Trabajo de Matematica Basica i Ciclo 01q
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Descripción: Matematica Basica i Ciclo 01q...
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Escuela Profesional de Ingeniería Química
ASIGNATURA:
MATEMÁTICA BÁSICA
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS TEMA:
Línea recta – Circunferencia – Parábola
PRESENTADO PRESENT ADO POR:
LEONARDO ALMEYDA TEJADA
DIANA SUPO OSORIO
ADRIAN A. RAMIREZ VERA
VALERIA SALDAÑA QUIROZ
RENATO BRIGGES LOAYZA
THALIA TAQUIA PORRAS
BELLAVISTA 23 23 DE ABRIL ABRIL DEL 2015
LA LÍNEA RECTA 8.
Determinar Determinar el valor valor del del parámetro parámetro k correspondiente a la recta de la familia 5x-12y+k =0, cuya distancia del origen es igual a 5. Teniendo el parámetro, hállese la ecuación de la recta. Solución: Sea la familia de rectas L: 5x – 12y + k = 0
|√ + +| = 5 → || = = 65 → k = 65 v k = -65
Si d (0, L) = 5 →
Luego, en L se tiene dos soluciones: soluciones:
L
5x – 5x – 12y + 65 = 0
v
5x – 5x – 12y 12y – 65 = 0 – 65
: 5x – 5x – 12y 12y + 65 = 0
L
: 5x – 5x – 12y 12y - 65 = 0
9.
La ecuación de de una familia de rectas rectas es 2x+3y+k=0. 2x+3y+k=0. El producto de los segmentos de una recta de la l a familia determina sobre los ejes coordenados es 24. Hállese la ecuación de la recta.
Solución: Sea la familia de rectas L: 2x + 3y + k = 0., cuya intersección con los ejes coordenados coordenados es a = -k/2 y b = -k/3. L
: 2x + 3y + 12 = 0
Si a ∙ b = 24 → (-k/2)(-k/3) = 24 → k=12 v k= -12 Luego, en L se tiene dos soluciones: soluciones: 2x + 3y + 12 = 0
L
: 2x + 3y – 3y – 12 12 = 0
v
2x + 3y – 3y – 12 12 = 0
LA LÍNEA RECTA 8.
Determinar Determinar el valor valor del del parámetro parámetro k correspondiente a la recta de la familia 5x-12y+k =0, cuya distancia del origen es igual a 5. Teniendo el parámetro, hállese la ecuación de la recta. Solución: Sea la familia de rectas L: 5x – 12y + k = 0
|√ + +| = 5 → || = = 65 → k = 65 v k = -65
Si d (0, L) = 5 →
Luego, en L se tiene dos soluciones: soluciones:
L
5x – 5x – 12y + 65 = 0
v
5x – 5x – 12y 12y – 65 = 0 – 65
: 5x – 5x – 12y 12y + 65 = 0
L
: 5x – 5x – 12y 12y - 65 = 0
9.
La ecuación de de una familia de rectas rectas es 2x+3y+k=0. 2x+3y+k=0. El producto de los segmentos de una recta de la l a familia determina sobre los ejes coordenados es 24. Hállese la ecuación de la recta.
