Trabajo Mecanica

 

OA^ÍTVCE 2 Fstudle df oases7 raíofs df fouaolehfs Ca ilhacldad df fstf oapítuce fs utlclzar ces preofdlmlfhtes preofdlm lfhtes humìrloes ahaclzades fh ces oapítuces 6, 9 y ; para rfsecvfr prejcfmas df lhkfhlfría rfacfs. Cas tìohloas humìrloas seh lmpertahtfs lmperta htfs fh apcloaolehfs práotloas, ya quf oeh irfoufhola i rfoufhola ces lhkfhlfres fhoufhtrah prejcfmas quf he fs pesljcf rfsecvfr rfsecvfr usahde tìohloas tìoh loas ahacítloas. ^er fgfmpce, medfces matfmátloes slmpcfs quf sf pufdfh rfsecvfr ahacítloamfhtf qulzá he sfah apcloajcfs ouahde sf trata df prejcfmas rfacfs. Dfjlde a fste, sf dfjfh utlclzar utlcl zar medfces más oempcloades. Fh fsta sltuaolÿh, fs oehvfhlfhtf lmpcfmfhtar lmpcfmfhtar uha secuolÿh humìrloa fh uha oemputadera. Fh etres oases, ces prejcfmas df dlsfñe fh ca lhkfhlfría ccfkah a rfqufrlr secuolehfsapcloaolehfs df varlajcfsseh lmpcíoltas fh aqufccas fouaolehfs Cas slkulfhtfs típloas df qufoempcloadas. fh ierma rutlharla r utlharla sf fhoufhtrah durahtf ces ÷ctlmes añes df fstudle y fh fstudles supfrlerfs. Más a÷h, seh prejcfmas rfprfsfhtatlves df aqufcces quf sf fhoehtraráh fh ca vlda preifslehac. Ces prejcfmas prevlfhfh prevlfhfh df cas ouatre krahdfs k rahdfs ramas df ca lhkfhlfría7 químloa, olvlc, fcìotrloa y mfoáhloa. mfoá hloa. Dlobas apcloaolehfs tamjlìh slrvfh para lcustrar l custrar cas vfhtagas y dfsvfhtagas df cas dlvfrsas tìohloas humìrloas. Ca prlmfra apcloaolÿh, temada df ca lhkfhlfría químloa, preperoleha uh fxofcfhtf fgfmpce df oÿme ces mìtedes para dftfrmlhar raíofs pfrmltfh usar iÿrmucas rfaclstas fh ca lhkfhlfría práotloa0 adfmás, dfmufstra df quì mahfra ca filolfhola dfc mìtede df Hfwteh-Zapbseh sf fmpcfa ouahde sf rfqulfrf df uh krah h÷mfre df oácouces oeme mìtede para ca ceoaclzaolÿh df raíofs. Ces slkulfhtfs prejcfmas df dlsfñe fh lhkfhlfría sf temah df cas lhkfhlfrías olvlc, fcìotrloa y mfoáhloa. Fh ca sfoolÿh 2.: sf usah tahte mìtedes ofrrades oeme ajlfrtes para dftfrmlhar ca preiuhdldad y vfceoldad dfc akua quf icuyf fh uh oahac ajlfrte. Fh ca sfoolÿh 2.? sf fxpcloa oÿme cas raíofs df fouaolehfs trasofhdfhtfs sf usah usa h fh fc dlsfñe df uh olroulte fcìotrloe. Fh cas sfoolehfs 2.: y 2.? tamjlìh sf mufstra df quì ierma ces mìtedes kráiloes eirfofh uh u h oeheolmlfhte dfc preofse df ceoaclzaolÿh df raíofs. ^er ÷ctlme, ca sfoolÿh 2.4 usa ca ceoaclzaolÿh df raíofs peclhemlhacfs para ahaclzar cas vljraolehfs df uh autemÿvlc.

 

2.1 CF\F_ DF CE_ KA_F_ LDFACF_ \ HE LDFACF_ (LHKFHLFZÍA QVÍMLOA \ JLEQVÍMLOA) Ahtfofdfhtfs. Ca cfy df ces kasfs ldfacfs fstá dada per  pY  = hZT  

(2.1)

dehdf p fs ca prfslÿh ajsecuta, ajsecuta, Y  fs  fs fc vecumfh, h fs fc h÷mfre df mecfs, Z  Z fs ca oehstahtf uhlvfrsac df ces kasfs y T fs ca tfmpfratura ajsecuta. Auhquf fsta fouaolÿh sf utlclza

 

:>> 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

ampclamfhtf per ces lhkfhlfres y olfhtíiloes, sÿce fs fxaota fh uh rahke clmltade df prfslÿh y tfmpfratura. Adfmás, ca fouaolÿh (2.1) fs apreplada secamfhtf para ackuhes kasfs. Vha fouaolÿh df fstade actfrhatlva para ces kasfs fstá dada per7 ⎐  p + a ⎘ (v ‟  j) = ZT   :

⎝ 

v

⎮ 

(2.:)

oeheolda oeme ca fouaolÿh df vah dfr [aacs, dehdf v = Y  / h fs fc vecumfh mecar, a y  j seh oehstahtfs fmpírloas quf dfpfhdfh dfc kas quf sf ahaclza. Vh preyfote df dlsfñe fh lhkfhlfría químloa rfqulfrf quf sf oacoucf fxaotamfhtf fc vecumfh mecar (v) dfc dlÿxlde df oarjehe y dfc exíkfhe para dlifrfhtfs oemjlhaolehfs df tfmpfratura y prfslÿh, df tac ierma quf ces rfolplfhtfs quf oehtfhkah dlobes kasfs sf pufdah sfcfoolehar aprepladamfhtf. Tamjlìh fs lmpertahtf fxamlhar quì tah jlfh sf apfka oada kas a ca cfy df ces kasfs ldfacfs, oemparahde fc vecumfh mecar mecar oacoucade oeh cas fouaolehfs (2.1) (2.1) y (2.:). _f preperolehah ces slkulfhtfs dates7  Z = >.>2:>64 C atm/(mec @)  a =

?.6.>4:9;  a = 1.?9>  j

 exíkfhe = >.>?12?

Cas prfslehfs df dlsfñe df lhtfrìs seh df 1, 1> y 1>> atmÿsifras para oemjlhaolehfs df tfmpfratura df ?>>, 6>> y ;>> @.

_ecuolÿh. Ces vec÷mfhfs mecarfs df amjes kasfs sf oacoucah usahde ca cfy df ces kasfs ldfacfs, oeh h = 1. ^er fgfmpce, sl p = 1 atm y T = ?>> @, C am ?>> @ Y   ZT  v = = = >.>2:>64 = :4.919:  C/mec mec @ 1 atm h  p Fstes oácouces sf rfpltfh para tedas cas oemjlhaolehfs df prfslÿh y df tfmpfratura quf sf prfsfhtah fh ca tajca 2.1.

TAJCA 2.1 Oácouces dfc vecumfh mecar.   Yecumfh   mecar (cfy df ces  Tfmpfr Tfmpfratura, atura, ^rfslÿh, kasfs ldfacfs),   @ atm C/mec                  

?>> 6>> ;>>

1 1> 1>> 1 1> 1>> 1 1> 1>>

:4.919: :.4919 >.:49: 41.>:;> 4.1>:; >.41>? 6;.4?;2 6.;4?2 >.6;44

Yecumfh mecar Yecumfh mecar (vah dfr [aacs) (vah dfr [aacs) Dlÿxlde df oarjehe, Exíkfhe, C/mec C/mec :4.61:9 :.?646 >.>;.6;2 >.?99? 6;.41;< 6.;:4: >.66;6

:4.6.::94 41.>:6< 4.1>19 >.4119 6;.449> 6.;6:1 >.624:

 

2.1 CF\F_ DF DF CE_ KA_F_ LDFACF_ \ HE LDFACF_

:>1

part lr df ca fouaolÿh Ces oácouces dfc vecumfh mecar a partlr f ouaolÿh df vah dfr [aacs sf ccfvah a oaje usahde ouacqulfra df ces mìtedes humìrloes para ca dftfrmlhaolÿh df raíofs df fouaolehfs ahaclzades fh ces oapítuces 6, 9 y ;, oeh ƚ(v) = ⎐  p +

⎝ 

a v

:

⎘ ( ‟ j) ‟ ZT   ⎮  v

(2.?)

Fh fstf oase, oeme ca dfrlvada df ƚ (v) sf dftfrmlha dftfrml ha iáolcmfhtf, fhtehofs fs oehvfhlfhtf y filolfhtf usar fc mìtede df Hfwteh-Zapbseh. Ca dfrlvada df ƚ (v) rfspfote a v fstá dada per ƚ ›(v) =  p ‟

a v

:

+

: aj v

?

 

(2.4)

Fc mìtede df Hfwteh-Zapbseh sf dfsorljf mfdlahtf ca fouaolÿh (9.9)7 v

   ƚ (vl )   =  vl ‟ ƚ ›(vl )

l +1

ca ouac sf utlclza para fstlmar ca raíz. ^er fgfmpce, usahde oeme vacer lhlolac :4.919:, fc vecumfh mecar dfc jlÿxlde df oarjehe a ?>> ?> > @ y 1 atmÿsifra fs :4.61:9 C/mec. Fstf rfsuctade sf ejtuve dfspuìs df sÿce des ltfraolehfs y tlfhf uh fa mfher dfc >.>>1 per olfhte. Fh ca tajca 2.1 sf mufstrah rfsuctades slmlcarfs para tedas cas oemjlhaolehfs df prfslÿh y df tfmpfratura df amjes kasfs. _f ejsfrva quf ces rfsuctades ejtfhldes oeh ca fouaolÿh df ces kasfs ldfacfs dlilfrfh df aqufcces ejtfhldes usahde ca fouaolÿh df vah dfr [aacs, para amjes kasfs, dfpfhdlfhde df ces vacerfs fspfoíiloes df p y T  T.. Adfmás, oeme ackuhes df dlobes d lobes rfsuctades seh slkhliloatlvamfhtf dlifrfhtfs, fc dlsfñe df ces rfolplfhtfs quf oehtfhdráh a ces kasfs pedría sfr muy dlifrfhtf, dfpfhdlfhde df quì fouaolÿh df fstade sf baya fmpcfade. fmpcfade. Fh fstf prejcfma, sf fxamlhÿ uha oempcloada fouaolÿh df fstade oeh fc mìtede df Hfwteh-Zapbseh. Fh varles oases ces rfsuctades varlareh df mahfra slkhliloatlva rfspfote a ca cfy df ces kasfs ldfacfs. Dfsdf uh puhte df vlsta práotloe, fc mìtede df Hfwteh-Zapbseh iuf apreplade aquí, ya quf ƚ ›(v) rfsuctÿ sfholcce df oacoucar. Df fsta mahfra, fs iaotljcf fxpcetar cas preplfdadfs df ráplda oehvfrkfhola dfc mìtede df Hfwteh-Zapbseh. Adfmás df dfmestrar su pedfr fh uh sece oácouce, fstf prejcfma df dlsfñe mufstra oÿme fc mìtede df Hfwteh-Zapbseh fs fspfolacmfhtf atraotlve atr aotlve ouahde sf rfqulfrf uha krah oahtldad df oácouces. Dfjlde a ca vfceoldad df cas oemputaderas dlkltacfs, ca filolfhola df varles mìtedes humìrloes fh ca secuolÿh para ca mayería df cas raíofs df fouaolehfs he sf dlstlhkuf fh uh oácouce ÷hloe. Lhocuse uha dlifrfhola df 1 s fhtrf fc mìtede df jlsfoolÿh y fc filolfhtf mìtede df Hfwteh-Zapbseh he slkhliloa pìrdlda df tlfmpe ouahde sf rfaclza sÿce uh oácouce. _lh fmjarke, supehka quf para rfsecvfr uh prejcfma sf hfofslta oacoucar mlccehfs df raíofs. Fh tac oase, ca filolfhola dfc mìtede pedría sfr uh iaoter dfolslve ac fcfklr fcfklr uha tìohloa. tì ohloa. ^er fgfmpce, fgfmpce, supehka quf sf rfqulfrf rf qulfrf dlsfñar uh slstfma df oehtrec oemputarlzade autemátloe para uh preofse df preduoolÿh df sustaholas químloas. Dlobe slstfma rfqulfrf uha fstlmaolÿh fxaota df vec÷mfhfs mecarfs sejrf uha jasf fsfholacmfhtf oehtlhua, para iajrloar fh ierma oehvfhlfhtf fc preduote ilhac. _f lhstacah mfdlderfs

 

:>: 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

quf preperolehah cfoturas lhstahtáhfas df prfslÿh y tfmpfratura. _f dfjf ejtfhfr vacerfs df v para dlvfrses kasfs quf sf usah fh fc preofse. ^ara uha apcloaolÿh oeme ìsta, ces mìtedes ofrrades, tacfs oeme fc df jlsfoolÿh e df ca rfkca pesljcfmfhtf oehsumlríah muobe tlfmpe. Adfmás, vacerfs lhlolacfs qufiacsa, sf rfqulfrfh fh fstes mìtedes kfhfraríah uh rftrase orítloeces fh des fc preofdlmlfhte. Dlobe lhoehvfhlfhtf lhoehvfhlfhtf aifota df lkuac ierma ac mìtede df ca sfoahtf, quf tamjlìh hfofslta des vacerfs lhlolacfs. Fh oehtrastf, fc mìtede df Hfwteh-Zapbseh rfqulfrf sÿce df uh vacer lhlolac para dftfrmlhar ca raíz. Ca cfy df ces kasfs ldfacfs pedría fmpcfarsf para ejtfhfr uh vacer lhlolac dfc preofse. Dfspuìs, supehlfhde quf fc tlfmpe fmpcfade sfa ce jastahtf oerte oeme para quf ca prfslÿh y ca tfmpfratura he varífh muobe fhtrf ces oácouces, ca secuolÿh df ca raíz ahtfrler sf pufdf usar oeme uh jufh vacer lhlolac para ca slkulfhtf apcloaolÿh. Df fsta ierma, sf tfhdría df ierma autemátloa uh vacer lhlolac ofroahe a ca secuolÿh, quf fs rfqulslte lhdlspfhsajcf para ca oehvfrkfhola dfc mìtede df HfwtehZapbseh. Tedas fstas oehsldfraolehfs iaverfofráh iaverfofráh df jufha mahfra ca tìohloa df Hfwteh-Zapbseh fh fstes prejcfmas.

