Trabajo de Vigas Curvas

I.

INTRODUCCIÓN

Las vigas son uno de los tipos de estructuras más frecuentes. Como ejemplos se tienen los miembros usados para soportar el piso de un edificio, la cubierta de un puente, el ala de un aeroplano entre otros, entendemos por vigas, en general a aquellos elementos en los cuales una de sus

dimensiones es mucho mayor que las otras dos que lo

componen. La viga curva en flexión constituye un importante elemento estructural de ingeniería, debido a su utilización en una amplia variedad de aplicaciones; así por ejemplo estructuras como hélices de helicópteros, ventiladores, turbinas y sub-sistemas de estructuras más complejas pueden ser modelados como vigas curvas De igual manera dichas vigas son usadas de forma corriente en la construcción de puentes. Los ejemplos anteriores permiten afirmar que el estudio de la respuesta dinámica de este componente estructural bajo diversas condiciones, ayudaría a entender el comportamiento de ciertas estructuras reales de mayor complejidad sometidas a condiciones similares.

El presente trabajo tiene por objetivo: 

Recopilar información respecto a vigas curva, en cuanto a esfuerzo de fleccion.

II.

MARCO TEÓRICO

3.1.

ESFUERZOS DE FLEXION EN VIGAS CURVAS No siguen la misma variación lineal como en las vigas rectas, debido a la variación en la longitud del arco. Aun cuando las mismas hipótesis se usan para ambos tipos, esto es, las secciones planas perpendiculares al eje de la viga permanecen planas después de la flexión y los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones. la distribución de esfuerzos es bastante diferente. La figura 1 muestra la variación lineal de los esfuerzos en una viga recta y la distribución hiperbólica en una viga curva. Debe notarse que el esfuerzo de flexión en la viga curva es cero en un punto diferente al centro de gravedad. Notar también, que el eje neutro está localizado entre el eje del centro de gravedad y el centro de curvatura; esto siempre ocurre en las vigas curvas.

Fig. 1

a) LA DISTRIBUCION DE ESFUERZOS debidos a la flexión está dada por:



    

Donde:  : es el esfuerzo de flexión, psi (kg/cm2) : es el momento de flexión con respecto al eje del centro de

gravedad, Ib-pul (kg-cm)  : es la distancia del eje neutro al punto investigado, pul (cm)

(positiva para distancias

hacia el centro de curvatura, negativa

para distancias hacia afuera de él)   Es el área de la sección, pul2 (cm2) : Es la distancia del eje del centro de gravedad al eje neutro, pul

(cm)

b) EL ESFUERZO DE FLEXION EN LA FIBRA INTERNA.- está dado por: 

  

Donde:  : es la distancia del eje neutro a la fibra interna, pul (cm)

(    )  : es el radio de curvatura de la fibra interna, pul (cm).

c) EL ESFUERZO DE FLEXION EN LA FIBRA EXTERNA.- está dado por:



  

Donde:  : es la distancia del eje neutro a la fibra externa, pul (cm)

(    )  : es el radio de curvatura de la fibra externa, pul (cm).

Si la sección es simétrica (como un círculo, un rectángulo, una viga I de alas iguales) el esfuerzo máximo de flexión siempre ocurre en la fibra interna. Si la sección es asimétrica, el esfuerzo máximo de flexión puede presentarse en la fibra interna o en la externa. Si la sección tiene una carga axial, además de la flexión, el esfuerzo axial debe sumarse algebraicamente al esfuerzo de flexión. Debe tenerse mucho cuidado con las operaciones aritméticas. La distancia "e" del eje del centro de gravedad al eje neutro es generalmente pequeña. Una variación numérica en el cálculo de "e" puede producir un gran cambio porcentual en el resultado final. La Tabla I, a continuación, da la localización del eje neutro, la distancia del eje centroidal al eje neutro, y la distancia del eje centroidal desde el centro de curvatura, para varias formas comunes.

TABLA I

d) otro autor menciona los siguiente: 1.- ESFUERZOS EN VIGAS CURVAS EN FLEXIÓN Para determinar la distribución del esfuerzo en un elemento curvo en flexión se que: La sección transversal tiene un eje de simetría en un plano a lo largo de la longitud de la viga. Las secciones transversales planas permanecen planas después de la flexión. El módulo de elasticidad es igual en tracción que en compresión. El eje neutro y el eje centroidal de una viga curva, no coinciden y el esfuerzo no varía en forma lineal como en una viga recta.

