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ACTIVIDAD GRUPAL DE TRABAJO COLABORATIVO UNO CURSO PROBABILIDAD

PRESENTADO POR: INGRITH VANESSA BLANCO RONAL JANCARLO SILVA RODRIGUEZ COD: 4084102

GRUPO: 100402_250

PRESENTADO A: JULIAN ANDRES ROZO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL TUNJA ABRIL 2016

INTRODUCCION En el presente trabajo se presenta un resumen de los contenidos de la unidad dos, para lograr un reconocimiento de los temas y lograr un mejor desempeño en el desarrollo de las problemáticas propuestas, las cuales se les da solución en el mismo trabajo.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Aporte RONAL SILVA UNIDAD DOS Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad Capítulo 4: variables aleatorias Lección 16: Concepto de variables aleatorias. Una variable aleatoria es pues, una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula, tal como X. Ejemplo 1. Considere el lanzamiento de una moneda. El espacio muestral de este experimento aleatorio está constituido por dos resultados: cara y sello. Si se define X (cara) = 0 y X (sello) = 1, se transforman los dos posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales. De esta manera P(X=0) representa la probabilidad de que el resultado al lanzar la moneda es cara. Lección 17: Variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros. Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable). Ejemplos: * Número de caras al lanzar dos dados. * Número de cifras acertadas en un sorteo de la lotería. Lección 18: Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Definición: Se dice que una v.a. es continua si el conjunto de todos los valores que puede tomar no es numerable. Una variable aleatoria X es (absolutamente) continua si existe una función f: R→R+ tal que 𝑓(𝑥)=∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥−∞ Esta función f se llama función de la densidad de la v.a. X Las propiedades básicas de cualquier función de densidad son las siguientes: 1. (𝑥)≥0 (las frecuencias relativas tampoco podían ser negativas). 2. ∫𝑅(𝑥)𝑑𝑥=1 (las frecuencias relativas también sumaban uno). 3. (𝑋∈𝐼)=∫𝐼 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (la función de densidad sirve para calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores en un intervalo I que nos interese). Ejemplos: * Duración de una llamada a un servicio de atención al cliente. * Tiempo que un médico tarda en atender un paciente. Lección 19: valor esperado y varianza de una variable aleatoria El valor esperado (también llamado media o esperanza matemática) de una variable aleatoria discreta X es una medida de posición para la distribución de X. Se simboliza con µ y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con su probabilidad correspondiente. En otras palabras, la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X es: µx = E(X) = ∑ x. f(x)]

Lección 20: TEOREMA DE CHÉBYSHEV Para demostrar cómo la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la distribución de una variable aleatoria, el matemático ruso Pafnuty Lvovich

Chébyshev desarrolló un teorema en el que ofrece una garantía mínima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k desviaciones estándar alrededor de la media. Para cualquier variable aleatoria X con media _ y desviación estándar s, la probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la media, siendo k una constante positiva cualquiera, es cuando menos 1 - 1𝑘2 La desigualdad de Chébyshev es muy importante, ya que permite determinar los límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no más de k desviaciones estándar, es menor o igual a 1/ 𝑘2 para algún valor de k >1. Aunque la garantía no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua. CAPITULO 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA Lección 21: DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA La variable aleatoria discreta más sencilla es aquella que toma sólo un número finito de valores posibles n, cada uno con la misma probabilidad. Ella se denomina entonces variable aleatoria discreta uniforme y su distribución uniforme discreta está dada por: f(x) = ½ Lección 22: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Las distribuciones binomiales son las más útiles dentro de las distribuciones de probabilidad discretas. Sus áreas de aplicación incluyen inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones, entre otras. Estas distribuciones permiten enfrentar circunstancias en las que los resultados pertenecen a dos categorías relevantes: que ocurra un evento determinado o que no lo haga. Este tipo de experimento aleatorio particular es denominado ensayo de Bernoulli. Sus dos resultados posibles son denotados por “éxito” y “fracaso” y se define por p la probabilidad de un éxito y 1-p la probabilidad de un fracaso. En general, un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que: * Los ensayos son independientes

