Trabajo de Estadistica

METODO PARA EL ANALISIS DESCRIPTIVO DE DATOS CUANTITATIVOS INTRODUCCION: Las tablas o cuadros estadísticos los distintos tipos de gráficos y también la razón. Los índices, las proporciones, porcentajes y tasas, se han estudiado en capítulos anteriores, constituyen diversos modos de resumir o reducir un conjunto de datos a unas pocas cifras, que aisladamente, o dispuestas en forma tabular o gráfica, sirven para transmitir las características principales de la información representada en los datos y contienen elementos descriptivos que hacen innecesarios el examen de todos los datos. las cifras descriptivas que se obtienen como función de una muestra ( x1,x2……,xn); es decir ,como función de un conjunto de datos , se llama estadígrafo o estadístico . El objetivo principal de las medidas de tendencia central es poder representar por medio de un solo número al conjunto de datos, es decir, dan valores representativos de la distribución de frecuencias, situados en algún lugar intermedio, alrededor del cual, se encuentran los otros valores. Nos indican dónde tienden a concentrarse los valores. Existen tres medidas de tendencia central generales, que son, la Media aritmética, la Mediana y la Moda; así como otras que se utilizan en casos particulares como la Media ponderada, la Media Armónica, la Media Geométrica, la Media Cuadrática.

MEDIA GEOMETRICA Introducción.- Sea una distribución de frecuencias (x i , n i ). La media geométrica, que denotaremos por G. se define como la raíz N-ésima del producto de los N valores de la distribución. Por tanto, la fórmula para la media geométrica está dada por:

Ejemplo: Hallar la media geométrica de los números 3, 5, 8, 3, 5, 2. Solución: En este caso n=6, x1=3, x2=5, x3=8, x4=3, x5=5 y x6=2, entonces la media geométrica es: 6

6

3

3

𝑥̅𝐺 = √3 × 5 × 8 × 3 × 5 × 2 = √32 × 52 × 42 = √3 × 5 × 4 = √60 = 3,915.

Desarrollo: Media geométrica para datos no agrupados.-La media geométrica simple “Mg” o “x G” de n observaciones x1, x2,….,xn positivas, esta dada por la raíz enésima del producto de los n valores observados, es decir.

En la práctica, el cálculo de la media geométrica se hace mas rápido tomando logaritmo y luego el antilogaritmo de este como sigue. 𝑙𝑜𝑔𝑥𝐺 = 𝑙𝑜𝑔 𝑛√x1 𝑥2 … 𝑥𝑛 1

= 𝑛[log x1 + log x2 + … + log xn] 𝑙𝑜𝑔𝑥𝐺 = 1 ∑𝑛𝑖=1 log 𝑥i 𝑛

Es decir, el logaritmo de la media geométrica resulta ser la media aritmética de los logaritmos de los x. Ahora basta calcular el antilogaritmo de la expresión anterior para tener [∑𝑛𝑖=1 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖 ] 𝑥𝐺 = 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑛 Hemos usado logaritmo de base 10, es claro que puede usarse cualquier sistema de logaritmo. En cuanto a la denominación media “geométrica” proviene del hecho de que es el término central de una progresión geométrica de un número impar de observaciones. Es decir, de una sucesión de números positivos, tales que la relación de cada una con el procedente es una constante. Ejemplo.- Hallar la media geométrica de los números 3, 5, 8, 3, 5, 2. Solución: En este caso n=6, x1=3, x2=5, x3=8, x4=3, x5=5 y x6=2, entonces la media geométrica es: x ̅_G=√(6×3×5×8×3×5×2)=√(6×3^2 )×5^2×4^2=∛(3×5×4)=∛60=3,915.

Media geométrica para datos tabulados o agrupados.- Si los datos están agrupados en clases, la media geométrica ponderada, es la raíz enésima del producto de las marcas de clases elevadas a sus respectivas frecuencias, es decir. 𝑛

𝑛

𝑛𝑖 𝑛 x G = √𝑌1𝑛1 𝑌2𝑛2 … . 𝑌𝑚𝑚 = √∏𝑚 𝑖=1 𝑌𝑖

Donde n = ∑𝑚 𝑖=1 𝑛𝑖 , 𝑌𝑖 = marca de clase, i = 1, 2,…, m, m = número de clases. Aplicando logaritmo a ambos miembros de la ecuación anterior se tiene: 𝑙𝑜𝑔𝑥̅𝐺 =

1 𝑛

[𝑛𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑦1 + 𝑛2 𝑙𝑜𝑔𝑦2 + . . . +𝑛𝑚 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑚 ]

1

= 𝑛 ∑𝑚 𝑖=1 𝑛𝑖 log 𝑦𝑖 𝑥̅ 𝐺 = 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔

Luego,

[∑𝑚 𝑖=1 𝑛𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖 ] 𝑛

Ejemplo.-Hallar la media geométrica de la siguiente distribución de frecuencias. Marca de 92 clase 4 frecuencia

93 94 95 96 11

21 10 4

Solución. 1

log 𝑥̅ 𝐺 = 𝑛 ∑𝑚 𝑖=1 𝑛𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖

𝑛𝑖

98,650469 50

92

4

𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖 1. 9637878

𝑛𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖 7.8551513

93

11

1. 9689829

21.653312

94

21

1.9731278

41.435684

95

10

1.9777236

19.777236

96 totales

4 50

1.9822712

7.929084 98.650469

log 𝑥̅𝐺 = 1.97300938

Luego: 𝑥̅𝐺 = 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔(1.97300938)= 93.974363

Desglase por puntos. Propiedad de la media geométrica. Propiedad n° 1.- La media geométrica de n observaciones es tal que si es sustituida por cada una de las observaciones, deja inmutado el producto es decir: X1 × X2 × … × Xn = Xn = 𝑋̅𝐺𝑛 Propiedad N° 2.- La media geométrica de una serie de relaciones es igual a la relación entre la media geométrica de los numeradores y la media geométrica de los denominadores: Es decir. 𝑛

𝑥

𝑥

𝑥

1 2 𝑛 √𝑦 × 𝑦 … 𝑦 = 1

2

𝑛

𝑛

√𝑥1 ×𝑥2…𝑥𝑛

𝑛

√𝑦1×𝑦2…𝑦𝑛

Por tanto, es útil para efectuar media de relaciones. Propiedad N° 3.- La media geométrica de términos positivos es siempre menor o igual que la media aritmética. Es igual a la media aritmética solo en el caso en que todos los términos sean iguales entre si. 𝑥̅ ≥ ̅̅̅ 𝑥𝐺 PRUEBA.- Veamos la demostración en el caso de dos términos positivos x1, x2, … xn entonces: 𝑥̅ =

𝑥1 +𝑥2 2

> 0 𝑦 ̅̅̅ 𝑥𝐺 = √𝑥1 × 𝑥2 > 0

Como 𝑥̅ y ̅̅̅ 𝑥𝐺 son ambos positivos, se pueden elevar al cuadrado y tener 2 2 ̅̅̅ 𝑥 2 = (𝑥1 +𝑥 ) y 𝑥̅𝐺2 = 𝑥1 𝑥2 2

𝑥1 +𝑥2

Pero 𝑥̅ 2 ̶ 𝑥̅𝐺2 = ( =

2

) ̶ 𝑥1 𝑥2 =

2 4𝑥 𝑥 𝑥12 +2𝑥1 𝑥2 +𝑥2− 1 2

4

=

𝑥12 +2𝑥1 𝑥2 +𝑥22 4

𝑥12 +2𝑥1 𝑥2 +𝑥22 4

̶ 𝑥1 𝑥2

𝑥1 − 𝑥2

=(

2

) ≥0

Siendo el cuadrado siempre no negativo, y nulo solo en el caso en que los dos términos tengan igual valor. Entonces: 𝑥̅ 2 − 𝑥̅ 𝐺2 ≥ 0, de donde 𝑥̅ 2 ≥ 𝑥̅𝐺2 Y como 𝑥̅ 𝑦 𝑥̅𝐺 son positivos se tiene que 𝑥̅ ≥ 𝑥̅𝐺 . Aplicaciones de la media geométrica.- Pese a las desventajas mencionadas, para cierto tipo de variables , en especial las cronológicas , que sigue una tendencia exponencial , se hace indispensables su uso , si se desea calcular valores intermedios; es decir, si se quiere interpolar linealmente . Tambien se usa cuando se desea promediar tasas de cambios, proporciones, índices. El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar variables tales como porcentajes, tasas, números índices. etc., es decir, en los casos en los que se supone que la variable presenta variaciones acumulativas. La aplicación de la media geométrica es similar al principio de interés compuesto. Por ejemplo, digamos que quieres la tasa media de crecimiento del salario de un trabajador por un período de tres años. Supongamos que los salarios de los trabajadores aumentan un 5 por ciento en el año 1, 3 por ciento en el año 2 y 4 por ciento en el año 3. La media aritmética de los 3 números es 4. El problema, sin embargo, es que cada aumento es acumulativo y se multiplica por el salario básico de ese año. Para el cálculo de una media geométrica, tendrías que multiplicar (1.05 x 1.03 x 1.04) y luego poder tomar 1/3, que te da 3,91 como una tasa promedio de crecimiento. En este ejemplo, la media geométrica es sólo ligeramente inferior a la media aritmética, pero ilustra cómo con grandes conjuntos de datos y mayor variación en las tasas de crecimiento y en las tasas de retorno, la media aritmética podría sobrestimar considerablemente a la tasa media de crecimiento. Los datos financieros pueden requerir una estimación más exacta de la que la media aritmética ofrece. Diferencias. Ventajas: Es más representativa que la media aritmética cuando la variable evoluciona de forma acumulativa con efectos multiplicativos. Está definida de forma objetiva y es única, si existe. Tiene en cuenta en su cálculo todos los valores de la distribución.

