TRANFERENCIA DE CALOR.doc

Universidad de Talca Facultad de Ingeniería Departamento de Tecnologías Industriales

Apuntes Transferencia de Calor

Dr.-Ing. (c) Gonzalo E. Salinas Salas Ingeniero Civil Mecánico

2004 Transferencia de Calor Industrial

TRANSFERENCIA DE CALOR 1.

Introducción El presente texto tiene por objeto presentar los principales tópicos de transferencia de calor aplicables a la asignatura de Termodinámica Aplicada y Transferencia de Calor Industrial. El fenómeno de transferencia de calor corresponde al traspaso de energía térmica, representada a través de la propiedad temperatura, entre dos cuerpos o dos posiciones de un mismo cuerpo. Genéricamente los mecanismos de transferencia de calor pura son dos, a saber: • Conducción • Radiación Sin embargo, la energía térmica puede intercambiarse junto a cambio de energía mecánica asociada a la cantidad de movimiento o impulso que se presenta cuando un fluido escurre por una superficie sólida, a este fenómeno se le considera también como un mecanismo de intercambio de calor y se le denomina: • Convección

2.

Modelación físico-matemática de los mecanismos de transferencia de calor A continuación se presentan los fenómenos físicos que constituyen los mecanismos de transferencia de calor y la modelación matemática de éstos a través de las llamadas leyes de transferencia de calor, las que a su vez deben cumplir las cuatro leyes de la termodinámica y en particular en lo referente a que todo flujo de energía térmica fluye desde una fuente de alta temperatura hacia un sumidero de baja temperatura.

2.1.Conducción de calor: El mecanismo de traspaso de energía térmica entre dos cuerpos sólidos en contacto o dos posiciones espaciales de un mismo cuerpo que se encuentran a un distinto nivel de energía térmica, niveles que son representados por dos distintas temperaturas, se realiza desde el mayor nivel térmico (mayor temperatura) hacia el cuerpo o la zona de menor nivel térmico (menor temperatura), mediante la difusión de electrones libres presentes en la estructura molecular de la materia y el incremento de los niveles de vibración de las redes moleculares. El modelo matemático que representa a este fenómeno se le denomina Ley de Fourier y se plantea para una pared sólida con un área transversal al flujo de calor (A) y un espesor (e), en que una de sus caras se encuentra a una temperatura (T1) mayor que la existente en la otra (T 2), el flujo de calor (q) resulta inversamente proporcional al gradiente de temperatura respecto de la posición y directamente proporcional al área de intercambio de calor y a una constante característica o propiedad de la sustancia que conforma la pared. T(x)

k A Ley de Fourier

q = −k ⋅ A ⋅

T1

dT dx

q T2 e

x

2.2.Radiación de calor: El mecanismo de traspaso de energía térmica entre dos cuerpos con un distinto nivel de energía térmica y por ende de temperatura, situados a una cierta distancia entre sí, pudiendo existir o no un medio físico entre ellos (un sólido, fluido o incluso el vacío total), se realiza mediante el transporte de energía a través de la emisión y absorción de ondas electromagnéticas, lo que obviamente se traduce en el color del cuerpo. Por las características del transporte de la energía térmica mediante ondas, produce que este mecanismo

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR adquiera importancia sólo cuando la diferencia de temperaturas entre el cuerpo emisor y el cuerpo receptor sea muy alta, de modo que el cuerpo emisor irradie calor y por ende luz en diferentes espectros de onda. El modelo matemático que representa a este fenómeno se le denomina Ley de Stefan-Boltzmann y se plantea para dos cuerpos separados a una distancia dada, donde uno de ellos, el emisor, posee una temperatura superficial (T1), la que le permite irradiar ondas lumínicas y que es considerablemente superior a la temperatura del cuerpo receptor (T 2). El flujo de calor (q) absorbido por el cuerpo de baja temperatura es directamente proporcional al área irradiada, a un factor de emisividad, un factor de forma y una constante general, denominada constante de Stefan-Boltzmann y a la diferencia de las temperaturas elevadas a la cuarta potencia. El valor de la constante de Stefan-Boltzmann es:

 W  σ = 5,67 ⋅ 10 −8  2 4  m ⋅ K  T1 T2

Ley de Stefan-Boltzmann

q = σ ⋅ A ⋅ Fε ⋅ FT ⋅ (T14 − T24 )

A

2.3.Convección de calor: El mecanismo de traspaso de energía entre un fluido y un cuerpo sólido, se presenta en dos formas principales, las que son el intercambio de energía térmica y el cambio de la cantidad de movimiento o impulso del fluido debido a los efectos viscosos que se presentan al entrar en contacto con el cuerpo sólido. De modo que, la energía intercambiada entre el fluido y el cuerpo sólido en la práctica es la suma de estas dos formas energéticas, no diferenciándose entre los dos tipos, considerándose así al valor total de la energía intercambiada como el flujo de calor que fluye desde el medio a mayor temperatura (sólido o fluido) hacia el medio de más baja temperatura. El modelo matemático que representa a este fenómeno se le denomina Ley de enfriamiento de Newton y plantea que para un fluido viscoso a cierta temperatura (T ≡) que escurre por sobre un cuerpo sólido a una diferente temperatura superficial (Tw), el flujo de calor (q) intercambiado es directamente proporcional a la superficie de contacto, al valor absoluto de la diferencia de las temperaturas y a un factor denominado coeficiente pelicular convectivo medio (″≡), el que depende del tipo de escurrimiento, del tipo de fluido, las fuerzas que impulsan el movimiento entre otras.

T(x) T≡

v≡

v≡

Tw

Ley de Newton q = ∞ ⋅ A ⋅ T∞ −Tw

T≡

x

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR 3.

Método análogo electro-térmico El método análogo-térmico es la máxima simplificación que puede realizarse en los fenómenos de transferencia de calor y solo puede aplicarse cuando se cumplen las siguientes condiciones: • Flujo de calor constante e independiente del tiempo • Propiedades de la materia constantes • Condiciones de temperatura constantes Es posible plantear una analogía físico-matemática entre los mecanismos de conducción de calor y la conducción de energía eléctrica, la que se modela a través de la Ley de Ohm, ya que ambas poseen como mecanismo de transporte de la energía, el flujo de electrones a través de la sección transversal del sólido conductor. La analogía puede plantearse considerando que el flujo de calor es equivalente a la intensidad de la corriente eléctrica, la diferencia de temperaturas es análogo a la diferencia de tensiones o potencial o voltaje y por ende puede plantearse una resistencia térmica que sería equivalente a la resistencia eléctrica. Esta analogía permite resolver una considerable cantidad de problemas industriales de transferencia de calor al asimilarlos como problemas de circuitos eléctricos y aplicar así las distintas técnicas de solución que para estos existen. La forma general de aplicación del método análogo es la siguiente: q T1

T2

q=

T1 − T2 Rt

Rt T1 > T2 3.1. Conducción de calor: a) Aplicación para cuerpos de geometría cartesiana (paralelepípedos) T(x)

k

q= q

A e

T1 − T2 e k⋅A

; Rt =

e k⋅A

x

b) Aplicación para cuerpos de geometría cilíndrica (tubos) Ti > Te k

A T≡e di

T≡i

q= de

″≡i

″≡e

T1 − T2 d ln e  de   ln  R =  di  d i  t 2⋅π ⋅ k ⋅ L 2 ⋅π ⋅ k ⋅ L

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR

L 3.2. Radiación de calor: T1 >> T2

q=

T1

( T1 − T2 )

− T24 ) σ ⋅ A ⋅ Fε ⋅ FT ⋅ ( T14 − T24 )

T2

Rt =

(T

4 1

(T

− T24 ) σ ⋅ A ⋅ Fε ⋅ FT ⋅ ( T14 − T24 ) 4 1

A 3.3. Convección de calor: T(x) T≡

v≡

v≡

q=

T≡

Tw

T∞ −Tw 1 ; ∞ ⋅ A

Rt =

1 ∞ ⋅ A

x

3.4. Aplicaciones del método análogo Las aplicaciones del método análogo corresponden a las que se presentan en los circuitos en serie y en paralelo, los que se indican a continuación: a) Circuito en serie: Situación física Circuito análogo-térmico T(x)

T 1 > T2 > T 3 q

T1

q

A

T1

T2

e1 k1 ⋅ A

T2 T3 k1 e1

k2 e2

x

FREDDY PEREDO ARANIBAR

T3

e2 k2 ⋅ A

TRANSFERENCIA DE CALOR Análisis como circuito análogo-térmico: n

Req = ∑ Ri

Req =

i =1

q=

e1 e 1 e ⋅ k + e ⋅ k  + 2 = ⋅ 1 2 2 1 k1 ⋅ A k 2 ⋅ A A  k1 ⋅ k 2 

T3 − T1 A ⋅ k1 ⋅ k 2 ⋅ ( T3 − T1 ) T2 − T1 ( T2 − T1 ) T3 − T2 ( T2 − T2 ) = = = = = e1 e2 Req e1 ⋅ k 2 + e2 ⋅ k1 R1 R2 k1 ⋅ A k2 ⋅ A

b) Circuito en paralelo: Situación física

Circuito análogo-térmico T1 > T2

e k1 ⋅ A1

T(x) T2 A2

q1

k2

q

T1

T1 T2

q

k1

T2 q2

e k 2 ⋅ A2

A1

e

x

Análisis como circuito análogo-térmico: n 1 1 =∑ Req i =1 Ri

Req = e ⋅

1 = Req

1 e e + k1 ⋅ A1 k 2 ⋅ A2

( k1 ⋅ A1 + k 2 ⋅ A2 )

=

1 e ⋅ ( k1 ⋅ A1 + k 2 ⋅ A2 ) k1 ⋅ A1 ⋅ k 2 ⋅ A2

k1 ⋅ A1 ⋅ k 2 ⋅ A2

Tras reducir el circuito en paralelo a uno en serie, el circuito equivalente toma la forma siguiente: q T1

T2

e⋅ 4.

