Trabajo Practico 3 de Geometria Proyectiva

Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. Tello”

TRABAJO PRACTICO N° 3 GEOMETRIA PROYECTIVA

1- EL PLANO PROYECTIVO Y SUS TRANSFORMACIONES 3.1 – EL PLANO PROYECTIVO  ¿Qué nombre recibe el plano ordinario de la geometría elemental? Se llama plano euclidiano al plano de la geometría euclidiana, es decir al plano que utiliza Euclides en sus Elementos, y para el cual valen todos los postulados establecidos en los mismos. Es el plano ordinario de la geometría elemental. 

Escribe las definiciones de las “Formas Proyectivas Fundamentales”. Realiza un gráfico de cada una de ellas, acompañado de su notación. Ceppi Con los elementos fundamentales, punto, recta y plano, pueden generarse un cierto número de formas llamadas fundamentales: Formas Proyectivas fundamentales generadas por: PUNTO a) PUNTUAL: Constituida por puntos de una recta.

b) PLANO PUNTUAL: Constituido por los puntos del plano.

c) ESPACIO PUNTUAL: Constituido por los puntos del espacio. Esta forma no es posible graficarla. Formas Proyectivas fundamentales generadas por: RECTA 1

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a) HAZ DE RECTAS: Constituido por rectas de un plano que pasan por un punto.

b) PLANO REGLADO: Constituido por las rectas de un plano.

c) RADIACION DE RECTAS: Constituido por las rectas que pasan por un punto.

Formas Proyectivas fundamentales generadas por: PLANO a) HAZ DE PLANOS: Constituido por los planos que pertenecen a una misma recta.

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b) RADIACION DE PLANOS: Constituida por planos que pertenecen a un mismo punto.

c) ESPACIO TANGENCIAL: Constituido por los planos del espacio. Esta forma no tiene nomenclatura y no la representamos. 

Enuncia los seis postulados fundamentales de la geometría proyectiva. Ceppi

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a) b) c) a) b)

Dos puntos determinan una recta. Tres puntos que no pertenecen a una misma recta, determinan un plano Un punto y una recta determinan un plano. Dos planos determinan una recta a la cual pertenecen. Tres o más planos que no pertenecen a una misma recta, determinan un punto. c) Un plano y una recta determinan un punto. 

¿Cuáles son las operaciones proyectivas? Descríbelas. Ceppi Se llaman operaciones proyectivas: 1. Proyectar (desde un punto a una recta). 2. Cortar (con una recta o un plano). Mediante las operaciones proyectivas se puede pasar de una forma a otra. Así si: Proyectamos desde un punto: Una puntual Un haz de rectas Una radiación de rectas Un plano puntual Un espacio puntual Un plano reglado

Un haz de rectas Un haz de planos Se obtiene

Una radiación de rectas Una radiación de planos

Proyectando desde una recta: Una puntual Un plano puntual Un espacio puntual

Se obtiene

Haz de planos.

Cortando desde una recta: Un haz de planos Una radiación de planos Un espacio tangencial

Se obtiene

Una puntual.

Cortando desde un plano: Un haz de planos Un haz de rectas Un plano reglado

Se obtiene

Un haz de rectas Una puntual.

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Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. Tello” Una radiación de rectas Una radiación de planos Un espacio tangencial

Un plano puntual Un plano reglado

Las operaciones de proyectar y cortar son contrarias. 

Enuncie el principio de dualidad en el espacio (PDE). Ceppi El principio de dualidad lo aplicamos a figuras formadas por puntos, rectas y planos. Se llega a la conclusión luego de observar los postulados fundamentales, que “Cambiando la proposición enunciada, las palabras punto por plano, y viceversa, llegaremos a demostrar una propiedad que se llamara dual o correlativa de la anterior en el espacio, de tal manera que la segunda, siendo una consecuencia lógica de la primera, no necesitara ser demostrada.”

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¿Qué hay que tener en cuenta cuando se aplica el PDE? ¿A la expresión “Proyectar” que expresión le corresponde. Ceppi Hay que tener en cuenta que la dualidad de dos proposiciones exige que a elementos que pertenecen a una de ellas le correspondan elementos que también se pertenecen en la otra. La operación de proyectar le corresponde, por dualidad, la operación de cortar.

