Trabajo de Columnas Resistencia de Materiales II

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE ING. CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

COLUMNAS

CURSO: -

Resistencia de Materiales II

-

Ing. Omar Coronado Zuloeta.

-

Jesús Miguel Oliva Mera

DOCENTE:

ALUMNO:

CÓDIGO: 105167-C Lambayeque, 22 de julio del 2013

.

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

Tabla de contenido 1

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 3

2

Definiciones ...................................................................................................................... 4 2.1

Columna...................................................................................................................................... 4

2.1.1 2.1.2

3

2.2

Comportamiento......................................................................................................................... 5

2.3

Carga crítica ................................................................................................................................ 6

2.4

Excentricidad .............................................................................................................................. 7

2.5

Longitud efectiva ........................................................................................................................ 8

Fórmula de Euler para columnas largas o muy esbeltas ...................................................... 9 3.1

4

Columnas Largas: .......................................................................................................................................... 4 Columnas Intermedias: ................................................................................................................................. 4

LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER ................................................................................ 10

Columnas de Longitud intermedia, Formulas empíricas .................................................... 12 4.1

Otros métodos para columnas intermedias. ............................................................................. 13

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.1.8 4.1.9 4.1.10

5

COLUMNAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE .................................................................... 23 5.1

6

Método de T.H. Johnson. ............................................................................................................................ 13 Método de Rankine-Gordon. ...................................................................................................................... 14 Método de Ros-Brunner. ............................................................................................................................ 16 Método de Desarrollo del cómputo a partir de Käpplein (1998). ............................................................... 18 Método de Fórmula de Tredgold ................................................................................................................ 19 Método de Fórmula de Ostenfeld ............................................................................................................... 19 Fórmula de la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles ......................................................... 20 Fórmula del Column Research Council (CRC) .............................................................................................. 20 Formula Del Structural Stability Research Council (SSRC) ........................................................................... 20 Método AISC. ......................................................................................................................................... 21

La fórmula de la Secante ........................................................................................................... 24

PREDIMENCIONAMIENTO DE COLUMNAS ........................................................................ 27 6.1

Columna de Madera .................................................................................................................. 27

6.1.1

6.2

Método para predimensionar columna de madera .................................................................................... 27

Columna de Acero ..................................................................................................................... 28

6.2.1 6.2.2

6.3

Sección de la columna ................................................................................................................................. 29 Método para predimensionar la columna de acero ................................................................................... 29

Columna de Concreto Armado .................................................................................................. 30

6.3.1 6.3.2 6.3.3

Método para predimensionar columnas de concreto armado ................................................................... 31 Conocido Pu ................................................................................................................................................. 31 Conocido Pu y Mu ....................................................................................................................................... 33

7

Ejercicios de Reforzamiento ............................................................................................. 34

8

BIBLIOGRAFÍA..........................................................................................................38

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1 INTRODUCCIÓN

Una columna en ingeniería estructural es un elemento estructural que transmite, a través de compresión, el peso de la estructura sobre otros elementos estructurales que se encuentran debajo. Estas pueden ser diseñadas para resistir las fuerzas laterales del viento o de los movimientos sísmicos. Las columnas son frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superiores de las paredes o techos descansan. Las primeras columnas eran construidas

de

piedras,

sacadas

de

una

pieza

simple

de

roca,

usualmente rotándolas sobre un aparato parecido a un torno. Otras fueron creadas de múltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco. Las columnas modernas son construidas de acero, concreto vertido o prefabricado, o de ladrillo. Luego pueden ser revestidas en una cubierta arquitectónica o dejadas sin cubrir. En el presente trabajo abordaremos la clasificación y métodos para dimensionar una columna, como vimos en el párrafo anterior este elemento estructural cumple un rol fundamental en edificaciones, es por eso que este modesto trabajo va evocado para a difundir algunos conceptos y metodología de desarrollo de los mismos. Esperando que este trabajo sea del agrado del lector, así también como parte de su aprendizaje o reforzamiento de lo que a continuación se verá.

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Columnas 2 Definiciones 2.1 Columna. La columna es un elemento sometido principalmente a compresión, por lo tanto el diseño está basado en la fuerza interna, conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas, también se diseñan para flexión de tal forma que la combinación así generada se denomina flexocompresión. Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello que el predimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño debido a diversos factores. Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometría, lo cuales influyen en el tipo de falla. Las columnas en este trabajo la dividiremos en:

2.1.1 Columnas Largas: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor de 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se mayor igual a 100.

2.1.2 Columnas Intermedias: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se encuentre entre 30 y 100. En algunos casos las columnas cortas también forman parte de esta clasificación (se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal). La diferencia entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento, las columnas largas se rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por

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una combinación de aplastamiento y pandeo, y las columnas cortas, por aplastamiento. 2.2

Comportamiento Dentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento

estructural están: equilibrio, resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación máxima permitida o el esfuerzo máximo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral, el cual es una deflexión que ocurre en la columna (véase Figura 3); cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la deflexión agranda la magnitud del momento flector, creciendo así la curvatura de la columna hasta la falla; este caso se considera inestable. Por ello la resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas cortas y el de estabilidad para columnas largas (véase Figura 1). La estabilidad es así el nuevo parámetro que define además de la resistencia y la rigidez.

