Traduccion Yang Huang

FACTORES DE DISEÑO Factores de diseño se pueden dividir en cuatro grandes categorías: el tráfico y la carga, el medio ambiente, los materiales, y los criterios de falla. Los factores a considerar en cada categoría se describen, y cómo el proceso de diseño se ajusta a un sistema general de gestión de pavimentos serán discutidos. 1.4.1 EL TRAFICO Y LA CARGA: El tráfico y la carga de ser considerados incluyen cargas por eje, el número de repeticiones de carga, zonas de neumáticos de contacto, y velocidades de los vehículos. CARGAS POR EJE: La figura 1.13 muestra el espacio entre ruedas de un semi-remolque típico que consiste en un solo eje con ruedas simples, de un solo eje con neumáticos dobles y ejes tándem con neumáticos duales. Para camiones de transporte pesado especiales , ejes tridem que consiste en un conjunto de tres ejes , cada uno espaciados a 48 a 54 pulgadas . ( 1.22-1.37 m) de distancia , también existen . Los espaciamientos de 23 y 13 pies (7 y 4 m ) que se muestra en la Figura 1.13 no debería tener efecto en el diseño del pavimento debido a que las ruedas están tan separados que su efecto sobre el esfuerzo y la tensión debe ser considerado de forma independiente. Si no se utiliza un equivalente de carga de un solo eje , la consideración de múltiples ejes no es un asunto sencillo. El diseño puede ser peligroso si el tándem y ejes tridem son tratados como un grupo y considerado como una repetición. El diseño es demasiado conservadora si cada eje se trata de manera independiente y se considera como una repetición. Un método para el análisis de cargas múltiples ejes se presenta en la Sección 3.1.3 . En el diseño de pavimentos flexibles por la teoría de capas , sólo las ruedas de un lado , dicen en la wheelpath exterior , necesitan ser considerado ; en el diseño de pavimentos rígidos por la teoría de placas , las ruedas de ambos lados , incluso a una distancia de más de 6 pies (1.8 m) de distancia , se suele considerar .

1.4.2 El MEDIO AMBIENTE: Los factores ambientales que influyen en el diseño del pavimento incluyen la temperatura y la precipitación, tanto que afecta a los módulos de elasticidad de las diversas capas. En el método empírico- mecanico de diseño, cada año se puede dividir en un número de períodos, cada uno que tiene un conjunto diferente de la capa de módulos. Se evalúa el daño durante cada periodo y resumir todo el año para determinar la vida útil.

1.4.3 MATERIALES En los métodos empírico-mecanicista de diseño, las propiedades de los materiales se deben especificar, por lo que las respuestas de la acera, como el estrés, tensiones y desplazamientos en los componentes críticos, se puede determinar. Estas respuestas se utilizan a continuación, con los criterios de fallo para predecir si ocurrirán fallos o la probabilidad de que se produzcan fallos. Los detalles de la caracterización de materiales se presentan en el Capítulo 7.

1.4.4 CRITERIOS DE FALLA En los métodos empírico-mecanicista de diseño del pavimento, se debe establecer una serie de criterios de fallo, cada uno dirigido a un tipo específico de dolor,. Esto está en contraste con el método de la AASHTO, que utiliza el índice de la capacidad de servicio (ISP) para indicar las condiciones generales de pavimento. Los criterios de falla de los métodos empírico-mecanicista se describen a continuación. PAVIMENTOS FLEXIBLES En general se acepta que la fisuración por fatiga, ahuellamiento y agrietamiento a baja temperatura son los tres tipos principales de dificultades para ser considerado para el diseño de pavimento flexible. Estos criterios se tratan de forma completa en la Sección 11 .1.4 y se describen brevemente a continuación. EL AGRIETAMIENTO POR FATIGA. El agrietamiento por fatiga de pavimentos flexibles se basa en la deformación por tracción horizontal en la parte inferior de HMA. El criterio de fallo relaciona el número permitido de repeticiones de carga a la deformación por tracción, a través de la prueba de fatiga de laboratorio en muestras pequeñas de HMA. La diferencia en las condiciones geométricas y de carga hace que el número permisible de repeticiones para pavimentos reales mucho mayores que la obtenida a partir de ensayos de laboratorio. Por lo tanto, el criterio de fallo debe incorporar un factor de desplazamiento para dar cuenta de la diferencia. EL AHUELLAMIENTO. El ahuellamiento se produce sólo en pavimentos flexibles, como se indica por la deformación permanente o la profundidad de la huella a lo largo de los wheelpaths. Dos métodos de diseño se han utilizado para controlar la formación de roderas : un límite de la tensión de compresión vertical en la parte superior de la sub-base , y el otro límite de la formación de roderas a una cantidad tolerable , por ejemplo , en 0 0,5 . ( 13 mm ) . El primer método, que requiere un criterio de fallo sobre la base de las correlaciones con las pruebas de carretera o de rendimiento de campo , es mucho más fácil de aplicar y se ha utilizado por Shell Petróleo ( Claussen et al . , 1977 ) y el Instituto del Asfalto ( Shook et al . , 1982 ) . Este método se basa en el argumento de que , si la calidad de los cursos de la superficie y la base es bien controlada , ahuellamiento puede reducirse a una cantidad tolerable mediante la limitación de la vertical esfuerzo de compresión sobre la subrasante. El segundo método , que calcula la profundidad de la

