Trabajo Grupal (Intervalos de Confianza)

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y EDUCACIÓN

ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRAIÓN Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

DOCENTE: LIC. ALEX CABRERA

CURSO: ESTADISTICA

CICLO: V

TEMA: EJERCICIOS INTERVALOS DE CONFIANZA

INTEGRANTES: MARCHENA VELASQUEZ YENNYFER CONTRERAS CORRALES LUCELINA CAHUANA SOTO LESLIE OCUPA FUENTES KELVIN

JAÉN – PERÚ 2016

EJERCICIOS DE INTERVALOS DE CONFIANZA 1. ¿En qué se diferencian las estimaciones puntuales de las estimaciones por intervalo? Respuesta: Las estimaciones puntuales se diferencian de las estimaciones por intervalo en que las primeras utilizan un valor extraído de la muestra para estimar el parámetro desconocido de la población en un solo punto o valor, mientras que las estimaciones por intervalo especifican el intervalo dentro del cual está el parámetro desconocido, a este intervalo se le conoce como intervalo de confianza. 2. Si la media poblacional es conocida. ¿Cómo es posible dar un nivel de confianza a su estimado por intervalo? Incluya una gráfica en su respuesta. Respuesta: Según la regla empírica el 95.5% de todas las medias muestral caen dentro de dos errores estándar de la media poblacional, entonces la media poblacional esta máximo a dos errores estándar 95.5% de todas las medias muéstrales. Por tanto al comenzar cualquier media muestral, si se pasa de dos errores muéstrales por encima de dicha media y dos errores estándar por debajo de ella, se puede tener un 95.5% de confianza que en el intervalo resultante contenga la media poblacional desconocida

3. Un intervalo de confianza del 90% para estimar la ganancia promedio del peso de ratones de laboratorio oscila entre 0.93 y 1.73 onzas. ¿Cómo interpretaría estos resultados? ¿Qué valor de Z se utilizó en el estimado? Solución: NC= 90% (0.45) Z = +/-1.645 (por interpolación) Esto quiere decir que el 90% de los ratones que se analicen en este experimento pesaran entre 0.93 y 1.73 oz El 5% se encontrara por debajo de las 0.93oz y otro 5% pesara más de q.73oz

4. 100 latas de 16 onzas de salsa de tomate tiene un promedio de 15.2 onzas. La desviación estándar poblacional en peso es de 0.96 onzas. ¿A un nivel de confianza del 95%, las latas parecen estar llenas con un promedio de 16 onzas? Datos: n = 100 = 15.2 σ = 0.96 (1-α)= 95 %

Z=1.96

Solución:

[

P ×−Z

[

]

σ σ ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

P 15.2−1.96

]

0.96 0.96 ≤ μ ≤15.2+1.96 =0.95 √100 √ 100

P [ 15.01 ≤ μ ≤ 15.39 ] =0.95 Por lo tanto a este nivel de confianza las latas estarán llenas por debajo del as 16oz 5. Para estimar el gasto promedio de los clientes en un local de Mc Donald local, los estudiantes de una clase de estadística toman una muestra de 200 clientes y encuentran en promedio un gasto de US$5.67 con una desviación estándar de US$ 1.10. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para los gastos promedio de todos los clientes? Interprete los resultados. Datos: n = 200 = 5.67 S = 1.10

(1-α)= 95%

z=1.96

Solución:

[

P ×−Z

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

[

P 5.67−1.96

]

1.10 1.10 ≤ μ ≤ 5.67+1.96 =0.95 √ 200 √200

P [ 5.52 ≤ μ ≤ 5.82 ] =0.95 Interpretación: Los gastos promedio de todos los clientes esta entre 5.52 y 5.82 con un intervalo de confianza de 95%. 6. Un estudio realizado por los profesores en una universidad de Kansas está diseñado para ofrecer inferencias sobre las tasa de desempleo por condado en estados unidos. Una muestra de 200 condados reporta una tasa promedio del 6.2% con una desviación estándar de 1.7%. A un nivel de confianza de un 90% ¿cuál es el estimado de la tasa de desempleo promedio de la nación? Interprete sus resultados. Datos: N= 200 = 6.2%= 0.062 σ= 1.7%= 0.017 (1-α)= 90%