Los valores de los extremos tienen menor influencia por estar definida por productos en vez de sumas.

Desventajas: Cálculo más complicado que la media aritmética. No puede determinar si algún número es cero o negativo. Está limitado para valores positivos para que pueda ser interpretado. Conclusiones. De los tres métodos descritos en este artículo, la media aritmética es siempre la más grande, mientras que la media armónica es siempre la más baja. La media geométrica es el valor medio. La media armónica es especialmente sensible a los valores anormalmente pequeños en un conjunto de observaciones. Asegúrate que los datos se introduzcan correctamente, de lo contrario, las medias serán incorrectas, no importa lo que utilices. MEDIA ARMONICA (H) Se define la media armónica como la recíproca de la media aritmética de los recíprocos De los números y se caracteriza por la menor afectada por los valores extremos, razón Por la cual se le utiliza para: ◊ Promediar tasa de productividad ◊ Promediar velocidad ◊ Promediar valores que no deben su afectos por los valores extremos ◊ En relaciones industriales para pagar en forma justa de acuerdo al rendimiento a Los obreros y empleados. MEDIA ARMONICA PARA DATOS NO AGRUPADOS.- La media armónica de n términos no nulos x1,x2,…xn, es el reciproco de la media aritmética de los recíprocos de esos términos. Es decir:

MEDIA ARMONICA PARA DATOS AGRUPADOS.- La media armónica para datos tabulados se define por: H=

1 𝑚 𝑛 ∫𝑖=1𝑥 𝑖 𝑖

EJERCICIOS 1. Calcular la media armónica de los números 3,4,6, y 8 es: H= 1

4

1 1 1 3 4 6 8

+ + +

=

4 8+6+4+3 24

=

4 21 24

=

4∗24 21

=

32 7

= 4.57143

2. Calcular la muestra de 12 niños que practican artes marciales. Clases fi xi 2-5 1 3.5 5-8 2 6.5 8-11 4 9.5 11-14 3 12.5 14-17 2 15.5 Total N=12 Donde la media armónica es H=12/1.38=8.69

fi 1/x 1*(1/3.5) 2*(1/6.5) 4*(1/9.5) 3*(1/12.5) 2*(1/15.5)

fi 1/x1 1/3.5 2/6.5 4/9.5 3/12.5 2/15.5

fi * 1/x1 0.28 0.31 0.42 0.24 0.13 1.38

APLICACIONES DE LA MEDIA ARMONICA La media armónica se aplica en los casos siguientes: 1. Cuando se tiene términos para cuyos recíprocos se quiere calcular su media. 2. Una de las aplicaciones de la media armónica también es para promediar tasas de productividad De obreros y empleados debido a que no es influenciada por los valores externos como Sucede con otros promedios, razón por la cual debe ser utilizada en todo tipo de Empresas para pagar en forma justa y de acuerdo a su rendimiento. CONCLUSIONES -

Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es mas representativa que la media aritmética Se utiliza para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética.

LA MEDIA PONDERADA 1.-Definición: La media ponderada o promedio ponderado es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Clasificación: se clasifica en: Media aritmética simple: La media aritmética es el valor obtenido sumando todos los datos obtenidos y dividiendo el total por el número total de datos utilizados. X= xi

N Ejemplos: En un examen con propósito de aprobar se han obtenido las siguientes calificaciones 84, 91, 72, 68, 87, 78. Calcular la media aritmética simple: 







X=(84   

2.- Media aritmética ponderada: Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación (peso) para luego sumarlos, obteniendo así una suma ponderada; después se divide ésta entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada. x.w = x1 w1  x2 w2  ...  xn wn w1  w2  ...  w n Los valores w1  w2 wn indica la importancia que quieren dar cada uno de los valores q toma la variable X Ejemplo: Esta es la media ponderada de la calificación de bachillerato con un peso del 60% y la de la prueba final que realiza el alumno al término del mismo, a la que se le da el peso del 40%Si el alumno tiene de nota de bachillerato 5.66 y obtiene en la prueba un A calificación de 4,01la nota selectiva seria: x.w = (5,66x60)  (4,01x40) = (339,6  160,4) = 500 = 5 60  40 100 100 Si se concidera n puntos diferentes en el plano, con sus respectivas masa, es posible hallar un punto, que comunmente se llama baricentro, que es la representacion de la masa promedio.