huella directamente , se puede basar en correlaciones empíricas con las pruebas de carretera , tal como se utiliza en PDMAP (Finn et al. , 1986 ) y MICH - PAVE ( Harichandran et al. , 1989 ) o en cálculos teóricos de los parámetros de deformación permanente - de cada capa componente , como incorporados en VESYS ( FHWA , 1978 ) . El método de Shell también incluye un procedimiento para la estimación de profundidad de la huella en el HMA (Shell , 1978 ) . Si celo se debe principalmente a la disminución de los espesores s de las capas de componentes por encima de la sub-base , como se encontró en la Prueba de AASHO Road, el uso de este método debe ser más apropiado. AGRIETAMIENTO POR TEMPERATURA. Este tipo de falla incluye tanto agrietamiento a baja temperatura y agrietamiento por fatiga térmica. Agrietamiento a baja temperatura se asocia generalmente con pavimentos flexibles en las regiones del norte de los Estados Unidos y gran parte de Canadá, donde las temperaturas pueden caer por debajo de -10 ° F (-23 ° C). Agrietamiento por fatiga térmica pueden producirse en regiones mucho más suaves si se utiliza un asfalto excesivamente duro o el asfalto se endurece por envejecimiento.

PAVIMENTOS RIGIDOS. Agrietamiento de fatiga durante mucho tiempo ha sido considerado como el criterio principal o sólo para el diseño de pavimentos rígidos. Sólo recientemente ha sido considerado el bombeo o la erosión. Otros criterios considerados incluyen deterioro fallas y solidaria de JPCP y JRCP y el borde de punchout CRCP. Estos criterios están completamente discutidos en las secciones 12.1.6 y 12.1.2 a través se describen brevemente a continuación. AGRIETAMIENTO POR FATIGA. Agrietamiento por fatiga es muy probablemente causado por el esfuerzo extremo en la mitad de la losa. El número de repeticiones de carga permisible para causar agrietamiento por fatiga depende de la relación de tensiones entre la tensión de tracción a la flexión y el módulo de hormigón de ruptura. Debido a que el diseño se basa en la carga de borde y sólo una pequeña parte de las cargas de tráfico se aplica en el borde del pavimento, el número total de repeticiones de carga debe ser reducida a un número equivalente de cargas en los bordes de manera que se obtiene el mismo daño por fatiga. Este enfoque es diferente del análisis de fatiga de los pavimentos flexibles, en el que un factor de desplazamiento se utiliza para ajustar el número permitido de repeticiones de carga.

BOMBEO O EROSION. Aunque la deformación permanente no se consideran en el diseño de pavimento rígido, la deformación elástica bajo cargas de las ruedas repetidas hará que el bombeo de las losas. Por consiguiente, las deflexiones angulares se han utilizado en la última versión del método PCA (PCA, 1984) como un criterio de la erosión en Además del criterio de la fatiga. La aplicabilidad del método PCA es bastante limitada debido a que se basa en los resultados de la prueba de carretera AASHO, que emplea una sub-base altamente erosionable. Bombeo es causada