Z= 1.65

Solución:

[

P ×−Z

[

]

σ σ ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

P 0.062−1.65

]

0.017 0.017 ≤ μ≤ 0.062+1.65 =0.90 √200 √ 200

P [ 0.060 ≤ μ≤ 0.063 ]=0.90 P [ 6 ≤ μ ≤ 6.3 ] =0.90 Interpretación: La tasa de desempleo promedio por condado de Estados Unidos se encuentra entre 6% y 6.3% con un nivel de confianza de 90%. 7. Después de observar 50 programas de televisión seleccionados aleatoriamente. La Asociación Nacional de Educación (National Education Asociation, NEA) reporto un promedio de 32.7 actos de violencia en 1997. Asuma una desviación estándar muestral de 10. 1. ¿Cuál sería su estimación al 95% del número promedio de actos violentos por programa que los niños ven en la televisión? Datos: n=50 =32.7 S=10.1 (1-α)=95%

Z= 1.96

Solución:

[

P ×−Z

[

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

P 32.7−1.96

]

10.1 10.1 ≤ μ ≤ 32.7+1.96 =0.95 √ 50 √ 50

P [ 29.9 ≤ μ ≤ 35.5 ] =0.95 Interpretación: El numero promedio de actos violentos por programa que los niños ven en la televisión esta entre 29.9 y 35.5 con un intervalo de confianza de 95%. 8. Un teatro de cine local desea desarrollar un intervalo para estimar las cajas promedios de palomitas de maíz que se venden por sala de cine. Si los registros llevados para 70 salas revelan un promedio de 54.98 cajas y una desviación estándar de 12.7, calcule e intérprete un intervalo de confianza del 92% para la media poblacional

Datos: n= 70 = 54.98 S= 12.7 (1-α)= 92%

Z=1.75

Solución:

[

P ×−Z

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

[

P 54.98−1.75

]

12.7 12.7 ≤ μ ≤ 54.98+1.75 =0.92 √70 √70

P [ 52.32 ≤ μ ≤ 57.63 ] =0.92 Interpretación: El intervalo para estimar las cajas promedio de palomitas de maíz que se venden por sala esta entre 52.32 y 57.63 con un intervalo de confianza de 92%. 9. Una muestra de 121 llamadas al número 900 que usted maneja tiene una duración promedio de 16.6 minutos y una desviación estándar de 3.63 minutos. Usted pretende descontinuar el servicio a menos que la duración promedio sea superior a 18 minutos. En el nivel de confianza del 90%. ¿Cuál sería su decisión? Datos: n= 121 = 16.6 S= 3.63 (1-α)= 90% Solución:

Z= 1.65

[

P ×−Z

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

[

P 16.6−1.65

]

3.63 3.63 ≤ μ ≤16.6+ 1.65 =0.90 √121 √ 121

P [ 16.05 ≤ μ ≤ 17.14 ]=0.90

10. ¿Cuál sería su decisión en el problema anterior a un nivel de confianza del 95%? ¿Porque son diferentes los intervalos? Datos: n= 121 = 16.6 S= 3.63 (1-α) 95%

Z=1.96

Solución:

[

P ×−Z

[

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

P 16.6−1.96

]

3.63 3.63 ≤ μ ≤ 16.6+1.96 =0.95 √ 121 √121

P [ 15.95 ≤ μ ≤ 17.24 ]=0.95 Decisión: Si descontinuaría el servicio ya que la duración promedio de las llamadas no fueron superiores a los 18 minutos partiendo de un nivel de confianza de un 95% 11. ¿Cuál sería su decisión si el ejercicio 9 utilizara una muestra de 200 llamadas? ¿Porque son diferentes los intervalos? Datos: n=200 =16.6

