Trabajo de Metodos Numericos

NOMBRES: Julio Siguencia, Mauricio Tipan, Juan Diego Placencia

CARRERA: Ingeniería Electrónica

DOCENTE: Ing. Diego Chacon

FECHA: 01/04/2013

CICLO: 4º

Realizar los ejercicios de la unida 5 desde el 5.1 hasta el 5.15 los pares. 5.2 Determine las raíces reales de ( )

–

–

a) Gráficamente b) Utilizando el método de bisección para localizar la raíz más pequeña. Use los valores iniciales xl = 0 y xu = 1 iterando hasta que el error estimado se encuentre debajo de = 10%. Graficamos y determinamos el cruce con x que es la raíz solución de la función para este caso solo raíces reales:

Posición x= 0.417725 y=0 Para el literal b utilizamos el método de la bisección: Condiciones iniciales xl = 0 y xu = 1

Entonces realizamos la primera iteración utilizando la siguiente formula: ^

Para calcular el error aproximado utilizamos la siguiente formula:

| |

|

|

Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que subintervalo está la raíz: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo. Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho. Si ( )

(

)

entonces termina el cálculo.

f(0)*f(0.5)= -2*0.375= - 0.75

Segunda iteración:

|

|

f(0)*f(0.25)= -2*-0.73= +1.5

Tercera iteración:

|

|

f(0.25)*f(0.375)= -0.73*-0.18= +0.1314

Cuarta iteración:

|

f(0.375)*f(

|

)= -0.18*+0.086= -0.015

Quinta iteración:

|

|

La respuesta es x = 0.406 ya que

Tabla comparativa.

Iteración

Xi

Xu

Xr

Ea(%)

1

0

1

0.5

100

2

0

0.5

0.25

100

3

0.25

0.5

0.375 33.3333333

4

0.375

0.5

0.4375 14.2857143

5

0.375

0.4375

0.40625 7.69230769

5.4 Calcule las raíces reales de ( ) : a) Gráficamente. b) Empleando el método de la falsa posición con un valor de Es correspondiente a tres cifras significativas para determinar la raíz más pequeña.

f(xl)=(-1, 29.75) f(xu)=(0, -12) Usando el método de la falsa posición que trata de unir f(xl) y f(xu) con una línea recta. ( (

) )

( ) ( ) ( ) (

) ( )( ( )

(

) )

Primera Iteración ( (

) )

Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que subintervalo está la raíz: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo. Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho. ( )

(

)

(

)(

)

Por lo tanto: ( ) ( izquierdo.

)

entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo

Segunda iteración ( ) ( ) (

) (

(

| ( )

(

)

(

)

) | )(

)

Por lo tanto: ( ) ( izquierdo.

)

entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo

Tercera Iteración

( ) ( ) (

) (

|

(

) |

)

Cuarta Iteración

( ) ( ) (

) (

|

(

)

) |

Quinta Iteración

( ) ( ) (

) (

|

(

)

) |

Sexta Iteración

( ) ( ) (

) (

)

(

|

) |

Séptima Iteración

( ) ( )

0.0108 (

) (

|

(

)

) |

Por lo tanto:

Iteración 1 2 3 4 5 6 7

Xl -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Xu 0 -0.2873 -0.3794 -0.4052 -0.4121 -0.4139 -0.4144

Xr -0.2873 -0.3794 -0.4052 -0.4121 -0.4139 -0.4144 -0.4146

Ea(%) 24.27% 6.36% 1.67% 0.43% 0.12% 0.04%

5.6 Determine la raíz real de ln

= 0.7:

a) Gráficamente

X ≈ 1,4

b) Empleando tres iteraciones en el método de bisección con los valores iniciales xl = 0.5 y xu = 2.