* Cada ensayo es de tipo Bernoulli. Esto es, tiene sólo dos resultados posibles: “éxito” o “fracaso”. * La probabilidad de éxito de cada ensayo, denotada por p, permanece constante. Recibe el nombre de experimento binomial. La variable aleatoria X, de un experimento binomial, que corresponde al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros p y n = 1, 2,… Lección 23 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Y GEOMÉTRICA Considerando ahora una serie de ensayos Bernoulli con una probabilidad constante de éxitos p, en la que el número de ensayos no es fijo como en la distribución binomial si no que éstos se realizan hasta que se obtiene el primer éxito. Sea entonces, la variable aleatoria X el número de ensayos realizados hasta obtener un éxito, ella tiene una distribución geométrica con parámetro p. Distribución Binomial Negativa En la distribución geométrica, la variable aleatoria estaba definida como el número de ensayos Bernoulli necesarios para obtener el primer éxito. Suponga ahora que se desea conocer el número de ensayos hasta obtener r éxitos; en este caso la variable aleatoria es denominada binomial negativa. La distribución binomial negativa o distribución de Pascal es una generalización de la distribución geométrica donde la variable aleatoria X es el número de ensayos Bernoulli efectuados hasta que se tienen r éxitos, con una probabilidad constante de éxito p. Se dice entonces que X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y r = 1, 2, 3,… Lección 24: DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA En la distribución binomial se veía que el muestreo se hacía con reemplazo, asegurando la independencia de los ensayos y la probabilidad constante. Supóngase ahora que el muestreo es sin reemplazo, caso en el cual los ensayos no son independientes. Sea N el número de elementos de un conjunto de los cuales k son determinados como éxitos y N-k como fallas, se trata ahora de determinar la probabilidad de x éxitos en n ensayos de los N elementos del conjunto donde k ≤ N y n ≤ N.

Lección 25: DISTRIBUCIÓN POISSON Esta es otra distribución de probabilidad discreta útil en la que la variable aleatoria representa el número de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante. La distribución de Poisson, llamada así en honor a Simeón Denis Poisson probabilista francés que fue el primero en describirla, es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas de líneas de espera, confiabilidad y control de calidad; como el número de personas que llegan a un lugar determinado en un tiempo definido, los defectos en piezas similares para el material, el número de bacterias en un cultivo, el número de goles anotados en un partido de fútbol, el número de fallas de una máquina en una hora o en un día, la cantidad de vehículos que transitan por una autopista, el número de llamadas telefónicas por minuto, etc. Como se puede observar se trata de hallar la probabilidad de ocurrencia de cualquier número por unidad de medición (temporal o espacial). Dado un intervalo de números reales, si éste puede dividirse en sub intervalos suficientemente pequeños, tales que: (1) La probabilidad de más de un acierto en un sub intervalo es cero o insignificante. (2) La probabilidad de una ocurrencia en un sub intervalo es la misma para todos los sub intervalos, y es proporcional a la longitud de estos. (3) El conteo de ocurrencias en cada sub intervalo es independiente del de los demás sub intervalos. Entonces el experimento aleatorio recibe el nombre de proceso Poisson o flujo de procesos de Poisson. Un proceso Poisson constituye un mecanismo físico aleatorio en el cual los eventos ocurren al azar en una escala de tiempo (o de distancia). Por ejemplo, la ocurrencia de accidentes en un cruce específico de una carretera sigue dicho proceso. Cabe recordar que no es posible predecir con exactitud la cantidad de accidentes que pueden ocurrir en determinado intervalo de tiempo, pero sí el patrón de los accidentes en gran número de dichos intervalos. Dado un proceso Poisson donde λ es el número promedio de ocurrencias en el intervalo de números reales donde este se define, la variable aleatoria X correspondiente al número de ocurrencias en el intervalo es llamada variable aleatoria Poisson. Distribución Poisson como aproximación a la distribución binomial La distribución Poisson ofrece una aproximación excelente a la función de probabilidad binomial cuando la probabilidad p de tener un éxito es pequeña y el tamaño n de la muestra

