Trabajo1.SistemasDeColas

Universidad Dr. José Matías Delgado Facultad de Ingeniería Industrial

Investigación de Operaciones 2

“Siste mas de Colas”

Alumno s Alejandra María Velasco Barrera Arturo Ricardo López Rodas Carlos Alberto Viche Romero Patricia Stephanía Alonso García Rene José Jardín Alberto

Catedrátic o 1

Ing. René Linares

Fecha de Entrega Jueves, 18 de agosto 2011

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Índice Introducción al Sistema de Colas............................................................................................ 4 Los elementos de un modelo de colas. .............................................................................. 4 La Distribución Exponencial................................................................................................ 5 CAPITULO 1..................................................................................................................... 6 1.1 Modelo de Colas de Poisson Generalizado. ..................................................................... 6 1.1.1 Concepto.................................................................................................................... 6 1.1.2Fórmulas. .............................................................................................................. ...... 7 1.1.3Casos de Aplicación. ................................................................................................... 8 CAPITULO 2.................................................................................................................... 12 2.1 Colas Especializadas de Poisson. .................................................................................... 12 2.1.1 Concepto.................................................................................................................. 12 2.2 Notación General de la Situación General de Colas. ...................................................... 13 2.2.1Concepto. ............................................................................................................. .... 13 2.3 Medidas de Rendimiento de Estado Estable. ................................................................. 15 2.3.1 Concepto.................................................................................................................. 15 2.3.2 Fórmulas. ................................................................................................................. 15 2.3.3 Casos de Aplicación. ............................................................................................... 17 2.4 Modelo de Un Solo Servidor........................................................................................... 20 3

2.4.1 Concepto.................................................................................................................. 20 2.4.2 Fórmulas y Casos de Aplicación............................................................................... 20 2.5 Modelo de Servidores Múltiples. ................................................................................... 25 2.5.1 Concepto.................................................................................................................. 25 2.5.2 Fórmulas y Casos de Aplicación............................................................................... 25 2.6 Modelo de Servicio de Máquinas. .................................................................................. 32 2.6.1 Concepto.................................................................................................................. 32 2.6.2 Fórmulas. ................................................................................................................. 32 2.6.3Casos de Aplicación. ................................................................................................. 32 2.7 Fórmula de Pollaczeek-Khintchine (PK)......................................................................... 35

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2.7.1 Concepto.................................................................................................................. 35 2.7.2Fórmula................................................................................................................. .... 35 2.7.3 Casos de Aplicación. ........................................................................................... 35 Conclusión ....................................................................................................................... ..... 38 Bibliografía........................................................................................................................ .... 39

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Introducción al Sistema de Colas Un sistema de colas es aquel que tiene como propósito cuantificar el fenómeno de espera por medio de colas, esta cuantificación la logra mediante medidas representativas como la eficiencia, longitud promedio de cola, el tiempo promedio de espera y la utilización de las instalaciones. Un análisis de Colas es funcional a la hora de optimizar los costos, es decir, que la suma de los costos de ofrecer cualquier servicio y el tiempo de esperar por dicho servicio, se reduzcan al mínimo.

Los elementos de un modelo de colas. Los principales elementos son el cliente y el servidor. Existen otros elementos como la fuente de clientes y la instalación, que es en donde los clientes pueden recibir servicio inmediato o esperar en la línea de espera. La fuente puede ser finita o de infinita. Para realizar un buen análisis de cola se representa el proceso de llegada a las instalaciones como tiempo entre llegadas de los clientes, y el servicio brindado se describe con el tiempo de servicio por cada cliente; ambos tiempos pueden ser probabilísticos o determinísticos. A la hora de efectuar un análisis de colas, el tamaño de la cola desempeña un papel importante

ya que

este puede ser finito o

infinito. A su vez, la disciplina de cola es fundamental ya que con ella se determinara la manera en la cual los clientes serán seleccionados para ser atendidos, la más común es la de “primero llegar, primero en servirse” (PLPS), pero existen otras como: •

Último en Llegar, Primero en Servirse (ULPS)

•

Dar Servicio en Orden Aleatorio (SEOA)

•

Disciplina en general o cualquier tipo de disciplina (DG)

•

Que los clientes se coloquen en la cosa por orden de prioridad.

6

El comportamiento del cliente humano juega un papel importante ya que este se puede saltar de una cola a otra o rehusar a utilizar tal recurso tomando en cuenta lo anterior y además el tipo de servicios que se ofrezcan,

se debe seleccionar el tiempo de diseño ideal para la

instalación ya que estos diseños pueden estar en paralelo, en serie o en red. Una vez explicados los elementos del análisis de colas, se puede hablar del papel que juega la distribución exponencial en el modelo de colas, ya que tiene una relación directa con la distribución de Poisson que será utilizada para resolver problemas del modelo de colas de una forma eficaz y comprensible.

