TRABAJO FINAL DE CADENAS DE MARKOV.doc

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

CURSO

: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

DOCENTE

: ING. MIGUEL JIMENEZ CARRION

ALUMNOS

: ESPINOZA AMBULAY CARLOS CASTILLO PINTADO JEFF RIVERA LLACSAHUANCA DARWIN LLENQUE TUME CESAR JARAMILLO ALAMA JUAN

INTRODUCCIÓN

En el acontecer diario nos mezclamos con diferentes situaciones que requieren un análisis exhaustivo para llegar a una solución. Situaciones en las que no bastando con la ayuda de la misma experiencia necesitan otro tipo de herramientas para sus prontas decisiones ya que podrían ser vitales para el progreso de una empresa o negocio.

Las cadenas de Markov son pues una de esas herramientas que motivan el uso de hechos que ya sucedieron para a través de probabilidades predecir una futura situación. En el presente trabajo pretendemos mostrar la aplicación de las cadenas de Markov en el proceso industrial de fabricación y comercialización (en este caso analizaremos la demanda) de la comercialización de jaboncillos en el mercado minorista. Para ello tomamos refencia de la distribuidora “MI DIANITA” ubicada en el mercado central de Piura. . Nosotros analizaremos la demanda de los siguientes productos: JABONES NEKO, NIVEA, PALMOLIVE Y OTROS.

OBJETIVOS

GENERAL: Aplicar la teoría fundamental de cadenas de Markov para determinar el comportamiento de la transferencia de demanda a futuro en cada proceso.

ESPECIFICOS: •

Mostrar que el proceso es una cadena de Markov.

•

Construir la matriz de transición.

•

Mostrar que los estados son accesibles.

•

Mostrar que los estados se comunican.

•

Mostrar que los estados son recurrentes.

•

Mostrar que los estados son aperiódicos.

•

Determinar la regularidad de la matriz.

•

Determinar los limites ergódicos.

•

Presentar las probabilidades de estado estable.

MARCO TEORICO 1. PROCESOS MARKOV 1.1. ESTADOS DEL SISTEMA: Un modelo de Markov consiste en un conjunto de estados discretos. Este conjunto es exhaustivo y describe todos los posibles estados donde el sistema puede estar. La transición del estado i a j ocurre con una probabilidad pij. Podemos pensar en un modelo de Markov como una simple línea de transferencia.

1.2. LA CONDICIÓN DE MARKOV: Si P[Sj(k) / Sa(k-1), Sb(k-2), Sc(k-3).....] = P[Sj(k) / Sa(k-1)] para todo k, j,a, b, c,..... Entonces el sistema es un estado discreto de discretas transiciones de procesos de Markov. La implicación de esta condición es que la historia anterior del sistema a su llegada en (a) no tiene efecto en la transición a (j). En otras palabras, el sistema no tiene memoria.

1.3. PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN: Para una cadena de Markov, se definen las probabilidades de transición como: pij = P[Sj(k) / Si(k-1)]

10 para todo j que esté en la clase de i. Si este es el caso diremos que la clase es positiva recurrente o fuertemente ergódica.

•

El valor Σinfn=1 n fiin = mi. se define como el tiempo medio de recurrencia del estado i. Ahora se asegura, sin demostración, que bajo las condiciones de regularidad del teorema anterior, que Lim ninfinito Piin = 1/mi = πi. El cálculo de los πi se entrega en el siguiente teorema.

•

Teorema. En una clase aperiódica positiva recurrente con estados i=0,1,2.... se tiene que Lim ninfinito Piin = πi = Σinfk=0 Pkj πk ; Σinfk=0 πk =1

(1)

Cualquier conjunto πi que satisfaga (1) se llama probabilidad de distribución estacionaria de la cadena de Markov.

Observe que si Pij es la matriz de transición asociada a una clase recurrente ergódica positiva, entonces la ecuación πi = Σinfk=0 Pkj πk llevada a su forma matricial: P00 P01 P02 . . . P0i . .

P10 P11 P12 . . . P1i . .

