Trabajo de Matrices

Programación Lineal 2012 Índice

      

Definición de matrices Tipos de matrices Transpuesta de una matriz Suma y resta de matrices Ponderación de una matriz por un escalar Producto de matrices Propiedades de las operaciones con matrices



Determinantes

 Definición  Cálculo de determinantes de matrices de orden 2 y 3  Propiedades de los determinantes 

Inversa de una matriz

 Definición de la inversa de una matriz  Matriz adjunta

Página 1

Programación Lineal 2012 

Definición de Matrices

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales de la matriz. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m x n; y a m y n se les denomina dimensiones de la matriz. Las dimensiones de la matriz siempre se dan con el número de fila primero y el número de columnas. Por lo general se trabaja con matrices formadas por números reales. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Una matriz es una colección ordenada de elementos colocados en filas y columnas, o sea es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas yn columnas se le denomina matriz m por n ( ) donde m y n son números naturales mayores que cero. El conjunto de las matrices de tamaño se representa como , donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas. Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño . A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, cuadradas. y el conjunto se denota

o alternativamente

, se les llaman matrices .

Dimensión de una Matriz La dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y columnas que tenga, así una matriz de dimensión 2x3 es una matriz con dos filas y tres columnas. Reiterando, la dimensión de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. O sea que si se anota letra

significa que se nombra

significa que sus elementos son números reales.

Ejemplos de Matrices Dada la matriz

es una matriz de tamaño

. La entrada

es 4.

La matriz

es una matriz de tamaño

: un vector fila con 9 entradas.

Finalmente una matriz genérica se representa:

Página 2

a una matriz que tiene 7 filas y 5 columnas. La

Programación Lineal 2012

Y una matriz columna genérica



Tipos de matrices



Matriz fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.



Matriz columna: La matriz columna tiene una sola columna



Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n Puede ser de dos formas; vertical u horizontal, dependiendo de si es mayor la cantidad de columnas o filas.



Matriz Vertical: Es aquella que tiene más filas que columnas.



Matriz horizontal: Es aquella que tiene más columnas que filas.



Matriz cuadrada. La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a i i constituyen la diagonal principal. Ejemplos de matriz cuadrada: Puede ser una matriz con valores

O también una matriz con subíndices (Genérica)

Página 3

Programación Lineal 2012

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos

.

Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos

y

, como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices

suman (n+1), por ejemplo



, donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

Matriz nula. En una matriz nula todos los elementos son ceros. Algunos ejemplos de matrices nulas son:

Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn asume la forma:

Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular.



Matriz triangular superior. En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.



Matriz triangular inferior . En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Página 4

Programación Lineal 2012 

Matriz diagonal. Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos aii. Matriz diagonal, matriz cuadrada donde sus elementos si . La matriz identidad es una matriz diagonal. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no. Otra forma de decirlo es que es diagonal si todos sus elementos son nulos salvo algunos de la diagonal principal. Ejemplos de matrices Diagonales:

Puede ser una matriz con valores

O también una matriz con subíndices (Genérica)

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables



Matriz escalar. Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.



Matriz identidad. Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada

Página 5

Programación Lineal 2012 

Matriz traspuesta. Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(A t ) t = A (A + B) t = A t + B t (α ·A) t = α· A t (A · B) t = B t · A t 

Matriz normal. Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

Donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)



Matriz singular. También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.



Matriz idempotente. Una matriz, A, es idempotente si: A 2 = A.



Matriz involutiva. Una matriz, A, es involutiva si: A 2 = I.



Matriz simétrica. Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = A t .



Matriz antisimétrica o hemisimétrica . Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -A t . ósea es una matriz cuadrada, y es igual a la opuesta de su traspuesta.



Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz por sus conjugadas. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.

Ejemplo de matrices conjugadas



Matriz ortogonal. Una matriz es ortogonal si verifica que: A·A t = I. osea es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.



Matriz invertible: También llamada matriz, no singular, no degenerada, regular.

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que AA−1 = A−1A = In,

Página 6

Programación Lineal 2012 donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada. 

Matriz permutación: es la matriz cuadrada con toda su n × n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.



Matrices iguales: Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,...,n j=1,2,...,m.



Matriz Hermitiana (o Hermítica): es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y jésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:



Matriz definida positiva: es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.



Matriz unitaria: es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición:

donde es la matriz identidad y es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada. Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal. 

Submatriz: a partir de una Matriz M, se llama submatriz M' a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p < m ; q < n.



Transpuesta de una matriz

La trasposición de una matriz A es una operación que consiste en colocar las filas de A en forma de columna, respetando su orden. Se obtiene de esta manera otra matriz que se llamará la traspuesta de A y se representará por At. Sea

una matriz con

En donde el elemento

filas y

columnas. La matriz transpuesta, denotada con

de la matriz original

se convertirá en el elemento

Ejemplos:

Página 7

está dada por

de la matriz transpuesta

.

Programación Lineal 2012 Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

Propiedades Para toda matriz Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo

Si el producto de las matrices

Si

y

y sea

:

está definido,

es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces es semidefinida positiva.



Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 2 y otra de 3 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Página 8

Programación Lineal 2012



Propiedades de la Adición: 1) 2) 3) 4) 5)



Clausura: si una matriz de mxn se suma con otra matriz de mxn, resultará una matriz de mxn. Asociatividad: A + (B + C) = (A + B) + C. Elemento neutro: 0 + A = A + 0 = A. Elemento inverso de A: es -A ya que A + (-A) = - A + A = 0 Conmutatividad Aditiva: A + B = B + A.

