Y T como las porciones de energía radiante incidente que se reflejan, absorben y transmiten, entonces se puede escribir (6-1)

en donde se llama rejlectividad a p, absortivz·dad a IX y transmzszvidad a T. De acuerdo con lo estudiado hasta este momento, es aparente que para un cuerpo perfectamente absorbente (negro), IX = 1, Y para un cuerpo opaco T = o. Las reflexiones son de dos tipos, regulares y difusas. La reflexión regular o especular es aquella para la que los ángulos de incidencia y reflexión son iguales. Este comportamiento semejante a un espejo es sensiblemente conocido aunque se encuentra con menos frecuencia en las situaciones cotidianas que el tipo de reflexión difusa. La reflexión dzfusa es aquella en la que la radiación de entrada o incidente se refleja en todas direcciones. Con frecuencia se le semeja a la situación en que se absorbe la energía incidente cercana a la superficie de un cuerpo y luego se reemite. Se llama "negro" a un cuerpo que . Se llama potencia emisiva espectral direccional a la cantidad E b ).(? , e) para una superficie negra . Para algunas superficies no negras, la potencia emisiva espectral E ). también depende de 4>. También se conoce como ley de los cosenos de Lambert a la ecuación (6-4) por razones obvias. Las superficies que se comportan en esta forma se llaman superficies dzfusas o de Lambert. Por lo general, las superficies reales se apartan del comportamiento de la ley de los cosenos.

e

6 . 1-3

Potencia emisiva espectral semiesférica de las superficies negras

La potencia emisiva espectral semiesférica de una superficie negra es la energía emItida de una superficie por unidad de tiempo por

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RADIACION DE SUPERFICIES IDEALES (NEGRAS)

313

unidad de area a una de~erminada longitud de onda. Se determina integrando en todos los ángulos sólidos subtendidos por una semiesfera centrada en dA . Considere la pequeña área dA en el centro de una semiesfera de radio r, como se muestra en la figura 6.4. El ángulo sólido dw, subtendido por la porción de la superficie mostrada es

= sen e de drp (6-5) r2 La emisión espectral de dA se puede escribir entonces en la forma dw

=

(r sene drp)(r de)

(6-6) que se puede combinar con la ley de los cosenos, ecuación (6-4), para obtener

(6-7) Se puede integrar esta expresión en todo el espacio semiesférico para dar Eb;.(Á)

[2" ["/2 = 1b;.(Á) Jo Jo cos e sen e de drp

= 7TI b;.(Á)

(6-8)

El resultado dado por la ecuación (6-8) es de importancia en el análisis cuantitativo del intercambio de energía radiante.

Figura 6.4 Area dA en el centro de un hemisferio de radio

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T.

314

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

6.1-4 Distribución espectral de la potencia emisiva del cuerpo negro: Ley de Planck Como parte de su teoría cuántica, en 1900 Max Planck expresó la temperatura y distribución de longitudes de onda de la potencia emisiva del cuerpo negro en un vacío como EbiA)

=

7Tlb;.(A)

=

27TC l A- 5 ec.ln _ 1

en donde las constantes son C l = hC2 y C 2 = he/K, siendo h y K las constantes de Planck y Boltzmann respectivamente. En la figura 6.5 se grafica la ecuación (6-9) como Eb). contra A mostrando líneas de temperatura constante obsoluta. Se pueden hacer determinados enunciados generales con relación a Eb). del comportamiento mostrado en esta figura. Una característica observada es que la energía total emitida aumenta con la temperatura. A cualquier temperatura, la energía 'total emitida es el área bajo la curva apropiada en la figura, Este incremento en la emisión es verdadero en total y es igualmente verdadero a toda longitud de onda. Se puede hacer una segunda observación en el sentido de que la emisión máxima ocurre a longitudes de onda más cortas conforme aumenta la temperatura. La ley del desplazamiento de Wien expresa cuantitativamente esta característica en la forma (6-10)

en que se ve que las unidades de A y T son micras y grados Rankine respectivamente Se nota adicionalmente que la emisión solar, a una temperatura aproximada de 1O,OOooR, incluye una gran cantidad de energía en la región visible. Se ha sugerido que la parte "visible" del espectro de emisión se debe a que el ojo ha evolucionado para ser sensible a la emisión solar. Como se muestra en la figura 6 .6, las distintas curvas para la temperatura mostradas en la figura 6.5 se pueden consolidar en una sola curva por medio de una sencilla manipulación de la ecuación (69).

Se divide esta expresión entre T5 y se obtiene (6-11)

que expresa Eb)./P como una función de las variables combinadas AT. En la figura 6.6 aparecen graficadas estas cantidades.

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RADIACION DE SU PERFICIES IDEALES

315

108

lOS 10 7 107 ~

¿ Ñ

~

~

!

~



'0.

106

< r...¡

(.)

l OS

~ 'ti

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I

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1l. en

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E

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'13 c: 10 2

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10 2 10' 10'

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Violet~

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\ 10 5

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-<

,1\ It~

~

h

.,

106

/

I

/'

'-

Rojo 2

~ ~ Región visible

[OR

(0 K)]

10,000 (5555)

~oo (2778)

~

i'--"~r----.. r---.. i'-.~i'-.. ¡--..... i'---. r........

-

i'---. ...... ,, ¡-......, 30~0 (16~ r-.... ¡-.... , ~ r-- r--r-- r--

1/

~III I J

1'<

Temperatura del cuerpo negro T

t·,~~

-r--

i--

Lugar de los máximos valores, E ¡'b(Amax , T)

4

6

8

10

12

Longitu d de onda , A(,,)

(0.4- 0.7,,)

Figura 6.5 Distribució n espectr a l de la pOlené ia cmisi va del cuerpo negro a dist intas temperat ur as.

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316

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

L

- - Ley de Planck . - - - Distribución de Wein - - - Distribución de Rayleigh-Jeans I

I

(Ama. TI

14,000

12,000

í"' o

x 10 ,000

~

'"E ~

8,000

I :

l!.-

2;

160

~

6,000

:::::

4,000

2,000

o

J

;:;

I

I

I

I I I

,/

.o

¡¡f

41,800 23,200 99

./

I I

V I

.2

.1

I I

I

J:

o

I

,:

I .4

I

I

i

¡

II

T

I

I

~I \

\

\

I :

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I : I

:'~ \

I

I1 .8

I

1

I I

.6

I I I

I

I

I

J

40

1\

I ,:

!

80

,:

IV I~

i 11

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I

1I

I

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.:l 120

~

J

"'a:

/ r\

I

al

'-.. t!.

¿

x

I

~

l!.-

2;

AT[ (¡.t)(" RI]2606 5216 7394 11,069 AT[(¡.t)("KI] 144S- 28984108 6,149 Po rce ntaje de 1 25. 50 75 potencia emisiva debajo de í"' I ~ 200 AT 240

1

,~

1

~~ !

2.

6

4

Producto de la longitud de onda-temperatura , AT [(¡.t)(" RI] X 104

.6

.8

1

2

4

6

8 10

Producto de longitud de onda-temperatura, AT [(¡.tW KI]

20

40

X 10 3

Figura 6 .6 Poten cia emisi va monocromática de cuerpo negro e n función de

A.T.

6.1-5 Intensidad total y potencia emisiva de un cuerpo negro La ecuación (6-2) expresó la forma de determinar la intensidad total del cuerpo negro a partir de la intensidad espectral. Las potencias em isivas espectral y total están relacionadas en forma análoga de acuerdo con

(6-12)

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RADlACION DE SUPERFICIES IDEALES (NEGRAS)

317

Se puede sustituir la distribución de la potencia emisiva con la longitud de onda dada por la ley de Planck, ecuación (6-9), en la expresión anterior . Entonces, la integración da la potencia emisiva semiesféfica total de una superficie negra como (6-13)

en donde (j es la constante de Stefan Boltzmann y T es la tempe. ratura absoluta. La integración indicada da (j =. 0.1 714 X 10-s Btujhrft2_ °R4, en tanto que el valor experimental aceptado es ligeramente superior a 0.173 X lO-s Btu/hr-ft2-oR4. En este texto se usa el valor ex perimental. 6.1-6 Potencia emisiva de cuerpo negro dentro de una banda de longitud de onda Con frecuencia es deseable conocer el grado de emisión que ocurre en una parte específica del espectro total de la longitud de onda, lo que se expresa en forma más conveniente como una fracción de la potencia emisiva total. Se designa como F)..1-)..2 a la fracción entre las longitudes de onda Al y A. 2 y está dada por

F )..1- )..2

r)..2Eb ;..(A) dA ~J~))..,~______ = Eb;..(A) dA

100

(6-14) La ecuaClOn (6 -14) se descompone en forma conveniente en dos in tegrales como sigue

= FO

- )..2 -

F o_)..,

(6-15)

Entonces se pueden calcular estos valores a una T dada y se puede determinar la fracción de la emisión total entre dos longitudes de onda por sustracción. Debido a que los valores de Fo-).. en la forma expresada arriba varían con la temperatura al tener mayor manipulación, es conveniente eliminar a T como una variable separada . Se puede definir F en función del producto AT y modificar la ecuación (6-15) para que indique

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TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

318

F

J.1T-J.zT

E (A) = -(J1 [iJ.ZT ~ d(AT) o T5

E (A) - lJ.1T _b_J. - d(AT)] o T5 (6-16)

Ya se ha demostrado que EbJ./P es una función de AT; en consecuencia, se puede evaluar y tabular FQ-J.T como en el apéndice E, o graficar como en la figura 6.7. En el ejemplo 6.1 se ilustra el uso de este concepto.

I

AmaxT

I

I

1.0 h .< I

'"'

ro

.8

c:

o

'ü

" ~ ro

.~

.!!l

1: 1 1

I

1 1

1

I

I I

I

1

I

ii

I I

I

I 1

I

I

.6

E Q)

ro

'ü c: Q)

o "-

I 1

.4

!

Y

/i

I

o

:

..v

/ .4

-

I

I

I 1

1 1

1 I

1

I

I

1 1

:i

I I

I I

1 1

I

I

I

I

! .6

.8

AT[(I1)(" K)] Porcentaje de potencia emisiva debajo de AT

I

1

ij

AT[(¡.¡)(OR)]

I

1 1

I

li

.2

.,,-

l(

1 I 1I I

/'

1

!/

I

1

I

!

I

I I I

.2

I

I

99

I

I

I

i

o

11

41,800 23,220

5216 7394 11.069 2898 4108 6,149 50 75 25 I I I

2606 1448 1

I

1

1

I

1I

li

1

4

2

Producto de longitud de onda-temperatura, A T

6

8 10

.2

.4

.6

.8

1

104

[(11)(" R)]

1 .1

X

2

4

I

6 X 104

Producto de longitud de onda-temperatura, 'AT [(11)(" K)]

Figura 6.7 La fracción de la emisión de cuerpo negro que ocurre en el rango O a

AT.

Ejemplo 6.1 Un instrumento de medición de radiación detecta toda la emisión que ocurre entre 0.65 y 4.5,upero no lo afectan las frecuenc.ias que estén fuera de este rango. ¿Qué fracción de la emisión total de una superficie negra se detecta para temperaturas de

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RADIACION DE SUPERFICIES NO NEGRAS

319

la superficie emisora iguales a IOOooR, 5000 0 R y IO,OOOOR? en la tabla que sigue aparecen listadas las cantidades necesarias para la solución de este problema.

Temperatura (OR)

lIT

l2 T

F(}-A1T

F(}-A.T

FA1T-A2T

1,000 5,000 10,000

6,500 32,500 65,000

45,000 225,000 450,000

0.4061 0.9795 0.9971

0.9916 0.99990.9999+

0.5585 0.0204

Los resultados indican que a I,OOooR, se detecta aproximadamente 56% de la emisión total; a 5,OOooR se reduce a cerca de 2%; ya IO ,OOooR , la temperatura del sol , la cantidad detectada es una fracción despreciable del total. Más del 99.7% de la emisión solar ocurre a longitudes de onda inferiores a 0.65 fl-.

6.2

RADIACION DE SUPERFICIES NO NEGRAS

Los conceptos del cuerpo negro presentados en la sección anterior proporcionan un estándar contra el que se puede comparar el comportamiento de las superficies reales. Algunos de los factores que se deben considerar cuando existen superficies no negras son temperatura, longitud de onda de la radiación, acabado de la superficie, composición, ángulo de la emisión radiante, ángulo a que se recibe la radiación incidente y la distribución espectral de la energía radiante incidente en una superficie. Por lo general, las tabulaciones de las propiedades radiantes de las superficies contienen propiedades promedio con respecto a la longitud de onda y a la dirección. Se considerará brevemente la forma en que se determinan estos promedios y también la forma en que las propiedades promedio están relacionadas con el comportamiento superficial real. Las siguientes consideraciones usan exclusivamente propiedades promedio de las superficies.

6.2-1 Emisividad La emisividad se define como la medida de la forma en que un cuerpo emite energía radiante en comparación con un cuerpo negro. Se puede obtener la descripción cuantitativa de la emisividad considerando la figura 6.8.

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320

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

(a)

(b)

Figura 6.8 Re presentación geométrica de las propiedades de radiación direccional y hemis· férica. a) emisiv id ad direccional 6(0, rp T.t). b) Emisividad simiesférica 6(T.t). .

La energia que sale de una superficie real con área dA. temperatura TA , por unidad de tiempo por ángulo sólido unitario dw en el intervalo dA de longitud de onda está dada por

dqiA,

e, 4>, TA ) = IiA, e, 4>, TA ) dA cos e dA dw = EiA, e, 4>, TA ) dA dA dw

(6-17)

Se puede comparar la ecuación (6-17) para la emisión de superficies rea les con la ecuación (6-4) para una superficie negra . La emisión d e

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RADIACION DE SUPERFICIES NO NEGRAS

321

superficie real sí depende de la dirección, lo que se demostró que no es cierto para la emisión del cuerpo negro. La energía que sale de una superficie negra en TA por unidad de área por unidad de tiempo dentro de dA y dw es dqb;.(A, ep, TA ) = Ib;.(A, TA ) dA cos edA dw (6-18)

por tanto, por la definición de la emisividad se tiene para la emisividad espectral direccional SJ. s;.(}"

I).(A, e, ep, TA ) e, ep, TA ) = dq;.(A, e, ep, TA ) = ~---'------=-=dqb;.(A, e, TA ) IbiA, TA ) EiA, e, ep, TA ) EbiA, e, TA )

(6-19)

Ahora se pueden obtener promedios con respecto a la longitud de onda y dirección.

6.2-1.1 Emisividad direccional total La emisividad direccional total es un promedio de SJ.(A, todas las longitudes y se determina de s(e

A..

T)

, '/"',

A

=

E(e, ep, TA ) E b(e , T) A

e, ep, TA )

en

(6-20)

La potencia emisiva total direccional de una superficie real y de una superficie negra, ambas a TA , están dadas por (6-21) y

(6-22) Sustituyendo en la ecuación (6-20) se obtiene

(6-23)

En función de la emisividad espectral direccional, la emisividad direccional total es

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322

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

(6-24)

6.2-1.2

Emisividad espectral semiesférica

La potencia emisiva espectral semz'esférica E;.()., TA ) se obtiene integrando la potencia emisiva espectral en todos los ángulos sólidos en la serni.esfera que encierra la superficie de que se trata. Esta operación se especifica como (6-25)

en donde fH implica la integración en el ángulo sólido semiesférico. Se puede usar la ecuación (6-19) para escribir la ecuación (6-25) en forma más sencilla (6-26)

Anteriormente se expresó la potencia emisiva espectral hemisférica de un cuerpo negro como (6-8)

Por definición de emisividad, ahora se puede escribir la emisz"vidad espectral semz'esférz'ca como (6-27)

6.2-1.3

Emisividad total semiesfédca

Si se realiza la integración .de la potencia emlSlva espectral direccional sobre todas las longitudes de onda y sobre todos los ángulos sólidos que comprenden el hemisferio, el resultado es la potencia emisiva total semiesférica. Esta cantidad, dividida entre aTA'. la potencia emisiva total semiesférica del cuerpo negro, da la emisividad total semiesférica s(TA ). Se puede expresar la emisividad total semiesférica en función de la emisividad espectral direccional como

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RADIACION DE SUPERFICIES NO NEGRAS

e(TA)

=

E(T ) A Eb(T ) A

323

fH 100 E./A, e, 4>, TA) dA dw =

aTA4

fH l°Oe./A, e, 4>, TA)Ib./A, TA) dA cos e dw aTA 4

fH 100e,p, e, 4>, TA)Eb;.(A, e, TA) dA dw aTA 4

(6-28)

En función de la emisividad total direccional e(TA ) se escribe (6-29) y

en términos de la emisividad espectral semiesférica,

l°Oe;.(A, TA)Ib;.(A, TA ) dA e(TA )

=

4

aTA

/7T

l°Oe;.(A, TA)Eb;.(A, TA) dA aTA 4

(6-30)

En general, se puede representar la variación en la emisividad espectral semiesférica con la longitud de onda como se muestra en la figura 6.9 . Se puede emplear esta información para contener una distribución espectral de la potencia emisiva. En la figura 6.10, la línea sólida ilustra la potencia emisiva espectral del cuerpo negro de una superficie en TA • El área bajo esta curva es_ aTA 4. A cualquier longitud de onda, se pueden multiplicar los valores correspondientes de e;.(A,YA ) y Eb;.(A, TA ) para obtener la potencia emisiva espectral semiesférica para la superficie real. Tal variación en E;.(A, T A ) está dada por la línea púnteada en la figura 6.10. El área bajo esta curva es la integral en el numerador de la ecuación (6-30) . En cada longitud de onda la emisividad espectral semiesférica es la razón de las ordenadas de las líneas punteadas a las sólidas de la figura 6.10.