S= 3.63 (1-α)= 90%

Z= 1.65

Solución:

[

P ×−Z

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

[

P 16.6−1.65

]

3.63 3.63 ≤ μ ≤ 16.6+1.65 =0.90 √200 √200

P [ 16.18 ≤ μ ≤ 17.02 ] =0.90 12. ¿En qué se diferencia la varianza de la distribución t de la de la distribución Z? Si un conjunto de datos tiene 17 observaciones, ¿cuál es la varianza de la distribución t? Respuesta: Al igual que la distribución Z, la distribución t tiene una media de cero, es simétrica con respecto a la media y oscila entre - ∞ y + ∞. Sin embargo, mientras que la distribución Z tiene una varianza de σ2 = 1, la varianza de la distribución t es mayor que 1. Por tanto, es más plana y más dispersa que la distribución Z. 13. The lucky lady, vende vasos de cerveza de 16 onzas. Diez estudiantes compran un total de 22 vasos y utilizando su propia taza de medida estiman los contenidos promedios. La media muestral es de 15.2 onzas con s= 0.86. ¿Con un nivel de confianza del 95% los estudiantes creen que su dinero lo vale? Interprete el intervalo. Datos: n=22 =15.2 S= 0.86. (1-α)=95% t=2.080

Solución:

[ [

P ×−t

]

S S ≤ μ ≤ ×+t =1−α √n √n

P 15.2−2.080

]

0.86 0.86 ≤ μ ≤ 15.2+2.080 =0.95 √ 22 √22

P [ 14.82 ≤ μ ≤ 15..58 ]=0.95 No creo que los estudiantes crean que su dinero lo vale. Interpretación: con un nivel de confianza del 95% se puede afirmar que los vasos de cervezas vendidos por the lucky lady traen un contenido de 14.796 a 15.6035 onzas. 14. Dell Publishings muestrea 23 paquetes para estimar el costo postal promedio. La media muestral es de US$23.56, con s = US$4.65. a. El editor sénior de Dell espera mantener el costo promedio por debajo de US$23.00. Calcule e interprete el intervalo de confianza del 99%. ¿El editor estará satisfecho? a. El editor sénior de Dell espera mantener el costo promedio por debajo de US$23.00. Calcule e interprete el intervalo de confianza del 99%. ¿El editor estará satisfecho? b. Compare los resultados de la parte a con el intervalo de confianza del 99%, si s = US$2.05. Explique por qué existe diferencia. c. Manteniendo s = US$4.65, compare los resultados de la parte a con el intervalo del 95%. Explique la diferencia. Datos: n=23 =23.56 S=4.65 (1-α)=99% t=2.819 Solución:

[

P ×−t

]

S S ≤ μ ≤ ×+t =1−α √n √n

[

P 16.6−1.65

]

3.63 3.63 ≤ μ ≤ 16.6+1.65 =0.90 √200 √200

P [ 16.18 ≤ μ ≤ 17.02 ] =0.90

15. Las bonificaciones para 10 jugadores de la liga nacional de futbol se utilizan para estimar la bonificación promedio para todos los nuevos jugadores. La media muestral es de US$ 65.890 con S=US$12.300. ¿Cuál es su estimación con un intervalo del 90% para la media poblacional? Datos: n=10 =65.890 S=12.300 (1-α)=90% t=1.833 Solución:

[

P ×−t

]

S S ≤ μ ≤ ×+t =1−α √n √n

[

P 65.890−1.833

]

12.300 12.300 ≤ μ ≤ 65.890+1.833 =0.90 √10 √ 10

P [ 58.76 ≤ μ ≤ 73.02 ] =0.90

Interpretación: Las bonificaciones promedios para los nuevos jugadores esta entre 58.76 y 73.02 con un intervalo de confianza de 90% 16. Datos: n=25 =23.87 S=9.56