es grande. Podría decirse que se tiene una aproximación muy satisfactoria cuando n ≥ 20 y n ≤ 0.05 y tal aproximación se incrementa a medida que disminuye p. CAPITULO 6 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA Lección 27: DISTRIBUCION UNIFORME Se dice que una variable X posee una distribución uniforme en el intervalo [a,b], X U (a,b) si su función de densidad es la siguiente: (𝑥)= 1𝑏−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≤𝑥 ≤𝑏 Con esta ley de probabilidad, la probabilidad de que al hacer un experimento aleatorio, el valor de X este comprendido en cierto sub intervalo de [a,b] depende únicamente de la longitud del mismo, no de su posición. Lección 27: DISTRIBUCION NORMAL Y USO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución: Distribución normal estándar o tipificada Cuando la media de la distribución normal es 0 y la varianza es 1, se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas, o rutinas de cálculo que permiten obtener esos mismos valores, donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución. Lección 28: APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Empecemos con un ejemplo:

El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media $ 500.000. y desviación típica $100.000 Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a $700.000 Solución: Lo primero que haremos es transformar esa distribución en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (Z) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviación típica. 𝑧= 700.000−500.000100.000 Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada. La variable Z que corresponde a una variable X de valor 700.000 es: Z= 2 Lección 29: DISTRIBUCION EXPONENCIAL Y CHI CUADRADO Distribución Exponencial Esta distribución se utiliza como modelo para la distribución de tiempos entre la presentación de eventos sucesivos. Existe un tipo de variable aleatoria que obedece a una distribución exponencial la cual se define como el tiempo que ocurre desde un instante dado hasta que ocurre el primer suceso. Suponiendo que la duración de cierto componente en estado sólido X es exponencial. Entonces la probabilidad de que X dure t unidades después de haber durado a unidades es la misma que la probabilidad de que X dure t unidades cuando X estaba nuevo. Lección 30: OTRAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS: DISTRIBUCION t-STUDENT Distribución t-Student La distribución t-Student se construye como un cociente entre una normal y la raíz de una 𝑋2 independientes. De modo preciso, llamamos distribución t-Student con n grados de libertad, tn a la de una v.a. T, APORTE: INGRITH BLANCO Variable aleatoria discreta y continua Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio Muestral E un número real.

Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y,...) para designar valores concretos de las mismas. Variable aleatoria discreta Es aquella que sólo puede tomar valores enteros. Ejemplo: El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado. Variable aleatoria continúa Es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplo: La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila. Distribución binomial La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones: 1) El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo. 2) Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernoulli, es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso. 3) La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P (éxito) = p; P (fracaso) = 1 - p = q 4) Las pruebas son estadísticamente independientes, En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en la n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio Muestral estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento. La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x, n, p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.

La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia

La media y la varianza de la variable binomial se calculan como: Media = μ = n p Varianza = σ2 = n p q Distribución binomial negativa y geométrica Distribución binomial negativa Es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal. El número de experimentos de Bernoulli de parámetro independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y . Formula: 𝒑[𝑿 = 𝒙] = (

𝒌+𝒙−𝟏 𝒙

) 𝒑𝒌 𝒒𝒙

Distribución geométrica Considere ahora una serie de ensayos Bernoulli con una probabilidad constante de éxitos p, en la que el número de ensayos no es fijo como en la distribución binomial si no que éstos se realizan hasta que se obtiene el primer éxito. Sea entonces, la variable aleatoria X el número de ensayos realizados hasta obtener un éxito, ella tiene una distribución geométrica con parámetro p y se expresa:

f(x;p)=(1-p) x-1 .p x=1,2,... Tomando q=1-p y denotando la distribución geométrica como g(x;p) , ella se simplifica de la siguiente manera: g(x,p)=qx-1 .p La función de distribución geométrica acumulada se expresa como: La media y la varianza de una variable aleatoria geométrica son:

Distribución de Poisson En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. Formula: 𝒏 𝛌𝒙 ( ) = 𝒆−𝛌 𝒙 𝒙! Un proceso Poisson constituye un mecanismo físico aleatorio en el cual los eventos ocurren al azar en una escala de tiempo (o de distancia). Por ejemplo, la ocurrencia de accidentes en un cruce específico de una carretera sigue dicho proceso. Cabe recordar que no es posible predecir con exactitud la cantidad de accidentes que pueden ocurrir en determinado intervalo de tiempo, pero sí el patrón de los accidentes en gran número de dichos intervalos. Dado un proceso Poisson donde λ es el número promedio de ocurrencias en el intervalo de números reales donde este se define, la variable aleatoria X correspondiente al número de ocurrencias en el intervalo es llamada variable aleatoria Poisson y su función de probabilidad está dada por: F (x, n. p)= (e-n .p (n. p) x)/ x! x= 0, 1,2,......n. p>0 La distribución Poisson representa la probabilidad de que un evento aislado ocurra un número específico de veces en un intervalo de tiempo (o un espacio) dado, al fijarse la tasa de acontecimientos en un continuo temporal (o espacial). Su parámetro es λ, el número promedio de ocurrencias del experimento aleatorio. En muchos casos se denota como . El número promedio de ocurrencias de un evento por unidad de tiempo (o de espacio) es la media de la variable aleatoria Poisson y se define como:

Y la desviación estándar resulta ser: Distribución hipergeométrica Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que cumple las siguientes condiciones: 1)

Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto finito de N objetos. 2) K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como fracasos. X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El espacio Muestral es el conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a K si K < n. En este caso, la probabilidad del ‚éxito en pruebas sucesivas no es constante pues depende del resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son independientes entre sí. La función de probabilidad de la variable hipergeométrica es:

Los parámetros de la distribución son n, N y K. Los valores de la media y la varianza se calculan según las ecuaciones:

Distribución uniforme discreta y uniforme continúa Distribución uniforme continua: Es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo. La distribución es a menudo escrita en forma abreviada como U(a, b)

Media Varianza

𝑎+𝑏 2 (𝑏 − 𝑎)2 12

Distribución uniforme discreta: Es una distribución de probabilidad que asume un número finito de valores con la misma probabilidad. Si la distribución asume los valores reales

, su función de probabilidad es

Y su función de distribución la función escalonada

Su media estadística es

Y su varianza

Distribución normal Una variable es normal cuando se ajusta a la ley de los grandes números, es decir, cuando sus valores son el resultado de medir reiteradamente una magnitud sobre la que influyen infinitas causas de efecto infinitesimal. Las variables normales tienen una función de densidad con forma de campana a la que se llama campana de Gauss. Su función de densidad es la siguiente:

Los parámetros de la distribución son la media y la desviación típica, μ y σ, respectivamente. Como consecuencia, en una variable normal, media y desviación típica no deben estar correlacionadas en ningún caso (como desgraciadamente ocurre en la inmensa mayoría de las variables aleatorias reales que se asemejan a la normal. La curva normal cumple las siguientes propiedades: 1) El máximo de la curva coincide con la media. 2) Es perfectamente simétrica respecto a la media (g1 = 0).