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324

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

o~~------------------------~ A_ Figura 6.9 Variación en la longitud de onda de e). (A, T.A) para una superficie real.

6.2- 2 Absortividad Anteriormente se definió la obsortividad como la fracción de la energía incidente en una superficie que se absorbe. La radiación incidente tiene características que dependen de la fuente, y son estas caracterÍsticas direccionales y espectrales las que hacen que la descripción de la absortividad sea más compleja que la de la emisividad.

t

Figura 6.10 Distribución de potencia em isiva hemiesférica espectral para superficies n egra y real en T A .

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RADIACION DE SUPERFICIES NO NEGRAS

6.2-2.1

325

Absortividad espectral direccional

En la figura 6.11 se muestra la energía radiante que llega al área elemental dA desde la dirección (), 1>. La fracción de la energía que pasa a través de dAs en la superficie semiesférica que se absorbe en dA se denomina la absortividad espectral direccional, a).(A, (), 1>, TA ), en donde las propiedades de longitud de onda direccionales son características de la energía radiante que entra, en tanto que la dependencia de la temperatura es la correspondiente a la superficie absOI bente en TALa energía que llega a dA por unidad de tiempo desde la direc ción (), 1> en el intervalo de longitud de onda dA es dq)..i(A, (), 1»

=

l).,;CA, (), 1» dAs

dA cos ()

r

2

dA

(6-31)

en donde el subíndice i se refiere a la radiación incidente o de entrada. La cantidad dA cos ()/r 2 es el ángulo sólido subtendido por dA en dAs. Se puede escribir la ecuación (6-31) en la forma equivalente como

dq)..lA, (), 1» = l)..lA, (), 1» dw cos () dA dA

(6-32)

donde dw = dAs/r2 es el ángulo sólido subtendido por dAs en dA . La cantidad de energía incidente absorbida en dA está dada por dq)..i(A, (), 1>, TA) labs, Y la absortividad espectral direccional es la razón

l)..lA, (), 1» dA cos () dw dA

6.2-2.2

(6-33)

Absortividad total direccional

Las técnicas de promedio y/ o sumatoria empleadas en la sección 6.2 con la emisividad, tienen sus equivalentes cuando se trabaja con absortividades . Estas cantidades se expresan sin explicaciones detalladas de la sección relativa a la emisividad.

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326

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

/'

,//'

-- -- -------~-'

/

(a)

(b)

Figura 6,11 Consideracion es geome tncas de la energia radiante absorbida. a) Absortividad direccional cx(e, , T..~) l abB dqi(e, c/»

LX'ot,u(A., e, C/>, TA)[,u(A., e, c/»

dA. (6-34)

1' , TA)1;',i(A., e, c/» JH

l

dA. cos e dw (6-36)

OO

[;.jA., e, c/» dA. cos e dw

En función de la absortividad total direccional, se escribe cx.(TA ) como

(6-37)

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328

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

y, en función de la absortividad espectral semiesférica, la relación es

(6-38)

6.2-2.4

Ley de Kirchhoff

La ley de la radiación de Kirchhoff relaciona la actividad de un cuerpo de emitir energía radiante con su capacidad de absorción,_que se obtiene considerando un cuerpo no negro de superficie dA situado en un entorno negro . Cuando se logra el equilibrio térmico, el cuerpo y el entorno están a la misma temperatura TA- La energía que sale de dA por unidad de tiempo por ángulo sólido unitario dw en el intervalo de longitud de onda dA está dado por las ecuaciones (6-1 7) y (6 -19) como dqiA, (J ,

1>,

TA)

=

JiA , (J,

1>, TA) dA cos (J d A dw

= ciA, (J , 1>, TA)J;"b(A , TA) dA cos (J dw dA

(6-39)

La energía absorbida en dA está dada por la ecuación (6-33)

Ya que dA y su entorno están en equilibrio térmico, la emisión y la absorción desde dA deben ser iguales; en consecuencia,de las dos expresiones anteriores (6-40)

y, ya que la energía incidente en dA se emite desde un medio ambiente negro, [;",i(A, (J, 1» = [)..,b(A, TA ) ; por tanto, la emisividad y la absortividad son iguales, o sea (6-41)

Esta ecuaClOn es verdadera sin restricción , por tanto, la emisividad espectral direccional y la absortividad espectral direccional son iguales para un cuerpo en equilibrio térmico con su medio ambiente . La emisividad total direccional y la absortividad están dadas por las ecuaciones (6 -24) y (6 -34), respectivamente. Para propósitos de mayor claridad, se repiten estas expresiones y se tiene

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RADIACION DE SUPERFICIES NO NEGRAS

329

7T

y

fOcx;..lA, e,

52

l>

:xl :xl

O

~

:xl

O

ro"

l>

(")

m

e

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(")

Z

:xl

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"TI

(JI

Z

l>

:xl

co

c.l -..¡

INTERCAMBIO DE ENERGIA RADIANTE

Sumidero

Sumidero

Fuente

(a)

379

Fuente

(b)

3 zonas

4 zonas

Sumidero

Fuente

(e)

5 zonas

Figura 6.36 Configuraciones de 3 , 4 Y 5 zonas para un entorno rectangular con paredes ex· tremas radiantes y paredes latera les rerradiantes.

b) se toman l as paredes lateral es como constituídas por dos partes iguales, cada una a una sola temperatura constante (un problema de cu atro zonas). e) Se consider an las paredes laterales como tres zonas isotérmicas iguales (un pro· blema de cinco zonas) .

En la figura 6. 36 se ilustra n las configuraciones correspondientes a a), b) Y e) . El caso a) es idéntico al resuelto manualmente en el ejemplo anterior. Los otros casos son más realistas , en donde la situación verdadera es que la temperatura de las paredes laterales se eleva continuamente desde la superficie de 540 0 R a 1260 o R. Este sería un caso con un número infinito de zonas . A conti nu ación se presenta el diagrama de flujo (figura 6.37) y el listado del programa de computado ra para este problema. PROGRAMA RAD C ESTE PROGRAMA CALCULA EL' FLUJO DE CALOR POR RAC DIACION DE UNA CONFIGURACION DE N SUPERFICIES C GRISES. TAMBIEN CALCULA LA TEMPERATURA DE CUALC QUlER SUPERFICIE RERRADIANTE .

DIMENSION F(9,9) ,E(9),T(9),A(9),RJ(9) ,G(9),R(9) DIMENSION EB(9),Q(9)

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380

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

100

101

105 10 99 102 103

106 19 104 20 C 30 C C

40 C 54 64

C

N =TTYIN(4HNUMB,4HER O ,4HF SU,4HRFAC,4HES =) DELTA=TTYIN(4HCONV,4HERGE,4HNCE ,4HCRIT,3H. =) WRITE(61,100) FORMAT(lH0,20X,12HVIEW FACTORS) DO 10 I=I,N WRITE(61 ,101)I,N FORMAT(lH0,3H F(,I1,19H ,K) - K DE 1 A ,Il) READ(41 ,102)(F(I,J),J = 1 ,N) READ(41,105)E(I),A(I),T(I) FORMAT(F6.4,F6.2,F7.2) WRITE(61 ,99)(F(I,J),J = 1 ,N) FORMAT(I H0,5(F6.4,3X» FORMAT(5F9.4) WRITE(61 ,103) FORMAT(lH- ,4HNODE,3X,101ILI\1ISI\'IDAD. 3X,9HAREA SQFT, 13K,13HTL!'v)PERAT\lRA R) DO 20 I=I,N IF(E(I).EQ.0.0)GO TO 19 WRITE(61,106)I,E(I) ,A(I),T(I) FORMAT(lH0,2X,II,6X,F6.4,7X,F6.2,7X,F7.2) GO TO 20 WRITE(61,104)I,E(I),A(I) FORMAT(lH0,2X,Il ,6X,F6.4,7X,F6.2,5X,11 HRERRADIACION) CONTINUE SI ' \'()SI" 0. - Te entrada ,y se puede escribir la efectividad en la forma

tfJ'

=

Ce(Teentrada Ch(Th e ntrada--

Te

Te e ntrada) enlranda)1 m áv

C má x (Te sa lida C

mín(Th entrada -

Te e ntrada)

(7-20)

Te e n tra da)

En cada una de estas dos expresiones el numerador representa la transferencia efectiva de calor, el denominador representa la máxima transferencia de calor, y el denominador es el mismo en cada uno de los casos . Rescribiendo estas ecuaciones, se tiene una expresión adicional para la transferencia de calor (7-21) que se puede emplear para analizar y diseñar intercambiadores de calor. La ecuación (7 -21) difiere de las otras expresiones de diseño que se han considerado en que la fuerza motriz es la diferencia entre las temperaturas de entrada de las corrientes fluídas, y en sí misma contiene la efectividad . Ahora se concentra la atención en el trabajo de evaluar la efectividad tfJ' del intercambiador de calor.

7.4-1

Efectividad del intercambiador de calor

El siguiente análisis se basa en la ecuación (7 -21) . Se considera la operación de contraflujo de un intercambiador de un solo paso; los subíndices empleados se refieren al caso mostrado en la figura 7.6. Se supone que el fluido frío es el mínimo. Con estas condiciones, las ecuaciones (7-3) y (7-15) se escriben en la forma q

= C e(Tel

_ Te2)

=

- T ) - (T - T ) U A (Thl el h2 e2 In [(T¡'l - Te1 )/(Th2 - T e2 ) ]

(7-22)

Se puede expresar la temperatura de entrada del fluido caliente Tu en función de tfJ', usando la ecuación (7 -21) en la forma

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METODO DE NUMERO DE UNIDADES DE TRANSFERENCIA (NUT)

Thl

=

T e2

+ qjtffC mín +

= T

415

T e1

e2

-

tff

Te2

(7-23)

En consecuencia, la diferencia de temperaturas en (1) entre las corrientes del fluido caliente y frío se reduce a Te! - Te2 Tu - T e1 = Te2 - Tel + tff (7-24) Se obtiene la otra diferencia de temperaturas T"2 - Te2 necesaria para la sustitución en la ecuación (7 -22) despejando el valor de T,.2' de la ecuación (7-5), con lo que se obtiene

en consecuenCIa (7-25) Usando la ecuación (7-23), se rearregla esta expresión en la forma 'T'

_

1 h2

T e2

=

T e1

-

tff

Te2

_

o sea

C mín (T _ T ) C. el e2 max

(7-26) Ahora se sustituyen las ecuaciones (7 -24) y (7 -26) en la ecuación (7-22). Rearreglando ligeramente se obtiene 1

C mín

In tff

C máx

1_

1

=

U A ( 1 _ C mín ) C máx

C mín

tff

Sacando antilogaritmos en ambos de esta expresión, se obtiene el valor de tff

tff

UA Cmín)] 1 - exp [ - . (1- -.

= ________~~~C~m~ln~__~C~m~ax~~_ 1 _ C mín exp [ _ U A (1 _ C mín )] C máx C mín C máx

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(7-27)

EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

416

El lector recordará que la ecuación (7 -27) se obtiene suponiendo que el fluido frío es el mínimo. Es sencillo demostrar que se obtiene la misma expresión para el fluido ,caliente como el mínimo. En consecuencia, con UA/C mín designado por NUT, el número de unidades de transferencia, se tiene, como expresión general para la operación de contraflujo, la ecuación

rff

=

_l~---.;e.;.:,xp~[-_N:..-.::..T..:.U.....(~l_-_C~m.!!.!.ín~/..:..C:.:.:.:má::;:.x)~]_

C mín 1- exp [-NTU (1 - Cmín/CmáJ] C má x

(7-28)

En el caso del flujo paralelo, un análisis semejante al que se acaba de desarrollar, dará, pararff, la expresión

rff

=

+ Cmín/Cmáx)] C C mín/ máx

1 - exp [-NTU (1

(7-29) 1+ Las dos últimas ecuaciones para los intercambiado res de calor de un paso relacionan la efectividad rff en función de los dos parámetros NUT y Cm ín /Cmáx' Parece razonable que se representen gráficamente estas expresiones para su fácil uso. Kays y London 6 han generado· gráficas de la efectividad del intercambiador de calor para estos casos de una sola pasada y para distintos arreglos de coraza y tubo y flujo cruzado. Las figuras 7.11 Y 7.12 muestran gráficas de rff para configuraciones de contraflujo, flujo paralelo y configuraciones compactas selectas. 100

Cmín/Cmáx

O~ ~

~~/~ \ .0

~/'

!IJ. ~

Iff r

40

O

r-

~y

60

20

----

/. /- %'.~:::'-- ~

80

Superficie de transferencia

I

de calor

111/ O

3

2

4

5

NTU = AU/C mín (a)

Figura 7.ll Efect ividad de intercambiador de calor para configuraciones de una sola pasada y coraza y tubo. a) Contraflujo de una sola pasad a . [De W. A. Kays y A. L. London, Campact Heal Exchangers, 2a. ed. (Nueva York: McGraw-Hill Book Company, 1964) . Con permiso del editor .] 6

K ays y London , op. cit.

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METODO DE NUMERO DE UNIDADES DE TRANSFERENCIA (NUT)

100

/ '/

60

!J ~

~V

40

iV I

20

¡..--

¡..o"'"

/

80

-

y

Cmín/Cmáx =

o·r:;-

-./

417

O'rO 0 .75 I

!

1.00

Superficie de transferencia de calor

11

O

11 5

4

3

2

O

NTU = AV/C mín (b)

100

_c~íAm á ~= 0 . . - ~ 1

-

--

./r. ..-

80

/~25

~

60

M%:: WJ

40

0.50 ...........0.75 _

--

--

,.00

J

L

20

Flu ido de la coraza

11~1

~r\-F-IUi-d:=-de-lt-~b-o- ~I f:

1

o

11

O

2

3

4

5

(e) .figura 7.11 (b) Flujo paralelo de una sola pasada. e) coraza y tubo con una sola pasada de coraza y dos o un múltiplo d e dos pasadas de tubo. [De W. A. Kays y A . L. London, Compaet H eat Exehangers, 2a. ed. (Nueva York: McGraw·Hill Book Company, 1964). Con permiso del editor .]

Se pueden emplear las ecuaciones (7 -21), junto con las gráficas de efectividad, tanto para diseñar intercambiadores de calor como para evaluar el equipo existente. Los ejemplos siguientes ilustran estas aplicaciones. Ejemplo 7.3 Se requiere volver a desarrollar el ejemplo 7.2, utilizando el enfoque de la efectividad del intercambiador de calor para detenninar el área requerida. De los cálculos anteriores, se han establecido los siguiente valores.

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418

EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

100

80

40

o

~

-:

~ /0.2~_

//:: 0 y~ &0 W

60

20

------c:::to1 J......+-:

f:m áx/Cmín=

........ 0.5~_ 0.75

J'V

I!

I

4

3

2

O

NTU

5

= AU/C mín (a)

100 Cm ezdado

I

..........

- - - = 0.00 ......

80

1- 0 .25 -

>

1.33

1""""-

"-'" ~ .,.... ~~ lA ~ ~. Cm ezdado = 1

60

r--

en o m ezclado

I//J /'

40

20

--

..-::::-: ~...- 4- ~it5-= -2 ~"!"_~ ~ ~ ~- _1-0.75=

C n o ffi("zcl ado' / ~

Fluído mezclado

V I

Fluído no mezclado

O

3

2

O

4

5

NTU = AU/Cmín (b)

Figur a 7.12 Efectividad de intercambiador de calor para tres configuraciones de flujo cruzado. a) Flujo cruzado , ambos fluidos no mezclados. b) Flujo cruzado , un fluido no mezclado . [De w. A. Kays y A. L. London , Compact Heat Exchangers, 2a. ed . (Nueva York: McGraw-Hill Book Company, 1964). Con permiso del editor.]

q

=

185,000 Btu/hr

Se ve que el benceno es el fluido mínimo. Usando la ecuación (7-21) se puede determinar el valor requerido de

g=

q Cmín(Thcnlrad a -

TC c ntr a d a )

185,000 Btu/hr (3360 Btu/hr-°F)(170 - 55)OF

g

= 0.479

Este valor y el valor numérico C m ín/Cmá x = (3360/5000) = 0.672 permiten determinar NUT para cada una de las configuraciones de que se trata .

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METODO DE NUMERO DE UNIDADES DE TRANSFERENCIA (NUT)

419

90 Cuatro pasos

80 Contrafluio ¡-- t- (n = ~l ':, 70

~

r/

60

/ '¡4 VI h

50

D..~

.....-: ;;

...-::~~::..-

~ ~~~spasos

:.>

~

•• r---~---"

Dos pasos _'--

I Un paso

~

I

I

J

'T/

II

I

Arreglo de dos pasos

t

' ''IP /

If

40

2

O

3

4

5

NTU = AU/ Cm í n

(el Figura 7.12 (c) Flujo cruzado , pasadas múltiples, ambos fluidos no mezclados. [De W. A. Kays y A. L. London , Compact Heat Exchangers, 2a. ed. (Nueva York: McGraw·Hill Book Compa ny, 1964) . Con permiso del editOl.J

Para el caso de contraflujo y una sola pasada, NUT = UA/Cmín ~ 0.8, el área requerida se determina en la forma

= 0.8Cmín = 0 .8(3360 Btu/hr-OF) =

48.9 ft2 U 55 Btu/hr ft2_oF Para b), con una pasada de coraza y cuatro pasadas de tubo, la figura 7.11 e) da el valor NUT = UA/Cmín ~ 0 .85,

A

A

=

0.85 C mín U

=

0.85(3360 Btu/hr-oF) 55 Btu/hr-ft 2 -oF

=

51.9 ft2

y para el caso de flujo cruzado con una sola pasada con agua mezclada y benceno no mezclado, la figura 7.12(b) da NUT = UA/C mín ~ 0.85, para la que el área requerida es la misma que en b) , 51. 9 ft2 .