por muchos otros factores, tales como tipos de sub-base y sub-base, la precipitación, y el drenaje, por lo que un método más racional para el análisis de bombeo se necesita. OTROS CRITERIOS. Otros tipos principales de estrés en pavimentos rígidos incluyen fallas, desprendimientos, y deterioro de la articulación. Estas aflicciones son difíciles de analizar de manera mecánica, y un gran esfuerzo se ha hecho recientemente en el desarrollo de modelos de regresión para predecir ellos. Estos modelos empíricos son aplicables sólo en las condiciones de las que proceden los modelos. A menos que una extensa base de datos que contiene un número suficiente de las secciones de pavimento con muy diferentes características de diseño está disponible, la utilidad de estos modelos en la práctica puede verse limitada por la gran cantidad de error involucrado. CAP. 2 - ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS FLEXIBLES 2.1 MASA HOMOGENEA La manera más simple para caracterizar el comportamiento de un pavimento flexible bajo cargas de las ruedas es que se considere como un medio - espacio homogéneo . Un medio - espacio tiene una superficie infinitamente grande y una profundidad infinita con un plano superior en la que se aplican las cargas . La teoría original Boussinesq ( 1885) se basó en una carga concentrada aplicada en un medio elástico - espacio. Las tensiones, deformaciones y deflexiones , debido a una carga concentrada pueden ser integrados para obtener los debidos a un área cargada circular . Antes del desarrollo de la teoría de capas por Burmister ( 1943 ) , se ha prestado mucha atención a las soluciones de Boussinesq porque eran los únicos disponibles . La teoría se puede utilizar para determinar las tensiones, deformaciones , y flexiones de la sub-base si la relación de módulo de entre el pavimento y la sub-base es próxima a la unidad , como se ejemplifica por una superficie de asfalto delgada y una base granular fina . Si la relación del módulo es mucho mayor que la unidad , la ecuación debe ser modificado , como se demostró por el método de diseño de Kansas anterior ( Comisión de Kansas State Highway , 1947 ) . La figura 2.1 muestra un medio-espacio homogéneo sometido a una carga circular con un radio a y una presión uniforme q. El medio-espacio tiene un módulo de elasticidad E y una relación de Poisson v. Se muestra un pequeño elemento cilíndrico con centro en una distancia z por debajo de la superficie y r desde el eje de simetría. Debido a la simetría del eje, sólo hay tres tensiones normales, σz, σr, y σt, y una tensión de cizallamiento, τrz, que es igual a τzr. Estas tensiones son funciones de q, r / a, z / a.

2.1.1 SOLUCIONES POR TABLAS Foster y Ahlvin (1954) presentaron tablas para la determinación de la tensión vertical, σz, σr radial estrés, σt esfuerzo tangencial, τrz tensión de cizallamiento, y la desviación vertical w, como se muestra en las Figuras 2.2 a 2.6. La carga se aplica sobre un área circular con un radio a y una intensidad q. Debido coeficiente de Poisson un efecto relativamente pequeño sobre los esfuerzos y deformaciones, Foster y Ahlvin supone que el medio-espacio para ser incompresible con un

coeficiente de Poisson de 0,5, lo que sólo un conjunto de gráficos que se necesita en lugar de uno para cada relación de Poisson. Este trabajo fue posteriormente refinado por Ahlvin y Ulery (1962), que presentó una serie de ecuaciones y tablas de manera que las tensiones, deformaciones y deflexiones para cualquier relación de Poisson dado se pueden calcular. Estas ecuaciones y tablas no se presentan aquí debido a que las soluciones se pueden obtener fácilmente a partir de KENLAYER por Suponiendo que el medio-espacio homogéneo para ser un sistema de dos capas, una de cualquier espesor, pero que tienen el mismo módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson para ambas capas.

EJEMPLO 2.1 La Figura 2.7 muestra un semiespacio homogéneo sometido a dos cargas circulares, cada 10 in. (254 mm) de diámetro y espaciados a 20 in. (508 mm) en los centros. La presión sobre el área circular es de 50 psi (345 kPa). El medio-espacio tiene módulo elástico 10,000 psi (69 MPa) y la relación de Poisson 0.5. Determine el esfuerzo vertical, la tensión, y la deformación en el punto A, que se encuentra en 10. (254 mm) por debajo del centro de un círculo.

