Traducción Mas-colell

TOMA DE DECISIONES INDIVIDUALES Una característica distintiva de la teoría microeconómica, es que su objetivo es modelamiento de la actividad económica como una interacción de los diferentes agentes que persiguen sus intereses privados. Por tanto, conviene que comencemos nuestro estudio de la teoría microeconómica con un análisis de la toma de decisiones individuales. El capítulo 1 es corto y preliminares. Consta de una introducción a la teoría de la toma de decisiones individuales consideradas en un marco abstracto. Introduce el tomador de decisiones y su problema de elección, y se describen dos enfoques relacionados con la modelización sus decisiones. Uno, el enfoque basado en preferencias, se supone que el tomador de decisiones tiene una relación de preferencia sobre su conjunto de opciones posibles que satisface ciertos axiomas racionalidad. El otro, el enfoque basado en elecciones, se centra directamente en el comportamiento de elección del tomador de decisiones, la imposición de restricciones consiste en que los axiomas de la racionalidad son en paralelo al enfoque basado en las preferencias. Los capítulos restantes de la primera parte de estudio toma de decisiones individuales en forma explícita el contexto económico. Es común en la microeconomía textos-y este texto no es una excepción- distingue entre dos grupos de agentes en la economía: los consumidores y las empresas. Debido a que los consumidores individuales y empresas de gestión propia y por lo tanto en última instancia, determinar las acciones de una empresa, son en cierto sentido, el elemento más fundamental de un modelo económico. Por lo tanto, comenzamos nuestra revisión de la teoría de la toma de decisiones económicas con un examen de la vista del consumo de la economía. Los capítulos 2 y 3 estudian el comportamiento de los consumidores en una economía de mercado. El capítulo 2 comienza con una descripción problema del consumidor la decisión, se introduce el concepto de función de demanda del consumidor. A continuación, procederá a investigar las implicaciones para la función de demanda de varias propiedades naturales de la demanda de los consumidores. Esta investigación constituye un análisis del comportamiento del consumidor en el espíritu del enfoque basado en elecciones introducido en el capítulo I. En el capítulo 3, se desarrolla el enfoque clásico de preferencias basado en la demanda del consumidor. Temas como la maximización de la utilidad, la minimización de los gastos, la dualidad, integrabilidad y la medición de cambios en el bienestar se estudian allí. También se analiza la relación entre esta teoría y el enfoque basado en elecciones estudiadas en el capítulo 2. En el análisis económico, el comportamiento agregado de los consumidores es a menudo más importante que el comportamiento de cualquier consumidor individual. En el capítulo 4, se analiza el grado en que las propiedades de la demanda individual analizan en los capítulos 2 y 3 también son válidas para la demanda agregada de los consumidores. En el capítulo 5, se estudia el comportamiento de la empresa. Empezamos por plantear el problema de la empresa la decisión, la introducción de sus limitaciones tecnológicas y la asunción de la maximización del beneficio. Una teoría ricos, paralela a la de la demanda de consumo, emerge. En un sentido importante, sin embargo, este análisis constituye un primer paso porque tiene el objetivo de maximización del beneficio como una hipótesis de mantenimiento. En la última sección del capítulo se comentan las circunstancias en que puede ser la maximización de beneficios derivados como el objetivo deseado de los propietarios de la empresa. Capítulo 6 introduce riesgo y la incertidumbre en la teoría de la toma de decisiones individuales. En la mayoría de los problemas de decisión económica, un individuo o las elecciones de empresa no den lugar a resultados completamente seguro. La teoría de la toma de decisiones bajo incertidumbre desarrollada en este capítulo por lo tanto tiene aplicaciones de amplio alcance a los problemas económicos, muchos de los cuales se discuten más adelante en el libro. 1

PREFERENCIA Y ELECCIÓN 1. Introducción En este capítulo, comenzamos nuestro estudio de la teoría de la toma de decisiones individuales, considerando que en un entorno completamente abstracto. Los capítulos restantes de la parte I desarrollar el análisis en el contexto de forma explícita las decisiones económicas. El punto de partida para cualquier problema de decisión individual es un set de posibles alternativas  (mutuamente excluyentes) de las que el individuo debe elegir. En la discusión que sigue, denotamos esta serie de alternativas en forma abstracta por el Sr. X. Por el momento, esta serie puede ser cualquier cosa. Por ejemplo, cuando un individuo se enfrenta a una decisión de carrera que a seguir, las alternativas de X podría ser: (ir a la escuela de derecho, ir a la escuela de posgrado y la economía estudiar, ir a la escuela de negocios, convertirse en una estrella de rock). En los capítulos 2 y 3, si tenemos en cuenta el problema del consumo de decisión, los elementos del conjunto X son las elecciones de consumo posible. Hay dos enfoques diferentes para modelar el comportamiento de elección individual. La primera trata, que se introduce en la sección 1.8, los gustos de los tomadores de decisiones, se resume en su relación de preferenc ia , como la característica primitiva de la persona. La teoría se desarrolla por el primer axioma que imponer la racionalidad en las preferencias de quien toma la decisión y luego analiza las consecuencias de estas preferencias por su conducta de elección (es decir, de las decisiones tomadas). Este enfoque basado en las preferencias es el más tradicional de los dos, y es la que hacemos hincapié en todo el libro. El segundo enfoque, el que desarrollamos en el punto 1.C, trata el comportamiento de elección del individuo como la función primitiva y continúa haciendo suposiciones que afectan directamente a este comportamiento. Una idea central de este enfoque, el axioma débil si las preferencias reveladas, impone un elemento de coherencia en el comportamiento de elección, en un sentido paralelo a la hipótesis de la racionalidad del enfoque basado en las preferencias. Este enfoque basado en elecciones tiene varias características atractivas. Se deja, en principio, de formas más generales de la conducta individual que es posible con el enfoque basado en las preferencias. También hace suposiciones acerca de los objetos que son directamente observables (conducta de elección), más que sobre las cosas que no lo son (las preferencias). Tal vez lo más importante, deja claro que la teoría de la toma de decisiones individuales no deben basarse en un proceso de introspección, pero se puede dar un fundamento por completo del comportamiento Entender la relación entre estos dos enfoques diferentes para modelar el comportamiento individual es de considerable interés. Sección 1D investiga esta cuestión, partiendo en primer lugar las consecuencias del enfoque basado en la preferencia de conducta de elección y, a continuación las condiciones en que la conducta de elección es compatible con la existencia de preferencias subyacentes. (Este es un tema que también aparece en los capítulos 2 y 3 para el entorno más restringido de la demanda del consumidor.) Para un análisis en profundidad, el tratamiento avanzado del material de este capítulo, véase Richter (1971).

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1.B Relaciones de Preferencia (preferencias reveladas) En el enfoque basado en las preferencias, los objetivos de la toma de decisiones son resumidos en una relación de preferencia, que designaremos técnicamente por   es una relación binaria en el conjunto de alternativas X, lo que permite la comparación de pares de alternativas x, y de  X . Leemos x   y como "c es al menos tan buena como y." Desde   podemos deducir dos otras relaciones importantes en X: (i) La relación de preferencia estricta , definido por y  x  y  pero  pero no no y  x

 x

y se lee "x es preferida a y." (ii) La relación de indiferencia , definido por  x

y x y  yx

y se lee "x es indiferente a y." En gran parte de la teoría microeconómica, las preferencias individuales se supone que son racionales. La hipótesis de la racionalidad se plasma en dos supuestos básicos acerca de la relación de preferencia    : completitud y transitividad2 Definición 1.B.1: El relación de preferencia  es racional si posee las dos propiedades siguientes: (i) Completitud: para todos los x,y   X, tenemos que x  y o y  x (o ambos). (ii) Transitividad: Para todos los x,y   X, si x  y, e y  z, entonces x  z. La suposición de que  es completa, dice que el individuo tiene una preferencia bien definida entre dos alternativas posibles. La fuerza de la hipótesis de exhaustividad no se debe subestimar. La introspección revela rápidamente lo difícil que es evaluar las alternativas que están lejos del reino de la experiencia común. Se necesita trabajo y la reflexión seria para averiguar propias preferencias. El axioma de completitud, dice que esta tarea ha tenido lugar: nuestra decisiones solo son hechas en las alternativas meditadas. La transitividad es también una hipótesis fuerte, y va al corazón del concepto de la racionalidad. La transitividad implica que es imposible hacer frente a la toma de decisiones con una secuencia de pares de opciones en las que sus preferencias parecen ciclo: por ejemplo, la sensación de que una manzana es al menos tan bueno como un plátano y una banana que es al menos tan bueno como una naranja, pero luego también prefieren una naranja sobre una manzana. Al igual que la propiedad completitud, la hipótesis de la transitividad puede ser difícil de cumplir en la evaluación de muchas alternativas de experiencia común. En comparación con la propiedad completitud, sin embargo, también es fundamental en el sentido de que partes sustanciales de la teoría económica no iba a sobrevivir si los agentes económicos no tienen las preferencias transitividad. La suposición de que la relación de preferencia    es completa y transitiva tiene implicaciones para la preferencia estricta e relaciones indiferentes y . Estos se resumen en la Proposición 1.B.1, cuya demostración nos olvidamos. (Después de completar esta sección, trata de establecer estas propiedades tu mismo en los Ejercicios 1.B.1 y 1.B.2.) Proposición 1.B.1: 1.B.1: Si   es racional, entonces: (i) (i) es a la vez vez irre irrellllex exiv ive e (x x no tien tiene) e) y tran transi sititiva va (si (si x y e y z, entonces x z). (ii (ii) es refl refle exiva (x x para para tod todo x), tra transit sitiva iva (si (si x y e y z, enton tonces ces x z), y simé simétr tric ica a (si (si x y, ento enton nces y x). (iii) si x y z, entonces x z. El irreflexivity irreflexiv ity de y la reflexividad y la simetría de las propiedades son sensibles la preferencia estricta y de las relaciones indiferencia. El punto más importante en la Proposición 1.B.1 es que la racionalidad de  implica que tanto como son