P20 P21 P22 . . . P2i . .

… … … . . . … . .

.

π1 π2 π3 . . . πi . .

=

π1 π2 π3 . . . πi . .

Establece claramente que (π1 π2 π3.....) t es un auto vector (a la derecha) de la matriz Pij asociado al autovalor 1. Para esto debemos saber que la matriz de Markov tiene

un autovalor igual a 1, más aún, este valor será el mayor, en valor absoluto, si la matriz es primitiva, esto es si todas sus entradas son positivas para alguna potencia de la matriz.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA. La distribuidora “MI DIANITA” de la cual nosotros analizaremos el comportamiento de la taza de transferencia de la demanda de jaboncillos como: JABONES NEKO, NIVEA, PALMOLIVE Y OTROS.

- Las ventas semanales se dan en la siguiente tabla. PRODUCTO NEKO NIVEA PALMOLIVE OTROS

-

SEMANA 01 854 132 300 371

SEMANA 02 727 111 290.5 301

La porción de la demanda que no continúa en el mismo

producto “i” se traslada

uniformemente a los demás productos “n-i”.

-

Las probabilidades iniciales de demanda de cada producto son: 51.54% de NEKO,

7.96% de NIVEA, 18.11% de PALMOLIVE y 22.39% de OTROS.

SOLUCION DEL PROBLEMA

1) DESCRIPCION DE LOS ESTADOS:

NUMERO DE ESTADO 01

ESTADO

SIMBOLO DE ESTADO

NEKO

02

N.

NIVEA

03

C.

PALMOLIVE

04

OTROS

P. O.

2) EL PROCESO DE TRANSFERENCIA DE DEMANDA COMO CADENA DE MARKOV.

NEKO

PALMOLIVE

NIVEA

OTROS

El proceso se define como una cadena de Markov debido a que cumple la propiedad Markoviana de la siguiente forma:

•

Al pasar de un estado a otro la probabilidad de la demanda de cada producto puede aumentar o disminuir.

•

La cantidad de clientes (demanda) que llega a un estado proveniente de otro estado, depende solo de que en el estado “i” el cliente quedo insatisfecho o este desea probar nuevos productos “n-i”. El proceso se mira como un proveedor que le entrega a su próximo cliente teniendo en cuenta que tanto le entrega al cliente del nivel anterior y al cliente actual.

3) DATOS RESUMIDOS PARA CONSTRUIR LA MATRIZ PRODUCTO NEKO NIVEA PALMOLIVE OTROS TOTAL

SEMANA 01 854 132 300 371 1657

SEMANA 02 727 111 290.5 301 1429.5

4) ICONO DEL PROBLEMA NEKO

NIVEA

PALMOLIVE

OTROS

5) CALCULO DE PROBABILIDADES PROPORCIONES DE DEMANDA (SEMANA 01) semana 01 comprende desde el día 20 hasta el día 26 PROPORCIONES

DEMANDA DE NEKO DEMANDA DE NIVEA DEMANDA DE PALMOLIVE DEMANDA DE OTROS DEMANDA TOTAL

854 132 300 371 1657

0.5154 0.0796 0.1811 0.2239

PROBABILIDADES DE TRANSFERENCIA DE LA DEMANDA ENTRE ESTADOS

PRODUCTO DEMANDA DE NEKO DEMANDA DE NIVEA DEMANDA DE PALMOLIVE DEMANDA DE OTROS

SEMANA SEMANA 01 02

DEMANDA QUE CONTINUA EN "i"

DEMANDA QUE NO CONTINUA EN "i"

854

727

0.1487

0.8512

132

111

0.159

0.8409

300

290.5

0.0317

0.9683

371

301

0.1886

0.8111

LA DEMANDA QUE NO CONTINUA EN "i" PASA EN PARTES IGUALES A "n-i" OREJITAS DEMANDA QUE NO CONTINUA EN NEKO DEMANDA QUE NO CONTINUA EN NIVEA. DEMANDA QUE NO CONTINUA EN PALMOLIVE DEMANDA QUE NO CONTINUA EN OTROS