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Enuncie el Principio de Dualidad en el Plano (PDP). Ceppi “Toda proposición que se establezcamos en el plano α tendrá su correspondiente en α1, con la sola diferencia que se habrá de cambiar únicamente la palabra punto por recta, y viceversa. La palabra plano permanece invariable.”

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Aplica el PDP a la expresión “dos puntos determinan una recta”. Grafica. ¿Es valida la propiedad dual en el plano euclidiano? ¿Por qué? Por el principio de dualidad en el plano, la expresión queda “dos rectas determinan un punto.” Esta propiedad no es válida en el plano euclidiano ya que si las rectas fueran paralelas no habría intersección por lo cual no determinarían un punto, es decir es válida si las rectas se cortan entre sí. Además a diferencia de la geometría proyectiva en la que dos rectas siempre se cortan en un punto, en la geometría euclidiana dos rectas pueden cortarse en un punto, con excepción de las rectas paralelas. 5

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¿Qué nombre recibe el punto determinado por dos paralelas? Dentro de la geometría proyectiva, Si consideramos una recta μ y un punto S fuera de ella. Un punto P de la recta μ proyectado desde S determina una recta SP. Si el punto P se mueve y pasa a una posición P´, le corresponde una nueva recta SP´; a la posición P´´, la recta SP´´; y así siguiendo. A medida que el punto P se aleja hacia derecha, la recta que lo une con S forma con la recta μ un Angulo cada vez más pequeño, pues va tendiendo a cero, limite que alcanza cuando la recta por S es la recta p paralela a μ. Decimos entonces que p y μ, y cualquier otra recta paralela a ellas, se cortan en un punto P ∞, llamado punto impropio (o punto en el infinito), y común a todas las rectas paralelas. El mismo razonamiento se realiza si moveríamos el punto a la izquierda. De aquí el punto impropio P∞ puede considerarse tanto a la izquierda como a la derecha de la recta y representa la dirección común de las rectas p y μ (y de todas las paralelas a ellas).

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¿Cómo se define gráficamente el punto impropio?

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¿Qué indica la recta que define un punto impropio? La recta que define un punto impropio define una dirección común a las rectas paralelas que lo generan.

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¿Qué significa la expresión “dos rectas tienen la misma dirección”? De aquí el punto impropio P ∞ puede considerarse tanto a la izquierda como a la derecha de la recta y representa la dirección común de las rectas p y μ (y de todas las paralelas a ellas). 6

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La consideración precedente nos lleva a la conclusión de que una recta tiene un solo punto impropio, es decir el punto P alejándose sobre la recta μ en cualquiera de los dos sentidos tiende al mismo limite P ∞ . Con este nuevo concepto, la línea recta aparece como un ente geométrico que se cierra en el infinito, de tal manera que si un punto se aleja en un sentido, después de pasar por la posición limite P ∞, aparece por el extremo opuesto al recorrido anteriormente. 

¿Teniendo en cuenta el concepto de punto impropio, dos rectas coplanares, siempre se cortan? Representa las diferentes posibilidades. Teniendo en cuenta el concepto de punto impropio dos rectas coplanares siempre se cortan, ya que se amplía el concepto de la geometría euclidiana en que dos rectas coplanares se intersectan con excepción de las rectas paralelas, y en la geometría proyectiva dos rectas paralelas se cortan en un punto impropio P∞.

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¿Por qué se dice que “cada recta tiene un punto impropio y solo uno”? Se dice que cada recta tiene un solo punto impropio partiendo de su definición se reprenta un movimiento de un punto hasta lograr llegar a un punto limite P ∞, en el cual en las rectas se unen los extremos de todas las paralelas.

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Explica porque el conjunto de todos los puntos impropios de un plano forman una recta ¿Qué nombre recibe esta recta? Si consideramos el caso de dos planos. Tomando un plano α y una recta r que no pertenezca a él, pero que sea paralela, llegamos a establecer que todo plano por r corta al plano α, según una recta t, con excepción del plano β, que es paralelo a α, caso que se obtiene como límite cuando la intersección de ambos planos se va alejando indefinidamente. Decimos que dos planos paralelos α y β determinan una recta impropia l ∞ (o recta en el infinito). Esta recta l∞ pertenece a todos los planos paralelos al α y define una orientación común. Dos rectas paralelas μ y p de los planos α y β, respectivamente, tienen en común un punto P ∞. Este punto impropio, evidentemente, pertenece a la recta impropia l∞. Variando la posición de las paralelas μ y p de los dos planos, obtenemos infinitos puntos impropios, todos ellos pertenecen a la recta impropia l∞. Luego esta orientación contiene las infinitas direcciones de todas las rectas de los planos α y β (y de cualquier plano paralelo a ellos). La línea l ∞, por contener todos los puntos P∞ del plano α, se los representa como una línea cerrada, que podemos imaginar intuitivamente considerando la circunferencia de radio infinito, que contiene, por lo tanto el punto en el infinito 7

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de cada uno de sus radios, o sea, de todas las dirección del plano. Esta recta se la llama recta impropia y se la simboliza l ∞. 