En este ejemplo, el trabajo necesario para llegar a la respuesta es aproximadamente igual al correspondiente en el método de ó.T m edi a loga rí t m ica . Un caso en que el enfoque del uso de la efectividad de intercambiador de calor es claramente superior lo ilustra el siguiente ej emplo. Ejemplo 7.4 Un intercambiador de calor de coraza y tubo con una pasada de coraza y cuatro pasadas de tubo tiene 52 ft2 de área de transferen.cia de calor. El coeficiente de transferencia de calor total efectivo de esta unidad es igual a 55 Btu/hr-ft 2 -oF. Este interca mbi arlor se diseñó pa ra empl earse co n agu a y benceno . Aho ra se propone enfri a r un a corriente de acei te (c p = 0.53 Btu/lbm-OF) a 2 50 ° F que flu ye a razón de 12 .000 lbmfhr, con agua refrigerant e, a la temperatura de 55°F y que fluye a razón d e !'l000 lb I hr. En esta apli cación , ¿cuál es son las temperaturas d e salida d e las dos cornentes rle fluirlos ?

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420 ·

EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Se puede escribir la transferencia de calor usando cuatro expresiones. La primera ley de la termodinámica, ecuaciones (7 -3) y (7 -4) da el resultado

q == =

Ce(Te , .. 1

.:C-

T e e n)

(5000Ib m /hr)(l Btu/lb m-OF)(THzO

= 5000(THzO

en

-'-

sa l -

55°F) (1)

55) Btu/hr

q = Cn(T" en - T h en) == (12,000 Ib m /hr)(0.53 Btu/lb m -OF)(250 - T ,a\. =

6360(250 - T ,a\.

aee il e )

(2)

aee ile )

La ecuación (7 -}8) es la expresión apropiacia 6. T 1m • Escrita en forma adecuada para este problema , la ecuación (7 -18) queda e'!n la forma

(3)

La última de las ecuaciones que se requiere escribir es la (7 -21) .

q = tffC mín CT.a l.

a eeile -

T e'". HzO)

= tff(5000 Btu/hr-OF)(250 - 50)OF = tff(106) Btu/hr'

(4)

Se deben satisfacer las ecuaciones (1), (2), (3), y (4); las cuales contienen tres incógnitas: q, T HzOsa lida' y T ,a l. aeeilc ' Si se usaran las ecuaciones (1) , (2) y (3) para resolver este problema , se necesitaría utilizar un procedimiento de prueba y error. Las temperaturas incógnitas están implicadas en el argumento de un logaritmo en la ecuación (3); adicionalmente, el factor F es una función también de las temperaturas incógnitas, y se determina por medio de gráficas. Aunque el procedimiento para resolver el problema en esta forma no es muy difícil, tal prospecto no es tampoco muy atractivo . Se pueden usar las ecuaciones (1) y (2) junto con (4) en .forma bastante directa sin involucrar métodos empíricos de pruebas sucesivas. Definitivamente, este enfoque es más atractivo que el recién mencionado. Realizando los cálculos necesarios,

C mín = 5000 = 0.786 C m áx 6360 UA C mín

-- =

(55 Btu/hr-ft2- °F)(52 ft2) 5000 Btu/hr- °F

=

0.572

tff ~0.36 Ahora se calcula. el calor transferido de (4) en la forma

q http://setlibros.com/

= 0.36(106 ) Btu/hr = 360,000 Btu/hr

METODO DE NUMERO DE UNIDADES DE TRANSFERENCIA (NUT)

421

y se pueden calcular las temperaturas de salida de (1) y (2), lo que da

T

= 550p

+ 360,000 Btu/hr

=

+ nOp =

5000 Btu/hr-op

H.O sa l

55°p

127°p

= 250 0p _ 360,000 Btu/hr = 1930p

T aceit e sal

6360 Btu/hr-0p

Es conveniente hacer algunos comentarios con relación a las gráficas de efectividad del intercambiador de calor. En cada caso, el valor de tff alcanza un máximo en algún modesto valor de NUT, del orden de 2 a 5. Para áreas mayores de transferencia de calor, aumenta el valor de NUT; sin embargo, la efectiVidad del intercambiador de calor no muestra aumento significativo, una vez que se aproxima al valor máximo. En consecuencia, es falso el concepto que todo aumento en el área de transferencia de calor en un intercambiador está acompañado por un aumento correspondiente en la capacidad del intercambiador. El lector notará también que nunca se pueden lograr determi nados valores de tff para determinadas configuraciones de equipo y condiciones de operación. Por ejemplo; en un caso de contraflujo y una sola pasada con Cmín/Cmáx = 1, es poco práctico un valor de tff = 0.90 El ejemplo 7.5 representa un enfoque típico al diseño del intercambiador de calor. Ejemplo 7.5 Se dispone de agua a 60°F como refrigerante con un flujo de 150 lbm/min. Se debe llegar a la temperatura de' 140"F intercambiando calor con un aceite (c'J) = 0.45 Btu flbm-OP). El aceite entra al intercambiador a 240"F y sale a 80°F El coeficiente de transferencia de calor total es de ' 50 Btulhr-ft2_0p. ' Determinar a) el área requerida en un intercambiador de contraflujo de una sola pasada. b) el áre a requerida' si se emplea un intertambiador de coraza y tubo, en que el agua hace una pasada de coraza y el aceite dos pasadas de tubo. e) las temperaturas 'de salida si , para el intercambiador de (a), se disminuye la razón de flujo del agua a 1201b m/min. Resolviendo este problema, primero se determina la transferencia requerida de calor de la razón de flujo de agua .

q

= C H20 ~TII.O

= =

(1501b m/min)(1 Btu/lb m-°P)(80°F) 12,000 Btu/min

Se pueden usar los enfoques de .lT1m o el de efectividad para obtener el área en a). Se utiliza el de NUT / efectividad;se determinan las cantidades necesarias como sigue

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422

EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

q = CR20 llTH20

= C aceite C1Taceit e

CR20 = 150 Btu/min-oF

=

C aceite

12,000 ~tu/min 1600F

=

75 Btu/min-oF

por lo que

e aceite

=

NTU =

Cmín VA = C mín

¡(f

(50 Btu/hr-ft2-OF)(A ft2) (75 Btu/min-oF)(60 min/hr)

= O.0111A ft2 = q actual = qm áx

12,000 Btu/min

Cmín

(T"

en -

T e en )

12,000 Btu/min (75 Btujmin-OF)(2400F - 60°F) C min /C má x

= 0.889

= 0.5

De la figura 7.11(a), NUT ::::e 3.3, y el área requerida es

A

=;=

3.3/0.0111 = 297 ft 2

Para b), el enfoque de NUT/efectividad comprende los mismos valores para los parámetros NUT , ¡(f y Cmín/Cm áx' De la figura 7.11(c) se ve que las condiciones dI! este problema son imposibles por lo que respecta a la configuración de coraza y tubo. Usando el intercambiador de coraza y tubo para corrientes con las razones de flujo y las temperaturas de en· trada especificadas, se logra menor transferencia de calor y los cambios de temo peratura de las dos corrientes de fluido son menores que en el enunciado del pro· blema. Para obtener e) de este ejemplo, se tiene ahora

A = 297 ft2 CRoO

-

C aceite

=

(

120 lbm) - . (1 BtujJb m- ° F) = 120 -Btu .- 0mm mm- F

= 75 Btujmin-°F,

por lo que

eaceite

is

C mín

VA

NTU = - - =3.3 C mín

75

= =0.625 120 y, leyendo en la figura 7.11(a), se obtiene ¡{f en la forma

q

=¡(fCmín(Then =

Ahora se puede determinar q

T e en )

0.86(75 Btu/min-OF)(240°F ~ 60°F)

= 11,610

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= 0.86.

Btujmin

CONSIDERACIONES ADICIONALES

423

De este resultado es fácil determinar cada una de las temperaturas de las corrientes de salida.

q = C H20 (TH20 T saL

H20

TI'

= 60

sal

-

T H20 en)

+ 11 ,610 Btu/m~n

=

C aceite

(Ten. aceite -

Tsal.

aceite)

= 1570 p

120 Btujmin- p

= 240

sa . aceite

0

p _ 11,610 BtuJmin

75 Btujmih-0p

= 85 2

0

.

p

En este ejemplo, e) fue una evaluación relativamente sencilla, usando el enfoque de NUT / efectividad, en tanto que hubiera sido necesario un procedimiento laborioso de prueba y error si se hubiera usado el enfoque de ~Tlm

7.5

CONSIDERACIONES ADICIONALES EN EL ANALISIS y DISEÑO DE INTERCAMBIADO RES DE CALOR

7.5-1

Ensuciamiento del intercambiador de calor

Cuando se ha mantenido en uso prolongado un intercambiador de calor, es seguro que se forme sarro en las superficies de los tubos o que se deteriore la propia superficie debido a la corrosión. Con el tiempo, estos efectos alteran el funcionamiento del intercambiador. A la superficie de transferencia de calor que se ha afectado en esa forma se le llama "sucia". Normalmente se considera que una superficie sucia es la que presenta alguna resistencia adicional a la transferencia del calor debido a la acumulación de materias extrañas o "sarro". Esta resistencia térmica adicional provoca en forma natural que la transferencia de calor sea inferior a la correspondiente en el caso que no haya resistencia de suciedad. Predecir la acumulación de sarro o el efecto correspondiente en la transferencia del calor es una labor muy difícil. Se puede evaluar el desempeño real de un intercambiador de calor después de un período de servicio, y de ahí determinar la resistencia por ensuciamiento. Con una superficie limpia, qo

=

A~T =~Tlm

U o

1m

'" R

"'"

(7-30)

lo

En forma análoga, para una superficie sucia, (7-31)

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424

EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

en donde I Rto Y '2 Rtf representan la resistencia térmica total para las superficies limpia y sucia respectivamente. En el caso de una superficie liI!lpia, 1 U o = ------==------(7-32) 1 Ao In (r o!ri ) Ao

-+

ho

27Tk

+-

Aihi

donde los términos en el denominador son las resistencias térmicas debidas a la convección en la superficie exterior de los tubos, la conducción a través de la pared de los tubos, y la convección en la superficie interior de los tubos respectivamente. Para una superficie sucia, la expresión para U es (7-33)

en la cual los términos adicionales Ro Y Ri representan las resistencias de ensuciamiento en las superficies exterior e interior del tubo respectivamente. En la Tabla 7.1 se proporcionan algunos valores típicos de resistencia de ensuciamiento que se deben emplear en la ecuación (7 -33) . La Tubular Exchanger Manufacturers Association 7 sugiere estos valores.

Tabla 7.1 Resistencia de ensuciamiento para determinados fluidos en los intercambiadores de calor FLUIDO Agua df"stilada

Agua de mar, por debajo de 125°p por arriba de 125°p Agua tratada para caldera Agua potable o de pozo, por debajo de 125°p por arriba de 125°p Líquidos de refrigeración Vapores de refrigeración Gasolina líquida y vapores orgánicos Aceite combustible Aceite de enfriamiento Vapor sin aceitf" Aire industrial

7

TEMA; OP: CIT:

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RESISTENCIA DE ENSUCIAMIENTO (hr-ft2- °P/Btu) 0.0005 0.0005 0.001 0.001 0.001 0.002 0.001 0.002 0.0005 0.005 0.004 9·0005 0.002

CONSIDERACIONES ADICIONALES

425

La Tabla 7.2 da algunos valores representativos del coeficiente de transferencia de calor global para distintas combinaciones de fluidos . Mueller 8 sugirió los valores listados. No se debe considerar que estos valores son exactos, sino solamente representativos de las magnitudes que se deben esperar en los intercambiadores de calor con las combinaciones listadas de fluidos .

Tabla 7. 2 Coeficientes de transferencia de calor global valores aproximados COMBINA ClaN DE FLUIDOS Agua a aire comprimido Agua a agua, camisas de enfriamiento Agua a salmuera Agu a a gasolina Agua a gas de petróleo o un destilado Agua a solventes orgánicos, alcohol Agua a alcohol de condensación Agua a aceite de lubricación Agua a vapores de aceite de condensación Agua a Freón-12 de condensación o de ebullición Agua a amonio de condensación Vapor a agua, calentador instantáneo de caldera almacenaje· tanque Vapor a aceite , combustible pesado combustible ligero destilado ligero de petróleo Vapor a soluciones acuosas Vapor a gases Orgánicos ligeros a orgánicos ligeros Orgánicos medianos a orgánicos medianos Orgánicos pesados a orgáncios pesados Orgánicos pesados a orgánicos ligeros P etróleo crudo a gas de petróleo

7.6

10-30 150- 275 100- 200 60- 90 35-60 50- 150 45-120 20-60 40--100 50-150 150-250 400--600 175-300 10-30 30-60 50-200 100--600 5-50 40-75 20-60 10--40 10-60 30-55

CONCLUSION

En este capítulo se estudió la clasificación, nomenclatura estándar y técnicas cuantitativas para el diseño y análisis de intercambiadores de calor. Las siguientes ecuaciones proporcionan la base para todos estos análisis: 8 A. C. Mueller, Purdue Uniu. Eng. Expt. Sta., Engr. Bulletin Res. Ser. 121 (1954) .

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426

EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

q

=

Ce(Te salid. -

(7-3)

Teentrada)

q = CH(Th entrada - T h ,,, lid .

)

(7-18)

q = UAFIlT¡m

q = tffCmín(Th e ntra d a -

(7-4)

Teentrada )

(7-21)

Se incluyen tablas para proporcionar la forma de obtener Fy tff para configuraciones de intercambiadores de una sola pasada y compactos . El enfoque de llT¡m al diseño y análisis de intercambiadores está representado por la ecuación (7 -18). El enfoque de NUT / efectividad utiliza la ecuación (7-21). Cualquiera de las técnicas es válida; sin em bargo , el segundo enfoque es más sencillo de utilizar cuando se opera un intercambiador en condiciones distintas a las de diseño . Se dio una lista de las resistencias de ensuciamiento para proporcionar una forma aproximada de predecir el funcionamiento del intercambiador de calor cuando se ha formado sarro durante un largo período de operaClOn del equipo .

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APENDICE

A _______________ Propiedades m,a teriales

A- I

Propiedades físicas de los sólidos

Material Metales Aluminio Cobre Oro Fierro Plomo Magnesio Níquel PlatillO Plata Estaño Tungsteno Uranio C( Zinc Aleaciones Aluminio 2024 Latón (70% Cu. 30% Zn)

C( p Cp k (Btufhr-ftOF) (lb mfft 3) (BtuflbmOF) (ft2fhr) (68°F) (68°F) (68°F) (68°F) (212°F) (572°F)

168.6 555 1206 492 708 109 556 1340 656 450 1206 1167 446

0.224 0.092 0.031 0.122 0.030 0.248 0.111 0.032 0.057 0.051 0.032 0.027 0.094

3.55 3.98 4.52 0.83 0.80 3.68 0.87 0.09 6.42 1.57 2.44 0.53 1.55

132 223 169 42.3 20.3 99.5 53.7 40.5

173

0.23

1.76

70.2

532

0.091

1.27

61.8

i40 36 94 16.9 65

132 219 170 39.0 19.3 96.8 47.7 41.9 237 34 87 17.2 63

133 213 172 31.6 17.2 91.4 36.9 43.5 209

73.9

85.3

77 19.6 58

(sigue)

427

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p

Materz"al

C1)

(Ib m fft 3) (Btuflb m °F) (68°F) (68°F).

