TRABAJO PRÁCTICO #2 Determinantes
July 24, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2: De Determinante terminante Repaso de conceptos importantes Determinante de una matriz Es una función que asocia a una matriz cuadrada de orden
n x n un
escalar, se denota
con A (determinante de A)
Propiedades de los determinantes
| A t |= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A t son iguales.
Álgebra y Geometría Analítica. UTN- FRT. Guía de Trabajos Prácticos 2019
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|A| = 0
Si:
Posee dos filas (o columnas) iguales.
Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.
Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.
El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo
otra Si a multiplicados los elementospreviamente de una una fila (o una se leelsuman los determinante elementos deno por uncolumna) número real, valor del varía.. varía
Álgebra y Geometría Analítica. UTN- FRT. Guía de Trabajos Prácticos 2019
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Si se multiplica un determinante por un número real, distinto de cero,
queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.
Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos
sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen
invariantes.
Si A es cualquier matriz de
n × n y k es es
cualquier escalar, entonces:
El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de los factores.
A. B A . B
Menor complementario Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de
orden n − 1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. Por ejemplo:
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Adjunto o Cofactor
Dada una matriz cuadrada A de orden n×n, llamamos adjunto o cofactor del elemento aij al escalar
aij = (−1)i+j . M ij
por ejemplo:
Valor del determinante El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de
una fila (o una columna) por sus adjuntos correspondientes:
Ejemplo: Hallar el determinante apoyándonos en la primera columna:
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Ejercitación 1) Calcular los determinantes asociados a las siguientes matrices:
2 1 0 2
4
a. A
b. B
5 4 0 e. E 1 2 1 0 3 4
1
2
8
f.
G
1 1 2 3 1 2 d. D 4 5 6 c. C 1 7 8 9 2 4 a b a b h. g. K a b a b
sen cos cos sen
a 0 0 F =0 b 0 0 0 c 2) Calcular, del modo más conveniente, el valor de los siguientes
determinantes: 3
1
2
a) 0 - 1 1 4
0 3
d)
1
0
2
b) 3 0 2 -5
4 1
0
2
1
2
1
1
1
4
1
-6
1
d)
3
4 2
3
5
4 0 0
c) 9 - 3 2 0
2
2
2
1
3) Hallar el valor de k sabiendo que todos los determinantes siguientes son
nulos: 2
a. A
k
1
4
k 1
b.
d. R 0 k
b. D
k 3
5
1 k 1
c.
S
4
3k 3
5
15
k
k
8
5
k
2 3
1
0
4
4) Resolver la siguiente desigualdad:
3
2
1
x
1
2
1
2 0 1
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3 1 5 5) Dada la matriz: A 2 4 8 determinar de qué elementos son menores 0 1 2 complementarios los siguientes determinantes: a)
3
5
b)
2 8
3
5
0
2
6) Calcular el adjunto correspondiente a los elementos b12 y b13 de la matriz:
4 5 1 B 0 3 3 1 2 2 7) Resuelva la siguiente ecuación:
x 1
1
2
5
x 2 0
1
5 3 0 1
2 1 0 1
3 5
4 2 0
8) Calcular los determinantes asociados a las siguientes matrices:
1 I2 = 0
0
1
1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1
1 0 ..... 0 0 1 ..... 0 . In = .... .... ..... .... 0 0 0 1
¿Qué puede concluir? 9) Calcular los determinantes siguientes desarrollándolas por los cofactores
de una línea cualquiera. 5 2 0 3 R 1 3 1 6
0 2
2 5 0 2 0 3