La Distribución Exponencial Por lo general la llegada de los clientes se hace de manera aleatoria es decir, que la ocurrencia de un evento no está influida por el tiempo que haya transcurrido desde la ocurrencia del evento anterior. Es por eso que los tiempos aleatorios entre llegadas se puede describir con la distribución exponencial de la siguiente manera:

Al hecho que la distribución exponencial sea totalmente aleatoria y las probabilidades de ocurrencia sean totalmente independientes al tiempo desde la última ocurrencia se le llama amnesia o falta de memoria de la exponencial. La distribución exponencial

se utiliza para describir el tiempo entre

llegadas en el modelo de nacimientos puros (solo permite llegadas) y el tiempo entre salidas en el modelo de muerte pura (solo se permiten salidas). Por otro lado, la distribución de Poisson establece que los tiempos entre llegadas y de servicio tienen una distribución exponencial.

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CAPITULO 1 1.1 Modelo de Colas de Poisson Generalizado. 1.1.1 Concepto. Este modelo se basa en el comportamiento a largo plazo también conocido como estado estable, este estado se logra luego de que el sistema de colas ha funcionado por un tiempo suficientemente largo. El análisis que se realiza difiere con el comportamiento transitorio, que se sostiene durante el inicio del funcionamiento del sistema. Para razones de estudio, se analizan los sistemas de cola bajo un estado estable. En el modelo generalizado se supone que las frecuencias de llegada y de salida dependen del estado, o sea que dependen de la cantidad de clientes en la instalación. Para la correcta utilización de la ecuación de Poisson se definen la siguiente notación:    

n= Cantidad de clientes en el sistema (en la cola y en el servicio). λn= Frecuencia de llegada cuando hay n clientes en el sistema. µn= Frecuencia de salida cuando hay n clientes en el sistema. Pn= Probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el sistema.

Para tener los datos correctos hay varias consideraciones a tomar, como las siguientes:

1 Las probabilidades Pn se calculan utilizando el diagrama de frecuencia de transición mostrado en la siguiente figura:

λn-1

λ0 λ1

0 2

1

…

λn

n-1

8

n

n+1

…

µ1 µn

µn+1 µ2

9

2

Para n > 0 el estado n solo puede cambiar a dos estados posibles: • •

µn n+1: cuando hay una llegada con frecuencia λn n-1: cuando hay una salida con frecuencia

3

El estado 0 solo puede cambiar al estado 1 cuando hay una llegada con frecuencia λ0

4

no se puede definir sistema está vacío.

µn ya que no pueden existir

salidas si el

5 En condiciones de estado estable, para n>0 las tasas esperadas del flujo de entrada y salida del estado n deben ser iguales.

1.1.2Fórmul as. Tomando en cuenta el diagrama de frecuencia de transición mostrado anteriormente, la condición de estado estable y considerando a n > 0, se pueden deducir las formulas a utilizar en el Modelo de Colas de Poisson Generalizado. -

Tasas esperadas de flujo.

Tasas esperada de flujo hacia el estado Tasas esperada de flujo que sale del estado -

Frecuencias de salida y de llegada. (Se obtienen a partir de una ecuación de balance.)

-

Probabilidad de n=0 (Realizando una ecuación de balance para n=0)

⁄

ec.

1 -

Probabilidad de n=1 (Realizando una ecuación de balance para n=1) ec. 2

Simultaneando la ecuación 1 y la ecuación 2 se obtiene:

Por lo anterior, se puede expresar la formula general para calcular Pn de la siguiente manera:

-

Fórmula para Calcular P0

∑

1.1.3Casos de Aplicación.

1. En una peluquería se atiende e un cliente cada vez, y tiene tres sillas para los clientes que esperan. Si el lugar está lleno, los clientes van a otra parte. Las llegadas siguen una distribución de Poisson con una media de 4 por hora. El tiempo de un corte de pelo es exponencial, con 15 minutos de promedio. Determine lo siguiente: a) La probabilidad de estado estable λ = 4 clientes por hora 4,

n= 0 , 1 , …. , 4

λn = 0,

µn =

n

5

= 4 clientes/hora

( )

( )

( )

p0 = p1=

b) La cantidad esperada de clientes en la peluquería.

La cantidad de Clientes es 2

c) La probabilidad de que los clientes vayan a otra parte por estar lleno el local.

La Probabilidad es de 0.2

2. Considere la situación de una línea de espera con un solo servidor donde las tasas de llegadas y salidas son constantes y están dadas por λn=4 llegadas/hora y μn=5 salida/hora para toda n>=0

a) probabilidad de estado estable de no tener a alguien en el sistema. b) probabilidad de que el sistema no este vacío.