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transitivas. Además, una propiedad transitiva también se aplica a con una por lo menos tan bueno como 

cuando se combina

Funciones de utilidad En economía, a menudo describen las relaciones de preferencia por medio de una función de utilidad . Una función de utilidad u(x) asigna un valor numérico a cada elemento de X, ocupando elementos de X, de conformidad con las preferencias individuales. Esto se afirma con mayor precisión en la definición 1.B.2. es una función utilidad que representa la Definición 1.B.2: Una función u:  X   relación de preferencias  , para todo x,y   X,  x  y  u( x)  u( y)

Notar que una función de utilidad que representa una relación de preferencia    no es única. Para cualquier función estrictamente creciente f:  , v (x) = f (u (x))  es una función nueva utilidad que representan las mismas preferencias que u (-), ver ejercicio 1.B.3. Esto es sólo el rango de alternativas que importa. Propiedades de las funciones de utilidad que son invariantes para cualquier transformación estrictamente creciente se llaman ordinales . Las propiedades cardinales son las que no se conserva en todas estas transformaciones. Por lo tanto, la relación de preferencia asociada con una función de utilidad es una propiedad ordinal. Por otra parte, los valores numéricos asociados con las alternativas en X, y ahí la magnitud de cualquier diferencia de utilidad medida entre las alternativas, son propiedades cardinales . La capacidad de representar las preferencias por una función de utilidad está estrechamente vinculada a la asunción de la racionalidad. En particular, tenemos el resultado mostrado en la Proposición 1.B.2. Proposición 1.B.2: Una relación de preferencia función de utilidad sólo si es racional.

 

puede ser representada por una

Prueba: Para probar esta proposición, nosotros mostramos que si hay una función de utilidad que representa preferencias  , entonces   debe ser completa y transitiva. Completitud. Debido a que u (•) es una función con valores reales definida sobre X, es preciso que para cualquier x,y   X, cada u(x)  u(y) o u(y)  u(x). Pero debido a que u (.) es una función de utilidad que representa  , lo que implica o bien que x  y o que y  x (recuérdese la definición 1.B.2). Por lo tanto   debe ser completa. La transitividad. Supongamos que x  y e y  z. Debido a que u (.) Representa   debemos tener u(x)  u(y) y u(y)  u(z). Por lo tanto, u(x)  u(z). Debido a que u (-) representa  , esto implica x  z. Por lo tanto, hemos demostrado que si x  y e y  z implica x  z, y así transitividad esté establecida.  Al mismo tiempo, cabe preguntarse, ¿puede alguna preferencia relación racional    ser descrito por una función de utilidad? Resulta que, en general, la respuesta es no. Un ejemplo donde no es posible hacerlo será discutido en la sección 3.G. Un caso en el que siempre puede representar una relación de preferencia racional, con una función de utilidad surge cuando X es finito (véase el ejercicio 5 la sección 1.B.5). Más resultados interesantes representación de utilidad (por ejemplo, para los conjuntos de alternativas que no son finitos) serán presentados en capítulos posteriores.

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1.C Reglas de Elección En el segundo enfoque de la teoría de la toma de decisiones, la conducta de elección en sí es considerado como el objeto primitivo de la teoría. Formalmente, la conducta de elección se representa por medio de una estructura de elección. Una estructura de elección (B, C (.)) Consta de dos ingredientes: (i) B es una familia (un conjunto) de subconjuntos no vacíos de X, es decir, cada elemento de B es un conjunto X. Por analogía con la teoría del consumidor a ser desarrollados en los capítulos 2 y 3, que llamamos los elementos B  B  set de presupuestos. El presupuesto se establecen en el debe ser pensado como una lista exhaustiva de todos los experimentos de elección que el institucional, física, que están restringidos por la situación social concebiblemente puede suponer para la toma de decisiones. No es necesario, sin embargo, incluir todos los posibles subconjuntos de X. De hecho, en el caso de la demanda de los consumidores estudiados en capítulos posteriores, no lo hará. (ii) C (-) es una regla de elección (técnicamente, es una correspondencia) que asigna un conjunto no vacío de elementos elegidos C(B)   B para cada set de presupuestos B  B. Cuando C(B) contiene un solo elemento, ese elemento es la elección del individuo entre las alternativas en B. El set C(B) puede, sin embargo, contener más de un elemento. Cuando esto sucede, los elementos de C(B) son las alternativas en el B que el tomador de decisiones puede ser que elija, es decir, son sus alternativas aceptables en B. En este caso, el conjunto C(B) se puede considerar como conteniendo aquellas alternativas que realmente habría elegido si el tomador de decisiones fueron varias veces para enfrentar el problema de elegir una alternativa de conjunto B. Ejemplo 1.C1: Supongamos que X={x,y,z} y B={(x,y),(x,y,z)}. Una posible estructura de elección es ( B, C1(•)), donde la regla de elección C1 (•) es: C, ({ x, y}) = {x} y C ({x, y, z}) = {x}. En este caso, vemos x elegido sin importar la desición de presupuesta a la cual se enfrenta. Otra opción posible es la estructura ( B, C2(•)), donde el C2 regla de elección C2(.) es: C2({x, y}) = {x} y C2 ({x, y, z} = {x, y} . En este caso, vemos x elegido siempre que el tomador de decisiones tiene los presupuestos {x, y}, pero podemos ver que elige x o y cuando las alternativas de presupuestos son {x, y, z}. Cuando usamos estructuras elección de modelo de comportamiento individual, nostros podemos querer imponer algunas restricciones de “racionalidad”  sobre el comportamiento en la elección de un individuo. Un supuesto importante, el axioma débil de preferencias reveladas [sugirió por primera vez por Samuelson, véase el capítulo 5 de Samuelson (1947)], refleja la expectativa de que las elecciones se observó un individuo mostrará una cierta coherencia. Por ejemplo, si una persona elige alternativa x (y sólo eso) cuando se enfrentan a una elección entre x e y, que se sorprendió al ver a elegir y cuando se enfrentan a una decisión entre x, y, más una tercera alternativa z. La idea es que la elección de x cuando se enfrenta a las alternativas {x, y} revela una inclinación por elegir x sobre y que deberíamos esperar a ver reflejado en el comportamiento del individuo frente a las alternativas {x, y, z} El axioma débil es declarado formalmente en la definición de 1.C.1 Definición 1.C.1: La estructura de la opción ( B, C(•)) satisface el axioma débil de preferencias reveladas si la propiedad se cumple que: Si para algún B  B con x,y   B tenemos x   C(B), entonces para cualquier B ’  B con x, y   B' and y   C (B), también debemos tener x   C(B’).

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Es decir, el axioma débil dice que si x es siempre elegido y cuando está disponible, entonces no puede existir un presupuesto conjunto que contiene las dos alternativas para el cual y se elige and x es no. Nótese cómo el supuesto de que la conducta de elección cumple el axioma débil capta la coherencia de la idea: si C ({x, y}) = {x}, entonces el axioma débil dice que no podemos tener C ({x, y, z}) = {y} Una declaración algo más simple del axioma débil puede obtenerse mediante la definición de una relación de preferencia revelada   de la conducta de elección observada en C (.). Definición 1.C.2: Dada una estructura de elección ( B, C (•)) la relación de preferencia revelada se define por: x  y   hay unos B  B, tal que x, y  B and x   C(B). Leemos x   y como "x revelado es por lo menos tan buena como la Y." Tenga en cuenta que el revelado relación de preferencia no es necesario sean completos o transitivo. En particular, para cualquier par de alternativas x e y sean comparables, es necesario que, para algunos B  B tenemos x, y and cada x   C(B) o y   C(B), o ambas cosas. También podríamos decir que de manera informal "x se revela preferido y" si hay algo de B  B tal que x, y   B, x   C(B), and y  C(B), es decir, si x es cada vez más elegida sobre y cuando ambos son factibles. Con esta terminología, podemos reformular el axio ma débil de la siguiente manera “ Si x es revelado por lo menos tan bueno como y, entonces y no puede ser revelado preferido a x" Ejemplo 1.C.2: ¿Las dos elecciones estructurales consideradas en el ejemplo 1.C.1 satisfacer el axioma débil? Considere la estructura de la opción ( B,C1(•)). Con esta estructura la elección, tenemos x  y and x  z, pero no hay ninguna relación de preferencia revelada que pueda ser inferida entre y and z. Esta estructura cumple el axioma de elección débil debido y and z no son elegidos. Consideremos ahora la estructura de la opción ( B, C2(•)). Debido a C2 ((x, y, z)) = (x, y), tenemos y   x (así como x  y, x  z). Pero debido a C2 ((x, y)) = (x), x se revela preferido a y. Por lo tanto, la estructura de elección ( B,C2) viola el axioma débil. Debemos hacer notar que el axioma débil no es la única hipótesis sobre el comportamiento de elección que nos quiera imponer en cualquier situación particular. Por ejemplo, en la demanda de los consumidores ajuste en el capítulo 2, que imponga condiciones adicionales que surgen de manera natural en ese contexto. El axioma débil restringe la conducta de elección de forma paralela a la utilización del supuesto de racionalidad de las relaciones de preferencia. Esto plantea una pregunta: ¿Cuál es la relación exacta entre los dos enfoques? En la sección de identificación, se explora esta pregunta.

