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2017

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CULIACÁN

DINÁMICA DE SISTEMAS: BLOQUE 1 TRABAJO 1 FABIAN FRANCO FÉLIX

| CULIACÁN, SINALOA A 8 DE MARZO DE 2017

DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

1. Una persona en un paracaídas salta de un avión. Asuma que no hay viento y que el paracaídas provee amortiguamiento viscoso relativo a un marco de referencia fijo. El paracaídas tiene una masa 𝑴𝑷 relativamente pequeña y un coeficiente de amortiguamiento 𝑩𝑷 grande. La persona que salta tiene una masa 𝑴𝑱 relativamente grande y un coeficiente de amortiguamiento 𝑩𝑱 pequeño. Las cuerdas que unen a la persona con el paracaídas se consideran elásticas. El efecto elástico de estas cuerdas se representa a través de una constante de resorte 𝑲𝑹 .La deformación del mismo paracaídas también se incluye en 𝑲𝑹.

a) Dibuje los diagramas de cuerpo libre y encuentre las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la persona y el paracaídas. Tome como referencia la altura del avión, de tal forma que el desplazamiento del paracaídas 𝒙𝑷 y el desplazamiento de la persona 𝒙𝒋 son ambos cero cuando t = 0. Considere la dirección positiva de los desplazamientos hacia abajo. 𝐵𝑃 𝑋𝑃̇ 𝑀𝑃 𝑋𝑃̈

𝐾𝑅 (𝑋𝐽 − 𝑋𝑃 ) 𝑀𝐽 𝑋𝐽̈ 𝐵𝐽 (𝑋𝐽̇ )

𝑀𝑃 𝑔 𝐾𝑅 (𝑋𝐽 − 𝑋𝑃 )

𝑋𝐽 (𝑔) 1

DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

𝐵𝑃 𝑋𝑃 − 𝑀𝑃 𝑋𝑃̈ + 𝐾𝑅 (𝑋𝐽 − 𝑋𝑃 ) + 𝑀𝑃 (𝑔) = 0 𝑋𝑃̈ = −

𝐵𝑃 𝑋̇𝑃 𝐾𝑅 𝑋𝐽 𝐾𝑅 𝑋𝑃 + − +𝑔 𝑀𝑃 𝑀𝑃 𝑀𝑃

1−. 𝑋𝑃̈ = 10𝑋𝑃̇ + 40𝑋𝐽 − 40𝑋𝑃 + 9.8 −𝐾𝑅 (𝑋𝐽 − 𝑋𝑃 ) − 𝑀𝐽 𝑋̈𝐽 − 𝐵𝐽 (𝑋̇𝐽 − 𝑋̇𝑃 ) + 𝑀𝐽 (𝑔) = 0 𝑋̈𝐽 =

−𝐾𝑅 𝑋𝐽 𝐾𝑅 𝑋𝑃 𝐵𝐽 𝑋̇𝐽 𝐵𝐽 𝑋̇𝑃 + − + +𝐺 𝑀𝐽 𝑀𝐽 𝑀𝐽 𝑀𝐽

2−. 𝑋̈𝐽 = −

𝐾𝑅 𝑋𝐽 𝐾𝑅 𝑋𝑃 𝐵𝐽 𝑋𝐽 𝐵𝐽 𝑋̇𝑃 + − + +𝑔 𝑀𝐽 𝑀𝐽 𝑀𝐽 𝑀𝐽

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DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

b) Dibuje un diagrama en Simulink para representar las ecuaciones del sistema. Utilice los 𝑺

siguientes valores de parámetros: 𝑴𝑷 = 𝟏𝟎 𝒌𝒈, 𝑴𝑱 = 𝟔𝟎 𝒌𝒈, 𝑩𝑷 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵 ∗ 𝒎 , 𝑩𝑱 = 𝒔

𝑵

𝟏𝟎 𝑵 ∗ 𝒎 , 𝑲 = 𝟒𝟎𝟎 𝒎.

Figura 1. Diagrama en SIMULINK de las ecuaciones del Sistema de la persona y el paracaídas.

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DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

c) Simule lo siguiente: La persona salta del avión y el paracaídas abre. Considere t = 0 como el instante cuando el paracaídas abre. En ese instante las cuerdas no están ni estiradas ni flojas. En el instante t = 0, la persona y el paracaídas está cayendo a una velocidad de 20 m/s .Simule los primeros 3 segundos después que el paracaídas abre. Grafique Desplazamiento, velocidad y aceleración de la persona y del paracaídas. Igualmente grafique la elongación de las cuerdas del paracaídas.

Figura 2.Comportamiento dinámico del paracaídas. a) Se muestra la gráfica de desplazamiento. b) Gráfica de la velocidad. c) Gráfica de la aceleración.

Figura 3. Comportamiento dinámico de la persona. . a) Se muestra la gráfica de desplazamiento. b) Gráfica de la velocidad. c) Gráfica de la aceleración.