-

λn=4

-

μn=5 salida/hora

-

llegadas/hora

de que este vacío.

•

P1= (4/5)Po

•

P5= (4/5)^5Po

•

P2= (4/5)^2Po

•

P6= (4/5)^6Po

•

P3= (4/5)^3Po

•

P7= (4/5)^7Po

•

P4= (4/5)^4Po

•

P8=(4/5)^8Po

Po{1+(4/5)+(4/5)^2+(4/5)^3+(4/5)^4+(4/5)^5+(4/5)^6+...}=1 Po{1/(1-4/5)}=1 Po=1/5

a) Probabilidad de que el sistema este vacío: Po=1/5=0.2

b) Probabilidad de que el sistema no este vacío: 1-Po= 1-0.2 = 0.8

Po= probabilidad

3. El First Bank of Springdale tiene un cajero automático que despacha a automovilistas que forman una línea. Los vehículos llegan siguiendo una distribución de Poisson, con una frecuencia de 12 por hora. El tiempo necesario para hacer una transacción en el cajero es exponencial, con 6 minutos de promedio. En la línea cabe un total de 10 automóviles. Una vez llena, los automóviles que lleguen deben irse a otra parte. Calcule lo siguiente:

a) La probabilidad de que un vehículo que llegue no pueda usar el cajero, porque la línea está llena. b) La probabilidad de que un vehículo no pueda usar el cajero inmediatamente al llegar. c) La cantidad promedio de vehículos en la línea. λ= 12 carros/min μ= 10 carros/hora n=10 carros

• • • • • •

P1=(6/5)Po P2=(6/5)^2Po P3=(6/5)^3Po P4=(6/5)^4Po P5=(6/5)^5Po

• • • • •

P6=(6/5)^6Po P7=(6/5)^7Po P8=(6/5)^8Po P9=(6/5)^9Po P10=(6/5)^10Po

Po{1+(6/5)+(6/5)^2+(6/5)^3+(6/5)^4+(6/5)^5+(6/5)^6+(6/5)^7+(6/5)^8+(6/5)^9+(6/5)^10}=10

Po=0.0311

a) Probabilidad de que la línea este llena: P10= (6/5)^10(Po)=(6/5)^10(0.0311)=0.1926

b) Probabilidad de que un vehículo no pueda usar el servicio inmediatamente: 1-Po= 1-0.0311= 0.9689

c)

Cantidad de vehículos en cola: 0Po+1P1+2P2+3P3+4P4+5P5+6P6+7P7+8P8+9P9+10P10= 6.7098≈ 7 Vehículos

CAPITULO 2 2.1 Colas Especializadas de Poisson. 2.1.1 Concepto. El caso de colas especializadas de Poisson tiene como estudio aquellos casos en los cuales existe “c” servidores colocados en paralelo. El servidor en paralelo es aquel que brinda al cliente la facilidad de seleccionar la cola del primer servidor disponible. La frecuencia de llegadas al sistema es

λ

por unidad de tiempo y La

tasa de servicio en cualquier servidor en paralelo es

µclientes

por

unidad de tiempo. La cantidad de clientes en el sistema incluye los que hay en el servicio y en la cola. El esquema del sistema se muestra continuación.

a

Instalación de Servici o

Frecuenc ia de llegadas λ

Col a

Servid or 1

Servid or

Clientes

Servid or

Frecuencia de Salidas µ Frecuenc ia de Salidas µ Frecuenc ia de Salidas µ

Sistem a

2.2 Notación General de la Situación General de Colas. 2.2.1Concepto. •

Notación de Kendall para el caso de colas especializadas de Poisson:

(a/b/c) : (d/e/f) En donde: a= Distribución de llegadas. b= Distribución de Salidas (o del tiempo de servicio). c= Cantidad de servidores en paralelo (=1,2,…, ∞) d= Disciplina de la cola. e= Cantidad máxima (finita o infinita) admisible en el sistema (tanto cola como servicio). f= Tamaño de la fuente (finito o infinito). •

Las notaciones que se utilizan para representar las distribuciones de llegada y salida (a,b) son:

M= Distribución de Markov (o de Poisson) de las llegadas o salidas también llamada distribución exponencial del tiempo entre llegadas o tiempo de servicio. D= Tiempo constate (determinístico)

Ek= Distribución de Erlang o gamma del tiempo (suma de distribuciones exponenciales independientes) GI= Distribución General del tiempo entre llegadas. G= Distribución General del tiempo de servicio.

•

La notación de disciplinas de cola (d) se describe de la

siguiente manera: PLPS: primero en llegar, primero en servirse. ULPS: Último en llegar, primero en servirse. SEOA: Servicio en orden aleatorio. DG: Disciplina General

•

Ejemplo de lectura de notación:

(M/D/10) : (DG/20/∞) -

Utiliza llegadas de Poisson o tiempo entre llegadas de tipo exponencial.