EJEMPLO 2.2 Igual que el Ejemplo 2.1, excepto que sólo existe el área cargada izquierda y la relación de Poisson es 0,3, como se muestra en la Figura 2.8. Determinar los esfuerzos, deformaciones , y la deflexión en el punto A. PLACA RIGIDA Todos los análisis anteriores se basan en la suposición de que la carga se aplica en un plato flexible, tal como un neumático de caucho. Si la carga se aplica sobre una placa rígida, tal como el utilizado en una prueba de carga de la placa, la deflexión es la misma en todos los puntos en la placa, pero la distribución de la presión debajo de la placa no es uniforme. Las diferencias entre un flexible y una placa rígida se muestran en la Figura 2.9.

EJEMPLO 2.3 Una prueba de carga de planchas con un plato de 12 pulgadas. (305 mm) de diámetro se llevó a cabo en la superficie de la sub-base, como se muestra en la Figura 2.10. Una carga total de 8.000 libras (35.6 KN) se aplicó a la placa, y una deflexión de 01 in 0. (2,54 mm) se midió. Suponiendo que la sub-base tiene coeficiente de Poisson 0.4, determinar el módulo elástico de la sub-base.

MASA NO LINEAL Las soluciones de Boussinesq se basan en la suposición de que el material que constituye el medioespacio es elástico lineal. Es bien conocido que los suelos de sub-rasante no son elásticos y se someten a deformación permanente bajo cargas estacionarias. Sin embargo, en virtud de la aplicación repetida de las cargas de tráfico en movimiento, la mayor parte de las deformaciones

son recuperables y pueden ser considerados elástica. Por lo tanto, es posible seleccionar un módulo elástico razonables acordes con la velocidad de movimiento de cargas. Linealidad implica la aplicabilidad del principio de superposición, por lo que la constante elástica no debe variar con el estado de tensiones. En otras palabras, la deformación axial de un material elástico lineal bajo una tensión axial debe ser independiente de la presión de confinamiento. Esto no es evidentemente cierto para suelos, debido a su deformación axial depende en gran medida de la magnitud de presiones de confinamiento. Por consiguiente, el efecto de la no linealidad en la solución de Boussinesq es de interés práctico. METODO ITERATIVO

EJEMPLO 2.4 Una carga circular que tiene un radio de 6 in. (152 mm) y la presión de contacto de 80 psi (552 kPa) se aplica sobre la superficie de una sub-base. El suelo de la subrasante es una arena con la relación entre el módulo elástico y la tensión invariante se muestra en la figura 2.12a. El suelo tiene una relación de Poisson 0.3, el peso de la unidad de masa es de 110 libras por pie cúbico (17,3 kN/m3), y el coeficiente de empuje en reposo es de 0,5. El suelo se divide en seis capas, como se muestra en la Figura 2.12b. Determinar el desplazamiento de la superficie vertical en el eje de simetría.

2.2 SISTEMAS DE CAPAS Los pavimentos flexibles son sistemas de capas con materiales de mejor calidad en la parte superior y no pueden ser representados por una masa homogénea, por lo que el uso de la teoría de capas de Burmister es más apropiado. Burmister (1943) primero dio soluciones desarrolladas para un sistema de dos capas y luego de ellos extendió a un sistema de tres capas (Burmister, 1945). Con el advenimiento de los ordenadores, la teoría se puede aplicar a un sistema de múltiples capas con cualquier número de capas (Huang, 1967, 1968a). Figura 2.13 muestra un sistema de n-capa. Las hipótesis básicas que deben cumplir son: 1. Cada capa es homogéneo, isótropo, y linealmente elástico con un módulo de elasticidad E y una relación de Poisson v. 2. El material es ingrávido e infinito en extensión superficial. 3. Cada capa tiene un espesor finito h, excepto que la capa más baja es infinito en espesor.

4. Una presión uniforme q se aplica en la superficie sobre un área circular de radio a. 5. Continuidad condiciones se cumplen en las interfaces de capa, como se indica por el mismo esfuerzo vertical, la tensión de cizallamiento, desplazamiento vertical, y el desplazamiento radial. Para la interfaz sin fricción, la continuidad de la tensión de corte y desplazamiento radial se sustituye por el estrés de cizallamiento cero en cada lado de la interfaz. En esta sección, sólo algunas de las soluciones en dos y tres sistemas de capas con interfaz de unión se presentan. El desarrollo teórico de los sistemas de múltiples capas se discute en el Apéndice B.

