Trabajo Gauss Seidel

MÉTODO DE GAUSS GAUSS-SEIDEL APLICADO A FLUJO DE POTENCIA

Universidad Nacional de San Agustín Arequipa Faculta de Ingeniería de Producción y Servicios Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica

ÍNDICE

....................................................................................................................... 3 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ ..................................................................................................... 4 I. Método de Gauss Seidel  ...................................................................................................... ................................................................................................................... 4  A. Caso General .................................................................................................................... .................................................. 4 B. Sistemas con barras de carga y flotante solamente  ...................................................

C. Sistemas con barra de carga, tensión controlada y f lotante  ..................................... 5 ......................................................................................... 11 D. Estructura de Gauss-Seidel .......................................................................................... ..................................................................................................... 12 II. Descripción del Método  ......................................................................................................

III. Gauss-Seidel utilizando el problema de Flujo de aaiiPotencia  .................................... 17 IV.Método IV. Método Gauss Seidel mediante inversión parcial aaade Y nodal  ............................... 20 ........................................................................................................................... 23 V. Bibliografía  ............................................................................................................................

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INTRODUCCIÓN Uno de los procedimientos computacionales más comúnmente usados en análisis de sistemas de potencia, es el cálculo de flujo de potencia o flujo de potencia como tradicionalmente es llamado. La planificación, diseño y operación de sistemas de potencia requiere de tales cálculos para analizar el rendimiento en régimen permanente del sistema de potencia bajo variedad de condiciones operativas y a estudiar los efectos de cambios de configuración y equipos.

Las soluciones de flujo de potencia son realizadas usando programas de computadoras diseñados específicamente para este propósito. La pregunta básica del flujo de potencia es: dado el flujo de potencia consumido en todas las barras de una conocida configuración de sistema de potencia, y la potencia producida en cada generador, encontrar el flujo de potencia en cada línea y transformador de la red interconectada y el voltaje en magnitud y ángulo de fase en cada barra.

Analizando la solución de este problema para numerosas condiciones ayuda a asegurar que el sistema de potencia está diseñado para satisfacer su criterio de rendimiento mientras se incurre la más favorable inversión y costo de operación.

Los sistemas de potencia son complejos y poseen muchas partes o ramales sobre los cuales se producen flujos de potencia.; tales sistemas forman partes en serie y paralelo.

El flujo de potencia eléctrica en esas redes se divide entre los ramales mientras un balance es logrado de acuerdo con las leyes de Kirchoff.

Los programas de computación para resolver el flujo de potencia son dividido en dos tipos estáticos (Off-Line) y dinámica (tiempo real). La mayoría de los estudios de flujo de potencia están basados en modelos estáticos de redes.

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I.

Método de Gauss Seidel A. Caso General Corresponde a una modificación del método de Gauss tendiente a acelerar la convergencia del proceso iterativo. En el método de Gauss se calculan todos los valores de las incógnitas correspondientes a una iteración y luego se emplean para determinar los nuevos valores de las incógnitas en la iteración siguiente. En el método de GaussSeidel en cambio, los valores calculados en una iteración determinada, se utilizan inmediatamente para calcular los valores de las incógnitas que restan por calcular en la misma iteración. De este modo, si el proceso de cálculo se encuentra en la iteración (k+1) y ya se han determinado

Por tanto, la fórmula iterativa del Método de Gauss-Seidel aplicada a un sistema de n ecuaciones de la forma dada por (3.12) es:

El cálculo de las tensiones de barras aplicando el procedimiento explicado anteriormente es distinto según sean los tipos de barras existentes en el SEP. Por ello se considerarán en primer lugar los sistemas con barras de carga y flotante solamente, por ser el caso más simple. A continuación se analizará la situación de las barras de tensión controlada.