( k1 ⋅ A1 + k 2 ⋅ A2 ) k1 ⋅ A1 ⋅ k 2 ⋅ A2

Coeficiente global de transferencia de calor

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR El coeficiente global de transferencia de calor permite representar en la forma de un valor único, a un conjunto de mecanismos de transferencia de calor que se presentan simultáneamente en una determinada situación física, permitiendo así evaluar el flujo de calor. Analíticamente el coeficiente global de transferencia de calor se define como: q = U ⋅ A ⋅ ∆T

Esta definición se relaciona con la resistencia análogo-térmica de la manera siguiente, considerando, además, las unidades del coeficiente global de transferencia de calor en el sistema de unidades internaciones (SI)

U =

1 Rt ⋅ A

W m ⋅ °C 2

4.1. Aplicaciones En general las aplicaciones a considerar serán al combinarse los mecanismos de conducción y convección en serie, lo que da lugar a aplicaciones como las siguientes: a) Cuerpos de forma prismática (paralelepípedos) En este caso se considera la existencia de una pared plana de conductividad térmica constante y espesor conocido, que se encuentra expuesta en su lado derecho e izquierdo, con relación al flujo de calor, a medios convectivos, los que están representados por temperaturas y coeficientes peliculares convectivos medios constantes. Finalmente se debe destacar que el área de intercambio de calor, que es el área transversal al flujo de calor, es constante e igual para los tres mecanismos involucrados, esto es: convección, conducción y convección. En otras palabras el flujo de calor que se intercambia entre el medio convectivo ubicado a la izquierda de la pared y la superficie exterior de la pared es igual al que se intercambia entre las dos superficies exteriores de la pared, o sea el flujo de calor que atraviesa por conducción a la pared y este es idéntico al intercambiado por la superficie exterior de la pared derecha con el medio convectivo que existe a la derecha de la pared. La situación física es la siguiente:

T≡1 ″≡1

A Tw1

k

Tw2 T≡2 e

El flujo de calor es:

q = ∞1 ⋅ A ⋅ ( T∞1 − Tw1 ) =

″≡2

k⋅A ⋅ ( Tw1 − Tw 2 ) = ∞2 ⋅ A ⋅ ( T∞2 − Tw 2 ) e

Donde el coeficiente global de transferencia de calor de calor es para el caso de paredes:

U =

1 1 e 1 + + ∞1 k ∞2

b) Cuerpos de forma cilíndrica (tubos)

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Ti > Te A T≡i ″≡i

di k

T≡i de

T≡e

″≡i

T wi T≡we T≡e

″≡e

″≡e

L El flujo de calor es:

q = U i ⋅ Ai ⋅ ∆T = U e ⋅ Ae ⋅ ∆T

Considerando a cada mecanismo de transferencia de calor por separado se cumple la siguiente relación:

q = ∞ i ⋅ π ⋅ d i ⋅ L ⋅ ( T∞ e − Twi ) =

( Twi − Twe )

d ln e   di  2⋅π ⋅ k ⋅ L

= ∞ e ⋅ π ⋅ d e ⋅ L ⋅ ( Twe − T∞ e )

Dado el cambio de área de transferencia de calor que impone una geometría circular, donde el área del manto del cilindro se incrementa en función del diámetro, esto obliga a considerar la existencia de dos coeficientes globales de transferencia de calor, los que se plantean en función de los diámetros asociados a las áreas del manto del cilindro. De esta manera se reconocen dos coeficientes globales de transferencia de calor, uno planteado para el diámetro interior y por ende área interior del manto, denominado como coeficiente global de transferencia de calor interior, mientras que existe también un coeficiente global de transferencia de calor exterior, asociado al diámetro exterior y al área exterior. Sus respectivas expresiones matemáticas son las siguientes. Coeficiente global de transferencia de calor interior:

Ui =

1 d d i ⋅ ln e  1  di  + di + ∞ i 2⋅k d e ⋅ ∞ e

Coeficiente global de transferencia de calor exterior :

Ue =

1 d d e ⋅ ln e  de  di  + 1 + d i ⋅ ∞ i 2⋅ k ⋅ ∞ e

La relación que existe entre estas dos expresiones del coeficiente global de transferencia de calor es la siguiente:

U i ⋅ Ai = U e ⋅ Ae

Donde las expresiones del área de intercambio de calor son: Ai = π ⋅ d i ⋅ L ; Ae = π ⋅ d e ⋅ L Finalmente:

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Ui =

de ⋅U e di

4.2. Evaluación de espesor de aislación térmica Uno de los problemas clásicos y más prácticos de transferencia de calor esta asociado a la determinación del espesor óptimo de aislación para un cuerpo de sección circular, como lo son tubos y alambres. Este problema es singular ya que es necesario obtener una solución de compromiso entre dos situaciones físicas distintas, ya que mientras mayor sea el espesor de un material aislante que se utilice en la periferia del manto de un cilindro, implica que se reduce el flujo de calor ya que la resistencia térmica conductiva se incrementa, esto conlleva, a su vez, a que el área exterior del cilindro, se incremente con lo que aumenta el flujo de calor. De hecho es imposible aislar completamente un cilindro o cualquier cuerpo de acuerdo a la Segunda Ley de la termodinámica. Esta situación conduce, entonces, a la existencia de un espesor de aislante donde el flujo de calor que lo atraviese sea máximo, lo que en algunos casos es en extremo conveniente, por ejemplo en conductores eléctricos, intercambiadores de calor, pero en otros casos es en extremo inconveniente por el costo de generación de energía térmica, sea ésta de alta o baja temperatura, que lleva asociada el flujo de calor cedido al medio externo, llamada comúnmente pérdida de calor. Por su lado, los costos que impone el uso aislante, como costo inicial y de mantención obliga a aceptar un espesor de aislación que compatibilice el costo de pérdida de energía con los costos de aislación, el que obviamente corresponde al costo mínimo de la suma de los costos de energía pérdida más el costo de aislación para el periodo de vida útil del aislante o del proyecto térmico en cuestión. La situación física para realizar un análisis del problema de aislación es la siguiente:

ka et dit

kt T≡i

da

Tet Tia

″≡e Tea

″≡i

det

ea L El circuito análogo-térmico aplicado al aislante, teniendo como límites el diámetro exterior del tubo que se asume idéntico al diámetro interior del aislante y por lo tanto su temperatura es igual y el medio convectivo exterior al cilindro, es el siguiente: Tet = Tia

Tea

FREDDY PEREDO ARANIBAR

Tea

TRANSFERENCIA DE CALOR d ln ea   d et  2 ⋅ π ⋅ ka ⋅ L

1 ∞e ⋅ 2 ⋅ π ⋅ rea ⋅ L

Luego el flujo de calor que se intercambia con el medio externo es:

q=

2 ⋅ π ⋅ L ⋅ ( Tia − T∞ e ) 2 ⋅ π ⋅ L ⋅ ( Tia − T∞ e ) = d r ln ea  ln ea   d et  + 1  ret  + 1 ka rea ⋅ ∞ e ka rea ⋅ ∞ e

El espesor de aislante en el cual este flujo de calor o pérdida térmica es máxima, se puede determinar a partir de determinar el punto de inflexión de la función flujo de calor, derivando la expresión anterior respecto del radio exterior del aislante e igualar esta función a cero, para luego despejar el valor del radio exterior del aislante, el pasa a denominarse como: radio crítico de aislación.

dq ( rea ) =0 drea

Despejando, se tiene que el radio crítico de aislante es:

rcrítico = rc =

ka ∞e

En este radio crítico el flujo de calor intercambiado entre la superficie exterior del cilindro y el medio convectivo es máximo y por ende la pérdida o ganancia de calor es máxima. Gráficamente el comportamiento del flujo de calor respecto del espesor de aislante utilizado es:

Flujo de calor intercambiado por un tubo en función del espesor de aislante 200

Flujo de calor intercambiado

160

120

80

40

0 0

0,05

0,1

0,15

Espesor de aislación

FREDDY PEREDO ARANIBAR

0,2

0,25

TRANSFERENCIA DE CALOR El valor máximo del flujo de calor intercambiado corresponde al valor del espesor crítico de aislación y obviamente al radio crítico de aislación. Como se aprecia la función de calor intercambiado tiene un comportamiento asintótico respecto del espesor de aislante, de ahí que en cálculos de ingeniería es necesario realizar un análisis económico para determinar el espesor práctico de la aislación térmica a utilizarse en una aplicación específica. Este análisis considera los siguientes costos: a) Los costos de generación de energía asociados a la pérdida a través de la aislación para el periodo de vida útil de ésta o del proyecto en función del espesor de aislante térmico considerado b) Los costos de adquisición, montaje y mantención de la aislación para el periodo de vida útil de ésta o del proyecto en función del espesor de aislante térmico considerado c) La suma de estos costos en función del espesor de aislante térmico considerado Realizada la suma corresponde determinar el costo mínimo y el espesor de aislante asociado a este costo pasa a denominarse espesor económico de aislación y corresponde al espesor de aislación en que el flujo de calor intercambiado o pérdida térmica, es la combinación de efectos más conveniente en términos económicos, vale decir la pérdida de dinero por la operación de un sistema aislado es minimizada. Gráficamente esta situación se ilustra a continuación:

Comportamiento de los costos para la evaluación del espesor económico de aislación

Costo en unidades monetarias

600

450

300

150

0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

Espesor de aislación Costo de generación de energía Costo de la aislación Costo total

5.

Conducción de calor El modelo matemático general que representa el mecanismo de transferencia de calor por conducción se extrae a partir del balance térmico de un elemento diferencial de un material sólido sujeto sólo a un flujo de calor en una de sus direcciones, según se indica en la figura y a la cual se le aplica un balance entre el flujo de calor que ingresa al elemento más la generación interna de energía, el cambio de energía interna del

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR elemento y el flujo de calor que abandona el elemento deben considerarse los respectivos signos que identifican el sentido del flujo de energía. T(x) A

q x + ∆E + ∆U + q x +dx = 0

qx

qx+dx Considerando los signos, se tiene:

q x + ∆E = ∆U + q x +dx

dx x Analizando cada término del balance térmico por separado, se tiene: a) El flujo de calor que ingresa al elemento es: q x = −k ⋅ A ⋅

∂T ∂x

b) La generación interna de energía y por ende calor es: ∆E = q ⋅ A ⋅ dx

∂T ∂t  ∂T ∂  ∂T = − k ⋅ A ⋅ + ⋅k ⋅ A⋅ ∂x ∂x  ∂x 

c) El cambio de energía interna es: ∆U = ρ ⋅ C v ⋅ A ⋅ dx ⋅ d) El flujo de calor que egresa al elemento es: q x + dx

  dx   

Reemplazando estos términos en la ecuación del balance térmico y anulando los términos pertinentes, se tiene que para el caso de conducción unidimensional, se tiene la siguiente ecuación diferencial que modela el mecanismo de conducción de calor:

∂  ∂T  ∂T ⋅k ⋅  + q = ρ ⋅ C ⋅ ∂x  ∂x  ∂t Si se expande la ecuación anterior a un flujo de calor tridimensional en un sistema de coordenadas cartesianas, la ecuación de conducción de calor o ecuación de Fourier toma la forma siguiente: ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂T  + ⋅kx ⋅ ⋅  k y ⋅ ⋅ kz ⋅ +  + q = ρ ⋅ C ⋅ ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z  ∂t Si se asume que la propiedad conductividad térmica del sólido permanece constante y es independiente de cualquiera de las direcciones que puede tomar el flujo de calor, es posible reescribir la ecuación de Fourier para coordenadas cartesianas de la manera siguiente:

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q 1 ∂T + 2 + 2 + = ⋅ 2 k α ∂t ∂x ∂y ∂z En notación simplificada la ecuación anterior queda como sigue:

∇2T +

q 1 ∂T = ⋅ k α ∂t

Esta ecuación planteada para los demás sistemas de coordenadas y considerando que la conductividad térmica del sólido es constante, se tiene para coordenadas cilíndricas:

∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T q 1 ∂T + ⋅ + ⋅ 2 + 2 + = ⋅ 2 2 r ∂y r ∂φ k α ∂t ∂r ∂z Mientras que para coordenadas esféricas se tiene:

∂T   ∂ senθ ⋅  1 ∂ T 1 1 ∂ 2T q 1 ∂T ∂θ   ⋅ 2 + 2 ⋅ + 2 ⋅ + = ⋅ r ∂r ∂θ r ⋅ senθ r ⋅ sen 2θ ∂φ 2 k α ∂t 2

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Como se aprecia, en el proceso de deducción de las ecuaciones anteriores se introdujo ya el concepto de restricción, vale decir de una simplificación que depende de la situación física y que una vez aplicada a la ecuación de Fourier, permite reducir considerablemente el manejo matemático que se requiere para obtener una solución para la situación física analizada. El aplicar una o más restricciones implica necesariamente una reducción en la precisión de los resultados alcanzados, producto de la simplificación que de la situación física hace la restricción. En términos generales existen cuatro tipos de restricciones, las que pueden aplicarse tanto por separado como en conjunto. Estas se indican en el siguiente listado: a) Conductividad térmica constante e independiente de la posición y el tiempo b) Dimensionalidad espacial del flujo de calor (unidimensional, bidimensional o tridimensional) c) Existencia o inexistencia de generación interna de calor d) Temporalidad o estacionaridad del flujo de calor A continuación se expone a modo de ejemplo la metodología de aplicación de las restricciones a la forma general de la ecuación de conducción o Fourier, a fin de aplicarla a un problema específico de conducción de calor, con flujo de calor constante a través de una pared de conductividad térmica constante y sin generación interna de calor. Considerando la forma general de la ecuación de Fourier, se tiene: ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂T  + ⋅kx ⋅ ⋅  k y ⋅ ⋅ kz ⋅ +  + q = ρ ⋅ C ⋅ ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z  ∂t Aplicando la restricción de conductividad térmica constante, se tiene: k = kx = ky = kz Reemplazando y simplificando se tiene:

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q 1 ∂T + 2 + 2 + = ⋅ 2 k α ∂t ∂x ∂y ∂z Aplicando la restricción de unidimensionalidad del flujo de calor, se tiene que:

∂ 2T ∂ 2T = =0 2 ∂y ∂z 2 Reemplazando se tiene:

∂ 2T q 1 ∂T + = ⋅ ∂x 2 k α ∂t

Aplicando la restricción de inexistencia de generación interna de calor, se tiene que: q = 0 Reemplazando se tiene:

∂ 2T 1 ∂T = ⋅ ∂x 2 α ∂t

Aplicando la restricción de estacionaridad del flujo de calor, se tiene que:

∂T =0 ∂t

Reemplazando se tiene:

∂ 2T =0 ∂x 2

A esta última ecuación se le denomina ecuación de Poisson, y corresponde a un flujo de calor con conductividad térmica constante, unidimensional, sin generación interna de calor y estacionario. Físicamente la ecuación Poisson, es aplicable a una gran cantidad de situaciones como las siguientes: paredes, ventanas, herramientas, etc.

T(x)

k A

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR

e x Para obtener una solución matemática de la ecuación de Poisson, es conveniente realizar la siguiente aproximación:

∂ 2T d 2T ≈ =0 ∂x 2 dx 2

Aplicando las técnicas de integración para esta aproximación, se tiene:

d 2T =0 dx 2 Tras la primera integración, se tiene:

dT = c1 dx Tras la segunda integración, se obtiene la función temperatura:

T ( x ) = c1 ⋅ x + c 2

Como se aprecia, ésta es una solución de carácter general, que solo indica que el comportamiento de la temperatura es lineal con respecto de la posición, por lo que debe ser particularizada a fin de que entregue una solución adecuada a cada caso analizado. El procedimiento de particularización de la solución se realiza de acuerdo a las denominadas condiciones de borde o contorno, las que dan cuenta de la situación física que existe en los límites del cuerpo sólido. En éste corresponden a las condiciones existentes en las posiciones 0 y e del cuerpo según el eje x. Las condiciones de borde se agrupan, según la literatura anglosajona en tres, mientras que la literatura rusa da cuenta de cuatro, siendo las tres primeras las mismas, presentándose solo una diferencia en el caso particular de contacto entre dos cuerpos sólidos. Las condiciones de borde son: a) Condición de Borde Tipo N°1 o de Diriclet Esta condición de borde planteada para fines de transferencia de calor significa físicamente que la temperatura para una posición dada es conocida. Luego:

T ( x 0 ) = T0

x = x 0 ⇒ T ( x ) = T0

b) Condición de Borde Tipo N°2 o de Neumann Esta condición de borde planteada para fines de transferencia de calor significa físicamente que el gradiente de temperatura para una posición dada es conocido y si este es igual a 0 (cero), implica que existe en esta posición una aislación perfecta, ya que la diferencia entre las temperaturas del gradiente es cero y por lo tanto no existe flujo de calor. Luego: dT ( x ) dT ( x ) =0 x = x0 ⇒ =0 dx x =x dx 0

Por lo tanto:

x = x0 ⇒ q = 0

c) Condición de Borde Tipo N°3 o de Robbins Esta condición de borde planteada para fines de transferencia de calor significa físicamente que el flujo de calor que se intercambia entre una pared sólida y un medio convectivo o viceversa, en una posición de frontera conocida se realiza sin cedencias de calor a un tercer medio, vale decir todo el calor del sólido se traspasa al medio convectivo o viceversa. Matemáticamente esta condición queda expresada de la manera siguiente:  dT ( x ) dT ( x ) ∞ = ∞ ⋅ T∞ −T ( x 0 ) x = x0 ⇒ = ⋅ T∞ − T ( x ) dx x =x k dx k 0

d) Condición de Borde Tipo N°4 y situación de resistencia de contacto Esta condición de borde planteada para fines de transferencia de calor significa físicamente que el flujo de calor que se intercambia entre una pared sólida de una determinada conductividad térmica con otra

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR pared sólida con una conductividad térmica de distinto valor, que se encuentran en contacto, en una posición de frontera conocida se realiza sin cedencias de calor a un tercer medio, vale decir todo el calor del primer sólido se traspasa al segundo sólido, dependiendo de la diferencia de temperatura. Matemáticamente esta condición queda expresada de la manera siguiente: dT ( x ) dT ( x ) dT ( x ) dT ( x ) k1 ⋅ = k2 ⋅ x = x 0 ⇒ k1 ⋅ = k2 ⋅ dx x =x dx x =x dx dx 0

0

La literatura anglosajona, en general, no menciona esta condición de borde y se concentra en el problema de la resistencia de contacto, ya que parte de la premisa que dos sólidos distintos no pueden físicamente alcanzar un contacto absoluto entre sus superficies debido a su rugosidad natural, luego asumen que siempre existirá o una delgadísima película de aire o vacío entre las superficies en contacto, generándose así una resistencia térmica adicional producto del aire atrapado o del vacío que existe entre los poros superficiales de los sólidos, ya que la conductividad térmica es muy pequeña en el caso del aire y nula en el caso del vacío. Gráficamente considerando que los sólidos y el aire se comporta siguiendo la ecuación de Poisson, la situación física adopta la forma siguiente:

T(x) A kcontacto k1 k2

x Considerando el problema planteado a partir de la solución general de la ecuación de Poisson y aplicándole para fines de su particularización condiciones de Borde del Tipo N°1 o de Diriclet, se tiene que el problema adopta la forma siguiente: T(x)

T 1 > T2 Las condiciones de borde del Tipo N°1 son:

T1

x=0

υ

T = T1

x=e

υ

T = T2

A T2 k

e

x

Aplicando las condiciones de borde a la solución general, se tiene:

T ( x ) = c1 ⋅ x + c 2

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Aplicando para el valor de la posición cero, x = 0, se tiene

T ( 0) = T1 = c1 ⋅ 0 + c 2 = c 2

→ c 2 = T1

Aplicando para el valor de la posición cero, x = e, se tiene

T ( e ) = T2 = c1 ⋅ e + c 2 = c1 ⋅ e + T1

→ c1 =

T2 − T1 e

Reemplazando en la forma general, se obtiene la denominada función temperatura para el caso de conducción de calor a través de una pared de conductividad térmica constante, unidimensional, sin generación interna de calor y estacionario, con condiciones de borde del tipo N°1, lo que implica conocer dos temperaturas en posiciones dadas. Lo anterior permite obtener la siguiente función:

 T − T1  T ( x) =  2  ⋅ x + T1  e  El flujo de calor se determina a partir de la función temperatura aplicando la Ley de Fourier.

q = −k ⋅ A ⋅

dT dx

Aplicando la Ley de Fourier para el caso de al ecuación de Poisson, se tiene:

q = −k ⋅ A ⋅

 d  T2 − T1    ⋅ x + T1   dx  e  

Reemplazando y sustituyendo

 T − T1  T1 − T2 q = −k ⋅ A ⋅  2 = e  e  k⋅A

Adicionalmente, la ecuación anterior se puede reescribir de la manera siguiente:

q=

T1 − T2 T1 − T2 = Rt  e    k ⋅ A

Como se aprecia a partir de la expresión del flujo de calor obtenida para este caso particular, permite inferir que el método análogo-térmico corresponde a la particularización de la ecuación de Poisson con condiciones de borde del tipo N°1, de modo que este método es sólo la máxima simplificación que se puede realizar a la ecuación de Fourier. En cuanto a los métodos matemáticos que se utilizan para la solución de problemas más complejos, los que incorporan casos tales como: materiales con conductividades térmicas variables (dependientes de la temperatura), multidimensionalidad en el flujo de calor, generación interna de calor (por metabolismo, por efecto del paso de corriente eléctrica, reacciones químicas) y/o procesos transientes, generan una amplia gama de posibilidades, las que generalmente se ven limitadas por la capacidad de resolver ecuaciones diferenciales complejas, lo que a llevado al desarrollo de diversas técnicas para obtener de soluciones aproximadas, en particular para los problemas multidimensionales y transientes, tales como: el método de análisis gráfico, el método de factor de forma para conducción de calor, el método de capacitancia térmica, método del sólido semi-infinito, método de las curvas de Heisler, entre otros. En los últimos años con el desarrollo de computadores personales los métodos numéricos aplicados a la solución de los problemas de transferencia de calor han adquirido una gran relevancia, siendo los más utilizados: a) Método de las diferencias finitas b) Método de los elementos finitos Claro está que existen otros métodos como el método de los volúmenes de control finitos y el método de los elementos de borde, que gozan de menos popularidad que los anteriores. Actualmente es posible encontrar numerosos paquetes computacionales diseñados para PC, basados en el método de los elementos finitos, que permiten con relativa facilidad solucionar problemas complejos de transferencia de calor. Sin embargo, el método de las diferencias finitas es tradicionalmente el más popular en la literatura, por lo que a continuación se planearán las bases de la metodología basado en la solución explícita del sistema de ecuaciones que se genera con la aplicación de método.