Solución: Sea la familia de rectas L: 2x + 3y + k = 0., cuya intersección con los ejes coordenados coordenados es a = -k/2 y b = -k/3. L
: 2x + 3y + 12 = 0
Si a ∙ b = 24 → (-k/2)(-k/3) = 24 → k=12 v k= -12 Luego, en L se tiene dos soluciones: soluciones: 2x + 3y + 12 = 0
L
: 2x + 3y – 3y – 12 12 = 0
v
2x + 3y – 3y – 12 12 = 0
10. Usando
el método del parámetro, hallar la ecuación de la recta que pasa por A(2,-3) A(2,-3) y es paralela a la recta L1: 5x - y + 11 = 0. Solución: La ecuación que representa al haz de rectas paralelas a L 1 es:
Si A(2,-3)
∈
5x - y + k = 0… (1)
L → 5(2) – (-3) + k = 0 ↔ k = -13
Sustituyendo en (1) se tiene la l a recta buscada:
L:
L:
5x – 5x – y y – 13 = 0 – 13
5x – 5x – y y + 11 = 0
A (2,-3) L:
5x – 5x – y y – 13 = 0 – 13
11. Por
el método del parámetro hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-1) y es perpendicular a la recta L1: 7x – 9y + 8 = 0 Solución: L a ecuación ecuación de la familia de rectas perpendiculares perpendiculares a L 1 es:
Si A(2,-1)
∈
L: 9x + 7 y + k = 0… (1)
L → 9(2) + 7(-1) + k = 0 ↔ k = -11
Sustituyendo en (1) se tiene la recta pedida: L: 9x + 7 y - 11 = 0
L1:
7x – 7x – 9 9 y + 8 = 0
A (2,-1)
L:
9x + 7y – 7y – 11 11 = 0
12.-
La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordinados es igual a 3. Por el método del parámetro hallar la ecuación de la recta sabiendo que contiene al punto (2,10). (Dos soluciones). Solución: Por la forma simétrica o segmentaria de la recta:
: − =1
… (1)
Si el punto A pertenece a L:
A (2,10) →
: − =1 −+ − =1 6210=3 56=0 32 =0 =3 ⋁ =2
: − + =1 − =1 −− =1 :6318=0 :26=0 : − + =1 − =1 −− =1 :5210=0 →
→
→
→
→
a+3=3 b=3-a
Al sustituir resultan 2 rectas:
→
Por dato del problema:
→
13.-
La diferencia de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es 1. Por el método del parámetro hallar la ecuación de la recta si se debe pasar por el punto (6,-4). (Dos soluciones). Solución: Por la forma simétrica o segmentaria de la recta:
: + =1
… (1)
Si el punto A pertenece a L: A (6,-4) →
: +− =1 +− + =1 664= 6=0 − 32=0 =3 ⋁ =2
Al sustituir resultan 2 rectas:
: + =1 =1 + =1 :4312=0 : − − =1 − − =1 −− =1 :0=22 →
→
→
→
→
→
14.-
El producto de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a -6. Por el método del parámetro hallar la ecuación de la recta si su pendiente es igual a 3. Solución: Por la forma simétrica o segmentaria de la recta:
: =1 − : =1 :66=0 = − 3= −− =2 = √ 2 ∨ =√ 2 … (1)
Resolviendo:
Si la m=3 →
→
Por dato del problema: b.a=1 b=-6/a
Al sustituir resultan 2 rectas:
: √ √ =1 −√ =1 :626√ 2 =0 :3 3√ 2 =0 : −√ √ =1 − −√ =1 →
→
→
→
→
:626√ 2 =0 :3 3√ 2 =0 →
15.-
Una recta pasa por el punto A (-6,7) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 10 ½. Hallar su ecuación. Solución: Por la forma simétrica o segmentaria de la recta:
+ : =1 → =1
: 2121=0 :7216 21=0 :7 12621=0 318=0 − Si el punto A pertenece a L:
A (-6,7) →
Por dato del problema:
63 =0 =6 ⋁ =3
b=
: =1 + =1 :2136126=0 :71242=0 : − =1 − =1 +− =1 :7321=0 →
→
→
→
.=
a.b=21
Sustituyendo en L, tenemos dos ecuaciones:
→
Área=
→
16. Una recta pasa por los puntos A (2,4/3) y forma con los ejes de coordenados un triángulo de perímetro igual a 12. Halle su ecuación. Solución: Sea la ecuación Si A (2,4/3) ∈ L De donde: Pero:
L:
1
4 6 3
12
1
……………............ (1)
12 …… …. (2)
Evaluando el cuadro tenemos:
2 144 24 Por Pitágoras:
2 144 24
Sustituyendo en (1):
126
(3)
4 6 366 → 2 3 186
2 186 → 21 2 186 → 421 4 … … … … … … … … … … … … … … . . 4
Sustituyendo (4) en (2):
12 8416 35 24 ………..5
Reemplazando (4) y (5) en (3): en donde:
122145 24 126
10 101 225 0 → 5 ó
;
3 ó
4 ó Finalmente en L obtenemos:
: ó :
;
17. La distancia de una recta al origen es 3. La recta pasa por el punto A √ ,. Hallar su ecu ación. Solución:
La ecuación de la recta que pasa por A y de pendiente m es:
3 3√ 5 → : 3√ 5 3 0 ………..(1) Si
0, 3 √ 3 → √ 5 1 √ 1 √
Elevando al cuadrado resulta: Luego en (1) se tiene:
2 √ 5 0 → 0 ó √
: 3 0
ó
: √ 5 2 9 0
18. la suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coo rdenados es igual a 10. Hallar la ecuación d e la recta si fo rma con l os ejes coord enados un tr iángulo de área 12 u 2. Solución: Si
10 → 10 , : : 1
Además
|1 0 |
Sustituyendo en
12 → 10 24 0 → 4 ó 6
obtenemos las soluciones: : 3 2 12 0
ó : 2 3 12 0
19. Una recta pasa por el origen y por la intersección de las rectas
:
y : . Hallar la ecuación, sin d eterminar el pun to de intersección. Solución:
Ecuación. de la familias de rectas que pasan por ∩
∶ 3 2 14 3 1 0 …………
P(0,0)
∈ , reemplazando
∶ 0 0 14 0 0 1 0 →
Reemplazando el valor de k en
∶ 3 2 14 3 1 0
:
20. Una recta pasa por el pun to A (-2,3) y por la in tersecci ón d e las rectas ∶
y
∶ .