B. Sistemas con barras de carga y flotante solamente  Aplicando las ecuaciones:

La secuencia de solución según este método es como sigue:

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a) Se suponen valores iniciales de tensión para todas las barras a excepción de la flotante, cuya tensión está especificada, o sea ese dato del problema, al igual que Pp y Qp en todas las barras de carga y los términos de la matriz admitancia de barras (YB) b) Se aplica la fórmula iterativa (3.19) hasta que se cumpla algún criterio de convergencia, por ejemplo:

c) Determinadas las tensiones Vp & , se calculan los flujos de potencia pq Sqp d) Conocidos los valores de pq y Sqp se determinan las pérdidas en el sistema

C. Sistemas con barra de carga, tensión controlada y flotante Normalmente un SEP incluye además de las barras de carga y flotante, barras de tensión controlada (BTC) que tienen por objeto permitir regular la tensión en uno o varios puntos del sistema. En las barras de tensión controlada debe existir una fuente regulable de potencia reactiva para poder cumplir su cometido. Debido a que en este tipo de barra sólo se conocen el módulo de la tensión y la potencia activa, es necesario calcular previamente la potencia reactiva, antes de emplear la ecuación para determinar el voltaje complejo en ella.  A partir de la ecuación para la barra p de la expresión se puede escribir:

Es decir:

Cuando se emplea la ecuación en una BTC, el valor de Qp, que debe emplearse corresponde al indicado el que se debe actualizar en cada iteración. Al determinar el voltaje, debe tenerse en cuenta que su módulo en esta barra está especificado y por lo tanto sólo puede cambiar su ángulo. Análisis de Sistemas de Potencia 2

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Límites de Potencia reactiva en una Barra de tensión Controlada En el cálculo del flujo de potencias en un SEP con Barras de tensión controlada es necesario tomar en cuenta los límites de potencia reactiva de las fuentes de potencia. Sea p una BTC, entonces el valor de Qp se puede escribir como:

Los límites de potencia reactiva para la barra p serán:

Si el valor de la potencia reactiva calculado en una iteración cualquiera k, Qp k, excede el límite máximo o mínimo prefijado, significa que es imposible obtener una solución con la tensión especificada en esta barra y en consecuencia, ella debe ser considerada como una barra de carga en esa iteración, en la cual la potencia reactiva es igual al límite superior e inferior según corresponda. En las iteraciones siguientes, el método intentará mantener el voltaje especificado originalmente en esa barra, siempre que no se violen los límites de Qp. Esto es posible, porque pueden ocurrir cambios en otros puntos del sistema, que lo permitan. Para explicar mejor el procedimiento, considérese el sistema de 3 barras de la Figura 3.6.

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Sean: Barra 1: Flotante Barra 2: de carga Barra 3: de tensión controlada La secuencia de cálculo aplicando el Método de Gauss-Seidel YB es:

EJEMPLO DE APLICACIÓN Para el sistema de tres barras de la Figura 3.7, los datos en pu, base común, se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2. Realizar una iteración con el método de Gauss-Seidel YB, para determinar el voltaje en todas las barras. Con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las líneas, las pérdidas del sistema, la potencia entregada por el generador de la barra slack y la verificación de la potencia entregada a la carga SC1.

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Solución: Determinación de la matriz de admitancia de barras YB

Valores iniciales y otros datos

Proceso iterativo:

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Cálculo de los flujos de potencia en las líneas

Pérdidas

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Potencia entregada por el generador de la barra slack

Verificación de la potencia recibida por la carga SC1

Los métodos de Gauss y de Gauss-Seidel son procedimientos iterativos para resolver simultáneamente ecuaciones no lineales.

Tanto Gauss como Gauss-Seidel implican la formulación:

En Gauss se calculan los nuevos valores de x(n+1) a partir de los x(n) obtenida en la iteración anterior. En Gauss-Seidel, los valores obtenidos son utilizados inmediatamente después de haber sido calculados aunque no haya terminado la iteración en curso (mayor rapidez, suele llamarse Gauss-Seidel con actualización de variables). De valores iniciales a las tensiones en las barras (las que no conozca fíjelas en 1 p.u., t odas con ángulo inicial 0). Calcule los valores de tensión de la siguiente iteración como:

En el caso de las barras PV usted no conocerá el valor de la Potencia Aparente Inyectada, por lo que debe calcularlo como:

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D. Estructura de Gauss-Seidel

El método de Gauss-Seidel pertenece a la familia de los métodos iterativos utilizados para obtener la o las raíces de una función cualquiera, especialmente en forma de matrices de n ecuaciones [A]{X}={B}

Si los elementos de la la matriz que se está solucionando no son la 1era se resuelve 2da para x2 y la para x3, y la enésima para obtener:

diagonal de todos cero para x 1, la tercera para xn

X1= ( b1 – a12x2 – a13x3

) / a11

X2 = ( b2 – a21x1 – a23x3

) / a22

X3 = ( b3 – a31x1 – a32x2 ) / a33 …….

