Trabajo Estadística (Evaluación 03)

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POST GRADO PROGRAMA DE MAESTRÍA EN INGENIERÍA INGEN IERÍA INDUSTRIAL

ESTADÍSTICA (EVALUACIÓN 03)

Integrantes: Leal, Jesús Padrón, Ricardo Rodríguez, Alfonso Rojas, Rafael

ABRIL 2011

Ejercicio 01

En una muestra de 100 baterías producidas por cierto método, el promedio del tiempo de vida fue de 150 horas y la desviación estándar de 25 horas. a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la media del tiempo de vida de las baterías producidas por este método. Solución: Datos:

        



Se tiene:  

         

  

Como el valor de forma:

(1-)

=

=

95% 0.95 =



n

es grande, el intervalo de confianza se calcula de la siguiente

               

 Así

  

, por medio de las tablas se tiene que:

Luego,

  

                          

b) Determine un intervalo de confianza de 99% para la media del tiempo de vida de las baterías producidas por dicho método. Solución: Se tiene: 

         



Como el valor de forma:

n

=

  

(1-)

=

99% 0.99 =



es grande, el intervalo de confianza se calcula de la siguiente

               

 Asi

  

, por medio de las tablas se tiene:

Luego,

  

                          

c) Un ingeniero afirma que la media del tiempo de vida está entre 147 y 153 horas. Calcular el nivel de confianza con el que se puede hacer esta afirmación. Solución:

    

Sabiendo que Entonces

, además, el error máximo

       

                

Por consiguiente, por medio de las tablas se tiene que el nivel de confianza es

      

d) Calcular el tamaño de la muestra para que un intervalo de confianza de 95% especifíquela media dentro de ±2 horas. Solución Sabiendo que el nivel de confianza es de 95%



    



Como el error 

, el cálculo del tamaño de la muestra es:

                    e) Calcular el tamaño de la muestra para que un intervalo de confianza de 99% especifique la media dentro de ±2 horas. Solución

Para un nivel de confianza es de 99%, se tiene



    



Como el error 

, el cálculo del tamaño de la muestra es:

                    Ejercicio 02 Un investigador hizo ocho mediciones del punto de fusión del tungsteno y obtuvo una media muestral de 3410.14 °C y una desviación típica muestral de 1018 °C. Datos

            ° 

° 

a) Determine un intervalo de confianza de 95% para el punto de fusión del tungsteno. Solución:



Se tiene ³T´, siendo:

, es decir, el tamaño de la muestra es pequeño, utilizamos el estadístico

               



=

  

(1-)

=

95% 0.95 =



Luego

Usando el Estadístico y considerando que los grados de libertad son  , entonces, por medio de las tablas se tiene que

  

Planteando un intervalo para la media

                          



              b) Determine un intervalo de confianza de 98% para el punto de fusión del tungsteno. Solución:



Se tiene ³T´, siendo:

, es decir, el tamaño de la muestra es pequeño, utilizamos el estadístico



Entonces

  

        





=

  



(1-)

=

98% 0.98 =



Usando el Estadístico y considerando que los grados de libertad son  , entonces, por tablas se tiene que



  



Planteando un intervalo para la media

                                         c) Otro investigador obtuvo otras ocho mediciones: 3409.76, 3409.80, 3412.66, 3409.79, 3409.77, 3409.80 y 3409.78. Diga si los intervalos de confianza calculados anteriormente siguen siendo validos. Explique su respuesta. Solución: Teniendo en cuenta lo siguiente:

Luego, 

                         

Para 95%

,

, es decir,

Conclusión:   A partir de los resultados obtenidos producto de las mediciones del segundo investigador, se puede concluir que los intervalos de confianza del primer investigador  no siguen siendo validos, porque a pesar que la media muestral presentan resultados parecidos, la desviación típica del segundo investigador es considerablemente menor, haciendo el intervalo de confianza más confiable.

Ejercicio 03 Cajas de clavos contienen 100 clavos cada una. Se extrae, al azar, una muestra de 10 cajas y se pesa cada una de las cajas. El promedio de peso es 1500 g y la desviación típica es de 5g. Suponga que el peso de la caja es despreciable, por lo que todo el peso es atribuible a los clavos en la caja. Datos

  

         





a) Si   es el peso medio de una caja de clavos, determine un intervalo de confianza de 95% para   .