Hallar su ecuación sin determinar su
punto de intersección Solución:
Ecuación de la familia de rectas que pasan por ∩
∶ 5 2 3 4 5 0 …………..
∈ , reemplazamos: ∶ 2 15 2 6 1 2 5 0
A (-2,3)
→ 15
∶ 5 2 3 4 5 0 ∶ 5 2 15 3 4 5 0 Reemplazando el valor de k en
∶
21. Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones
∶
y ∶ . Hallar su ecuació n sabiend o que es paralela a la recta ∶ . Solución:
Ecuación de la familia de rectas que pasan por ∩
∶ 3 2 8 2 9 5 0 ……………….
∥ , entonces ∶ 6 2 11 0 → 3 ∶ 3 2 8 2 9 5 0 3
→
∶ 3 2 8 2 9 5 0
Reemplazando el valor de k en
∶ 3 2 8 2 9 5 0
∶
22.
Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones L1: 7x 2y = 0 y L2: 4x – y – 1 = 0 y es perpendicular a la recta L3: 3x + 8y - 19 = 0. Hallar su ecuación. Solución: a) L: 7x – 2y + k(4x – y – 1) = 0 L: (7 + 4k)x – (2+k)y – k = 0 b) L1 n L2 = (X,Y) L1:
7x - 2y
=0
2(L2): 8x – 2y – 2 = 0 x=2 ;y=7 c) La perpendicular a L3 ML . ML3 = -1 ML . -3/8 = -1 ML = 8/3 d) Hallando pendiente de L: 7+ 4K = 8 2+K 3 K = - 5/4 e) Hallando la ecuacion de L: L: (7 + 4k)x – (2+k)y – k = 0 L: 2x – ¾ y + 5/4 = 0
L: 8x – 3y + 5 =0
23.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las dos rectas L1: 3x + y – 9 = 0, L2: 4x - 3y + 1 = 0 y cuya distancia del origen es 2. Solución: a) Hallando la intersección de L1 y L2: 3(L1): 9x + 3y – 27 = 0 L2 :
4x – 3y + 1 =0 x = 2; y = 3
b) Hallando la ecuación de L: L: 3x + y – 9 + k(4x – 3y +1) = 0 L: (3 + 4k)x +(1-3k)y +k – 9 = 0 c) Hallando la distancia desde el origen a la recta : (3 +4k)(0) + (1 – 3y) (0) + k – 9 = 2 √ (3 + 4k)2 + (1 – 3k)2 (k – 9)2 = 4(9 + 24k + 16k2 + 1 + 9k2 – 6k) K2 + 81 – 18k = 100k 2 + 72k + 40 99k2 + 90k – 41 = 0 (3k - 1)(33k + 41) = 0 K1 = 1/3; k2 = - 41/3 d) Hallando la ecuación de la recta: . CUANDO K = 1/3 L: (3 + 4.1/3)x + (1 – 3.1/3)y +1/3 – 9 = 0 L: 13X – 26 = 0 . CUANDO K = - 41/3 L: (3 + 4.- 41/3)x + (1 – 3. – 41/3)y - 9 – 41/3 = 0
L: 155x – 126y + 68 = 0
24.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las dos rectas L1: 3x - 4y = 0, L2: 2x - 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados un triángulo de área 8. Solución: a) Hallando la intersección de L1 Y L2: L1: 3x – 4y = 0 L2: 2x – 5y + 7 = 0 X = 4; y = 3 b) Hallando la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección: L: 3x – 4y + k(2x – 5y + 7) = 0 L: (3 + 2k)x – (4 + 5k)y + 7k =0 c) Cuando: x = 0; y = b = 7/4 + 5k y d) Cuando: x = a = -7k/3 + 2k; y = 0: Entonces: 1/2 .a.b = 8 a.b = 16 e) Reemplazando valores:
+ +− =16 111 368192=0 = ∨ = 24/37
f) Sustituyendo cada valor de k en la ecuación
:= ó :=
25.
Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas L1: 2x - 3y – 5 = 0 y L2: x + 2y – 13 = o y el segmento que determina sobre el eje x es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación de dicha recta. Solución: a) Hallando la ecuación L: L: 2x – 3y – 5 + k(x + 2y – 13) = 0 L: (2 + k)x + (2k - 3)y – (5 + 13k) = 0
b) Aplicado: 2.mL = ̅x ; cuando y = 0 2.(-2-k) /(2k – 3)= 5 + 13k/ (2+k) 28k2 – 21k – 7 = 0 (4k - 7)(k + 1) = 0 K1 = 7/4; k2 = -1 . Cuando K1 = 7/4 L: (2 + 7/4)x + (2.7/4 - 3)y - (5 + 13.7/4) = 0 L: 15x + 2y – 111 = 0 .Cuando k2 = -1 L: (2 + -1)x + (2.-1 - 3)y – (5 + 13.-1) = 0
L: x – 5y + 8 = 0
GUÍA DE PRA CTÍCA CÍRCUNFERENCÍA – PARA BOLA 1.-) Determinar la ecuación de la circunferencia en cada uno de los casos siguientes: A.-) El diámetro de la circunferencia es el segmento que una los puntos
,, , . Solución:
Aplicando distancia entre dos puntos tenemos:
,= = 62 15 = 8 4 =√ 6416 =√ 8 0 → =4√ 5 =2 Luego para hallar el centr o dela circunferencia ℎ, = 2 ; = 2 15 = 62 ; = 2 2 ℎ, =ℎ ; = : 2,3 ó , : ℎ = 2,3 y3 =2√ 5 x2 6y9=20 x 4x4y x y 4x6y4920=0
Utilizamos el punto medio
del segmento que une
Obtenemos el centro
En la ecuación ordinaria:
x y 4x6y7=0 Entonces ya tenemos la ecuaci ó n de l a ci r cunf e renci a que nos pedí a n: C =x y 4x6y7=0
B.-) El centro de la circunferencia está en el eje de abscisas y pasa por los puntos .
,, ,
Solución:
Ambos puntos forman parte de la circunferencia, reemplazaremos e igualaremos ambos puntos en la ecuación ordinaria de la circunferencia para hallar el centro C:
ℎ = ℎ = ℎ = ℎ 1ℎ 3 =7ℎ 5 ℎ 2ℎ19=ℎ 14ℎ4925 16ℎ=7410 ℎ=4 =4,0 P1,3 o P7,5 a =4,0
Entonces el Centro de la circunferencia es:
Ahora para hallar el radio de la circunferencia utilizamos la formula distancia entre dos puntos de
= = 41 03
Donde
=√ 2 59 =√ 34 == √ 34 → =34 ℎ = 4 0 =34 816 =34 81634=0 818=0 = =
Reemplazando en la ecuación ordinaria de la circunferencia:
Entonces la ecuación de la circunferencia que nos pedían es:
C.-) El centro de la circunferencia es el punto recta .
: =
Solución:
,
y es tangente a la
Para hallar el radio de la circunferencia usamos para formula de la distancia de un punto a una recta dada. Donde d = r
,= || √
ó y Cx,y: = |3212| √ 3 2 = |342112| √ 13 22 484 = |22| → = → = 13 √ 13 √ 13 ó : 4 1 = 48413 816 21= 48413 8217 48413 =0
Donde la ecuación de la circunferencia reducida a su for ma general sería la siguiente:
′= =
D.-) El diámetro de la circunferencia es la cuerda común de las circunferencias y
=
: = :
Solución: Ya que ambas satisfacen la ecuación de una circunferencia C’ igualaremos las ecuaciones
2∶
= 2
x y 2x2y14= x y 4x4y2 2214=442 6x6y=12 xy=2 =x2 =22 x x2 2x2x2 14=0 x x2 4x42x2x414 2x2 4x6=0 x 2x3=0 Factorizando tenemos∶ x1x3=0 → =1 =3
Ahora reemplazaremos
en la ecuación
:
^
Hemos encontrado dos valores para X que cumple con la ecuación así que reemplazaremos en la relación para hallar los dos valores de Y.
