Trabajo de Derivadas

Derivada la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado o sea la velocidad de crecimiento o variación; por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando. La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función. El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.

Conceptos y aplicaciones El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral integral;; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. cálculo . A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados

en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física,Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de  f  , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto  x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.  Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por  lo que es susceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Condiciones de continuidad de una función Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir,

, y usando la

expresión  y +  y =  f  ( x +  x), queda

donde en este

caso,  f  ( x) =  y. Ello quiere decir que

, y si este último límite existe

significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función  f  ( x) que cumpla con es continua en el punto a.

[editar ]Condición no

recípr oca

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto. Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto

. Dicha función es equivalente a la función partida

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo. De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.

Notación Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor en varios modos: {Notación de Lagrange}



se lee "efe prima de equis" 

o

{Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}

se lee "

sub

de ", y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.



{ Notación de Newton}

se lee "punto " o " punto". Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.



,

ó

{Notación de Leibniz}

se lee "derivada de ( ó de ) con respecto a ". Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales. La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de en el punto a, se escribe: para la primera derivada, para la segunda derivada, para la tercera derivada, para la enésima derivada ( n > 3). (También se pueden usar números romanos). Para la función derivada de en , se escribe . De modo parecido, para la segunda derivada de en , se escribe ,y así sucesivamente. La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de , se escribe:

Con esta notación, se puede escribir la derivada de  f  en el punto a de dos modos diferentes:

Si

, se puede escribir la derivada como

Las derivadas sucesivas se expresan como o para la enésima derivada de o de  y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

la cual se puede escribir como

La notación de Leibniz es muy útil, por  cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar , no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan. La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

y así sucesivamente. Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad yacelera ción, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.

Ejemplo Sea la función números reales (denotado por

Para encontrar el signo de

, definida sobre el conjunto de los ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

, se tiene que factorizar:

lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado. También se observa su segunda derivada:  f ''( x ) = 12 x   18

Dado que y local en -1 y su valor es Dado que 4 y su valor es

entonces

tiene un máximo

.

y

entonces

tiene un mínimo local en

.

Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay

exactamente 2 valores de  x tales que

, los cuales son

y , tomando en cuenta el teorema del valor medio y que entonces la derivada es negativa en el intervalo por lo tanto la función es decreciente en el intervalo .  Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por  arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo y en el intervalo .

Diferenciación y diferenciabilidad La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos. Una función es difere nciable en un punto  x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto  x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c , entonces no puede ser diferenciable en c ; sin embargo, aunque una función sea continua en c , puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0). [editar ]Derivadas

de orden superior 

La derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada , y así sucesivamente. La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de  f  ( x) en el punto a, se escribe: para la primera derivada, para la segunda derivada, para la tercera derivada, para la enésima derivada ( n > 3). Para la función derivada de  f  ( x), se escribe . De modo parecido, para la segunda derivada de  f  ( x) se escribe , y así sucesivamente. Dado que si X= y , Z sera igual a la derivada de X+2.

Generalizaciones El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras: 







Cálculo de varias variables 

Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial.



Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables.

 Análisis complejo: Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas  Análisis funcional : 











Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r , r no necesita ser necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales. Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita. Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución.

Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de: Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo de dimensión n finita). La diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.

La solución a la pregunta, de un modo quizá muy conciso y escueto, es la siguiente: Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la varible dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.

Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación canalítica como la revolución marginalista. De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total. En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Meduiante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, difrenciales, etc. NO hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una función

cualesquiera se maximiza (minimiza) -sea cual sea el número involucrado de variables independientes-. De nuevo el cálculo difrencial es de gran ayuda en estas situaciones. También para la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funciones mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (esta última para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida con desigualdades). Lagrange: Sea la función objetivo: F(x1,...,xn) s.a: g(x1,...,xn)= C. Donde g es la restricción igualada a una constante C. f'(x1,...,xn)=tg'(x1,...,xn), donde t= un escalar que multiplica la restricción y que se simboliza con la letra griega lambda.

