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Rela Relati tivid vidad ade e Espec Especia iall

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Análise Vetorial na Relatividade Especial

2.1

Definição de um vetor

Vetor posição :

 

∆Xσ

 → (∆t, ∆x, ∆y, ∆z)

(2.1)

dizemos vetor ∆X  com componentes  t,x,y, z , com respectivos índices 0, 1, 2, 3 Vale notar que um vetor é um objeto geométrico, que pode ser definido e visualizado sem se referir a um sistema coordenado específico. Outra notação importante é: α

∆Xσ

 

 → {∆x }

(2.2)

onde por ∆xα representamos todos os índices  ∆x0 , ∆x1 , ∆x2 , ∆x3 . Se quisermos as componentes desse vetor em outro sistemas coordenado, que chamaremos de referencial σ¯ , escrevemos: α ¯

∆Xσ¯

 → {∆x }

Basicamente , colocamos uma barra sobre o índice para denotar as novas coordenadas. O vetor ∆X  continua o mesmo, o que torna desnecessária uma nova notação depois da troca de base. Apenas suas componentes mudam. As novas componentes  ∆xα¯ são obtidas segundo a transformação de Lorentz: ¯ 0

∆x

0

1

∆x v∆x √  = √  − 1−v 1−v 2

2

,etc.2

Como isso é uma transformação linear, podemos escrever: 3 ¯ 0

∆x =



¯

Λ0β ∆xβ ,

β =0

onde {Λoβ¯ }  são quatro números, um para cada valor de β . Nesse caso: ¯

 

Λ00  = 1/ 1

2

¯ 0 1

− v ; Λ  =  −v/

 

1

2

¯ 0 2

¯ 0 3

− v ; Λ  = Λ  = 0.

3

Uma equação similar é empregada para  ∆x¯1 , e generalizando escrevemos: 3 ¯ α

∆x =



¯ β Λα β ∆x ,

 

(2.3)

β =0

isso para α¯  sendo os índices das novas componentes em σ¯ , e com β  sendo os índices das componentes. Temos então que {Λαβ¯ }  é um conjunto de 16 número, 4 para cada índice de ∆xα¯ , que constitui as matriz da transformação de Lorentz. Agora podemos introduzir a última notação, a Notação de Einstein: sempre que uma expressão possuir o mesmo índice em cima e em baixo, uma soma é implicada sobre todos os valores que o índice pode assumir, ou seja: Aα B α ; T γ E γα ,

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são simplificações para as somas 3

3



Aα B α ;

α=0



T γ E γα ,

γ =0

enquanto Aα B β ; T γ E βα ; Aβ Aα

não representam soma em nenhum índice. A transformação de Lorentz (eq. (2.3)) agora pode ser reescrita como: ¯ β * ∆xα¯ = Λα β ∆x

(2.4)

fazendo economia de notação. Note que a eq. (2.4) é idêntica a ¯ γ  ∆xα¯ = Λ α γ ∆x .

O índice repetido apenas denota uma soma de 0 a 3, a letra usada não importa. Um índice que implica soma e chamado de   índice mudo (dummy index ), e a troca desses índices costuma ser uma ferramenta útil em álgebra tensorial. A única coisa que não pode substituir o índice mudo β  é um índice latino, isso porque o índice latino (como convencionado por nós) pode apenas assumir os valores 1, 2 e 3, enquanto  β  também pode valer 0. Portanto, as expressões: ¯ β α ¯ i Λα β ∆x ; Λi  ∆x

não são as mesmas. Na verdade, temos: ¯ ¯ i Λα¯ ∆xβ = Λα ∆x0 + Λα 0 i  ∆x .

 

(2.5)

A eq. (2.4) é composta por quatro diferentes equações, uma para cada valor que α¯  pode assumir. Um índice como α¯ , em que nenhuma soma é efetuada, é chamado  índice livre  ( free index ). Sempre que uma equação for escrita com um ou mais índices livres, isso será válido se e somente se for verdade para todos os valores que o índice pode assumir. A letra escolhida para o novo índice é completamente arbitrária. É importante notar que se o índice for renomeado em algum lugar da equação, ele deverá ser renomeado na equação toda. O vetor geral é definido por um conjunto de número (suas componentes em uma base, que chamaremos de  σ ) A

→

0

σ  (A

, A1 , A2 , A3 ) = Aα

 

 { }

(2.6)

Lembrando que suas componente em uma base σ¯  são ¯ α

A

β ¯ = Λα βA .

 

(2.7)

Ou seja, as componentes de um vetor se transformam da mesma forma que as coordenadas. Lebre-se que um vetor pode ser definido tomando quatro número em uma base, então as componentes em todas as outras bases também são únicas. 3

Por último, vetores no espaço-tempo obedecem as mesmas regras usuais: Sejam A  e B  vetores e  µ  um número, então: A+B

→

σ

(A0 + B 0 , A1 + B 2 , A2 + B 2 , A3 + B 3 ); µA σ (µA0 , µA1 , µA2 , µA3 ).