Ejemplo: Calcular la media aritmética de los siguientes valores agrupados en intervalos de amplitud constante.

Intervalo

Ni

10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 Total

4 7 9 10 5 35

Marca de clase(Xi) (10 (20 (30 (40 (50

Ni . Xi 4x15=60 7x25=175 9x35=315 10x45=450 5x55=275  Ni . Xi)=1275

Procedimiento: Primero calculamos las marcas de clase o puntos medios. Para eso sumamos los dos Intervalos y al resultado le sacamos mitad. Multiplicamos las frecuencias absolutas por las marcas de clase y obtenemos así, la Columna Ni. Xi. Sumamos la columna de frecuencias por puntos medios. Esta suma da como resultado: 1257.5. Calculamos la media aritmética por medio de la fórmula correspondiente:    Ni. Xi)= (Ni.Xi) N SUSTITUYENDO VALORES EN LA FORMULA:   Ni. Xi) =1275 35 EFECTUANDO LA DIVISION   Ni. Xi)= 36.428

MEDIA CUADRATICA

Introducción: En matemáticas, la media cuadrática, valor cuadrático medio o RMS (del inglés root mean square) es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable. Puede calcularse para una serie de valores discretos o para una función de variable continua. El nombre deriva del hecho de que es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores. A veces la variable toma valores positivos y negativos, como ocurre, por ejemplo, en los errores de medida. En tal caso se puede estar interesado en obtener un promedio que no recoja los efectos del signo. Este problema se resuelve, mediante la denominada media cuadrática. Consiste en elevar al cuadrado todas las observaciones (así los signos negativos desaparecen), en obtener después su media aritmética y en extraer, finalmente, la raíz cuadrada de dicha media para volver a la unidad de medida original. La desviación estandar es una media cuadrática.

Desglose por puntos: se dividen en 2:

Ejemplo:

Relacion de los promedios geometrico, armonico y ponderada:

Desarrollo La media cuadrática o RMS (Root Mean Square) de un conjunto de valores (X1, X2,…,XN) es una medida de posición central. Esta se define como la raíz cuadrada del promedio de los elementos al cuadrado.

Ejemplos Un profesor pide a sus alumnos que realicen un experimento en el laboratorio. Espera que los alumnos obtengan 5 litros de ácido clorhídrico. Anota en una tabla una columna con las cantidades de ácido obtenidos por cada alumno y en la otra el error por falta o exceso de la cantidad esperada, de la siguiente manera:

Se representa gráficamente los errores de los seis alumnos.

Al profesor no le importa si el error se produjo por falta o por exceso, sino la cantidad de ácido de diferencia respecto a la esperada. Para ello, utiliza la media cuadrática:

La media cuadrática es RMS=0,76.

:

Aplicaciones y diferencias: La media cuadrática es muy útil para calcular la media de variables que toman valores negativos y positivos. Se suele utilizar cuando el símbolo de la variable no es importante y lo que interesa es el valor absoluto del elemento. Por ejemplo, para calcular la media de errores de medida. Una aplicación clásica de la media cuadrática es la determinación del valor eficaz de un parámetro sinusoidal en electricidad, en corriente alterna (tensión en voltios o intensidad en amperios). Utiliza El valor RMS de una función se utiliza a menudo en la física y la ingeniería eléctrica. Energía eléctrica Promedio Los ingenieros eléctricos a menudo tienen que conocer el poder, disipada por una resistencia eléctrica. Es fácil de hacer el cálculo cuando hay una corriente constante, a través de la resistencia. Para una carga de ohmios, la potencia se define simplemente como: Al tomar la raíz cuadrada de ambas ecuaciones y multiplicando juntos, obtenemos la ecuación Conclusiones: la media cuadrática es un instrumento indispensable para la estadística ya que gracias a este podemos realizar el respectivo calculo si la necesidad de preocuparnos por el signo ya que no olvidemos de que la ecuación está en una raíz cuadrada la cual determina el resultado positivo de cualquier manera por lo tanto es de gran utilidad para la estadística

MEDIA GLOBAL INTRODUCCION.-La media global es la media de todos los datos en un conjunto de datos. La media es un sinónimo de promedio, lo que significa tomar el promedio de todos los

datos. La media es una buena medida para ver donde la persona promedio cae en un grupo de personas. Por ejemplo, se puede encontrar la media general de las clases de un profesor para ver cómo el estudiante promedio de se desempeñó en la clase . La media general también es un cálculo importante para las estadísticas básicas DESARROLLO.-La media de varios grupos de datos es igual a la suma del producto entre la cantidad de datos de cada grupo por la media de ese grupo dividido la suma de las cantidades. La ecuación X global =X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7……..+Xn / N

