Traduccion Elementos Finitos Daryl Logan

La Figura 1-6 muestra el modelo discretizado de elementos finitos propuesto de acero utilizado en un proceso de fabricación de cintas de plástico. La geometría irregular y las c oncentraciones de tensiones potenciales asociadas requirieron el uso del método de elementos finitos para obtener una solución razonable. Aquí 240 elementos axisimétricos se utilizaron para modelar la forma tridimensional. La Figura 1-7 ilustra el uso de un elemento sólido tridimensional para modelar una fundición oscilante para una armadura de retroexcavadora. Los elementos hexaédricos tridimensionales son necesarios para modelar la fundición tridimensional de forma irregular. Los modelos bidimensionales ciertamente no producirían soluciones de ingeniería precisas a este problema. La Figura 1-8 ilustra un modelo bidimensional de transferencia de calor usado para determinar la distribución de la temperatura en tierra sometida a una fuente de calor -una tubería enterrada transportando un gas caliente. La figura 1-9 muestra un modelo tridimensional de elementos finitos de un hueso de pelvis con un implante, utilizado para estudiar las tensiones en el hueso y la capa de cemento entre el hueso y el implante. Finalmente, la Figura 1-10 muestra un modelo tridimensional de un cubo 710G, usado para estudiar las tensiones a través del cubo. Estas ilustraciones sugieren el tipo de problemas que pueden resolverse mediante el método de los elementos finitos. En el capítulo 7 se proporcionarán direcciones adicionales sobre las técnicas de modelización. Capítulo 2 Introducción al método de rigidez (desplazamiento) Introducción Este capítulo introduce algunos de los conceptos básicos sobre los cuales el método de rigidez directa es fundado. El resorte lineal se introduce primero porque proporciona una herramienta simple pero generalmente instructiva para ilustrar lo s conceptos básicos. Empezamos con una definición general de la matriz de rigidez y luego consideramos la derivación de la matriz de rigidez de un elemento de resorte elástico lineal. A continuación se ilustra cómo ensamblar la matriz de rigidez total para una estructura que comprende un ensamblaje de elementos de resorte usando conceptos elementales de equilibrio y compatibilidad. A continuación se muestra cómo se puede obtener la matriz de rigidez total para un ensamblaje mediante la superposición directa de las matrices de rigidez de los elementos individuales. El término método de rigidez directa evolucionó en referencia a esta técnica. Después de establecer la matriz de rigidez estructural total, se ilustra cómo imponer condiciones de frontera, tanto homogéneas como no homogéneas. Se obtiene así una solución completa que que incluye los desplazamientos nodales y las reacciones. (La determinación de las fuerzas internas se discute en el capítulo 3 en relación con el elemento de barra). A continuación, introducimos el principio de la energía potencial mínima, la aplicamos para derivar las ecuaciones del elemento resorte y la usamos para resolver un problema de ensamblaje de resortes. Ilustraremos este principio para los elementos más simples (los que tienen un número pequeño de grados de libertad) de modo que sea un concepto más fácil de entender cuando se aplique, por necesidad, a elementos con gran número de grados de libertad en los capítulos siguientes.

2.1 Definición de la matriz de rigidez La familiaridad con la matriz de rigidez es esencial para entender el método de rigidez. Definimos la matriz de rigidez de la siguiente manera: Para un elemento, una matriz de rigidez



 es una matriz tal que

     



, donde  relaciona las coordenadas locales (

 

 ̂

 de

desplazamientos nodales  con las fuerzas locales  para un solo elemento. (A lo largo de este texto, la notación de subrayado denota una matriz, y el símbolo ^ denota cantidades referidas a un sistema de coordenadas locales configurado para ser conveniente para el elemento como se muestra en la Figura 2-1).

Para un medio o estructura continua que comprende una serie de el ementos, una matriz de rigidez



globales

 relaciona las coordenadas globales (x,y,z) de desplazamientos nodales





 con fuerzas

 de todo el medio o estructura (Las letras minúsculas tales como x,y,z sin el símbolo