2.2.1 SISTEMA DE DOS CAPAS El caso exacto de un sistema de dos capas es la construcción de profundidad completa en la que se coloca una capa gruesa de HMA directamente en la sub-base. Si un pavimento se compone de tres capas (por ejemplo, un curso de asfalto superficie, una capa de base granular, y una sub-base), es necesario combinar la capa de base y la sub-base en una sola capa para el cálculo de las tensiones y deformaciones en el asfalto capa o combinar la capa de rodadura asfáltica y capa de base para el cálculo de las tensiones en la subrasante. ESFUERZO VERTICAL El esfuerzo vertical en la parte superior de la sub-base es un factor importante en el diseño del pavimento . La función de un pavimento es reducir el esfuerzo vertical en la sub-base de modo que no se produzcan deformaciones perjudiciales pavimento . El esfuerzo vertical admisible en una sub-base dada depende de la fuerza o el módulo de la subrasante . Para combinar el efecto de la tensión y la fuerza , la tensión de compresión vertical, se ha usado más frecuentemente como un criterio de diseño . Esta simplificación es válida para carreteras y pavimentos de aeropuertos debido a que la cepa vertical está causada principalmente por el esfuerzo vertical y el efecto de la tensión horizontal es relativamente pequeño . Como se ha señalado en la Sección 1 .5.2 , el diseño de trackbeds ferrocarril debe basarse en la tensión vertical en lugar de cepa vertical, debido a que el gran esfuerzo horizontal causada por la distribución de las cargas de las ruedas a través de rieles y durmientes sobre un área grande hace que la cepa vertical de un mal indicador de la tensión vertical. Las tensiones en un sistema de dos capas dependen de la relación El/E2 módulo y la relación de espesor de radio h1 / a . Figura 2.14 muestra el efecto de una capa de pavimento sobre la distribución de esfuerzos verticales bajo el centro de un área cargada circular . El gráfico es aplicable al caso en que el espesor de la capa de alta 1 es igual al radio del área de contacto , o h1 / a = 1 . Al igual que en todos los gráficos presentados en esta sección , se asume una relación de Poisson de 0.5 para todas las capas . Se puede observar que los esfuerzos verticales disminuyen significativamente con el aumento de la relación de módulos . En la interfaz de pavimento - sub-base , la tensión vertical es de aproximadamente 68 % de la presión aplicada si E1/E2 = 1 , como se indica por la distribución de la tensión de Boussinesq , y reduce a aproximadamente 8 % de la presión aplicada si E2/E2 = 100 . Figura 2.15 muestra el efecto del espesor del pavimento y

la relación del módulo en el σc esfuerzo vertical en la superficie de pavimento - sub-base bajo el centro de un área cargada circular . Para una determinada presión aplicada q , las verticales estrés aumenta con el aumento en el radio de contacto y disminuye con el aumento en el espesor . La razón de que la relación a/H1 en lugar de h1 / A se utilizó es para el propósito de la preparación de tablas de influencia ( Huang , 1969b ) para las fundaciones elásticas de dos capas .

DEFORMACION POR TENSION CRITICA: Los esfuerzos de tracción en la parte inferior de la capa de asfalto se han utilizado como un criterio de diseño para evitar la fisuración por fatiga. Podrían considerarse dos tipos de tensiones principales. Una de ellas es la tensión director general basada en los seis componentes de tensiones normales y de corte. El otro, que es más popular y fue utilizado en KENLAYER, es la tensión principal será horizontal basándose sólo en los esfuerzos normales y cortantes horizontales. La tensión director general es ligeramente mayor que la tensión principal será horizontal, por lo que el uso de la tensión director general es en el lado seguro. Huang (1973a) desarrolló tablas para la determinación de la deformación crítica a la tracción en la parte inferior de la capa 1 para un sistema de dos capas. La deformación crítica a la tracción es la tensión general y puede determinarse a partir de

en la que e es la deformación crítica a la tracción y Fe es el factor de deformación, lo que puede determinarse a partir de los gráficos. SOLO UNA RUEDA Figura 2.21 presenta el factor de tensión para un sistema de dos capas en virtud de un área cargada circular. En la mayoría de los casos, la deformación crítica a la tracción se produce en el centro de la zona de carga, donde el esfuerzo cortante es cero. Sin embargo, cuando ambos h1/a y E1/E2 son pequeñas, la deformación crítica a la tracción se produce a cierta distancia desde el centro, ya que el efecto predominante es la tensión de cizallamiento. En tales situaciones, los principales esfuerzos de tracción a las distancias radiales 0, 0.5a, a y 1.5a desde el centro se calcularon, y se obtuvo el valor crítico y se representan en la Figura 2.21.