+ PROCEDIMIENTO Y EJEMPLO 1.- Se determina los números en la muestra. Por ejemplo, un docente tiene dos clases de cinco estudiantes cada uno. Resultados de las pruebas de los estudiantes fueron 66, 50, 40, 75, 95, 38, 69, 87, 69 y 88. 2.- Calcula el tamaño de la muestra de datos. El tamaño de la muestra es el número total de observaciones. En el ejemplo, el tamaño de la muestra es 10. 3.- Suma los números que observaste en el paso 1. En el ejemplo, la suma de fueron 66, 50, 40, 75, 95, 38, 69, 87, 69 y 88es igual a 677. 4.- Divide la suma de las observaciones por el tamaño de la muestra. En el ejemplo, 677 dividido por 10 es igual a 67.7 que es la media. APLICACIONES .1.-.se puede aplicar para sacar promedio de notas de un alumno 2.-para sacar el promedio del sueldo de trabajadores 3.-generalmente para sacar promedio a cualquier calculo relacionado con la economía

Medidas de asimetría y curtosis 1-.introduccion; En trabajos propios de algunas disciplinas surge con frecuencia la necesidad de calcular una medida que muestre las direcciones de la dispersión de los datos con respecto a su centro y que completan la descripción de las distribuciones de frecuencias. Esas características se llaman: Asimetría (que significa no tener simetría) y Curtosis o apuntamiento. Las medidas de dispersión solo indican la magnitud de las variaciones, pero no dan información acerca de la dirección de las variaciones. Las medidas de distribución nos permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los valores de acuerdo a su representación gráfica. Estas medidas describen la manera como los datos tienden a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la información. Su utilidad radica en la posibilidad de identificar las características de la distribución sin necesidad de generar el gráfico. Sus principales medidas son la Asimetría y la Curtosis. Medidas de asimetría Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central (Media aritmética). Una distribución es simétrica cuando su curva o polígono de frecuencias es simétrica respecto al eje vertical de manera que coincidan los dos lados. La asimetría presenta tres estados diferentes

Clases de asimetría Asimetría positiva-. Se dirá que una distribución de frecuencia unimodal presenta asimetría positiva o a la derecha, si tiene una ramificación más extendida hacia la derecha o hacia valores grandes de la variable. En este caso la media aritmética es mayor que la moda. La mediana por el hecho de dividir el conjunto de observaciones en dos partes iguales quedara comprendida en te ambas

Asimetría negativa: se dirá que una distribución de frecuencias unimodal presenta asimetría negativa o a la izquierda, si tiene una ramificación más extendida hacia la izquierda o hacía valores pequeños de la variable .Donde la media aritmética es menor que la moda. Donde la mediana dela misma razón permanecerá en el centro.

Ejemplos: De distribución simétrica:

Distribución simétrica

distribucion simetrica positiva

distribucion simetrica negativa

Curtosis.- La curtosis (o apuntamiento) es una medida de forma que mide cuán escarpada o achatada está una curva o distribución. Este coeficiente indica la cantidad de datos que hay cercanos a la media, de manera que a mayor grado de curtosis, más escarpada (o apuntada) será la forma de la curva.

TIPOS DE CURTOSIS La curtosis determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Así puede ser: Leptocúrtica.- Existe una gran concentración. Mesocúrtica.- Existe una concentración normal. Platicúrtica.- Existe una baja concentración.

Coeficientes de asimetría Se dice que es de lo que expresamos en las medidas, en curvas de frecuencias unimodales, una medida absoluta de la asimetría está dada por la diferencia entre la medida aritmética y la moda. 𝑨𝒔 = 𝒙 ̅ − 𝒙𝒎𝒐 Se interpreta de la siguiente manera As, sera negativa(As < 0), si la distribucion tiene asimetria negativa. As, nulo (As =0),si la distribucion es simetrica. As, sera positivo (As > 0)sila distribusion tiene asimetria positiva. Coeficiente de pearson: Teniendo en cuenta que la media aritmetica y la moda coinciden en una distribucion simetrica , pearson propuso un coeficiente relativo de asimetria para curvas de frecuencias unimodales. Se basa en que en distribuciones simétricas la media de la distribución es igual a la moda. CAs =

𝑥 ̅−𝑥𝑚𝑜 𝑠

Sin embargo es conocido que la moda de una distribución no es fácil de calcular y para muchas distribuciones solo es ena aproximación. Entones. Podemos expresar el numerador de la expreción anterior en función de la mediana.Considerando la relación empíria entre la media aritmética la mediana y moda para distribuciones de frecuencia unimodales y moderadamente asimétricas. 𝑥̅ − 𝑥𝑚𝑜 ≈ 3 (𝑥̅ − 𝑥̃) El coeficiente de asimetría anterior propuesto por Pearson se expresa como: ̅−𝒙 ̃) 𝟑 (𝒙 CAs= 𝒔 La iterpretacion es: Si CAs < 0, la distribución es asimétrica negativa (o sesgada hacia la izquierda) Si, CAs = 0 la distribución es simétrica. Si CAs > 0, la distribución es simétrica positiva. Los coeficientes de simetría anterior se llaman, respectivamente primero y segundo coeficientes de Pearson.