^ indican variables de coordenadas globales.) 2.2 Derivación de la matriz de rigidez de un elemento de resorte Usando el enfoque de equilibrio directo, ahora derivaremos la matriz de rigidez para un resorte lineal unidimensional, es decir, un r esorte que obedece la ley de Hooke y resiste fuerza sólo en la dirección del resorte. Consideremos el elemento de resorte lineal mostrado en la Figura 2-2. Los puntos de referencia 1 y 2 están situados en los extremos del elemento. Estos puntos de referencia se denominan nodos del elemento de resorte. Las fuerzas nodales locales son

     y



 para el elemento de resorte asociado con el eje local . El eje local actúa en la

dirección del resorte para poder medir directamente los desplazamientos y las fuerzas a lo largo del resorte. Los desplazamientos nodales locales son

   y

 para el elemento de

resorte. Estos desplazamientos nodales se llaman los grados de libertad en cada nodo. Las direcciones positivas para las fuerzas y los desplazamientos en cada nodo se toman en la



dirección positiva  como se muestra desde el nodo 1 al nodo 2 de la figura. El símbolo k se denomina constante de resorte o rigidez del resorte. Las analogías con las constantes reales

del muelle surgen en numerosos problemas de ingeniería. En el capítulo 3 vemos que una barra uniaxial prismática tiene una constante de resorte

  ⁄

 donde A representa el área

de la sección trasversal de la barra, E es el módulo de elasticidad y L es la longitud de la barra. Similarmente, en el capítulo 5, se muestra que una barra de sección transversal circular prismática en torsión tiene una constante de resorte

   ⁄

, donde J es el momento polar

de inercia y G es el módulo cortante del material. Para la co nducción de calor unidimensional (Capítulo 13),



, donde



 es la conductividad térmica del material, y para flujo de

fluido unidimensional a través de un medio poroso (Capítulo 14), coeficiente de permeabilidad del material.



, donde



 es el

Figura 2-2 Elemento de resorte lineal con desplazamiento nodal positivo y fuerzas convencionales Observaremos entonces que el método de rigidez puede aplicarse a problemas no estructurales, como la transferencia de calor, el flujo de fluidos y las redes eléctricas, así como problemas estructurales simplemente aplicando la ley constitutiva adecuada (como la ley de Hooke para problemas estructurales, la ley de Fourier Para la transferencia de calor, la ley de Darcy para el flujo de fluidos y la ley de Ohm para las redes eléctricas) y un principio de conservación como el equilibrio nodal o la conservación de la energía. Ahora queremos desarrollar una relación entre fuerzas nodales y desplazamientos nodales para un elemento de resorte. Esta relación será la matriz de rigidez. Por lo tanto, queremos relacionar la matriz de fuerza nodal con la matriz de desplazamiento nodal como sigue:

    [ ] 

  (2.2.1)

Donde los coeficientes de rigidez del elemento

  

 de la matriz  en la ecuación (2.2.1) se



determinarán. Recordemos las ecuaciones. (1.2.5) y (1.2.6) que

 representa la fuerza

el i-ésimo grado de libertad debido a un desplazamiento unitario

 en el j-ésimo grado de

 en

libertad mientras que todos los demás desplazamientos son cero. Es decir, cuando dejamos

             

. Ahora usamos los pasos generales trazados en

la Sección 1.4 para derivar la matriz de rigidez para el elemento de resorte en esta sección (teniendo en cuenta que estos pasos serán aplicables posteriormente en la derivación de matrices de rigidez de elementos más generales) y luego para ilustrar una solución completa de un montaje de resortes en la Sección 2.3. Debido a que nuestro enfoque a lo largo de este texto es derivar varias matrices de rigidez de elementos y luego ilustrar cómo resolver

problemas de ingeniería con los elementos, el paso 1 ahora implica sólo seleccionar el tipo de elemento. Rigidez es la medida en que se resiste a la deformación en respuesta a una fuerza aplicada Cálculos La rigidez, k, de un cuerpo es una medida de la resistencia ofrecida por un cuerpo elástico a la deformación. Para un cuerpo elástico con un solo grado de libertad (DOF) (por ejemplo, estiramiento o compresión de un vástago), la rigidez se define como:

   donde, F es la fuerza aplicada sobre el cuerpo δ es el desplazamiento producido por la fuerza a lo largo del mismo grado de libertad (por

ejemplo, el cambio de longitud de un resorte estirado). En el Sistema Internacional de Unidades, la rigidez se mide típicamente en newtons por metro.