3)

La curva tiene dos puntos de inflexión situados a una desviación típica de la media. Es convexa entre ambos puntos de inflexión y cóncava en ambas colas. Distribución chi cuadrado y t de student Distribución chi cuadrado: Si (X1,X2,...,Xn) son n variables aleatorias normales independientes de media 0 y varianza 1, la variable definida como Yn  X12    Xn2  i1 Xi2 n

Se dice que tiene una distribución CHI con n grados de libertad. Su función de densidad es 1 f (x)  x ( n 2) / 2 e  x / 2 x0 n n   2 2 

Siendo (P)   X P 1e  x dx la función gamma de Euler, con P>0. La función de 0

distribución viene dada por x

F( x )  P( X  x )   f ( x )dx 0

La media de esta distribución es E(X)=n y su varianza V(X)=2n. Esta distribución es básica en un determinado número de pruebas no paramétricas. Si consideramos una variable aleatoria Z~N (0,1), la variable aleatoria X=Z2 se distribuye según una ley de probabilidad distribución CHI con un grado de libertad Si tenemos n variable aleatoria independientes Zi~N(0,1), la suma de sus cuadrados respectivos es una distribución CHI con n grados de libertad, n

Z i  N(0,1)   Z i2   2n i 1

La media y varianza de esta variable son respectivamente, E(X)=n y V(X)=2n Distribución t de student: Si (X,X1,X2,...,Xn) son n+1 variables aleatorias normales independientes de media 0 y varianza s2, la variable X Yn  1 n 2  Xi n i 1 Tiene una distribución t-Student con n grados de libertad. Su función de densidad es  n  1 n 1   2 2   1 x 2   1   f (x)  x0 n   n   n   2



Siendo (P)   X P 1e  x dx la función gamma de Euler con P>0. La media de la 0

distribución t-Student es E(X)=0 y su varianza V(X)=n/(n-2), la cual no existe para grados de libertad menores que 2. Esta distribución aparece en algunos contrastes del análisis normal. La distribución t-Student se construye como un cociente entre una normal Z~N(0,1) y la raíz de una Chi  2n independientes. De modo preciso, llamamos distribución t-Student con n grados de libertad, t n a la de una variable aleatoria T, X Z   tn T  t n Y además, T  2 1 2 n 1  Xi  i  n   n n i 1   i 

CASO 1 Un estudio del Departamento de Transporte de Illinois concluyó que 76.2% de quienes ocupaban los asientos delanteros de los vehículos utilizaba cinturón de seguridad. Esto significa que los dos ocupantes de la parte delantera utilizaban cinturones de seguridad. Suponga que decide comparar la información con el uso actual que se da al cinturón de seguridad, para lo cual selecciona una muestra de 12 vehículos. INFORME A PRESENTAR: Presente un informe en el que como mínimo incluya: 1.- ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución binomial? Identifíquelos Una distribución binomial consiste en repetir una prueba n veces. La prueba solo puede presentar dos resultados éxito o fracaso con suma de esas dos probabilidades igual a 1. A la probabilidad de éxito se le llama p. Y debe presentar la característica de que la probabilidad de cada prueba es independiente del resultado de las anteriores, es decir, que p es constante para todas las pruebas. Esta situación no cumple por entero los requisitos de una distribución binomial, cuando salga un conductor con cinturon la probabilidad de que los otros lleven cinturón disminuirá algo y viceversa. Pero se supone que la cantidad de conductores es tan grande que esa diferencia es despreciable. Por tanto, podemos asumir que es una binomial casi perfecta. Es una (12,0.762)

𝑛=12 𝑝=0.762 2.- Elabore un diagrama de barras para la distribución de probabilidad binomial que representa Esta situación

3.- ¿Cuál es la probabilidad que los ocupantes de la parte delantera en exactamente 7 de los 12 vehículos seleccionados utilicen cinturones de seguridad? Aplicamos la fórmula para x= 7 𝑃 (𝑥 = 7) = (