Kühn-Tucker: f(x1,...,xn), s.a: g(x1,...,xn) > C, ó g(x1,...,xn) < C Finalmente la premisa para la diferenciabilidad es la continuidad de las funciones, o sea que auellas no posean saltos. Una de las limitantes cotidianas del desempeño profesional en economía es contar siempre con funciones continuas. Suele ser repetido que los datos existentes se manifiesten en secuencia discreta o discontinua. Sin embargo estoe obstáculo no niega la validez conceptual y técnica de las aplicaciones en economía del cálcculo diferencial. Por el momento esta es la respuesta. Si surgen nuevas dudas, no titubee en comunicarse otra vez conmigo. O jalá mi aporte haya despejado su inquietudes. Hasta luego y mucha suerte.

Notación de la derivada

No hay una única notación de la derivada. Sino que diferentes matemáticos han propuesto diferentes notaciones para la derivada de una función o variable. La utilidad de cada notación varía con el contexto, y a veces tiene ventaja de usar más de una notación en un mismo contexto dado. Las notaciones más comunes para la derivada son las que se relacionan a continuación.

Reglas de derivación Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.

Derivada de una constante Una función polinómica de grado 0 o función constante es aquella que no depende de ninguna variable y su derivada siempre será cero. Si  f  ( x) = a , tendremos que  f  ( x) = 0 '

Donde a es una constante, como un ejemplo:  f  ( x) = 7  f  ( x) = 0 '

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Derivada de una potencia entera positiva

Una función de carácter exponencial, cuyo exponente es un entero se representa por   f  ( x) =  xn y se puede demostrar que su derivada es  f  ( x) = nxn í 1 por ejemplo tomemos la función: '

 f  ( x) =  x3

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:  f  ( x) = 3 x3 í 1 '

Quedando finalmente: 2

 f  ( x) = 3 x '

En algunas funciones donde la variable ya esta siendo multiplicada, como:  f  ( x) = 7 x4 se aplica la siguiente regla.

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Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de  f  ( x) = cxn, su derivada equivale a  f  ( x) (n í 1) = n(cx ) de la siguiente manera: '

Consideremos la siguiente función:  f  ( x) = 8 x4, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente: 4í1

 f  ( x) = 4(8 x '

)

Para obtener   f  ( x) = 32 x3 '

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:  f  ( x) = 7 x

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:  f  ( x) = 7 '

Puesto que  x0 = 1 [editar ]

Derivada de una suma

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de una suma es la suma de la derivada de cada término por aparte. Es decir, ( f  +  g ) =  f   +  g . Como ejemplo consideremos la función  f  ( x) = 3 x5 +  x3, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada termino por aparte y la expresión de estos será la derivada de la función suma: '

'

'

 f  ( x) = 15 x4 + 3 x2 '

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Derivada de un producto

 Artículo

principal: Regla del producto

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma: "La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función" Y matemáticamente expresado por la relación siguiente función como ejemplo:

. Consideremos la

h( x) = (4 x + 2)(3 x7 + 2)

Identificamos a  f  ( x) = (4 x + 2) y  g ( x) = (3 x7 + 2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:  f  ( x) = 4 '

y que  g ( x) = 21 x6 '

Por lo tanto

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda h ( x) = 84 x7 + 12 x7 + 42 x6 + 8 '

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada: h ( x) = 96 x7 + 42 x6 + 8 '

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Derivada de un cociente

 Artículo

principal: Regla del cociente

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de mas se puede escribir  así:

Es decir: "La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por  la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado" Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

 Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es  g ( x) = 2 x y se multiplique por la derivada del numerador  que seria  f  ( x) = 3; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador  ( f  ( x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de  g ( x) = 2 x, que seria  g ( x) = 2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, asi: '

'

 Ahora todo es cuestión de simplificar:

Notación de Leibniz Veáis también: Notación de Leibniz 

La notación original empleada por Gottfried Leibniz se usa en matemáticas. Es particularmente común cuánto la ecuación y =f ( x ) es utilizada para referirse a la relación funcional entre las variables dependientes e independientes y  y  x . En este caso la derivada se puede escribir como:

Por lo tanto, la función, el valor de la cual en su punto  x  es la derivada de f  a  x , se escribe

oro

(a pesar de que, estrictamente hablando,esto denota el valor de la variable de la función derivada en lugar de la función derivada misma). Las derivadas de orden superior se expresan como