 

2.: (LHKFHLFZÍA ICVGE FH VHOLYLC OAHAC AJLFZTE AMJLFHTAC) F LHKFHLFZÍA Ahtfofdfhtfs. Ca lhkfhlfría olvlc oehstltuyf uha dlsolpclha ampcla a mpcla quf lhocuyf dlvfrdlvfrsas árfas oeme fstruoturac, kfetfohla, trahspertf, amjlfhtac y ajastfolmlfhte dfc akua. Cas des ÷ctlmas fspfolacldadfs tlfhfh quf vfr oeh ca oehtamlhaolÿh y sumlhlstre df akua y, per ce tahte, lmpcloah uh use fxtfhslve df ca olfhola df mfoáhloa df iculdes. Vh prejcfma kfhfrac sf rfcaoleha oeh fc icuge df akua fh oahacfs ajlfrtes, ríes y oahacfs. Ca vfceoldad df icuge, quf sf mldf irfoufhtfmfhtf fh ca mayería df ces ríes y arreyes, sf dfilhf oeme fc vecumfh df akua quf pasa per uh puhte fspfoíiloe df uh oahac per uhldad df tlfmpe, Q (m? /s). Auhquf ca vfceoldad df icuge fs uha oahtldad ÷tlc, uha oufstlÿh adlolehac sf rfcaoleha oeh ce quf suofdf ouahde sf tlfhf uha vfceol vfceoldad dad df icuge i cuge fspfoíiloe fh uh oahac oeh pfhdlfhtf (ilkura 2.c). Df bfobe, suofdfh des oesas7 fc akua acoahzará a coahzará uha preiuhdldad fspfoíiloa  B  (m)  (m) y sf mevfrá a uha vfceoldad fspfoíiloa V  (m/s).   (m/s). Ces lhkfhlfres amjlfhtacfs pufdfh fstar lhtfrfsades fh oeheofr tacfs oahtldadfs para pa ra prfdfolr fc trahspertf y fc dfstlhe df ces oehtamlhahtfs fh uh ríe. Así, ca prfkuhta kfhfrac sfría7 sl sf tlfhf uha vfceoldad df icuge para uh oahac, oaha c, µoÿme sf oacoucah ca preiuhdldad y ca vfceoldad5

ILKVZA 2.1 ^  Ao  J _   B 

Q, V 

 

 

2.: ICVGE FH VH OAHAC AJLFZTE

:>?

_ecuolÿh. Ca rfcaolÿh iuhdamfhtac fhtrf icuge i cuge y preiuhdldad fs ca fouaolÿh df oehtlhuldad  Q

 =

VA  

(2.6)

o

dehdf Ao = árfa df ca sfoolÿh trahsvfrsac dfc oahac (m:). Dfpfhdlfhde df ca ierma dfc oahac, fc árfa pufdf rfcaoleharsf oeh ca preiuhdldad per mfdle df varlas fxprfslehfs iuholehacfs. ^ara fc oahac rfotahkucar mestrade fh ca ilkura 2.1, Ao  = JB. Ac sustltulr fsta fxprfslÿh fh ca fouaolÿh (2.6) sf ejtlfhf Q = VJB  

(2.9)

dehdf J = ahobe (m). Dfjf ejsfrvarsf quf ca fouaolÿh df oehtlhuldad sf ejtlfhf df ca oehsfrvaolÿh df ca masa (rfoufrdf ca tajca 1.1). Abera, auhquf ca fouaolÿh (2.9) olfrtamfhtf rfcaoleha ces parámftres dfc oahac, he fs suilolfhtf para rfspehdfr hufstra prfkuhta. _upehlfhde quf sf oeheof J, sf tlfhf uha fouaolÿh y des lhoÿkhltas (V  y  y B ). ). ^er ce tahte, sf rfqulfrf uha fouaolÿh adlolehac. ^ara icuge uhliermf (slkhliloa quf fc icuge he varía oeh ca dlstahola hl oeh fc tlfmpe), fc lhkfhlfre Zejfrt Mahhlhk prepuse) ca slkulfhtf iÿrmuca sfmlfmpírloa (ccamada fh iermalrcahdìs apreplada fouaolÿh df Mahhlhk 1

V  =  Z h

: / ? 1/ :

_   

(2.;)

dehdf h = oefilolfhtf df rukesldad df Mahhlhk Mahhl hk (uh h÷mfre adlmfhslehac quf tema fh oufhta ca irloolÿh dfc oahac), _ = pfhdlfhtf dfc oahac (adlmfhslehac, mftres df oaída oa ída per cehkltud fh mftres) y Z = radle bldráucloe (m), fc ouac sf rfcaoleha oeh ces parámftres iuhdamfhtacfs mfdlahtf  Z =

 Ao ^

 

(2.2)

dehdf ^ = pfrímftre pfr ímftre megade (m). Oeme su hemjrf ce lhdloa, fc pfrímftre megade fs ca cehkltud df ces cades y fc iehde dfc oahac quf fstá jage fc akua. ^er fgfmpce, para uh oahac rfotahkucar, ìstf sf dfilhf oeme ^ = J + : B  

(2.)

 

:>4 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

Así, fc radle bldráucloe, fouaolÿh (2.2), guhte oeh cas dlifrfhtfs rfcaolehfs para uh oahac rfotahkucar, sf sustltuyf7 1 / :

6 / ?

Q = _  h

(2.11)

 JB ) : / ?   ( J( + : B  )

Df fsta ierma, ca fouaolÿh f ouaolÿh oehtlfhf abera uha seca lhoÿkhlta B  guhte  guhte oeh fc vacer dade df Q y ces parámftres dfc oahac (h, _  y  y J). Auhquf sf tlfhf uha fouaolÿh oeh uha lhoÿkhlta, lhoÿkh lta, fs lmpesljcf rfsecvfrca rfsecvfrca fh ierma fxpcíolta para fhoehtrar B . _lh fmjarke, ca preiuhdldad sf dftfrmlha humìrloamfhtf, ac rfiermucar ca fouaolÿh oeme uh prejcfma df raíofs. 1 / :

ƚ( B ) =

( JB )6/ ? : / ? ‟ Q = >   h ( J + : B )

_ 

(2.1:)

Ca fouaolÿh (2.1:) sf rfsufcvf rápldamfhtf oeh ouacqulfra df ces mìtedes para ceoaclzar raíofs, dfsorltes fh ces oapítuces 6 y 9. ^er fgfmpce, sl Q = 6 m? /s, J = :> m, h = >.>? y _ = >.>>>:, ca fouaolÿh fs ƚ( B ) = >.4; 4;14 14>6 >6

(:> B )6 / ? ‟ 6 = >  (:> + : B ): / ?

(2.1?)

^ufdf rfsecvfrsf para B  =  = >.;>:? m. Fc rfsuctade sf vfrliloa sustltuyìhdece sustltuyìhdece fh ca fouaolÿh (2.1?)7   ƚ( B ) = >.4; 4;14 14>6 >6

(:> Û >.;> ; >:?)6 / ? ‟ 6 = ;.2 Û 1> ‟6   (:> + : Û >. ;> ;>:?): / ?

(2.14)

quf sf aofroa jastahtf a ofre. o fre. Ca etra lhoÿkhlta, ca vfceoldad, abera sf dftfrmlha per sustltuolÿh fh ca fouaolÿh (2.9), V  =

Q

=

6

= >.?69

m/s  

(2.16)

:>(>.;>:?) Así, sf tlfhf uha u ha secuolÿh satlsiaoterla para ca preiuhdldad y ca vfceoldad. Abera sf jusoará ahaclzar uh peoe más ces aspfotes humìrloes df fstf prejcfma. Vha prfkuhta pfrtlhfhtf sfría7 µOÿme baofr para ejtfhfr uh jufh vacer lhlolac para fc mìtede humìrloe5 Ca rfspufsta dfpfhdf dfc tlpe df mìtede. ^ara ces mìtedes ofrrades, oeme fc df jlsfoolÿh y fc df ca iacsa peslolÿh, sf dftfrmlharía, sl fs pesljcf, fstlmar vacerfs lhlolacfs lhifrlerfs y supfrlerfs quf oehtfhkah slfmprf uha seca raíz. Vh mìtede oehsfrvader pedría sfr fcfklr ofre oeme fc címltf cím ltf lhifrler.. \, sl sf oeheof, ca preiuhdldad máxlma pesljcf quf pufdf prfsfhtarsf, fstf vacer ifrler sfrvlría oeme vacer lhlolac supfrler. ^er fgfmpce, tedes ces ríes, oeh fxofpolÿh df ces más krahdfs dfc muhde, tlfhfh mfhes df 1> mftres df preiuhdldad. ^er ce tahte, sf temah > y 1> oeme címltfs dfc lhtfrvace para pa ra B . _l Q 8 > y B = >, ca fouaolÿh (2.1:) slfmprf sfrá hfkatlva para fc vacer lhlolac lhifrler. Oehiermf B sf lhorfmfhta, ca fouaolÿh (2.1:) tamjlìh sf lhorfmfhtará fh ierma  JB 

 

 

2.: ICVGE FH VH OAHAC AJLFZTE

:>6

mehÿteha, y ilhacmfhtf sfrá pesltlva. ^er ce tahte, ces vacerfs lhlolacfs dfjfráh oehtfhfr uha seca raíz fh ca mayería df ces oases quf sf fstudlah oeh ríes y arreyes haturacfs. Abera, tìohloa oemesfcapaka5 df jlsfoolÿh dfjfría oehilajcf ca j÷squfda df uha raíz. uha µ^fre quì prfole Ac usar tac a hobesfrdfcmuy ahobe lhtfrvace y uhafhtìohloa oeme ca df jlsfoolÿh, fc h÷mfre df ltfraolehfs para ejtfhfr uha prfolslÿh dfsfada pedría sfr oemputaolehacmfhtf fxofslve. ^er fgfmpce, sl sf fclkf uha tecfrahola df >.>>1 m, ca fouaolÿh (6.6) slrvf para oacoucar h =

cek(1> cek (1> / >.> >.>>1) >1) = 1?.? cek :

Así, sf rfqulfrfh 14 ltfraolehfs. Auhquf fste olfrtamfhtf he sfría oestese para uh sece oácouce, pedría sfr fxerjltahtf fxerjltahtf sl sf fifotuarah muobas df fstas fvacuaolehfs. Cas actfrhatlvas sfríah7 fstrfobar fc lhtfrvace lhlolac (fh jasf a uh oeheolmlfhte fspfoíiloe dfc slstfma), usar uh mìtede ofrrade más filolfhtf (oeme fc df ca iacsa peslolÿh) e oehieroehiermarsf oeh uha mfher prfolslÿh. Etra ierma df tfhfr uha mfger filolfhola sfría utlclzar uh mìtede ajlfrte oeme fc df Hfwteh-Zapbseh e fc df ca sfoahtf. ^er supufste quf fh tacfs oases fc prejcfma df ces vacerfs lhlolacfs sf oempcloa ac oehsldfrar ca oehvfrkfhola. oehvfrkfhola. _f ejtlfhf uha mayer oemprfhslÿh oemprfhslÿh df fstf prejcfma fxamlhahde fxamlha hde ac mfhes filolfhtf df ces mìtedes ajlfrtes7 ltfraolÿh df puhte ilge. Ac ahaclzar ca fouaolÿh (2.11), sf ejsfrva quf bay des medes sfholcces para dfspfgar B 0 fste fs, sf rfsufcvf tahte para B   fh fc humfrader,  B  =

(Qh) ? / 6 ( J + : B ): / 6  ? / 1>

 J_ 

 

(2.19)

oeme para B  fh  fh fc dfhemlhader,

⎤ 1  ⎡ _ ? ( JB  )6 / :  B  = ⎪ ‟ J⎦   ? / : : ⎯ (Qh) ⎩

(2.1;)

Abera, aquí fs dehdf fc razehamlfhte iísloe pufdf ayudar. Fh ca mayería df ces ríes y arreyes, fc ahobe fs muobe mayer quf ca preiuhdldad. Así, ca oahtldad J  + : B   he varía muobe. Df bfobe, dfjf sfr aprexlmadamfhtf lkuac a J.  ^er ce oehtrarle, JB fs dlrfotamfhtf preperolehac a  B. Fh oehsfoufhola, ca fouaolÿh (2.19) dfjfrá oehvfrkfr más ráplde a ca raíz, ce ouac sf vfrliloa ac sustltulr ces címltfs dfc lhtfrvace B =  > y 1> fh amjas fouaolehfs. Oeh ca fouaolÿh (2.19), ces rfsuctades seh >.92?4 y >.1:, quf seh ofroahes a ca raíz vfrdadfra, >.;>:?. Fh oehtrastf, ces rfsuctades oeh ca fouaolÿh (2.1;) (2.1 ;) seh ‟1> y 2 1;2, 1;2, ces ouacfs fstáh acfgades a cfgades ocaramfhtf df ca raíz. Ca supfrlerldad df ca fouaolÿh (2.19) sf mahlilfsta adfmás ac krailoar krai loar sus oempehfhtfs (rfoufrdf ca ilkura 9.?). Oeme sf ejsfrva fh ca ilkura 2.:, ca oempehfhtf k ( B   B ) df ca fouaolÿh (2.1 (2.19) 9) fs oasl berlzehtac. Así, fsta fouaolÿh he ÷hloamfhtf oehvfrkf, slhe quf dfjf baofrce oeh rapldfz. Fh oamjle, ca oempehfhtf k ( B   B ) df ca fouaolÿh (2.1;) fs oasl vfrtloac, lhdloahde así uha iufrtf i ufrtf y ráplda dlvfrkfhola.

 

:>9 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

 y

 y

4

4

 y:   =  k ( B )

:

:

 y1  =  B 

ILKVZA 2.:

 y1  =  B 

 y:  =  k ( B )

Kráfioa df ces oempehfhtfs para des oases df ltfraolÿh df puhte fige, uhe quf oehvfrkf Pa Pa), fouaolÿh (2.19)] y uhe quf dlvfrkf Pj ),), fouaolÿh (2.1;)].

>

> >

1

:   B 

>

a)

1

:   B 

j)

Bay des jfhfiloles práotloes df fstf aháclsls7 1.

Fh fc oase df quf sf usf uh mìtede ajlfrte más dftaccade, ca fouaolÿh (2.19) eirfof uh mfdle para ejtfhfr uh fxofcfhtf vacer lhlolac. ^er fgfmpce, sl B  sf  sf fclkf oeme ofre, ca fouaolÿh (2.1:) tema ca ierma  B > =

(Qh/ J)? / 6 ? / 1>

_ 

dehdf B > sfrá fc vacer lhlolac utlclzade fh fc mìtede df Hfwteh-Zapbseh e fh fc df ca sfoahtf. :. _f ba dfmestrade quf ca ltfraolÿh df puhte ilge eirfof uha epolÿh vlajcf para fstf prejcfma fspfoíiloe. ^er fgfmpce, usahde oeme vacer lhlolac B  =  = >, fh ca fouaolÿh (2.19) sf ejtlfhfh sfls díkltes df prfolslÿh fh ouatre ltfraolehfs para fc oase quf sf fxamlha. Ca iÿrmuca df ltfraolÿh df puhte ilge sfría iáolc df mahlpucar fh uha bega df oácouce, ya quf cas begas df oácouce seh ldfacfs para iÿrmucas ltfratlvas oehvfrkfhtfs quf dfpfhdfh df uha seca ofcda.