12 ) (0.762)7 ∗ (0,238)5 = 0,09021832636 7

4.- ¿Cuál es la probabilidad que los ocupantes de la parte delantera de por lo menos 7 de los 12 vehículos utilicen cinturón de seguridad? (𝑥≥7)=(𝑥=7)+𝑃(𝑥=8)+⋯ +𝑃(𝑥=12)=0.09021+0.86611=0.95633 5.- ¿Cuál es la probabilidad que los ocupantes de la parte delantera de máximo 7 de los 12 Vehículos Es un Binomial (𝑛;𝑝)= 𝐵(12; 0.762) X= numero de vehículos que llevan los dos cinturones delanteros (𝑥7) (𝑥>7)=𝑃(𝑥=8)+𝑃(𝑥=9)+𝑃(𝑥=10)+𝑃(𝑥=11)+𝑃(𝑥=12) 𝑞=1−𝑝=1−0.762=0.238

6.- Encuentre el valor esperado del número de vehículos en los que los ocupantes de la parte delantera utilizan el cinturón de seguridad? 𝒏 𝑷(𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌 𝒌

12 𝑃(𝑥 = 8) = ( )(0.762)8(0.238)4 = 0.18053 8 12 𝑃(𝑥 = 9) = ( )(0.762)9 (0,238)3 = 0,25689 9 12

𝑃(𝑥 = 10) = (10)(0,762)10 (0.238)2 = 0.24674 12

𝑃(𝑥 = 11) = (11)(0,762)11 (0.238)= 0.14363 𝑃(𝑥 = 12) = (

12 )(0.762)12 = 0,86611 12

Entonces 𝑃 = (𝑥 > 7) = 𝑃(𝑥 = 8) + 𝑃(𝑥 = 9)+. . 𝑃(𝑥 = 12) = 0.86611 𝑃 = (𝑥 ≤ 7) = 1 − 𝑃 (𝑥 > 7) = 1 − 086611 = 0.13389 𝐸𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑋~𝐵(𝑛,𝑝) 𝑒𝑠 𝐸(𝑋)= 𝑛𝑝 𝑋~(12,0.762) 𝐸(𝑋) = 12 · 0.762 = 9.144

CASO 2 El Baloto, es la lotería en línea de Colombia, supervisado por ETESA (Empresa territorial para la salud). Es un juego que consiste en acertar 6, 5, 4 o 3 números en cualquier orden de una matriz del 1 al 45; El jugador señala en un tarjetón los 6 números que escoge. Los

números están representados en 45 balotas numeradas del 1 al 45. Cada número aparece una sola vez y las balotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. El premio acumulado se entrega a quien haga coincidir los seis números.

INFORME A PRESENTAR: Presente un informe en el que como mínimo incluya: 1.- ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Hipergeométrica? Identifíquelos (Sugerencia: Divida los 45 números en dos grupos: ganadores y no ganadores) Si cumple con la distribución Hipergeométrica será de la siguiente manera, existe una población se tomará como N, están compuesto por unos elementos que cumplen una propiedad la cantidad de dichos elementos se denomina con la letra d, luego debemos extraer una muestra n de la población y a distribución nos dará la probabilidad de lo que estemos buscando. N/ son los 45 números. d/ cantidad de elementos x / elementos con propiedad Los elementos que cumplen la propiedad son 6 que ha salido en el sorteo. La muestra que se toma es la de los 6 números La probabilidad que nos da el método Hipergeométrica es la de tener 0 a 6 ganadores. 2.- Usando la distribución de probabilidad Hipergeométrica determinar la probabilidad de que el jugador acierte los 6 números La fórmula para comprobar dicha probabilidad es la siguiente: (𝑑𝑥 ). (𝑁−𝑑 ) 𝑛−𝑥 𝑃(x) = (𝑁𝑛 ) Solución para acertar 6 números (6). (45−6) 1. (39) 1 𝑃(6) = 6 456−6 = 450 = 45! (6) (6) 39!.6!