Fig.1.1 Variación lineal de los esfuerzos en una viga recta y su distribución hiperbólica en una viga curva

r o = Radio de la fibra externa. r i = Radio de la fibra interna. r n = Radio del eje neutro. r c = Radio del eje centroidal. h = Altura de la sección. co = Distancia del eje neutro a la fibra externa.

ci = Distancia del eje neutro a la fibra interna. e = Distancia del eje neutro al eje centroidal. M = Momento flexionante, un M positivo disminuye la curvatura.

El radio del eje neutro viene dado por:

……………………………………

(Ec. 1) 

Donde:  A = Área de la sección transversal El esfuerzo se determina por:

…………………………………..

(Ec. 2) 

La distribución del esfuerzo es hiperbólica y los esfuerzos críticos ocurren en las superficies interna y externa donde: y = ci y y = corespectivamente,

el

momento

es

positivo

conforme

está

representado en la figura.

………………

(Ec 4.3)

(Ec.4)

…………………

: Esfuerzo de flexión en la fibra interna. : Esfuerzo de flexión en la fibra interna.  A este esfuerzo se debe añadir el esfuerzo de tracción.

2.- EJES Son elementos que sirven para transmitir potencia y en general se llaman árboles a los ejes sin carga torsional, la mayoría de los ejes están sometidos durante su trabajo a cargas combinadas de torsión, flexibilidad y cargas axiales. Los elementos de transmisión: poleas, engranajes, volantes, etc., deben en lo posible estar localizados cerca a los apoyos.

3.- CÁLCULO DE EJES El diseño de ejes consiste básicamente en la determinación del diámetro adecuado del eje para asegurar la rigidez y resistencia satisfactoria cuando el eje transmite potencia en diferentes condiciones de carga y operación. Los ejes normalmente tienen sección transversal circular: macizos  – huecos Para el diseño de ejes, cuando están hechos de aceros dúctiles, se analizan

por

la

teoría

del

esfuerzo

cortante

máximo.

Los materiales frágiles deben diseñarse por la teoría del esfuerzo normal máximo. El código ASME define una tensión de corte de proyectos o permisible que es la más pequeña de los valores siguientes: (Ec.5) 

…………

Ó

(Ec.6) 

…….

Si hay concentración de tensiones debido a un acuerdo o un chavetero, la norma dice que hay que disminuir en un 25% la tensión de corte permisible.

La tensión de corte en un eje sometido a flexión y torsión viene dado por:

…………………………….

(Ec.7)

EL ESFUERZO DE TORSIÓN:

Para ejes macizos

(Ec 4.8) 

……………

Para ejes huecos

(Ec 9) 

……………..

EL ESFUERZO DE FLEXIÓN:

Para ejes macizos

Para ejes huecos

………….

………….

(Ec 10) 

(Ec 11) 

ESFUERZOS AXIALES (COMPRESIÓN TRACCIÓN):  –

Para ejes macizos

(Ec 12) 

…………………..

Para ejes huecos

(Ec 13) 

………………

El código ASME da una ecuación para el cálculo de un eje hueco que combina torsión, flexión y carga axial, aplicando la ecuación del esfuerzo cortante máximo modificada mediante la introducción de factores de choque, fatiga y columna.

………………….

(Ec4.14) 

Para un eje macizo con carga axial pequeña o nula.

(Ec 15) 

…………..………..

Donde: xy = Esfuerzo cortante de torsión, psi.de = Diámetro exterior, pulg. M = Momento flector, lb-pulg. T = Momento torsor, lb-pulg. K

=

di = Diámetro interior, pulg. F = Carga axial, lb.

di/de =

Tensión de corte máxima, psi.

= tensión de flexión Cf

= Factor de choque y fatiga, aplicado al momento flector.

Ct

= Factor de choque y fatiga, aplicado al momento de torsión. f

= Esfuerzo de flexión, psi.

e

= Esfuerzo axial (Tensión – Compresión), psi.