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1.D La relación entre las relaciones de preferencia y normas de elección  Ahora abordaremos dos cuestiones fundamentales sobre la relación entre los dos enfoques expuestos hasta ahora: (i) Si uno toma las decisiones tiene una preferencia racional pedido  , hacer sus decisiones cuando se enfrentan a opciones de conjuntos de presupuesto en B necesariamente genera una estructura de elección que satisface el axioma débil? (ii) Si el comportamiento de elección de un individuo para una familia de un set de presupuesto B es capturado por una estructura de elección ( B, C (.)) satisface el axioma débil, necesariamente existe una relación de preferencia racional que está en consonancia con estas decisiones? Como veremos, las respuestas a estas dos preguntas son, respectivamente, "sí" y "tal vez". Para responder la primera pregunta, supongamos que un individuo tiene una preferencia relación racional    en X. Si este individuo se enfrenta a un subconjunto no vacío de alternativas B c X, su comportamiento es la maximización de preferencias para elegir cualquiera de los elementos del conjunto: C * (B,  ) = { x  B: x   y, para cada y  B) Los elementos del conjunto C* (B,  ) son alternativas de mayor preferencia del tomador de decisiones en B. En principio, podríamos tener C* (B,  ) =   para algún B, pero si X es finito, o si condiciones adecuadas (continuidad) Estar en posesión, entonces C* (B,  ) será no vacio. Desde ahora, vamos a considerar sólo las preferencias y las familias de presupuesto se establecen   tal que C * (B,  ) es no vacío para todo B  B. Decimos que la relación de preferencia racional genera   la estructura de elección ( B, C * (•,  )). El resultado de la Proposición 1.D.1 nos dice que cualquier estructura generada por la elección preferencias racionales necesariamente cumple el axioma débil. Proposición 1.D.1: Supongamos que    es una relación de preferencia racional. A continuación, la estructura generada por la elección  (B, C * (•,  )), cumple el axioma débil. Prueba: Supongamos que para algunos B  B, tenemos x,y   B and x   C*(B,  ). Por la definición de C*(B,  ), esto implica x  y. Para comprobar si el axioma débil tiene sostenimiento, suponemos que para algunos B’ B con x, y  B', tenemos y   C* (B',  ). Esto implica que y  z para todo z  B’ . Pero ya sabemos que x  y. Por lo tanto, por transitividad, x  z para todo z  B’, and para x  C*(B',  ). Esta es precisamente la conclusión de que las demandas axioma débil. • Proposición 1.D.1 constituye el "sí" como respuesta a nuestra primera pregunta. Es decir, si la conducta se genera por las preferencias racionales a continuación cumple los requisitos de coherencia consagrado en el axioma débil. En la otra dirección (de la elección de las preferencias), la relación es más sutil. Para responder a esta segunda cuestión, es útil comenzar con una definición. Definición 1.D.1: Con una estructura de elección ( B, C (•)), decimos que la relación de preferencia racional  racionaliza C (•) relativa a B si: C(B) = C* (B,  ) Para todo B  B, es decir, si

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  genera

la estructura de elección ( B, C(•)).

Es decir, la relación de preferencia racional   racionaliza elección regla C (•) en B si la elección óptima generada por    (capturado por C*( •,  )) coinciden con C(•) para todo set de presupuestos en B). En cierto modo, las preferencias explican el comportamiento, podemos interpretar las opciones del tomador de decisiones como si fuera un maximizador de preferencias. Notar que en general, podemos tener más de una preferencia de racionalización   para determinada estructura de elección ( B, C (.)) (véase el ejercicio 1.D.1). Proposición 1.D.1 implica que el axioma débil deben ser satisfechas si va a haber una relación de preferencia racional. En particular, desde C*(•,  ) cumple el axioma débil para cualquier  , sólo una regla de elección que satisfaga el axioma débil puede ser racionalizada. Resulta, sin embargo, que el axioma débil no es suficiente para garantizar la existencia de una relación de preferencia la racionalización. Ejemplo 1.D.1: Supongamos que X =(x, y, z), B = ((x, y), (y, z), (x, z)), C ((x, y)) = (x), C ((y, z)) = (y), and C((x, z)) = (z). Esta estructura elección cumple el axioma débil (usted debe verificar esto). Sin embargo, no podemos tener la racionalización de las preferencias. Para ver esto, tenga en cuenta que para racionalizar las opciones de (x, y) y (y, z) sería necesario para nosotros tener x  y and y  z. Pero, por transitividad, entonces tendríamos x  z, lo que contradice el comportamiento de elección, en (x, z). Por lo tanto, no puede haber racionalización de la relación de preferencia. Para entender Ejemplo 1.D.1, tenga en cuenta que el set de presupuesto que hay en B, el más débil del axioma restringe la conducta de elección, hay oportunidades simplemente más de las opciones que toma la decisión de contradecirse unos a otros. En el ejemplo 1.D.1, el conjunto (x, y, z) no es un elemento de B. Si esto pasa, esto es crucial (ver Ejercicio 1.D.3). A medida que nos muestran ahora en la Proposición 1.D.2, si la familia del set de presupuesto B incluye subconjuntos suficiente de X, y si ( B, C(•)) satisface el axioma débil, entonces existe una relación de preferencia racional que racionaliza C (.) relativa a la B [esto fue mostrado por primera vez por Arrow (1959)]. Proposición 1.D.2: Si (I, C (•)) es una estructura tal que la elección (i) el axioma débil se cumple, (ii) B incluye todos los subconjuntos de X de hasta tres elementos, Entonces hay una preferencia racional relación que racionaliza C (.) relativa a 2, es decir, C (B) * C = (B,  ) para todo B pertenece a B. Sea Además, esta relación de preferencia racional es la relación de preferencia única que lo hace. Por tanto, podemos concluir desde la Proposición 1.D.2 que para el caso especial en que la elección está definida para todos los subconjuntos de X, una teoría basada en la elección satisfacer el axioma débil es totalmente equivalente a una teoría de la toma de decisiones basadas en las preferencias racionales. Por desgracia, este caso especial es demasiado especial para la economía. En muchas situaciones de interés económico, como la teoría de la demanda de los consumidores, la elección sólo se define para los tipos especiales de conjuntos de presupuesto. En esta configuración, el axioma débil no agota las opciones implicaciones de preferencia racional. Veremos en la sección 3.J sin embargo, que un fortalecimiento del axioma débil (que impone más restricciones a la conducta de elección), establece una condición necesaria y suficiente para que la conducta sea susceptible de ser racionalizada por las preferencias.

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EJERCICIOS 1.B.0 propiedad 'Prove (iii) de la Proposición 1.BI 1.B.2 "Probar las propiedades (i) y (ii) de la Proposición IBI 1.B.3 "Demostrar que si f: R R es una función estrictamente creciente y u: X y es una función de utilidad que representan> preferencia relación, entonces la función v: X --* R definido por v (x) f (u (x)) es también una función de utilidad que representa las preferencias respecto 1.B.4 "Considere a> preferencia racional relación -. Demostrar que si u (x) = u (y) implica xy y si u (x)> u (y) implica x> - r. entonces u (•), es un función de utilidad que representa 1.B.5 "Mostrar que si X es finito y> es una relación de preferencia racional sobre X, entonces existe una función de utilidad es el siguiente: XR que representa> -. [Sugerencia: Considere primero el caso en que el individuo el ranking entre cualquier dos elementos de X es estricta (es decir, nunca hay indiferencia), y construir una función de utilidad que representa estas preferencias, y luego extender su argumento para el caso general.] IC1 "Tenga en cuenta la estructura de la elección (61, C (•)) con A = ((x, y), IX, y,:)) y C ((x, y)) = (x1. Demostrar que si C ( •)) satisface el axioma débil, entonces debemos tener