39! .6! 6! 720 = = 45! 45.44.43.42.41.40 5864443200 1 = = 1.22773804 𝑿 10−7 = 0.000000122773804 8145060 La probabilidad para que el jugador acierte los 6 números es= 0.000000122773804 3.- La empresa encargada del sorteo informa que la probabilidad de que coincidan todos los números es de 1 en 8145060. ¿Qué significa esto en términos de probabilidad? Coincide esto con su respuesta anterior. El sorteo también otorga un premio si el jugador hace coincidir 3, 4 o 5 de los números ganadores 1 𝑃(6) = = 1.22773804 𝑿 10−7 8145060 Si coincide con el punto anterior ya que se llegó a la misma fracción. 4) Calcule la probabilidad, para hacer coincidir 3 de los 6 números ganadores. (𝑑𝑥 ). (𝑁−𝑑 ) 𝑛−𝑥 ( ) 𝑃 x = (𝑁𝑛 ) Solución para acertar 3 números (63). (45−6 ) 6.5.4 (39 ) 6−3 3! 𝑃(6) = = 45 3 45 (6) (6) 39.38.37 20 . 20 . 9139 182780 3! = = = 45.44.43.42.41.40 8145060 8145060 6! = 0.02244059589 La probabilidad para que coincida 3 de los 6 números ganadores es = 0.02244059589 5) Calcule la probabilidad de que coincidan 4 de los 6 números ganadores (𝑑𝑥 ). (𝑁−𝑑 ) 𝑛−𝑥 𝑃(x) = (𝑁𝑛 ) Solución para acertar 4 números 6.5 39 .( 2) (64). (45−6 ) 6−4 2 𝑃(6) = = = (45 ) (45 ) 6 6 39.38 15. 2 15.741 11115 741 = = = 8145060 8145060 8145060 543004 = 0.001364630831 La probabilidad para que el jugador acierte los 4 números es = 0.001364630831 6) Calcule la probabilidad de que coincidan 5 de los 6 números ganadores (𝑑 ). (𝑁−𝑑) 𝑃(x) = 𝑥 𝑁𝑛−𝑥 (𝑛 ) Solución para acertar 4 números

𝑃(6) =

(65). (45−6 ) 6−5

6. (39 ) 1

= 45 = (45 ) (6) 6 6 . 39 234 39 = = 8145060 8145060 1357510 = 2.872807014 . 10−5 = 0.00002872807014 La probabilidad para que el jugador acierte los 5 números es = 0.00002872807014 7) Con base en los resultados obtenidos, ¿usted invertiría dinero en el BALOTO? La verdad creo que no invertiría en Baloto ya que este sorteo es dios y suerte que uno logre ganar en este juego no es muy fácil acertar con 3 cifras, ahora acertar con 6 o 5 es casi imposible.

CASO 3. La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos. Esta distribución posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en envíos, el número de clientes que esperan mesa en un restaurante, el número de accidentes en una carretera en un periodo determinado. La compañía de aviación Delta Airlines, se caracteriza por su responsabilidad y cuidado con el equipaje de sus pasajeros, por lo que pocas veces se pierde equipaje. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres, etc. Suponga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 300 maletas perdidas. De esta manera, el número promedio de maletas perdidas por vuelo es de 0.3. Prepare un informe en el que como mínimo, incluya: 1.- ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Poisson? Identifíquelos El número de maletas que se espera se pierdan en un promedio de 1000 vuelos.

La distribución de poisson suele emplearse con sucesos de probabilidades pequeñas y/o muy escazas. En este caso el suceso que rara vez ocurre es que una maleta se pierda en la mayoría de vuelos de Delta airlines lo que significa que la probabilidad que ocurra es muy pequeña. µ= (media del # de ocurrencias) No. de veces que se espera ocurra el fenómeno µ=3001000= 0,3 x = No. de ocurrencia del evento = 0 2.- Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo no se pierda ninguna maleta. 𝑃 (0) =