Interpretación: los valores menores que 0 indican asimetría negativa; los mayores, asimetría positiva; y cuando sea cero o muy próximo a cero asimetría. No está limitado a un rango de valores. Coefisientes de asimetria en funcion de los momentos Veamos cómo se puede obtener otro coeficiente de asimetría que prescinda de la moda y mediana. En una distribucíon de frecuencias simétrica respecto asu media aritmética 𝑥̅ , la suma algebraica de los cubos de las desviaciones respecto de la media, es decir. ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )3 ,para datos no agrupados ∑ 𝑛𝑖 (𝑦𝑖 − 𝑦̅ )3 ,para datos agrupados Será nula , mientras que para distribuciones asimétricas , esta suma será positiva si existe asimétria positiva y será negativa en el caso de la asimétria negativa El tercer momento respecto a la media es: 𝑴𝟑 =

̅) 𝟑 ∑(𝑿𝒊 − 𝑿

, para datos no agrupados

𝒏 ∑ 𝒏𝒊 (𝒚𝒊 − 𝒚 ̅) 𝟑

𝑴𝟑 = , para datos agrupados 𝒏 La unidad de edida de 𝑀3 , no es la misma que la unidad de las observaciones, es decir , tiene dimención 3 respecto a la agnitud del fenómeno . Por ello para tener un coeficiente de asimetría, no sólo un número puro , sino también invariante , dividimos 𝑀3 por el cubo de la desviación típica (𝑆 3 > 0): ∑(𝒙𝒊 −𝒙 ̅)𝟑 /𝒏

CAs=

𝑺𝟑

∑ 𝒏𝒊 (𝒚𝒊

CAs=

=

̅)𝟑 /𝒏 −𝒚

𝑺𝟑

𝑴𝟑

, para datos no agrupados

𝑺𝟑 𝑴𝟑

=

𝑺𝟑

, para datos agrupados

Pero: 𝑺𝟑 = √[

𝟑 ∑(𝒙𝒊 −𝒙 ̅)𝟐 𝒏

] = √𝑴𝟐 𝟑

Luego, el coeficiente de asimetría en función de los momentos se escribe: 𝐶𝐴𝑠 =

𝑀3 √𝑀2 3

La interpretación de este coeficiente es semejante a los otros. Si, CAs < 0, se tiene una distribución asimétrica negativa (𝑥̅ < 𝑥̃ < 𝑥𝑚𝑜 ) Si, CAs = 0, se trata de una distribución simétrica (𝑥̅ = 𝑥̃ = 𝑥𝑚𝑜 ) Si, CAs >0, se tiene una distribución asimétrica positiva (𝑥̅ > 𝑥̃ > 𝑥𝑚𝑜 ). COEFICIENTE DE ASIMETRIA EN FUNCION DE LOS CUANTILES Los más importantes son

A: el coeficiente de asimetría cuartilico o de BOWLEY, estas dado en función de los cuartiles. CAs=

𝑸𝟑 −𝟐𝑸𝟐 +𝑸𝟏 𝑸𝟑 −𝑸𝟏

B: El coeficiente de asimetría en función delos percentiles (𝟏𝟎 − 𝟗𝟎) esta dado por: CAs =

(𝑷𝟗𝟎 −𝑷𝟓𝟎 )−(𝑷𝟓𝟎 −𝑷𝟏𝟎 ) 𝑷𝟗𝟎 −𝑷𝟏𝟎

=

𝑷𝟗𝟎 −𝟐𝑷𝟓𝟎 +𝑷𝟏𝟎 𝑷𝟗𝟎 −𝑷𝟏𝟎

La interpretación de este coeficiente es la misma que los otros coeficientes de asimetría. Ejemplos para la tabla de distribuciones de frecuencias siguiente se pide calcular e interpretar.

intervalo 60 – 66 66 – 72 72 – 78 78 – 84 84 – 90 90 – 96

a.

𝒏𝒊

Los coeficientes de asimetría de Pearson.