 

2.? DL_FÑE DF VH OLZOVLTE FCÌOTZLOE (LHKFHLFZÍA FCÌOTZLOA) Ahtfofdfhtfs. Ces lhkfhlfres fcìotrloes fmpcfah cas cfyfs cfyfs df @lrobbeii para pa ra fstudlar fc oempertamlfhte df ces olroultes fcìotrloes fh fstade fstaoleharle (quf he varía oeh fc tlfmpe). Fh ca sfoolÿh 1:.? sf ahaclza fc oempertamlfhte df dlobes fstades fstaoleharles. Etre prejcfma lmpertahtf tlfhf quf vfr oeh olroultes df haturacfza trahslterla, dehdf s÷jltamfhtf eourrfh eour rfh oamjles tfmperacfs. Fsta sltuaolÿh sf prfsfhta ouahde sf olfrra fc lhtfrrupter oeme fh ca ilkura 2.?. Fh tac oase, fxlstf uh pfrlede df agustf ac ofrrar fc lhtfrrupter basta quf sf acoahof uh hufve fstade fstaoleharle. Ca cehkltud df fstf pf-

 

 

:>;

2.? DL_FÑE DF VH OLZOVLTE FCÌOTZLOE

Lhtfrrupter Jatfría

‟

l

‟ Y >

+

Oapaolter

Lhduoter

+

Zfslster

ILKVZA 2.? Vh olroulte fcìotrloe. Ouahde sf olfrra fc lhtfrrupter, lhtfrrupter, ca oerrlfhtf fxpfrlmfhta uha sfrlf df esolcaolehfs basta quf sf acoahof uh hufve fstade fstaoleharle.

rlede df agustf fstá íhtlmamfhtf rfcaolehada oeh cas preplfdadfs df acmaofhamlfhte df fhfrkía, tahte dfc oapaolter oeme dfc lhduoter. Ca fhfrkía acmaofhada pufdf esolcar fhtrf fstes des fcfmfhtes durahtf uh pfrlede pfr lede trahslterle. _lh fmjarke, ca rfslstfhola fh fc olroulte dlslpará ca makhltud df cas esolcaolehfs. Fc icuge df oerrlfhtf a travìs dfc rfslster preveoa uha oaída df vectagf (Y  Z), dada per Y  Z = lZ

dehdf l = ca oerrlfhtf y Z = ca rfslstfhola dfc rfslster. rfslster. _l cas uhldadfs uh ldadfs df Z f l seh ebms y ampfrfs, rfspfotlvamfhtf, fhtehofs cas uhldadfs df Y  Z seh vectles. Df mahfra sfmfgahtf, uh lhduoter sf epehf a oamjles df oerrlfhtf tacfs quf ca oaída dfc vectagf a travìs dfc lhduoter Y  C fs Y C  = C

dl dt 

dehdf C = ca lhduotahola. _l cas uhldadfs df C f l seh bfhrles y ampfrfs, rfspfotlvamfhtf, fhtehofs cas df Y  C seh vectles, y cas df t  seh  seh sfkuhdes. Ca oaída dfc vecta vectagf gf a travìs dfc oapaolter (Y O ) dfpfhdf df ca oarka (q) sejrf ìstf7 Y O  =  = q O 

dehdf O  =  = ca oapaoltahola. _l cas uhldadfs df oarka oa rka sf fxprfsah fh oeucemjles, fhtehofs ca uhldad df O fs fc iaradle. Ca sfkuhda cfy df @lrobbeii fstajcfof quf ca suma ackfjraloa df cas oaídas df vectagf vecta gf acrfdfder df uh olroulte ol roulte ofrrade fs ofre. Así quf, dfspuìs df ofrrar fc lhtfrrupter sf tlfhf  C

dl dt 

+ Zl +

q O 

=>

_lh fmjarke, oeme ca oerrlfhtf sf rfcaoleha oeh ca oarka df aoufrde oeh l=

dq dt 

 

:>2 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

^er ce tahte, q(t ) q>

:

 C

d q

+ Z

dt :

dq

1

q = >  O 

+

dt

(2.12)

Tlfmpe

Ìsta fs uha fouaolÿh dlifrfholac erdlharla clhfac df sfkuhde erdfh quf sf rfsufcvf rfsufcvf usahde ces mìtedes df oácouce oá couce (vìasf (vìasf ca sfoolÿh 2.4). Fsta secuolÿh fstá dada per p er

ILKVZA 2.4 Ca oarka fh uh oapaolter oeme iuholÿh dfc tlfmpe dfspuìs df ofrrar fc lhtfrrupter df ca fikura 2.?.

q ( t ) = q> f

‟ Zt / ( : C )

⎡ 1 ⎐  Z ⎘ : ⎤ ‟ t ⎦   ⎪⎯  CO  ⎝ : C ⎮  ⎦⎩

  ⎪ oes

(2.1, q = q >  = Y >O  y  y Y > = fc vectagf df ca jatfría. Ca fouaolÿh (2.1 = >.>1) fh t = >.>6 s, oeh C = 6 B y O = 1>

I.

_ecuolÿh. Fs hfofsarle dfspfgar  Z df ca fouaolÿh (2.1, C y O.  _lh fmjarke, dfjf fmpcfar uha tìohloa df aprexlmaolÿh humìrloa, ya quf  Z fs uha varlajcf lmpcíolta fh ca fouaolÿh (2.1>6 Z

oess P : >> oe >>>> ‟ >. >.>1 >1Z: (>.>6)] ‟ >.>1  

(2.:>)

Vh fxamfh df fsta fouaolÿh suklfrf quf uh rahke lhlolac razehajcf para Z fs > a 4>> ℩  (ya quf : >>>  ‟ >.>1 Z: dfjf sfr mayer quf ofre). Ca ilkura 2.6 fs uha kráiloa df ca fouaolÿh (2.:>), quf oehilrma ce ahtfrler. Ac baofr vflhtl÷h ltfraolehfs oeh fc mìtede df jlsfoolÿh sf ejtlfhf uha raíz aprexlmada Z  = ?:2.1616 ℩, oeh uh frrer mfher ac >.>>>1 per olfhte. Df fsta ierma, sf fspfoliloa fspf oliloa uh rfslster oeh fstf vacer para fc olroulte mestrade fh ca ilkura 2.9 y sf fspfra tfhfr uha dlslpaolÿh d lslpaolÿh oehslstfhtf oehslstfhtf oeh ces rfqulsltes dfc prejcfma. Fstf prejcfma df dlsfñe he sf pedría rfsecv rfsecvfr fr filolfhtfmfhtf slh fc use df ces mìtedes humìrloes vlstes fh ces oapítuces 6 y 9.

 

 

:><

2.4 AHÁCL_L_ DF YLJZAOLEHF_

 i ( Z)

>.>

Zaíz



:>>

?:6

4>>

 Z

‟>.:

‟>.4

‟>.9

ILKVZA 2.6 Kráfioa df ca fouaolÿh (2.:>) usada para ejtfhfr ces vacerfs lhlolacfs df Z  quf  quf oehtlfhfh a ca raíz.

 

2.4 AHÁCL_L_ DF YLJZAOLEHF_ (LHKFHLFZÍA MFOÁHLOA F LHKFHLFZÍA AFZEHÁVTLOA) Ahtfofdfhtfs. Cas fouaolehfs dlifrfholacfs slrvfh para medfcar ca vljraolÿh df slstfmas fh lhkfhlfría. Ackuhes fgfmpces (ilkura 2.9) seh fc pìhduce slmpcf, uha masa sugfta a uh rfsertf y uh olroulte fcìotrloe oeh uh lhduoter y uh oapaolter (rfoufrdf ca sfoolÿh 2.?). Ca vljraolÿh df fstes slstfmas pufdf amertlkuarsf per mfdle df ack÷h

ILKVZA 2.9 Trfs fgfmpces df vljraolehfs armÿhloas slmpcfs. Cas ﬊ fobas dejcfs lhdloah cas vljraolehfs Trfs fh oada slstfma.

Oerrlfhtf

^ìhduce

 

Zfsertf/masa

Olroulte CO

 

:1> 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

‟ x 

Amertlkuader

Zfsertf

+ x 

m

ILKVZA 2.; Vh oarre df masa m.

mfoahlsme quf ajserja ca fhfrkía. Adfmás, ca vljraolÿh pufdf sfr cljrf c ljrf e sugfta a ack÷h dlsturjle pfrlÿdloe fxtfrhe. Fh fstf ÷ctlme ÷ ctlme oase, sf dlof quf fc mevlmlfhte fs ierzade. Fh fsta sfoolÿh fxam lhará cakfhfrac v ljraolÿh vljraolÿh y ierzada dfc autemÿvlc, quf sf df mufstra fh ca ilku ilkura ra 2.;. 2.;. sf Fcfxamlhará t ratamlfhte tratamlfhte fs cljrf apcloajcf a muobes etres prejcfmas lhkfhlfría. Oeme sf ejsfrva fh ca ilkura 2.;, uh oarre df masa m sf seperta per mfdle df rfsertfs y amertlkuaderfs. Ces amertlkuaderfs prfsfhtah rfslstfhola ac mevlmlfhte, quf fs preperolehac a ca vfceol vfceoldad dad vfrtloac (mevlmlfhte asofhdfhtf-dfsofhdfhtf). Ca vljraolÿh cljrf eourrf ouahde fc autemÿvlc fs pfrturjade df su oehdlolÿh df fqulcljrle, oeme eourrf ouahde sf pasa per uh jaobf (akugfre fh fc oamlhe). Vh lhstahtf dfspuìs df pasar per fc jaobf, cas iufrzas hftas quf aot÷ah sejrf m seh ca rfslstfhola df ces rfsertfs y ca iufrza df ces amertlkuaderfs. Tacfs iufrzas tlfhdfh a rfkrfsar fc oarre ac fstade df fqulcljrle erlklhac. Df aoufrde oeh ca cfy df Bee`f, ca rfslstfhola dfc rfsertf fs preperolehac a su oehstahtf `  y  y a ca dlstahola dlsta hola df ca peslolÿh df fqulcljrle x . ^er ce tahte, Iufrza dfc rfsertf = ‟`x  dehdf hfkatlve lhdloa quf(fscadfolr, iufrzacadf rfstauraolÿh aot÷a rfkrfsahde fc autemÿvlc afcsuslkhe peslolÿh df fqulcljrle dlrfoolÿh  x hfkatlva). Ca iufrza para uh amertlkuader fstá dada per Iufrzaa df Iufrz df amerl amerlkuaol kuaolÿh ÿh = ‟o

dx  dt 

dehdf o fs fc oefilolfhtf df amertlkuamlfhte y dx  / dt dt fs ca vfceoldad vfrtloac. Fc slkhe hfkatlve lhdloa quf ca iufrza df amertlkuamlfhte aot÷a fh dlrfoolÿh epufsta a ca vfceoldad. Cas fouaolehfs df mevlmlfhte para fc slstfma fstáh dadas per ca sfkuhda cfy df Hfwteh (I  =  = ma) , quf fh fstf prejcfma sf fxprfsa oeme m

Û

Masa

Û

d : x  dt : aofcfraolÿh

= =

‟o

dx  dt 

 

iufrza df amertlkuamlfhte

+

(‟`x )

+

iufrza dfc rfsertf

 

 

2.4 AHÁCL_L_ DF YLJZAOLEHF_

:11

e jlfh :

m

d x  :

dt 

+o

dx  dt 

+ `x = >

Ejsfrvf ca slmlcltud oeh ca fouaolÿh (2.12) quf sf dfsarreccÿ fh ca sfoolÿh 2.? para uh olroulte fcìotrloe. _l sf supehf quf ca secuolÿh tema ca ierma x (t ) = frt , fhtehofs sf fsorljf ca fouaolÿh oaraotfrístloa

 = >  mr : + or + `  =

(2.:1)

Ca lhoÿkhlta r  fs  fs ca secuolÿh df ca fouaolÿh oaraotfrístloa ouadrátloa quf sf pufdf ejtfhfr, ya sfa fh ierma ahacítloa e humìrloa. Fh fstf prejcfma df dlsfñe, prlmfre sf utlclza ca secuolÿh ahacítloa para eirfofr uha ldfa kfhfrac df ca ierma fh quf fc mevlmlfhte dfc slstfma fs aifotade per ces oefilolfhtfs dfc medfce7 m, `   y o. Tamjlìh sf usaráh dlifrfhtfs mìtedes humìrloes para ejtfhfr cas secuolehfs, y sf vfrliloará ca fxaotltud df ces rfsuctades oeh ca secuolÿh ahacítloa. ^er ÷ctlme, sfhtarfmes cas jasfs para prejcfmas más oempcloades quf sf dfsorljlráh más tardf fh fc tfxte, dehdf ces rfsuctades ahacítloes seh dliíolcfs d liíolcfs e lmpesljcfs ejtfhfr. Ca secuolÿh df ca fouaolÿh (2.:1)dfpara r  fstá  fstá dada per ca iÿrmuca ouadrátloa r 1 r :

=

‟  o ±

o : ‟ 4 m`   :m

 

(2.::)

Hetf fc slkhliloade df ca makhltud df o ac oempararca oeh : `m . _l o 8 : `m , r 1 y r : seh h÷mfres rfacfs rfa cfs hfkatlves, hfkatlves, y ca secuol secuolÿh ÿh fs df ca ierma  x (t ) = Afr 1t  + Jfr :t

(2.:?)

dehdf A y J seh oehstahtfs quf sf dfjfh dftfrmlhar dftfrmlha r a partlr partl r df cas oehdlolehfs lhlolacfs df x  y  y dx  / dt. dt. Tacfs slstfmas slstfmas sf dfhemlhah dfhemlha h sejrfamertlkuades. _l o 3 : `m , cas raíofs seh oempcfgas, r 1   ¶  r : = ΰ  ± l

dehdf :   ⏞ o ‟ 4 m` ⏞ ¶  =  =

:m

y ca secuolÿh fs df ca ierma  x (t ) = f ‟  ct  ( A  A oes ¶t + J sfh ¶t ) 

(2.:4)

Tacfs slstfmas sf oeheofh oeme sujamertlkuades. ^er ÷ctlme, sl o = : `m , ca fouaolÿh oaraotfrístloa tlfhf uha raíz ra íz dejcf y ca secuolÿh fs df ca ierma  x (t ) = (A + Jt )f ‟  ct  

(2.:6)

 

:1: 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

dehdf ΰ  =  =

o

:m

A tacfs slstfmas sf cfs ccama orítloamfhtf amertlkuades. Fh ces trfs oases, x (t ) sf aprexlma a ofre ouahde t  tlfhdf  tlfhdf ac lhilhlte. Fste slkhliloa quf fc autemÿvlc slfmprf rfkrfsa a ca peslolÿh df fqulcljrle dfspuìs df pasar per uh jaobf (¡auhquf fste parfofría peoe prejajcf fh ackuhas oludadfs quf bfmes vlsltade!). Fstes oases sf lcustrah fh ca ilkura 2.2. Fc oefilolfhtf df amertlkuamlfhte orítloe oo fs fc vacer df o quf baof quf fc radloac df ca fouaolÿh (2.::) sfa lkuac a ofre, oo = : `m

e

oo = : mp  

(2.:9)

dehdf ` 

 p =

m

 

(2.:;)

Ca rfcaolÿh o / oo sf ccama iaoter df amertlkuam amertlkuamlfhte lfhte, y a p sf cf oeheof oeme ca irfoufhola haturac df ca vljraolÿh cljrf he amertlkuada. Abera, oehsldfrfmes fc oase dehdf fc autemÿvlc fstá sugfte a uha iufrza i ufrza pfrlÿdloa dada per ^ = ^m sfh wt  

e

d  =  = d m sfh wt 

dehdf d m  = ^ m / ` = ca dficfxlÿh fstátloa dfc oarre sugfte a uha iufrza ^m. Ca fouaolÿh dlifrfholac quf rlkf fstf oase fs :

d x  dx  m : + o + `x = ^m  sfh ό t   dt  dt 

 

Ca secuolÿh kfhfrac df fsta fouaolÿh sf ejtlfhf ac sumar uha secuolÿh partloucar a ca secuolÿh per vljraolÿh vljraolÿh cljrf, dada per cas fouaolehfs (2.:?), (2.:4) y (2.:6). Oehsldf-

ILKVZA 2.2 Yljraolehfs a) sejrfamertlkuadas, j ) sujamertlkuadas y o ) amertlkuadas orítloamfhtf.

 x (t )

Amertlkuamlfhte orítloe _ejrfamertlkuamlfhte

t 

_ujamertlkuamlfhte

 

 

:1?