IX

(ft2fhr) (68°F)

k (Btufhr-ftOF) (68°F) (212°F) (572°F)

Aleaciones Constatán (60% Cu , 40% Ni) Fierro, fundido Nicromo V Acero inoxidable Acero, su ave (1 % C)

557 455 530 488 488

0.098 0.100 0.106 0.110 0.113

36

0.25

144

0.22

106 188 144 10

0.20 0.20 0.21 0.4

0.70 0.025

14 170 140

0.2 0.2 0.2

0.03 0.45 0.63

No m etales Asbesto Tabique (arcilla refractaria) Tabique (de construcción) Tabique (cromo) Concreto Lámina de corcho Tierra diatomácea, pulverizada V idrio, de ventana Vidrio, Pyrex Tabique refractario de kaolín Magnesia al 85% Marga arenosa, 4% H 20 Marga arenosa, 10% H 20 Lana de roca Madera, roble, ..1 a veta Madera , roble , 11 a la veta

428

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0.24 0.65 0.12 0.17 0.45

13.1 29.6 7.06 9.4 24.8

--

0.092

15.4 26.8 7.99 10.0 24.8 0.11

0.38 0.67

0.67

0.84 0.052

~0.4

0.038 0.54

0.2

1.08 0.023

51

0.57

0.12

51

0.57

0.23

17

121 ~1O

0.125

0.65

19 104

9.94 13 22.9

0.041

0.033

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(lbrnlft 3)

62.4 62.3 62.2 ' 62.1 61.3 60.1 58.9 57.3 53.6 49.0 42.4

32 60 80 100 150 200 250 300 400 500 600

p

1.01 1.00 0.999 0.999 1.00 1.01 1.02 1.03 1.08 1.19 1.51

Cp

t-t

1.20 0.760 0.578 0.458 0.290 0.206 0.160 0.130 0.0930 0.0700 0.0579

X

103 (Btu/lb m - °F) (lbm/ft-seg)

Propiedades físicas de los líquidos

T CF)

A-2

105

1.93 1.22 0.929 0.736 0.474 0.342 0.272 0.227 0.174 0.143 0.137

(ft 2Jseg)

v X

0.319 0.340 0.353 0.364 0.383 0.392 0.395 0.395 0.382 0.349 0.293

Agua

k (Btu/hr-ft-°F)

Líquidos

5.06 5.45 5.67 5.87 6.26 6.46 6.60 6.70 6.58 5.98 4.58

ex x 103 (ft 2/hr)

13.7 8.07 5.89 4.51 2.72 1.91 1.49 1.22 0.950 0.859 1.07

Pr

17.2 48.3 107 403 1,010 2,045 3,510 8,350 17,350 30,300

(lrF-ft3)

gf3 p2/t-t2X 10- 6

(sigu e hasta la página)

-0.350 0:800 1.30 1.80 2.80 3.70 4.70 5,60 7.80 11.0 17.5

(ltF)

f3 X 104

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O

""w

T

p (lbm/ft3)

43.9 42 .7 41.3 40.0 38.5 37.5 36.4 35.3

(OF)

-60 -30 O 30 60 80 100 120

T

64.0 63.5 63.0 61.6 60.2 58.9 57.5

p Obm /ft3)

60 80 100 150 200 250 300

(OF)

305 240 180 100 62 42 30

1.07 1.07 1.08 1.11 1.14 1.16 1.19 1.22

20.6 18.2 16.9 16.2 15.0 14.2 13.5 12.6

¡¿ X 105 cp (Btujlbm - °F) (lbm/ft-seg)

0.480 0.485 0.490 0.503 0.515 0.527 0.540

¡¿ X 105 cp (Btujlbm - °F) (lbm/ft-seg)

105

0.471 0.426 0.409 0.402 0.391 0.379 0.368 0.356

(ft 2j seg)

11 X

4.77 3.78 2.86 1.62 1.03 0.714 0.522

105 (ft2jseg)

11 X

0.316 0.317 0.315 0.312 0.304 0.296 0.287 0.275

Amoníaco

(Btujhr-ft-°F)

k

0.101 0.100 0.100 0.0980 0.0962 0.0947 0.0931

Anilina

k (Btujhr-ft-°F)

6.74 6.93 7.06 7.05 6.92 6.79 6.62 6.43

ce X 103 (ft2jhr)

3.29 3.25 3.24 3.16 3.10 3.05 2.99

X 103 (ft2jhr)

ce

2.52 2.22 2.08 2.05 2.03 2.01 2.00 2.00

Pr

52.3 41.8 31.8 18.4 12.0 8.44 6.28

Pr

X

103

0.45

(1¡OF)

0.94 1.02 1.1 1.19 1.3 1.4 1.5 1.68

fl X 103 (trF)

fl

132 265 467 757 1130 1650 2200 3180

flgp2j¡¿2 X 10-7 (I¡OF-ft 3 )

17.7

gfl p2/ ¡t2 X 10- 6 (1¡OF-ft 3.)

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50.5 50.0 49.6 48.5

60 80 100 150

p

(lbmfft3)

T CP)

94.5 93.5 90.9 87.4 84.0 81.3 78.7 71.0

-40 -30 O 30 60 80 100 150

p

(lb mjft3)

T

(OP)

125 123 116 108 99.6 94.0 88.4 74.8

0.55 0.58 0.61 0.68

225· 180 130 68

c1' fl X 105 (Btujlb m-0p) (lbmjft- seg)

0.202 0.204 0.212 0.221 0.230 0.238 0.246 0.271

fl X 105 c1) (Btujlbm-Op) (1 bmj ft -seg )

X

105

k (BtuJhr-ft- 0p)

4.46 3.60 2.62 1.41

0.100 0.099 0.098 0.098

Alcohol n- butílico

k (Btujhr-ft-0p)

0.0650 0.0640 0.0578 0.0564 0.0528 0.0504 0.0480 0.0420

Freon-12

(ft 2j seg)

V

1.32 1.32 1.28 1.24 1.19 1.16 1.12 1.05

X

105 (ft2jseg)

V

3.59 3.41 3.25 2.97

44.6 38.0 29.1 17.1

Pr

X 103 (ft2jhr)

(f.

14.0 14.1 15.4 15.3 15.6 16.0 16.3 17.4

Pr

3.40 3.35 3.00 2.92 2.74 2.60 2.48 2.18

X 103 (ft2jhr)

(f.

f3

f3 104

0.25 0.43

3 X 10 Orp)

9.10 9.60 11.4 13.1 14.9 16.0 17.2 19.5

otP)

X

6.23 2.02

X 10-6 (ltF-ft3)

gf3 p2j fl2

168 179 225 277 341 384 439 625

X 10-6 OjOp-ft 3)

gf3 p2f fl2

http://setlibros.com/

p (lbm /ft 3)

55.2 54.6 53.6 51.8 49.9

p (lb m/ft3)

55.0 54.0 53.0 52.5 52.0 510 50.0

T eF)

60 80 100 150 200

T (OF)

O 30 60 80 100 150 200

44.5 38 33 24.5 19.4

0.400 0.420 0.439 0.453 0.467 0.499 0.530

5550 2220 1110 695 556 278 250

¡;, X 105 cp (Btu/lb m-°F) (lbm/ft-seg)

0.395 0.410 0.420 0.450 0.480

cp ¡;, X 105 (Btu/lb m - DF) (lbm/ft-seg)

0.0856 0.0836 0.0814 0.0762 0.0711

Benceno

(Btu/hr-ft-°F)

k

103 (ft2/hr)

IX X

3.93 3.73 3.61 3.27 2.97

103 (ft2Jhr)

IX X

101 41.1 20.9 13.3 10.7 5.45 5.00

0.0780 0.0755 0.0732 0.0710 00690 0.0645 0.0600

3.54 3.32 3.14 3.07 2.84 2.44 2.27

Fluido hidráulico (MIL ·M ·5606)

X 105 k (ft2/ seg ) (Btu/hr-ft-°F)

)1

0.806 0.695 0.615 0.473 0.390

X

105 (ft2/ seg ) )1

1030 446 239 155 136 80.5 79.4

Pr

7.39 6.70 6.13 5.21 4.73

Pr

7.5 7.2 6.8

104 (ltF) X

· 0.76 0.68 0.60 0.52 0.47 0.32 0.20

3 X 10 (WF)

f3

f3 X

10-6

2.39 13.0 44.1 95.7 132 346 258

X 10-4 (lrF-ft 3)

gf3 p2J ¡;,2

498 609 980

(ltF-ft 3)

gf3 p2/ ¡;,2

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.obm /ft

48.8 48.1 47.6 47.2 46.1

30 60 80 100 150

)

P

T

(OF)

79.7 79.1 78.7 78.2

30 60 80 100

3

P

(lbm/ft 3)

T

eF)

c'P

¡.,¿

7.2 1.4 0.6 0.1

0.456 0.474 0.491 0.505 0.540

c'P

800 600 490 420 320

¡.,¿ X

105 (Btu/lbm - °F) (lbm/ft- seg)

0.540 0.563 0.580 0.598

(Btu/lb m-°F) (lbm/ft- seg )

5

k

(Btu/hr-ft- °F)

0.0809 0.0805 0.0800 0.0797 0.0788

Kerosene 16.4 12.5 10.3 8.90 6.83

X 2

10 (ft /seg)

"

9.03 1.77 0.762 0.128

0.168 0.167 0.166 0.165

k (Btu/hr-ft- °F)

Glicen"na

2

" X 10 (ft 2/ seg)

"

3

3.63 3.53 3.42 3.35 3.16

10 (ft /hr) X 2

3.91 3.75 3.64 3.53

3

X 10 (ft 2/hr)

" X

10-2

163 127 108 95.7 77.9

Pr

832 170 75.3 13.1

Pr

0.58 0.48 0.47

{3 X 103 (1¡OF)

0.30

{3 X 1()3 (1¡OF)

120 146 192

g{3p2/¡.,¿2 X 10- 4 (1 ¡OF-ft 3)

166

g{3 p2/ ¡.,¿2 (1¡OF-ft 3)

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~

.1>0

4.84 4.77 4.71 4.64 4.58 4.51

P

(lbm /ft 3)

80.1 78.5 76.8 75.1 73.4 71.7

T

eF)

-350 -340 -330 -320 -310 -300

(lbm/ft3)

P

-435 -433 -431 -429 -427 -425

T (OF)

,u

1.63 1.52 1.40 1.28 1.17 1.05

X

0.400 0.401 0.402 0.404 0.405 0.406

C ll

38.0 28.0 21.8 17.4 14.8 13.0

X

105 (Btu/lb m-°F) (Ib m /ft-seg)

1.69 1.78 1.87 1.96 2.05 2.15

P.

105 (Btu/lbm-°F) (lbm/ft-seg)

cll

k X 103 (Btu/hr-ft-°F)

0.0595 0.0610 0.0625 0.0640 0.0655 0.0670

3.1 3.4 3.7 4.0 4.3 4.6

Oxígeno líquz'do

105 seg)

0.474 0.356 0.284 0.232 0.202 0.181

X (ft 2/

V

0.337 0.319 0.297 . 0.276 0.256 0.233

Hidrógeno líquido

2 /

X

105 k (ft seg ) (Btu/hr-ft-°F)

V

X

103

9.67 10.8 12.0 12.2 14.5 15.8

X 2

105 (ft /hr)

ex

7.28 7.20 7.09 7.03 6.97 6.90

(ft2Jhr)

ex

172 109 85.0 63.5 50.1 41.2

Pr

1.67 1.59 1.51 1.41 iJ2 1.2i

Pr

X

103

103

3.19

(1¡OF)

X

7.1

(WF)

f3

f3

186

gf3 p2/ p.2 X 10-8 (trF-ft3)

2.59

gf3p2/p.2 X 10-4 (1¡OF-ft 3)

http://setlibros.com/

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

T (FO)

625 622 618 613 608 604 599 595

(Ib/ m

p

ft 3)

l~xI03 .

0.0345 0.0353 0.0361 0.0368 0.0375 0.0381 0.0386 0.0391

1.09 0.990 0.900 0.830 0.765 0.710 0.660 0.620

(Btu/lbm - °F) (Ib m /ft-seg)

c1J

1.75 1.59 1.46 1.35 1.26 1.17 1.10 1.04

106 (ft2/seg)

11 X

8.58 8.87 9.16 9.44 9.74 10.0 10.3 10.6

Bismuto

k (Btu/hr-ft-°F) ct.

0.397 0.405 0.408 0.418 0.427 0.435 0.446 0.456

(ft 2/hr)

0.0159 0.0141 0.0129 0.0116 0.0106 0.00970 0.00895 0.00820

Pr

0.062 0.065 0.068 0.071 0.074 0.077

{3 X 103 (1¡OF)

X

10-9

0.786 0.985 1.19 1.45 1.72 2.04

(1¡OF-ft 3)

g{3p2/¡..t2

http://setlibros.com/

40 60 80 100 150 200 250 300 400 500 600 800

T (OF)

p

848 847 845 843 839 835 831 827 819 811 804 789

(lb/mft 3)

0.0334 0.0333 0.0332 0.0331 0.0330 0.0328 0.0328 0.0328 0.0328 0.0328 0.0328 0.0329

1.11 1.05 1.00 0.960 0.893 0.850 0.806 0.766 0.700 0.650 . 0.606 0.550

¡t X 103 c'lJ (Btu/lb m-°F) (lbm/ft-seg)

1.31 l.24 1.18 1.14 1.06 1.02 0.970 0.928 0.856 0.803 0.754 0.698

6 X 10 (ft2/ seg)

V

4.55 4.64 4.72 4.80 5.03 5.25 5.45 5.65 6.05 6.43 6.80 7.45

Mercurio

k (Btu/hr-ft-°F) el

0.161 0.165 0.169 0.172 0.182 0.192 0.200 0.209 . 0.225 0.243 0.259 0.289

(ft 2/hr)

0.0292 0.0270 0.0252 0.0239 0.0210 0.0191 0.0175 0.0160 0.0137 0.0119 0.0105 0.0087

Pr

0.084

3 X 10 O¡OF)

f3

1.57 1.76 1.94 2.09 2.38 2.62 2.87 3.16 3.70 4.12 4.80 5.54

X 10-9 O¡OF-ft3)

gf3 p2/ ¡t2

http://setlibros.com/

200 250 300 400 500 600 800 1000 1300

T (oF)

p

58.1 57.6 57.2 56.3 55.5 54.6 52.9 51.2 48.7

(lb m/ft 3)

0.332 0.328 0.324 0.317 0.309 0.305 0.304 0.304 0.305

0.489 0.428 0.378 0.302 0.258 0.224 0.180 0.152 0.120

¡.;, X 103 cp (Btu/lb m-°F) (lbm/ft-s('g)

8.43 7.43 6.61 5.36 4.64 4.11 3.40 2.97 2.47

6 X 10 (ft2/ seg)

V

49.8 49.3 48.8 47.3 45.5 43.1 38.8 36.0 34.2

Sodzo

k (Btu/hr-ft-°F) oc

2.58 2.60 2.64 2.66 2.64 2.58 2.41 2.31 2.31

(ft 2/hr)

0.0118 0.0103 0.00903 0.00725 0.00633 0.00574 0.00510 0.00463 0.00385

Pr

0.15

{3 X 103 (WF)

68.0 87.4 110 168 224 287 418 548 795

X 10-6 (l¡OF-ft3)

g{3p2J¡.;,2

http://setlibros.com/

""

c.l O>

0.0862 0.0810 0.0764 0.0735 0.0710 0.0651 0.0602 0.0559 0.0523 0.0462 0.0413 0.0374 0.0315 0.0272 0.0203

O 30 60 80 100 150 200 250 300 400 500 600 800 1000 1500

1.09 1.15 1.21 1.24 1.28 1.36 1.45 1.53 1.60 1.74 1.87 2.00 2.24 2.46 2.92

l' X 105 (lbm/ft-seg)

0.126 0.142 0.159 0.169 0.181 0.209 0.241 0.274 0.306 0.377 0.453 0.535 0.711 0.906 1.44

X 103 (ft2/ seg)

ji

Nota: Todas las propiedades de los gases son para presión atmosférica.

0.240 0.240 0.240 0.240 0.240 0.241 0.241 0.242 0.243 0.245 0.247 0.251 0.257 0.263 0.277

Cll

(Btu/lb m-°F)

P

(lb m/ft3)

Propiedades físicas de los gases

T eF)

A-3 k

0.0132 0.0139 0.0146 0.0152 0.0156 0.0167 0.0179 0.0191 0.0203 0.0225 0.0246 0.0270 0.0303 0.0337 0.0408

Az're

(BtuJhr-ft- °F)

ex

0.639 0.714 0.798 0.855 0.919 1.06 1.24 1.42 1.60 2.00 2.41 2.88 3.75 4.72 7.27

(ft 2/hr)

0.721 0.716 0.711 0.708 0.703 0.698 0.694 0.690 0.686 0.681 0.680 0.680 0.684 0.689 0.705

Pr

2.18 2.04 1.92 1.85 1.79 1.64 1.52 1.41 1.32 1.16 1.04 0.944 0.794 0.685 0.510

X 103 (l¡OF)

fJ

gfJ p2J 1'2

6

4.39 x 10 3.28 2.48 2.09 U76 1.22 0.840 0.607 0.454 0.264 0.163 79.4 x 103 50.6 27.0 7.96

(l¡OF-ft3)

http://setlibros.com/

212 250 300 400 500 600 800 1000 1500

T (OF)

0.0372 0.0350 0.0327 0.0289 0.0259 0.0234 0.0197 0.0170 0.0126

0493 0.483 0.476 0.472 0.477 0.483 0.498 0.517 0.564

c1J

(Btu/lb m - °F)

p

(Ib m /ft 3)

0870 0.890 0.960 1.09 1.23 1.37 1.63 1.90 2.57

f-l X 105 (Ib m /ft-seg)

0.234 0.254 0.294 0.377 0.474 0.585 0.828 1.12 2.05

k (Y. (Btu/hr-ft-°F)

0.0145 0.0155 0.0171 0.0200 0.0228 0.0258 0.0321 0.0390 0.0580

Vapor de agua

X 103 (ft2/ seg)

V

(Y.