Solución:



Se tiene ³T´, siendo:

, es decir, el tamaño de la muestra es pequeño, utilizamos el estadístico 

 Así

  

         



=

(1-)

  



=

95% 0.95 =



Usando el Estadístico y considerando que los grados de libertad son  , entonces, por tablas se tiene que

      

  



Planteando un intervalo para la media

                                           b) Si   clavo es el peso medio de un clavo, exprese  en términos de   . Solución: Conociendo que:  clavo es el peso medio de un clavo Una caja contiene 100 clavos El peso aproximado de una caja es de 1500 gr, entonces: y y



y

               





       



c) Determine un intervalo de confianza de 95% para  . Solución: Sabiendo que para un parámetro 

  



     

 Adicionalmente, para  el intervalo es:



Entonces, el intervalo para  se obtiene a partir de:

    



De manera que,

        

Finalmente se tiene:

     

Ejercicio 06 En un estudio de movimientos de tierra ocasionados por movimientos sísmicos, se registraron para cinco de estos la velocidad máxima (en m/s) y la aceleración máxima (en m/s2). Los resultados están en la siguiente tabla, Velocidad Aceleración

1.54 7.64

1.60 8.04

0.95 8.04

1.30 6.37

2.92 5.00

a) Calcule el coeficiente de correlación entre la velocidad máxima y la aceleración máxima.

Solución El coeficiente de correlación muestral es una medida de la linealidad y se define como:

    Donde:

                       











      









Sustituyendo y calculando se tiene:

Velocida d (x)

1,54

1,6

0,95

1,3

2,92

Aceleració n (y)

7,64

8,04

8,04

6,37

5

           







-0,075884

0,01488 4

0,38688 4

-0,063364

0,00384 4

1,04448 4

-0,727664

0,50694 4

1,04448 4

0,234576

0,13104 4

0,41990 4

-2,538644

1,58256 4

4,07232 4

Promedi

o

1,662

7,018

Sumatoria

    

-3,17098

=

2,23928

6,96808

-0,8027

b) Utilice un programa estadístico para producir el diagrama de dispersión de estos datos. Solución: Diagrama de dispersión utilizando el software minitab:

c) Diga si este coeficiente de correlación resume, en forma adecuada, los datos. Explique. Solución: El signo del coeficiente de correlación indica la dirección de la relación lineal, valores positivos indican una relación directa y valores negativos una relación inversa entre las variables involucradas. Cuando el coeficiente de correlación (r) se encuentra comprendido: -1< r Peso1 y Peso2- Peso1

=

5

Sustituyendo en la ecuación de la recta de mínimos cuadrados se tiene:

Millaje1

=

8,56 - 0,155 Peso1

y

Millaje2

=

8,56 ± 0,155Peso2

Por tanto, la diferencia de millaje es: Millaje2 ± Millaje1 Millaje2 - Millaje1

=

0,155*(Peso2-Peso1)

=

Pero Peso2-Peso1

(8,56 - 0,155Peso1) ± (8,56 -0,155Peso2)

=

5, de donde Peso2

Por tanto: Millaje2 ± Millaje1 millas/galón.

d)

Pronostique

=

=

5 + Peso1

0,155 *(5 + Peso1- Peso1)  Millaje2 ± Millaje1

0,775

el millaje para camiones con un peso de 15 toneladas.

Solución: Recordando que la recta de mínimo cuadrados es: Millaje (Peso) Sustituyendo Peso

=

=

=

8,56 - 0,155 Peso

15Toneladas se tiene:

Pronóstico de millaje para 15 toneladas: Millaje (15) Millas/galón.

=

8,46-0,155*(15)

=

6,135

Se tiene que la recta de regresión viene dada por la siguiente ecuación: STC

=

SCR + SCE

Donde: STC

=

SCR

=

SCE

=

      *

-

*

Los estimadores de los mínimos cuadrados vienen dados por las siguientes ecuaciones:



=

 

     



Donde:





                     

















  Al ser la variable independiente x el peso en toneladas, con su respectiva variable dependiente y que representa el Millaje en millas/galón, se tiene que la unidad para es Tonelada*(milla/galón) y para , por tanto, la unidad para

  y para         

ó





=



 



=

ó

e) En que unidades se expresa la pendiente estimada 1 Solución: Determinada en la parte anterior se tiene que las unidades para f)



son

    

ó



En que unidades se expresa la intersección estimada 0

Solución: Determinada en la parte anterior se tiene que las unidades para





  son ó



=