2.4 AHÁCL_L_ DF YLJZAOLEHF_

rfmes fc mevlmlfhte fh fstade fstaoleharle dfc slstfma ierzade dehdf sf ba amertlkuaamert lkuade fc mevlmlfhte trahslterle lhlolac. _l oehsldframes quf fsta secuolÿh fh fstade fstaoleharle tlfhf ca ierma  x ss (t ) = x m sfh ( wt  ‟  ‟ i )

sf dfmufstra quf  x m ^m / ` 

=

 x m d m

=

1   P1 ‟( ‟ (ό / p ))]] + 4(o/oo ): (ό / p): :

(2.:2)

Ca oahtldad x m / d  d m ccamada iaoter df ampcliloaolÿh df ca ampcltud dfpfhdf tah sÿce df ca razÿh dfc amertlkuamlfhte rfac oeh fc amertlkuamlfhte orítloe, y df ca razÿh df ca irfoufhola ierzada oeh ca irfoufhola haturac. Ejsfrvf quf ouahde ca irfoufhola ierzada w sf aprexlma a ofre, fc iaoter df ampcliloaolÿh sf aprexlma a 1. _l, adfmás, fc slstfma fs clkframfhtf amertlkuade, fs dfolr, sl o / oo fs pfqufñe, fhtehofs fc iaoter df ampcliloaolÿh sf baof krahdf ouahde w fs ofroahe a p. _l fc amertlkuamlfhte fs ofre, fhtehofs fc iaoter df ampcliloaolÿh tlfhdf a lhilhlte ouahde w = p, y sf dlof quf ca iuholÿh df iufrza fhtra fh rfsehahola oeh fc slstfma. ^er ÷ctlme, oehiermf w /  p sf vufcvf muy krahdf, fc iaoter df ampcliloaolÿh sf aprexlma a ofre. Ca ilkura 2.< mufstra uha kráiloa dfc iaoter df ampcliloaolÿh oeme uha iuholÿh df w /  p para dlvfrse dlvfrsess iaoterfs df amertlkuamlfhte amertlkuam lfhte.. Ejsfrvf quf fc iaoter df ampcliloaolÿh sf oehsfrva pfqufñe ac sfcfoolehar uh iaoter df amertlkuamlfhte krahdf, e mahtfhlfhde muy dlstahtfs cas irfoufholas haturac y ierzada. Fc dlsfñe dfc slstfma df suspfhslÿh dfc autemÿvlc oemprfhdf uha secuolÿh lhtfrmfdla fhtrf oemedldad y fstajlcldad para tedas cas oehdlole oehdlolehfs hfs df mahfge y vfc vfceoldad. eoldad. _f pldf dftfrmlhar ca fstajlcldad dfc oarre para pa ra olfrte dlsfñe prepufste quf eirfzoa oemeoemedldad sejrf oamlhes lrrfkucarfs. _l ca masa dfc oarre fs m = 1.: Û 1>9 krames y tlfhf uh slstfma df amertlkuaderfs oeh uh oefilolf oefilolfhtf htf df amertlkuamlfhte a mertlkuamlfhte o = 1 Û 1>; k/s. _upehka quf ca fxpfotatlva dfc p÷jcloe fh ouahte a ca oemedldad sf satlsiaof sl ca vljraolÿh cljrf dfc autemÿvlc fs sujamertlkuada y fc prlmfr oruof per ca peslolÿh df fqulcljrle tlfhf cukar fh >.>6 s. _l fh t  =  = >, fc oarre s÷jltamfhtf sf dfspcaza uha dlstah-

ILKVZA 2.< Kráfioa dfc iaoter df ampclfioaolÿh df ca ampcltud x m/x d  d Pfouaolÿh   (2.:2)] oehtra ca irfoufhola w fhtrf ca irfoufhola haturac p  para  para dlvfrses vacerfs dfc oeffiolfhtf df amertlkuamlfhte o   fhtrf fc oeffiolfhtf df amertlkuamlfhte orítloe o o o. 

o / oo  = >

9

>.1:6 4     d

>.:6

   x

           /

   m

   x

>.6 :

>

1

>

1

: � /   p

 

:14 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

ola x >, dfsdf fc fqulcljrle, fqulc ljrle, y ca vfceoldad fs ofre (dx  / dt dt = >), ca secuolÿh df ca fouaolÿh df mevlmlfhte fstá dada per ca fouaolÿh (2.:4), oeh A = x > y J = x > c /  m . ^er ce tahte,  x (t ) = x > f ‟

⎐ ⎓ oes ¶ t +  ΰ  sfh ¶ t ⎘ ⎕  ¶  ⎝  ⎮ 

ΰ t 

Hufstras oehdlolehfs df dlsfñe sf satlsiaofh sl  x (t ) = > = oes (>.>6¶ ) +

ΰ 

sfh (> (>.>6¶ )

¶ 

e jlfh

⎐  ⎝ 

> = oes ⎓ >.>6

`  m

‟

⎘  ⎐  o  + sfh ⎓ >.>6 : ⎕  + 4 m ⎮  4`m ‟ o : ⎝  o

:

`  m

‟

o

:

4m

:

⎘  ⎕   ⎮ 

(2.:.1 m y D fs ca dlstahola fhtrf ces ploes quf fs lkuac a :> m. _l v fs ca vfceoldad berlzehtac dfc autemÿvlc (m/s), fhtehofs ca fouaolÿh df mevlmlfhte dfc slstfma sf fsorljf oeme :

m

d x  dx    + `x = `dm  sfh : +o dt  dt 

⎐ :ώ  t ⎘  ⎝   D ⎮  v

dehdf w = :p v /  D fs ca irfoufhola ierzada. Ca fstajlcldad dfc oarre sf oehsldfra satlsiaoterla sl fh fstade fstaoleharle ca máxlma dlstahola  x m fs lhifrler a >.: m para tedas ca vfceoldadfs df mahfge. Fc iaoter df amertlkuamlfhte sf oacouca oa couca df aoufrde oeh ca fouaolÿh (2.:9) o oo

=

1> : `m

=

1 Û 1> ; = >.1: 1::1 :1 : 1.? < (1.: Û 1> 9 )  

 

 

:16

2.4 AHÁCL_L_ DF YLJZAOLEHF_

Abera, sf jusoah vacerfs w /  p quf satlsiakah ca fouaolÿh (2.:2), 1

:=

: :

:

:

 

(2.?>)

P1 ‟ (ό / p) ] + 4(>.1::1) (ό / p) _l ca fouaolÿh (2.?>) sf fxprfsa oeme uh prejcfma df raíofs ƚ(ό /  p) = :

P1 ‟ (ό / p) : ]: + 4(>.1::1): (ό  / p): ‟ 1 = >  

(2.?1)

Yfa quf ces vacerfs w /  p sf dftfrmlhah ac fhoehtrar cas raíofs ra íofs df ca fouaolÿh (2.?1). (2.?1). Vha kráiloa df ca fouaolÿh (2.?1) sf prfsfhta fh ca ilkura 2.1>. Fh ìsta sf mufstra quf ca fouaolÿh (2.?1) tlfhf des raíofs pesltlvas pesltlvas quf sf pufdfh puf dfh dftfrmlhar dftfrmlha r oeh fc mìtede df jlsfoolÿh, usahde fc seitwarf TEEC@LT. Fc vacer más pfqufñe para w /  p fs lkuac a >.;?>> fh 12 ltfraolehfs, ltfraolehfs, oeh uh frrer fstlmade df >.>>>6:6% y oeh vacerfs lhlolacfs supfrler f lhifrler df > y 1. Fc vacer mayer quf sf fhoufhtra para w /  p fs df 1.1294 fh 1; ltfraolehfs, oeh uh frrer fstlmade df >.>>>94% y oeh vacerfs lhlolacfs supfrler f lhifrler df 1 y :. Tamjlìh Tamjl ìh fs pesljcf fxprfsar ca fouaolÿh (2.?>) oeme uh peclhemle7 4

:

⎐ ό  ⎘    ⎐ ό    ⎘  ⎓⎝  p ⎕ ⎮  ‟ 1.4⎓⎝  p ⎕ ⎮   + >.;6  

(2.?:)

y usar MATCAJ para dftfrmlhar cas raíofs oeme slkuf7 88 a=Pc > -1.4 > .;6]0 88 reets (a) ahs =        

1.1294 -1.1294 >.;?>> ->.;?>>

Ce ouac oehilrma oehil rma fc rfsuctade ejtfhlde oeh fc mìtede df jlsfoolÿh. Fste tamjlìh suklfsuklfrf quf, auhquf ca fouaolÿh (2.?:) fs uha fouaolÿh df ouarte krade fh w /  p, tamjlìh fs uha fouaolÿh ouadrátloa fh (w /  p):. Fc vacer df ca irfoufhola haturac p fstá dade per ca fouaolÿh (2.:;),  p =

1. ?< ? < ‟1 = ?4.1: s 9 1.: Û 1>

Cas irfoufholas ierzadas, para pa ra cas quf ca máxlma máxl ma dficfxlÿh fs >.: m, fhtehofs sf oacoucah oeme w = >.;?>>(?4.1:) = :4..42 s‟1

 

:19 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

9

4

           )

   p

           /

    �

           (

    i

:

� /   p

>

1

:

ILKVZA 2.1> Kráfioa df ca fouaolÿh (2.?1) quf lhdloa des raíofs pesltlvas.

‟:

oeh ce ouac sf ejtlfhf v

=

ό  D :4. ) m ?9>> s `m = = ; >>>> m

v

=

ό  D 4>.42(:>) m ?9>> s `m = = 1: 1:22.26 Û = 494  `m  `m/b /brr (= (= :2 :222 ml ml / br br)) :ώ  :(?.1416> >>>> m

Así, oeh ces rfsuctades ahtfrlerfs y ca ilkura 2.1>, sf dftfrmlha quf fc dlsfñe dfc oarre prepufste sf oempertará oempert ará df ierma aofptajcf para vfceoldadfs df mahfge aofptajcfs. Fs dfolr, fc dlsfñader dfjf fstar oehsolfhtf df quf fc dlsfñe pedría he oumpclr ces rfqufrlmlfhtes ouahde fc autemÿvlc vlagf a vfceoldadfs fxtrfmadamfhtf actas (per fgfmpce, fh oarrfras). Fstf prejcfma df dlsfñe ba prfsfhtade uh fgfmpce fxtrfmadamfhtf slmpcf, pfre quf hes ba pfrmltlde ejtfhfr ackuhes rfsuctades ahacítloes quf sf utlclzareh utlclza reh para fvacuar ca fxaotltud df hufstres mìtedes humìrloes para fhoehtrar raíofs. Ces oases rfacfs pufdfh vecvfrsf vecvfrsf tah oempcloades quf sÿce sf ejtfhdríah cas secuolehfs a ìstes fmpcfahde mìtedes humìrloes.

^ZEJCFMA_ Lhkfhlfría químloa/Lhkfhlfría jlequímloa 2.1  Zfaclof fc mlsme oácouce quf fh ca sfoolÿh 2.1, pfre abera oeh acoebec ftícloe (a = 1:.>: y j = >.>24>;) a uha tfmpfratura df 4>> @ y uha prfslÿh ^ df :.6 atm. Oemparf ces rfsuctades oeh

ca cfy df ces kasfs k asfs ldfacfs. _l fs pesljcf, utlclof fc seitwarf df su oemputadera para dftfrmlhar fc vecumfh mecar. _l he, usf ouac-

qulfra df ces mìtedes humìrloes ahaclzades fh ces oapítuces 6 y 9, y rfaclof r faclof ces oácouces. Gustlilquf ca fcfoolÿh df ca tìohloa. 2.: Fh lhkfhlfría químloa, ces rfaoterfs df icuge tlpe tapÿh (fs dfolr, aqufcces fh quf fc iculde va df uh fxtrfme ac etre oeh uha mfzoca míhlma a ce carke dfc fgf cehkltudlhac) sf usah para oehvfrtlr rfaotahtfs fh preduotes. _f ba dftfrmlhade quf ca

 

 

:1;

^ZEJCFMA_

filolfhola df ca oehvfrslÿh ackuhas vfofs sf mfgera rfolroucahde uha perolÿh df ca oerrlfhtf dfc preduote, df d f tac ierma quf rfkrfsf a ca fhtrada para uh pase adlolehac a travìs dfc rfaoter (ilkura ^2.:). Ca razÿh df rfolroucahde sf dfilhf oeme  Z =  Z  =

vecumfh df iculde quf rfkrfsa a ca fhtrada vecumfh quf sacf dfc slstfma

o = ofht(1 ‟ f‟>.>4t ) + o>f‟>.>4t 

_upehka quf sf fstá preofsahde uha sustahola químloa  A para kfhfrar uh preduote J. ^ara fc oase fh quf A ierma a J df aoufrde oeh uha rfaoolÿh auteoatacítloa (fs dfolr, fh ca ouac uhe df ces preduotes aot÷a oeme oataclzader e fstlmucahtf fh ca rfaoolÿh), fs pesljcf dfmestrar quf uha razÿh ÿptlma df rfolroucaolÿh dfjf satlsiaofr ch

dehdf @  =   = ca oehstahtf df fqulcljrle df ca rfaoolÿh y  pt   = ca prfslÿh tetac df ca mfzoca. _l pt  = ?.6 atm y `  =  = >.>4, dftfrmlhf fc vacer df x  quf  quf satlsiaka ca fouaolÿh (^2.?). 2.4 Ca slkulfhtf fouaolÿh pfrmltf oacoucar ca oehofhtraolÿh df uh químloe fh uh rfaoter dehdf sf tlfhf uha mfzoca oempcfta7

_l ca oehofhtraolÿh lhlolac fs o> = 6 y ca oehofhtraolÿh df fhtrada fs ofht = 1:, oacoucf fc tlfmpe rfqufrlde para quf o sfa fc 26% df ofht. 2.6 Vha rfaoolÿh químloa rfvfrsljcf  O  : A + J 

sf oaraotfrlza per ca rfcaolÿh df fqulcljrle

1 + Z(1 ‟ R  A ƚ )    Z + 1 =  Z(1 ‟ R  A ƚ )  ZP1 + Z(1 ‟ R A ƚ )]

@  =

oo :

oa oj

dehdf  R  Aƚ   fs ca iraoolÿh dfc rfaotahtf  A quf sf oehvlfrtf fh fc preduote  J. Ca razÿh ÿptlma df rfolroucaolÿh oerrfspehdf a uh rfaoter df tamañe míhlme hfofsarle para acoahzar fc hlvfc dfsfade df oehvfrslÿh. Vtlclof uh mìtede humìrloe para dftfrmlhar ca razÿh df rfolroucaolÿh hfofsarla, df mahfra quf sf mlhlmlof fc tamañe dfc rfaoter para uha oehvfrslÿh iraoolehac df R  Aƚ  = >. + x ) (oa, > ‟ : x ): (oj , > ‟ x )

dehdf fc sujíhdlof > lhdloa ca oehofhtraolÿh lhlolac df oada oempehfhtf. _l @ = >.>19, oa, > = 4:, oj, > = :2 y oo, > = 4, oacoucf x . 2.9 Cas slkulfhtfs rfaoolehfs químloas sf ccfvah a oaje  fh uh slstfma ofrrade   O  : A + J     O   A + D  

Ilkura ^2.: ﬊

Zfprfsfhtaolÿh fsqufmátloa df uh rfaoter df  uge tlpe tapÿh oeh rfolroucaolÿh.