0.794 0.920 1.10 1.47 1.85 2.29 3.27 4.44 8.17

(ft 2/hr)

1.06 0.994 0.963 0.924 0.922 0.920 0.912 0.911 0.906

Pr

X 103 (1¡OF)

1.49 1.41 1.32 1.16 1.04 0.944 0.794 0.685 0.510

{3

6

0.873 X 10 0.698 0.493 0.262 0.148 88.9 x 103 37.8 17.2 3.97

g{3 p2/ f-l2 (1¡OF-ftS)

http://setlibros.com/

O 30 60 80 100 150 200 250 300 400 500 600 800 1000 1500

T (OF)

0.249 0.249 0.249 0.249 0.249 0.249 0.249 0.249 0.250 0.250 0.253 0.256 0.262 0.269 0.283

(Btu/lb m- °F)

(lbm /ft 3)

0.0837 0.0786 0.0740 0.0711 0.0685 0.0630 0.0580 0.0540 0.0502 0.0443 0.0397 0.0363 0.0304 0.0263 0.0195

c1J

p

1.06 1.12 1.17 1.20 1.23 1.32 1.39 1.47 1.53 1.67 1.80 1.93 2.16 2.37 2.82

5

0.127 0.142 0.158 0.169 0.180 0.209 0.240 0.271 0.305 0.377 0.453 0.532 0.710 0.901 1.45

loa

V X 10 (lbm/ft-seg) (ft 2/seg)

'" X

0.0132 0.0139 0.0146 0.0151 0.0154 0.0168 0.0174 0.0192 0.0202 0.0212 0.0244 0.0252 0.0291 0.0336 0.0423

Nz'tr6geno

(Btu/hr-ft-°F)

k ex

0.633 0.710 0.800 0.853 0.915 1.07 1.25 1.42 1.62 2.02 2.43 2.81 3.71 4.64 7.14

(ft 2/hr)

0.719 0.719 0.716 0.712 0.708 0.702 0.690 0.687 0.685 0.684 0.683 0.686 0.691 0.700 0.732

Pr

2.18 2.04 1.92 1.85 1.79 1.64 1.52 1.41 1.32 1.16 1.04 0.944 0.794 0.685 0.510

X

103 (WF)

{3

4.38 X 106 3.29 2.51 2.10 1.79 t.22 0.854 0.616 0.457 0.263 0.163 0.108 0.0507 0.0272 0.00785

g{3 p2J",2 (1¡OF-ft 3)

http://setlibros.com/

cp (Btu/lb m - °F)

0.219 0.219 0.219 0.220 0.220 0.221 0.223 0.225 0.227 0.230 0.234 0.239 0.246 0.252 0.264

p

(Ib m /ft3)

0.0955 0.0897 0.0845 0.0814 0.0785 0.0720 0.0665 0.0618 0.0578 0.0511 0.0458 0.0414 0.0349 0.0300 0.0224

T

(OF)

O 30 60 80 100 150 200 250 300 400 500 600 800 1000 1500

1.22 1.28 1.35 1.40 1.43 1.52 1.62 1.70 1.79 1.95 2.10 2.25 2.52 2.79 3.39

105 (Ibm /ft-seg)

fJ, X

0.128 0.143 0.160 0.172 0.182 0.211 0.244 0.276 0.310 0.381 0.458 0.543 0.723 0.930 1.52

X 2

103 (ft Jseg)

V

0.0134 0.0141 0.0149 0.0155 0.0160 0.0172 0.0185 0.0197 0.0209 0.0233 0.0254 0.0281 0.0324 0.0366 0.0465

Oxígeno

k (Btu/hr-ft-°F)

0.641 0.718 0.806 0.866 0.925 1.08 1.25 1.42 1.60 1.97 2.37 2.84 3.77 4.85 7.86

(ft /hr)

a: 2

0.718 0.716 0.713 0.713 0.708 0.703 0.703 0.700 0.700 0.698 0.696 0.688 0680 0.691 0.696

Pr

2.18 2.04 1.92 1.85 1.79 1.64 1.52 1.41 1.32 1.16 1.04 0.944 0 794 0.685 0.510

X

103 OtF)

/3

g/3 p2J fJ,2

4.29 X 106 3.22 2.43 2.02 1.74 1.19 0.825 0.600 0.442 0.257 0.160 0.103 49.4 x 103 25.6 7.22

O¡OF_ft3)

http://setlibros.com/

O 30 60 80 100 150 200 250 300 400 500 600 800 1000 1500

T ep)

0.132 0.124 0.117 0.112 0.108 0.100 0.092 0.0850 0.0800 0.0740 0.0630 0.0570 0.0480 0.0416 0.0306

0.193 0.198 0.202 0.204 0.207 0.213 0.21 9 0.225 0.230 0.239 0.248 0.256 0.269 0.280 0.301

c'P

(Btujlbm-Op)

P

(lb mjft3)

0.865 0.915 0.965 1.00 1.03 1.12 1.20 1.32 1.36 1.45 1.65 1.78 2.02 2.25 2.80

1'" X 105 (Ib m jft-seg) X

103 k (Btujhr-ft-0p)

0.0655 0.0739 0.0829 0.0891 0.0953 0.113 0.131 0.155 0.171 0.196 0.263 0.312 0.420 0.540 0.913

0.00760 0.00830 0.00910 0.00960 0.0102 0.0115 0.0130 0.0148 0.0160 0.0180 0.0210 0.0235 0.0278 0.0324 0.0340

Bióxz"do de carbono

(ft2jseg)

V

(1.

0.298 0.339 0.387 0.421 0.455 0.539 0.646 0.777 0.878 1.02 1.36 · 1.61 2.15 2.78 4.67

(ft2Jhr)

0.792 0.787 0.773 0.760 0.758 0.755 0.730 0.717 0.704 0.695 0.700 0.700 0.702 0.703 0.704

Pr

2.18 2.04 1.92 1.85 1.79 1.64 1.52 1.41 1.32 1.16 1.04 0.944 0.794 0.685 0.510

X 103 (ltp)

(J

g{J p2j 1"'2

16.3 x 106 12.0 9.00 7.45 6.33 4.16 2.86 2.04 1.45 1.11 0.485 0.310 0.143 75.3 x 103 19.6

(ljOF-ft3)

http://setlibros.com/

cp (Btu/lb m-°F)

3.37 3.39 3.41 3.42 3.42 3.44 3.45 3.46 3.46 3.47 3.47 3.47 3.49 3.52 3.62

p

(lb m/ft3)

0.00597 0.00562 0.00530 0.00510 0.00492 0.00450 0.00412 0.00382 0.00357 0.00315 0.00285 0.00260 0.00219 0.00189 0.00141

T

(OF)

O 30 60 80 100 150 200 250 300 400 500 600 800 1000 1500

0.537 0.562 0.587 0.602 0.617 0.653 0.688 0.723 0.756 0.822 0.890 0.952 1.07 1.18 1.44

X

105 (lbm/ft-seg)

fJ-

0.900 1.00 1.11 1.18 1.25 1.45 1.67 1.89 2.12 2.61 3.12 3.66 4.87 6.21 10.2

X 2

k (BtuJhr-ft-°F)

0.092 0.097 0.102 0.105 0.108 0.116 0.123 0.130 0.137 0.151 0.165 0.179 0.205 0.224 0.265

Hidrógeno

103 (ft /seg)

11

4.59 5.09 5.65 6.04 6.42 7.50 8.64 9.85 11.1 13.8 16.7 19.8 26.8 33.7 51.9

(ft /hr)

C(

2

0.713 0.709 0.707 0.705 0.700 0.696 0.696 0.690 0.687 0.681 0.675 0.667 0.654 0.664 0.708

Pr

2.18 2.04 1.92 1.85 1.79 1.64 1.52 1.41 1.32 1.16 1.04 0.944 0.794 0.685 0.510

X

103 (1¡OF)

fJ gfJ p2/ fJ-2

87,000 65,700 50,500 42,700 36,700 25,000 17,500 12,700 9,440 5,470 3,430 2,270 1,080 571 158

(1¡OF-ft 3 )

http://setlibros.com/

O 30 60 80 100 150 200 250 300 400 500 600 800 1000 1500

T (OF)

0.249 0.249 0.249 0.249 0.249 0.249 0.250 0.250 0.251 0253 0.256 0.259 0.266 0.273 0.286

(Btu/lb m-°F)

(lbm/ft 3)

0.0832 0.0780 0.0736 0.0709 0.0684 0.0628 0.0580 0.0539 0.0503 0.0445 0.0399 0.0361 0.0304 0.0262 0.0195

c'P .

P

1.05 1.11 1.16 1.20 1.23 1.32 1.40 1.48 1.56 1.73 1.85 1.97 2.21 2.43 3.00

¡t X 105 (lbm/ft-seg)

k (Btu/hr-ft-°F)

0.126 0.142 0.157 0.169 0.180 0.210 0.241 0.275 0.310 0.389 0.463 0.545 0.728 0.929 1.54

0.0128 0.0134 0.0142 0.0146 0.0150 0.0163 0.0174 0.0183 0.0196 0.0217 0.0234 0.0253 0.0288 0.0324 0.0410

Monóxi"do de carbono

X

103 (ft2J seg)

V

0.620 0.691 0.775 0.828 0.884 1.04 1.20 1.36 1.56 1.92 2.30 2.71 3.57 4.54 7.35

(ft2Jhr)

IX

0.749 0.744 0.740 0.737 0.735 0.730 0.726 0.722 0.720 0.726 0.729 0.726 0.735 0.740 0.756

Pr

2.18 2.04 1.92 1.85 1.79 1.64 1.52 1.41 1.32 1.16 1.04 0.944 0.794 0.685 0.510

X

103 (WF)

f3

6

4.40 X 10 3)2 2.48 2.09 1.79 1.19 0.842 0.604 0.442 0.248 0.156 0.101 48.2 x 103 25.6 6.93

gf3 p2/ ¡t2 (l/OF-ft 3)

http://setlibros.com/

(lb m /ft 3)

0.211 0.197 0:187 0.180 0.173 0.159

O 30 60 80 100 150

p

T (OF)

0.113 0.114 0.114 0.115 0.115 0.117

cp (Btu/lb m - °F)

X

10 6

8.06 0.40 8.80 9.07 9.34 10.0

(lbl~/ft-seg )

f-L X

103

0.0381 0.0426 0.0470 0.0504 0.0540 0.0629

(ft2j seg)

l'

0.00418 0.00450 0.00480 0.00500 0.00520 0.00570

Cloro

k (Btujhr-ft-°F) ex

0.175 0.201 0.225 0.242 0.261 0.306

(ft2jhr)

0.785 0.769 0.753 0.753 0.748 0.739

Pr

2.18 2.04 1.92 1.85 1.79 1.64

X 103 O¡OF)

(J

48.3 36.6 28.1 24.3 19.9 13.4

X 10- 6 O¡OF-ft 3)

g(Jp2jf-L2

http://setlibros.com/

200 250 300 400 500 600 800 1000 1500

ISo

O 30 60 80 100

T CP)

0.0119 0.0112 0.0106 0.0102 0.00980 0.00900 0.00829 0.00772 0.00722 0.00637 0.00572 0.00517 0.00439 0.00376 0.00280

1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24 1.24

c1J

(Btu/lb m-0p)

p

(lb m /ft 3)

122 127 132 135 138 146 155 162 170 18'5 198 209 232 255 309

p. X 107 (lbm/ft-seg)

1.03 1.14 1.25 1.32 1.41 1.63 1.87 2.09 2.36 2.91 3.46 4.04 5.28 6.78 11.1

X 103 (ft2Jseg)

V

0.0784 0.0818 0.0852 0.0872 0.0892 0.0937 0.0977 0.102 0.106 0.114 0.122 0.130 0.145 0.159 0.189

Helz"o

k (Btu/hr-ft-°F) ex

5.30 5.89 6.46 6.88 7.37 8.36 9.48 10.7 11.8 14.4 17.1 20.6 27.6 35.5 59.7

(ft 2/hr)

0.698 0.699 0.700 0.701 0.701 0.703 0.705 0.707 0.709 0.714 0.719 0.720 0.722 0.725 0.730

Pr

2.18 2.04 1.92 1.85 1.79 1.64 1.52 1.41 1.32 1.16 1.04 0.944 0.794 0.685 0.510

X 103 (WF)

f3

gf3 p2/ p.2

66,800 51 ,100 40,000 33,900 . 29,000 20,100 14,000 10,400 7,650 4,410 2,800 1,850 915 480 135

(1¡OF-ft 3 )

http://setlibros.com/

(Btu/lb m- 0p)

0.142 0.149 0.157 0.164 0.170 0.176 0.180

0.195 0.161 0.136 0.118 0.104 0.0935 0.0846

O 100 200 300 400 500 600

c'P

P (lb m /ft 3)

T (OP)

0.700 0.890 1.05 1.20 1.35 1.50 1.65

105 (lbm/ft-seg)

¡.,t X

k (Btu/hr-ft-0p)

0.00460 0.00560 0.00670 0.00790 0.00920 0.00990 0.0108

Bióxido de sulfuro 3.59 5.52 7.74 10.2 13.0 16.0 19.5

X 2

103 (ft /seg)

V

0.166 0.233 0.313 0.407 0.520 0.601 0.711

(ft2jhr)

(X

0.778 0.854 0.883 0.898 0.898 0.958 0.987

Pr

2.03 1.79 1.52 1.32 1.16 1.04 0.994

3 X 10 (l /Op)

f3

gf3 p2/ ¡.,t2

50.6 X 106 19.0 8.25 4.12 2.24 1.30 0.795

(l¡op-ft 3)

\

APENDICE

B _________

'l'_- _ _ __

Gráficas para la solución de problemas de conducción transitoria

Tabla B.I

Símbolos para las gráficas de estado no estable Simbolo del parámetro

Temperatura adimensional

y

Tiempo relativo

X

Posición relativa

n

Conducción de calor T- Too T o - Too rxt x 12 X

"'---

--)

T = temperatura x

=

distancia desde el centro a cualquier punto

t = tiempo k = conductividad térmica h = coeficiente de transferencia convectiva -rx

448

http://setlibros.com/

= difusividad térmica

I

m

Resistencia relativa

Xl

k hxl

Subíndices: O

=

condición inicial al tiempo

t=O = límite ex)

= condición de referencia dell1uido

1.0r---'---~----r---'---~----r----r~~--~----~---r---'

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O

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3.0

4.0

5.0

6.0

X

Figura B.I Conducción de estado no estable en una loza grande plana.

449

http://setlibros.com/

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O

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1.5

2.0

2.5

3.0

X, Figura B .2 Conducción de estado no estable en un cilindro largo.

450

http://setlibros.com/

3.5

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Esfera

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O

0.5

1.0

2.0

1.5

2.5

3.0

3.5

x Figura B.3 Conducción de estado no estable en una esfera.

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Placa plana

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1.4

Figura B.4 Gráficas para la solución de problemas de conducción inestable: placa plana.

452

http://setlibros.com/

Placa plana

1.0

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1.4

OII /X , 2

Figura B.4 (sigue)

453

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1.4

Cl. t/x/ Figura B.5 Gráficas para la solución de problemas de conducción inestable : cilindro.

454

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Cilindro

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Se desea aislar un calentador de agua para que la pérdida de calor no sea super'Íor a 750 Btu por ft2 de área de pared. ¿Cuál es el espesor de asbesto requerido si se desea que las temperaturas de las superficies interior y exterior del aislante estén a 1500°F y 400°F respectivamente?

1.8

Si se desea aislar el calentador del problema anterior con as besto, una de cuyas superficies está a 1500°F, ¿cuál es el espesor necesario del aislante si se requiere que el aire adyacente esté a la temperatura de 80°F con un valor de h igual a 11 Btu/ hr-ft 2°F? ¿Cuál es la temperatura de la superficie del aislante? Se requiere que el flujo de calor no sea mayor que 750 Btu/hr-ft2.

1. 9

Se desea formar una pared compuesta de acero inoxidable de ¡-in de espesor, 3 in de lámina de corcho y t in de plástico (k = 1.3 Btu/ hr-ft-OF) . Se requiere que la temperatura exterior del acero inoxidable esté a 250°F y que la temperatura de la superficie del plástico esté a 60°F. a) Determinar la resistencia térmica de cada capa de ma terial. b) Determinar el flujo de calor. e) Encontrar la temperatura en cada superficie de la lámina de corcho.

1.10 En el pmblema anterior se expone la pared compuesta a gases que están a 250°F y 70°F con coeficientes de transferencia convertida de calor iguales a 45 y 6 Btu/ hr-ft 2°F en las superficies de acero y plástico respectivamente. Encontrar a) el flujo de calor b) las temperaturas de superficie e interfacial para la pared . e) la resistencia térmica individual que controla. 1.1l Hay una placa de acero de 1/2- in de espesor, y cuyas superficies miden 4 ft por 6 ft en el suelo en un día de verano cuando el aire ambiente está a 95°F. El coeficiente de transferencia de calor entre la superficie de acero y el aire ambiente es igual a 1.0 Btu/ hr-ft2_0p. La energía solar incide sobre el acero con un flujo de 360 Btu/ hr-ft 2°F. Si se considera negra la superficie de acero, ¿cuál es la temperatura superficial bajo las condiciones descritas? 1.12 Para las condiciones del problema anterior, calcular la temperatura superficial del acero si es "gris" con una emisividad de 0.85 . (Se absorbe 85% de la energía radiante que incide en

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476

PROBLEMAS

la superficie; se refleja el 15% restante; en realidad, se emite 85 % de la emisión de cuerpo negro que sale de la superficie). Se puede suponer que el cielo absorbe toda la energía radiante que sale de la superficie del acero. ¿Cuál sería la temperatura de la superficie de acero si se despreciara la convección? 1.13 Resolver el problema l.11 para la temperatura de la placa de acero si está en un soporte con aire a 35°C adyacente a ambas superficies. Todavía incide la energía solar en un lado. 1.14 Se calienta por debajo una placa de aluminio de 2 in de espesor con 10 in de diámetro mediante una placa caliente cuyas superficie superior y borde están expuestos al aire libre de 75°F. Se puede considerar que la conductancia de la superficie (incluyendo la radiación) es igual a 8 Btu/hr-ft 2°F. ¿Cuánto calor debe proporcionar la placa caliente si se requiere que la superficie superior del aluminio esté a 160°F? 1.15 Comparar la solución del problema l.14 con el caso de un disco circular de la misma dimensión hecho de a) cobre b) acero inoxidable e) asbesto d) plomo. 1.16 Se desea colocar un tubo de acero de 1-l/2-in y calibre 80 con su superficie exterior a 400°F en aire a 90°F en donde el coeficiente de transferencia convectiva de calor entre la superficie de acero y el aire ambiente es igual a l.6 Btu/hr-ft 2-oF. Se propone agregar aislante de 85 % magnesio a la superficie del tubo para reducir la pérdida de calor a un medio del correspondiente al tubo desnudo. ¿Cuál espesor de aislante se debe emplear si el coeficiente de transferencia de calor, ho' y la temperatura de la superficie exterior del acero retienen los mismos valores dados arriba? -1.17 Resolver el problema anterior manteniendo iguales todas las condiciones excepto que la conductancia de la superficie varía de acuerdo con ho = 1.1/D!, en donde Do es el diámetro externo del aislante en pies. 1.18 Se hace entrar vapor saturado a 400 psía en un tubo de acero dulce de 2 in y calibre 40. El tubo está aislado con 3 in de magnesio al 85% y rodeado por aire a 55°F. Los coeficientes de transferencia convectiva de calor en la superficie interior del tubo y en la superficie exterior del aislante son de 270 Btu/ hr-ft 2-OF y 4.5 Btu/ hr-ft 2-OF respectivamente. DetermInar

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PROBLEMAS

477

a) la resistencia térmica de cada porción de la trayectoria de

flujo de calor. b) la pérdida total de calor por pie de tubo aislado. e) el flujo de calor basado en el área de la superficie exterior

del tubo de acero. d) las temperaturas en la superficie interior del tubo, la in-

terfase acero-magnesia y la superficie exterior del aislante. e) la cantidad de vapor condensado en una longitud de 20 ft de tubería. j) el coeficiente de transferencia total de calor para el tubo aislado.