2 5 3 0 1 1 E 6 0 2 1 1 0
1 4 1
3
10) Aplicand Aplicando o propiedades propiedades de los determinantes, determinantes, calificar con verdadero verdadero o
falso las siguientes igualdades. Enunciar las propiedades utilizadas en cada caso:
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5
a) 10 25
c)
6 3
8
x
5
1
4
x
4 2 x 10. 2
2
2x
6
5
3
y
3 1
2
y
8
2x
3 2
6
x
x
b) 8 4
2 3 2 1 2 1 0 1
2 8 1 4 0
3
5
ka kb a b d) k. kc kd c d
11) Demostrar que los siguientes determinantes son iguales a cero: b
1
3
a) b
1
8
b
1
6
d)
5
6
1
b) 3 x x 3 2
log 2
log 4
log 8
log 3
log 9
log 4
log 16 log 64
log 27
= (34 13) Sea = ( | con k y | | 12) Sea
14) Sea A M
e)
7
1
2
c) x 2
x
2x
x3
0
x2
5
x 3
1
3
2 3
-x
x
2 1 3
1 ), calcular 5A ¿Es |5| = 5 | |? 2 ), y un escalar k. Encuentre la fórmula que relaciona | || 3x3
y tal que A = 2. Calcular: a) 3A
15) Sabiendo que
A
x 3
y 0
z 2 5 calcular el valor de B
1
1
1
b) 1 A 2
23x 2 1
2y 0 1
2z 1 1
m r s 16) Sea la matriz D 2 2 2 .Si D 2. Calcula y justifica las respuestas p q t
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s 2r m
a. A 2 4 t 2q
m
r
b. B 1 1
2 p
p
q
s
1 t
4 m2 3 17) Hallar el valor de m para el cual 6 m
5 4
1 28 2
18) Calcular el valor de cada uno de los siguientes determinantes, aplicando
propiedades: 1 2
3 5 7
a) 4 3 2
d)
5
2
5
3
7
2
7
3
1
b) 0
6
6
3
11
9
1 0 3 3
3
c)
2
5
1
3
1
4
1
2 3 5
e) 1 4 2
f) a 8
5 7 5
2 3
2
3
2a
3a
9
10
19) Probar que: 1
1
a) b c c a a b b a c b a c bc
1
1
1
b) x
y
z x y y z z x
xz
xy
1
ca
yz
ab
20) Factorear los siguientes determinantes:
a)
1
a
a
2
1
b
b
2
1
c
c
2
x
c) x
2
x
3
y
1
y
2
1
y
3
1
b)
1
1
1
1
1 x
1
1
1
1 y
1
a
d) a b
1 a a
a 2
a 2
1 ab
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EJERCICIOS RESUELTOS: DETERMINANTES 1. Calcule del modo más conveniente el valor del siguiente determinante 6 A 9
2
4
3
0
2
0
0
Resolución En este caso el modo más conveniente consiste en desarrollar el determinante por los cofactores de la “3º fila” o “3º columna” ya que todos los elementos de cualquiera de ellas, excepto uno, son nulos. Si consideramos, por ejemplo, la “3º fila”: debemos calcular sólo un cofactor, el cofactor correspondiente al elemento
a 31 . A a 31C 31 a 31 ( 1)3 1 A 31 a 31 A 31 A 31
2
4
3
0
12 , entonces : A = 2.12 = 24
2. Aplicando propiedades de los determinantes, califique con “V” o “F” (verdadera o falsa) las siguientes igualdades, enuncie las propiedades utilizadas en cada caso: a)
6
8
3 2x
3
6
2 x
3
2
1 x
b)
ka kb
kc kd
k
a b c d
Resolución
a)
6
8
3 2x
3
6
2 x
3
2
1 x
suma de dos sumandos.
6
Escribimos cada elemento de la 1º columna como como 8
3 2x
33
8
2 1 2x
Como la 1º columna es suma de dos
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elementos descomponemos el determinante como suma de dos determinantes haciendo uso de la propiedad que dice: ”Si to dos los elementos de una línea son
suma de dos o más términos, el determinante queda expresado como suma de dos o más determinantes”.
3
8 3 8 . 2 2x 1 2x
A cada uno de estos
determinantes le aplicamos la misma propiedad, pero con respecto a la 2º columna (descomponemos previamente la 2º columna como suma de dos elementos). 6
8
3
2x
2 xx
62
3 3
6
2 x
62
3
1 xx
3
2
2 x
3
6
1 x
3
2
1 x
Como vemos la proposición dada es falsa. b) Partimos del determinante del 1º miembro y sacamos factor común k de la 1º fila, obteniendo:
y obtenemos:
ka kb kc kd
ka
kb
kc
kd
k
k 2
a
b
kc kd
a b c d
Extraemos, ahora, factor común de la 2º fila
la proposición es falsa.
