Trabajo No 2_100401_77

Ecuaciones lineales e interpolación.

Milton Alonso Valencia Rincón Cód. 1.123.304819 Francisco Aldemar Oliva Cód. 1087046199 Ángela Zoraida Caicedo Cod. 48648788

Métodos Numéricos Cód. 100401A_291

Grupo Cod. 100401_77

Tutor Gina Katherine Cuellar

Universidad Nacional Abierta y a Distancia  – UNAD Escuela De Ciencias Básicas, Tecnología E Ingeniería Noviembre de 2016

Introducción En la presente actividad se abordarán temáticas correspondientes a la segunda Unidad del curso de Métodos numéricos donde se desarrollarán seis ejercicios de los siguientes temas: método de eliminación de gauss, método de gauss-jordán, método de gauss-seidel, polinomio de interpolación de lagrange, polinomio de interpolación con diferencias divididas de newton e interpolación polinomial de diferencias finitas de newton.

Objetivo General

 Aplicar diversos métodos numéricos que nos ayuden a encontrar la solución de un sistema de ecuaciones.

Objetivos Específicos: -

Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones por medio del método de eliminación de Gauss.

-

Aprender a solucionar sistemas de ecuaciones por medio del método GaussJordan.

-

Reconocer como aplicar el método de Jacobi para el desarrollo de un sistema de ecuaciones.

-

Desarrollar un sistema de ecuaciones por medio del método de Gauss-Seidel.

-

Aprender a determinar polinomios mediante diversos métodos, polinomio de Interpolación de Lagrange, diferencias divididas y diferencias finitas de Newton.

Trabajo No 2 1. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando los Método de eliminación de Gauss.

    1 3 2 1

-2 4 -3 1

2 -1 2 -3

-3 1 -1 -2

15 -6 17 -7

F2-3F1 F3-2F1 F4-F1 =

1 0 0 0

-2 10 1 3

2 -7 -2 -5

-3 10 5 1

15 -51 -13 -22

10F3-F2 10F4-3F2 =

w 1 0 0 0

x y z -2 2 -3 15 10 -7 10 -51 0 -13 40 -79 0 0 1420 -1420

-13F4-(-29)F3

               

1 0 0 0

-2 2 -3 10 -7 10 0 -13 40 0 -29 -20

15 -51 -79 -67

             2. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de GaussJordán

Orden Recomendado Para Buscar Ceros 41

31

          Operación

Matriz

2F1-F4 1 0 -3 0

2 -3 -3 2 -1 3 1 -8

-1 6 1 -1

0 -8 0 8

1 0 0 0

2 -3 -3 2 5 -6 1 -8

-1 6 -2 -1

0 -8 0 8

3F1+F3

21

42

1 0 0 0

2 -3 -3 2 5 -6 1 -8

-1 6 -2 -1

0 -8 0 8

1 0 0 0

2 -3 -3 2 5 -6 0 -22

-1 6 -2 3

0 -8 0 16

1 0 0 0

2 -3 -1 0 -3 2 6 -8 0 8 -24 40 0 -22 3 16

1 0 0 0

2 -3 -3 2 0 1 0 -22

1 0 0 0

2 -3 0 0

-3 -1 0 2 6 -8 1 -3 5 0 -63 126

1 0 0 0

2 -3 0 0

-3 -1 2 6 1 -3 0 1

3F4+F2

32

f3/8

43

22F3+F4

F4/-63

14

-1 6 -3 3

0 -8 5 -2

F4+F1

1 2 -3

0

-2

0 -8 5 16

0 -3 2 0 0 1 0 0 0

24

13

23

-8 5 -2

6F4-F2 0 3 -2

34

6 -3 1

0

-4

1 0 0 0

2 3 0 0

-3 0 -2 0 1 -3 0 1

-2 -4 5 -2

1 0 0 0

2 3 0 0

-3 -2 1 0

0 0 0 1

-2 -4 -1 -2

1 0 0 0

2 3 0 0

0 -2 1 0

0 0 0 1

-5 -4 -1 -2

1 0 0 0

2 3 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

-5 -6 -1 -2

3F4+F3

3F3+F1

2F3+F2

f2/3

12

1 0 0 0

2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

-5 -2 -1 -2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

-1 -2 -1 -2

F1-2F2

          

3. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Jacobi

Utilizar un ξ < 1%

Primero comprobamos que la matriz sea diagonalmente dominante para proceder a su solución mediante el método Jacobi

         La matriz es diagonalmente dominante. Procedemos con su solución.

 

Primera Iteración.