Rigidez axial La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicación de cargas según su eje. En este caso la rigidez depende sólo del área de la sección transversal ( A), el módulo de Young del material de la barra (E ) y la longitud de la siguiente manera:

   Rigidez flexional La rigidez flexional de una barra recta es la relación entre el momento flector aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra está empotrada en el otro extremo. Para barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según el momento flector esté dirigido según una u otra dirección principal de inercia. Esta rigidez viene dada:

          Rigidez frente a cortante La rigidez frente a cortante es la relación entre los desplazamientos verticales de un extremo de una viga y el esfuerzo cortante aplicado en los extremos para provocar dicho desplazamiento. En barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según cada una de las direcciones principales:

              Rigidez mixta flexión-cortante En general debido a las características peculiares de la flexión cuando el momento flector no es constante sobre una taza prismática aparecen también esfuerzos cortantes, eso hace al aplicar esfuerzos de flexión aparezcan desplazamientos verticales y viceversa, cuando se fuerzan desplazamientos verticales aparecen esfuerzos de flexión. Para representar adecuadamente los desplazamientos lineales inducidos por la flexión, y los giros angulares inducidos por el cortante, se define la rigidez mixta cortante-flexión que para una barra recta resulta ser igual a:

            Rigidez torsional La rigidez torsional en una barra recta de sección uniforme es la relación entre el momento torsor aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por este extremo, al mantener fijo el extremo opuesto de la barra:

     Paso 1 Seleccione el tipo de elemento Consideremos el elemento de resorte lineal (que puede ser un el emento en un sistema de resortes) Sometida a las fuerzas de tracción nodales resultantes T (que pueden resultar de la acción de resortes adyacentes) dirigidos a lo largo de la dirección axial del resorte x como se



muestra en la figura 2-3, para estar en equilibrio. El eje  local se dirige desde el nodo 1 al nodo 2. Representamos el resorte marcando nodos en cada extremo y marcando el número de elemento. La distancia original entre los nodos antes de la deformación se denota por L. La propiedad del material (constante de resorte) del elemento es k.

Figura 2-3 Resorte lineal sometido a fuerzas de tracción

Paso 2 Seleccione una función de desplazamiento Debemos elegir por adelantado la función matemática para representar la forma deformada del elemento de resorte bajo carga. Porque es difícil, si no imposible a veces, para obtener una forma cerrada o una solución exacta, asumimos una forma o distribución de la solución de desplazamiento dentro del elemento usando una función matemática apropiada. Las funciones más comunes utilizadas son polinomios. Debido a que el elemento de resorte resiste la carga axial sólo con los grados locales de libertad para el elemento siendo desplazamientos a lo largo de la dirección x, elegimos una función de desplazamiento



   y

 para representar el

desplazamiento axial elemento. Aquí se asume una variaci ón de desplazamiento lineal a lo largo del eje x del resorte [Figura 2-4 (b)], porque una función lineal con puntos finales especificados tiene una ruta única. Por lo tanto:

 

  (2.2.2)

En general, el número total de coeficientes a es igual al número total de grados de libertad asociados con el elemento. Aquí el número total de grados de libertad es dos, un desplazamiento axial en cada uno de los dos nodos del elemento (Se presenta una discusión adicional sobre la elección de funciones de desplazamiento en la Sección 3.2). En forma de matriz, la ecuación (2.2.2) se convierte en:

  

 {}

 (2.2.3)



Ahora queremos expresar  como una función de los desplazamientos nodales

   y

. Ya

que esto nos permitirá aplicar las condiciones físicas de contorno en los desplazamientos

nodales directamente como se indica en el Paso 3 y luego relacionar los desplazamientos nodales con las fuerzas nodales en el Paso 4. Esto se logra evaluando resolviendo

  y

 de la ecuación (2.2.2) como sigue:



en cada nodo y

Figura 2-4 (a) Elemento de resorte que muestra las gráficas de (b)



función de desplazamiento  y





funciones de forma (c)   y (d)  sobre el dominio de elemento

(     (2.2.4) (     

 (2.2.5)

O, resolviendo ecuación (2.2.5) para

 

 (2.2.6)





Al sustituir ecuación (2.2.4) y (2.2.6) en la ecuación (2.2.2), tenemos:



          )  (2.2.7) En forma matricial, expresamos la ecuación (2.2.7) como:

           (2.2.8)   O      (2.2.9) Aquí

   

y

  

Se denominan funciones de forma porque los

  (2.2.10)



 expresan la forma de la

función de desplazamiento supuesta sobre el dominio (coordenada x) del elemento cuando el i-ésimo grado de libertad del elemento tiene valor

