Trabajo de Investigacion

Facultad de Ingeniería Pesquera y Alimentos Escuela de Ingeniería de Alimentos Trabajo investigativo:

Teorema del valor promedio

Profesor : Onofre Pascual Mayta Integrantes:  Giron Santos Gianella Alondra

1814160017



Fecha: 13 de Mayo del 2019.

I.

RESUMEN

La integración es una de las herramientas más versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no se limitan a calcular áreas de regiones planas o volúmenes de sólidos, también se utiliza para calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, para representar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presión, o la energía potencial en un campo de fuerzas. La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas, además, es utilizado para medir el promedio de valores numéricos. A través del uso la integral definida se obtienen valores exactos del promedio de objetos cuantitativamente medibles como: la población mundial, la temperatura, la energía…. De esta manera, a través del uso de la integral definida, se calculará la variación de diferentes elementos cuantificables relacionados al campo de los alimentos.

Valor promedio Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe en éste un punto α tal que se verifique la siguiente igualdad: f(α)(b a)  

Establece que existe un número α en [a,b] tal que el área del rectángulo a Q S b, cuya altura es f (α) y que tiene ancho de (b − a) unidades, es igual al área de la región a P R b. El valor de α no es necesariamente único.

Ejemplo: Suponga que la temperatura, en grados Fahrenheit, de una barra metálica de longitud de 2 pies, depende de la posición x, de acuerdo con la función T(x) =

40 + 20x(2 - x). Determine la temperatura promedio en la barra. ¿Existe algún punto en donde la temperatura real sea igual a la temperatura promedio? La temperatura promedio es

II.

INTRODUCCION

Abordamos en este tema el estudio del resultado más importante del cálculo diferencial en una variable, el Teorema del Valor Medio, debido al matemático italo-francés Joseph Louis de Lagrange (1736-1813), aunque se deduce fácilmente de un caso particular establecido sin demostración por el matemático francés M. Rolle (1652-1719). Analizaremos las principales consecuencias del Teorema del Valor Medio, que tienen en común la idea básica de obtener información sobre el comportamiento de una función (monotonía, extremos relativos) a partir del conocimiento de su función derivada. El teorema del valor medio conecta la razón de cambio promedio de una función

con

su

derivada.

Establece

que

para

cualquier

función

diferenciable fff y cualquier intervalo [a,b][a,b]open bracket, a, comma, b, close bracket (dentro del dominio de fff) existe un número ccc dentro de (a,b)(a,b)left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis tal que f'(c)f′(c)f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis es igual a la razón de cambio promedio de la función en [a,b][a,b]open bracket, a, comma, b, close bracket.

Gráficamente, el teorema dice que para cualquier arco entre dos extremos, hay un punto en el cual la tangente al arco es paralela a la secante que pasa por los extremos.

III.

PROBLEMÁTICA

IV.

OBJECTIVO OBJECTIVO GENERAL

 Conocer el enunciado del teorema del valor medio.  -Comprobar dicho teorema en diversos casos prácticos. -OBJECTIVO ESPECIFICO

 Dar una interpretación geométrica para un tipo particular de funciones.  -Resolver ejercicios concretos sobre la posible aplicación del teorema y su solución, cuando ello sea factible

V.

FUNDAMENTO TEORICO

La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b).

El teorema de valor medio nos garantiza que, en esas condiciones, debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F'(x) = mF es decir, F'(x) = (F(b)-F(a))/(b-a). Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada sobre cómo encontrarlo.

Observa que como el intervalo es cerrado, tiene sentido hablar tanto de F(a) como de F(b). Veremos que este teorema es a la vez una generalización y una consecuencia del teorema de Rolle.

El teorema del valor medio es un resultado fuerte. Gracias a él podemos obtener información de la función F a partir de su función derivada F'. Por ejemplo, es fácil demostrar, usando este teorema, que si F'(x) es positiva en un intervalo, entonces F ha de ser creciente en ese intervalo

I.

CONCEPTO Y DEFINICONES BASICAS

El teorema del valor medio afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior, intervalo (a, b), entonces debe existir al menos un punto c de (a, b) en el que la tangente sea paralela a la cuerda. Físicamente quiere decir que en algún momento la variación instantánea debe coincidir con la variación media. Cambia los límites a y b del intervalo moviendo los puntos sobre el eje OX. Con la función proporcionada, ponlos en -4 y 4 por ejemplo. Cambia la función en el co de entrada f(x) = ...

II.

MARCO TEORICO

Valor promedio de una función Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemos realizar el siguiente cálculo yprom  

.

¿Cómo calculamos la temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito de valores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x)  x3 en el intervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".

Se propone calcular el valor promedio de la función y  f(x), a  x  b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud  x 

. Si ti es un punto cualquiera del i-ésimo subintervalo,

entonces el promedio aritmético o medio de los valores de la función en los ci viene dado por:

Multiplicamos y dividimos por (b  a) y resulta:

La expresión    

   es una suma de Riemann para f en [a, b].

Podemos asegurar que el promedio de los n valores es       veces la suma de Riemann de f en [a, b]. A medida que incrementamos la cantidad de subintervalos ( x  0, n   ) se obtiene, teniendo en cuenta la definición de integral definida:

 



.

El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta    fprom   .

El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.  Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que f(c)(b a)  

Demostración: Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto. Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m  f(x)  M  x  [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades: m(b a) 

 M(b a)      entonces        m 

 M.

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor   en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c tal que f(c)  

.

Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:

rectángulo inscripto (área menor que la de la región)

rectángulo del valor medio (área igual que la de la región)

rectángulo circunscripto (área mayor que la de la región)

El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. En este caso   es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b a) y su área coincide con la de la región.

A  

  f(c)(b a)

El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor promedio o medio de una función por eso a f(c)  

 se lo llama valor medio de f en el intervalo [a, b].

Ejemplo: halle el valor promedio de f(x)  3x2  2x en el intervalo [1, 4]. Calculamos:

fprom   1)  16

 

  

   (64  16 1 +

Sabemos que el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor promedio. Se puede observar gráficamente.