,

oro

Para indicar la derivada 'èssima de y=f (x   ). Históricamente, esto bien del hecho que, por ejemplo, la derivada tercera es:

Esto se puede escribir libremente (sacando el paréntesis del denominador) como:

Tal como se había dicho antes. Con la notación de Leibniz's, el valor de la derivada en un punto  x =a se puede escribir de dos formas diferentes:

La notación de Leibniz's permite especifica cuál es la variable respecto de la cual se deriva (al denominador). Esto resulta especialmente útil cuánto se trabaja con derivadas parciales. Esto también hace que la regla de la cadena sea especialmente fácil de recordar:

(Cuánto se formula el cálculo infinitesimal en términos de límites, al símbolo lleva, diferentes autores, le han asignado diferentes significados. Algunos autores no le asignan ningún significado al símbolo lleva por si mismo, sino que lo consideran sólo como parte del símbolo lleva /d   x . Otros definen d   x  como una variable independiente, y definen lleva como lleva = d   x  f  '( x ). Al análisis no standard llevase define como un infinitesimal. También se ha interpretado como la derivada exterior de 'uno de una f unción uno.

Notación de Lagrange Una

de las notaciones modernas más habituales para la derivada es debida a Joseph Louis Lagrange y emplea el símbolo delgada: Las primeras tres derivadas de f  se escriben para la derivada primera, para la derivada segunda, para la derivada tercera.

Siguiendo esta idea, algunos autores, para designar derivadas de orden superior, continúan en base de emplear el números romanos como f V  para la derivada cuarta de f , en cambio otros ponen el número que indica la orden de la derivada entre paréntesis, así la derivada cuarta de f  se tendría que escribir f (4). Esta última notación se extiende fácilmente a cualquier número, así  la derivada 'èssima de f se escribe f (  '). I 

Notación de Euler  La notación de Euler emplea un operador diferencial, que se denota como De  , '  el cual se escribe ante la f unción de f orma que las derivadas de una f unción f se escriben como para la derivada primera, -

para la derivada 'èssima, siendo ' 2.

Cuánto se indica la derivada de una variable dependiente y  = f ( x ) es habitual añadir la variable independiente  x  como subíndice de la De  , '  obteniendo la notación alternativa

para la primera derivada, para la derivada 'èssima, donde ' 2.

-

Si la función sólo tiene una variable independiente, habitualmente se omite el subíndice. La notación de Euler es útil para escribir y resolver ecuaciones diferenciales lineales.

Notación de Newton Veáis también: Notación de Newton

La notación de Newton para la derivada (también llamada notación del punto) consiste al colocar un punto encima de la variable dependiente y se usa a menudo para designar derivadas respecto del tiempo como por ejemplo la velocidad y la aceleración: No

se pudo entender (función desconocida\dote): \dote{y} = \frac{dy}{dt}

Y así. También se puede usar como un sustituto de la prima a la notación de Lagrange. Otro golpe, esto es habitual para funciones f (te  ) '  del tiempo. La notación de Newton se usa principalmente a mecánica y a teoría de ecuaciones diferenciales encomenderas. Habitualmente sólo se usa para las derivadas primera y segunda, y a demès, sólo para indicar derivadas respecto del tiempo.

órmulas de derivación

[En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de  x.

1. , siendo c una constante.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

APLICACIONES

Ejemplo 4.2.4 C alcular la ecuaci´on de la recta tangente a la curva descrita por la funci´on f ( x ) = x 3 + 3 x 2 ¡ 5 en el punto de abcisa x  = 1. Soluci´on : Sabemos que la pendiente de dicha recta es igual a: m= d  dx  ( x 3 + 3 x 2 ¡ 5)

 ¯¯¯¯   x =1

= 3 x 2 + 6 x 

 ¯¯¯   x =1

=3+6 =9  Ahora

conocemos la pendiente de la recta. Solo basta conocer un punto de la recta para  poder determinar la ecuaci´on punto-pendiente de la recta. Sabemos que un punto de la

recta corresponde a (1; f (1)). f (1) = 1 + 3 ¡ 5 = ¡1 Entonces, la ecuaci´on de la recta buscada es : y + 1 = 9( x ¡ 1)

La

derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un c ociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.