3. Demuestre que los siguientes determinantes son iguales a cero: 5
6
1
a) 3 x x 3 2
7
5
log 2
log 4
b) log 3
log 9
log 8 log 27
log 4 log 16 log 64
Resolución a) Recordemos que si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante es combinación lineal de los correspondientes elementos de otra paralela a ella, el determinante vale cero. Observemos que en el determinante dado, la 3º columna
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es combinación lineal de la 1º y 2º columna ya que: 5
columna + (-1) 1º columna, luego:
3 2 2
6
3º columna = 2º
1
x x 3 0 7
5 3
log 2 log 4 log 8 log log 2 2 log 2 3 log 2 log 2 log 2 2 log 2 3 log 3 2 log 3 3 log 3 b) log 3 log 9 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 4 log16 log 64 log 4 log 4 2 log 4 3 log log 4 2 log log 4 3 log 4
Sacando factor común 2 en la 2ºcolumna y factor común 3 en la 3º columna, resulta: log 2
log 2
log 2
2.3. log 3 log 3 log 3 6 . 0 0 porque el determinante tiene tres columnas log 4 log 4 log 4
iguales.
4. Calcule el valor de cada uno de los siguientes determinantes aplicando propiedades: 3
3 5 2
5 7
a) 4 3 1
b) 5 3 7
2
2 7 3
0 3
Resolución a) El procedimiento más útil para calcular el valor de un determinante consiste en transformar en cero todos los elementos (excepto uno) de una fila (o columna) y luego desarrollarlo por los cofactores de dicha fila (o columna). En este caso, la 3º fila ya tiene un elemento nulo, luego podemos transformar otro en cero. Para ello a la 3º columna le sumamos la 1º columna multiplicada por (-3). 3 5 7
3
5 2
4 3 2 4
3
1
0
1 0 3
31 14 1.C A 31 31 0.C32 0.C33 1.(1)
0
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1(1) 4
5 2 3
70 (6) 70 6 76
14
b) Observemos que este determinante no tiene elementos nulos, por lo tanto, podemos elegir cualquier fila o columna para transformar, los mismos, en cero. Como ningún elemento es igual a la unidad (lo que facilita los cálculos) a la 1º fila le sumamos la 3ºfila multiplicada por (-1); así obtenemos un elemento igual a 1 y usando el mismo transformamos el resto de los elementos de la fila (o columna) en ceros. 1 2 1
3 5 2
5 3 7 5
3
1
0
0
7 5 13 12 1C11 0C12 0C13
2 7 3 2 7 3 2 11 5 2º columna + 1º columna x(2)
3º columna + 1º columna
= 1(-1)1+1 A 11 1( 1) 2
5. Pruebe que:
13 12 11
5
65 132 67
1
1
bc
ca
bc
ca
1 a b (b a)(c b)(a c) ab
Resolución Como queremos probar que el determinante es el producto de los factores (b - a), (c -b) y (a - c) ; efectuaremos operaciones entre filas y columnas que nos lleven a obtener los factores deseados. Para ello efectúo: 1º columna + (-1) x 2º columna 1
1
bc
ca
bc
ca
1
0
ab bc c a ab
bc ca
y
2º columna + (-1) x 3º columna 0
c aab ca ab
1 ab ab
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desarrollamos el último miembro según los elementos de la 1º fila, resulta: ba
1.C13 ( 1)13
c b
c(b a) a(c b)
Extrayendo factor comun (b - a) de la 1º columna
y factor comun (c - b) de la 2º columna, obtenemos : (b a)(c b)
1 1 c
a
1
(b a)(c b)(a c)
1
luego: b c
1
c a
bc
a b (b a)(c b)(a c)
ca
ab
3 1 2 2 5 1 2 6. Calcule el determinante en el menor número de pasos 0 4 5 1 1
3 10 6
8
posible
Resolución Realizar operaciones elementales de filas para crear ceros en la primera columna y así obtener una fila de ceros.
3 1 2 2 5 1 2
1
0
4
5
3 10 6
1
3
1
2
1
3
1
2
0
1
3
2
0
1
3
2
1 0 8
0
4
5
1 3
1 0 2
0
4
5
1 0
0
0
0
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