C ((x, = = 1:4, o  Artículo 1.C.2 "Demostrar que el axioma débil (IC Definición. I) es equivalente a la posesión de propiedades siguientes: Supongamos que B, BE 0.0, que x, B vosotros, y que. X. B. Entonces, si os xe C (B) y C vosotros (8 '), debemos tener y1 c C (B) y IX. y c 1.C.3c Supongamos que la estructura de elección (0, 4, C (•)) satisface el axioma débil. Considere las siguientes dos relaciones posibles reveló preferido. > -* Y n> -*: > -* Y 4 .- hay alguna cama tal que. X. B vosotros, C Xe (B) y v C (B) x> v • • • • • tt r -* pero no y> x donde -*> es el revelado por lo menos--como-bueno-como se define en relación con la definición IC2. (A) Demostrar que> .* y> -** dar la misma relación sobre X, es decir, para cualquier x, y E X. X y .===. > -** Y. ¿Sigue siendo cierto si (AC (•)) no cumple el axioma débil "? (B) tiene> -* ser transitivas? (C) Demostrar que si. Incluye todos los subconjuntos de tres elementos de X, entonces> -* es transitivo. 1.0.1 "Dé un ejemplo de una estructura de decisión que puede ser racionalizada por varias relaciones de preferencia. Tenga en cuenta que si la familia de los presupuestos de  A incluye" todos los subconjuntos de dos elementos de X, entonces no puede haber como máximo una racionalización de relación de preferencia. 16 CAPÍTULO 1: preferencias y elecciones 1.1) 0.2 "Demostrar que si X es finito, entonces cualquier relación de preferencia racional genera una regla de elección no vacío, es decir, C (B) 0 para cualquier B c X con B O. 1.13.3 "Sea X = tx, y, z), y considerar la estructura de elección (9, C (•)) con

yl =, (y,:), y, z)) y C ((x, y)) = (x), C ((y,:)) = (y), y C ((x, z)) = (:), como en el ejemplo IDI Demostrar que (4, C (•)) debe violar el axioma débil. 1.10.4 "Demostrar que una estructura de elección (9, C (•)) para que a> preferencia de la

racionalización de relación - existe satisface la propiedad path-invariancia: Para cada par, B, B, E 9, tales que B, B2 u e y C (B1) C (B2) E;? 6, tenemos C (B, B2 LI) = C (C (B), u C (B2)), es decir, el problema de decisión con seguridad se puede subdividir. Véase Plott (1973) para continuar el debate. I.D.5 (Sea X = Ix, y, z) y (= 9) x, (x)). Supongamos que la opción es ahora estocástico en el sentido de que, para cada ser 9, C (B) es una distribución de frecuencias respecto a otras alternativas en B. Por ejemplo, si B = Ix, y), escribimos C (B) = (C, (B), C ( B)), donde C (B) y C (B) son no negativos números con C (B) C (B) = I. Decimos que la 9

elección estocástica función C (•) se pueden racionalización: ed por las preferencias si

podemos encontrar una distribución de probabilidad Pr durante los seis posibles (estricto) las relaciones de preferencia sobre X tal que para todo, a las 9, C (B) es precisamente la frecuencia de opciones inducida por el profesor. Por ejemplo, si B = y), entonces C (B) = Pr (I> -: xy)). Este concepto se origina en Thurstone (1927), y es de considerable interés econométricos (de hecho, proporciona una teoría para el término de error en la elección observables). (A) Demostrar que la opción C la función estocástica (lx, y)) y = Col, z)) = C ((:, x)) = 1) puede racionalización de las preferencias. (6) Demostrar que la función de elección estocástica Nx, y)) = (y Co, zi) = 0,0) = I) no es racionalizable por las preferencias. (C) Determine el 0 0, es decir,  P  > 0 para todo . En segundo lugar, suponemos que estos precios están más allá de la influencia de los consumidores. Esta es la llamada hipótesis de tomador-precio. En términos generales, este supuesto es probable que sea válida cuando la demanda del consumidor de cualquier producto sólo representa una pequeña fracción de la demanda total de ese bien. La asequibilidad de una canasta de consumo depende de dos cosas: los precios de mercado P=(P1,...,  P  ) y el nivel de consumo de la riqueza (en dólares) w. El consumo de la canasta x ϵ  L   es asequible, si su costo total no sea superior a la riqueza de los consumidores w, es decir, si: p∙x = p1∙x1 +…+ pL∙xL ≤ w

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Figure 2.0.1 (left)

A Walrasian budget

Figure 2.0.2 (right) The effect of a price change on the Walrasian budget set. Figure 2.D.3

The geometric relationship between  p and t h e budget hype rplane.

Esta contracción de accesibilidad financiero económica, cuando se combina con la exigencia de que se encuentran x en el conjunto de consumo  L , implica que el conjunto de paquetes de consumo factible consiste en los elementos del conjunto {x ∈  L : p∙x≤w}. Este conjunto es conocido como el walrasiano, o el presupuesto de competencia establecidas (después de Leon Walras). Definición 2.D.1: El walrasiano, o presupuesto competitivo conjunto  B p w = {x ∈  L : p∙x≤w} es el conjunto de todas las canastas de consumo factibles para el consumidor que se enfrenta el mercado, precios y tiene una riqueza w . ,

El problema del consumidor, dados los precios p y w riqueza, puede enunciarse de la siguiente manera: Elegir un paquete de consumo x desde  B p w . ,

Un presupuesto walrasiano conjunto  B p w , es descrito en la figura 2.D.1 para el caso de L = 2. Para centrarse en el caso en que el consumidor tiene un problema de elección no degenerados, siempre asumimos w > 0 (de otro modo el consumidor puede pagar sólo x=0). El conjunto {x ∈ L : p ∙x≤w} es llamado el hiperplano presupuesto (para el caso de L = 2, ,

la llamamos la línea presupuestaria). Determina el límite superior del presupuesto establecido. Como muestra la figura 2.D.1 indica, la pendiente de la línea presupuestaria cuando L = 2, - (p1/p2), captura el tipo de cambio entre los dos commodities. Si el precio de los 2 commodities disminuye (con p1 y w mantiene fijo), decir a  2 0. La homogeneidad de grado cero, dice que si los precios y la riqueza cambian en la misma proporción, entonces la opción del individuo el consumo no cambia. Para entender esta propiedad, tenga en cuenta que un cambio en los precios y la riqueza a partir de (p, w) a (αp, αw) da lugar a ningún cambio en el conjunto de los consumidores de los haces posible el consumo, es decir,  B p w =  B  p w La homogeneidad de grado cero, dice que la ,



,  

elección del individuo depende sólo de la serie de puntos factibles. Definición 2.E.2: La correspondencia de demanda walrasiano x(p, w) satisface la ley de Walras si para cada p>>0 and w> 0, tenemos p • x = w para todo x ϵ  x (p, w). 15

La ley de Walras, dice que el consumidor gasta totalmente su riqueza. Intuitivamente, esto es una suposición razonable hacer siempre cuando hay algo claramente un bien deseable. La ley de Walras debe entenderse en sentido amplio: el presupuesto del consumidor puede ser un intertemporal, tener en cuenta ahorros hoy para ser usado en compras mañana. ¿Qué ley de Walras dice es que el consumidor gasta sus recursos plenamente largo de su vida. Ejercicio 2.E.1: Supongamos que L = 3, y considerar la función de demanda x (p, w) definido por:

Hacer que esta función de demanda satisfaga la homogeneidad de grado cero una ley Walras cuando β = 1? Y que pasa cuando β ϵ (0,1)? En el capítulo 3, donde la demanda del consumidor x (p, w) se deriva de la maximizaciónción de las preferencias, estas dos propiedades (homogeneidad de grado cero y la satisfacción de la ley de Walras) Están en posesión de circunstancias muy generales. En el resto de este capítulo, sin embargo, simplemente se los toman como hipótesis sobre x(p, w) y explorar sus consecuencias. Una consecuencia práctica de x(p, w) ser homogénea de grado cero se nota de inmediato: Aunque x(p, w) formalmente tiene argumentos L+1, podemos, sin pérdida de generalidad, fijar (normalizar) el nivel de uno de las L+1 variables independientes a un nivel arbitrario. Una normalización común es  p = 1 para algunos . Otro es w = 1 Por lo tanto, el número efectivo de los argumentos en x(p, w) es L. Para el resto de esta sección, se supone que x(p, w) es siempre un solo valor. En este caso, podemos escribir la función x(p, w) en términos de funciones de demanda de productos básicos específicos:

Cuando sea conveniente, también suponemos x (p, w) debe ser continua y diferenciable. Estática Comparativa  A menudo nos interesa analizar como la elección de los consumidores varía con los cambios en su riqueza y de los precios. La exanimación de un cambio en el resultado en respuesta a un cambio en los parámetros económicos subyacentes que se conoce como análisis de estática comparativa.

16

Riqueza efectos Para conocer los precios fijos

 _ 

 p

consumo Engel. Su imagen en

 de la función de la riqueza x(  L 

_ 

 p

, w) se llama función de

, E _    = { x( _  ,w): w>0}, se conoce como la ruta de  p

 p

expansión de la riqueza. La Figura 2.E.1 muestra un sendero de expansión. En cualquier (p, w), la derivada d  x (p, w) / dw se conoce como el efecto de riqueza para el bien . Figure 2.E.1 The wealth expansion path at prices 0.

Un commodities es normal en (p, w) si d x (p, w) / dw ≥ 0 , es decir, la demanda es no decreciente en la riqueza. Si los commodities el efecto riqueza es más bien negativa, entonces se llama inferior al (p, w). Si cada commodities es normal para todo (p, w), entonces decimos que la demanda es normal. El supuesto de la demanda normal tiene sentido si los commodities son grandes agregados (por ejemplo, alimentos, refugio). Pero si son muy desagregados (por ejemplo, todo tipo de zapatos), entonces a causa de la sustitución de bienes de mayor calidad a medida que aumenta la riqueza, los bienes que se convierten en inferiores a cierto nivel de riqueza puede ser puede ser la regla más que la excepción. En notación matricial, los efectos riqueza son representados como sigue:

Precio efectos También podemos preguntar cómo los niveles de consumo de diversos commodities cambian con la variación en precios. Consideremos primero el caso en que L = 2, y supongamos que permiten conservar la riqueza y el precio fijo P1. Figura 2.E.2 representa la función de demanda del bien 2 en función de su propio precio p2 para distintos niveles del precio del bien 1, con la riqueza mantenida constante en la cantidad w. Notar que, como es habitual en la economía, la variable de precio, que aquí es la variable independiente, se mide en el eje vertical, y la 17

cantidad demandada, la variable dependiente, se mide en el eje horizontal. Otra representación útil de la demanda de los consumidores  a precios diferentes en los lugares de puntos exigidos en 2   como rango sobre todos los valores posibles de p2. Esto se conoce como una curva de oferta. Un ejemplo se presenta en la Figura 2.E.3. 