Xn = ( bn – an1x1 - …- ann-1xn-1 ) / ann

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II.

Descripción del Método Partiendo de la definición de balance nodal de potencia compleja:

Donde, la potencia compleja neta inyectada puede escribirse en términos de voltaje y corriente:

Rescribiendo la ecuación de balance de potencia nodal como:

Despejando a la corriente compleja:

Por otra parte, la corriente neta inyectada en cualquier nodo i  del sistema eléctrico es:

De esta última ecuación,

Despejando al voltaje complejo del nodo i :

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Esta ecuación, está expresada de una manera tal que es posible aplicar ya sea el Método de Gauss o el Método de Gauss-Seidel. Como puede observarse, involucra términos de voltajes complejos nodales (variables dependientes), inyecciones de potencia nodales (variables de control o especificadas) y elementos de la matriz de admitancias nodal (parámetros constantes y especificados de la red eléctrica). Sin embargo, es conveniente modificar esta expresión, a fin de hacerla computacionalmente más eficiente. Expresando las partes constantes en coordenadas rectangulares:

De modo que:

(10.57)

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Definiendo:

Se obtiene:

Del mismo modo:

Para obtener:

Substituyendo estas expresiones

Expresando los voltajes complejos nodales en coordenadas rectangulares:

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y substituyendo

Desarrollando la primera parte

 Ahora, desarrollando la segunda parte

Substituyendo la ultima parte

Separando partes reales e imaginarias:

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Finalmente, en la iteración k , el Método de Gauss-Seidel se aplica en la forma siguiente:

i = 1, …, n

Donde:  j  = k +1 cuando m  j  = k  

cuando i 

i m

De acuerdo al planteamiento del método de Gauss-Seidel, el proceso iterativo debe continuar hasta que no haya cambios significativos en los voltajes, es decir,

i = 1, …, n

Esto, normalmente representa la aplicación de tolerancias de convergencia demasiado estrechas (del orden de 10 -6), que, para problemas de tamaño relativamente grandes, puede causar problemas de convergencia si el programa de computadora desarrollado maneja variables reales de precisión sencilla. Por otro lado, esta medida no garantiza que el balance de potencia nodal se cumpla con aproximaciones aceptables.

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 Adicionalmente, aun cuando el método es económico en trabajo computacional por iteración, presenta el inconveniente de que su convergencia es dependiente del número de ecuaciones, de modo que su proceso iterativo tiende a ser demasiado lento para problemas involucrando varios centenares de ecuaciones. Por las razones anteriores, la aplicación de otros métodos de solución ha sido investigada, a fin de obtener algoritmos más eficientes. En las siguientes secciones se aplica el Método de Newton(-Raphson), para resolver el problema de flujos de potencia tanto en coordenadas polares como rectangulares.

III.

Gauss-Seidel utilizando el problema de Flujo de aaiiPotencia Tuvieron gran acogida en los años 60 por su facilidad en la implementación (mínimos requerimientos de memoria y facilidad en su programación). Ecuaciones planteadas:

De la ecuación anterior,

se despeja el

voltaje del nodo k:

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 Además en los nodos tipo voltaje controlado se calcula:

En estos nodos se deberá satisfacer que:

El criterio de parada:

Por facilidad se acostumbra suponer el vector de voltajes iniciales en los nodos del sistema de la siguiente manera:

En la barra de referencia se conoce la magnitud y el ángulo del voltaje, por lo tanto se tienen n-1 incógnitas, así que en el cálculo de los voltajes nodales no se tendrá en cuenta la ecuación de este nodo.