Fh fqulcljrle, ìstas pufdfh oaraotfrlzarsf per @ 1 =

Fh uh preofse df lhkfhlfría químloa fc vaper df akua (B:E) sf oaclfhta a tfmpfraturas ce suilolfhtfmfhtf actas para quf uha perolÿh slkhliloatlva dfc akua sf dlseolf, e sf rempa, para iermar exíkfhe (E:) f bldrÿkfhe (B:)7 2.?

 B  + B:E  :

1 :

E:

_l sf asumf quf ìsta fs ca ÷hloa rfaoolÿh quf sf ccfva a oaje, ca iraoolÿh mecar x  df B:E quf sf dlseola sf rfprfsfhta per @  =

: pt    1 ‟ x  : + x   x 

 

(^2.?)

@ : =

oo oa: oj oo oa od 

dehdf ca hemfhocatura oh rfprfsfhta ca oehofhtraolÿh dfc oempehfhtf H . _l x 1 y x : seh fc h÷mfre df mecfs df O  quf  quf sf preduofh dfjlde a ca prlmfra pr lmfra y sfkuhda rfaoolehfs, rfspfotlvamfhtf, fmpcff uh mìtede slmlcar ac dfc prejcfma 2.6 para rfiermucar cas rfcaolehfs df fqulcljrle fh tìrmlhes df cas oehofhtraolehfs lhlolacfs df ces oempehfhtfs. Dfspuìs, usf fc mìtede df HfwtehZapbseh para rfsecvfr fc par df fouaolehfs slmuctáhfas he clhfacfs para x 1 y x : sl @ 1 = 4 Û 1>‟4, @ : = ?.; Û 1>‟:, oa,> = 6> ,

 

:12 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

oj,> = :>, oo,> = 6 y od,> = 1>. Vtlclof uh mìtede kráiloe para pre-

pehfr ces vacerfs lhlolacfs. 2.; Ca fouaolÿh df fstade df Zfdclob-@wehk fstá dada per ‟

 p =  ZT  v ‟ j 

oaída df prfslÿh,  r fs ca dfhsldad dfc iculde, KE fs ca vfceoldad másloa (fc oeolfhtf dfc icuge df masa dlvldlde fhtrf fc árfa df ca sfoolÿh trahsvfrsac),  D p fs fc dlámftre df cas partíoucas dfhtre  ¶ fs ca vlsoeoldad cfobe, dfc iculde, C fs ca cehkltud dfc cfobe ydfcf fs ca iraoolÿh vaoía dfc cfobe.

a

( + j) T 

v v

∉ pρ  D

dehdf  Z = ca oehstahtf uhlvfrsac df ces kasfs P= >.612 `G/(`k @)], T = tfmpfratura ajsecuta (@), p = prfslÿh ajsecuta (`^a) y ? v = vecumfh df uh `k df kas (m  /`k). Ces parámftres a y j sf oacoucah mfdlahtf :

:. 6

 Z T o

a = >.4:;

j = >.>299 Z

 po

T o

Ke:

Fc vecumfh  df uhrcíqulde oehtfhlde fhrfcaolehade u h tahquf berlzehuh tac olcíhdrloe dfY radle y cehkltud oeh ca  C fstá preiuhdldad dfc cíqulde b per

 D pKe

⎡ oes   ‟1 ⎐ r ‟ b ⎘ ‟  (r ‟ b :rb ‟ b : ⎤ C ⎦⎩ ⎝  r  ⎮  ⎯

Dftfrmlhf b para r  =  = : m, C = 6 m y Y  =  = 2.6 m?. Ejsfrvf quf sl ustfd utlclza uh cfhkuagf df prekramaolÿh e bfrramlfhta df seitwarf, fc aroe oesfhe sf pufdf oacoucar oeme oes ‟1 x =

ώ 

:

⎐   x  ⎘  ⎝  1 ‟ x : ⎕ ⎮ 

‟ tah ‟1⎓

Fc vecumfh Y  dfc   dfc cíqulde oehtfhlde fh uh tahquf fsiìrloe df radle r  fstá  fstá rfcaolehade oeh ca preiuhdldad b dfc cíqulde per  ώ ` : (?r ‟ b)

?  = Dftfrmlhf b para  = >.;6 m?. r  = 1 m y Y  = 2.1> ^ara fc tahquf fsiìrloe dfc prejcfma 2..;6 m?, dftfrmlhf sl ouacqulfra df cas des acturas fs fstajcf, y fc rahke df vacerfs lhlolacfs para ces quf sí seh fstajcfs. 2.11 Ca fouaolÿh df Frkuh, quf sf da ajage, slrvf para dfsorljlr fc icuge df uh cíqulde a travìs df uh cfobe fmpaoade. ∉^ fs ca

⎕ ⎮ 

= 1>>>

∉^ρ D

 p

:

Ke C

2.1:

= 1>

Fh uha sfoolÿh df tuje, ca oaída df prfslÿh sf oacouca así7 :

 C ρ Y   p   = i  : D ∉

dehdf ∉ p = oaída df prfslÿh (^a),  i  =   = iaoter df irloolÿh,  C  = cehkltud dfc tuje Pm], r = dfhsldad (`k/m?), Y  =  = vfceoldad (m/s), y  D = dlámftre (m). ^ara fc icuge turjucfhte, ca fouaolÿh df  preperoleha uh mfdle para oacoucar fc iaoter df irloOecfjree`  preperoleha olÿh, ⎐  ζ  1 :.61 ⎘  = √:.> cek  ⎓ +  i ⎝ ?.; D Zf i  ⎕ ⎮  dehdf f = rukesldad (m), y Zf = h÷mfre df Zfyhecds, Zf =

2.<

Y  =

¶ 

¶ 

2.2

: Y = ⎪r 

⎓⎝ 

Dades ces slkulfhtfs vacerfs para ces parámftres fhoufhtrf ca iraoolÿh vaoía f dfc cfobe.

 po

dehdf po = 4 62> `^a y T o = 1¾O oeh uha prfslÿh df 96 >>> `^a. Fmpcff fc mìtede df ceoaclzaolÿh df raíofs df su fcfoolÿh para oacoucar v y cufke dftfrmlhf ca masa df mftahe oehtfhlda fh fc tahquf.

(1 ‟ ζ ) ζ ? = 16> + 1.;6  C (1 ‟ ζ ) ⎐  D p Ke ⎘   p

 ρ YD ¶ 

dehdf  m = vlsoesldad dlhámloa (H » s/m :).   a) Dftfrmlhf ∉ p  para uh trame berlzehtac df tuje clse df >.: m df cehkltud, dadas  r = 1.:? `k/m?,  m = 1.;< Û 1> ‟6  H » s/m:, D = >.>>6 m, Y  =  = 4> m/s, y f = >.>>16 mm. Vtlclof uh mìtede humìrloe para dftfrmlhar fc iaoter df irloolÿh. Ejsìrvfsf quf ces tujes clses tlfhfh Zf 3 1>6, uh vacer lhlolac apreplade sf ejtlfhf oeh fc use df ca  iÿrmuca df  = >.?19/Zf>.:6.  Jcaslus, i  =   j) Zfplta fc fc oácouce oácouce pfre para uh tuje df aofre oemfrolac oemfrolac más rukese (f = >.>46 mm). Fc pB dfc akua tlfhf krah lmpertahola para ces lhkfhlfres amjlfhtacfs y químloes. _f rfcaoleha oeh preofses quf vah df ca oerreslÿh df tujes df ccuvla áolda. Fc pB sf rfcaoleha oeh ca oehofhtraolÿh dfc leh df bldrÿkfhe per mfdle df ca fouaolÿh slkulfhtf7 2.1?

pB = ‟ cek1> PB+]

 

 

:1<

^ZEJCFMA_

Cas olhoe fouaolehfs quf slkufh kejlfrhah k ejlfrhah cas oehofhtraolehfs df uha mfzoca df dlÿxlde df oarjehe y akua para uh slstfma ofrrade. @ 1 = PB @ : =

Lhkfhlfría olvlc y amjlfhtac 2.16 Fc dfspcazamlfhte df uha

fstruotura fstá dfilhlde per ca fouaolÿh slkulfhtf para uha esolcaolÿh amertlkuada7

]]PPB OE?√ ] POE: ]

 y = .; y w = 4.

  :√ PB + ]POE ? ] ‟ PBOE? ]

@  = PB

+

w 

 

a)

Vtlclof fc mìtede kráfioe para rfaclzar uha fstlmaolÿh lhlolac dfc tlfmpe quf sf rfqulfrf para quf fc dfspcazamlfhte d fspcazamlfhte dlsmlhuya a ?.6. mìtede df Hfwteh-Zapbseh para para dftfrmlhar dftfrmlhar ca j) Fmpcff fc mìtede raíz oeh fs = >.>1%. mìtede df ca sfoahtf para dftfrmlhar ca raíz oeh fs  o) Vsf fc mìtede = >.>1%.

√

]PEB ]

oT  = POE : ] + PBOE?‟ ] + POE :?

√

]

:√ ?

Ac` = PBOE ] + :POE ] + PEB     ‟ ] √ PB + ] ‟ ?

dehdf Ac` = acoaclhldad, oT  = tetac df oarjÿh lherkáhloe, y cas @ seh oefilolfhtfs df fqulcljrle. Cas olhoe lhoÿkhltas seh POE :] = dlÿxlde df oarjehe, PBOE‟? ] = jloarjehate, POE:‟ ?  ] = oarjehate, PB+] = leh bldrÿkfhe, y PEB‟] = leh bldrexlce. Zfsufcva para cas olhoe lhoÿkhltas dade quf Ac` = : Û 1> ‟?, oT  = ? Û 1> ‟?, @ 1 = 1>‟9.?, y @ : = 1> ‟1>.?, y @   = 1> ‟14. Aslmlsme, oacoucf fc pB df

Fh lhkfhlfría fstruoturac, ca iÿrmuca df ca sfoahtf dfilhf ca iufrza per uhldad df árfa, ^ /  A, quf eoasleha ca tfhslÿh máxlma s m fh uha oecumha quf tlfhf uha razÿh df fsjfctfz  C / `    dada ` dada fs7 2.19

w

cas 2.14secuolehfs. Ca fouaolÿh quf sf prfsfhta a oehtlhuaolÿh, dfsorljf ca epfraolÿh df uh rfaoter df icuge per lhyfoolÿh df dfhsldad oehstahtf para ca preduoolÿh df uha sustahola per mfdle df uha rfaoolÿh fhzlmátloa, dehdf Y  fs  fs fc vecumfh dfc rfaoter, I  fs  fs ca tasa df icuge dfc rfaotlve O , O fht y O sac seh cas oehofhtraolehfs dfc rfaotlve quf fhtra y sacf dfc rfaoter, rfspfotlvamfhtf, y @  y  y ` máx  seh oehstahtfs. ^ara uh rfaoter df 6>> C, oeh uha oehofhtraolÿh fh ca tema df O fht = >.6 M, tasa df fhtrada df icuge df 4> C/s,  = >.1 M, fhoufhtrf ca oehofhtraolÿh df O   ` máx = 6 Û 1>‟?s‟1, y @  = a ca saclda dfc rfaoter. Y  I 

=

‟

∠ 

O sac

O fht

@  `máx O

+

1 ` máx

^  A

=

Ϗ m :

1 + (fo/` ) sfo P>.6 ^/( FA) (C/` )]

dehdf fo / `  `:   = razÿh df fxofhtrloldad, y F  =  = mÿduce df fcastloldad. _l para uha vlka df aofre,  F  =  = :>> >>> M^a, fo / `  `:   = >.4 y  = s m = :6> M^a, oacoucf ^ /   A para C / ` = 6>. Zfoufrdf quf sfo x  = 1/oes x . 2.1; Vh oajcf fh ierma oatfharla fs aqufc quf oufcka fhtrf des puhtes quf he sf fhoufhtrah sejrf ca mlsma cíhfa vfrtloac. Oeme sf lcustra fh ca ilkura ^2.1; a, he fstá sugfta a más oarka quf su preple pfse. Así, su pfse (H/m) aot÷a oeme uha oarka uhliermf per uhldad df cehkltud a ce carke dfc oajcf. Fh ca ilkura ^2.1;j, sf lcustra uh dlakrama df oufrpe cljrf df uha sfoolÿh AJ, dehdf

dO 

Ilkura ^2.1;

a) Iufrzas quf aot÷ah sejrf uha sfoolÿh AJ  df  df uh oajcf ﬊ fxljcf quf oufcka. Ca oarka fs uhliermf a ce carke dfc oajcf (pfre he uhliermf per ca dlstahola berlzehtac x ).). j ) Dlakrama df oufrpe cljrf df ca sfoolÿh AJ.

 y

T  J

 J



 A w

[  = ws T  A

 y>  x 

a)

 

j)

 

::> 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

T   A y T   J seh cas iufrzas df tfhslÿh fh fc fxtrfme. Oeh jasf

fh ces jacahofs df iufrzas berlzehtac y vfrtloac, sf ejtlfhf para fc oajcf fc slkulfhtf medfce df fouaolÿh dlifrfholac7 :

d y dx

:

=

w

T  A

:

dy 1 + ⎐  ⎘  ⎝ dx ⎮ 

^ufdf fmpcfarsf fc oácouce para rfsecvfr fsta fouaolÿh para ca actura y dfc oajcf oeme iuholÿh df ca dlstahola  x .  y =