En términos más generales, la derivada  x ( p, w) / pk   se conoce como el efecto sobre los precios de pk, el precio del bien k, en la demanda para el bien . Aunque puede ser natural pensar que una caída en el precio de un bien llevará al consumidor a comprar más de lo mismo (como en la Figura 2.E.3), la situación inversa no es imposible económicamente. El bien se dice que es un bien Giffen en (p, w) si  x ( p, w) / pk  >0. Para la curva de oferta muestra en la Figura 2.E.4, el bien 2 es un bien Giffen con (p, w).

Figure 2.E.2 (top leli)

The demand for good 2 as a function of its price (for various levels of p,).

Figure 2.E.3 (top right) An

offer curve.

Figure 2.E.4 (bottom)

 An

offer curve where good 2 is inferior at (fi. w).

Los productos de baja calidad pueden muy bien ser bienes Giffen para los consumidores con bajos niveles de riqueza. Por ejemplo, imagine que un consumidor pobre inicialmente está cumpliendo con gran parte de sus necesidades alimentarias con papas porque son una manera de bajo costo para evitar el hambre. Si el precio de las papas se cae, entonces puede darse el lujo de comprar otros, alimentos más deseables que también le impide tener hambre. Su consumo del bien papas puede caer como consecuencia de ello. Tenga en cuenta que el mecanismo que conduce a las patatas a ser un bien Giffen en esta historia implica una consideración de la riqueza: Cuando el precio de las patatas cae, el consumidor es efectivamente más rico (el puede darse el lujo de comprar más en general), así que compra menos las patatas. Vamos a investigar esta interacción entre el precio y los efectos de riqueza más ampliamente en el resto de este capítulo y en el capítulo 3.

18

Los efectos de los precios están convenientemente representados en forma matricial como sigue:

Implicaciones de la homo geneidad   de

la ley de Walras para el precio y los efectos

riqueza La homogeneidad y la ley de Walras implican ciertas restricciones sobre los efectos de estática comparación de la demanda de los consumidores con respecto a los precios y la riqueza. Consideremos, en primer lugar, las implicaciones de homogeneidad de grado cero. Sabemos que x( αp, αw) - x(p, w) = 0 para todo α> 0. Diferenciando esta expresión con respecto a α, y evaluando la derivada en α  = 1, obtenemos los resultados mostrados en la Proposición 2.E.1 (el resultado es también un caso especial de la fórmula de Euler, vea Sección MB del apéndice matemático para más detalles). Proposición 2.E.1: Si la función de demanda walrasiana x(p, w) es homogénea de grado cero, entonces para todo p y w:

 Así, la homogeneidad de grado cero implica que el precio y la riqueza derivada de la demanda de algún bien , cuando ponderada por estos precios y la riqueza, suman cero. Intuitivamente, esta ponderación se debe a que al aumentar todos los precios y la riqueza en forma proporcional, cada una de estas variables cambia en proporción a su nivel inicial. También podemos reformular la ecuación (2.E.1) en términos de las elasticidades de demanda con respecto a los precios y la riqueza. Estos se definen, respectivamente, por

19

Estas elasticidades dan porcentaje de cambio en la demanda del bien (marginal) por cambio porcentual en el precio del bien k o la riqueza; tenga en cuenta que la expresión de  lw (• , •) se puede leer como ( ∆x / x)/(∆w / w). Las elasticidades surgen con mucha frecuencia en el trabajo aplicado. A diferencia de las derivadas de la demanda, las elasticidades son independientes de las unidades elegidas para medir los productos básicos y por lo tanto proporciona una forma libre de la unidad de captura de sensibilidad a la demanda. Usando las elasticidades, la condición (2.E.1) toma la forma siguiente:

Esta formulación expresa de manera muy directa la implicación estática comparativa de homogeneidad de grado cero: Un cambio porcentual igual en todos los precios y la riqueza no conduce a ningún cambio en la demanda. La ley de Walras, por su parte, tiene dos consecuencias para el precio y efectos sobre la r iqueza de la demanda. Por ley de Walras, sabemos que p • x ( p, w) = w para todo p y w. Diferenciando esta expresión con respecto a los precios, rendimientos los primeros resultados presentados en la Proposición 2.E.2 Proposición 2.E.2: Si la función de demanda walrasiano x(p, w) satisface la ley de Walras, entonces para todo p y w:

Del mismo modo, diferenciando p • x (p, w) = w con respecto a w, tenemos el segundo resultado, que se muestra en la Proposición 2.E.3. Proposición 2.E.3: Si la función de demanda walrasiano x (p, w) satisface la ley de Walras, entonces para todo p y w:

Las condiciones derivadas de 2.E.2 Propuestas y 2.E.3 a veces se llaman las propiedades de Cournot y la agregación de Engel , respectivamente. Son simplemente las versiones diferenciales de dos hechos: que el gasto total no se puede cambiar en respuesta a un cambio en los precios y que el gasto total debe cambiar por una cantidad igual a cualquier cambio de riqueza.

20

Ejercicio 2.E.2: Demostrar que las ecuaciones (2.E.4) y (2.E.6) conducen a las fórmulas de la elasticidad de los dos siguientes:

es la parte del presupuesto de gastos de los consumidores en el bien precios p y la riqueza w.

, dados los

2.F El axioma débil de preferencias reveladas y la ley de la demanda En esta sección, se estudian las implicaciones del axioma débil de preferencia revelada de la demanda de los consumidores. A lo largo del análisis, se seguirán asumiendo que x(p, w) es de valor único y homogéneo de grado cero, y cumple la ley Walras. El axioma débil ya se introdujo en la sección 1.C como un axioma la coherencia del enfoque basado en elecciones a la teoría de decisión. En esta sección, se explora sus implicaciones para el comportamiento de la demanda de un consumidor. En el enfoque de preferencia basado en el comportamiento del consumidor que se estudiará en el capítulo 3, la demanda necesariamente cumple el axioma débil. Por lo tanto, los resultados presentados en el capítulo 3, en comparación con los de esta sección, nos dirá cuánto más la estructura se impone a la demanda del consumidor por el enfoque basado en las preferencias más allá de lo que implica el axioma débil solo. En el contexto de las funciones de demanda walrasiano, el axioma débil toma la forma se indica en el 2.F.1 Definición Definición 2.F.1: La función de demanda walrasiano x(p, w) satisface el axioma débil de preferencias reveladas (la WA), si la propiedad se cumple que para cualquier par de situaciones de riqueza de precios (p, w) y (p ', w '): Si p ∙ x(p', w') ≤ w y x(p’, w') ≠ x(p, w), y luego p '• x(p, w)> w'. Si ya ha estudiado el capítulo 1, usted reconocerá que esta definición es, precisamente, la especialización del estado general del axioma débil presentado en la sección 1.C en el contexto en el que establece el presupuesto son walrasiano y x (p, w) especifica una opción única (véase 2.F.1 Ejercicio). En el entorno demanda de los consumidores, la idea detrás de la débil axioma se puede poner de la siguiente manera: Si p • x(p', w') ≤ w y x (p ', w') ≠ x (p, w), entonces sabemos que frente a los precios p y la riqueza w, el consumidor eligió canasta de consumo x(p, w) a pesar de que la canasta x(p', w') fue también asequible. Podemos interpretar esta elección como "revelar" una preferencia por x(p, w) sobre x(p', w'). Ahora, podemos razonablemente esperar que el consumidor para mostrar cierta consistencia en su comportamiento de la demanda. En particular, dada su preferencia revelada, esperamos que él escogería x(p, w) sobre x(p', w') cuando ambos son asequibles. Si es así, la canasta x(p, w) no deben ser asequibles en la combinación precio-riqueza (p ’, w') en el que el consumidor elige la canasta x(p', w'). Es decir, como lo exige el axioma débil, debemos tener p '• x (p, w)> w'. 21

La restricción en el comportamiento de la demanda impuesta por el axioma débil cuando L= 2 se ilustra en la Figura 2.F.1. Cada diagrama muestra dos conjuntos de presupuesto  B p ' w '  and  B p '' w ''  y su correspondiente elección x(p', w') and x(p ’’, w "). El axioma débil nos dice que no podemos tener ambos p'• x (p’’, w ")≤ w' and p" • x(p', w')≤  w ". Los paneles (a) a (c) representan situaciones admisibles, mientras que la demanda en los paneles (d) y (e) viola el axioma débil. Consecuencias del Axioma Débil El axioma débil tiene repercusiones importantes para los efectos de los cambios de precios en la demanda. Tenemos que concentrarnos, sin embargo, en un tipo especial de cambio de precio. Como la discusión de los bienes Giffen en la sección 2.E, los cambios de precios afectan al consumidor de dos formas. En primer lugar, si alteran el costo relativo de las diferentes mercancías. Pero, por otra parte, también cambian la riqueza real del consumidor: Un aumento en el precio de una mercancía empobrece a los consumidores de ese producto. Para estudiar las implicaciones del axioma débil, tenemos que aislar el primer efecto. Una forma de lograr esto es imaginar una situación en la cual un cambio en los precios es acompañado por un cambio en la riqueza del consumidor, que hace su canasta de consumo inicial sólo asequible a los nuevos precios. Es decir, si el consumidor esta originalmente frente a precios p y w riqueza y elige canasta de consumo x(p, w), entonces cuando los precios cambian a p', nos imaginamos que la riqueza de los consumidores se ajusta a w' = p'• x (p, w). Así, el ajuste riqueza es ∆w =∆p∙ x(p, w), donde ∆p = (p’ - p). Este tipo de ajuste de la riqueza que se conoce como la riqueza de compensación de Slutsky. Figura 2.F.2 muestra el cambio en el presupuesto que figura en una reducción en el precio del bien 1 desde p1 a p’1 es la riqueza mediante una compensación de Slutsky.