KEKE DE N. PIONONO PASTELITOS

-

0.0496 0.054 0.0106

0.0106 -

0.063

0.063

0.0496

0.0496

0.053

0.053 0.0106

0.063 -

6) MATRIZ DE TRANSICION ESTADOS NEKO NIVEA PALMOLIVE OTROS

KEKE DE OREJITAS NARANJA PIONONO PASTELITOS 0.8512 0.0496 0.0496 0.0496 0.054 0.8409 0.053 0.053 0.0106 0.0106 0.9683 0.0106 0.063 0.063 0.063 0.8111

7) CLASIFICACION DE LOS ESTADOS  Primeramente diremos que es una cadena de markov ergodica.  Los cuatro estados (orejitas, keke de naranja, pionono, pastelitos) son:  Estados aperiodicos.  Estados concurrentes.  Estados comunicados.  Estados alcanzables. 8) ARBOL DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DEL COMPORTAMIENTO DE LA TRANSFERENCIA DE LA DEMANDA.

N

N C P O

C

N C P O

P

N C P O N

O

C P O

De acuerdo a la matriz anterior y a los datos de la demanda de los productos se generan las siguientes interrogantes:

1.- Cual es la matriz de transición para 2 semanas y 4 semanas.  Pasando 2 semanas la demanda se mantendrá de la siguiente manera.

 P² = P*P 0.8512 0.0540 0.0106 0.0630

0.0496 0.8409 0.0106 0.0630

0.0496 0.0530 0.9683 0.0630

0.0496 0.0530 0.0106 0.8111

0.7309 0.0953 0.0205 0.1088

=

0.8512 0.0540 0.0106 0.0630

*

0.0876 0.7137 0.0203 0.1079

0.0496 0.8409 0.0106 0.0630

0.0958 0.1017 0.9307 0.1183

0.0496 0.0530 0.9683 0.0630

0.0496 0.0530 0.0106 0.8111

0.0856 0.0908 0.0199 0.6650

 Después de 4 semanas la matriz de transición de la transferencia de demanda será la siguiente:



=

0.7309 0.0953 0.0205 0.1088

=

0.0876 0.7137 0.0203 0.1079

(P²)²

0.0958 0.1017 0.9307 0.1183

0.5538 0.1496 0.0381 0.1646

0.0856 0.0908 0.0199 0.6650

0.1317 0. 5296 0.0374 0.1607

*

0.7309 0.0876 0.0958 0.0856 0.0953 0.7137 0.1017 0.0908 0.0205 0.0203 0.9307 0.0199 0.1088 0.1079 0.1183 0.6650

0.1782 0. 1870 0.8725 0.2101

0.1294 0.1354 0.0354 0.4637

2.- Conociendo la demanda inicial de: NEKO NIVEA PALMOLIVE OTROS

0.5154 0.0796 0.1811 0.2239

Después de 2 y 4 semanas cual será el nuevo porcentaje de cantidad demandada de orejitas, keke de naranja, pionono, pastelitos.

 Después de 2 semanas será:



p*P²

= 0.5154 0.0796 0.1811 0.2239

N =

0.4123

*

0.7309 0.0953 0.0205 0.1088

0.0876 0.7137 0.0203 0.1079

C

0.0958 0.1017 0.9307 0.1183

P

0.1296

0.0856 0.0908 0.0199 0.6650

O

0.2525

0.2038

El nuevo porcentaje de cantidad demandada de cada producto después de 2 semanas será:

PRODUCTO DEMANDA DE NEKO DEMANDA DE NIVEA DEMANDA DE PALMOLIVE DEMANDA DE OTROS



PORCENTAJE DE CANTIDAD DEMANDADA 41.23% 12.98% 25.25% 20.38%

Después de 4 semanas será:

 p*(P²)²

= 0.5154 0.0796 0.1811 0.2239

=

*

0.5538 0.1496 0.0381 0.1646

N

C

0.3411

0.1559

0.1317 0. 5296 0.0374 0.1607

0.1782 0. 1870 0.8725 0.2101

0.1294 0.1354 0.0354 0.4637

P

O

0.3118

0.1877

El nuevo porcentaje de cantidad demandada de cada producto después de 2 semanas será:

PRODUCTO DEMANDA DE NEKO DEMANDA DE NIVEA DEMANDA DE PALMOLIVE DEMANDA DE OTROS

PORCENTAJE DE CANTIDAD DEMANDADA 34.11% 15.59% 31.18% 18.77%

3.-Obtener la matriz limite de las sucesivas potencias de la matriz de transición para conocer las probabilidades de demanda a largo plazo.

 t*P=t

t1

t2

t3

t4

*

Pⁿ

0.8512 0.0496 0.0496 0.0540 0.8409 0.0530 0.0106 0.0106 0.9683 0.0630 0.0630 0.0630

0.0496 0.0530 0.0106 0.8111

0.8512 t1 + 0.0496 t2 + 0.0496 t3 + 0.0496 t4 = t1 0.0540 t1 + 0.8409 t2 + 0.0530 t3 + 0.0530 t4 = t2 0.0106 t1 + 0.0106 t2 + 0.9683 t3 + 0.0106 t4

= t3

0.0630 t1 + 0.0630 t2 + 0.0630 t3 +

= t4

t1

+ t2

SOLUCION

t1 = 0.2356 t2 = 0.1981 t3 = 0.3674

+

t3

+

0.8111 t4 t4

=1

=

t1

t2

t3

t4

t4 = 0.1981

Pⁿ =

0.2356

0.1981

0.3674

0.1981

0.2356

0.1981

0.3674

0.1981

0.2356

0.1981

0.3674

0.1981

0.2356

0.1981

0.3674

0.1981

Esta es la matriz limite en la que hay un equilibrio establece las cantidades demandadas de los 4 productos.

 El porcentaje de las cantidades demandadas a largo plazo son: PRODUCTO DEMANDA DE NEKO DEMANDA DE NIVEA DEMANDA DE PALMOLIVE DEMANDA DE OTROS

PORCENTAJE DE CANTIDAD DEMANDADA 23.56% 19.81% 36.74% 19.81%

CONCLUSIONES 1.

Esta primera conclusión es para decir que no se concluirá sobre los resultados numéricos del proceso, pues en el desarrollo del mismo se explica claramente las respuestas obtenidas. Nuestro deseo es expresar conclusiones alrededor del proceso de construcción del conocimiento y crear una inquietud acerca del proceso a analizar.

2.

Se requiere de más tiempo para poder elaborar un buen documento que sirva como apoyo a otras personas que quieran profundizar en el modelado y explicación de una cadena de Markov.

3.

No es fácil construir una matriz de transición.

4.

En este problema en particular se tuvo que modelar el proceso de la demanda con los datos disponibles en la empresa. No hay otros más.

5.

Se aprendió a construir la matriz de transición por medio de proporciones generadas por los datos totales de la demanda en cada uno de los productos fabricados (orejitas, keke de naranja, pionono, pastelitos).

6.

El problema se abordo desde una perspectiva académica, pero siempre con el norte de responderle a un empresario de forma técnica y científica todas las inquietudes que se generan alrededor de una cadena de Markov.

7.

Las cadenas de Markov no deben abordase de una forma simple, ellas tienen una sustentación matemática fuerte y unos requisitos que se deben probar.

Existen inquietudes que nos llevan a concluir que no es solamente construir una matriz y calcularle probabilidades de estado estable y tiempos de ocurrencia y recurrencia, las cadenas de Markov son mucho más.

BIBLIOGRAFÍA

•

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Hiller and Lieberman, Edit.Mc Graw Hill.

•

ÁLGEBRA LINEAL. Grossman, Edit. Iberoamérica.

•

APUNTES DE CLASE, Ing. CARLOS COELLO OBALLE - UNP.

•

Documentos bajados de la Internet. 1.

Cadenas de Markov

2.

Límites ergódicos en las cadenas de Markov.

3.

Notas sobre cadenas de Markov.

4.

Análisis de Markov.