T  A w

⎐    ⎘  T   x ⎕  + y > √ ⎝ T  ⎮ 

 oesb ⎓

w

 A

mlhar fc vacer df ca dficfxlÿh máxlma. Fh sus oácouces, ces vacerfs slkulfhtfs para ces parámftres7 om, F  =  = utlclof 6> >>>  C =  9>> : 4 `H/om , L  =  = ?> >>> om  y w> = :.6 `H/om. 2.1< Fh ca lhkfhlfría amjlfhtac (uha fspfolacldad df ca lhkfhlfría olvlc), ca fouaolÿh slkulfhtf sf fmpcfa para oacoucar fc hlvfc df exíkfhe o (mk/C) fh uh ríe akuas ajage df ca dfsoarka df uh drfhagf7

 A

>.6 x ) o = 1> ‟ :>( f‟>.16 x  ‟ f ‟ >.6

w

dehdf fc oesfhe blpfrjÿcloe sf oacouca per mfdle df ca fouaolÿh7 1 oesb x = (f x + f ‟ x ) : Vtlclof uh mìtede para oacoucar uh vacer para fc parámftre T  A  w

 y> = 9, df mede dades vacerfs parámftres 1:=y6>. quf fc ces oajcf tfhka df uhaces actura df y = 16  = fh x 2.12 Fh ca ilkura ^2.12a sf mufstra uha vlka uhliermf sugfta a uha oarka dlstrljulda uhliermfmfhtf quf orfof fh ierma clhfac. Ca fouaolÿh para ca ourva fcástloa rfsuctahtf fs ca slkulfhtf (vìasf ca ilkura ^2.12j)  y =

Vtlclof fc mìtede df ca jlsfoolÿh para dftfrmlhar fc puhte df máxlma dficfxlÿh (fs dfolr, fc vacer df d f x  dehdf  dehdf dy / dx  dx  =  = >). Dfspuìs, sustltuya fstf vacer fh ca fouaolÿh (^2.12) a ilh df dftfr-

w

 > ( √ x 6 + : C : x ? √ C4 x )  

(^2.12)

1:> FLC

dehdf x  fs  fs ca dlstahola akuas ajage fh `lcÿmftres. a)

Dftfrmlhf ca ca dlstahola akuas ajage df ca oerrlfhtf, a ca ouac fc hlvfc df exíkfhe oaf basta uha cfotura df 6 mk/C. (Zfoemfhdaolÿh7 fstá dfhtre df : `m df ca dfsoarka.) Fhoufhtrf ca rfspufsta oeh uh frrer df 1%. Ejsìrvfsf quf ces hlvfcfs df exíkfhe per dfjage df 6 mk/C per ce kfhfrac seh dañlhes para olfrtas fspfolfs df pfsoa dfpertlva, oeme ca truoba y fc sacmÿh. j) Oacoucf ca dlstahola akuas ajage a ca ouac fc exíkfhe sf fhoufhtra ac míhlme. µOuác fs ca oehofhtraolÿh fh dloba ujloaolÿh5 Ca oehofhtraolÿh df jaotfrlas oehtamlhahtfs o fh uh cake dlsmlhuyf df aoufrde oeh ca fouaolÿh 2.:>

o = ;6f‟1.6t  + :>f‟>.>;6t 

Ilkura ^2.12 w>

Dftfrmlhf fc tlfmpe quf sf rfqulfrf para quf ca oehofhtraolÿh df jaotfrlas sf rfduzoa a 16 oeh fc use df a) fc mìtede kráiloe, y j) fc mìtede df Hfwteh-Zapbseh, oeh uh vacer lhlolac df t  =  = 9 y orltfrle df dftfholÿh df >.6%. Oemprufjf ces rfsuctades quf ejtfhka. Fh lhkfhlfría eofahekráiloa, ca fouaolÿh df uha eca fstaoleharla rficfgada fh uh pufrte fstá dada per  c = 19, t = 1:, v = 427 2.:1

⎡  ⎯

b = b> ⎪sfh

 C

a)

( x  =  C ,  y = >) ( x  = >,  y = >)

 x 

j)

⎐ :ώ  x ⎘  oes  ⎐ :ώ t  ⎘  + f √ ⎤ ⎦⎩ ⎝  ΰ  ⎮  ⎝  ΰ  ⎮  v

 x 

Zfsufcva para fc vacer pesltlve más jage df  x , sl b = >.6 b>. 2.:: _upehka fc cfoter quf oempra uha plfza df fqulpe fh $:6 >>> oeme pake lhlolac y $6 6>> per p er añe durahtf 9 añes. µQuì tasa df lhtfrìs fstaría pakahde5 Ca iÿrmuca quf rfcaoleha fc vacer prfsfhtf ^, ces pakes ahuacfs A, fc h÷mfre df añes h y ca tasa df lhtfrìs l, fs ca quf slkuf7  A = ^

  l(1 + l)

h

(1 + l ) h √ 1

 

 

::1

^ZEJCFMA_

:> `lps/it

16> `lps-it

6“

:“

16 `lps

1“

:“

Ilkura ^2.:4

Muobes oampes df ca lhkfhlfría rfqulfrfh fstlmaolehfs fxaotas df ca pejcaolÿh. ^er fgfmpce, ces lhkfhlfres df trahspertf qulzás fhoufhtrfh hfofsarle dftfrmlhar per sfparade ca tfhdfhola dfc orfolmlfhte df uha oludad y ca df ces sujurjles. Ca pejcaolÿh dfc árfa urjaha dfoclha oeh fc tlfmpe df aoufrde oeh ca fouaolÿh7 2.:?

 ‟ >⌧: ‟ ⌬ x   ‟ 6⌧:] + 16⌬ x   ‟ 2⌧1  M ( x   x ) = ‟1>P⌬ x   x  ‟  x  ‟  x  ‟ + 16>⌬ x   ‟ ;⌧> + 6; x   x  ‟ Fmpcff uh mìtede humìrloe para fhoehtrar fc (ces) puhte(s) fh ces quf fc memfhte fs lkuac a ofre. Oeh fc use ca vlka oehfstá apeye slmpcf ca pfhdlfhtf a ce df carke df fcca dada per7 dfc prejcfma 2.:4, 2.:9

^u(t ) = ^u,máxf‟` ut  + ^u,míh

fh tahte quf ca pejcaolÿh sujurjaha orfof sfk÷h7  ps (t ) =

du y dx 

( x ) =

  √1>

^s, máx

  6; + 16  > ⌬ x √ ;⌧1  +   x : √ :?2.:6 :

  √ `st 

1 + P ^s, máx  / ^> √ 1]f

dehdf ^u,máx, ` u, ^s,máx, ^> y ` s seh parámftres quf sf ejtlfhfh fh ierma fmpírloa. Dftfrmlhf fc tlfmpe y ces vacerfs oerrfspehdlfhoerrfs pehdlfhtfs df ^u(t )  y ^s(t ) ouahde ces sujurjles seh :>% más krahdfs quf ca oludad. Ces vacerfs df ces parámftres seh7 ^u,máx = ;6 >>>, 1> > >>> pfrsehas, ^s,máx = ?>> >>> pfr@ u = >.>46/añe, ^u,míh = 1>> sehas, ^> = 1> >>> pfrsehas, ` s = >.>2/añe. ^ara ejtfhfr cas secuolehfs utlclof ces mìtedes a) kráiloe, j) df ca iacsa peslolÿh, y o) df ca sfoahtf medliloada. 2.:4 Fh quf ca ilkura sf oeme mufstra vlkaOeh apeyada fh ierma sfholcca fstá ^2.:4 oarkada sf uha lcustra. fc fmpcfe df

iuholehfs df slhkucarldad, fc fsiufrze oertahtf a ce carke df ca vlka sf fxprfsa oeh ca fouaolÿh7  ‟ >⌧1 ‟ ⌬ x   ‟ 6⌧1] ‟ 16⌬ x   ‟ 2⌧> ‟ 6; Y ( x   x ) = :>P⌬ x   x  ‟  x  ‟  x  ‟ ^er dfilhlolÿh, ca iuholÿh df slhkucarldad sf fxprfsa dfc mede quf slkuf7

⎫( x √ a)h ouahde x 8 a⎠ ⌬ x ‟ a⌧ h  = ⎢ ⎣ ouahde x ≤ a⎭ ⎬ > Vtlclof uh mìtede humìrloe para fhoehtrar fc(ces) puhte(s) fh ces quf fc fsiufrze oertahtf sfa lkuac a ofre. 2.:6 Oeh fc use df ca vlka apeyada fh ierma slmpcf dfc prejcfma 2.:4, fc memfhte a ce carke df fcca, M  (  ( x   x ) fstá dada per7

16 ? ?   : P⌬ x √ > ⌧ √ ⌬ x √ 6⌧  ] +   ⌬ x  √ 2⌧ ? :

Vtlclof uh mìtede humìrloe para fhoehtrar fc(ces) puhte(s) dehdf ca pfhdlfhtf fs lkuac a ofre. 2.:; ^ara ca vlka oeh apeye slmpcf dfc prejcfma 2.:4, fc dfspcazamlfhte a ce carke df fcca fstá dade per ca fouaolÿh7 u y ( x ) =

 √6 P⌬ √ >⌧ 4 √ ⌬ √ 6⌧ 4 ] + 16  ⌬ √ 2⌧ ? x x x 9

+ ;6   ⌬ x √ ;⌧ : +

9

 

6; ?   x √ :? :?22.:6x  9

 a) Oacoucf fc (ces) puhte(s) dehdf fc fc dfspcazamlfhte dfspcazamlfhte fs lkuac a ofre.  j) µOÿme sf usaría uha tìohloa df ceoaclzaolÿh df raíofs para dftfrmlhar ca ujloaolÿh dfc dfspcazamlfhte míhlme5 Lhkfhlfría fcìotrloa 2.:2 Fgfoutf fc mlsme oácouce quf fh ca sfoolÿh 2.?, pfre dftfrmlhf fc vacer df O quf sf rfqulfrf para quf fc olroulte dlslpf 1% df su vacer erlklhac fh t  =  = >.>6 s, dade Z = :2> ℩, y C = ;.6 B. Fmpcff a) uh fhiequf kráiloe, j) ca jlsfoolÿh, y o) seitwarf para

fhoehtrar raíofs, tacfs oeme _ecvfr df Fxofc e ca iuholÿh izfre df MATCAJ. 2.:< Ca fouaolÿh l =   Ca rfslstlvldad  r df uh cujrloahtf df síclof sf jasa fh ca oarka q fh uh fcfotrÿh, ca dfhsldad dfc fcfotrÿh h, y ca mevlcldad

dfc fcfotrÿh m. Ca dfhsldad dfc fcfotrÿh fstá dada fh tìrmlhes df ca dfhsldad dfc cujrloahtf H , y ca dfhsldad lhtríhsfoa df aoarrfe hl. Ca mevlcldad dfc fcfotrÿh fstá dfsorlta per ca tfmpfratura T , ca tfmpfratura df rfifrfhola T >, y ca mevlcldad df rfifrfhola ¶>. Cas fouaolehfs quf sf rfqulfrfh para oacoucar ca rfslstlvldad seh cas slkulfhtfs7 ρ  = 1

qh¶ 

dehdf 1 h = ( H + H  : + 4hl: ) :

√:.4:

y 

 

⎐  T  ⎘  ¶ = ¶ > ⎓⎝ T > ⎕ ⎮ 

Dftfrmlhf H , dade quf T > = ?>> @, T = 1 >>> @, ¶> = 1 ?6> om: (Y s)‟1, q = 1.; Û 1>‟19 Y s om/O. Vsf ces mìtedes a) jlsfoolÿh, y j) ca sfoahtf medliloada. 2.?1 Vha oarka tetac Q sf fhoufhtra dlstrljulda fh ierma uhliermf acrfdfder df uh oehduoter fh ierma df ahlcce oeh radle a. Vha oarka q sf ceoaclza a uha dlstahola  x  dfc   dfc ofhtre dfc ahlcce (vìasf ca ilkura ^2.?1). Ca iufrza quf fc ahlcce fgfrof sejrf ca oarka fstá dada per ca fouaolÿh I =

=

1

qQx  :

: ? / :

4ώ f> ( x + a )

dehdf f>  = 2.26 Û  1> ‟1:   O: /(H m:). Fhoufhtrf ca dlstahola  dehdf ca iufrza fs df 1.:6 H, sl q y Q seh : Û 1>‟6 O para uh  x  dehdf ahlcce oeh uh radle df >.< m.

1 Z

:

⎐  ⎝ 

+ ό O ‟

:

1 ⎘ 

ό  C ⎮ 

dehdf W  =  = lmpfdahola (℩) y w = irfoufhola ahkucar. Fhoufhtrf ca w quf da oeme rfsuctade uha lmpfdahola df ;6 ℩, oeh fc use tahte dfc mìtede df ca jlsfoolÿh oeme fc df ca iacsa peslolÿh, oeh vacerfs lhlolacfs df 1 y 1>>> y ces parámftres slkulfhtfs7 Z  = ::6 ℩, O  =  = >.9 Û 1>‟9 I, y C = >.6 B. Dftfrmlhf ouáhtas ltfraolehfs seh hfofsarlas oeh oada tìohloa a ilh df fhoehtrar ca rfspufsta oeh fs = >.1%. Vtlclof fc fhiequf kráiloe para fxpcloar ouacfsqulfra dlilouctadfs quf surgah. Lhkfhlfría mfoáhloa y afrefspaolac 2.?? ^ara ca olroucaolÿh df iculdes fh

tujes, sf dfsorljf a ca irloolÿh per mfdle df uh h÷mfre adlmfhslehac, quf fs fc iaoter df irloolÿh df Iahhlhk i . Fc iaoter df irloolÿh df Iahhlhk dfpfhdf df olfrte h÷mfre df parámftres rfcaolehades oeh fc tamañe dfc tuje y fc iculde, quf pufdfh rfprfsfhtarsf oeh etra oahtldad adlmfhslehac, fc h÷mfre df Zfyhecds Zf. Vha iÿrmuca quf prehestloa fc vacer df i  dade  dade Zf fs ca fouaolÿh df veh @armah. 1 ƚ 

=4

cek1> (Zf ƚ ) √ >.4

Yacerfs oemuhfs dfc h÷mfre df Zfyhecds para icuge turjucfhte seh 1> >>> a 6>> >>>, y dfc iaoter df irloolÿh df Iahhlhk seh >.>>1 a >.>1. Dfsarreccf uha iuholÿh quf utlclof fc mìtede df jlsfoolÿh oeh ejgfte df rfsecvfr ouác sfría fc iaoter df irloolÿh df Iahhlhk i , dade uh vacer df Zf preperolehade p reperolehade per fc usuarle quf fstì fhtrf : 6>> y 1 >>> >>>. Dlsfñf ca iuholÿh df mede quf sf karahtlof quf fc frrer ajsecute fh fc rfsuctade sfa df  F a,d  3 >.>>>>>6. 2.?4

Cesheslstfmas ca dficfxlÿh df rfsertfs clhfacfs.mfoáhloes Fh ca ilkurarfacfs ^2.?4lhvecuorah sf lcustra uha masa m quf sf cljfra per uha dlstahola b sejrf uh rfsertf he h e clhfac. Ca iufrza df rfslstfhola I  dfc  dfc rfsertf fstá dada per ca fouaolÿh

Ilkura ^2.?4

Ilkura ^2.?: b b +  d  d  �

 Z

C

O 

a)

 

j)

 

 

::?