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DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

En la parte superior se muestran los comportamientos de desplazamiento, velocidad y aceleración del paracaídas y la persona (figura 2 y 3). En las gráficas del desplazamiento se muestra cómo va aumentando la magnitud de este debido a que permanece con una aceleración en la mayoría del tiempo. Al igual que en la gráfica desplazamiento, la magnitud de la velocidad va aumentando, debido a que la magnitud de la aceleración se mantiene siempre positiva en el trayecto analizado. La gráfica de la aceleración muestra como la magnitud va disminuyendo debido a la acción contraria al movimiento que llevan la persona y el paracaídas.

Figura 4. Gráfica de la elongación de la cuerda entre el paracaídas y la persona.

La figura 4 muestra el comportamiento de la elongación de la cuerda entre la persona y el paracaídas. El primer cambio muestra como la cuerda se “comprime” aunque esto no se da como tal, y a partir de ahí surge el otro cambio donde la cuerda se comienza a estirar después de los 2.5 s.

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DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

2. Considere el siguiente sistema mecánico.

a) Dibuje los diagramas de cuerpo libre y escriba las ecuaciones diferenciales del 𝐾2sistema. 𝑋2 𝐾1 (𝑋1 − 𝑋2 ) 𝑀2 𝑋̈2

𝐵(𝑋̇1 − 𝑋̇2 ) 𝑀1 𝑋̈1

𝑀2 𝑀1 𝑋2 (𝑔) 𝐵(𝑋̇1 − 𝑋̇2 )

𝑓𝑎 (𝑡)

𝐾1 (𝑋1 − 𝑋2 )

𝑀1 (𝑔)

−𝐾2 𝑋2 − 𝑀2 𝑋̈2 + 𝐾1 (𝑋1 − 𝑋2 ) + 𝐵(𝑋̇1 − 𝑋̇2 ) + 𝑀2 (𝑔) = 0 𝑋̈2 =

𝐵𝑋̇1 𝐵𝑋̇2 𝐾2 𝑋2 𝐾1 𝑋1 𝐾1 𝑋2 − − + − +𝑔 𝑀2 𝑀2 𝑀2 𝑀2 𝑀2

1-. 𝑋̈2 = 4𝑋̇1 − 4𝑋̇2 − 4𝑋2 + 2𝑋1 + 9.8 −𝐾1 (𝑋1 − 𝑋2 ) − 𝐵(𝑋̇1 − 𝑋̇2 ) − 𝑀1 𝑋̈1 + 𝑀1 (𝑔) + 𝑓𝑎 (𝑡) = 0 𝑋̈2 =

−𝐵𝑋̇1 𝐵𝑋̇2 𝐾1 𝑋1 𝐾1 𝑋2 + − + + 𝑓𝑎 (𝑡) + 9.8 𝑀1 𝑀1 𝑀1 𝑀1

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DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

𝑋̈1 = −4𝑋̇1 + 4𝑋̇2 − 2𝑋1 + 2𝑋2 + 9.8

b) Dibuje el diagrama en Simulink para representar el sistema. Utilice los siguientes valores

de

parámetros

𝑺

𝑴𝟏 = 𝑴𝟐 = 𝟓 𝑲𝑮, 𝑩 = 𝟐𝟎 𝑵 ∗ 𝑴 , 𝒚 𝑲𝟏 𝒚 𝑲𝟐 =

𝑵

𝟏𝟎 𝑴 . 𝑳𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒇𝒂 (𝒕) 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍ó𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝟎 𝒂 𝟐𝟎 𝑵 𝒆𝒏 𝒕 = 𝟏𝒔.

Figura 5. Diagrama en SIMULINK para las ecuaciones del Sistema.

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DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

c) En Simulink, grafique los desplazamientos 𝒙𝟏 𝒚 𝒙𝟐para los primeros 5 segundos con condiciones iniciales igual a cero.

Figura 6. Comportamiento dinámico del cuerpo M2. . a) Se muestra la gráfica de desplazamiento. b) Gráfica de la velocidad. c) Gráfica de la aceleración.

Figura 7. Comportamiento dinámico del cuerpo M1. . a) Se muestra la gráfica de desplazamiento. b) Gráfica de la velocidad. c) Gráfica de la aceleración.

Las gráficas resultan ser producto de un movimiento tipo armónico y la señal de escalón que se introduce al inicio del sistema, lo cual se puede apreciar más claramente en la gráfica de la aceleración.

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DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

d) Repita los incisos b) y c) pero ahora considerando 𝒇𝒂 (𝒕) = 𝟎. Diagrama en SIMULINK

Figura 8. Diagrama en SIMULINK de las ecuaciones que representan el Sistema.

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DINÁMICA DE SISTEMAS UNIDAD 1

Gráficas del sistema

Figura 9. Comportamiento dinámico del cuerpo M2. . a) Se muestra la gráfica de desplazamiento. b) Gráfica de la velocidad. c) Gráfica de la aceleración.

Figura 10. Comportamiento dinámico del cuerpo M1. . a) Se muestra la gráfica de desplazamiento. b) Gráfica de la velocidad. c) Gráfica de la aceleración.

Las gráficas del cuerpo M1 y M2 muestran un movimiento armónico, típico de un sistema acomodado de esta manera. El sistema al no ser perturbado por fuerzas externas muestra la onda pura de este tipo de movimiento.

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