1.19 Una pared plana tiene espesor igual a L y se mantienen sus dos superficies a las temperaturas T o Y TL , respectivamente . Si la conductividad térmica del material de la pared varía de acuerdo con k = ko(l + rxT + (3T 2), obtener una expresión para el flujo de calor unidireccional de estado estable. 1.20 Un colchón de asbesto, de sección transversal cuadrada mide 4 in por lado en su extremo grande; los lados decrecen linealmente hasta 2 in en su extremo pequeño. La pieza tiene 6 in, de altura y se mantienen las temperaturas en los extremos grande y pequeño a 800°F y 150°F respectivamente . Si se supone conducción unidimensional de calor y se desprecian las pérdidas convectivas de los lados, ¿cuál es la razón de conducción de calor a través del asbesto? 1.21 Resolver el problema anterior para el caso en que la temperatura en el extremo pequeño está a 800°F y la temperatura en el extremo mayor es de 150°F. 2. 1

Partiendo de la forma cilíndrica de la ecuación de calor, bajo condiciones de estado estable se aplica la ecuación de Laplace y aparece en la forma de la ecuación (2.56) . a) ¿A qué forma se reduce esta expresión si la conducción solamente va en la dirección radial? b) Obtener la variación de la temperatura T(r) en el caso de la conducción radial con las condiciones límite T(r;) = T; T(r o) = T o

e) Expresar la razón de flujo de calor qr' que sigue de la expresión generada en b). d) ¿Cuál es el factor de forma para esta configuración?

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478

PROBLEMAS

2.2

Para la conducción de estado estable en las coordenadas esféricas, la ecuación de Laplace es de la forma dada por la ecuación (2-57). a) ¿Cuál es la forma que tóma esta ecuación para la conducción en la dirección radial solamente? b) Obtener el valor de T(r) en el caso de conducción radial con condiciones límites iguales a T(r i ) = Ti T(ro) = T o

e) Usando el perfil de temperaturas de b), evaluar la razón qr de flujo de calor. d) ¿Cuál es el factor de forma para esta configuración? 2.3

La ilustración que sigue muestra una pared cilíndrica cuyas superficies en r = ro y r = r i están aisladas de tal manera que el flujo de calor ocurre en la dirección de O a) Explicar (o demostrar) la razón por la que bajo estas condiciones, las isotermas son líneas radiales y el flujo de calor está en la dirección de O b) Reducir la ecuación (2-56) a la forma aplicable para las condiciones especificadas. e) Obtener T(O) con las condiciones límite T(a) = T h , TC"j2)= Te' d) Usando el .resultado de e), expresar qe, la razón de flujo de calor en la dirección de O e) ¿Cuál es el factor de forma para esta configuración?

2.4

Usando el resultado del problema 2.1 d), resolver los incisos d) y e) del problema 2.3 anterior.

2.5

Se tiene una plancha doméstica con placa de acero inoxidable inicialmente a la temperatura ambiente T o' Cuando se conecta la corriente, la energía eléctrica genera calor uniformemente a la razón de q Btujhr-ft3 en la placa de acero . Para un

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PROBLEMAS

479

volumen V de acero inoxidable y un área superficial A , expuesta al aire con un coeficiente convectivo h entre la plancha y el aire ambiente, se desea encontrar la temperatura de la placa de acero en función de tiempo. a) Formular este problema utilizando un enfoque de pa-

rámetro "de mosaico", suponiendo que T es una función solamente del tiempo. b) Obtener el valor de T(t). e) Formular este problema usando un enfoque diferencial. Modele la placa de acero de la plancha como un sólido rectangular con generación interna uniforme de calor. La convección ocurre en todas las superficies excepto una. 2.6

Se puede modelar una barra de combustible nuclear como un cilindro largo con generación volumétrica uniforme de energía q, y convección en la superficie cilíndrica a un refrigerante con un coeficiente h de transferencia convectiva de calor aplicable a la superficie. Para una temperatura inicial de la barra de combustible, T o, temperatura T del refrigerante, diámetro D de la barra, y todas las propiedades del material de la barra de combustible consideradas constantes, a) formular el problema a partir de un enfoque de parámetro "de mosaico" para encontrar la temperatura de la barra en función del tiempo. b) resolver la ecuación que se obtuvo en a) para despejar el valor de T(t).

2.7

Si la barra cilíndrica de combustible del problema 2.6 es muy larga , se puede suponer sin dificultad que T = T(r, t). a) Formular este problema , a partir de la expresión diferen-

cial general para la conducción, ecuación (2-50). b) Despejar la distribución de la temperatura de estado es-

table en la barra de combustible de la ecuación que se generó en a) con las condiciones especificadas. 2.8

Si la barra cilíndrica de combustible descrita en el problema 2.6 es delgada y su conductividad es buena, se puede suponer sin dificultad que T = T(x ) únicamente, o sea que la variación de la temperatura es en la dirección de las r . Para tal caso, con una barra de combustible de longitud L y generación interna de energía en función de x, o sea q = q(x ), a) formular el problema para encontrar T(x , t) a partir de la

expresión más completa , ecuación (2-50). b) despejar la distribución de temperatura de estado estable , T(x ),

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bajo las condiciones especificadas.

480

PROBLEMAS

2.9

Una placa plana, que está inicialmente a la temperatura T o, se coloca en un baño a la temperatura Tex;¡ con un coeficiente de transferencia de calor h aplicable en la interfase superficielíquido. El espesor de ' la placa es 2L y se pueden considerar constantes sus propiedades. También se puede considerar constante la temperatura del baño. a) Formular el problema en forma de parámetro de mosaico, o sea para T(t). b) Obtener la ecuación a partir de a). e) Formular el problema en forma diferencial, o sea para T(x, t).

Baño, Too

Baño, Too

á) ilustrar la variación de la temperatura en x de t = O hasta t = oo . 2.10 Se deja caer repentinamente una esfera sólida de radio R que inicialmente está a la temperatura uniforme T o , a un baño que está a la temper atur a T w Para T ex;¡ Y propiedades sólidas

constantes, a) formular el problema en forma de parámetro "de mo-

saico", o sea T = T(t). b) despejar el valor de T(t) en el caso del parámetro "de

mosaico" . e) formular el problema en forma diferencial, o sea para T(r, t).

2.11 Un líquido a la temperatura Te entra a un canal como se muestra entre dos placas calientes que tienen un flujo uniforme de energía impuesto en ambas paredes. El líquido fluye a la velocidad v constante y se pueden considerar constantes sus propiedades. Bajo estas condiciones,

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PROBLEMAS

481

a) formular el problema para encontrar la temperatura "de

mosaico" del fluido en función de x, la distancia medida a lo largo del canal desde la entrada. b) obtener el valor de T(x). 2.12 Despejar el valor de T(x ) en el problema anterior en el caso de un fluido que fluye en el canal entre dos paredes planas paralelas en donde el flujo de calor desde ambas paredes está dado por la expresión q

-

A

= ex

rrX

+ flsenL

donde ex y f3 son constantes y L es la longitud del conjunto de placas en la dirección de las x . 2.13 Un líquido a la temperatura T e se hace entrar a un tubo de diámetro D , que está envuelto uniformemente con un elemento calefactor de tal forma que se impone un flujo constante de calor en la pared del tubo. El líquido fluye a velocidad v constante y se puede suponer que sus propiedades son constantes. Para estas condiciones, a) formular el problema en que se expresa la temperatura del fluido de mosaico en función de x, la distancia en que avanza el líquido a partir de la entrada del tubo. b) obtener T(x) . 2.14 Dadas las condiciones del problema anterior, excepto que el flujo de calor de la pared es una función de x, o sea q/A = (q/A) (x ),

a) formular el problema para encontrar T(x). b) obtener T(x), dado que q/A = ex + {Jsenrrx/L. e) ilustrar la variación de q/A y T con x . Señalar la forma en que cambian las ilustraciones si aumentan ex y/ o fl

2 . 15 Se pueden considerar los elementos combustibles de los reactores nucleares como placas planas en donde se genera uniformemente la energía térmica a la razón 9 Btu / hr-ft 3 .Las placas están recubiertas con un material que tiene espesor

T2•

Se pueden usar los coeficientes de transferencia de calor h I y h 2 para expresar los flujos de calor convectivo en las superficies 1 y 2 respectivamente. Para una placa que inicialmente está a la temperatura uniforme Do, para T o < T 2 , formular el problema en la forma de parámetro "de mosaico" y despejar T(t).

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PROBLEMAS

483

2.18 Para la placa y condiciones descritas en el problema anterior, formular el problema en forma diferencial. ¿Cómo cambia la formulación si TI > T o > T 2 ? 2.19 Para el problema 2 . 17 , reducir la formulación diferencial a condiciones de estado estable . Obtener T(x) e ilustrar el perfil de temperatura de estado estable. Flujo de ca lor solar Iconstante)

2.20. Aproximando la superficie de la tierra como la de un medio semi-infinito, formular el problema en que se debe encontrar la temperatura dentro de la tierra, dada en la forma T(x, t), cuando la temperatura inicial de la tierra estaba uniforme en T o, e incide un flujo constante solar en la superficie en x = O. Ilustrar el perfil de temperatura que se espera encontrar dentro de la tierra después que haya transcurrido un tiempo corto tI y después de transcurrido un periodo más largo t 2. 2.21 Repetir el problema anterior incluyendo la consideración de convección en la superficie con conductancia h de superficie y temperatura T o del aire . 3.1 En la ilustración siguiente se muestra una superficie con aletas. T o es la temperatura en la raíz de la aleta, Too es la temperatura del aire ambiente y la conductancia superficial es h. Para el arreglo de nodos mostrado, formular el problema en forma de diferencias para encontrar la distribución de temperatura de estado sólido, usando el enfoque de balance de calor.

7 //x ~~ ·-----------

L

T~

3.2

Si en el problema anterior el material es acero inoxidable, el área transversal de la aleta es 0.004 ft 2 , el perímetro de la aleta es 0.035 ft , h = 100 Btu/hr-ft2_oF, T o = 850°F, Y Too = 1800°F,

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484

PROBLEMAS

a) la distribución de temperatura de estado estable en la

aleta. b) la razón de transferencia de calor a la raíz de la aleta.

3.3

Formular numéricamente el problema transitorio en que la superficie con aletas descrita en el problema 3 . 1 está inicialmente a la temperatura T o y está expuesta a aire a T ro para t

> o.

Desarrollar las fórmulas en que la solución a) sea explícita (diferencia hacia adelante para la derivada en el tiempo). b) sea implícita (diferencia haci¡¡. atrás para la derivada en el

tiempo). e) sea implícita (el método de Crank -Nicholson para con-

siderar las derivadas en el tiempo) . Comentar los criterios de estabilidad para cada enfoque usado. 3.4

Formular numéricamente el caso descrito en el problema 2.3. Dados ro = 5 in ., ri = 4 in., Eh = 40QoF, Y Te = 250°F, obtener numéricamente la distribución de temperatura de estado estable en la circunferencia .

3.5

Dada la sección rectangular hueca mostrada en la siguiente ilustración con temperaturas conocidas de superficie, formular el problema para la determinación numérica de las temperaturas de estado estable en los 20 nodos. Notar que la simetría puede disminuir apreciablemente el trabajo para obtener la distribución de la temperatura. T ~ 50° F

3 ft

4 ft

3.6

~I

J

Para el caso descrito en el problema anterior, obtener las tem peraturas en cada nodo interno, usando la eliminación de Gauss. El material de la pared es tabique de construcción.

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PROBLEMAS

485

3.7

Obtener las temperaturas nodales en el problema 3.4, usando la iteración de Gauss-Seidel. El material de la pared es tabique de construcción.

3.8

Formular el problema de conducción de calor transitorio en que el sistema descrito en el problema 3 .5 inicialmente está a la temperatura uniforme de 50°F. Desarrollar esta formulación en a) forma explícita. b) forma implícita, usando una primera diferencia hacia

atrás para oTj oto e) forma implícita, usando el enfoque de Crank-Nicholson. 3.9

El problema 2.9 describe un caso transitorio unidimensional. Formular numéricamente este problema con el arreglo nodal mostrado en la siguiente ilustración en a) forma explícita. b) forma implícita, usando una primera diferencia hacia

atrás para oTj oto e) Forma implícita, usando el enfoque de Crank-Nicholson.

3.10 Obtener una formulación numérica para el caso de estado estable descrito en el problema 2.15 para un elemento combustible revestido de reactor nuclear. 3.11 Para el problema anterior, desarrollar la formulación numérica para el problema transitorio en que el elemento combustible inicialmente está a la temperatura uniforme TOO' ¿Cuáles son los incrementos de tiempo recomendables para resolver este problema? Desarrollar el trabajo en a) forma explícita. b) forma

implícita, usando una primera diferencia hacia atrás para oTjot.

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PROBLEMAS

C), forma implícita, usando el enfoque de Crank-Nicholson.

4.1

Se hace una pared compuesta de aluminio de 1/2 in. de espesor, tablero de corcho de 1/2 in. y plástico de 1/8 in . (k = 1.3Btu/hr-ft2_0p). La temperatura exterior del aluminio es igual a 250°F y se mantiene la superficie del plástico a 80°F. ¿Cuánto calor se transfiere por pie cuadrado de superficie de pared bajo estas condiciones? ¿Cuáles son las temperaturas a cada lado del tablero de corcho?

4. 2

Para la pared compuesta descrita en el problema 4.1, ¿cuál es el flujo de calor si se usan remaches de aluminio de 1/4- in de longitud para fijar la pared? Los remaches están localizados en un arreglo cuadrado y colocados en perforaciones de 3 in.

4.3

Se expone la pared compuesta descrita en el problema 4.1 a aire a 325°F del lado del aluminio (h = 60 Btu/hr-ft2_0p) y a aire a 60° F del lado del plástico (h = 6 Btu/hr-ft2-0p). ¿Cuál es el flujo de calor y las temperaturas en las superficies de aluminio y plástico de la pared?

4.4

Para las temperaturas y valores de h dados en el problema anterior, determinar el flujo de calor y las temperaturas superfi ciales para la pared compuesta con remaches de aluminio descrita en el problema 4.2. ¿Hay alguna de las resistencias térmicas que controle el flujo de calor en este caso? ¿De ser así, cuál es?

4.5

Una tubería que lleva vapor saturado a 300 psi pasa por un recinto en el cual el aire está a la temperatura de 80°F. Si los valores de h de las paredes interna y externa de la tubería son 1700 y 7 Btu/hr-ft 2 - °F respectivamente , ¿cuál será la pérdida de calor por metro de tuberla-?---La tubería tiene 2-l/2-in y es de acero suave de calibre 80.

4.6

Si se aisla la línea d e vapor descrita en el problema anterior con magnesio de 2 in al 85% , ¿cuál será la disminución en pérdida de calor comparada con el caso en que la tubería está desnuda? Se puede considerar que las demás condiciones enunciadas para la tubería del problema anterior son iguales.

4.7

Si se desea reducir la pérdida de calor de la tubería desnuda considerada en el problema 4 .5 en 50%, ¿qué espesor de magnesio al 85% se requiere?

4.8

Se requiere que una línea de vapor de acero suave, 3 -in y acero de calibre 80 lleve vapor a 250°F por un túnel en que la temperatura puede llegar hasta a 100°F. Para que la temperatura superficial nunca sea superior a los 140°F, ¿cuánto

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PROBLEMAS

487

calcular aislante de magnesio al 85 % se debe agregar a la pared de la tubería? Los valores de h que se aplican a las superficies interior y exterior de la tubería son 850 y 12 Btu/hr-ft 2-OF respectivamente. 4.9

Obtener el espesor requerido de aislante cuando la tubería del problema 4.8 lleva vapor a 500°F.