4 6 7 11 8 4

Solución: calcularemos primero las tres medidas de tendencia central y la desviación típica. 1; cálculo de la media aritmética por el método codificado.

intervalo 60 – 66 66 – 72 72 – 78 78 – 84 84 – 90 90 – 96

𝒚𝒊 63 69 75 81 87 93

𝒏𝒊 4 6 7 11 8 4 40

𝑵𝒊 4 10 ← 17 28 ← 36 40

𝒏 𝟒 𝒏 𝟐

𝒖𝒊 = (𝒚𝒊 − 𝟖𝟏)/𝟔 -3 -2 -1 0 1 2

𝒏𝒊 𝒖 𝒊 -12 -12 -7 0 8 8

𝒏𝒊 𝒖 𝟐 𝒊 36 24 7 0 8 16

𝒏𝒊 𝒖 𝟑 𝒊 -108 -48 -7 0 8 32

-15 91 -123 −𝟏𝟓 𝟗 ̅ = 𝒐𝒊 + 𝒄𝑴(𝒖) = 𝟖𝟏 + 𝟔 ( 𝒚 ) = 𝟖𝟏 − = 𝟖𝟏 − 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟕𝟖. 𝟕𝟓. 𝟒𝟎 𝟒

𝒏𝒊 𝒖 𝟒 𝒊 324 96 7 0 8 64 499

2. calculo de la mediana de la distribución de frecuencia. 𝒏

Como 𝟐 =

𝟒𝟎 𝟐

= 20, entonces la frecuencia absoluta acumulada inmediatamente superior a

n/2 es 𝑵𝟒 =28, j = 4,

j - 1=3.Yel intervalo que contiene a la mediana es 𝒚′ 𝟑 - 𝒚′ 𝟒 = 78-

84 luego 𝒏 − 𝑵𝒋−𝟏 𝟐𝟎 − 𝟏𝟕 𝟑 ̃ = 𝒚, 𝒋−𝟏 + 𝒄 [ 𝟐 𝑴𝒆 = 𝒙 ] = 𝟕𝟖 + 𝟔 [ ] = 𝟕𝟖 + 𝟔 ( ) = 𝟕𝟖 + 𝟏. 𝟔𝟒 𝑵𝒋 − 𝑵𝒋−𝟏 𝟐𝟖 − 𝟏𝟕 𝟏𝟏 = 𝟕𝟗. 𝟔𝟒. 3. cálculo de la moda de la distribución. La clase modal (clase que tiene mayor frecuencia) es 𝒚, 𝒋−𝟏 - 𝒚, 𝒋= 78- 84, entonces j = 4, j – 1= 3, j + 1= 5, 𝒏𝟒 =11, 𝒏𝟑 =7, 𝒏𝟓 =8, luego 𝑴𝒐 = 𝒙𝒎𝒐 = 𝒚, 𝒋−𝟏 + 𝒄 [( 𝒏 −𝒏 𝒋

𝒏𝒋 −𝒏𝒋−𝟏

𝒋−𝟏 )+( 𝒏𝒋 −𝒏𝒋+𝟏 )

𝟏𝟏−𝟕

]=

𝟒

𝟕𝟖 + 𝟔 [(𝟏𝟏−𝟕)+( 𝟏𝟏−𝟖)]=78+6(𝟕)=78+3.43=81.43. 4: cálculo de la desviación típica de las distribuciones. 𝑺𝟐 =

(∑ 𝒏𝒊 𝒖𝒊 )𝟐 (−𝟏𝟓)𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 [𝟗𝟏 − 𝟓. 𝟔𝟐𝟓] [∑ 𝒏𝒊 𝒖𝟐 𝒊 − ]= [𝟗𝟏 − ]= 𝒏−𝟏 𝒏 𝟑𝟗 𝟒𝟎 𝟑𝟗 𝟑𝟔 𝟑𝟎𝟕𝟑. 𝟓 (𝟖𝟓. 𝟑𝟕𝟓) = = = 𝟕𝟖. 𝟖𝟏 𝟑𝟗 𝟑𝟗

Luego, 𝑺 = √𝑺𝟐 = √𝟕𝟖. 𝟖𝟏 = 𝟖. 𝟖𝟖 Por tanto los coeficientes de asimetría de Pearson son: 𝑪𝑨𝒔(𝟏) = 𝑪𝑨𝒔(𝟐) =

̅ − 𝒙𝒎𝒐 𝟕𝟖. 𝟕𝟓 − 𝟖𝟏. 𝟒𝟑 𝒙 = = −𝟎. 𝟑𝟎𝟐 𝑺 𝟖. 𝟖𝟖

̅−𝒙 ̃) 𝟑(𝟕𝟖. 𝟕𝟓 − 𝟕𝟗. 𝟔𝟒) 𝟑(−𝟎. 𝟖𝟗) 𝟑(𝒙 = = = −𝟎. 𝟑𝟎𝟏 𝑺 𝟖. 𝟖𝟖 𝟖. 𝟖𝟖

Como CAs < 0, la distribución e asimétrica negativa o sesgada hacia la izquierda La gráfica:

Formas de medir la curtosis .-donde se pueden edir en funcion de los momentos o de los cuantiles. Curtosis en funcion de los momentos.-donde esta dado por: 𝐾𝑖 =

∑ 𝑛𝑖 (𝑦𝑖 −𝑦̅)4 /𝑛 𝑆4

𝑀

= 𝑀 42 . 2

𝑀4 = cuarto momento respecto a al media

S = desviacion tipica. En ocasiones se suele buscar el apuntamiento o exceso de una distribucion de frecuencia en la parte central de la distribución mediante el coeficiente. 𝑀4 𝑘2 = 4 − 3 𝑆 SE INTERPRETA SI 𝑘2 = 0, la distribución es Mesocúrtica (Existe una concentración normal) Si 𝑘2 > 0, la distribución es pueteaguda o Leptocúrtica (más apuntada que la normal) Si 𝑘2 < 0, la distribución es achatada o Platicúrtica (mas aplastada que la normal) Curtosis en función de cuartiles.-el coeficiente está dado por : 𝑄3 − 𝑄1 𝐾3 = 2(𝑃90 − 𝑃10 ) SI 𝑘3 = 0.263, la distribución es Mesocúrtica (Existe una concentración normal) Si 𝑘3 0. 263, la distribución es achatada o Leptocúrtica (más apuntada que la normal)

EJEMPLO.- para la distribución del ejercicio anterior calcular el coeficiente de curtosis por momentos y porcentílico 𝑀4 = 𝑀4,𝑎 − 4𝑀1.𝑎 . 𝑀3,𝑎 + 6𝑀21,𝑎 . 𝑀2,𝑎 − 3𝑀41,𝑎 con a =81 𝑀4,𝑎 =

𝑐 4 ∑ 𝑛𝑖 . 𝑢4 64 𝑥499 1296𝑥499 646704 = = = = 16167.6 𝑛 40 40 40 𝑀3,𝑎 = −664.2; 𝑀2,𝑎 = 81.9; 𝑀1,𝑎 = −2.25.

𝑀4 = 12600.6258 𝑘2 =

𝑀4 𝑆4

=

12600.6258 8.884

= 2.026

Como 𝐾3 =2.026 < 3 la distribucion es mas aplastada que la normal o Platicúrtica 𝑀 Si calculamos la Platicúrtica 𝑘2 = 𝑆44 − 3 =2.026 – 3 = - 0.974 < 0 b-. 𝑄 −𝑄 85.5−72 13.5 𝐾3 = 2(𝑃 3 −𝑃1 ) = 2(90−66)= 48 = 0.281 90

10

Que es un apuntamiento mas proximo Mesocúrtica

al de la curva normal , la distribucion es

Momentos Muéstrales INTRODUCCION Los momentos potenciales o muéstrales son valores que caracterizan a una muestra aleatoria. Los momentos muéstrales aproximan a los momentos de la distribución, estos últimos tienen la propiedad de que dos distribuciones de probabilidad son iguales si tienen todos sus momentos iguales. Los momentos de una muestra forman una sucesión de números, para cada número natural r se define puede definir el momento r-enésimo. DESARROLLO MOMENTOS RESPECTO AL ORIGEN (Mr) Cuando las desviaciones se calculan respecto al punto A=0 se denomina de orden r respecto al origen y está dado por:

Momentos para datos no clasificados

Momentos para datos Clasificados Momentos respecto a la media o momentos Cuando las desviaciones se calculan respecto al punto A=x se denomina momentos de orden r respecto a la media aritmética y esta expresado por: Momentos para datos no clasificados

Momentos para datos Clasificados

Los tres primeros momentos son:

Ejemplo con los datos del siguiente cuadro de distribución de frecuencias hallar : a) Los momentos cero uno y dos respecto al origen b) Los momentos cero uno y dos con respecto a la media

i 1 2 3 4 5

𝑙𝑖−1 − 𝑙𝑖 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10

𝑓𝑖 7 5 4 3 1 20

𝑥𝑖 1 3 5 7 9

𝑥𝑖 𝑓𝑖 7 5 4 3 1 20

𝑥𝑖 𝑓𝑖 7 15 20 21 9 72

𝑥𝑖 𝑓𝑖 7 45 100 147 81 380

a) Momentos respecto al Origen

b) Momentos respecto a la Media

(𝑥𝑖 − 𝑥)0 𝑓𝑖 7 5 4 3 1 20

(𝑥𝑖 − 𝑥). 𝑓𝑖 -18.2 -3 5.6 10.2 5.4 0

(𝑥𝑖 − 𝑥)2 𝑓𝑖 47.32 1.8 7.84 34.68 29.16 120.8

Aplicaciones

Una de las aplicaciones de la estadística es para determinar la tasa de aumento de las poblaciones

Bibliografías delos temas