TRabajo Practico para Matematicas Discretas

Universidad Nacional de Luj´an L´ogica y Matem´atica Discreta Trabajo Pr´actico No5 Grafos y Arboles.

1. Considere el grafo G de la figura 1. a. Encontrar el conjunto de v´ertices y el conjunto de aristas de G. b. Encontar el grado de cada v´ertice. c. Deducir una relaci´on entre la suma de los grados de los v´ertices y la cantidad de aristas. 2. Considere el grafo de la figura 2. Encontrar: a. Todos los caminos simples de A a F . b. Todos los recorridos de A a F . c. La distancia de A a F . d. El di´ametro de G. e. Todos los ciclos que incluyen al v´ertice A. f. Todos los ciclos en G. 3. Considere los multigrafos de la figura 3. a. ¿Cu´ales son conexos? b. ¿Cu´ales son libres de ciclos (sin ciclos)? c. ¿Cu´ales son libres de lazos (sin lazos)? d. ¿Cu´ales son grafos simples? 4. Sea a. b. c. d. e. f.

G el grafo de la figura 4. Encontrar: Todos los caminos simples de A a C. Todos los ciclos. 0 El subgrafo H generado por V = {B, C, X, Y }. G\Y. Todos los puntos de corte. Todos los puentes.

5. Considere el grafo G de la figura 2. a. Encontrar el subgrafo que resulta de eliminar cada v´ertice. b. ¿Tiene G puntos de corte? 6. En los grafos obtenidos en el problema anterior, ¿Hay alg´ un par de grafos isomorfos? 7. Considere los grafos de la figura 5. a. ¿Cu´ales son recorribles, es decir que tienen caminos eulerianos? b. ¿Cu´ales son eulerianos, es decir que tienen un circuito euleriano? 8. ¿Cu´ales de los grafos de la figura 5 tienen alg´ un circuito hamiltoniano? 1

9. Demostrar el siguiente teorema: Un grafo conexo finito G es euleriano si y solo si todo v´ertice tiene grado par. 10. Trazar todos los a´rboles que hay con exactamente seis v´ertices. 11. Dibujar una representaci´on plana, en caso de ser posible, de los grafos de la figura 6. 12. Hallar el n´ umero V de v´ertices, el n´ umero E de aristas y el n´ umero R de regiones de cada mapa de la figura 7. Comprobar la f´ormula de Euler y encontrar el grado de cada regi´on exterior. 13. Encontrar el n´ umero m´ınimo de colores necesarios para pintar cada mapa de la figura 7. 14. Demostrar el teorema de Euler: V − E + R = 2. 15. Encontrar la matriz de adyacencia de cada grafo de la figura 8. 16. Dibujar el grafo correspondiente a cada una de las siguientes matrices de adyacencia.   0 1 0 1 0  1 0 0 1 1     A=  0 0 0 1 1   1 1 1 0 1  0 1 1 1 0 

1  3 B=  0 0

3 0 1 1

0 1 2 2

 0 1   2  0

17. Sea a. b. c. d.

G el grafo dirigido de la figura 9. Describa formalmente G. Encuentre todos los caminos simples de X a Z. Encuentre todos los caminos simples de Y a Z. Encuentre todos los ciclos en G.

18. Sea a. b. c.

G el grafo dirigido de la figura 9. Encuentre el grado de entrada y el grado de salida de cada v´ertice de G. Encuentre la lista de sucesores de cada v´ertice de G. 0 Encuentre el subgrafo H generado por V = {X, Y, Z}.

2