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 Algoritmo de Gauss-Seidel

Los métodos de Gauss y de Gauss ‐Seidel son procedimientos iterativos para resolver simultáneamente ecuaciones no lineales. Ilustramos el método Gauss con el ejemplo siguiente. Tanto Gauss como Gauss ‐Seidel implican la formulación: x = F(x) y la formula iterativa

x(n+1 = F(x(n)

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En Gauss se calculan los nuevos valores de x(n+1 a partir de los x(n obtenida en la iteración anterior En Gauss ‐Seidel, los valores obtenidos son utilizados inmediatamente después de haber sido calculados aunque no haya terminado la iteración en curso (mayor rapidez).

IV.

Método Gauss Seidel mediante inversión parcial aaade Y nodal Otra forma de plantear el proceso iterativo, para la solución de voltajes nodales, se tiene por medio del método de Gauss. Con la matriz Ynodai, y considerando conocido el voltaje del nodo 1, los voltajes en todos los nodos son desconocidos. Se considera que la potencia en los nodos de carga es conocida y constante. Se requiere un valor de arranque para todos los voltajes y normalmente se selecciona el valor del voltaje del nodo fuente. Las corrientes nodales Inodab se obtienen mediante la multiplicación de la matriz de admitancias por los voltajes nodales. Con el sistema de la Figura 2.3 se ilustra el procedimiento.

La representación matricial para el sistema de la Figura 2.3

En cada nodo del sistema se tiene una potencia neta, la cual se calcula. Con el voltaje inicial supuesto para cada nodo y se obtiene la comente en los nodos de carga. Para el sistema de cuatro nodos de la Figura. 2.3 se considera al nodo 1 como nodo compensador o fuente y en el caso de redes radiales, como es el caso para flujos en distribución convencionales, se considera que el nodo fuente es la única aportación de

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potencia al sistema. Aplicando la relación entre potencia y corriente nodal, se puede escribir una forma iterativa.

En el nodo 1, la incógnita es la corriente inyectada por la fuente, pero el voltaje de la fuente Vi es conocido. Las condiciones nodales descritas determinan los pivotes para solucionar la ecuación matricial, y la "inversión parcial" [6] se hará sobre aquellos nodos en los que se conoce el valor del lado derecho. En este caso ilustrativo se toma como pivotes a todos los nodos, excepto el nodo 1, procedimiento que resulta en la inversa parcial de Ynodai. Por lo tanto, partiendo de (2.19) y considerando las modificaciones a los elementos de la matriz de admitancias original, se tiene. Esta última expresión matricial permite calcular, por medio de una multiplicación, el valor de las incógnitas. Los valores corregidos para los voltajes nodales reemplazan o actualizan los voltajes de la iteración anterior. Con los voltajes nodales de la iteración k y los obtenidos en la iteración k+1, se calcula el valor absoluto de la diferencia de voltajes V ,r - V^ y se compara respecto a una tolerancia preestablecida. El procedimiento de solución hasta este momento está planteado usando matrices de dimensión n x n, donde n es el número de nodos del sistema. Por lo tanto, para un sistema eléctrico de

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distribución con una gran cantidad de nodos este procedimiento resultará computacionalmente ineficiente. Con computadoras digitales en la actualidad no es problema mayor el resolver, usando matrices, sistemas con menos de 30 nodos, pero se requiere memoria y un tiempo de cálculo considerable al resolver iterativamente las ecuaciones para sistemas de más de 30 nodos. Es importante, por tanto, plantear el método de solución usando técnicas de dispersidad y usar los factores de la matriz inversa parcial para representar la matriz de coeficientes de (2.20.b). En la Figura 2.4 se presenta el diagrama de flujo para el procedimiento de solución usando la inversa parcial de Ja matriz Yn 0 dai- El valor absoluto de la diferencia de voltaje, entre iteraciones sucesivas, se usa como criterio para probar convergencia. Para probar la convergencia también se puede usar el criterio que emplea el desajuste de potencia, ver Figura 2.5 para este caso.  Ambos criterios de convergencia fueron aplicados en este trabajo de tesis, con lo cual se puede hacer una comparación entre ambos criterios.

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V.

Bibliografía

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www.frsf.utn.edu.Gausss-Seidel/visitante/bajar

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www.frsf.utn.edu.ar/matero/visitante/bajar_apunte.php?id

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www.buenastareas.com/...flujos-de-potencia...método-de-gauss-seidel

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