=x2
=1 → =3 =3 → =1
3,1 1,3
A los cuales les llamaremos Ahora para hallar el radio, utilizamos distancia entre dos puntos y lo dividiremos entre 2 ya que dicha distancia es el diámetro.
, = 13 31 =√ 3 2 → =4√ 2 → =2√ 2
=,
Para hallar el centro P0 de la circunferencia C’ utilizamos punto medio de un segmento de recta:
= 132 ; = 312 = 1 ; =1 =ℎ ; =
1,1 x1 y1 =2√ 2 21 21=8 226=0
Reemplazando P 0 para hallar la ecuación de la circunferencia pedida:
La ecuación de la circunferencia pedida es:
: =
: 2 2214=0 : 2 442=0 1,1 ; 3,1 1,3
: =
, = = 62 15 = 8 4 =√ 6 416 =√ 8 0 → =4√ 5 =2
Luego para hallar el centro dela circunferencia ℎ, del segmento que une
utilizamos el punto medio
.
= 2 ; = 2 15 = 62 ; = 2 2
ℎ, =ℎ ; = : 2,3 ó , : Obtenemos el centro
ℎ = 2,3 x2 y3 =2√ 5 x 4x4y 6y9=20 x y 4x6y4920=0 x y 4x6y7=0 Entonces ya tenemos la ecuación de la circunferencia que nos pedían: En la ecuación ordinaria:
C =x y 4x6y7=0
2.-) Hallar la recta tangente a la circunferencia el punto
,
Solución:
: =
= ℎ x 8x16 16y 6y99=0 x4 y3 =25
Completando cuadrados en la ecuación
para conseguir:
en
Ph,k =4,3 = 34 11 4 = 411 4 = 17 11 728=11 : 717=0 =1 17 =1 =7 = 4 7= 11 777=4 =781=0
Entonces ya encontramos el centro y el radio que sería: r = 5
Reemplazando en la recta L 1 que pasa por P 0 y P1
Ahora para hallar la ecuación de la recta tangente a por ser perpendicular con la recta el producto de pendientes es igual a -1.
Reemplazando:
Entonces reemplazamos en la ecuación de la pendiente:
Representando en la gráfica los elementos empleados en la r esolución, vemos que no hay intercepción del punto P 1 con la circunferencia C 1 así que no habría respuesta para este ejercicio.
3.-) Hallar el centro y radio de la circunferencia y grafica.
: =
Solución: Completando cuadrados en la ecuación C 1 tenemos:
x 6x9 9y 2y1=0 x3 y1 =9 : ℎ = =9 → =3
De la ecuación ordinaria de la circunferencia:
Obtenemos el centro P 0 (h, k)= (-3, 1) y el radio que sería:
4.-) Encontrar la ecuación de la circunferencia: C0 con centro en el origen de coordenadas y que es tangente a la circunferencia .
: =
Solución:
De la circunferencia pedida, como tiene centro en el origen su ecuación tiene la forma:
: = x 4x44y 10y252528=0 x2 y5 = 1 centro de C2,5 → r=1
Completando cuadrados en
tenemos:
Tenemos que la distancia entre el centro de C 0 (P0) y el centro de C1 (P1), es el radio de la circunferencia pedida, más el radio de C 1. Entonces:
0,0 2,5 ,= = 2 5 =√ 29 → ≈5.3851
Teniendo la distancia entonces le quitamos el radio de C 1 y obtenemos el radio de la circunferencia pedida.
= =
Reemplazando tenemos:
=5.38511 =4.3851
Reemplazando en la ecuación pedida C’ con centro en el origen tenemos la ecuación:
=4.3851 : .=
5.-) Determinar la ecuación de la familia de circunferencia con centro en y – x = 0 y que pasa por el origen P0 (0, 0). Solución: Dada la ecuación y – x = 0; deducimos x=y La ecuación de la circunferencia cuyo centro se ubica en el origen:
Reemplazando x=y en (1)
= → 1 = 2 = 2 = √ : =
, : =
6. Si
es el punto medio de una cuerda de la circunferencia . Encontrar la ecuación de la cuerda.