Geométricamente, la restricción es que el hiperplano presupuestarias correspondientes a (p’, w') que pasa por el vector x(p, w).

Nos referimos a los cambios de precios que están acompañados por cambios tan compensadores como cambios en la riqueza (Slutsky) compensando cambios en los precios. En la Proposición 2.F.1, se muestra que el axioma débil puede ser equivalente a los términos establecidos de la respuesta de la demanda a los precios compensados.

22

Figure 2.F.1

Demand in panels (a) to (c) satisfies the weak axiom; demand in panels (d) (Ind (e) does not.

Proposición 2.F.1: Supongamos que la función de demanda walrasiano x(p, w) es homogénea de grado cero y cumple la ley de Walras. Entonces x(p, w) satisface el axioma débil si y sólo si posee la propiedad siguiente: Para cualquier cambio de precio compensado de una situación inicial (p, w) para un nuevo par precio-riqueza (p’, w') = (p’, p •' x (p, w)), tenemos : (p '- p) • [x(p',w’) - x(p,w)] ≤0 (2.F.1) con desigualdad estricta siempre que x(p, w) ≠ x(p', w'). Demostración: (i) El axioma débil implica la desigualdad (2.F.1), con desigualdad estricta si x(p, w) ≠ x(p', w') . El resultado es inmediato si x(p ', w') = x(p, w), entonces (p'- p) • [x(p', w') - x(p, w)] = 0. Así que supongamos que x(p, w) ≠ x(p', w') . El lado izquierdo de la desigualdad (2.F.1) se puede escribir como (p'- p) • [x(p', w') - x(p, w)] = p' • [x(p', w') - x(p, w)] - p • [x(p', w') - x(p, w)]

(2.F.2)

Consideremos el primer término de (2.F.2). Debido a que el cambio de p a p’ es un cambio de precio compensado, sabemos que: p' • x(p, w) = w'. Además, la ley de Walras nos dice que w’ = p'• x(p', w '). Por lo tanto p’• [x (p', w ') - x(p, w)] = 0.

(2.F.3)

Consideremos ahora el segundo término de (2.F.2). Dado que p'• x(p, w) = w', x(p, w) es accesible de acuerdo con situación de los precios- riqueza (p’, w'). El axioma débil por lo 23

tanto implica que x(p ’, w’) no debe ser accesible de acuerdo con situación de los preciosriqueza (p, w). Por lo tanto, debemos tener p • x(p', w') > w. • Dado que p• x (p, w) = w por la ley de Walras, esto implica que p’ • [x(p', w’) - x(p, w)] > 0

(2.F.4)

Juntos, (2.F.2), (2.F.3) y (2.F.4) llegan al resultado. (ii) El axioma débil es implicada por (2.F.1) de la posesión de todos los cambios en los  precios compensados, con desigualdad estricta si x(p, w) ≠ x(p', w'). El argumento de esta dirección de la demostración se utiliza el hecho siguiente: El axioma débil se da si y sólo si se mantiene para todos los cambios en los precios compensados. Es decir, el axioma débil se cumple si, para dos pares de la riqueza de precios (p, w) y (p', w'), tenemos que  p'• x(p, w) > w' siempre que p ∙  x(p', w') = w and x(p', w') ≠  x(p, w).

Una vez que sabemos que usar para probar el axioma débil es suficiente con considerar sólo el cambio de precios compensados, el razonamiento restante es sencillo. Si el axioma débil no se sostiene, existe una compensación en el cambio de precios desde algún (p', w’) a algún (p, w) tal que x(p, w) ≠ x (p’, x’), p • x(p', w') = w, and p' ∙ x(p, w)≤ w'. Pero como x (•,• ) satisface la ley de Walras, estas dos desigualdades implican: p • [ x(p ', w') - x(p, w)] = 0

and

p’• [x(p, w’) – x(p, w)] ≥ 0.

Por lo tanto, tendríamos que (p’ - p) • [x(p', w') - x(p, w)] ≥ 0

and

x(p, w) ≠ x(p', w'),

Lo cual es una contradicción a (2.F.1) sostenido para todos los cambios en los precios compensados [y con desigualdad estricta cuando x(p, w) ≠ x(p', w’)]. La desigualdad (2.F.1) se puede escribir en taquigrafía como ∆p • ∆x ≤ 0, donde ∆p = (p’ p) y ∆x = [x(p', w') - x(p, w)]. Se puede interpretar como una forma de la ley de la demanda: La demanda y el precio de más en direcciones opuestas. Proposición 2.F.1 nos dice que la ley de la demanda es válida para compensar los cambios de precios. Por tanto, la llamamos la ley de la demanda compensada . El caso más sencillo consiste en el efecto sobre la demanda de algún bien de una compensación cambio en su propio precio  p . Cuando sólo se presentan cambios en los precios, tenemos ∆p = (0,…, 0, ∆  p , 0,…, 0). Desde ∆  p ∙ ∆x = ∆  p ∆ x , la Proposición 2.F.1 nos dice que si ∆  p > 0, entonces debe tener ∆ x   < 0. El argumento básico se ilustra en la Figura 2.F.4. A partir de las (p, w), una disminución se compensa en el precio del bien 1 rotando a través de la línea presupuestaria de x(p, w). El WA permite movimientos de la demanda sólo en la dirección que aumenta la demanda del bien 1. La figura 2.F.5 puede persuadirlo a usted que el WA (o, por lo demás, la hipótesis de la maximización de las preferencias en el capítulo 3) no es suficiente para producir la ley de la demanda para cambios en los precios que no están compensadas. En la figura, la variación del precio de p a p' se obtiene una disminución en el precio del bien 1, pero el axioma débil no impone ninguna restricción a donde colocar la canasta de consumo nuevos, tal como constan, la demanda del bien 1 cae.

24

Cuando la demanda del consumidor x(p, w) es una función diferenciable de los precios y la riqueza, la Proposición 2.F.1 tiene una implicación diferencial que es de gran importancia. Consideremos, a partir de un par determinado precio-riqueza (p, w), un cambio diferencial de los precios dp. Imaginemos que hacemos un cambio de esta compensación de precios, dando la compensación al consumo de los dw = x(p, w) • dp [esto es sólo el analógico diferencial de ∆w = x(p, w) • ∆p]. La Proposición 2.F.1 nos dice: dp • dx < 0

(2.F.5)

 Ahora, usando la regla de la cadena, el cambio diferencial de la demanda inducida por este cambio de precio compensado, se puede escribir como:

Por último, sustituyendo (2.F.8) en (2.F.5) llegamos a la conclusión que para cualquier posible cambio diferencial dp de precios, tenemos:

La expresión entre corchetes en la condición (2.F.9) es matriz una L x L, que se denota por S (p, w). Formalmente

25

La matriz S(p, w) se conoce como la sustitución, o Slutsky, matriz y sus elementos son conocidos como los efectos de sustitución. La sustitución de "la terminología es apropiado porque los términos  s k  ( p, w) mide el cambio diferencial en el consumo de commodities (es decir, la sustitución a o desde otros commodities), debido a un cambio diferencial en el precio de los commodities k cuando la riqueza se ajusta para que el consumidor puede permitirse su canasta de consumo original (es decir, únicamente debido a una modificación de los precios relativos). Para ver esto, tenga en cuenta que el cambio en la demanda del bien si la riqueza no se modifica es ( x ( p, w) / pk )pk  . Para que el consumidor sea capaz de "darse el lujo simplemente" su canasta de consumo original, su riqueza deberá variar la cantidad  xk ( p, w)dpk  . El efecto de este cambio la riqueza de la demanda para el bien es entonces ( x ( p, w) / w)[ xk ( p , w)dpk  ] . La suma de estos dos efectos es por lo tanto exactamente  s k ( p, w)dpk  . Resumimos la derivación de las ecuaciones (2.F.5) a (2.F.10) en la Proposición 2.F.2. Proposición 2.F.2: Si una función diferenciable de la demanda walrasiano x(p, w) satisface la ley de Walras, homogeneidad de grado cero y el axioma débil, entonces a cualquier (p, w), la matriz de Slutsky S (p, w) satisface v • S (p, w) ≤ 0 para cualquier v ∈  L . Una matriz de satisfacer la propiedad en la Proposición 2.F.2 se llama semidefinida negativa (es definida negativa si la desigualdad es estricta para todo v ≠  0). Vea la Sección MD del apéndice matemático para más información sobre estas matrices. Tenga en cuenta que S(p, w) sea semidefinida negativa implica que  s (p, w) ≤ 0: Es decir, el efecto sustitución del bien con respecto a su precio siempre es no positivo. Una implicación interesante de  s (p, w) ≤ 0 es que un bien puede ser un bien Giffen al (p, w) sólo si es inferior. En particular, desde

Para tener una referencia más adelante, tomamos nota de que la Proposición 2.F.2 no implica, en general, que la matriz S(p, w) es simétrica. Para L = 2, S(p, w) es necesariamente simétrica (que se que muestra en el ejercicio 2.F.11). Cuando L> 2, sin embargo, S(p, w) no tiene por qué ser simétrica bajo los supuestos realizados hasta la fecha (homogeneidad de grado cero, la ley de Walras, y el axioma débil ). Véanse los ejercicios 2.F.10 and 2.F.15 y ejemplos. En el Capítulo 3 (Sección 3.H), veremos que la simetría de S(p, w) está íntimamente ligada a la posibilidad de generar la demanda de la maximización de las preferencias racionales.  Aprovechar más las propiedades de homogeneidad de grado cero y la ley de Walras, podemos decir un poco más acerca de la sustitución de la matriz S(p, w). Proposición 2.F.3: Supongamos que la función demanda Walrasiana x(p, w) es diferenciable, homogénea de grado cero, y satisface la ley de Walras. Entonces p ∙ S(p,

w) = 0 and S(p, w)p = 0 para cualquier (p, w).