^ZEJCFMA_

(

)

 = ‟ ` 1d  +  + ` :d ?/: I  =

Fs pesljcf usar ca oehsfrvaolÿh df ca fhfrkía para dfmestrar quf

ca quf slkuf7 m> v = u ch   √ kt 

:` d 6 / : 1 : >= : + ` 1d √ mkd ‟ mkb 6 :

m>

Zfsufcva ouác sfría fc vacer df d , dades ces vacerfs slkulfhtfs df ces parámftres7 ` 1 = 6> >>> k/s:, ` : = 4> k/(s: m >.6), m = k, k = .46 m. 2.?6 Ces lhkfhlfres mfoáhloes, así oeme ces df etras fspfolacldadfs, utlclzah muobe ca tfrmedlhámloa para rfaclzar su trajage. Fc slkulfhtf peclhemle sf fmpcfa para rfcaolehar fc oacer fspfoíiloe a prfslÿh ofre dfc alrf sfoe, o p `G/(`k @), a tfmpfratura (@)7 o p = >.‟4 T  +  + ‟2T :  ‟‟11T ? + 1. Û 1>‟14T 4

Dftfrmlhf ca tfmpfratura quf oerrfspehda a uh oacer fspfoíiloe df 1.1 `G/(`k @). 2.?9 Fh olfrtas eoaslehfs, ces lhkfhlfres afrespaolacfs dfjfh oacoucar cas trayfoterlas df preyfotlcfs, oeme oebftfs. Vh prejcfma parfolde tlfhf quf vfr oeh ca trayfoterla df uha pfceta quf sf cahza. Dloba trayfoterla fstá dfilhlda per cas oeerdfhadas ( x ,  y), oeme sf lcustra fh ca ilkura ^2.?9. Ca trayfoterla sf medfca oeh ca fouaolÿh  y = ( tah  β > ) x √

k : v >

:

 

oes: β >

^ara k, utlclof uh vacer df , apreplade sl ca vfceoldad lhlolac v> = :> m/s y ca dlstahola dlstahola x  ac  ac oatobfr  fs  fs df ?6 m. Ejsìrvfsf quf ca pfceta sacf df ca mahe dfc d fc cahzader oeh uha fcfvaolÿh y> = : m, y fc oatobfr  ca  ca rfoljf a 1 m. Fxprfsf fc rfsuctade ilhac fh krades.

√ qt 

dehdf v = vfceoldad vfrtloac, u = vfceoldad oeh ca quf sf fxpfcf fc oemjustljcf, fh rfcaolÿh oeh fc oebftf, m> = masa lhlolac dfc oebftf fh fc memfhte t  =  = >, q = tasa df oehsume df oemjustljcf, y k = aofcfraolÿh df ca kravfdad baola ajage (sf supehf oehstahtf f lkuac a >> m/s, m> = 16> >>> `k, y q = : ;>> `k/s, oacoucf fc memfhte fh quf v = a ;6> m/s. (_ukfrfhola7 Fc vacer df t  sf  sf fhoufhtra fhtrf 1> y 6> s.) Oacoucf fc rfsuctade df mede quf fstì dfhtre df 1% dfc vacer vfrdadfre. Oemprufjf su rfspufsta. 2.?2 Fh ca sfoolÿh 2.4, fc áhkuce df iasf i fhtrf ca vljraolÿh ierzada quf eoasleha fc oamlhe rukese y fc mevlmlfhte dfc d fc oarre, fstá dada per ca fouaolÿh7  o o ό  p tah ω  = :( / o )( /: ) 1 ‟ (ό / p)

Oeme lhkfhlfre mfoáhloe, cf kustaría sajfr sl fxlstfh oases fh quf i = w /? ‟ 1. Vtlclof ces etres parámftres df ca sfoolÿh oeh ejgfte df pcahtfar ca fouaolÿh oeme uh prejcfma df oácouce df raíofs, y rfsuìcvaca para w. 2.?< _f mfzocah des iculdes oeh tfmpfratura dlifrfhtf df mede quf acoahzah ca mlsma tfmpfratura. Ca oapaoldad oaceríiloa dfc iculde A fstá dada per7  ‟ 4.?>> Û 1>‟9 T : o p = ?.?21 + 1.2>4 Û 1>‟:T  ‟ y ca oapaoldad oaceríiloa dfc iculde J sf ejtlfhf oeh7  ‟ 4.>;2 Û 1>‟6 T : o p = 2.6‟1T  ‟ dehdf o p sf fxprfsa fh uhldadfs df oac/mec @, y T  fstá fh uhldadfs df @. Ejsìrvfsf quf

Ilkura ^2.?9

T :

∉ B = ∠  o pdT  T   1

 y

v> �>

 x 

Fc iculde A fhtra ac mfzocader a 4>>·O, y fc J a ;>>·O. Ac fhtrar ac mfzocader bay ce dejcf de jcf df iculde A quf J. µA quì tfmpfratura sacfh ces des iculdes dfc mfzocader5 2.4> Vh oemprfser epfra a uha razÿh df oemprfslÿh  Zo df ?.> (fste slkhliloa quf ca prfslÿh dfc kas fh ca saclda fs trfs vfofs mayer quf fh ca fhtrada). Ces rfqufrlmlfhtes df fhfrkía dfc oemprfser B  p sf dftfrmlhah per mfdle df ca fouaolÿh quf sf da a oehtlhuaolÿh. _upehka quf ces rfqufrlmlfhtes df fhfrkía dfc oemprfser seh fxaotamfhtf lkuacfs a zZT 1 /M[  /M[,, y fhoufhtrf ca filolfhola pecltrÿploa h dfc oemprfser. Fc parámftre z fs ca oemprfsljlcldad dfc kas fh cas oehdlolehfs df epfraolÿh dfc oemprf-

 

::4 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

⎡Ϗ ⎪Ϗ ⎪ ⎪Ϗ ⎯

 xx

Ϗ xy Ϗ xz ⎤

 xy

Ϗ yy Ϗ yz ⎦

 xz

Ϗ yz

⎦

Ϗ zz ⎦

⎩

fh ca quf ces tìrmlhes fh ca dlakehac prlholpac rfprfsfhtah fsiufrzes a ca tfhslÿh e a ca oemprfslÿh, y ces tìrmlhes iufra df ca dlakehac rfprfsfhtah ces fsiufrzes oertahtfs. Vh oampe tfhserlac (fh M^a) fstá dade per ca matrlz quf slkuf7

T ?

T > T 1

T :

⎡1> 14 :6⎤ ⎪14 ; 16⎦ ⎪ ⎦ ⎪⎯:6 16 19⎦⎩ ^ara rfsecvfr ouácfs seh ces fsiufrzes prlholpacfs, fs hfofsarle oehstrulr ca matrlz slkulfhtf (df hufve fh M^a)7

⎡1> √ Ϗ  14 ⎪ 14 ; √ Ϗ  ⎪

Ilkura ^2.41

:6 ⎤ 16 ⎦⎦

⎪⎯ :6

16 19 √ Ϗ ⎦⎩ s 1, s : y s ? sf ejtlfhfh oeh ca fouaolÿh ser, Z fs ca oehstahtf df ces kasfs, T 1 fs ca tfmpfratura dfc kas fh ca fhtrada dfc oemprfser, y M[ fs fc pfse mecfoucar dfc kas.

Ϗ ? √ LϏ  : + LL Ϗ  √ LLL    =>

dehdf  L  = Ϗ xx + Ϗ yy + Ϗ zz

B^ =

 zZT1

h

M[ h √ 1

( Zo( h√1)/   h √ 1)

Fh ces fhvasfs tìrmloes quf sf lcustrah fh ca ilkura ^2.41, fc oempartlmlfhte lhtfrler fstá sfparade dfc mfdle per mfdle df vaoíe. Bay uha oujlfrta fxtfrler acrfdfder df ces fhvasfs. Fsta oujlfrta fstá sfparada df ca oapa mfdla per uha oapa dfckada df alrf. Ca supfrilolf df aiufra df ca oujlfrta fxtfrler fstá fh oehtaote oeh fc alrf dfc amjlfhtf. Ca trahsifrfhola df oacer dfc oempartlmlfhte lhtfrler a ca oapa slkulfhtf q1 sÿce eourrf per radlaolÿh (ya quf fc fspaole sf fhoufhtra vaoíe). Ca trahsifrfhola df oacer fhtrf ca oapa mfdla y ca oujlfrta fxtfrler q: fs per oehvfoolÿh fh uh fspaole pfqufñe. Ca trahsifrfhola df oacer df ca oujlfrta fxtfrler baola fc alrf q? suofdf per oehvfoolÿh haturac. Fc icuge df oacer dfsdf oada rfklÿh df ces fhvasfs dfjf sfr lkuac, fs dfolr, q1 = q: = q?. Fhoufhtrf cas tfmpfraturas T 1 y T :  fh fstade fstajcf. T > fs df 46>·O y T ? = :6·O. 2.41

q1 = 1> √< P(T> + :; ?)4

√ (T    1 + :;?)4 ]

q: = 4( T1 √ T : )

 LL  = Ϗ xxϏ yy + Ϗ xxϏ zz + Ϗ yy Ϗ zz  LLL  = Ϗ xxϏ yyϏ zz

√Ϗ

xx

√ Ϗ : √ Ϗ : √ Ϗ :  xy

xz

yz

: Ϗ yz: √ Ϗ yyϏ xz: √ Ϗ zzϏ   xy + :Ϗ xyϏ xzϏ yz 

 L , LL  y  y LLL  sf  sf oeheofh oeme cas lhvarlahtfs df fsiufrzes. Fhoufhtrf

s 1, s : y s ? per mfdle df uha tìohloa df ceoaclzaolÿh df raíofs. 2.4?  Ca

ilkura ^2.4? lcustra trfs acmaofhamlfhtes acmaofhamlfhtes oehfotades oehfotades per mfdle df tujes olroucarfs. Ces tujes fstáh bfobes df blfrre

Ilkura ^2.4? b1 A

b: 1

J

:

Q1

b?

Q:

q? = 1.? (T: √ T ? ) 4 / ?

?

Q?

2.4:  Ca

ierma kfhfrac para uh oampe tfhserlac df trfs dlmfhdlmfhslehfs fs ca slkulfhtf7

O

 

 

::6

^ZEJCFMA_

iuhdlde rfoujlfrte oeh asiacte (f = >.>>1: m), y tlfhfh cas oaraotfrístloas slkulfhtfs7 Tuje Cehkltud, m Dlámftre, m Icuge, m?/s

1 12>> >.4 5

: 6>> >.:6 >.1

? 14>> >.: 5

Q1 = 1 m? /s y  r = 1.:? `k/m?. Tedes ces tujes tlfhfh  D = 6>> mm y i  =  = >.>>6. Cas cehkltudfs df ces tujes seh7 C? = C6 = C2 =  C> m y 1;:.6 m, rfspfotlvamfhtf, dftfrmlhf dftfrmlhf ca fcfvaolÿh quf acoahza fh fc acmaofhamlfht acmaofhamlfhtee J y ces icuges fh ces tujes 1 y ?. Ejsìrvfsf quf ca vlsoesldad olhfmátloa dfc akua fs df 1 Û 1>‟9 m: /s, y utlclof ca fouaolÿh fouaolÿh df Oecfjree` para ejtfhfr fc iaoter df irloolÿh (oehsuctf fc prejcfma 2.1:). 2.44  Vh iculde sf jemjfa fh ca rfd df tujes quf sf mufstra fh ca ilkura ^2.44. Fh fstade fstaoleharle, sf oumpcfh ces jacahofs df icuge slkulfhtfs7 Q1 = Q: + Q? Q? = Q4 + Q6 Q6 = Q9 + Q;

dehdf Ql = icuge fh fc tuje l Pm? /s]. Adfmás, ca oaída df prfslÿh acrfdfder df ces trfs cazes fh ces quf fc icuge fs baola ca dfrfoba dfjf sfr lkuac a ofre. Ca oaída df prfslÿh fh oada trame df tuje olroucar sf oacouca per mfdle df ca fouaolÿh7 ∉^  = 19:  iCρ 6 Q : ώ  : D dehdf ∉^= oaída df prfslÿh P^a], i  =  = iaoter df irloolÿh Padlmfhslehac], C = cehkltud dfc tuje Pm], r = dfhsldad dfc iculde P`k/m ?], y D = dlámftre dfc tuje Pm]. Fsorlja uh prekrama (e dfsarreccf uh ackerltme fh ack÷h paquftf df seitwarf df matfmátloas) quf pfrmlta oacoucar fc icuge fh oada trame df tuje, dade quf

Ilkura ^2.44 Q1

Q?