Solución:
A) Hallando los valores de h y k en C
(-1,1)
: 2214=0 : 2ℎ2ℎ =0 : =0 → 2ℎ=2 Λ 2=2 → ℎ=1 Λ =1 Λ 8,6 ∈ 1, 1 − = = −− ⊥ 8,6 ∈ 6= 8 B) Hallando la pendiente de L1
C) Sean las siguientes rectas:
×= 1 =
→:=
D. Hallando la ecuación de
7. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (4,6), Q (-2,-2), R (5,-1)
Solución:
A) Hallando la ecuación de C reemplazando los puntos M, N, P
: 2ℎ2ℎ =0 :528ℎ12ℎ =0 :2610ℎ2ℎ =0 :84ℎ4ℎ =0
Reemplazando M (4,6)………….. (1)
Reemplazando N (5,- 1)………….. (2)
Reemplazando P (-2,-2)…………. (3)
B) Simplificando (1) y (2)
:528ℎ12ℎ =0 :2610ℎ2ℎ =0 :262ℎ14=0
(-)
……… (i)
C) Simplificando (2) y (3)
:2610ℎ2ℎ =0 :84ℎ4ℎ =0 :1414ℎ2=0 :262ℎ14=0 :18214ℎ98=0 :18214ℎ98=0 :1414ℎ2=0 19694=0
(-)
……….(ii)
D) Multiplicando a (i) por 7
…….. (iii)
E) Hallando h, k por (iii) y (ii)
(+)
19696=0 = :1414ℎ2=0 :1414ℎ2=0 ℎ= =0 :528ℎ12ℎ :52812 =0 = √ F) Reemplazando k en (ii)
G) Hallando r, reemplazando h y k en (1)
H) Hallando la ecuación de la circunferencia con h,k y r
→: =
8. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es la intersección de las rectas ; y es tangente a la recta
:= := := Solución:
A) Hallamos el punto de intersección de y
:=0 :2=0 =0=2 =1 Λ =1
y
Siendo el punto de intersección el centro de la circunferencia, tenemos el centro O(-1,-1) siendo:
ℎ=1 Λ =1
B)
, =
C) Teniendo h, k y r construimos la ecuación
: 2 = 0 (,) =
de la circunferencia
|−−(−)−| √
=
ℎ = 1
Λ
= 1
Λ
= √ 2
→ : ( + 1 ) + ( + 1 ) = 2
= √ 2
→ : + + + = 9.-) Determinar
la ecuación de la circunferencia que es tangente a los ejes coordenados y tiene su centro sobre la recta L 1= x + 2y – 2 = 0 Solución: Por condición de tangencia para ambos semiejes se obtiene que; x = y Para la circunferencia h = k = r Reemplazando: h + 2k = 2 3h = 2
h= ;k= ;r=
Reemplazando en la forma general de la circunferencia tenemos: (
( ) = () (
− )
+(
− )
= ( ) Simplificando 32 de ambos miembros
(3 2) +(32) = 4 9x2 – 12x + 4 + 9y2 – 12x + 4 = 4 La ecuación de la circunferencia es: 9x2 + 9y2 – 12x – 12y + 4 = 0
)
+
: ²²= : =.
10.-) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia que son perpendiculares a la recta Solución:
Completando cuadrados en C’:
²²1026=0 1025 25 21 16=0 5 1 =20 √ 2 0 → =2√ 5 : 23=0 = 12 =1 12 =1 = = : 2= 22 = 22 =0 , =, = Centro P0 (-5, 1) ; r = De la recta
obtenemos su pendiente:
Por ser perpendicular a las rectas
La ecuación de la recta ecuación:
la hallaremos por medio de su pendiente en la
Aplicando distancia de un punto a una recta dada hallaremos ambas rectas donde es el punto de tangencia entre L 1 y C’; es el punto de tangencia entre L 2 y C’: P0 (-5, 1)
| , = |2512 √ 2 1 √ 52√ 5 =|92 | 10=|92 | (9 2 )>0 → 2 =19 (92 )
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