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR El método se basa en aproximar los elementos diferenciales a una forma discreta, construyendo una malla o red de puntos donde en ellos se concentran las propiedades de la materia, de modo que los términos diferenciales toman la forma siguiente: p p Ti ,pj ,k −Ti −p1, j , k dT ( x ) Ti +1, j ,k −Ti , j ,k = = dx ∆x ∆x

p p p d 2T ( x ) Ti +1, j ,k − 2 ⋅ Ti , j ,k + Ti −1, j ,k = dx 2 ∆x 2 p +1 p dT ( x ) Ti , j , k −Ti , j , k = dt ∆t

Considerando a: i, j, k como coordenadas espaciales y a: p como coordenada temporal, con lo que la ecuación de Fourier aplicando las restricciones: conductividad térmica constante, conducción unidimensional de calor y sin generación interna de calor, queda de la forma siguiente:

∂ 2T 1 ∂T = ⋅ ∂x 2 α ∂t

La que expresada en términos de diferencias finitas toma la forma siguiente:

Ti +p1, j ,k − 2 ⋅ Ti ,pj ,k + Ti −p1, j ,k ∆x 2

=

De donde se despeja el valor de:

[

p +1 p 1 Ti , j , k − Ti , j ,k ⋅ α ∆t

]

Ti ,pj+,k1 = Fo ⋅ Ti +p1, j , k + Ti −p1, j ,k + Ti ,pj ,k ⋅ [1 − 2 ⋅ Fo ]

Donde el número de Fourier toma la forma de:

Fo =

α ⋅ ∆t ∆x 2

Este número de Fourier, por condiciones de convergencia del método debe restringirse según el grado de dimensionalidad del problema, de la manera siguiente: Problema unidimensional => Fo [ 0,500 Problema bidimensional => Fo [ 0,250 Problema tridimensional => Fo [ 0,167 Si se considera el valor límite del número de Fourier para un caso de conducción de calor unidimensional con conductividad térmica constante y sin generación interna de calor se tiene:

Ti ,pj+,k1 =

[T

p i +1

+ Ti −p1 2

]

En otras palabras, la temperatura en un tiempo t+Δt para el nodo intermedio, es igual al promedio de las temperaturas de los nodos adyacentes en el tiempo t. La solución gráfica de este sistema de ecuaciones se le denomina como método gráfico de Schmidt. Finalmente, es necesario considerar el evento que alguna de condiciones de borde sea del tipo N°3, vale decir una superficie sólida en contacto con un medio convectivo, para este caso se debe considerar la existencia del denominado número de Biot, el que se define como:

Bi =

∞ ⋅ ∆x k

Las relaciones entre los números de Fourier y Biot permiten utilizar las condiciones de borde y a partir de ellas evaluar los valores de las temperaturas de cada uno de los nodos y por ende en el interior del sólido. Dentro de las técnicas de programación y métodos de solución destacan los métodos de Gauss-Siedel, las formulaciones: explicita, implícita, de Crank-Nicolson, etc.

6.

Teoría de aletas

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Las aletas o superficies extendidas es el medio que comúnmente se utiliza para incrementar el flujo de calor intercambiado entre un cuerpo sólido y un medio convectivo que se encuentren a diferentes temperaturas, ya que se aumenta significativamente el área de intercambio de calor. Estos elementos se emplean cuando un sólido no posee el área externa lo suficientemente grande como para permitir el flujo de calor que una aplicación en particular requiera, como es el caso de los intercambiadores de calor (radiadores, evaporadores, colectores solares, etc.), cilindros automotrices, compresores, etc. El caso más sencillo de aleta corresponde a las denominadas aletas rectas, llamadas así porque su sección transversal permanece constante. La situación física para este caso es la siguiente: T≡ ″≡

dx

e Tw b L x Geométricamente se obtienen las siguientes relaciones para el perímetro y el área o sección transversal de la aleta: P = 2 ⋅ ( e + b) A = b⋅e Para la aleta es posible plantear el siguiente balance de energía para un elemento de sólido de espesor diferencial ubicado en una posición dada, el que indica que el flujo de calor conductivo que ingresa al elemento es igual al flujo de calor cedido al medio convectivo más el flujo de calor conductivo que egresa del elemento, que en términos matemáticos toman la forma siguiente:

q x = q x +dx + q convectivo

Reemplazando en esta ecuación las expresiones de las leyes de Fourier y Newton, y tomando en cuenta las características geométricas de la aleta, se obtiene la siguiente ecuación:

− k ⋅ A⋅

∂T ∂T ∂  ∂T = −k ⋅ A ⋅ − ⋅k ⋅ A⋅ ∂x ∂x ∂x  ∂x

 dx + ∞ ⋅ P ⋅ ( T ( x ) − T∞ ) ⋅ dx 

Eliminando términos y ordenando se obtiene la siguiente ecuación:

d 2T ( x ) ∞ ⋅ P − ⋅ ( T ( x ) − T∞ ) = 0 k⋅A dx 2

Dado que la ecuación anterior queda en función de una diferencia de temperaturas entre la temperatura de la aleta en la posición dada y la temperatura basal de la aleta, conviene sustituir la función temperatura por la función diferencia de temperaturas, la que cumple con las siguientes condiciones:

θ ( x ) = T ( x ) −T∞

dθ ( x ) dT ( x ) = dx dx

d 2θ ( x ) d 2T ( x ) = dx 2 dx 2

Reemplazando se tiene la denominada ecuación de la aleta, la que es:

d 2θ ( x ) ∞ ⋅ P − ⋅θ ( x) = 0 k⋅A dx 2

Si se considera el siguiente reemplazo a fin de obtener una forma general de la ecuación diferencial y a partir de ésta la solución para la ecuación:

m2 =

∞ ⋅ P k⋅A

La ecuación de la aleta toma la forma siguiente:

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR d 2θ ( x ) − m 2 ⋅θ ( x) = 0 2 dx Siendo su solución general, la siguiente:

θ ( x ) = c1 ⋅ e − mx + c 2 ⋅ e + mx

Donde la particularización de la solución general de la ecuación de aleta se realiza al aplicar a ésta las condiciones de borde que restringen el problema que en particular se analice. En general la condición de borde para la base de cualquier aleta o superficie extendida es misma para todos lo casos y corresponde a una condición del Tipo N°1 y queda planteada de la forma siguiente:

θ ( 0 ) = Tw − T∞ = θ 0

→ x = 0 ⇒ T ( x ) = Tw

Para el extremo de la aleta o superficie extendida pueden presentarse tres posibles casos, los que obviamente están asociados a los tres tipos condiciones de borde que son aplicables, esto es, las condiciones tipo N°1, N°2 y N°3. Según el tipo de condición de borde que se aplique en el extremo de la aleta, permite clasificarlas mediante un nombre en los siguientes casos: a) Aleta larga; este tipo de aleta corresponde al caso en que al extremo de la aleta se le puede aplicar una condición de borde del tipo N°1, o sea la temperatura en el extremo de la aleta es conocida e idéntica a la del medio convectivo. Matemáticamente corresponde a lo siguiente: θ( L) = 0 → x = L ⇒ T ( x ) = T∞ b) Aleta corta; en este caso se asume que al extremo de la aleta se le puede aplicar una condición de borde del tipo N°2, lo que significa que el extremo de la aleta se encuentra totalmente aislado térmicamente y por lo tanto el flujo de calor sólo puede intercambiarse con el medio convectivo por las superficies laterales de la aleta. Matemáticamente corresponde a lo siguiente: dT ( x ) dθ =0 →x = L ⇒ =0 dx x =L dx x =L c) Aleta media; este tipo de aleta corresponde al caso en que al extremo de la aleta se le puede aplicar una condición de borde del tipo N°3, esto implica que existe intercambio de calor en el extremo de la aleta. Matemáticamente corresponde a lo siguiente: dθ ( x ) dT ( x ) −k ⋅ A⋅ = ∞ ⋅ A ⋅θ 0 → x = L ⇒ −k ⋅ A ⋅ = ∞ ⋅ A ⋅ ( Tw − T∞ ) dx x =L dx x =L A fin de ejemplarizar el manejo de las condiciones de borde y la evaluación del flujo de calor que puede mediante el uso de aletas realizarse, se analizará en detalle el caso de aleta larga. Considerando la solución general de la ecuación de aleta que es:

θ ( x ) = c1 ⋅ e − mx + c 2 ⋅ e + mx

Aplicando la condición de borde del tipo N°1 a la base de la aleta, se tiene:

θ ( 0 ) = θ 0 = c1 ⋅ e − m 0 + c 2 ⋅ e + m 0 = c1 → c1 = θ 0

Aplicando la condición de borde del tipo N°1 al extremo de la aleta y asumiendo que en esta posición su temperatura es idéntica a la del medio convectivo y que el largo de la aleta es en términos matemáticos infinito, se tiene:

→dec 2la=temperatura 0 θ ( L ) = 0 = c1 ⋅ e − mL +Comportamiento c 2 ⋅ e + mL respecto de la

Reemplazando estas constantes en lael forma general de larga solución, se tiene que la función diferencia de longitud para caso de una aleta temperaturas respecto de la posición para una aleta recta larga es: 120

θ ( x) = θ 0 ⋅ e

− mx

= θ0 ⋅ e

−

∞ ⋅ P ⋅x k⋅A

Temperatura de la aleta

Donde se puede 100 obtener la función de la temperatura de la aleta respecto de la posición, la que es:

T ( x ) = ( Tw − T∞ ) ⋅80e

− mx

+ T∞ = ( Tw − T∞ ) ⋅ e

−

∞ ⋅ P ⋅x k⋅A

+ T∞

Gráficamente la función temperatura respecto de la posición es: 60 40 20 0 0

FREDDY PEREDO ARANIBAR 0,04 0,08 0,12 0,16 Largo de la aleta

0,2

TRANSFERENCIA DE CALOR

Finalmente, aplicando la ley de Fourier, es posible obtener el flujo de calor intercambiado entre la aleta y el medio convectivo, que es: dθ ( x ) q = −k ⋅ A ⋅ = ∞ ⋅ P ⋅ k ⋅ A ⋅θ 0 dx x =0 Como es posible deducir de la expresión anterior, el flujo de calor que intercambia una aleta con el medio convectivo es sólo una fracción del flujo de calor que intercambiaría la aleta si esta mantuviera en toda sus superficies la temperatura basal. Esta situación conduce a la aparición del concepto de eficiencia de aleta, el que se define de la manera siguiente:

ea =

qefectivo q máximo

=

qefectivo

[ ( 2 ⋅ b ⋅ L ) + ( 2 ⋅ e ⋅ L ) + ( b ⋅ e) ] ⋅ ∞ ⋅ θ 0

La eficiencia de una aleta, para fines industriales, puede ser graficado en función de su tamaño, geometría, conductividad térmica del material de que esta construida y el coeficiente pelicular convectivo medio del fluido en el cual la aleta se encuentra sumergido. Eficiencia de aleta para casos de aletas de secciones rectangular y triangular 100

Eficiencia de aleta

80 rectangular triangular

60

40

20

0 0,0

0,5

1,0

1,5

L⋅

2,0

2 ⋅ ∞ k ⋅e

FREDDY PEREDO ARANIBAR

2,5

TRANSFERENCIA DE CALOR 7.

Evaluación de cargas térmicas Uno de los problemas prácticos más relevantes en la temática de transferencia de calor es la evaluación de las cargas térmicas que se presentan en un determinado caso, como por ejemplo en el caso de hornos, edificios, cámaras de refrigeración, etc. Esta evaluación permite determinar los requerimientos térmicos que permitan realizar la selección del equipo o dispositivo térmico que permita mantener las condiciones de térmicas o sea de temperatura que se requieren para una aplicación en particular. Esta evaluación corresponde a un balance térmico, donde se evalúan los intercambios de calor entre la atmósfera interior y la exterior del caso a analizar en condiciones estacionaras, considerando la temperatura de operación normal de la aplicación en particular y la del medio en el cual esta inmerso. Para esto se evalúan las cargas asociadas a los fluidos intercambiados, a las generaciones internas de calor, los intercambios de calor a través del mecanismo de radiación y los intercambios de calor a través de las paredes. El procedimiento se realiza a través de una tabla donde se ordenan las cargas y finalmente se suman y su resultado es equivalente a la cantidad de energía que se debe agregar a través de un equipo térmico a seleccionar. La metodología se realiza de la manera siguiente: a) Carga por ventilación:

qv = m  v ⋅ C p ⋅ ( T∞i − Tatm )

qv =

Patm ⋅ V ⋅ (1 − eocup ) ⋅ nv ⋅ C p ⋅ ( T∞i − Tatm ) Ra ⋅ Tatm

V : Volumen del recinto eocup : Rendimiento de ocupación del recinto nv : Número de cambios de aire por ventilación del recinto por unidad de tiempo b) Carga por infiltraciones:

qi = m  i ⋅ C p ⋅ ( T∞i − Tatm )

qi =

Patm ⋅ V ⋅ (1 − eocup ) ⋅ ni ⋅ C p ⋅ ( T∞i − Tatm ) Ra ⋅ Tatm

nv : Cantidad de cambios de aire naturales por infiltraciones del recinto por unidad de c) Generaciones internas de calor: c-1) Ganancia por iluminación

tiempo

n

ql = ∑ (1 − el ) ⋅ N l j =1

el

: Eficiencia del sistema de iluminación ( 50% para luces fluorescentes y 10% para luces incandescentes) Nl : Potencia de iluminación c-2) Ganancia metabólica n

q me = ∑ z ⋅ N me j =1

z : Número de unidades Nme : tasa de generación de calor metabólico por unidad c-3) Ganancia por rendimiento de equipos mecánicos y eléctricos n

q e = ∑ (1 − ee ) ⋅ N e j =1

el : Eficiencia térmica del equipo Nl : Potencia consumida o generada por el equipo d) Ganancia solar

A + AO   q s =  AN + AT + E  ⋅ is 2   A

: Área expuesta

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Is : Irradiación por unidad de área e) Ganancia por muros n

q mu = ∑U mu ⋅ Amu ⋅ ( T∞i − Tatm ) j =1

f)

Umu : Coeficiente global de transferencia de calor del muro Amu : Área del muro Ganancia por techo n

qte = ∑U te ⋅ Ate ⋅ ( T∞i − Tatm ) j =1

Umu : Coeficiente global de transferencia de calor del techo Amu : Área del techo g) Ganancia por piso n

q pi = ∑U pi ⋅ A pi ⋅ ( T∞i − Tsum ) j =1

Umu : Coeficiente global de transferencia de calor del piso Amu : Área del piso Tsum : Temperatura del sumidero terrestre Una vez evaluadas por separado cada carga se procede a sumarlas con sus respectivos signo que identifican la dirección del flujo de calor, asignando el valor positivo al que ingresa al sistema y negativo al que egresa de éste. n

qtotal = ∑ q j j =1

q total = q v + q i + q l + q me + q e + q s + q mu + qte + q pi Dado que el sistema se evaluó en condiciones de equilibrio, entonces la energía intercambiada con el medio externo es equivalente con signo contrario a la energía que debe aportar el equipo térmico.

q total + N termica = 0

Finalmente, se despeja el valor de la potencia requerida y de acuerdo a lo que existe en el mercado se selecciona al equipo o equipos que cumplirán la tarea de sostener el sistema en su nivel térmico de funcionamiento representada por su temperatura de funcionamiento.

N termica = −q total

8.

Convección Los procesos de convección son modelados en términos generales, por la ley de enfriamiento de Newton, la que establece que en los procesos convectivos, el flujo de calor es proporcional a un coeficiente numérico que es denominado como: Coeficiente Pelicular Convectivo Medio o simplemente: coeficiente pelicular. El valor que toma este coeficiente pelicular depende de la situación física de que se trate y por lo tanto de las variables que gobiernan el tipo de escurrimiento del fluido por sobre la pared donde se produce el proceso convectivo. De estas variables, la más relevante en una primera instancia, es la referida al origen de las fuerzas que engendran el movimiento del fluido, lo que permite catalogar el tipo de escurrimiento en dos categorías, las que son: • Convección forzada • Convección natural o libre La primera categoría o convección forzada se presenta cuando las fuerzas que originan el movimiento del fluido son externas al fluido y por ende no tiene como origen el proceso de transferencia de calor en sí mismo. Por su lado, la segunda categoría o convección natural o libre ocurre cuando las fuerzas que originan el movimiento del fluido son propias a los cambios que en sus propiedades tiene el fluido cuando como producto del proceso de transferencia de calor cambian, generándose un cambio de densidad y por ende aparecen fuerzas de flotación las que engendran una circulación o flujo. Si bien el origen del movimiento puede ser diferente, la situación física es la misma y corresponde a la situación ilustrada:

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR

T(x) v≡

T≡

v(x,y) dA

Tw

x

Como se puede desprender de la figura, por los efectos viscosos del fluido, el valor de la velocidad de escurrimiento del fluido, el espesor de la capa límite de velocidades, etc, generan que el valor del coeficiente pelicular convectivo sea un valor del tipo local, por lo que se cumple:

dq = hx ⋅ ( T∞ − Tw ) dA Dado que en la práctica de ingeniería resulta muy complejo trabajar con valores locales, resulta en extremo conveniente y hasta necesario el determinar un valor medio para el coeficiente pelicular convectivo, lo que es posible establecerlo de la manera siguiente:

=

1 ⋅ hx ⋅ dA A ∫

Por su lado, los efectos viscosos generan una película de fluido que provoca una modificación significativa de las propiedades del escurrimiento en las proximidades de la pared, que es donde se realiza el intercambio de calor, lo que hace que el valor de estas propiedades sea especialmente relevante, esto conduce a la necesidad de evaluar las propiedades del fluido existente en la película a partir de una temperatura que permita evaluar adecuadamente estas propiedades. Esta temperatura se le denomina Temperatura de Película y se evalúa como la media entre las temperaturas de la pared y del fluido no perturbado por los efectos de pared. Matemáticamente corresponde a:

T =

T∞ + Tw 2

Dado que el proceso convectivo tiene por origen la combinación del traspaso de energía térmica y mecánica, las ecuaciones que permiten modelar este proceso deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones de conservación de masa, de la energía y de la cantidad de movimiento o impulso, lo que supone la existencia de un sistema de ecuaciones. Esta particularidad genera un elevado grado de complejidad en los métodos de solución analíticos que puedan utilizarse para resolver este sistema de ecuaciones, de ahí que se recurra a utilizar un conjunto de relaciones empíricas que permiten determinar los valores que tomaría el coeficiente pelicular convectivo medio para un conjunto de situaciones físicas particulares en que el fenómeno convectivo se presente. Para facilitar el uso de este tipo de soluciones empíricas, éstas se plantean a través de distintos números adimensionales, los que relacionan adecuadamente las distintas propiedades del fluido entre sí y con las características del escurrimiento, dando lugar a números cuyas dimensiones son unitarias, vale decir son adimensionales. Para efectos de los problemas de transferencia de calor por el mecanismo de convección, los números adimencionales más relevantes son: • Número de Nusselt, Nu: El número de Nusselt representa la relación entre el coeficiente pelicular convectivo medio, la característica geométrica y la conductividad térmica del fluido. La ecuación que evalúa el número de Nusselt, toma dos formas según sea la geometría relevante de la pared o del sólido, presentando las siguientes formas: Caso de pared prismática

Nu =

∞ ⋅ x k

Caso de pared circular o esférica

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Nu = •

•

Número de Reynolds, Re: El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia que impulsan el movimiento, representadas por la velocidad, respecto de las fuerzas viscosas que se oponen a éste, representadas por la viscosidad. La ecuación que evalúa el número de Reynolds, toma dos formas según sea la geometría relevante de la pared del sólido, las que se presentan a continuación: Caso de pared prismática γ ⋅ x ⋅v ρ ⋅ x ⋅v x ⋅v Re = = = g ⋅µ µ ν Caso de pared circular o esférica γ ⋅d ⋅v ρ ⋅d ⋅v d ⋅v Re = = = g ⋅µ µ ν Número de Prandt, Pr: El número de Prandt representa la relación que existe entre la capacidad de absorber calor por parte del fluido respecto de su capacidad de conducirlo, adoptando la forma de las siguientes ecuaciones:

Pr = •

∞ ⋅ d k

ρ ⋅ C p ⋅ν k

=

ν α

Número de Grashof, Gr: El número de Grashof representa la relación entre las fuerzas de flotación que impulsan el movimiento, representadas por el coeficiente de expansión volumétrica, respecto de las fuerzas viscosas que se oponen a este movimiento, las que son representadas por la viscosidad. La ecuación que evalúa el número de Grashof genéricamente adopta variadas formas dependiendo de la geometría relevante de la pared del sólido, la que se representa a través del símbolo L*, de modo que la ecuación genérica toma la forma siguiente: 3

Gr =

β ⋅ g ⋅ L* ⋅ T∞ − Tw ν2

Donde el coeficiente de expansión volumétrica,, se evalúa como: ρ∞ − ρ β= ρ ⋅ (T − T∞ )

8.1 Convección forzada Como ya se indicó, el proceso de convección forzada se caracteriza por el hecho que las fuerzas que engendran el movimiento del fluido sobre la pared son independientes del proceso de transferencia de calor, de ahí que se indique que las fuerzas relevantes son del tipo mecánico, las que generan la transformación de trabajo mecánico en calor, sea externo al proceso de mismo de transferencia de calor. Por lo anterior los números adimencionales que tiene una participación relevante en la modelación de este fenómeno sean, el número de Nusselt, el número de Reynolds y el número de Prandt, los que genéricamente para los procesos de convección forzada se relacionan de la manera siguiente:

Nu = a ⋅ Re b ⋅ Pr c

Donde los valores de: a, b, c son constantes que dependen de la situación física que se estudie. Esta forma general se aplica a las distintas situaciones físicas que se presenten, pudiendo en algunas de ellas sufrir algunas modificaciones a fin de representar más adecuadamente el fenómeno en estudio. A continuación se analizan los casos más comunes de convección forzada, los que corresponden a: • Escurrimiento por interior de tubos de sección circular El análisis de este caso parte de la identificación del tipo de régimen de escurrimiento del fluido que exista por el interior del tubo, de modo que los modelos que sean válidos para un escurrimiento de régimen laminar no deben necesariamente ser válidos para un escurrimiento de régimen turbulento.

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Por otro lado, deben tenerse en cuenta las restricciones de aplicabilidad de los modelos, ya que estos son empíricos y por lo tanto son válidos solo para un tipo o conjunto de situaciones concretas, las que por lo general, en el caso de tubos, implica la existencia de un flujo desarrollado, esto sin influencia de los efectos de entrada y/o salida del fluido del tubo, lo que comúnmente ocurre a una distancia de 50 diámetros desde la entrada o salida del fluido del tubo. Vale decir, la aplicabilidad de las ecuaciones está restringida a la longitud del tubo existente a partir de 50 diámetros desde la entrada y hasta 50 diámetros de la salida de éste. Tw d T≡

Flujo desarrollado o zona de validez

50 d

50 d

Régimen Laminar: Para el caso de escurrimiento de fluido en régimen laminar, lo que implica que el número de Reynolds es menor o igual a 2000, se presentan dos de las situaciones más comunes: - Flujo de calor intercambiado constante (q = cte.) En este caso se determinó que la temperatura varia en forma lineal con la posición axial del tubo, dando lugar a la siguiente ecuación: Nu = 4,364 Despejando el valor del coeficiente pelicular convectivo medio, se tiene:

∞ = 4,364 ⋅

k d

- Temperatura de la pared constante (Tw = cte.) Para este caso la forma genérica de evaluación del coeficiente pelicular convectivo medio, sufre una variación a fin de utilizar una ecuación que represente más fielmente este fenómeno para la zona de flujo desarrollado. La ecuación en cuestión es la siguiente:

Nu = 3,66 + 0,0688 ⋅

L ⋅ Re⋅ Pr d

Esta ecuación a su vez puede modificarse a fin de que considere los efectos entrada y salida del flujo, extendiendo con ello su campo de aplicabilidad a todo el tubo. La ecuación en este caso pasa a ser la siguiente:

Nu =

3,66 + 0,0688 ⋅

L ⋅ Re⋅ Pr d

L  1 + 0,04 ⋅  ⋅ Re⋅ Pr  d 

2

3

Régimen Turbulento: Para el caso de escurrimiento de fluido en régimen laminar, lo que implica que el número de Reynolds es mayor a 2000, la siguiente ecuación es la más aceptada para modelar el comportamiento convectivo:

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR 1 3

Nu = 0,027 ⋅ Re 0,8 ⋅ Pr

De una manera análoga al caso anterior, esta ecuación puede modificarse a fin de que considere los efectos que tiene sobre la viscosidad del fluido la temperatura de la pared, lo que se realiza mediante una corrección de la ecuación anterior. Esta nueva ecuación llamada de Sieder&Tate, es de aplicación general para los problemas de convección forzada en el interior de tubos en condiciones de escurrimiento turbulento.

 µ Nu = 0,027 ⋅ Re ⋅ Pr ⋅   µW

  

1 3

0 ,8

0 ,14

Despejando el valor del coeficiente pelicular convectivo medio, para este caso se tiene:

 µ ∞ = 0,027 ⋅ Re ⋅ Pr ⋅   µW 1

0 ,8

•

3

  

0 ,14

⋅

k d

Escurrimiento transversal por sobre tubos cilíndricos Para este caso se debe evaluar el número de Reynolds a partir del diámetro exterior del cilindro, de modo que la ecuación toma la forma siguiente:

Re =

ρ ⋅ d ext ⋅ v d ext ⋅ v = µ ν

Luego el modelo que da cuenta del comportamiento convectivo considerado para el flujo por el exterior de cilindros es independiente del tipo de régimen de escurrimiento, dependiendo solo del largo del cilindro y adopta la forma siguiente:

Nu = 0,036 ⋅ Re •

0 ,8

⋅ Pr

1

3

d  ⋅  L

1 18

Escurrimiento por exterior de esferas Para este caso se debe evaluar el número de Reynolds a partir del diámetro exterior de la esfera, de modo que la ecuación toma la forma siguiente:

Re =

ρ ⋅ d ext ⋅ v d ext ⋅ v = µ ν

Luego el modelo que da cuenta del comportamiento convectivo considerado para el flujo por el exterior de esferas es independiente del tipo de régimen de escurrimiento y toma la forma siguiente:

Nu = 0,37 ⋅ Re 0,6 ⋅ Pr •

1 3

Escurrimiento por sobre placas planas En el caso de escurrimiento de un fluido sobre una placa, se presenta un fenómeno que es especialmente relevante, el que corresponde al cambio del régimen de escurrimiento del fluido en contacto con la placa, por efecto de la viscosidad, a medida de que éste avanza en su dirección de movimiento. En otras palabras, el número de Reynolds depende de la posición del fluido respecto de la placa y por lo tanto en la medida que el fluido cuando entra en contacto con la placa se establece un régimen laminar que a medida que avanza en placa se transforma en turbulento, manteniendo estas condiciones al desarrollarse completamente el flujo. En términos del problema de mecánica de fluidos, el escurrimiento por sobre la placa se genera la denominada: capa límite hidrodinámica, fenómeno que es extensivo al caso de flujo de gases, y que es especialmente relevante en la parte turbulenta del escurrimiento. La transición entre el escurrimiento laminar y el transicional comienza cuando el número de Reynolds supera el valor de 500.000 (5%105), valor denominado como número de Reynolds crítico.

Re c = 500.000

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR El valor de la posición de la placa en el sentido de escurrimiento del fluido (dirección x), que está asociada a este valor se le denomina como longitud crítica y se determina a partir del número de Reynolds crítico. 500.000 ⋅ µ xc = ρ ⋅ v∞ Luego se cumple lo siguiente, considerando a: x como la dirección de escurrimiento del fluido: x [ xc ε se presenta solo escurrimiento laminar sobre la placa x > xc ε se presentan escurrimientos laminar, transicional y eventualmente turbulento sobre la placa El comportamiento del escurrimiento y la existencia de las capas límites se ilustra en la siguiente figura: y

capa límite turbulenta

v≡

v≡ h

v(x) h

subcapa laminar xc

x

región laminar región transicional región turbulenta L

Tanto para la zona laminar como para la zona turbulenta es posible determinar el espesor de la capa límite hidrodinámica, (h), la que se determina a partir del análisis del perfil de velocidades del fluido en la dirección transversal a la placa, (dirección y), bajo la consideración de que los efectos de la pared producen sólo una disminución de un 1% de la velocidad de escurrimiento del fluido no perturbado. En otras palabras la velocidad del fluido es un 99% de la velocidad del fluido no perturbado. Matemáticamente se definiría al espesor de capa límite hidrodinámica como el espesor en el sentido transversal a la placa (dirección y) donde la velocidad del fluido varía entre 0 y 0,99∃v≡. El espesor de la capa límite depende del tipo de régimen de escurrimiento existente en la posición de la placa donde ésta se evalúe, ya que depende directamente de la posición y del número de Reynolds. Por lo tanto existen diferentes ecuaciones que permiten evaluar el espesor de la capa límite hidrodinámica, siendo una para la zona laminar, denominada como ecuación de Blaussius y diferentes formas empíricas para las zonas transicional y turbulenta, de las cuales se propone una en particular para este caso: Régimen laminar; Re [ 500.000 (5%105)

δh =

5⋅ x Re x

Regímenes transicional y turbulento; Re > 500.000 (5%105)

δh =

0,37 ⋅ x Re x

0, 2

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR De una manera análoga es posible plantear el concepto de capa límite térmica, (t), al considerar a esta como el espesor en la dirección transversal a la placa, donde se produce una variación de la temperatura del fluido por efecto de la temperatura de la placa. El tamaño de ésta varía desde el valor de la temperatura de la pared, hasta la posición donde los efectos en el fluido de la temperatura de la placa se anulan, lo que corresponde matemáticamente a un 99% de la diferencia de temperaturas entre la pared y el fluido más la temperatura de la pared, o sea es la variación de la posición y, entre Tw y 0,99∃(T≡.-Tw). En términos de ecuación, el espesor de la capa límite térmica se puede evaluar como:

δt =

δh

Pr

1 3

Como ya fue indicado y puede desprenderse del análisis anterior, es de vital importancia el tener en cuenta los efectos viscosos del fluido y sus efectos en las propiedades térmicas de este, por lo que resulta indispensable el evaluar las propiedades del fluido a partir de la temperatura de película, que es el promedio de las temperaturas del fluido y de la placa. Luego, todas las propiedades del fluido se determinan a partir de la temperatura de película, que se evalúa de la siguiente manera:

T =

T∞ + Tw 2

Las relaciones que permiten evaluar los coeficientes peliculares para los fenómenos de convección forzada sobre placas planas, se pueden realizar a partir de valores locales y valores medios. Cabe destacar que estas relaciones son por lo general de carácter empírico, por lo que a continuación se presentan sólo las relaciones más usuales: Régimen laminar: En este caso existen relaciones tanto locales como medias, entendiendo a estas últimas como aplicables a toda la zona laminar de una placa. 1

1 3

sí x [ xc

Valor local

1

1 3

sí L [ xc

Valor medio

Nu x = 0,332 ⋅ Re x 2 ⋅ Pr

Nu L = 0,664 ⋅ Re L2 ⋅ Pr

Régimen transicional y turbulento En este caso existen sólo relaciones medias, las que son aplicables a toda la placa incluyendo tanto a la zona laminar como a las zonas transicional y turbulenta, por lo que son relaciones aplicables a toda la placa y no a una zona especifica. Las relaciones más usuales son:

( = ( 0,037 ⋅ Re

) − 872) ⋅ Pr

Nu L = 0,036 ⋅ Re 0L,8 − 836 ⋅ Pr

Nu L

(

0 ,8 L

Nu L = 0,228 ⋅ Re L ⋅ ( log( Re L ) )

1 3 1

ReL µ 5%105 5%105 < ReL [ 107

3

− 2 ,584

)

− 872 ⋅ Pr

1

3 107 < ReL < 109

A partir de las relaciones anteriores, es posible evaluar el coeficiente pelicular convectivo medio para la placa y a partir de éste el flujo total de calor intercambiado entre el fluido y la placa, lo que se realiza a través de la siguiente ecuación:

qtotal = total ⋅ Atotal ⋅ ( T∞ − Tw )

Por su lado, a partir del coeficiente pelicular convectivo medio para la sección de la placa donde se presenta régimen laminar, se puede determinar el flujo de calor intercambiado entre el fluido y la placa en esta sección, lo que se realiza a través de la siguiente ecuación:

q la min ar = la min ar ⋅ Ala min ar ⋅ ( T∞ − Tw )

Finalmente por diferencia entre los flujos de calor intercambiados por toda la placa y por la sección laminar de ésta y asociando la ley de enfriamiento de Newton, es posible establecer un coeficiente pelicular convectivo medio para las zonas transicional y turbulenta, valor que se obtiene a partir de la siguiente ecuación:

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR turbolento =

qtotal − q la min ar Aturbolento ⋅ ( T∞ − Tw )

8.2 Convección natural o libre El fenómeno de convección natural se caracteriza por el hecho que las fuerzas que impulsan el movimiento del fluido por sobre la placa, tienen por origen el cambio del su nivel de energía interna en la zona de contacto con la placa, lo que se traduce en un cambio de la densidad de éste, lo que da lugar a la aparición de fuerzas de flotación, generándose así una circulación del fluido por sobre la placa. La forma genérica de evaluar los coeficientes peliculares convectivos medios para los procesos de convección natural es la siguiente: b Nu = a ⋅ ( Gr ⋅ Pr ) Donde el valor del número de Nusselt se evalúa a partir de la siguiente relación:

⋅ L* k Debe tenerse en cuenta que los valores de las constantes a y b, dependen de cada situación física que en particular se analice. A su vez, el valor de la denominada: longitud crítica (L*), también depende de la situación en estudio pudiendo hasta cambiar para cuerpos de igual geometría. Por otro lado, el valor que puede tomar el coeficiente pelicular convectivo medio depende del régimen de escurrimiento que se presente, pero dado que las fuerzas de inercia no tienen un papel relevante en este fenómeno, la caracterización del régimen se realiza a través de una relación entre el número de Grashof y el número de Prandt, siguiendo el siguiente criterio: Régimen laminar implica: Gr ∃ Pr [ 109 Régimen transicional y turbulento implica: Gr ∃ Pr > 109 Teniendo en cuenta este criterio, se presentan las relaciones que se aplican generalmente a los casos más comunes de convección natural: Nu =

Caso de placas planas y cilindros verticales En este caso, como en todos los de que involucra convección natural, se debe considerar con especial cuidado el valor que toma la longitud crítica, que en este caso corresponde a la altura del cuerpo y a partir de ella se pueden utilizar las relaciones de propiedades que conducen al valor del coeficiente pelicular convectivo medio. Debe tenerse en cuenta que las propiedades del fluido deben evaluarse a partir de la temperatura de película. L1 d

L

L* = L Régimen laminar (Gr ∃ Pr [ 109)

Nu = 0,59 ⋅ ( Gr ⋅ Pr )

1

4 sí

L2

L* = L 2 0 [ Gr ∃ Pr [ 109

Régimen transicional y turbulento (Gr ∃ Pr > 109)

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Nu = 0,13 ⋅ ( Gr ⋅ Pr )

1 3

sí

Gr ∃ Pr > 109

Caso de cilindros horizontales En este caso la longitud crítica corresponde al diámetro exterior del cilindro y es independiente de su longitud.

d

L* = d

Régimen laminar (Gr ∃ Pr [ 109) Nu = 0,4 sí

Nu = 0,53 ⋅ ( Gr ⋅ Pr )

1

4

sí

0 [ Gr ∃ Pr [ 10-5 10-5 [ Gr ∃ Pr [ 109

Régimen transicional y turbulento (Gr ∃ Pr > 109)

Nu = 0,3 ⋅ ( Gr ⋅ Pr )

1 3

sí

Gr ∃ Pr > 109

Caso de placas planas horizontales En este caso no sólo la longitud crítica juega un rol relevante, la que para esta situación corresponde a la longitud mayor, sino que también la situación física respecto de las temperaturas relativas entre el fluido y la placa que se presentan para una situación en particular y luego el régimen de escurrimiento que se presente. De modo que para aplicar una determinada relación es necesario tener especialmente en cuenta todos estos factores.

L1

L2

L* = L1 sí L1 > L2

Situación física: Convección sobre placa caliente o bajo placa fría, tomando en cuenta como referencia la temperatura del fluido.

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR Régimen laminar (Gr ∃ Pr [ 2∃107)

Nu = 0,54 ⋅ ( Gr ⋅ Pr )

1

4

sí

0 [ Gr ∃ Pr [ 2∃107

Régimen laminar, transicional y turbulento (Gr ∃ Pr > 2∃107)

Nu = 0,14 ⋅ ( Gr ⋅ Pr )

1 3

sí

Gr ∃ Pr > 2∃107

Situación física: Convección bajo placa caliente o sobre placa fría, tomando en cuenta como referencia la temperatura del fluido. Régimen laminar, transicional y turbulento (Gr ∃ Pr > 0)

Nu = 0,27 ⋅ ( Gr ⋅ Pr )

1

4

sí

Gr ∃ Pr > 0

Relaciones aproximadas para el caso de que el fluido sea aire En el caso que el fluido sea aire en condiciones de presión atmosférica, es posible plantear un conjunto de relaciones aproximadas en términos de la longitud característica y la diferencia de temperaturas entre el aire y la placa (∆T en °C o K), que permite evaluar el coeficiente pelicular convectivo medio con un error del orden de un 5% en (W/m2·C) Estas relaciones se presentan en la siguiente tabla: Situación física de convección natural Laminar Fluido aire 0 [ Gr ∃ Pr [ 109 1 Cilindros y placas verticales  ∆T  4 ∞ = 1,42 ⋅  ∗   L  1 Cilindros horizontales  ∆T  4 ∞ = 1,32 ⋅  ∗   L  1 Flujo sobre placa caliente o bajo  ∆T  4 ∞ = 1,32 ⋅  ∗  placa fría  L  1 Flujo bajo placa caliente o sobre  ∆T  4  = 0 , 59 ⋅ placa fría  ∗  ∞ L 

Transicional y turbulento Gr ∃ Pr > 109

∞ = 1,31 ⋅ ∆ T

1

∞ = 1,24 ⋅ ∆ T

1

∞ = 1,52 ⋅ ∆ T

1

3

3

3

α

8.3 Fenómenos combinados convectivos En la práctica no se presenta un tipo único de convección sino una combinación de convección forzada y natural, situación de complica enormemente la resolución de un determinado problema, ya que se hace necesario utilizar el principio de superposición, lo que implica analizar por separado los fenómenos y luego superponer sus efectos. De ahí que resulte en extremo conveniente el determinar la importancia relativa que tienen los efectos de estos dos tipos de convección en el proceso total de transferencia de calor convectivo, de manera de eliminar del análisis al que sea menos relevante. El criterio que permite definir cual de los dos tipos de convección es el relevante, se basa en la importancia relativa que existe entre las fuerzas de flotación, representadas por el número de Grashof, y las fuerzas de inercia, representadas por el número de Reynolds. Este criterio se manifiesta en la comparación de la división del número de Grashof por el número de Reynolds con el valor unitario. Si el producto de la división es mucho menor que 1, que en la práctica es 0,1, se asume como despreciable a la convección natural. Si por lo contrario el valor es mucho mayor que 1, que en la práctica es 100, se asume como despreciable a la convección forzada. Dentro de los límites de 0,1 a 100, de la división entre los números de Grashof y Reynolds, se debe utilizar el método de superposición. Resumiendo los criterios anteriores, se tiene:

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR

9.