EJEMPLO 2.8 La figura 2.22 muestra un pavimento de asfalto de profundidad total de 8 in. (203 mm) de espesor sometidos a una carga de una sola rueda de 9.000 libras (40 kN) que tiene una presión de contacto 67.7 psi (467 kPa). Si el módulo elástico de la capa de asfalto es de 150.000 psi (1,04 GPa) y la de la sub-base es 15.000 psi (104 MPa), determinar la deformación crítica a la tracción en la capa de asfalto.

Es interesante observar que la interfaz unido hace que la deformación por tracción horizontal en la parte inferior de la capa 1 es igual a la deformación por tracción horizontal en la parte superior de la capa 2. Si la capa 2 es incompresible y la deformación crítica a la tracción se produce en el eje de simetría, entonces la tensión de compresión vertical es igual a dos veces la tensión horizontal, como se muestra por la ecuación. 2.21 (como se discute más adelante). Por lo tanto, la figura 2.21 se puede utilizar para determinar la tensión de compresión vertical sobre la superficie de la sub-base así.

CAPITULO 4 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS RIGIDOS 4.1 ESFUERZOS DEBIDO AL RIZADO Durante el día, cuando la temperatura en la parte superior de la losa es mayor que en la parte inferior, la parte superior tiende a expandirse con respecto al eje neutro, mientras que la parte inferior tiende a contraerse. Sin embargo, el peso de la losa lo detiene de expansión y contracción, por lo tanto, se inducen esfuerzos de compresión en la parte superior, esfuerzos de tracción en la parte inferior. Por la noche, cuando la temperatura en la parte superior de la losa es menor que en la parte inferior, la parte superior tiende a contraerse con respecto a la parte inferior, por lo que esfuerzos de tracción se inducen esfuerzos en los superior y la compresión en la parte inferior. Otra explicación de rizar el estrés se puede hacer en términos de la teoría de una placa en un Winkler, o líquido, fundación. Una base Winkler se caracteriza por una serie de resortes unidos a la placa , como se muestra en la Figura 4.1 . Cuando la temperatura en la parte superior es mayor que en la parte inferior , la parte superior es más larga que la parte inferior y los rizos losa hacia abajo . Las aguas en el borde exterior son en la compresión y empuje hasta el losa, mientras que los muelles en el interior están en tensión y tire de la placa hacia abajo. Como resultado , la parte superior de la losa está en compresión y la parte inferior está en tensión . Cuando la temperatura en la parte superior es menor que en la parte inferior , los rizos losa hasta la sala . Los muelles exteriores tirar de la losa hacia abajo mientras que los muelles interiores empujan hasta la losa , lo que resulta en la tensión en la parte superior y la compresión en la parte inferior . Westergaard ( 1926a ) ecuaciones desarrolladas para la determinación de la tensión que se encrespa en pavimentos de hormigón , con base en la teoría de las placas . Las ecuaciones son muy complejos y no se presentan aquí . 4.1.1CURVATURA DE UNA PLACA INFINITA La diferencia entre una viga y una placa es que la viga está estresado en una sola dirección, la placa en dos direcciones. Para esfuerzos en dos direcciones, la deformación

ex, en la dirección x puede ser determinada por la ley de Hooke

generalizada, en la que E es el módulo de elasticidad del hormigón. En este capítulo, cuando se considera sólo una base Winkler, E se utiliza para denotar el módulo elástico del hormigón. En los capítulos posteriores correspondientes a las placas en una base sólida, el módulo de elasticidad del hormigón se denota por E, para distinguirlo del módulo de elasticidad de Fundación Ef. El primer término en el lado derecho de la ecuación. 4.1 indica la deformación en la dirección x causado por la tensión en la dirección x; el segundo término indica la deformación en la dirección x causado por la tensión en la dirección y. Del mismo modo,