26

Ejercicio 2.F.7: Pruebe 2.F.3 Proposición. [Sugerencia: propuestas para utilizar 2.E.1 2.E.3.] Se desprende de la Proposición 2.F.3 que la matriz S(p, w) es siempre singular (es decir, que tiene rango inferior a L), por lo que el semidefinida negativas de S(p, w), establecido en la Proposición 2.F.2 no se puede extender a definida negativa (por ejemplo, véase el ejercicio 2.F.17). La Proposición 2.F.2 establece semidefinida negativa de S(p, w) como una consecuencia necesaria del axioma débil. Uno podría preguntarse: ¿Es esta la propiedad suficiente para implicar la WA [para que semidefinida negativa de S (p, w) es en realidad equivalente a la WA]? Es decir, si tenemos una función de demanda x(p, w) que cumple la ley de Walras, la homogeneidad de grado cero y tiene una sustitución de la matriz semidefinida negativa, debe satisfacer el axioma débil? La respuesta es casi, pero no del todo. Ejercicio 2.F.16 proporciona un ejemplo de una función de demanda con una matriz de sustitución semidefinida negativa que viola los WA. La condición suficiente es que v •   S(p, w)v x La suposición de que las preferencias son monótonas se cumple siempre y cuando los commodities son "bienes" en lugar de "males". Aun cuando algunos de los commodities es un mal, sin embargo, todavía puede ser capaz de ver las preferencias como monótona porque a menudo es posible redefinir una actividad de consumo de una manera que satisface la suposición. Por ejemplo, si una mercancía es basura, que puede definir el consumo en lugar del individuo sobre la "ausencia de basura". Tenga en cuenta que si ≥ es monótona, podemos tener la indiferencia con respecto a un aumento en la cantidad de algunos pero no todos los productos básicos. Por el contrario, montonicity fuerte dice que si y es mayor que x para algunos commodities y no es menos para cualquier otro, entonces y es estríctamente preferida a x. Durante gran parte de la teoría, sin embargo, un supuesto de conveniencia más débil que monotonía, conocido como insatisfacciones locales, en realidad basta. Definición 3.B.3: La relación de preferencia ≥ en X es localmente insatisfactoria si para cada x ∈ X y todo ε > 0, esto es y ϵ X tal que IIy - xll ≤ ε and y > x. En el estudio de las preferencias a nivel local insatisfechas que se muestra en la Figura 3.B.1 para el caso en el que  x   L . Se dice que para cada canasta de consumo  x 

 L 

 and alguna distancia arbitrariamente pequeña lejos de x, denotado por ε > 0, hay

otra canasta y   L , dentro de esta distancia de x que se prefiere a x. Tenga en cuenta que la canasta y puede incluso tener menos de cada mercancía que x, como se muestra en la figura. Sin embargo, cuando X =  L las reglas de insatisfacción local a la situación extrema en la que todos los bienes son males, ya que en ese caso no debe haber consumo en absoluto (el punto x = 0) sería un punto de saciedad.

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Ejercicio 3.B.1: Mostrar el texto siguiente: (A) Si ≥ estrictamente monotona, entonces es monótona. (B) Si ≥ es monótona, entonces es localmente no saciado. Dada la relación de preferencia ≥ and una canasta de consumo x, podemos definir tres grupos relacionados con el consumo de los paquetes. La indiferencia conjunto que contiene el punto x es el conjunto de todos los paquetes que son indiferentes a x; formalmente es (y ϵ X: y ~ x). El contorno superior conjunto de la canasta x es el conjunto de todos los paquetes que sean al menos tan buena como x: (y ϵ X: y ≥ x). El contorno inferior conjunto de x es el conjunto de todos los paquetes que x es al menos tan buena como: (y ϵ X: x ≥ y). Una implicación de nonsatiation local (y, por ende, de monotonicidad) es que se excluye "de espesor" establece la indiferencia. La indiferencia establecido en la figura 3.B.2 (a) no puede satisfacer nonsatiation local porque, si lo hiciera, no habría un mejor punto de x en el círculo dibujado. Por el contrario, la indiferencia establecido en la figura 3.B.2 (b) es compatible con nonsatiation local. La Figura 3.B.2 (b) también muestra la parte superior e inferior del contorno de los conjuntos de x. (ii) hipótesis de convexidad. Un segundo supuesto importante, el de la convexidad de ≥, se refiere a las compensaciones que el consumidor está dispuesto a hacer entre los diferentes productos.

3.B.4 Definición: El relación de preferencia ≥ sobre X es convexo si para cada x ∈ X, el conjunto contorno superior {y ∈ X: y ≥ x }  es convexa, es decir, si y ≥ x and z ≥ x, entonces αy + (1 - α)z ≥ x para cualquier α ∈ [0, 1]. La Figura 3.B.3 (a) muestra un contorno superior convexo; La figura 3.B.3 (b) muestra un conjunto de curvas de nivel superior que no es convexo. Convexidad es una hipótesis fuerte, pero central en la economía. Se puede interpretar en términos de disminución de la tasa marginal de sustitución : Es decir, con preferencias convexas, de cualquier situación consumo inicial x, y para cualquiera de los dos commodities, toma cada vez más grandes cantidades de una mercancía para compensar las pérdidas unidad sucesiva de los otros. La Convexidad también puede ser visto como la expresión formal de una disposición básica de los agentes económicos para la diversificación. De hecho, en virtud de la 32

convexidad, si x es indiferente a y, entonces x/2 + y/2, la mezcla de mitad y mitad de x e y, no puede ser peor que cualquiera de x o y. En el capítulo 6, vamos a dar una interpretación de diversificación en términos de comportamiento en situaciones de incertidumbre. El gusto por la diversificación es un rasgo realista de la vida económica. La teoría económica estaría en serias dificultades si esta propensión postulado para diversificación no tenía contenido descriptivo importante. Pero no hay duda de que uno puede pensar en situaciones donde la elección en que se viola. Por ejemplo, usted puede tener gusto la leche y el jugo de naranja, pero obtienen menos placer de una mezcla de los dos. Definición 3.B.4 se han expresado para un consumo general establecido X. Sin embargo, de facto, la hipótesis de convexidad puede contener sólo si X es convexo. Por lo tanto, las normas de los productos básicos están hipótesis de consumo sólo en cantidades enteras o situaciones como la que se presenta en la Figura 2.C.3.  Aunque la hipótesis de convexidad de las preferencias puede parecer fuerte, este aspecto debe ser calificada en dos aspectos: En primer lugar, un buen número (aunque no todos) de los resultados de este capítulo se extienden sin modificación en el caso no convexo. En segundo lugar, como se muestra en el Apéndice A del capítulo 4 y en la sección 17.1, nonconvexities menudo se pueden incorporar en la teoría mediante la explotación de la regularización de los efectos de agregación a través de los consumidores. También hacemos uso a veces hasta de fortalecimiento de la hipótesis de convexidad. Definición 3.6.5: El relación de preferencia ≥  sobre X es estrictamente convexa si para cada x se tiene que y ≥ x, z ≥ x and y ≠ z implica αy (1 - α) z > x para todos los α ϵ (0, 1).

En la Figura 3.B.3 (a) mostraron preferencias estrictamente convexas. En la figura 3.B.4, en cambio, las preferencias, aunque convexo, no son estrictamente convexa. En las aplicaciones (especialmente las de carácter econométrico), es común que se centre en las preferencias de las que es posible deducir la relación de la preferencia del 33

consumidor toda la indiferencia de un conjunto único. Dos ejemplos son las clases de preferencias homotéticas y casi lineales. Definición 3.B.6: Una monótona relación de preferencia ≥ en X =  L , es homotética si todos los conjuntos de indiferencia son relacionados por la expansión proporcional a lo largo de los rayos, es decir, si x ~ y, entonces ∝x ~ ∝y para cualquier ∝ ≥ 0. La figura 3.B.5 describe un relación de preferencia homotética Definición 3.B.7: La relación de preferencia ≥  en X = (-∞, ∞) x  L1   es casi lineal con respecto a los Commodities1 (denominado, en este caso, el commodities numerario) en caso de (i) Todos los conjuntos de indiferencia son paralelas de desplazamientos entre sí a lo largo del eje del commodities 1. Es decir, si x ~ y, entonces (x + ∝e1) ~ (y + ∝e1) para el e1 = (1,0… 0) para cualquier ∝ ∈ R. (ii) Bueno 1 es deseable, o sea, x + ∝e1 > x para todo x and ∝ > 0. Tenga en cuenta que, en la definición 3.B.7, suponemos que no hay límite inferior en el consumo posible de la primera mercancía [el conjunto de consumo es (- ∞, ∞) x  L1 ]. Este supuesto es conveniente en el caso de las preferencias de casi lineal (El ejercicio 3.D.4 ilustra el por qué). La figura 3.B.6 muestra una relación de preferencia cuasi-lineal.