Segunda iteración

                              

Para la segunda iteració el valor de x1, x2 y x3 seran los calculados anterior mente. Procedemos a remplazarlos en las ecuaciones

                            Una vez obtenidos estor resultados procedemos a calcular el error aproximado de los resultados:

             |  |    | |     |  |

Siguiendo con este mismo procedimiento se obtiene el siguiente cuadro de resultados:

iteración 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x1

x2

x3

eax1

eax2

eax3

0 2,4 1,88571429 1,72952381 2,10829932 2,09309751 1,98294266 2,02638817 2,05207203 2,02977407 2,02796569 2,03617778 2,03428959

0 0,66666667 1,25079365 0,65396825 0,57916856 0,78814815 0,74414541 0,68456193 0,71735094 0,72749514 0,71313387 0,71405702 0,71867586

0 -0,57142857 0,4 0,50340136 0,2029932 0,27915776 0,36437707 0,31404594 0,30092316 0,32231384 0,32029051 0,313619 0,31636094

27,2727273 9,030837 17,9659267 0,72628313 5,55511992 2,14398719 1,25160647 1,09854419 0,08917216 0,40330917 0,09281804

46,7005076 91,2621359 12,9150136 26,5152678 5,91319045 8,70388551 4,57084722 1,39440049 2,01382445 0,1292815 0,6426886

242,857143 20,5405405 147,989276 27,2836985 23,3876703 16,0266768 4,36084054 6,63660073 0,63171861 2,1272652 0,86671409

Podemos concluir que en la interacción 12 x1, x2 y x3 cumplen con ξ < 1%

4. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de GaussSeidel.

Utilizar un ξ < 1%

           

El método de Gauss-Seidel sirve para resolver grandes números de ecuaciones simultaneas; aunque tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente

                   

                Primera iteración Considerando x1=0, x2=0, x3=0

              {  Segunda iteración Considerando x1=

                         {  , x2=

, x3=

Tabla de Iteraciones k

x1

x2

x3

0

0

0

3,08333333

0 35,5 1 207,236111 2 1182,31713 3 6667,70679 4 37447,7071 210040,55 5 6 1177630,92 7 6601841,2 8 37008932,5 9 207464580 10 1163001338 11 6519527857

ea1

ea2

ea3

-89,72222222

171,736111

47,4305556

546,828704

50,5138889

-636,5509259

975,081019

312,939815

3133,8696

363,453704

-3770,420525

5485,38966

1827,71798

17674,6476

2191,17168

-21445,06816

30780,0003

10360,4221

99246,9491

12551,5938

-120692,0172

172592,843

58257,1596

556616,635

70808,7535

-677308,652

967590,37

326855,95

3120675,08

397664,704

-3797983,73

5424210,28

1832717,5

17494442,5

2230382,2

-21292426,24

30407091,3

10274485,8

98070931

12504868

-119363357,3

170455647

57597537

549765300

70102405,1

-669128657,7

955536758

322880598

3081864007

392983003

-3750992664

5356526519

1809999168

1,7276E+10

2202982171

-21027238333

3,0027E+10

1,0146E+10

9,6847E+10

5. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla.

X y

1 -2

3 1

5 2

7 -3

                                                                        

    6. Determine el Polinomio de Interpolación Usando la Interpolación de Diferencias Divididas de Newton, e interpole en el punto x = 4.

X  Y

7 1430

6 908

4 278

2 40

-4 -242

Sln/ 7

1430 522

6

908

69 315

4

278

4 49

119 2

40

0 4

9 47

-4 -242

=

                        

7. Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1, 5.6) determine los polinomios de grado 4 y 5. Graficar para determinar la curva más aproximada.

Tabla Interpolaciones x y -4,5 0,7

p0 1,23076923

-3,2 2,3

p1 -0,12820513

0,83333333

-1,4 3,8

-0,0719697 0,54545455

0,8

5

-0,06444536

5,5

p3 -0,0013272

0,00132006

0,29411765

2,5

p2 0,01061046

p4 0,00011667

p5

-0,00032384 -0,00104396

-0,07018717 0,0625

4,1

5,6

                                                                                                                  

8. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias finitas de Newton e Interpole en el punto x = -13/14

Sln/ X

0

-1

-1/3

-2/3

y

-2

-4

-8/3

-32/9



0 1 2 3

X 0 -1 -1/3 -2/3

 

-2 -4 -8/3 -32/9

          ⁄  ⁄                  ⁄ ⁄    ⁄⁄     ⁄         ( ⁄  ⁄)              ( ⁄)

Conclusiones -

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

-

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en ecuaciones diferenciales, ajuste de curvas y cálculo de polinomios e interpolaciones.

-

El método de interpolación de diferencias divididas puede convertirse en un método numérico complejo si el grado de polinomio que deseamos identificar es mayor de 3.

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