4.10 Un tubo de acero de calibre 40 y 2-in lleva vapor saturado a 60 psi a 40 ft a través de una habitación cuya temperatura es de 70°F. La tubería está aislada con magnesio al 85% de 1112 in que cuesta $2 . 16 por ft. Si el costo de calentar el vapor es de $3.50 10 Btu, ¿qué longitud debe tener la línea en servicio para justificar el costo del aislante? El valor de h en la superficie externa del aislante es de 6 Btu/hr-ft 2- °F. 4.11 Obtener la longitud necesaria de servicio para la tubería de vapor aislada del problema 4.10 si se expone la línea a aire a O°F en una longitud de 60 ft con h en la superficie exterior igual a 16 Btu/ hr-ft 2 -oF. 4 . 12 Se almacena nitrógeno líquido en un recipiente esférico que mide 14 in de diámetro. A una atmósfera de presión total, la temperatura de saturación del nitrógeno es de 139.3°R, el calor latente de evaporación es 8 .5.7 Btu/lb m , yel volumen específico del líquido saturado y vapor saturado son 0.020 y 3.48 ftll b m respectivamente. Se desea aislar el exterior del recipiente esférico de acero inoxidable con asbesto de manera que parte del nitrógeno líquido permanezca después de 36 horas de haber llenado el mismo. ¿De qué espesor debe ser el aislante de asbesto? El recipiente se ventila hacia la atmósfera a 75°F, yel coeficiente de la superficie exterior es 8 Btu/ hr-ft 2-oF. 4.13 ¿A qué velocidad se pierde la mitad del nitrógeno líquido en el recipiente esférico descrito en el problema anterior si no se aisla el recipiente de acero inoxidable de 1/4 in? Se puede considerar que el coeficiente superficial es igual 8 Btu/hrft 2_oF. 4.14 Se almacena nitrógeno líquido con las propiedades dadas en el problema 4 . 12 en una botella de Dewar, que se puede considerar como un recipiente esférico con diámetro interior de 10 in . Las paredes de la botélla están hechas de vidrio pyrex de 0.040 in de espesor con espacio al vacío de 1/ 4 in entre ellas. Las observaciones repetidas indican que se pierde 0.5 lb m del nitrógeno por evaporación cada periodo de 48 horas. ¿Cuál es la conductancia efectiva del gas a baja presión en las

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PROBLEMAS

paredes de la botella bajo estas condiciones si h exterior es igua a 6 Btu/ hr-ft 2- °F y del aire ambiente que rodea la botella está a 72°F? 4.15 De acuerdo con la ecuación (4 -5), la razón de estado estable de conducción de calor a través de una pared plana es q = (kAJL) !1T. Para la conducción de estado estable a través de una pared cilíndrica, la razón de flujo de calor está dada por la ecuación (4-10) como 27TkL q =--!1T

ro

Inri

a) Demostrar que es posible poner la ecuación (4-10) en la

forma de la ecuación (4-5), en donde el área efectiva A en la expresión

kA

q = --!1T

ro - ri

es el área media logarítmica dada por

+ ri), en vez de la media logarítmica para una pared cilíndrica, ¿cuál será el porcentaje de error para valores de rolri iguales a 1.5, 3, y

b) Si se usa el área media aritmética lTL(ro

5? 4.16 Encontrar el valor apropiado de A- para una pared esférica cuando se expresa el flujo de calor en la forma kA

q = - - !1T

ru - ri

Repetir b) del problema 4.15 para el caso esférico.

4.17 Se desea utilizar el nicromo, cuya resistividad es de 110 fin-Cm, como elemento calefactor en un calentador de 10-kw. La temperatura superficial del nicromo no debe ser superior a 2400°F. Otras características del diseño incluyen voltaje de entrada igual a 12 voltios . temperatura ambiente igual 200°F coeficiente de la superficie exterior igual a 200 Btu / hr-ft 2 -OF

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PROBLEMAS

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a) ¿Cuál es el diámetro del ni cromo necesario para un calen-

tador de 3 ft bajo estas condiciones? b) Cuál es la longitud de alambre de calibre 14 necesaria

para satisfacer los criterios dados? e) ¿Son las respuestas a a) y b) muy sensitivas a h? ¿Cuáles son las respuestas a a) y b) si h 200 Btu/hr-ft 2 -OF?

4.18 Se forma un calentador de sandwich de alambre de nicromo enrollado de atrás hacia adelante y cubriendo una capa de as"besto de 1/8 in a ambos lados, con acero inoxidable de 1 / 8 in en el lado externo de cada pieza de asbesto. Para un coeficiente superficial exterior de 3 Btu/ hr -ft 2 - °F y una temperatura máxima del nicromo limitada a 1200°F ¿cuánta energía en watts/ft 2 se debe proporcionar al calentador? ¿Cuál será la temperatura superficial del acero inoxidable? 4.19 Un tubo de cobre nominal de 1 in se mantiene a 230°F en su superficie exterior. Se propone agregar aletas hechas de cobre de 3/ 32 in de espesor y 314 in de alto a la superficie del tubo para aumentar la razón de transferencia de calor. Si se agregan 12 aletas longitudinales igualmente espaciadas con las dimensiones dadas a la superficie del tubo, ¿cuál será el porcentaje de aumento en la transferencia de calor del tubo? El aire ambiente está a 80°F y se puede considerar que el coeficiente de superficie es 1.8 Btu/hr-ft 2 -oF. 4.20 Para establecer la importancia de la conductividad térmica sobre las razones de transferencia de calor de tubos con aletas, hacer nuevamente el problema 4.19 para materiales con los siguientes valores de conductividad térmica: k k k k k

132 Btu/ hr- ft -OF (aluminio) 70 Btu/ hr-ft-°F (latón) 40 Btu/ hr-ft-OF (fierro) 24.8 Btu/ hr-ft- °F (acero suave) 9.8 Btu / hr-ft-OF (acero inoxidable)

Graficar el incremento en por ciento en la transferencia de calor para aletas de las dimensiones prescritas contra la conductividad térmica. 4.21 Hacer una gráfica del porcentaje de incremento en la transferencia de calor de una tubería con aletas sobre un tubo des nudo en función del coeficiente de superficie exterior manteniendo los demás valores como en el problema 4 . 19. Considere valores de h desde 1 hasta 150 Btu/ hr-ft 2 -oF. 4.22 Se desean agregar aletas circulares de 1/ 32 in de espesor y 3/ 4 in de altura al tubo de 1 in del problema 4.19 cuya superficie

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PROBLEMAS

está a 230°F. Si se agregan 12 aletas de cobre cada ft, encontrar el porcentaje de aumento en la transferencia de calor comparada con el tubo desnudo. Como en el problema 4.19, el coeficiente superficial y la temperatura del aire son 1.8 Btu/hr-ft 2 -OF y 80°F respectivamente.

4.23 Una varilla metálica de 1 in de diámetro tiene un extremo en un horno y el resto está expuesto a aire a 75°F con un coeficiente superficial de 4 Btu/hr-ft2 - °F. Si se miden temperaturas sobre la varilla a 3 in de distancia y son iguales a 258°F y 197°F, calcular la conductividad térmica del material de la varilla. 4.24 Una viga 1 de acero con las dimensiones mostradas tiene sus patines superior e inferior adyacentes a materiales a 1000°F y 250°F respectivamente. El aire ambiente está a 80°F, y se aplica un valor de h = 12 Btu / hr-ft 2 - °F en las superficies metálicas. a) Suponiendo un cambio despreciable en la temperatura a

través de cada patín, generar una expresión para la temperatura T de el alma en función de x, la distancia creciente con respecto al patín a 1000°F. b) Graficar T(x ). e) Evaluar la razón de transferencia de calor por pie, hacia o del alma en ambos patines.

-;;.{}}«-- 0.30 in

.S

4.25 Repetir el problema 4.24, pero con la viga 1 en aluminio. Se puede considerar el resto de la información igual que en el problema anterior .

4.26 Se utiliza una varilla de fierro de 2 ft de longitud como soporte en una chimenea a través de la cual pasan gases de combustión a 800°F . La varilla tiene 1/2 in de diámetro; el coeficiente de transferencia de calor superficial es 150 Btu/ hr-ft 2- °F Determinar la máxima temperatura a lo largo de la varilla si

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491

a) las paredes de la chimenea se mantienen a 350°F donde se fijó la varilla. b) Los extremos de la varilla se mantienen a 300°F y 400°F respectivamente.

4.27 Se desea condensar vapor saturado a presión atmosférica sobre la superficie exterior de un tubo cuya temperatura se controla mediante agua a 50°F que corre por el exterior. El tubo es de níquel de lin y 16-BWG; el valor efectivo de h en la superficie interior del tubo es de 300 Btu / hr-ft 2-OF y del lado del vapor en condensación, h = 2200 Btu/hr-ft 2-oF. Se propone agregar aletas circulares de níquel en dimensiones 1/16 in. de espesor y 7/8 in de alto y 2 .54 cm entre los centros, a la superficie del tubo. ¿Qué aumento en la razón de condensación se debe esperar agregando las aletas? 4.28 ¿Cuánto calor se debe agregar para soldar dos pIezas muy lar gas de alambre de cobre de l/8 in de diámetro entre sí? La temperatura del aire ambiente es de 70°F y se puede considerar el coeficiente superficial igual a 3 Btu/hr-ft2-oF. La temperatura de la soldadura debe estar al menos a 450°F antes de fundirse. 4.29 Una varilla de cobre de 3 / 8 in de diámetro y 3 ft de longitud corre entre dos varillas de cobre cuyas temperaturas están a 60°F. La temperatura del aire ambiente es de 60°F y el coeficiente superficial de 5 Btu/hr-ft 2-oF. ¿Cuánta corriente puede llevar la varilla de cobre si se requiere que su temperatura no sea superior a los 150°F? La resistividad del cobre es de 1. 72 x 10- 6 Q-cm.

4 .30 Se agrega una varilla cilíndrica a la superficie de un recipiente caliente para que pueda manejarse. Se desea que la temperatura al centro de la manija no sea mayor a 120°F. Para las dimensiones de la manija mostradas (pág. 470), temperatura ambiente de 70°F y coeficiente superficial igual a 5 Btu/hr-ft2-oF, ¿qué tan caliente puede estar la superficie a la que se agrega una manija de acero suave de 3/8 in?

....~'="---5

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in--~... ,....

492

PROBLEMAS

4.31 El ejemplo 4.6 se refería a una aleta bidimensional, y la solución para el caso de temperatura de superficie dada de acuerdo con T(O, y) =. F(y), T(x, ±l) = Too , T( 00, y) = Too ; la ecuación (4-55) expresa la solución. Evaluar T(x, y), utIlIzando la ecuación (4-55) como el punto de inicio cuando la función F(y) es T m ax cos "'Y/21. 4.32 Obtener T(x, y) como en el problema anterior con la función F(y) dada como F(y) = T max 12[1 - (y/I)2]. 4.33 Se coloca excéntricamente un tubo de 2 in de diámetro exterior con su superficie a 200°F dentro de un tubo de 6 in diámetro interior cuya superficie está a 60°F. El centro del tubo de 2-in está 3/4 in del centro del tubo de 6 in. Se rellena con asbesto el espacio entre los tubos . Encontrar la razón de transferencia de calor entre los tubos a) graficando el flujo y b) utilizando el factor de forma de la tabla 4 .3. 4.34 Se transportan gases calientes a 450°F a través de la abertura circular de 6 in de diámetro inferior de una estructura de chimenea de concreto con las dimensiones mostradas. Las temperaturas interior y exterior de las superficies de la chimenea se mantienen a 420°F y 100°F respectivamente. Encontrar la pérdida de calor por pie de chimenea utilizando a) técnicas de graficación de flujo y b) la tabla 4.3.

T 10 in

1 4 .35 Se perfora un túnel rectangular de 3 ft de ancho y 6 ft de alto en "permafrost" (k = 0.06 Btujhr-ft-OF) y la parte superior a una profundidad de 2 ft bajo la superficie, que está a ~lO°F . Si las paredes del túnel están a 40°F, encontrar la pérdida de calor a la superficie , utilizando técnicas de graficación de flujo. 4.36 Se tiende una tubería que lleva aceite combustible en "permafrost" y las paredes de la tubería se mantienen a 35°F. Para la temperatura de la superficie del suelo a 30°F, encontrar la pérdida de calor si el centro del tubo de 8 in de diámetro ex-

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PROBLEMAS

493

terior está a 4 ft debajo de la superficie. Comparar los resultados obtenidos, usando técnicas de graficación de flujo, con aquellos utilizando el factor de forma determinado de la tabla 4.3. Para el permafrost, k = 0.06 Btujhr-ft 2-oF. 4.37 ¿Cuál es la razón de transferencia de calor de la superficie de la tierra a un recipiente esférico de 3 ft de diámetro y su centro a 6 ft bajo la superficie de la tierra? El recipiente contiene oxígeno líquido a - 297°F, y la superficie de la tierra está a 60°F. Se puede considerar que la conductividad térmica del suelo es de 0.4 Btujhr-ft-°F. 4.38 Se entierran profundamente dos tubos en la tierra (k = 0.4 Btuj hr-ft-OF), uno con vapor a 240°F, el otro con agua a 55°F. ¿Cuál es la razón de transferencia de calor entre los dos fluidos por pie de tubería si la línea de vapor tiene 8 in de diámetro, la de agua 3 in y están a 12 in de centro a centro? Resolverlo con una gráfica de flujos y con un factor de forma de la tabla 4.3. 4.39 Un elemento calefactor de varilla de 0.5 in de diámetro está embutido eH el centro de un bloque de aluminio de 3 in 2 • La interfase de varilla-aluminio está a una temperatura de 600°F y la superficie exterior del aluminio a 250°F. ¿Cuál es la pérdida de calor por pie de este sistema compuesto? 4.40 Para las condiciones dadas en el problema anterior, encontrar la pérdida de calor si los errores de construcción hacen que el calentador en forma de varilla esté en las posiciones mos tradas. 3 in

3 in

(a)

(b)

4.41 ¿Cuánto vapor se condensa 'en 30 ft de tubería de 3 in de diámetro exterior exterrada a 1 ft bajo la superficie como se muestra (pág . 472)? La superficie de la tierra está 60°F y el vapor entra saturado a 450°F. Se puede considerar que la conductividad térmica del suelo seco es de 0.20 Btujhr-ft-oF.

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494

PROBLEMAS

Tsuperf = 60° F

4.42 La mayona de los once problemas anteriores que comprenden transferencia bidimensional de calor en estado estable se puede resolver utilizando los procedimientos numéricos semejantes a los empleados en los ejemplos 4.10 y 4.11. Partiendo de la forma bidimensional de la ecuación de Laplace, desarrollar una técnica numérica, diagrama de flujo y programa FORTRAN para resolver problemas de conducción típicos de estado estable bidimensionales, que sea compatible con el sistema de comp'u tadora al que usted tenga acceso. Utilizando su programa, resolver numéricamente a) el problema 4.31 b) el problema 4.32

e) el problema 4.34 d) el problema 4.39 e) el problema 4.40 4.43 Una barra de cobre que inicialmente está a 400°F mide 0 .2 ft por 0.5 ft por 10 ft de longitud. ¿Después de cuánto tiempo de estar expuesta al aire a 80°F con h = 12 Btujhr-ft 2-oF, el centro de la barra llega a la temperatura de 200°F? 4.44 Se sumergen municiones esféricas de plomo de 0 .2 in de diámetro en aceite a 90°F después de haberse calentado a una temperatura uniforme de 420°F. Para un valor de h entre las esferas de plomo y el aceite de 30 Btujhrjft2_oF, evaluar el histograma de tiempo-temperatura de una munición después de sumergirse en el baño de aceite. Si llega al fondo de la tina 12 segundos después de su primer contacto, ¿cuál es su temperatura al llegar al fondo? 4.45 Un cilindro que mide 2 ft de altura y 3 in de diámetro inicialmente está a 60°F. Determinar la cantidad de tiempo qm

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PROBLEMAS

495

necesita el centro para llegar a 600°F cuando se coloca el cilindro en un medio a 1200°F con h = 16 Btuj hr-ft 2-OF la superficie, para cilinaros hechos de los siguientes materiales: a) acero inoxidable. b) aluminio.

e) cobre. d) acero suave.

e) asbesto .

4.46 Dado un cilindro de aluminio de 3 in de diámetro inicialmente a 60°F en un medio a 1 200°F con coeficiente de superficie de 16 Btujhr-ft2-oF, determinar el tiempo requerido para que la temperatura del centro alcance 600°F para alturas del cilindro de a) 3 in b) 6 in e) 1 ft d) 2 feet e) 5 feet

4.47 Se coloca la llanta de un neumático en una criba y se admite vapor a 320°F al derredor con un valor extremadamente grande para el coeficiente efectivo de la superficie. La difusividad térmica del hule es aproximadamente 0.0025 ft2jhr. Para una temperatura inicial de 70°F, un espesor efectivo de la llanta de 1.25 in y una temperatura requerida en la capa central de 275°F, determinar el tiempo requerido para completar la vulcanización. 4.48 ¿Cuanto tarda el tratamiento térmico de una duela de vidrio que inicialmente está a 70°F uniforme para que su temperatura alcance al menos 730°F en todas partes? La pieza de vidrio se expone a aire a 810°F con un coeficiente de superficie de 3 Btujhr-ft2-oF . El vidrio es cilíndrico, mide 16 in de diámetro y 1.75 in de espesor. 4.49 Una zanahoria cuya forma se puede aproximar por un cilindro de 8 in de longitud y 3/4 in de diámetro inicialmente está a temperatura ambiente a 70°F, y luego se deja caer en agua hirviendo a presión atmosférica. Se pueden considerar las propiedades del sistema y la zanahoria como sigue: h k cp p

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350 Btujhr-ft2-°F 0.28 Btujhr-ft -°F = 0.95 Btujlbm-OF = 64 lb m jft3

= =

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PROBLEMAS

¿Durante cuánto tiempo debe cocinarse la zanahoria si se requiere que la temperatura mínima alcanzada sea de 195°F? 4.50 Determinar el tiempo requerido de cocido para un nabo de 173 g expuesto a las mismas condiciones descritas antes para la zanahoria en el problema anterior. Se puede considerar que las propiedades de la zanahoria y del nabo son iguales. Suponga que el nabo es esférico . 4.51 Encontrar la temperatura en el centro de un bloque de concreto sólido que mide 1 ft por 1 ft por 4 in de espesor después de estar expuesto dos horas a vapor saturado a 210°F. Inicialmente, el concreto estaba a una temperatura uniforme de 80°F; se puede considerar que el coeficiente superficial es de 300 Btu/hr-ft2-oF.