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3.0 Preferencia y utilidad  A efectos analíticos, es muy útil que podemos resumir las preferencias del consumidor por medio de una función de utilidad, pues las técnicas de programación matemática se puede utilizar para resolver el problema del consumidor. En esta sección, cuando este estudio se puede hacer. Desafortunadamente, con las hipótesis formuladas hasta el momento, una relación de preferencia racional no tiene por qué ser representable por una función de utilidad. Empezamos con un ejemplo que ilustra este hecho y, a continuación introducir un débil, económicamente suposición natural (continuidad llama) que garantiza la existencia de una representación de utilidad. Ejemplo 3.C.1: la relación de preferencia lexicográfica. Para simplificar, supongamos que X = 2 . Define x ≥ y si cada "x1 > y1” ó “x1 = y1 and x2 > y2”.  Esto se conoce como la relación de preferencia lexicográfica. El nombre deriva de la forma de organizar un diccionario, es decir, los commodities 1 tiene la máxima prioridad en la determinación del orden de preferencia, al igual que la primera letra de una palabra tiene en el ordenamiento de un diccionario. Cuando el nivel de la primera mercancía en dos combinaciones de bienes es la misma, el importe de la segunda materia prima en los dos paquetes determina las preferencias del consumidor. En el ejercicio 3.CI, se le pide que compruebe que el léxico-gráfico pedidos está completa, transitiva, muy monótona y convexa en sentido estricto. No obstante, se puede demostrar que no existe la función de utilidad que representa este orden de preferencia. Esto es intuitivo. Con este orden de preferencia, no hay dos paquetes distintos son indiferentes; conjuntos de indiferencia son únicos. Por lo tanto, tenemos dos dimensiones de los conjuntos de indiferencia distintas. Sin embargo, cada uno de estos conjuntos de indiferencia se debe asignar, de forma para la conservación, la utilidad de una serie diferente de la línea real de una sola dimensión. De hecho, un argumento algo sutil que realmente se requiere para establecer esta afirmación rigurosamente. Se da, para el lector más avanzado, en el párrafo siguiente. Supongamos que hay una función de utilidad u (•). Para cada x, podemos elegir un

número racional r (x 1) tal que u (x1, 2)> r (x)> u (x I). Tenga en cuenta que debido al carácter lexicográfico de las preferencias, x, x ', implica r (x,)> r (x',) [ya que r (x,)> u (x,, I)> u (x, 2 )> r (x) J. Por lo tanto, r () proporciona una función uno a uno del conjunto de los números reales (que es incontable) al conjunto de los números racionales (que se pueda contar). Se trata de una imposibilidad matemática. Por lo tanto, se concluye que no puede haber una función de utilidad que representa estas preferencias. La suposición de que es necesaria para asegurar la existencia de una función de utilidad es que la relación de preferencia ser continuo. Definición 3.C.1: La relación de preferencia ≥  en X es continua si se mantiene en límites. Es decir, para cualquier secuencia de pares ((x, y)) con 0.1 y "para todo n, x = x, y ^ y = lim, y, tenemos x> - y. Continuidad dice que las preferencias del consumidor no puede exhibir "saltos", con, por ejemplo, el consumidor prefiere cada elemento de la secuencia (x ") al elemento correspondiente en la secuencia (y") pero de repente invertir su preferencia en los puntos de la limitación de estas secuencias X e Y. Una forma equivalente a estado esta noción de continuidad es decir que para todo x, el contorno superior conjunto (os X: yx) y el contorno inferior conjunto (os X: x> - y) son cerrados, es decir, incluyen sus límites. Definición 3.c.1 implica que para cualquier secuencia de puntos (y "):. Con xy" para todo n y y = r, tenemos que x> - y (solo sea x = x para todo n). Por lo tanto, continuidad tal como se definen en la definición 3.c.1 implica que el conjunto contorno inferior es cerrada, lo mismo que implica para el conjunto de 35

curvas de nivel superior. El argumento contrario, que a cierre de la parte inferior y superior del contorno implica que establece Definición 3.CI sostiene, es más avanzado y se deja como ejercicio (ejercicio 3.C.3). Ejemplo 3.C.1 continuó: preferencias lexicográficas no son continuas. Para ver esto, considerar la secuencia de haces x "= (1 / n, 0) y r = 1). Para cada n, se tiene > - "Y. Pero lim" _ "" y "= (0, 1)> - (0,0) = lirn" x ". Es decir, mientras el primero componente de x es mayor que la de y, x es preferida a y, aunque y2 es mucho mayor que x2. Pero tan pronto como los primeros componentes se hacen iguales, sólo los componentes de segundo son relevantes, por lo que el ordenamiento de preferencias se invierte

en

los

puntos

límite

de

la

sucesión.

•

Resulta que la continuidad de la> - es suficiente para la existencia de una representación función de utilidad. De hecho, se garantiza la existencia de una función de utilidad continua. Proposición 3.C.1: Supongamos que la preferencia relación racional ≥  en X es continua. Entonces hay una utilidad u función continua (x) que representa ≥. Prueba: Para el caso de X = 111.;. y una relación de preferencia monótona, no es una prueba relativamente simple e intuitiva que se presenta aquí con la ayuda de la figura 3.CI Denotemos el rayo diagonal en la I (el lugar de los vectores con la igualdad de todos los componentes L) por Z. Será conveniente para que designe e la L-vector cuyos elementos son todos iguales a I. Entonces ae e Z no negativos para todos los escalares a 0 . Tenga en cuenta que por cada xc monotonicidad implica que x> - 0. También tenga en cuenta que para d tal que ninguna de »x (tal como fue definido en la figura), hemos de x. Monotonía y la continuidad a continuación, se puede demostrar que se determina que existe un valor único a (x) e [0, a] tal que a (x) e x.  Ahora tome una (x) como nuestra función de utilidad, es decir, le asignamos un valor de utilidad u (x) = a (X) para cada x. Este nivel de utilidad también está representado en la figura 3.CI Tenemos que ver dos propiedades de esta función: que representa el> preferencias - [es decir, que una (x) a] (y) xy y que es una función continua. Este último argumento es más avanzada, y por lo tanto lo presentamos en caracteres pequeños. Que una (x) representa las preferencias se desprende de su construcción. Formalmente, supongamos que en primer lugar que una (x) y un (). Por monotonicidad, esto implica que una (x) e?: _a (Y) e. Como x A (x) e y y una y () e, tenemos x y. Supongamos, en cambio, que x> - y. Entonces una (x) exya (y) e, y así por monotonía, debemos tener una (x) y un (). Por lo tanto, una (x) y un () x y.  Ahora argumentan que una (x) es una función continua en todo x, es decir, para cualquier sucesión (x ");., con x = x ", tenemos" Lim ", s (f) = a (x). Por lo tanto, considerar una secuencia ix "),%, tales que x = "lim x". Observamos en primer lugar que la sucesión (a (x)), T., debe tener una subsecuencia convergente. Por monotonicidad, y para cualquier> 0, A (x ') se encuentra en un subconjunto compacto de R., [50, ], para todos ", tal que x .- Félix e (véase la Figura 3.C.2). Desde (x "};°", converge a x, existe un N tal que s (x) está en este conjunto compacto para todo n> N. Pero cualquier sucesión infinita que se encuentra en un conjunto compacto debe tener una subsecuencia convergente (véase la sección MF del apéndice matemático). Lo que queda es establecer que todas las subsecuencias convergente de la (x ")}`,., convergen en una (x). Para ver esto, supongamos lo contrario: que hay una función estrictamente creciente m (') que asigna a cada positivos na entero m entero positivo (n) 36

para los que la subsecuencia (a (f ""))},:`.., converge a un 'bis (x). En primer lugar, muestran que un'> a (x) conduce a una contradicción. Para empezar, tenga en cuenta que monotonicidad entonces implicaría que> a'e - una (x) e. Ahora, d [a '+ a (x)]. El punto es el punto medio de Z entre el empate y una (x) e (véase la Figura 3.C.2). Por monotonicidad, > Un (x) e. Ahora, dado que a> (x ') d, existe una R. tal que para> todos los n i, a (x ")> un Por lo tanto, para todo n tal, una (x) e> - & E (donde la última relación se deriva monotoncidad). Debido a que las preferencias son continuas, esto implicaría que x ?,-.. de. Pero como xa (x) e, obtenemos una (x) ae e, que es una contradicción. El fallo argumento de un " - no implica la propiedad más fuerte que u (-) es [cóncava que u (+ ax (I a) y) au (x) + (I - a) u (y) para todo x, y y todos los ae [0, 1]]. De hecho, aunque se trata de un un poco de punta fina, no puede ser cualquier función de utilidad cóncava que representa una particular convexa> relación de preferencia -. En el ejercicio 3.C.5, usted está obligado a probar que dos resultados de otra índole en las representaciones de servicios públicos y las relaciones subyacentes preferencia: (I) A> continua - en X = IV; es homotéticas si y sólo si admite una función de utilidad u (x) que es homogénea de grado uno [es decir, tal que u (ax) = au (x) para todo un > 0]. 37