Tabla 2.- Valores de Cm y Ct 

Cm

Ct

Para ejes estacionarios: Carga aplicada gradualmente

1.0

1.0

Carga aplicada repentinamente

1.5 a 2.0

1.5 a 2.00

Eje en rotación: Carga aplicada gradual o corriente

1.5

Carga repentina (choques ligeros)

1.5 a 2.0

Carga repentina (choques fuertes)

2.0 a 3.0

1.0 1.0 a 1.5 1.5 a 3.0

El código ASME indica que para ejes con especificaciones técnicas definidas el esfuerzo permisible

es el 30% del límite elástico, sin

sobrepasar el 18% del esfuerzo último en tracción, para ejes sin chaveteros. Estos valores deben reducirse en 25% si existiesen chaveteros en los ejes. α = Factor de columna, para cargas a tracción vale igual a la unidad para compresión, se aplica:

para L/K < 115

para L/K > 115

(Ec 16) 

…………………

(Ec

…………………..

17) 

n = 1 para extremos articulados n = 2.25 para extremos fijos n = 1.6 para extremos restringidos parcialmente, como el caso de los cojinetes k = Radio de giro

, pulg.

I = Momento de inercia, pulg4  A = Área de la sección transversal, pulg2 Sy = Esfuerzo a la fluencia, psi.

4.- CÁLCULO DE EJES POR RIGIDEZ El valor permisible de giro varía desde 0.026° por centímetro para máquinas de precisión hasta 0.33° por centímetro para ejes de transmisión.

Para eje macizo

……..

Para eje hueco

(Ec 18) 

(Ec. 19) 

………..

DISEÑO DE EJE POR RIGIDEZ LATERAL:

Resolución gráfica

…………………….

(Ec. 20) 

MOMENTO TORSOR:

……………………..

(Ec.21) 

……………………………..

(Ec.22) 

(Ec.23) 

………………………..……

…………………………………

Vm = pies / min

Vm =m/min

: Fuerza tangencial en el radio primitivo, lb.

(Ec.24) 

e) PROBLEMAS RESUELTOS: Ejem p lo N° 01 

La figura 2 muestra una sección de una prensa en C. ¿Qué fuerza F puede ejercer el tornillo si el esfuerzo

máximo

de

tracción en la prensa se limita a 20.000 psi?

Solución: 1) El esfuerzo máximo de tracción ocurre en el punto P en la sección A-A, en la cual la flexión es máxima, existe una curvatura, y actúa un esfuerzo directo de tracción. 2) La distancia del centro de curvatura al eje del C. G. es, de la tabla I                     

                                   

 

3) También de la tabla I

4)

5)

6)

7)

8) Notar que el esfuerzo en la fibra externa puede ser mayor en este caso que el esfuerzo en la fibra interna, pero este esfuerzo es de compresión.

Ejem p lo N° 02 :

Grafique la distribución de los esfuerzos que actúan en

toda la sección A-A del gancho de grúa de la fig. La sección transversal es rectangular con b=0.75” y h=4” la carga a levantar es de 5000 lb.

Solución:  Área = A = bh = 0.75 x 4 = 3” pulg2 dA = b.dr  Se sabe que:

Reemplazando valores:

Por tanto la excentricidad:

El momento M (positivo)

El esfuerzo será:

Sustituyendo los valores de r de 2 a 6 se puede elaborar la siguiente tabla: Tabla 4.1.- Distribu ción d el esfuerzo para 2 < r >6 

III.

CONCLUSIONES El análisis de esfuerzos debidos a flexión ha estado restringido a elementos rectos. En esta sección se considerara los esfuerzos causados por la aplicación de pares iguales y opuestos a elementos inicialmente curvos, de sección uniforme con un plano de simetría en el cual actúan los pares flectores y los esfuerzos permanecen por debajo del límite de proporcionalidad.

IV.

BIBLIOGRAFÍA

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http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r80419.PDF

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http://es.scribd.com/doc/48099781/Vigas-curvas

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http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/sujetadoresroscados.html

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http://es.scribd.com/doc/94926006/VIGAS-CURVAS-exposicion

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http://www.slideshare.net/pfregalado/115840320disenodemaquinasteoriay320problemasresueltosashall

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http://es.scribd.com/doc/115840320/diseno-de-maquinas-teoria-y-320problemas-resueltos-a-s-hall