Gr =1 Re 2

o sea

0,1 ≤

Gr ≤ 100 Re 2

Gr 〈〈 1 2 Re

o sea

Gr ≤ 0,1 Re 2

Gr 〉〉 1 o sea 2 Re

Gr ≥ 100 Re 2

Proceso convectivo combinado

Proceso convectivo forzado

Proceso convectivo natural

Intercambiadores de calor Los intercambiadores de calor son los equipos mecánicos donde se realiza la transferencia de calor entre dos fluidos, al entregarle a los fluidos las condiciones adecuadas tanto de área, como de regímenes de velocidades y diferencia de temperatura, que les permite maximizar su intercambio energético. Termodinámicamente se puede asumir a un intercambiador de calor como un sistema de flujo estable y estado estable, adiabático con respecto al exterior, donde los fluidos intercambian calor por simple diferencia de temperaturas, cumpliéndose así la ecuación de conservación de la masa y la ecuación de conservación de la energía, como se ilustra en al figura siguiente: Te1 Ts2

Te2 Ts1

Aplicando la ecuación de conservación de la masa y la ecuación de conservación de la energía, se tiene:

m 1 ⋅ ( hs1 − he1 ) + m 2 ⋅ ( hs 2 − he 2 ) = 0

Luego, el flujo de calor intercambiado entre los fluidos es:

 1 ⋅ ( hs1 − he1 ) + m  2 ⋅ ( hs 2 − he 2 ) q =m

El intercambiador de calor más típico es el denominado: tubo-carcaza, donde un tubo o conjunto de tubos, por cuyo interior circula un fluido en determinadas condiciones térmicas, se encuentran alojados en el interior de una carcaza, por cuyo interior circula un segundo fluido en determinadas condiciones térmicas, intercambiándose calor entre estos dos fluidos. más típico es el denominado: tubo-carcaza La forma más básica de un intercambiador de calor del tipo tubo-carcaza, son dos tubos concéntricos, según se muestra en la figura siguiente.

et dit

kt

T≡i Fluido 1 det

″≡e T≡e

Fluido 2

″≡i

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR

L A partir de esta figura es posible establecer el diseño básico de un intercambiador de calor tubo-carcaza, ya que su función es proveer de las condiciones geométricas y de escurrimiento necesarias para que la disponibilidad termodinámica de transferencia de calor entre los fluidos puede llevarse a cabo, para lo cual se debe cumplir la siguiente igualdad entre los parámetros termodinámicos y de trasferencia de calor.

q = m ⋅ ( hs − he ) = U i ⋅ Ai ⋅ ∆TML ⋅ Fc

Donde los parámetros de transferencia de calor, ubicados a la derecha de la ecuación se analizan a continuación: El coeficiente global de transferencia de calor U i, para los tubos, se evalúa en dos condiciones, la primera asumiendo a los tubos como limpios, esto es sin ninguna incrustación, tomando su ecuación de evaluación la forma siguiente:

d d it ⋅ ln et  1 1  d it  + d it = + U i ∞ i 2 ⋅ kt d et ⋅ ∞ i

La segunda forma que adopta el coeficiente global de transferencia de calor, corresponde a la de tubo incrustado, Uii, donde se considera la existencia de incrustaciones de material sólido presente en los fluidos que se adhieren a la pared del tubo, en el caso de agua se le denomina como sarro y en el caso de gases de combustión se le llama hollín. La presencia de esta capa o capas de incrustaciones, es producto del tiempo, los tipos de fluidos y las condiciones térmicas en que se realiza el intercambio de energía. En la práctica las incrustaciones se comportan como capas aislantes sólidas, los que implica la aparición de nuevas resistencias térmicas al paso del calor y con ello una reducción de la capacidad de intercambio de calor entre los fluidos a medida que transcurre el tiempo. Técnicamente se adoptan dos criterios para considerar el efecto de las incrustaciones, el primero de estos criterios, son tablas de valores que dan cuenta de la reducción porcentual del flujo de calor con respecto al tiempo, los fluidos y las condiciones térmicas del intercambio de calor. Este valor se aplica directamente sobre el coeficiente global de transferencia de calor del tubo limpio, tomando la forma siguiente:

U ii = red ⋅ U i

El segundo criterio utilizado corresponde a tablas de valores donde se obtienen valores para el crecimiento del espesor de una incrustación específica respecto del tiempo, los fluidos y las condiciones térmicas del intercambio de calor. De modo que con estos valores es posible recalcular el coeficiente global de transferencia de calor para el tubo incrustado según la ecuación siguiente:

di 1 = + U ii d ii ⋅ ∞ ii

d d d d i ⋅ ln it  d i ⋅ ln et  d i ⋅ ln ie  d d ii  it     d et  + d i + + 2 ⋅ k ii 2 ⋅ kt 2 ⋅ k ie d ie ⋅ ∞ i

El área de intercambio de calor de los tubos es función de su diámetro, longitud, número de tubos y el número de pasos o veces que un mismo tubo pasa por la carcaza. En términos de ecuación su forma es la siguiente:

Ai = π ⋅ d i ⋅ L ⋅ n ⋅ p

A medida que los fluidos escurren por los tubos y la carcaza, sus temperaturas comienzan a variar, de hecho la diferencia de temperaturas entre los fluidos disminuye dependiendo de su flujo relativo (paralelo o contracorriente) y del tiempo de residencia de los fluidos dentro del intercambiador, de modo que se debe utilizar un valor medio que represente la diferencia de las temperaturas entre los fluidos dentro del intercambiador, a este valor se denomina como temperatura media logarítmica y se evalúa de la manera siguiente:

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR ∆TML =

∆Tc − ∆T f  ∆T  ln c  ∆ T f  

Su aplicación es independiente de dos posibles disposiciones de tubos dentro de la carcaza, las que son las siguientes: Flujo contracorriente

Flujo paralelo Tef

Tsc

T ef Tec

Tsc

T ec

Tsf

Tsf

Tc

Tf

Tc

Tf

El factor de corrección corresponde a una situación análoga a la anterior, pero esta vez originada en la cantidad de veces que el mismo tubo ingresa a la carcaza, lo que se denomina como número de pasos, incrementando con ello su tiempo de residencia y por ende el tiempo en que puede intercambiar calor. Este factor sólo tiene sentido cuando el número de pasos supera a uno, luego si el tubo ingresa una sola vez en la carcaza el factor de corrección es unitario. Para los otros casos, cuando el número de pasos es mayor que uno, el valor del factor de corrección oscila entre 0 y 1. Sin embargo, en el evento que en el intercambiador exista un cambio de fase en uno de los fluidos, luego existe un proceso isotérmico, el factor de corrección se asumirá como unitario, esto es en condesadores, evaporadores, calderas de vapor, etc, el valor del factor de corrección es uno, (Fc = 1). Para todos los demás casos es necesario evaluar el factor de corrección a partir de tablas, de acuerdo a las temperaturas de los fluidos y el arreglo de los tubos, como se indica en las figuras siguientes: Tef Tec T sc Tsf

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR

P=

Tsc − Tec Tef − Tec

R=

Tef − Tsf Tsc − Tec

Tef Tec

Tef Tsc Tsf

P=

Tsc − Tec Tef − Tec

R=

Tef − Tsf Tsc − Tec

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR En la práctica el método más utilizado para el cálculo de intercambiadores de calor sin cambio de fases, es a través del método denominado NTU o número de unidades de calor, las que se define como:

NTU =

Ui ⋅ A ( m ⋅ C p ) min imo

Este método introduce el concepto de eficiencia de intercambiador de calor, el que se define como:

ε=

qint ercambiado q máximo

Donde, considerando a los subíndices: f como frío (fluido de menor temperatura) y c como caliente (fluido de mayor temperatura), e para entrada al intercambiador y s para salida del intercambiador, se tiene que la eficiencia queda en función de la proporción de disponibilidad másica de energía disponible para intercambiase:

ε=

ε=

Tsf − Tef Tec − Tsf

Tec − Tsc Tec − Tef

sí

 f ⋅ C pf < m  c ⋅ C pc m

sí

 f ⋅ C pf > m  c ⋅ C pc m

Finalmente se define a la razón de capacidad como:

CR =

( m ⋅ C ) ( m ⋅ C )

p min imo p máximo

A partir de estas relaciones, se puede evaluar los distintos tipos de arreglo y sentidos de flujo, según se indica a continuación: Flujo paralelo: [ −( C R +1) ⋅NTU ]

ε=

1− e CR +1

NTU =

Flujo paralelo con cambio de fase:

− ln[1 − ( C R + 1) ⋅ ε ] CR + 1

ε = 1 − e [ − NTU ]

NTU = −ln (1 − ε )

1 − e [ − ( 1− CR ) ⋅ NTU ] ε= 1 − C R ⋅ e [ − ( 1− C R ) ⋅ NTU ]

NTU =

Flujo contracorriente:

− ln[ (1 − ε ) (1 − ε ⋅ C R ) ] CR − 1

Flujo contracorriente con cambio de fase:

ε=

NTU 1 + NTU

NTU =

Flujo en intercambiador de dos pasos:

ε=

ε 1−ε

2 1   2 2   − (1+ C R ) ⋅ NTU     1  ( 1 + C R ) + (1 + C R2 ) 2 ⋅ 1 + e  2 12    − (1+ C R ) ⋅ NTU      1 − e  

(

NTU = − 1 + C R2

)

−1

( (

 2 − 1− C − 1+ C2 R R 2 ⋅ ln  ε 2 2 − 1 − C + 1 + C R R  ε

) )

  1  2 

1

2

Una vez determinado el número de unidades de calor, es posible conocer tanto el valor del coeficiente pelicular convectivo medio del escurrimiento, alguna de las temperaturas de ingreso o salida del

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR intercambiador, la cantidad de energía intercambiada y los caudales másicos de fluido para una situación determinada, con la ayuda de la ecuación de concervación de la energía planteada en términos de calores específicos.

m f ⋅ C pf ⋅ (Tsf − Tef ) + m c ⋅ C pc ⋅ ( Tsc − Tec ) = 0

10.

Bibliografía

10.1.- Transferencia de Calor Anthony F. Mills Editorial IRWIN 1ª Edición en castellano, 1994 ISBN 84-8086-194-0 10.2.- Fundamentals of Heat Transfer Alan J. Chapman Macmillan Publishing Company 1ª Edición en inglés, 1987 ISBN 0-02-321600-X 10.3.- Heat Transfer J. P. Holman 5ª Edición en inglés, 1981 McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-029618-9 10.4.- Ahorro de Energía Peter Burberry Herman Blume 1ª Edición en castellano, 1983 ISBN 89-7214-265-5 10.5.- A Heat Transfer Textbook John H. Lienhard Prentice-Hall Inc 1ª Edición en inglés, 1981 ISBN 0-13-385112-5

FREDDY PEREDO ARANIBAR

TRANSFERENCIA DE CALOR 10.6.-

Convective Heat and Mass Transfer W. M. Kays & M. E. Crawford McGraw-Hill Book Company 3ª Edición en inglés, 1993 ISBN 0-07-033721-7 10.7.- Transferencia de Calor Keith Cornwell Editorial Limosa 1ª Edición en castellano, 1981 ISBN 968-181-322-7 10.8.- Heat Transfer Vedat. Arpaci Addison Wesley Publishing Company 1ª Edición en inglés, 1966 10.9.- Numerical Heat Transfer and Fluid Flow Suhas V. Patankar Hemisphere 1ª Edición en inglés, 1980 ISBN 089-1165-22-3 10.10.- Heat Transfer Benjamin Gebhart McGraw-Hill Book Company 2ª Edición en inglés, 1971 10.11.- Transferencia de Calor V. Isachenko, V. Osipova, A. Sukomel Editorial Marcondo 2ª Edición en castellano, 1973 ISBN 84-267-0239-2

FREDDY PEREDO ARANIBAR