Ponderación de una matriz por un escalar

Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar. Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz. p  IK ,

Sea

, entonces

Ejemplo:

a11 a12   p  a11 p    a21 a22   p  a21

Ejemplo:

5

 1. 2. 3. 4. 5.

aij  IKnxm

p  aij = bij

,  aij  A ,  bij  B

p  a12  p  a22 

6  3 30  15 2 10   10 50     

Propiedades de la Ponderación.

sean a y b escalares, A y B matrices de mxn.

a(A + B)= aA + aB (a + b)A= aA + bA (ab)A= a(bA) I A=A Aa = aA



Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. Es decir, si tenemos una matriz 2 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 5, la matriz resultante será de orden 2 5. (2 3) (3 5) = (2 5) Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación. 3 5 por 2 3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m p yB una matriz p n. Entonces el producto AB es la matriz m n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Esto es,

Página 9

Programación Lineal 2012 Ejemplo: 1.

2.

Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

Ejemplo:

Entonces:



Propiedades de la multiplicación: sean A , B y C matrices.

1. 2. 3. 4.

Asociatividad: (AB)C = A(BC) Neutro Multiplicativo: IA = A NO siempre es conmutativa: AB ≠ BA Distributividad: A(B + C) = AB + AC (A + B) C = AC + BC



Determinantes



Definición

En matemáticas se define el determinante como una forma no-lineal alterna de un cuerpo En. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones. A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

Una tabla ordenada n es una matriz.

n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no

Página 10

Programación Lineal 2012 La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas. Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema. Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz. La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones). En cualquiera de los sumandos, el término

denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:

La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.



Cálculo de determinantes de matrices de orden 2 y 3

Sea A una matriz cuadrada de orden 2,

Se llama determinante de A al número real:

Es decir, el determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Página 11

Programación Lineal 2012

Dada una matriz cuadrada A de orden 3,

se llama determinante de A al número real:

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3

3 A = (ai j ) puede reescribirse como:

det (A) = a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31) =

Página 12

Programación Lineal 2012

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:

Nótese que cada matriz 2 su coeficiente.

2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

La regla de Sarrus permite recordar fácilmente el desarrollo del determinante de una matriz de orden 3. Es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus. Considérese la matriz 3×3:

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera: En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:

Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:

Página 13

Programación Lineal 2012

Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y no se puede aplicar para matrices mayores a 3×3. Los productos con signo " + ", están formados por los elementos de la diagonal principal, y los de las dos diagonales paralelas (por encima y por debajo), con su correspondiente vértice opuesto

Propiedades de los determinantes



Las propiedades básicas del determinante son las siguientes: 1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

2. Sea A una matriz cuadrada, Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente = 0. Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces

es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas, Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|. Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces | B| = |A|. Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k|A|. 4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios: A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1. AX = 0 tiene solamente la solución trivial. A no es nulo: |A| 0. 5. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|.

producto de

6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B| 

Determinantes de orden arbitrario

Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n se procede de la siguiente manera:

n (siendo n un número par). Para calcular el det (A)

Página 14

Programación Lineal 2012

Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir:

Ejemplo:

Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

+ 

= -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140. Ejercicios con determinantes

Soluciones:

Página 15

Programación Lineal 2012

= 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.

= 1·(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2·(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2·(-56) = = 74+112 = 186. Inversa de una matriz



Definición de la inversa de una matriz



Definición

La matriz inversa de una matriz cuadrada que verifica:

de orden

donde

.



es la matriz identidad de orden

es la matriz cuadrada

Existencia de la matriz inversa

Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.

Página 16

tambien de orden

Programación Lineal 2012 Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n. Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero. 

Propiedades

Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes: 1. Si existe,

es única.

2. 3. 4. El determinante de una matriz regular



es el inverso del determinante de su matriz inversa:

Cálculo de la matriz inversa

La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras: Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo

hacemos

como

Operando:

Página 17

Programación Lineal 2012 Por el método de Gauss La inversa de una matriz regular

se puede calcular transformando la matriz

mediante

operaciones elementales con las filas de la matriz Operaciones elementales con las filas de una matriz Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes: 1. Intercambiar las filas

y

. Esta operación la representaremos así

2. Multiplicar la fila por el número representamos de la siguiente forma:

3. Sumar las filas y suma. Lo representamos así:

y sustituir

por

, multiplicadas por sendos números,

Nótese que el segundo tipo de operación, se tiene cuando .

y

. Esta operación la

, y sustituir

por el resultado de esta

, es un caso particular de esta última propiedad que

Mediante la matriz adjunta La matriz inversa de una matriz regular

donde 

se puede calcular mediante la expresión:

es la matriz adjunta de

.

Matriz adjunta

Definición de matriz adjunta La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada llama matriz adjunta de

y se denota por

la matriz adjunta de

, el adjunto del elemento de

es

se

. El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de

Ejemplo Los menores complementarios de los elementos de la matriz

Página 18

en su fila i-esima y columna j-esima

.

Programación Lineal 2012 son

Los adjuntos de los elementos de

La matriz adjunta de

El determinante de

son:

es

lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:

Por lo tanto, la matriz inversa de

es

Página 19