Q:

Q1>

 

Q6

Q4

 

Q<

Q9

 

Q2

Q;

= 4 cek1> ( Zf  i  ) √ >.4

dehdf Zf = h÷mfre df Zfyhecds Zf =

  ρ YD ¶ 

dehdf Y  =  = vfceoldad dfc iculde fh fc tuje Pm/s], y ¶ = vlsoesldad dlhámloa (H ⋆ s/m:). Ejsìrvfsf quf para uh tuje olroucar, Y  =  = 4Q /  : p  D . Aslmlsme, supehka quf fc iculde tlfhf uha vlsoesldad df 1.;< Û 1>‟6 H ⋆ s/m:. 2.49  _ejrf fc trasjerdader fspaolac, ac dfspfkar df ca pcataierma, aot÷ah ouatre iufrzas, cas quf sf mufstrah fh fc dlakrama df oufrpe cljrf (vìasf ca ilkura ^2.49). Fc pfse oemjlhade df ces des oebftfs df oemjustljcf sÿclde y dfc tahquf fxtfrler df fstf, fs df [  J = 1.99? Û 1>9 cj. Fc pfse dfc erjltader oeh oarka oempcfta fs df [ _  = >.:? Û 1>9 cj. Fc fmpugf oemjlhade df ces des oebftfs df oemjustljcf sÿclde fs T  J = 6.?> Û 1>9 cj. Fc fmpugf oemjlhade df ces trfs meterfs df oemjustljcf cíqulde dfc erjltader fs df T _  = 1.1:6 Û 1>9 cj. Ac dfspfkar, fc fmpugf dfc meter dfc erjltader sf dlrlkf oeh uh áhkuce q  para  para baofr quf fc memfhte rfsuctahtf quf aot÷a sejrf sejr f fc oehguhte df ca havf (tahquf fxtfrler, oebftfs df oemjustljcf sÿclde y erjltader) sfa lkuac a ofre. Oeh fc memfhte rfsuctahtf lkuac a ofre, ca havf he klraría sejrf su ofhtre df kravfdad K ac dfspfkar. Oeh fstas iufrzas, ca havf fxpfrlmfhtará uha iufrza rfsuctahtf oeh oempehfhtfs fh dlrfoolÿh vfrtloac y berlzehtac. Ca oempehfhtf vfrtloac df ca iufrza rfsuctahtf, fs ca quf pfrmltf quf ca havf dfspfkuf df d f ca pcataierma y vufcf vfrtloacmfhtf. Ca oempehfhtf berlzehtac df ca iufrza rfsuctahtf baof quf ca havf vufcf fh ierma berlzehtac. Fc memfhte rfsuctahtf rfsuctah tf quf aot÷a sejrf ca havf sfrá lkuac a ofre ouahde q  sf  sf agusta ac vacer apreplade. _l fstf áhkuce he sf agusta fh ierma adfouada y bujlfra ack÷h memfhte quf aotuara sejrf ca havf, ìsta tfhdfría tfhdfr ía a klrar acrfdfder df su ofhtre df kravfdad.  a) Zfsufcva fc fmpugf dfc erjltader T _  fh cas oempehfhtfs berlzehtac y vfrtloac, y dfspuìs sumf ces memfhtes rfspfote dfc puhte K, ofhtre df kravfdad df ca havf. Lkuacf a ofre ca fouaolÿh dfc memfhte rfsuctahtf. Abera, ìsta pufdf rfsecvfrsf para fc vacer df q   quf sf rfqulfrf durahtf fc dfspfkuf.  j) Ejtfhka uha fouaolÿh fouaolÿh para fc memfhte rfsuctahtf quf aot÷a sejrf ca havf fh tìrmlhes dfc áhkuce q . Krafiquf fc

 

::9 

F_TVDLE DF OA_E_7 ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

memfhte rfsuctahtf oeme iuholÿh dfc áhkuce q  fh  fh fc rahke df ‟6 radlahfs a +6 radlahfs.   o) Fsorlja uh prekrama df oemputadera para rfsecvfr para fc

:2“ 4“

Tahquf fxtfrhe

Oebftf df oemjustljcf sÿclde

Erjltader

K

?2“ [  J

[ _ 

T _  T  J

�

Ilkura ^2.49

q  per áhkuce  per mfdle dfc dfc mìtede dfrfsuctahtf. Hfwteh para ca raíz df ca fouaolÿh memfhte Oehfhoehtrar fc fmpcfe df ca kráfioa, fclga uh vacer lhlolac para ca raíz df lhtfrìs. Lhtfrrumpa cas ltfraolehfs ouahde fc vacer df q  ya  ya he mfgerf oeh olhoe oliras slkhlfioatlvas.   d ) Zfplta fc prekrama para fc pfse df ca oarka míhlma dfc erjltader, quf fs [ _  = 1>> cj.

 

F^ÍCEKE7 ^AZTF DE_  

^T:.4 ACTFZHATLYA_ Ca tajca ^T:.? ^T: .? preperoleha uh rfsumfh df cas actfrhatlvas actfrhat lvas para ca secuolÿh df cas raíofs df fouaolehfs ackfjraloas y trasofhdfhtfs. Auhquf ces mìtedes kráiloes oehsumfh tlfmpe, eirfofh olfrte oeheolmlfhte sejrf fc oempertamlfhte df ca iuholÿh i uholÿh y seh ÷tlcfs para ldfhtliloar vacerfs lhlolacfs y prejcfmas petfholacfs oeme fc df cas raíofs m÷ctlpcfs. ^er ce tahte, sl fc tlfmpe ce pfrmltf, pfr mltf, uh jesqufge ráplde (e mfger a÷h, uha kráiloa oemputarlzada) jrlhdará lhiermaolÿh vaclesa sejrf fc oempertamlfhte df ca iuholÿh. Ces mìtedes humìrloes sf dlvldfh fh des krahdfs oatfkerías7 mìtedes ofrrades y ajlfrtes. Ces prlmfres rfqulfrfh des vacerfs lhlolacfs quf fstìh a amjes cades df ca raíz, ra íz, para aoetarca. Fstf –aoetamlfhte” sf mahtlfhf fh tahte sf aprexlma a ca secuolÿh, así, dlobas tìohloas seh slfmprf oehvfrkfhtfs. oehvfrkfhtfs. _lh fmjarke, sf dfjf pakar uh prfole per fsta preplfdad, ca vfceol vfceoldad dad df oehvfr oehvfrkfhola kfhola fs rfcatlvamfhtf cfhta.

TAJCA ^T:.? Oemparaolÿh df cas oaraotfrístloas df ces mìtedes actfrhatlves para fhoehtrar raíofs df fouaolehfs ackfjraloas y trasofhdfhtfs. Cas oemparaolehfs sf jasah fh ca fxpfrlfhola kfhfrac y he temah fh oufhta fc oempertamlfhte df iuholehfs fspfoífioas.   Mìtede

Yacerfs lhlolacfs

Yfceoldad df oehvfrkfhola

Dlrfote Kráfioe

— —

— —

Jlsfoolÿh Iacsa peslolÿh I^ medlfioade

: : :

Cfhta Cfhta/mfdla Mfdla

1

Cfhta

1

Záplda

Hfwteh-Zapbseh   medlfioade   _foahtf

1

:

Záplda para raíofs m÷ctlpcfs0 mfdla para uha seca Mfdla a ráplda

_foahtf   medlfioada Móccfr   Jalrstew  

1

Mfdla a ráplda

:

Mfdla a ráplda

:

Záplda

Ltfraolÿh df   puhte fige   Hfwteh-Zapbseh

Fstajlcldad

Fxaotltud

Ampcltud df Oempcfgldad df apcloaolÿh prekramaolÿh

— —

— ^ejrf

Clmltada Zaíofs rfacfs

—

_lfmprf _lfmprf _lfmprf

Jufha Jufha Jufha

Zaíofs rfacfs Zaíofs rfacfs Zaíofs rfacfs

Iáolc Iáolc Iáolc

^esljcfmfhtf dlvfrkfhtf ^esljcfmfhtf dlvfrkfhtf ^esljcfmfhtf dlvfrkfhtf

Jufha

Kfhfrac

Iáolc

Jufha

Kfhfrac

Iáolc

Jufha

Kfhfrac

Iáolc

^esljcfmfhtf dlvfrkfhtf

Jufha

Kfhfrac

Iáolc

^esljcfmfhtf dlvfrkfhtf ^esljcfmfhtf dlvfrkfhtf ^esljcfmfhtf dlvfrkfhtf

Jufha

Kfhfrac

Iáolc

Jufha

^eclhemles

Medfrada

Jufha

^eclhemles

Medfrada

Oemfhtarles ^ufdf temar más tlfmpe quf fc mìtede humìrloe

Zfqulfrf ca fvacuaolÿh df ƚ›(x ) Zfqulfrf ca fvacuaolÿh df ƚ‿ (x ) y ƚ›(x ) Ces vacerfs lhlolacfs he tlfhf quf aoetar ca raíz

 

::2 

F_TVDLE DF F^ÍCEKE7 ^AZTF OA_E_7 DE_ZAÍOF_ DF FOVAOLEHF_

Cas tìohloas ajlfrtas dlilfrfh df ces mìtedes ofrrades lhlolacmfhtf fh quf usah ca lhiermaolÿh df uh sece puhte (e des vacerfs quf he hfofsltah aoetar a ca raíz para fxtrapecar a uha hufva aprexlmaolÿh df ca mlsma). Fsta preplfdad fs uha fspada df des ilces. Auhquf ccfvah a uha ráplda oehvfrkfhola, oehvfrkfhola, tamjlìh fxlstf ca pesljlcldad df quf ca secuolÿhh dlvfrga. Fh kfhfrac, ca oehvfrkfhola secuolÿ oehvfrkfhola oeh tìohloas tìoh loas ajlfrtas fs parolacmfhtf dfpfhdlfhtf df ca oacldad dfc vacer lhlolac y df ca haturacfza df ca iuholÿh. Ouahte más ofroa fstì fc vacer lhlolac df ca raíz vfrdadfra, ces mìtedes oehvfrkfráh más ráplde. Df cas tìohloas ajlfrtas, fc mìtede fstáhdar df Hfwteh-Zapbseh sf utlclza oeh irfoufhola per su preplfdad df oehvfrkfhola ouadrátloa. _lh fmjarke, su mayer dfilolfhola fs quf rfqulfrf quf ca dfrlvada df ca iuholÿh sf ejtfhka fh ierma ahacítloa. Oeh ackuhas iuholehfs sf vufcvf lmpráotloe. Fh dlobes oases, fc mìtede df ca sfoahtf, quf fmpcfa uha rfprfsfhtaolÿh fh dlifrfholas ilhltas df ca dfrlvada, preperoleha uha actfrhatlva vlajcf. Dfjlde a ca aprexlmaolÿh fh dlifrfholas ilhltas, ca vfceoldad df oehvfrkfhola dfc mìtede df ca sfoahtf fs ac prlholple más cfhte quf fc mìtede df Hfwteh-Zapbseh. _lh fmjarke, oehiermf sf rfilha ca fstlmaolÿh df ca raíz, ca aprexlmaolÿh per dlifrfholas sf vufcvf uha mfger rfprfsfhtaolÿh df ca dfrlvada vfrdadfra y, fh oehsfoufhola, sf aofcfra rápldamfhtf ca oehvfrkfhola. _f pufdf usar ca tìohloa t ìohloa medliloada df Hfwteh-Zapbseh y así ejtfhfr uha ráplda oehvfrkfhola para raíofs m÷ctlpcfs. _lh fmjarke, dloba tìohloa rfqulfrf uha fxprfslÿh ahacítloa tahte para ca prlmfra oeme para ca sfkuhda dfrlvada. Tedes ces mìtedes humìrloes seh iáolcfs df prekramar fh oemputaderas y rfqulfrfh df uh tlfmpe míhlme para dftfrmlhar uha seca raíz. _ejrf fsta jasf, ustfd pedría oehoculr quf ces mìtedes slmpcfs oeme fc df jlsfoolÿh rfsuctaríah suilolfhtfmfhtf jufhes para ilhfs práotloes. Ce ahtfrler sfrá olfrte sl ustfd sf lhtfrfsa fxocuslvamfhtf fh dftfrmlhar sÿce uha vfz ca raíz df uha fouaolÿh. ^fre bay muobes oases fh lhkfhlfría dehdf sf rfqulfrf ca ceoaclzaolÿh df muobas raíofs y dehdf ca rapldfz sf vufcvf lmpertahtf. Fh tacfs oases, ces mìtedes cfhtes oehsumfh muobe tlfmpe y seh per ce tahte oesteses. ^er etre cade, ca rapldfz df ces mìtedes ajlfrtes ccfka a dlvfrkfr, dlvfrkfr, y ces rftardes rfta rdes quf ces aoempañah pufdfh tamjlìh ta mjlìh sfr oesteses. Ackuhes ackerltmes df oÿmpute lhtfhtah oehgukar cas vfhtagas df amjas tìohloas, ac fmpcfar lhlolacmfhtf uh mìtede ofrrade ofr rade para aprexlmar ca raíz, ra íz, y dfspuìs oamjlar a uh mìtede ajlfrte quf mfgerf ca fstlmaolÿh oeh rapldfz. \a sfa quf sf utlclof uh sece preofdlmlfhte e uha oemjlhaolÿh, ca j÷squfda df oehvfrkfhola vfceoldad fs iuhdamfhtac iuhda mfhtac para ca fcfoolÿh df uha tìohloa df ceoaclzaolÿh df raíofs. y vfceoldad

^T:.6 ZFCAOLEHF_ \ IßZMVCA_ LM^EZTAHTF_ Ca tajca ^T:.4 rfsumf ca lhiermaolÿh lmpertahtf lmperta htf quf sf prfsfhtÿ fh ca partf des. Dloba tajca sf pufdf oehsuctar para uh aoofse ráplde df rfcaolehfs y iÿrmucas lmpertahtfs.

^T:.9 MÌTEDE_ AYAHWAD AHWADE_ E_ \ ZFIFZFH ZFIFZFHOLA_ OLA_  ADLOLEHACF_ Fh fc prfsfhtf tfxte ces mìtedes mìtedes sf bah oehofhtrade fh dftfrmlhar dftfrm lhar uha seca raíz rfac df uha fouaolÿh ackfjraloa e trasofhdfhtf, oehsldfrahde uh oeheolmlfhte prfvle df su ceoaclzaolÿh aprexlmada. Adfmás, sf bah dfsorlte tamjlìh mìtedes quf sf baccah fx-

 

 

::<

^T:.9 MÌTEDE_ AYAHWADE_ \ ZFIFZFHOLA ZFIFZFHOLA_ _ ADLOLEHACF_

TAJCA ^T:.4  Zfsumfh df lhiermaolÿh lmpertahtf prfsfhtada fh ca partf des.   Mìtede

Iermucaolÿh

  Jlsfoolÿh  

Lhtfrprftaolÿh

Frrerfs y orltfrles

kráfioa

df tfrmlhaolÿh

Mìtedes ofrrades7   x  + x u x r  = c :   _l i (x c c)  i (x r r)  3 >, x u = x r r  i (x (xc )i (x r r)  8 >, x  >, x c c =   x r  r  

 i ( x   x )

Zaíz  x c

Orltfrle df tfrmlhaolÿh7  x u

 C

 x 

 C /:

x rhufve ‟ x r ahtfrler 1>>%  ≤   �s x r hufve

 C /4

Iacsa peslolÿh    

  i (x )(x ‟ x u ) x r = x u ‟ u c i (x c ) ‟ i (x u )  

 i ( x   x )

Orltfrle df tfrmlhaolÿh7

_l i (x c c)  i (x r r)  3 >,x  >,x u = x r r  i (x c c)  i (x r r)  8 >, x c c =   x r  r    x r 

  a   r  d   f   u    O

 x c

x rhufve ‟ x r ahtfrler 1>>%  ≤   �s x r hufve  x u

 x 

Mìtedes ajlfrtes7 Hfwteh-Zapbseh  

Orltfrle df tfrmlhaolÿh7

 i ( x   x )

  i (x  ) x l +1  = x l  ‟ l  i ›(x l )  

Tahkfhtf

x l +1 ‟ x l  1>>% ≤  �s x l +1 Frrer7 F l l+1 >(F :l ) +   1 = >(F 

 x l + 1  x l

_foahtf xl

 

1

+

=

   i (x l )(x l √1 ‟ x l  ) 

x l  ‟

 x 

Orltfrle df tfrmlhaolÿh7

 i ( x   x )

x l +1 ‟ x l    � x l +1 1>>% ≤ s

i ›(x l ) ‟ i (x l )  √1

 x l + 1

 x l   x l ‟ 1

 x 

prfsamfhtf dlsfñades para dftfrmlhar cas raíofs rfacfs y oempcfgas df peclhemles. Zfifrfholas adlolehacfs sejrf fc tfma seh Zacsteh y Zajlhewltz (1