4.52 Un lingote de acero inoxidable de forma cilíndrica, 10 in de longitud y 4 in de diámetro se calienta a una temperatura uniforme de 1 200°F como preparación para el forjado . ¿Cuánto tiempo puede estar el lingote en aire inmóvil a 80°F con un coeficiente aplicable de superficie de 8 Btu/hr-ft 2-oF antes que sus superficies alcancen la temperatura límite de 900°F? ¿Cuál será la temperatura del centro del lingote para ese tiempo? 4.53 Se desea unir dos láminas de plástico inicialmente a 70°F y de 3/ 4 in de espesor entre sí con pegamento que se fija a 300°F. Para calentar las láminas plásticas para que la capa de pegamento llegue a la temperatura requerida, se colocan y mantienen dos placas calientes de acero a 320°F próximas a las superficies plásticas. Determinar a) el tiempo requerido para que fragüe el pegamento y b) las temperaturas a 1/4 in y 1/2 in del acero al tiempo que se logre la temperatura de fraguado del pegamento . Las propiedades aplicables del plástico son k

= 0.090 Btu/hr-ft-°F

rx. =

0.0030 ft2/hr

4.54 Se tiene agua contenida en un recipiente cilíndrico de paredes delgadas de 50°F de diámetro, inicialmente a 24 in. El agua y su recipiente se colocan en un baño de aceite que se mantiene a temperatura uniforme de 280°F. El cilindro está sumergido a una profundidad de 2 ft, el agua está bien agitada y a 2 ft de profundidad en el recipiente, y el coeficiente de trasferencia de calor en la interfase cilindro-aceite es de 35 BtuJhr-ft2-oF. Graficar la temperatura del agua en función del tiempo hasta 1 h. http://setlibros.com/

PROBLEMAS

497

4.55 Lord Kelvin estimó que la edad de la tierra es de 9.8 x 107 años, suponiendo que la temperatura original era de 7 OOO°F Y utilizando las siguientes propiedades de la corteza terrestre: ex = 0.0456 ft2/hr

T= OOp

OT I

--

oy

=

0.02°p/ft (observado)

y=o

Utilizando la expresión para la conducción de estado estable en un medio semi-infinito, determinar si el cálculo de Lord Kelvin de la edad de la tierra es razonable o no. 4.56 Con referencia al problema anterior, determinar la profundidad bajo la superficie de la tierra en que es mayor la razón de enfriamiento. 4.57 Se expone una pared de tabiques inicialmente a 100°F a aire a 50°F con un coeficiente de superficie de 6 Btu/hr-ft2-oF. Si se considera semi -infinita la pared, ¿cuál será la temperatura de su superficie después de 1 hr? ¿2 hr? ¿ 1 O hr? Encontrar la temperatura a una profundidad de 1 ft que corresponde a cada uno de los tiempos transcurridos mencionados. 4.58 Utilizando la solución integral para una pared semi-infinita desarrollada en la sección 4.2-3.2, encontrar la profundidad de penetración para la pared de tabique y las condiciones especificadas en el problema anterior. 4.59 Un cilindro de concreto de 6 in de diámetro y 16 in de longitud tiene tapados sus extremos, lo que- esencialmente lo aisla contra el flujo de calor. Para el vapor a presión atmosférica que rodea el cilindro con un coeficiente superficial de 22 Btu/ hr- ft2_0p, demostrar gráficamente el perfil de temperatura en el cilindro después de 5 minutos, 30 minutos, 1 h, 2 h, Y 6 h. de tiempo transcurrido. Inicialmente el cilindro estaba a una temperatura uniforme de 80°F. 4.60 Encontrar la posición y magnitud de la temperatura mínima en el cilindro de concreto descrito en el problema anterior en cada uno de los tiempos especificados. Trabajar en este problema para la c~mdición de a) un extremo descubierto y b) ambos extremos destapados con transferencia de calor a través de ambos extremos. 4.61 Una pared grande de concreto de 18 in de espesor puede considerarse como infinita en las otras dos direcciones. De una

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PROBLEMAS

condición inicial de temperatura uniforme a 65°F en toda ella, la pared se expone a gases calientes a 350°F en una superficie con un coeiiciente de transferencia de calor en la superficie de 45 Btu/hr-ft2 -oF. Hay aire a 65°F y un coeficiente de 1.5 adyacente a la otra pared . a) ¿Cuáles serán las temperaturas en cada superficie después de 1 hr. de exposición a estas condiciones? b) ¿Cuánto tiempo le toma al centro de la pared llegar a 100°F? e) Cuando la temperatura del centro llegue a 100°F, ¿cuánta energía habrá absorbido la pared por píe cuadrado? 4.f)2 Una placa de 2-in de espesor, considerada infinita en las otras direcciones, inicialmente está a una temperatura uniforme de 400°F. Luego se sumerge la placa en aceite a 120°F con valor de h igual a 12 Btu/hr-ft2 -oF en ambas superficies. Graficar el perfil de la temperatura a través de la placa después de transcurridos 15 minutos para materiales con los siguientes valores de conductividad térmica al 132 Btu/hr-ft2-oF b) 23 Btu/hr-ft 2 -OF e) 8.2 Btu/hr-ft 2 -oF d) 0.73 BtuJhr-ft2 -oF e) 0.20 Btu/hr-ft 2 -oF f) 0.10 Btu/hr-ft 2-oF

4.63 Dada la superficie plana de 2in y las demás condiciones del problema anterior, evaluar el tiempo requerido para que la temperatura del centro alcance 100°F si se le saca del baño de aceite después de 15 minutos de inmersión. Cuando se saca del aceite, hay aire a 65°F adyacente a ambas superficies y un valor aplicable de h = 3 Btu/hr-ft( °F. 'Obtener los resultados para cada uno de los matenales especificados en el problema anterior. 4.64 Una pared de asbesto de 6in de espesor está inicialmente a una temperatura uniforme de 70°F. Súbitamente se expone una superficie de la pared a gases calientes a 600°F con un coeficiente superficial dado por h = 0.lO(1'.T)1 /3, en donde l'.T es la diferencia de temperatura entre el gas caliente y la superfiéie de la pared en grados fahrenheit y h tiene unidades de Btu/ hr-ft 2-oF. Si se supone que la otra pared está aislada, ¿Qué tiempo pasará hasta que la pared aislada alcance la temperatura de 250°F? ¿Cuál será la temperatura de la pared caliente para ese tiempo? http://setlibros.com/

PROBLEMAS

499

4.65 Dada una pared de asbesto de 3in de espesor con un perfil de temperatura inicialmente lineal, con valores de 350°F y 150°F respectivamente en cada superficie, determinar el tiem· po que le tomaría al centro alcanzar una temperatura de 150°F si se exponen ambas superficies iI IJO°F con valores de h =0.90. 4.66 Determinar la temperatura en cada superficie de una pared plana después de alcanzar condiciones de estado estable bajo las siguientes condiciones: espesor de pared: temperatura uniforme inicial a través de la pared: medio adyacente a pared fría: coeficiente superficial en pared fría Btu/hr-ft2 - °F: material de la pared:

2in 70°F aire a 70°F h = 0.19(ll T)1I3

tabique de barro

La pared caliente se sujeta a un flujo de calor constante de 100 Btu/hr-ft2-oF.

4.67 Determinar el tiempo requerido para que la temperatura del centro de la pared descrita en el problema anterior cambie en 95 % de la diferencia entre los valores inicial y de estado estable. 4.68 Después de alcanzar las condiciones de estado estable en la pared de tabique descrita en el problema 4.66, se suprime la fuente de calor de la pared caliente y hay enfriamiento en ambas superficies al aire a 70°F en donde la h de ambas superficies está dada por la expresión h = 0.19(llT)1I3. ¿Cuánto tiempo tardará para que a) la superficie caliente llegue a 150°F? b) el centro llegue a 150°F? e) se libere setenta y cinco por ciento de la energia absorbida

durante el calentamiento al aire ambiente? 4.69 Dado un perfil lineal de temperatura en la tierra cerca de la superficie, que crece en una cantidad dada de 0.5°F por pie de profundidad desde un valm: de 35°F en la superficie, determinar el tiempo que requiere un tubo enterrado a una profundidad de 8 ft para llegar a una temperatura de 32°F si se expone repentinamente la superficie a aire a O°F con un coeficiente superficial de 1.2 Btu/hr-ft 2-oF. Las propiedades del suelo son k = 0 .8 Btu/ hr-ft-°F y ex. = 0.02 ft2/hr. http://setlibros.com/

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PROBLEMAS

4.70 Para la tierra que tiene las propiedades k = 0.8 Btu/hr-ft -oF y ex = 0.02 ftz/hr, determinar la temperatura a una profundidad de 1 ft bajo la superficie después de transcurridas cinco horas cuando la superficie se · mantiene a 1200°F. Inicialmente la temperatura del suelo estaba a 50°F. Comparar las respuestas a este problema , utilizando a) análisis de pared semi - infinita b) análisis integral, suponiendo un perfil de temperatura

parabólico . e) análisis gráfico .

4.71 Obtener la temperatura a 1/2 ft bajo la superficie del suelo después de 5 hr , como en el problema 4 .70, excepto que la condición de la superficie tiene un flujo constante de calor de 150 Btu/hr-ft 2 • Como en el problema anterior, comparar las respuestas obtenidas usando a) análisis de pared semi - infinita (exacto). b) análisis integral, suponiendo que el perfil de temperatura

en la tierra es parabólico. e) análisis gráfico.

4.72 En el ejemplo 4 . 19 se resolvió numéricamente un problema de conducción transitoria unidimensional utilizando una solución explícita. Comenzando con la ecuación diferencial parcial aplicable, obtener una técnica de solución numérica explícita, mostrar el diagrama de flujo, e incluir un listado de programa compatible con su sistema local de computadora que dé una solución explícita para problemas de conducción transitoria unidimensional. Utilizando el programa, resolver a) b) e) d) e)

J) g) h) z)

el problema 4.47 el problema 4.48 el problema 4.53 el problema 4 .61 el problema 4.62 el problema 4 .63 el problema 4.64 el problema 4 .65 el problema 4.66

4.73En el ejemplo 4 .20 se resolvió numéricamente un problema de conducción de calor transitoria unidimensional usando técnicas implícitas. Comenzando con la ecuación diferencial parcial que domina, desarrollar un plan de solución numérica implícita, mostrar el diagrama de flujo, e incluir un listado de programa compatible con su sistema local de computadora

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PROBLEMAS

501

para problemas de conducción de calor transitoria unidimensional. Utilizando su programa, obtener soluciones numéricas para a)el problema 4.47

b)el e) el d)el e) el J) el g)el h)el z) el

problema 4.48 problema 4.53 problema 4.61 problema 4.62 problema 4.63 problema 4.64 problema 4 .65 problema 4 .66

4.74 En el ejemplo 4.21 se ilustró una solución numérica para la conducción transitoria multidimensional. Partiendo de la ecuación diferencial que domina, desarrollar un plan de solución, diagrama de flujo, y listado de programa compatible con su sistema local de computadora para resolver problemas de conducción transitoria multidimensional. Usando su programa, obtener una solución numérica a a) b) e) d) e)

5.1

problema 4.45 problema 4.49 problema 4.50 problema 4.51 problema 4.52

(coordenadas cilíndricas) (coordenadas cilíndricas) (coordenadas esféricas). (coordenadas rectangulares). (coordenadas cilíndricas).

¿A qué distancia del borde de ataque de una superficie plana ocurrirá la transición de flujo laminar a turbulento si el fluido es aire a 60°F y presión atmosférica? agua a 80°F? glicerina a 60°F? mercurio a 80°F? La velocidad de la corriente libre es 50ft / seg. a) b) e) d)

5.2 Calcular la fuerza sobre un letrero circular de 10 ft de diámetro bajo un viento huracanado a 120 mph. Calcular el momento ejercido a nivel de tierra si el letrero está montado sobre una columna cilíndrica de apoyo de 6in de diámetro y 15 ft de alto. 5.3 Calcular la velocidad rotacional de estado estable en rpm del anemómetro mostrado cuando la velocidad local del viento es de 40 mph. Se puede suponer que la fricción es despreciable; se pueden utilizar condiciones atmosféricas normales .

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502

PROBLEMAS

~--

,

/~

'\

I

---:0

mp'h / I

12 in

\

I

~, 5.4

Encontrar un perfil de velocidad para la capa límite laminar de la forma v'"

=

a + by + cy2 + dy 3

Voo

con un gradiente de presión cero. 5.5 Desarrollar expresiones adimensionales para el espesor de la capa límite y coefiCIente local y medio de fricción superficial para el caso de una capa límite laminar sobre una superficie plana , suponiendo que el perfil de velocidad dentro de la capa límite tiene la forma a) v", = a b) v", = a e) v", = a

+ by + by + cy2 + bsency

5.6 Comparar el espesor de capa límite y el coeficiente de fricción superficial local con el flujo sobre una superficie plana en un punto en el que Re", = 106 , para a) flujo laminar b) flujo turbulento

suponiendo que cada capa límite comienza en el borde de ataque de la placa. Comparar la fricción total ejercida sobre la placa para cada condición de flujo. 5.7 Encontrar la caída de presión para un fluido hidráulico a 80°F que fluye en un tubo de O.20in de diámetro , y 30 ft de largo a razón de lOgal/hr . 5.8

Determinar la caída de presión que debe vencerse para que fluya aire a 70°F y presión atmosférica por un ducto rectan-

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PROBLEMAS

503

guIar de 10 in x 18 in con una velocidad promedio de 20 ft¡'seg. El dueto tiene 120 ft de longitud. 5.9

Con agua a 60°F fluyendo por un sistema de tubería a razón de 0.5 ft3jseg, se encuentra que la caída de presión es de 14 psi. ¿Cuál es la razón de flujo que ocurre con esta misma caída de presión si el fl uido es a) aire a 60°F, presión atmosférica? b) Freón-12? c) fluido hidráulico? d) Kerosene?

Suponer que el flujo es totalmente turbulento. 5.10 Encontrar la razón de flujo de fluido hidráulico a 100°F logrado con una caída de presión de 15 psi a través de una línea de 40 in de largo y 0.15 in de diámetro. 5.11 La ecuación (5-86) se desarrolló de un análisis dimensional , considerando que la temperatura de la pared es constante. Otra posibilidad para una condición de límite en la pared es el flujo de calor constante. Utilizando análisis dimensional, demostrar que el número modificado de Grashof para el caso de un flujo especificado de calor de pared está expresado por

5.12 Utilizando análisis dimensional, demostrar que para la conducción de estado estable en una pared plana se aplican los siguientes parámetros : T - Too T o - T rx.:

C1.t

hL

x

L2'

k'

L

5.13 Se mantiene una superficie plana de 8in x 2ft a la temperatura de 200°F. Evaluar el coeficiente de transferencia de calor local en la arista de la placa, y encontrar el valor medio de h y el calor total transferido si el fluído que fluye paralelo a la superficie con velocidad de 10ft / seg es a) aire a 80°F y presión atmosférica b) agua a 80°F. c) fluído hidráulico a 80°F. d) kerosene a 80°F .

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504

PROBLEMAS

5.14 Desarrollar expresiones sin dimensiones para el espesor de capa límite térmica y números local y medio de Nusselt para el flujo de capa lími.te laminar en una superficie isotérmica plana . utilizando análisis integral. Se puede considerar que los perfiles de velocidad y temperatura con la capa límite son de la forma Va;

a) -

=

Voo

V

b) ---.:. = Voo

T - Ts = Ts T-T

Too -

s =

Too '- T s

v

T-T

Voo

Too - T s T - Ts Too - T s

e) ---.:. =

v'"

b) -

Voo

=

s

=

a

+ by

a

+ by + cy2

a

+ by + cy2 + dy 3

= a + b sen cy

5.15 La figura muestra el caso de flujo paralelo a una superficie plana, donde para O ~ x < x, la superficie plana y fluído están a la temperatura Too ' Para x ¿ X , la temperatura T s de la placa es mayor que Too y se mantiene constante . Suponiendo perfiles de velocidad y de temperatura de la forma _

T-T _ _ s

= a

+ by + cy2 + d y 3

Too - T s

demostrar que la razón del espesor de la capa límite está representada por _ ót ~

1 [

~--_-l Ó Prl / 3

_

(X)3/4 JI/4 x

y que es posible expresar el número local de Nusselt como Nu

'"

~

0.33

Pr [ 1 - (X/x )3/4

J1/3 Re

1/ 2

--

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PROBLEMAS

505

5.16 Para la convección natural adyacente a una pared isotérmica vertical plana, demostrar que las ecuaciones integrales que se aplican a las capas límite hidrodinámica y térmica son - v

+ {3g f\T

iJV"' 1

dy

_ T oc,)dy

Jo

y=0

=.!!.... fÓ dx

C( -

iJTI ay y=o

= -d

Jo

v:r,2 dx

ló,

dx o

vx(T