(

)

( ) si >0 sustituye a

 Iteración 1 Y ( (

) )

( )

( ) >0 reemplazo por

en iteración 2

 Iteración 2 Y ( (

) )

( )

( ) 0 reemplazo por

en iteración 2

 Iteración 2 (

)

(

)

Y

( )

( )

0 reemplazo por |

en iteración 3

 Iteración 3 Y

( ) (

)

( )

>0 reemplazo por

|

en iteración 4

|

 Iteración 4 Y

( ) (

)

( )

|

>0 reemplazo por

en iteración 5

>0 reemplazo por

en iteración 6

|

 Iteración 5 Y

( ) (

) |

( ) |

En la iteración número 6 se logró el máximo ya que se llegó a un porcentaje menor a 5%. (%)

5.14 Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura P5.14. Emplee el método de bisección para resolver la posición dentro de la viga donde no hay momento.

Encontrando las reacciones en los apoyos: ∑ M1 = 100 (3) +100 (6) -R2 (100) + 100 (12) = 0 R2 = 285 LBS ∑ M2 = -100 (8) -000 (5.5 ) +R1 (10) + 100 (2) = 0 R1 = 265 LBS R1=100 lbs. R2= 100 lbs. La ecuación de momento es: 0 < x < 3 La ordenada en el punto x sera igual a (100/3)x , por consiguiente:

La carga en el intervalo x sera igual a (100/3)x * x /2 ubicada a 2/3 de x por lo tanto si tomamos momento en el extremo de x, tenemos que:

∑ Mx = M + (100/6)x^2 (x/3) - 265 x = 0 ∑ Mx = M + (100/18)x^3 - 265 x = 0 3 < x < 6 La ordenada en el punto x sera igual a 100 lb , por consiguiente: La carga en el intervalo x sera igual a 100(x-3) ubicada a (x-3)/2 por lo tanto si tomamos momento en el extremo de x, tenemos que: ∑ Mx = M + 100 (x-3) (x-3) (1/2) + 150 (x-2) - 265 x= 0 ∑ Mx = M + 50 (x^2-6 x + 9 + 150 x -300 - 265 x = 0 ∑ Mx = M + 50 x^2 -300 x +450 + 150 x -300 - 265 x = 0 ∑ Mx = M + 50 x^2 - 415 x + 100 = 0

6.2 Determine la raíz real más grande de f(x) = a) En forma gráfica.

La raíz real más grande es x ≈ 3.5 b) Con el método de iteración simple de punto fijo (tres iteraciones, x0 = 3). Nota: asegúrese de haber desarrollado una solución que converja a la raíz.

c) Con el método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x0 = 3, d = 0.001). ( ) ( ) ( ) ( )  Iteración 1 ( ) ( )

 Iteración 2 ( ) ( )  Iteración 3 ( ) ( )

d) Con el método de la secante (tres iteraciones x–1 = 3, x0 = 4). ( ) ( )( ( )  Iteración 1 ( (

) )

 Iteración 2 (

)

( )

 Iteración 3 ( ( )

)

) ( )

e) Con el método de la secante modificado (tres iteraciones, x0 = 3, d = 0.01). Calcule el porcentaje aproximado de errores relativos para sus soluciones. ( ) ( ) ) ( )

(  Iteración 1 (

) (

)

 Iteración 2 (

)

(

)

 Iteración 3 ( ) (

)

( ) % % 6.4 Localice la primera raíz positiva de f(x) = sen x + cos(1 + x2) – 1 donde x está en radianes. Para localizar la raíz, use cuatro iteraciones del método de la secante con valores iniciales de a) xi–1 = 1.0 y xi = 3.0; b) xi – 1 = 1.5 y xi = 2.5, c) xi–1 = 1.5 y xi = 2.25.

Primera iteración Xi-1=3 Xi=1

f(x-1)=-1.6979 f(Xi)=-0.5746

Xi+1=

(

)

-0.023

Segunda iteración Xi-1=3 Xi=-0.023

f(x-1)= -1.6979 f(Xi)=-0.4822

Xi+1=

(

)

-1.2218

Tercera iteración Xi-1=-0.023

f(x-1)=-0.4822

Xi=-1.2218

f(Xi)=-0.964 (

Xi+1=

Iteración 1 2 3

)

Xi-1 1 3 -0.023

Xi 3 -0.023 -1.2218

Primera iteración Xi-1=1.5

f(x-1)=-0.9966

Xi=2.5

f(Xi)=0.1993

Xi+1=

(

)

