Trabajo - Diagrama de Bode

Universidad de Oriente Núcleo de Monagas Ingeniería de Sistemas Circuitos y Sistemas

Profesora: Edgar Goncalves Sec: 01

Bachilleres: Benjamin Rodriguez C.I. 20916306 Luis Rivero C.I 20647830

Diagrama de Bode.

Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud (en decibeles) “H(w)” de dicha función y otra que corresponde con la fase (en grados) “ϕ(w)”. Recibe su nombre

del científico que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.

H(w) = H(w) e  jϕ(w) Hendrik Wade Bode era un ingeniero estadounidense, investigador, inventor, escritor y científico, de ascendencia holandesa. Dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°. Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica). Aplicación.

Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores. Se suele emplear 

en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo. Son de amplia aplicación en la Ingeniería de Control, pues permiten representar la magnitud y la fase de la función de transferencia de un sistema, sea éste eléctrico, mecánico. Su uso se justifica en la simplicidad con que permiten, atendiendo a la forma del diagrama, sintonizar diferentes controladores mediante el empleo de redes de adelanto o retraso, y los conceptos de margen de fase y margen de ganancia, estrechamente ligados éstos últimos a los llamados diagramas de Nyquist, y porque permiten, en un reducido espacio, representar un amplio espectro de frecuencias. En la teoría de control, ni la fase ni el argumento están acotadas salvo por características propias del sistema.  Así pues, datos importantes a obtener tras la realización del diagrama de Bode para en análisis de la estabilidad de dicho sistema son los siguientes: • Margen de fase: Es el ángulo que le falta a la fase para llegar a los -180º cuando

la ganancia es de 0dB. Si la ganancia es siempre inferior a 0dB, el margen de fase es infinito. • Margen de ganancia: Es el valor por el que habría que multiplicar (en decimal), o

sumar (en dB) a la ganancia para llegar a 0dB cuando la fase es de -180º. El sistema representado será estable si el margen de ganancia y el margen de fase son positivos.  A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al hecho de que la escala correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica. Las escalas logarítmicas se emplean cuando se quieren representar datos que varían entre sí varios órdenes de magnitud (como en el ejemplo de la figura 1, en el que la frecuencia varía entre 1 rad/s y 106 rad/s). Si hubiésemos empleado una escala lineal, sólo apreciaríamos bien los datos correspondientes a las frecuencias

mayores mientras que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de 104 rad/s se representarían en la centésima parte del eje de abscisas. Esto se muestra, como ejemplo, en la Figura 2.

Para evitar este problema se usan las escalas logarítmicas, que permiten representar en un mismo eje datos de diferentes órdenes de magnitud, separándolos en décadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el eje la posición del dato que queremos representar se marca la de su logaritmo decimal. Esto se hace aprovechando la siguiente propiedad de los logaritmos:

Log(N ×10D )= Log(N)+ D

De este modo, el orden de magnitud (D) establece un desplazamiento, separando una década (D = i) de la siguiente (D = i + 1) y los puntos correspondientes a un mismo orden de magnitud (década) tienen el mismo espacio para ser  representados que los pertenecientes a una década superior. Como ejemplo, en la figura 3 se indica dónde se ubicarían en un eje logarítmico los puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.

Obsérvese que otra particularidad del diagrama de Bode en módulo es que se representa en dB. Es decir, en lugar de representar H(w) se representa 20 log H(w) . Ésta es otra forma de poder visualizar también funciones de transferencia que pueden variar en varios órdenes de magnitud. Elaboración del diagrama de Bode (módulo) con Excel

 A continuación indicaremos los pasos que hay que seguir para realizar un diagrama de Bode en módulo empleando el programa Excel (o cualquier hoja de cálculo similar). 1. Introducir los datos medidos en el laboratorio.

2. Calcular en una nueva columna H(w) en dB.

3.  Abrir el asistente de gráficos y seleccionar en “Tipo de Gráfico” la opción XY (Dispersión), puesto que otros tipos de gráficos no permiten escalas logarítmicas. Además, como “Subtipo de Gráfico” seleccionar uno en el que

aparezca un símbolo para los puntos, como el elegido en la figura inferior.

4. Presionar Aceptar.

5. Hacer doble clic sobre el eje X para cambiar de escala lineal a escala logarítmica. Aparecerá una ventana como la mostrada en la figura inferior, en la que se selecciona la casilla correspondiente a “Escala logarítmica”.

Eje X

6. Luego la gráfica quedara en escala logarítmica.

Procedimiento para construir un diagrama de Bode aproximado. • Escriba H(jw) como producto de factores canónicos .

Factores canónicos:     

K Ganancia Bode a frecuencia cero. (1+jw/wo)q Factor simple (jw)q Factor cero [1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2]q Factor cuadrático e- jwτ τ>0 Factor retardo

Donde q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1 • Seleccionar rango de frecuencia de los gráficos . • Dibujar los diagramas .



Diagrama de Magnitud

• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la pendiente de

ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Hacer una Tabla.

• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el diagrama de

magnitud. (Pendiente = [20dB / década]). • Desplazar verticalmente el diagrama de magnitud en 20log(|K|). Esta operación

es equivalente a renumerar el eje de ordenadas. 

Diagrama de Fase

• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la pendiente de

ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Hacer una Tabla. • Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el diagrama de fase.

(Pendiente = 45[o / década]). • Desplazar verticalmente el diagrama de fase en 90*q [ °] cuando existe el factor 

(jw)q . Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas. • Si K