(1-α)=98% t=2.192 Solución:

[

P ×−t

]

S S ≤ μ ≤ ×+t =1−α √n √n

[

P 23.87−2.192

]

9.56 9.56 ≤ μ ≤23.87+ 2.192 =0.98 √ 25 √ 25

P [ 19.68 ≤ μ ≤ 28.06 ] =0.98

Interpretación: El costo promedio de todos los que llaman para conocer su futuro está entre 19.68 y 28.06 con un intervalo de confianza de 98%.

17. Datos: n=20 =2,365 S=983 (1-α)=99% t=2.861 Solución:

[

P ×−t

[

]

S S ≤ μ ≤ ×+t =1−α √n √n

P 2,365−2.861

]

983 983 ≤ μ ≤ 2,365+ 2.861 =0.99 √ 20 √ 20

P [ 1736.14 ≤ μ ≤2993.86 ] =0.98 Interpretación: El costo promedio para adornar jardines esta entre 1736.14 y 2993.86 con un intervalo de confianza de 99%

26. Se construye un intervalo del 95%, que da un límite inferior de confianza de 62 y un límite superior de confianza de 69. ¿Usted puede concluir de esto que existe un 95% de probabilidad que el parámetro este entre 62 y 69? Explique. Datos: α

5%

1 - α 95% 1 - α/20.975 Z

1.959963985

Límite superior

69

Límite inferior

62

Interpretación: No se puede asegurar que los datos son correctos ya que desconocemos tanto el promedio(x) como la desviación estándar (G). Si tuviéramos esos datos, podríamos calcular la cantidad de la muestra y así corroborar el intervalo de confianza.

29. Como experto en control de calidad usted desea estimar el grosor promedio de los lentes ópticos producidos por su empresa. Una muestra de 120 lentes revela una media de 0.52 (mm). La desviación estándar poblacional es de 0.17 (mm). Usted considera que puede arriesgarse a una probabilidad de error de sólo el 1%. Construya el intervalo de confianza apropiado. Solución: α =1% (1-α)= 99% 1 - α/2= 0.995 Z= 2.5758293 Límite superior 0.55997379 Límite inferior 0.4800262 Promedio X 0.5299% D.E. G 0.170.995

Muestra n 120Z Interpretación: Con un 9% de nivel de confianza el grosor promedio de los lentes ópticos se encuentra entre 0,48002621 y 0.55997379.

31. Georgia Pacific (GP), una empresa papelera de EEUU, decide sembrar un bosque maderero si puede obtener un promedio de por lo menos 700 pies cuadrados de tabla (b.f). Una muestra de 1000 árboles de una media de 695 b.f, con una desviación estándar de 22.1 b.f. a) Calcule el intervalo de confianza del 90% b) Interprete su respuesta c) ¿Debería GP sembrar el bosque?

A) n=1000 =695 S=22.1 (1 – α)= 90%

Z= 1.65

Solución:

[

P ×−Z

[

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

P 695−1.65

]

22.1 22.1 ≤ μ ≤ 695+1.65 =0.90 √1000 √ 1000

P [ 693.85 ≤ μ ≤ 696.15 ] =0.90

B) Interpretación: Sabiendo que el promedio de la muestra es de 731,351265 b.f, la empresa debe sembrar el bosque porque hay un nivel de confianza del 90% de que el promedio sea un valor entre 693.85 y

696.15 tomando en cuenta también que tiene mucha precisión, porque el intervalo tiene un ancho de 2.30 C) Media X

= 695 b.f

D.E.