2.3565

Segunda iteración Xi-1=2.5 Xi=2.3565

f(x-1)= 0.1663 f(Xi)=-0.6706 (

Xi+1=

)

Tercera iteración Xi-1=2.54

f(x-1)=-0.0845

Xi=2.3565

f(Xi)=0.1663

Xi+1=

(

)

Xi+1 -0.023 -1.2218 1.176

Iteración 1 2 3

Xi-1 1.5 2.5 2.3565

Xi 2.5 2.3565 2.54

Xi+1 2.3565 2.54 2.611

Primera iteración Xi-1=1.5

f(x-1)=-0.9966

Xi=2.25

f(Xi)=0.7538 (

Xi+1=

)

Segunda iteración Xi-1=2.25 Xi=1.927

f(x-1)= 0.7538 f(Xi)=-0.618 (

Xi+1=1.927

)

Tercera iteración Xi-1=1.927

f(x-1)=-0.0618

Xi=1.9514

f(Xi)=0.0238

Xi+1=

Iteración 1 2 3

(

Xi-1 1.5 2.25 1.927

)

Xi 2.25 1.927 1.9574

Xi+1 1.927 1.9574 1.9449

6.6 Determine la raíz real más pequeña de f( )

–

–

a) En forma gráfica. b) Con el empleo del método de la secante para un valor de corresponda a tres cifras significativas. Graficamos y determinamos la raíz real más pequeña:

Posición x= 2.050633 y=0

–

que

Método de la secante

Valores iniciales

La raíz es 2.05 Primera iteración (

)

( )

(

|

)

=2.01

|

Segunda iteración: (

)

( )

(

)

=2.05

|

|

La solución es 2.05 6.8 Determine la raíz real de , con el método de la secante modificado dentro de Ea = 0.1%, con el uso de una elección inicial de Xo= 3.5 y d = 0.01. ( )

 Función

Formula del método de la secante modificada ( ) ) ( )

(

 Iteración 1 (

) (

)

 Iteración 2 ( (

) )

( ) %

6.10 Determine la menor raíz positiva de ( )

( )

a) En forma gráfica. b) Con el uso del método de Newton-Raphson(tres iteraciones, xi=0.3). c) Con el método de la secante (tres iteraciones, xi-1=0.5 y xi=0.3).

La menor raíz positiva es: 0.14501

( )

( )

Primera Iteración

( )

( ) ( )

( ) ( )

Segunda Iteración

( ) ( )

Tercera Iteración

( ) ( )

Iteracion 1 2 3

X1 0.3 0.4643 0.6566

f(x1) -0.9689 -0.9592 -0.9524

f´(x1) 5.8954 4.9876 4.1010

Xi+1 0.4643 0.6566 0.8888

c) Con el método de la secante (tres iteraciones, xi-1=0.5 y xi=0.3).

Primera Iteración

(

)

( )= ( )( ( )

) ( )

(

Segunda Iteración

(

) 17.4415

( )

)

( )( ( )

) ( )

(

)

6.18 Desarrolle un programa amigable para el usuario para el Método de la secante, con base en la figura 6.4 y la sección 6.3.2. Pruébelo con la repetición de los cálculos del ejemplo 6.6. Option explicit Sub Secmod() Dim imax As Integer, iter As Integer Dim x As Single, es As Single, ea As Single x=1 es=0.01 imax=20 Msgbox “raiz: ” & ModSecant(x, es, imax`, iter, ea ) MsgBox “iteraciones: ” & iter MsgBox “error estimado: ” & ea End Sub Function f(x) f=Exp(-x)-x End Function Function ModSecant(x, es, imax, iter, ea ) Dim xr As Single, xrold As Single, fr As Single Const del As Single=0.01

xr=x iter=0 Do xrold=xr fr = f(xr) xr=xr – fr * del * xr / (f(xr+del*xr)-fr) iter= iter + 1 If(xr 0) Then ea= Abs((xr-xrold)/xr)*100 End If If ea < es Or iter >= imax Then Exit Do Loop ModSecant = xr End Function