Define plano proyectivo. Se llama plano proyectivo al plano euclidiano ampliado con los puntos impropios.

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Explica cómo obtener una imagen del plano proyectivo. Realiza un gráfico y argumenta tu relato. Para obtener el plano proyectivo debemos partir de un plano π y un punto exterior O. Considerando el conjunto de rectas y planos del espacio que pasan por el punto O, se tiene: La radiación de vértice O constituye una representación del plano proyectivo, con el convenio de llamar “puntos” a las rectas de la radiación y rectas a los planos de la misma. Luego, al cortar con el plano π, a cada recta a que corte a π le corresponde un punto A de intersección, y a cada plano (a,b) determinado por las dos rectas, la recta AB determinada por los puntos correspondientes. Los puntos impropios de π corresponden a las rectas de la radiación contenidas en el plano π´, paralelo a π. A rectas paralelas de π les corresponde una misma recta paralela que pasa por O, contenida en el plano π´, o sea, un solo “punto” impropio. La recta impropia corresponde a π´. La radiación de vértice O, excluido en el plano π´, constituye una representación del plano euclidiano.

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¿Cuál es la afirmación equivalente en el plano proyectivo del postulado V de Euclides? El postulado V equivale a la afirmación de que un punto propio y un punto impropio determinan una sola recta, proposición valida en el plano proyectiva.

3.2 – RAZON DOBLE DE CUATRO PUNTOS: Su invariancia por proyecciones y secciones.  Define “Razón Doble”. Dados cuatro puntos sobre una misma recta r, y un cierto orden A, B, C, D entre ellos – independiente del orden que estén dados sobre r –, se llama razón doble o razón armónica de los mismos a la expresión: AC AD (ABCD)= BC : BD

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¿Dados cuatro puntos A, B, C y D, sobre una recta cuantas relaciones dobles se pueden formar? 9

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Se pueden formar 24 razones dobles con los cuatro puntos de una cuaterna, al variar el orden de los mismos, es decir realizando la permutación de los cuatro elementos. P= 4! = 24. 

Verifica las siguientes igualdades: (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA). Expresa una conclusión. (ABCD) = (BADC) AC AD BD BC : = : BC BD AD AC AC BD BD AC . = . BC AD AD BC 1=1

(BADC) = (CDAB) BD BC CA CB : = : AD AC DA DB BD AC CA DB . = . AD BC DA CB BD AC − AC −BD . = . AD BC −AD −BC 1=1 (CDAB) = (DCBA) CA CB DB DA : = : DA DB CB CA CA DB DB CA . = . DA CB CB DA 1=1

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Por propiedad transitiva se verifica que (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA). De las 24 formas que se podrían combinar estos cuatro elementos, para solo estos cuatro mantiene el valor. 

Enuncia, gráfica y demuestra el teorema de la invariabilidad de la relación doble. (Teorema 1) TEOREMA 1: “La razón doble de cuatro puntos es invariable por la operaciones de proyección desde un punto y sección con una recta”.

Dada una recta r y cuatro puntos A, B, C, D arbitrarios. Desde un punto P cualquiera, trazo un haz de rectas. Luego con una recta r 1 cualquiera corto este haz de recta, obteniendo los puntos A1, B1, C1, D1. Debemos demostrar que (ABCD) = (A1B1C1D1) AC AD A 1 C1 A1 D1 : = : BC BD B1 C 1 B 1 D1 1,5 4,5 0,99 2,66 : = : −1,5 1,5 −0,88 0,79 −0,3333333≅−0,33411654 11

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3.3 – RAZON DOBLE DE CUATRO RECTAS.  Define razón doble de cuatro rectas de un haz. Se llama razón doble de cuatro rectas de un haz, a la razón doble de los cuatro puntos que se obtienen de al cortar el haz con una recta cualquiera que no pase por el vértice.

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