= 22.1 b.f

G

Muestra “n” = 1000 arboles 32. Datos: n=6000 =6 S=2.2 α=0.10 (1-α)=90%

Z=1.65

Solución:

[

P ×−Z

[

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

P 6−1.65

]

2.2 2.2 ≤ μ ≤ 6+1.65 =0.90 √ 6000 √6000

P [ 5.95 ≤ μ ≤ 6.05 ] =0.90 Interpretación: El gasto promedio que hacen los norteamericanos detenidos en los semáforos esta entre 5.95 y 6.05 con un intervalo de confianza del 90%.

34. Su producto requiere que un cierto componente utilizado en su fabricación promedie 15.2 gramos. Si usted compra 100 componentes y encuentra que promedio es igual 14.8 gramos, con s=3.2 gramos., ¿qué le diría un intervalo de confianza sobre lo aconsejable de comprarle más a este proveedor? Su producto es muy delicado y usted siente que puede tolerar sólo el 1% de probabilidad de error. Datos: n=100 =14.8

S=3.2 (1 – α)= 99%

Z=2.58

Solución:

[

P ×−Z

[

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

P 14.8−2.58

]

3.2 3.2 ≤ μ ≤ 14.8+2.58 =0.99 √100 √ 100

P [ 14.72 ≤ μ ≤ 14.8 ] =0.90 Interpretación: Con un 99% de confianza es aconsejable compre más al proveedor ya que 15,2 gramos se encuentra dentro del parámetro [13,9744, 15,6256]

37. Un fabricante de esquís de nieve desea estimar el número promedio de viajes para esquiar que realizan los esquiadores ávidos. Una muestra de 1100 esquiadores da X=15.3 viajes por temporada, con s=5.1 viajes, ¿Cuál es el intervalo de confianza del 99% para estimar la media poblacional?

α = 1% 1 – α = 99% 1 - α/2 = 0.995 Z Límite Límite

promedi viajes por o X 15.3 temporada = D.E. de la viajes por muestra S 5.1 temporada 110 esquiadore muestra n 0 s

2.575829304 superior

= 15.6960873

inferior

= 14.9039127

Ancho del intervalo = 0.792174592

Respuesta: El número promedio de viajes que realizan los esquiadores ávidos está entre 14,9039127 viajes y 15,6960873 viajes conintervalo de confianza de 99%.

38. Considere los datos del ejercicio anterior. a) Sin resolver el problema, explique qué pasaría al intervalo si el nivel de confianza se redujera al 90%

b) Solucione el problema con α = 0.10 y demuestre cómo la respuesta sustenta su respuesta a la parte a.

α 1-α 1 - α/2

10% 1% X 15.3 90% 99% 0.95 0.995 1.6448536 2.57582930 Respuesta: 3 Z 4 puede15.552930 ver límite superior confianza en 4 15.6960873 límites15.047069 límite inferior se redujeron, 6 14.9039127 viaj ancho del 0.5058608 0.79217459 es intervalo 39. Datos: 7 2 por pro tem med pora n=100 io da D.E. viajes =50.3 de la por muest tempora S=10.1 ra S 5.1 da muest 11 esquiad Solución: ra n 00 ores

[

P ×−Z

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

P [ 48,3204 ≤ μ ≤ 52,2796 ]

I.

II.

50.3+Z

=57.2796 ( 10.1 10 )

50.3−Z

=48.3204 ( 10.1 10 )

2Z

=3.9592 ( 10.1 10 )

2 Z∗10.1=39.5920

Z=

39.5920 2

al comparar los resultados, se que al disminuir el nivel de un 9%, la distancia entre los superior e inferior del intervalo por lo tanto, es más preciso.

Z =19.796

40. Datos: n=25 =3.7 S=1.2 (1-α)=95% t=2.064 Solución:

[

P ×−t

]

S S ≤ μ ≤ ×+t =1−α √n √n

[

P 3.7−2.064

]

1.2 1.2 ≤ μ ≤3.7+ 2.064 =0.95 √ 25 √ 25

P [ 3.20 ≤ μ ≤ 4.20 ] =0.95 Interpretación: el peso promedio para todos los paquetes esta entre 3.20 y 4.20 con un intervalo de confianza de 95%.