          

unitario y todos los demás grados de libertad son cero. En este caso,



 son funciones lineales que tienen las propiedades que

nodo 1 y

  

 en el nodo, mientras que

  

 y

 en el

 en el nodo 2 y

en el nodo 1. Vea la Figura 2-4 (c) y (d) para diagramas de estas funciones de forma sobre el dominio del elemento de resorte. Además,

para cualquier coordenada axial a lo largo de la barra. (La Sección 3.2 explora esta relación importante). Además, los



 se llaman a menudo

funciones de interpolación porque estamos interpolando para encontrar el valor de una función entre valores nodales dados. La función de interpolación puede ser diferente de la función real, excepto en los puntos extremos o nodos, donde la función de interpolación y la función real deben ser iguales a los valores nodales especificados.

Figura 2-5 Resorte deformado

Paso 3 Definir las relaciones deformación/desplazamiento y esfuerzo/deformación Las fuerzas de tracción T producen un alargamiento total (deformación) δ del resorte. El alargamiento total típico del resorte se muestra en la Figura 2-5. Aquí



 es un valor negativo porque la dirección de desplazamiento

es opuesta a la dirección x positiva, mientras que

 es un valor positivo.

La deformación del resorte es entonces representada por:

 ( (    

 (2.2.11)

De la ecuación (2.2.11), se observa que la deformación total es la diferencia de la deformación nodal De la ecuación (2.2.11), observamos que la deformación total es la diferencia de los desplazamientos nodales en la dirección x. Para un elemento de resorte, podemos relacionar la fuerza en el resorte directamente con la deformación. Por lo tanto, la relación de deformación/desplazamiento no es necesaria aquí. La relación esfuerzo/deformación puede expresarse en términos de la relación fuerza/deformación en lugar de:



 (2.2.12)

Ahora, usando la ecuación (2.2.11) en la ecuación (2.2.12), obtenemos:

(   ( Paso 4 Deducir la matriz de rigidez del elemento y las ecuaciones Ahora derivamos la matriz de rigidez del elemento de resorte. Por la convención de signos para las fuerzas nodales y el equilibrio, tenemos:

       

 (2.2.14)

Usando las ecuaciones (2.2.13) y (2.2.14), tenemos:

 (      (  

(2.2.15)

Reescribiendo las ecuaciones (2.2.15), obtenemos:

  (     (  

(2.2.16)

Ahora expresando las ecuaciones (2.2.16) en una ecuación matricial única produce:

           

  (2.2.17)

Esta relación se mantiene para el resorte a lo largo del eje x. Desde nuestra definición básica de una matriz de rigidez y aplicando de la Ec. (2.2.1) a la ecuación (2.2.17), obtenemos:

    

  (2.2.18)

Como la matriz de rigidez para un elemento de resorte lineal. Aquí



 se denomina matriz de

rigidez local para el elemento. Observamos de la ecuación (2.2.18) que cuadrada simétrica (es decir,



  



 es una matriz

) (el número de filas es igual al número de columnas en

) El Apéndice A da más descripción y ejemplos numéricos de matrices simétricas y cuadradas.

Paso 5 Reúna las ecuaciones de los elementos para obtener las ecuaciones globales e introduzca las condiciones de los límites. La matriz de rigidez global y la matriz de fuerza global se ensamblan usando ecuaciones de equilibrio de fuerza nodal, ecuaciones de fuerza / deformación y compatibilidad de la Sección 2.3, y el método de rigidez directa descrito en la Sección 2.4. Este paso se aplica a las estructuras compuestas por más de un elemento.

(2.2.15)

  

Donde  y  son ahora las matrices de rigidez y fuerza del elemento expresadas en un marco de referencia global. (A lo largo de este texto, el signo ∑ usado en este contexto no implica una simple suma de matrices de elementos, sino que más bien denota que estas matrices de elementos deben ser montadas adecuadamente de acuerdo con el método de rigidez directa descrito en la Sección 2.4).

Paso 6 Resuelve para los desplazamientos nodales Los desplazamientos se determinan a continuación, mediante la imposición de condiciones de frontera, tales como las condiciones de apoyo, y resolver un sistema de ecuaciones, forma simultánea.



Paso 7, Resuelve para las Fuerzas Element Por último, las fuerzas de los elementos se determinan mediante sustitución regresiva, aplicados a cada elemento, en las ecuaciones similares a las ecuaciones. (2.2.16).

 de