-

Tiempo constaste de servicio.

-

10 servidores en paralelo.

-

La disciplina de cola es de DG es decir, cualquier tipo de disciplina

-

Existen 20 clientes en todo el sistema.

-

Y el tamaño de la fuente es infinito.

2.3 Medidas de Rendimiento de Estado Estable. 2.3.1 Concepto. •

Medidas de rendimiento de estado estacionario o estable

Ls= Cantidad esperada de clientes en el Sistema. Lq= Cantidad esperada de clientes en la Cola Ws= Tiempo esperado de espera en la Sistema. Wq= Tiempo esperado de espera en la Cola. = Cantidad esperada de Servicios Ocupados.

2.3.2 Fórmulas. -

Cantidad esperada de clientes en el sistema

Ls= ∑ -

Cantidad esperada de clientes en la cola

Lq = ∑

-

Formula de Little (relaciones Ls-Ws, Lq-Wq)

Ls=λef* Ws

En donde:

λef=

Frecuencia efectiva de llegada al sistema. Es igual a la tasa (nominal) de

llegada λ cuando todos los clientes que se llegan se unen al sistema. Nota: Si

λef=0 a su vez se dice que: λef= 4(Po+P1+P2+...) = 4 llegadas por hora Calcular: a) Ls b)Lq c) Ws d) Wq

a) Cantidad de clientes en el sistema:

Ls= ∑

; Pn=

Ls= 0Po+1P1+2P2+3P3+4P4+... Ls= 4 clientes esperados en el sistema

b) Cantidad de clientes en cola: Ls = Lq + λef/ 4= Lq+4(Po+P1+P2+...)/5 4=Lq+4/5 Lq=3.2≈ 4 Clientes en Cola

c) Tiempo de espera en el sistema: Ws Ls= λef Ws Ls/ λef=Ws ; 4/4= Ws ; 1=Ws Ws= 1 hora estimada de espera en el sistema

d) Tiempo de espera en la fila: Wq Lq= λef Wq Lq/ λef=Wq; 3.2/4=Wq=0.8 Wq= 0.8 hora estimada de espera en fila

2.4 Modelo de Un Solo Servidor. 2.4.1 Concepto. El Modelo de un solo Servidos

es un caso especial del modelo

generalizado explicado con anterioridad en la sección 2.2. El modelo ocurre cuando c=1 en donde las llegadas suceden con la frecuencia de

λ

clientes por unidad de tiempo y la tasa de servicio es

µ

por unidad de tiempo. Para este ocuparán:

modelo

se

-

Notación de Kendall (sección 2.2.1)

-

Deducciones de Pn (sección 1.1.2)

-

Medidas de rendimiento (sección 2.3)

-

DG: Disciplina General.

2.4.2 Fórmulas y Casos de Aplicación.

• Modelo (M/M/1) : (DG/∞/∞) de Utilización = ⁄ Factor Numero esperado de clientes en el sistema: Tiempo de espera: Número de clientes esperado en la cola:

y

de clientes

1.

Lavado Autómata para automóviles funciona solo con un lugar. Los autos llegan siguiendo una distribución de Poisson, con 4 autos por hora, que pueden esperar en el estacionamiento de la instalación, si el lugar de lavado está ocupado. El tiempo para lavar y limpiar un automóvil es exponencial, con 10 minutos de promedio. Los automóviles que no se pueden estacionar en la instalación pueden esperar en el arroyo junto al lavado. Eso quiere decir que para todo fin práctico no hay límite del tamaño del sistema. El gerente de la instalación desea determinar el tamaño del estacionamiento.

Para este caso λ = 4 automóviles por hora µ=

Como

= 6 automóviles por hora

el sistema puede funcionar en condiciones de

estado estable. a) Determine la utilización porcentual del lavador de automóviles. ( )

( )

b) Determine la probabilidad de que un automóvil que llega deba esperar en el estacionamiento para ser lavado.

c)

Si hay siete cajones de estacionamiento, determine la probabilidad de que un automóvil que llegue encuentre un cajón vacío.

( )

( )

2. John Macko es alumno en la U de Ozark. Hace trabajos extraños para aumentar sus ingresos. Las peticiones de trabajo llegan en promedio cada 5 días, pero el tiempo entre ellas es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial, con una media de 4 días. Resolver: a) Cual es la probabilidad de que le falte trabajo a John? b) si John cobra unos 50$ por cada trabajo, cuál es su ingreso mensual promedio? c) si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a 40$ cada uno, cuanto debe esperar para pagar en promedio? Datos λ=1/5trabajos/día μ=1/4trabajos/día

-

ρ=λ/μ=(1/5)/(1/4) = 0.8

Desarrollo a) Tomando en cuenta que si: ρ