Trabajo final Cálculo Integral.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE  

INGENIERÍA

FACULTA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIER ÍA MECÁNICA MECÁNIC A

Trabajo de Volúmenes de sl!dos de re"ol#$!n

CURSO% Cálculo Integral

C&DIGO CURSO% MB 147

'ROFESOR% Edwin Tello Godoy AUTOR% o

Vargas Cano Ronaldinho Junior

!14!!1"B

ES'ECIALIDAD% Ing# Mecánica y El$ctrica

SECCI&N% %

FEC(A DE REALI)ACI&N% REALI) ACI&N%  &'11'14 3

1. Se tiene tiene la región región R limitad limitada a por la la gráfca gráfca de

 X 

3

+ Y  = 8  , sus asíntotas

y las rectas verticales que pasan por sus puntos de inexión, que se hace rotar alrededor de la recta vertical que pasa por su punto de

Uni versi dadNaci onaldeI ngeni erí a Facul t addeI ngeni er í aMecáni ca “ Añodel aPromoci ón del aI ndust r i aResponsabl eydelCompromi soCl i mát i co”

inexión de menor ascisa. !alcule el volumen del sólido de revolución que se origina. 3

"nali#amos la $unción

Y 

3

+ X  = 8

despe%ando la variale & en

$unción de '( Y = √ 8 − X  3

3

)erivamos la $unción 2

X 

' 

Y  =

( 8 − X  ) /

3 2 3

*allamos los mínimos y máximos relativos( + y 

-samos mtodo de puntos críticos para derivadas para saer si es máximo o mínimo ' ' 

Y 

=

−16 X  ( 8− X  ) /

3 5 3

/or lo tanto los puntos de inexión son + y  Siendo el punto de inexión de menor ascisa es +

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!omo el dx es paralelo a la al e%e de rotación '0+ utili#amos el mtodo de la cáscara cilíndrica( 2

∫ (

)

V =2 π ×  X  √ 8 − X  −(− X  ) dx 3

3

0

2

∫ (

)

V =2 π ×  X  √ 8 − X  −(− X  ) dx 3

3

0

2

∫ ( X  + X ( √ 8− X  ) ) dx  3

2

V =2 π ×

3

0

√ −( ) 3

2

3

 X 

1

2

dx

2

∫ ( X  ) dx+2 ∫ X × (¿) 2

0

0

V =2 π × ¿

( )=  X 

3

2

−2

2

Y dX = Y  3 dY  3

√ 1 −Y dY  3

2

8

1

∫ ( X  ) dx+ 3 ∫ Y  2

0

−1 3

× (¿)

0

V =2 π × ¿

V =2 π ×

(

2

)

∫ ( X  ) dx+ 83  β ( 23 ;  43 ) 2

0

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V =2 π × (

V =2 π × (

8 3

+

8

3

3

8 3

+

8 9

3

+

8 3

( ) ( )) 2 3

 Γ 

4 3

 Γ ( 2 )

( ) ( )) 2 1 3 3

 Γ 

1 3

 Γ ( 2 )

3

8

V =2 π × ( +

V =2 π × (

8

 Γ 

8

 Γ 

( ) ( ))

 Γ 

2 1 3 3

 Γ 

1 3

1

π  )  π 

×

sin

3

3

V =37.015 u

. Se tiene la región R limitada por las gráfca de( 3

 F ( X ) = X 

+ 3 ; G( x )=3 e− X ; X =1

a Se hace rotar alrededor de la recta

X =1

 Se hace rotar alrededor de la recta(  L :  X + 3= 0 *alle el volumen correspondiente a cada caso propuesto. Solución( a )eido a que las gráfcas de las $unciones son 2notales3 no hay necesidad de hallar sus máximos y mínimos relativos.

 F 

3

= X  + 3

 X =1

G

=3 e− X 

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4ntonces procedemos a hallar los puntos de intersección •

)e la $unción 5 con la $unción 6( 3

 X 

+ 3 =3 e− X 

 X =0 Y = 3 •

)e la $unción 5 con la recta(  X =1 Y  =

3

e

"l hacer girar la $unción respecto a la recta

dx

'

Y =0

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!omo el dx es perpendicular al e%e de rotación

Y =0  usamos el

mtodo del disco para poder hallar el volumen del sólido de revolución(  X 

(¿¿ 3 + 3 ) (¿ ¿ 2−( 3 e− ) ) dx ¿  X  2

1

∫¿

V = π 

0

(

V =2 π 

7

V = π (

 X  7

4

+

(( +

V = π 

3  X 

1

3

7

2

2

+ 9 X +

+9 +

9 −2 2

e

1

1

∫ ( X  + 6 X  +9 ) dx− 9∫ (e− 6

0

)

e

)−(

9 2

2 X 

) dx

0

9 −2 X  2

3

{

1 0

0

e

)

)

){

1 0

3

V =21.21 u

 !omo el dx es paralelo al e%e de rotación

 X =1

 usamos el mtodo

del cascarón para poder hallar el volumen del sólido de revolución(

dx

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!omo el dx es paralelo al e%e de rotación

 X =1  usamos el mtodo

del cascarón para poder hallar el volumen del sólido de revolución(

 X 

¿ (¿ 3 + 3 ¿)−(3 e− ) ¿ dx ( X −(−3 )) × ¿  X 

1

∫¿

V  =2 π 

0

( X e− X ) 1

1

1

∫ ( X  +3 X  +3 X + 9 ) dx −3 ∫ ¿ dx +12∫ (e− 4

 X 

3

0

0

)dx

0

V =2 π ( ¿ ) 5

V =2 π (

 X 

((

V =2 π 

5

1 5

+3

4

 X  4

+ 3  X  + 9 X + 3 e− X  ( X + 1 )−12 e− X  ) 2

2

3

3

4

2

{

+ + + 9 + e− ( 6 )−12 e− )−( e ( 3 )−12 e )

3

V =114.62 u

1

1

0

0

1 0

){

1 0