42. Las ganancias por acción para 10 acciones industriales cotizadas en el Dow Jones fueron US$1.90, US$2.15, US$2.01, US$o.89, US$1.53, US$1.89, US$2.12, US$2.05, US$1.75, US$2.22. Calcule un intervalo de confianza del 9% de los EPS de todas las acciones industriales cotizadas en el índice Dow Jones. ¿Qué suposición debe hacer usted? Datos en US$ 0.89

1.53

1.75

1.89

1.9

2.01

2.05

2.12

Α =1% 1 – α = 99% 1-α/2 = 0.995

promedi o X D.E.

G

muestra n

1.851 US$ 0.3948966 11 US$ accion 10 es

2.15

2.22

T= 3.249835542

n-1 = 9

Límite superior

= 2.2568306

Límite inferior

= 1.4451694

Ancho del intervalo = 0.811661201 Respuesta: hay un nivel de confianza de 99% de que las ganancias al cotizar acciones tengan un valor entre US$ 1,45 y US$ 2,26. El promedio está dentro de ese intervalo.

43. datos: n=75 =47.3 S=10.9 (1-α)=99%

Z=2.58

Solución:

[

P ×−Z

[

]

S S ≤ μ ≤ ×+ Z =1−α √n √n

P 47.3−2.58

]

10.9 10.9 ≤ μ ≤ 47.3+2.58 =0.99 √ 75 √ 75

P [ 44.05≤ μ ≤50.55 ] =0.99 Interpretación: La edad promedio para todos los pacientes esta entre 44.05 y 50.55 con un intervalo de confianza de 99%.

50. EL premio Nacional de Calidad Baldrige, llamado así en honor a Malcom Baldrige, quien sirvió como secretario de comercio a finales de los años 80's, es un reconocimiento ampliamente codiciado del compromiso de una corporación con un sistema de gerencia de calidad total (TQM). Se especifican siete criterios mediante los cuales se juzgan las empresas. Uno de tales criterios,

el liderazgo, permite a las organizaciones sumar hasta 100 puntos para lograr este honor. Chrysler Corporation tomó muestras en 19 plantas y descubrió un promedio de 73.2 puntos, con s=10.1. Construya e interprete el intervalo de confianza del 9% para todas las plantas Chrysler.

Datos: α

=

promedi o X D.E. de 1% la muestra S muestra n n-1

73. 2 puntos 10. 1 puntos empresa 19 s 18

1 – α = 99% 1 - α/2 = 0.995 T = 2.878440473 Límite superior

= 79.86963129

Límite inferior

= 66.53036871

Ancho del intervalo = 13.33926258

Respuesta: usando los datos del problema, hay un nivel de confianza de 99% de que las empresas obtengan una puntuación de liderazgo entre 66,5303687 y 79,8696313.

51. Pizza Pub está considerado incrementar el precio de su pizza grande de encurtidos si el pecio promedio de su competencia excede el precio de Pizza Pub de US$12.95. Otras 37 pizzerías reportan un precio promedio de US$12.50, con una desviación estándar de US$1.01. Pizza Pub desea estar un 90% segura de sus hallazgos. Datos:

α = 10% 1 – α = 90%

promedi o X $ 12.50 US$ D.E. G $ 1.01 US$ Pizzería muestra n 37 s

1 - α/2 = 0.95 Z = 1.644853627 Límite superior

= $ 12.77

Límite inferior

= $ 12.23

Ancho del intervalo = 0.546232786

Respuesta: A pizza Pub no le conviene subir el precio de su pizza grande, ya que su precio US$12,95 no se encuentra dentro del intervalo de confianza de los precios de la competencia, que está entre los US$12,23 Y US$12,77. Debería bajar el precio para capturar más clientes.

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