→

 

(2.8)

todos vetores. Ou seja, a regra do paralelogramo é válida. Note que a não ser que eles sejam adimensionais, todos os quatro números usados para definir o vetor devem possuir a mesma dimensão.

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2.2 Álgebra Vetorial Vetores base . Em uma base σ  temos quatro vetores especdiais, definidos por

suas componentes: (1, 0, 0, 0); σ (0, 1, 0, 0); σ (0, 0, 1, 0); σ (0, 0, 0, 1).

 → e  → e  → e  → e0

σ

1 2

3

 

(2.9)

Essas definições formam os vetores base de um referencial σ . Similarmente, σ¯ tem vetores base ¯  (1, 0, 0, 0),etc. σ

 →

eσ ¯

Geralmente, e¯0  = e0 , uma vez que eles são definidos em diferentes bases. É possível verificar que a definição de vetor base é equivalente a (eα )β = δ αβ ,

 

(2.10)

i.e., a componente  β  de eα  é o delta de Kronecker: 1 se  β  =  α  e 0 se β  =   α. Todo vetor pode ser expresso em termos de vetores base. Se: A

α  (A

→

0

, A1 , A2 , A3 ),

então A

= A0 e0  + A1 e1  + A2 e2 + A3 e3 .

∗A = A

α

eα .

 

(2.11)

Na última linha usamos a notação de Einstein (o índice de e  deve ser subscrito para empregar a notação). A eq. (2.11) diz que A  é uma soma linear de quatro vetores  A 0 e0 , A1 e1  etc. Transformação de vetores base . A definição que levou à eq. (2.11) pode ser aplicada para qualquer base, portanto, é verdadeira em σ¯ : A

= A α¯ eα¯ .

Note que os vetores  A¯0 e¯0 , etc. não são os mesmos da eq. (2.11), uma vez que eles são paralelo aos vetores base de  ¯σ  e não  σ , porém, eles descrevem o mesamo vetor A. É importante entender que A α eα  e  A α¯ eα¯  não são obtidos um do outro por uma simples troca de índices mudos, eles tem significados diferentes. Ou seja, {Aα¯ } é um conjunto de número diferentes de {Aα }, bem como {eα¯ } e {eα¯ }. Mas por definição:   (2.12) Aα eα  =  A α¯ eα¯ , e isso tem uma importante consequência: dela deduzimos a lei para transformação de vetores base, i.e., a relação entre  {eα }  e  {eα¯ }. Usando a eq. (2.7) para  A α¯ , escrevemos a eq. (2.12) da seguinte maneira: ¯ β α Λα ¯  = A eα . β A eα

Na esquerda temos duas somas, e como são finitas, a ordem não importa. Como  Λ αβ¯ e  A β são apenas números, podemos escrever: ¯ α Aβ Λα ¯  = A eα . β eα

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Agora nos aproveitamos do fato de  β  e α¯  serem índices mudos: trocamos  β  por ¯, α  e α ¯  por β  ¯

Aα Λβα eβ¯ = A α eα .

Essa equação tem que ser verdadeira para todo  {Aα }, visto que arbitrário. Escrevendo ¯

Aα (Λβα eβ¯

podemos deduzir

¯

α)

 − e

Λβα eβ¯

α  =

 − e

para qualquer α, ou

um vetor

=0 0

¯

Λβ eβ¯.

α  =

∗e

A  é

 

(2.13)

Isso nos da a lei pela qual os vetores base se transformam. Não é uma transformação de componentes: ela nos da a base  {eα¯ } de σ¯ . Comparando com a lei de transformação para componentes, eq. (2.7), ¯

¯

Aβ = Λβα Aα ,

vemos que de fato é diferente. Note que a omissão dos símbolos de soma mantém as coisas mais limpas. Outro passo importante foi a troca do índice mudo, que permitiu isolar o Aα arbitrário do resto dos termos. E.g.: σ¯  se move com velocidade v  na direção  x  relativa a  σ . Então a matriz ¯ β [Λα ]  é ¯

[Λβα

 γ  −vγ  −vγ γ  ]= 0 0 0

0

0 0 1 0

  , 

0 0 0 1

√  onde usamos  γ  ≡ 1/ 1 − v . Então, se A →  (5, 0, 0, 2), suas componentes em σ¯  são dadas por 2

σ

¯

A0 = Λ o0¯A0 + Λo0¯A1 + ... = γ .5 + ( vγ ).0 + 0.0 + 0.2 = 5γ.

Similarmente:

−

¯

¯ 2

A1 =

 −5vγ ; A

¯

= 0; A3 = 2.

Portanto A →σ¯  (5γ, −5vγ, 0, 2). Os vetores base são expressos como

¯

Λβα eβ¯

eα  =

ou e0  =

¯

¯

¯

¯

Λ00 e¯0  + Λ 10 e¯1  + Λ 20 e¯2  + Λ 30

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