(𝑂, 3)0 (𝑒 −0,3) = 0,74 ∗ 100 = 74% 0

Significa que el 74% de los vuelos realizados (o 740 vuelos) no tuvo ninguna maleta perdida. 3.- Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierda exactamente una maleta. (0,3)1(𝑒 −0,3 ) 𝑥= = 0,222 ∗ 100: 22% 1 Significa que el 22% de los vuelos (unos 220 vuelos) tendrá una maleta perdida. 4.- Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierdan entre dos y cuatro maletas. Tabla de Poisson para valores de µ (0-4) u x 0,1 0,2 0 0,904 0,818 1 0,09 0,163 2 0,004 0,016 3 0,002 0,001 4 0,000 0,0001 𝑃(2) =

0,3 0,74 0,22 0,033 0,003 0,0003

0,4 0,67 0,268 0,053 0,007 0,0007

(0,3)2(𝑒 −0,3 ) = 0,033 ∗ 100 = 3.3% 2

0,5 0,60 0,30 0,075 0,012 0,001

(0,3)3(𝑒 −0,3 ) 𝑃(3) = = 0,003 ∗ 100 = 0,3% 3 𝑃(4) =

(0,3)4 (𝑒 −0,3) = 0,0003 ∗ 100 = 0,03% 4

La probabilidad de que el número de maletas perdidas por vuelo se incremente de 2 a 4 es cada vez menor. 5.- Podría establecer cuál es la probabilidad de que se pierdan en un vuelo más de cuatro maletas. X˃4 𝑃(𝑥) =

(0,3)𝑋 (𝑒 −0,3) x

X=5 𝑃(5) =

(0,3)5 5

= 0,0000036 ∗ 100 = 0,00036%

La probabilidad cada vez según las condiciones anteriormente mencionadas es cada vez más inexistente. 6.- ¿En qué momento debe sospechar el supervisor de la Aerolínea que en un vuelo se están perdiendo demasiadas maletas? En el 22% de los vuelos se sabe que se perderá en promedio 1 maleta, que esta cifra se incremente tiene una posibilidad más reducida de ocurrencia, así que una maleta se puede perder pero cada vez menos se perderán un mayor número de maletas. Caso 4 Para una población grande de personas sin hogar, Wong y Piliavin (2001) examinaron factores de estrés, recursos y agotamiento psicológico empleando la Escala de Depresión del Centro de Estudios Epidemiológicos (CESD), un cuestionario de evaluación comunitario.

Entre las personas sin hogar, la puntuación media del cuestionario CESD es 23,5 con una desviación estándar de 7.5 y se considera que para la Variable X = puntuación del CESD, la distribución es normal. Como trabajador en el área de admisiones en un refugio para personas sin hogar, usted es el encargado de aplicar el CESD y debe evaluar los resultados para las nuevas personas que lleguen al centro. Dentro de las políticas del refugio se encuentra que cualquier persona cuya puntuación sea de 20 o más puntos en el CESD debe enviarse a ver a un doctor. 1. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio sea enviado a ver al doctor. Z= ( 20 – 23) / 7.5 = - 0.47 𝑧=−0,466̂≈−0,47 (𝑧=−0,47)=0,1808→18,08% 𝑃(𝑧≥−0,47)=0,1808+0,5=0.6808→68.08% La probabilidad de que una persona que llegue al refugio sea enviada a ver el doctor es de 68.08 % 2. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntación de 10 o menos puntos. Z = ( 10 – 23 ) / 7.5 = - 1.8 P (Z = -1.8) = 0.4641 → 46.41 % P ( Z ≤ - 1.8) = 0.5 - 0.4641 = 0,0359 → 3.59% La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntuación de 10 o menos puntos es de 3.59 % 3. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntuación entre 16 y 20 puntos. Solución 𝑍1 =

𝑋 − 𝜇 16 − 20 4 = =− = −0.54 𝜎 7.5 7.5

𝑍2 =

𝑥 − 𝜇 20 − 20 0 = = =0 𝜎 7.5 7.5

( −0.54