Figura 1. Disminución del esfuerzo de trabajo a compresión según la esbeltez de la columna. (Timoshenko y Young, 2000, p. 282)

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2.3

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Carga crítica

La deformación de la columna varía según ciertas magnitudes de cargas, para valores de P bajos se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento y aparece la deflexión lateral. Existe una carga límite que separa estos dos tipos de configuraciones y se conoce como carga crítica Pcr (véase Figura 2).

Los factores que influyen en la magnitud de la carga crítica son la longitud de la columna, las condiciones de los extremos y la sección transversal de la columna. Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o coeficiente de esbeltez, el cual es el parámetro que mide la resistencia de la columna. De esta forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro más grande posible, o una longitud que sea menor, ya que de ambas formas se reduce la esbeltez y aumenta el esfuerzo crítico. COLUMNAS

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2.4 Excentricidad Cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es excéntrica y genera un momento adicional que disminuye la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los extremos de la columna debido a varios factores, hace que la carga no actúe en el centroide de la columna (véase Figura 4). Esta relación del momento respecto a la carga axial se puede expresar en unidades de distancia según la propiedad del momento3, la distancia se denomina excentricidad. Cuando la excentricidad es pequeña la flexión es despreciable y cuando la excentricidad es grande aumenta los efectos de flexión sobre la columna.

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2.5 Longitud efectiva La longitud efectiva combina la longitud real con el factor defijación de extremos; Lt = KL fue deducida para el caso de una columna con extremos articulados, o libres de girar. En otras palabras. L en la ecuación representa la distancia no soportada entre los puntos con momento cero. Si la columna que soportada en otras formas, la fórmula de Euler se puede usar para determinar la carga crítica, siempre que ‘L” represente la distancia entre puntos con momento cero. A esta distancia se le llama longitud efectiva de la columna, Le. Es obvio que para una columna con extremos, pero en figura (5-d). Para la columna con un extremo fijo y uno empotrado que se analizó arriba, se encontró que la curva de deflexión fue la mitad de la de una columna con sus extremos articulados, cuya longitudes 2L y así tenemos más ejemplos con sus valores de longitud efectiva. Para calcular la longitud efectiva se usaran las siguientes relaciones: a. Columnas con extremos de pasador: Le=KL= 1.0(L) = L b. Columnas con extremos fijos: Le=KL = 0,65(L) c. Columnas con extremos libres: L,=KL = 2.10(L) d. Columnas con pasadores fijos y el otro fijo: L,=KL=0.80(L)

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3 Fórmula de Euler para columnas largas o muy esbeltas La fórmula de Euler es válida solamente para columnas largas y calcula lo que se conoce como "carga critica de pandeo", esta es la última carga que puede soportar por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso. La columna articulada en sus extremos, inicialmente recta homogénea, de sección transversal constante en toda su longitud se comporta elásticamente. Puede tener dos posiciones de equilibrio: recta o ligeramente deformada. Se aplica una fuerza horizontal Q para y de esto podemos inferir lo siguiente:

M

Corte

0

M   Py

De la ecuación de la elástica

d 2 y M  Py   dx 2 EI EI

se obtiene.

d2y  P    y  0 dx 2  EI  Haciendo que k 2 

P se escribe EI

d2y  k2 y  0 2 dx

Es una ecuación diferencial de segundo Orden cuya solución es y  A cos(kx)  Bsen(kx)

Aplicando las condiciones de frontera tenemos que, x=0, y=0 que sustituyendo en la ecuación

0  A cos(0)  Bsen(0)

A0 Para x=L, y=0 por lo tanto 0  Bsen(0)

B no puede ser 0 así que, sen KL = 0 COLUMNAS

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[COLUMNAS] La solución general seria:

kL  n

P n  EI L P

n 2 2 EI L2

Donde n describe todos los modos de pandeo, pero generalmente se toma n = 1, resultando la fórmula: P

 2 EI L2

3.1 LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es más flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de l en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir cl pandeo no depende dc la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo elástico. Por este motivo. Dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearan bajo la misma carga crítica, ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo módulo elástico. Así, pues, para aumentar la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo más posible el momento dc inercia de la sección. Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible. (Recuérdese el ejemplo clásico de la columna hueca de sección circular.)

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Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia (por Ar2, donde A es el área dc la sección recta y r el radio de giro mínimo’. Para el caso fundamental se tiene:

P  A



E 2 L

r



2

El valor P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama esfuerzo crítico. Su límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. La relación L/r se llama esbeltez mecánica, o simplemente esbeltez, de la columna. Como una columna cargada axialmente tiende a pandearse respecto del eje I mínimo, para hallar la esbeltez de una columna se divide la longitud equivalente o efectiva entre el radio de giro mínimo de la sección recta. Por conveniencia, se definen como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el límite inferior de aplicación de La fórmula dc Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación los valores conocidos de límite de proporcionalidad y del módulo elástico de cada material. Así, pues, el límite mínimo de La esbeltez varía con el material y también con los diferentes tipos dentro de cada material.

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Por debajo de este valor, como se indica en la figura 6, en la parte punteada de La curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler excederla al límite de proporcionalidad, por Lo que para L/r < 100 la fórmula de Euler no es aplicable, y hay que considerar corno esfuerzo crítico el [imite de proporcionalidad. La curva muestra también que el esfuerzo critico en una columna disminuye rápidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al proyectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea la menor posible. Finalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica y no la carga de trabajo. Por ello es preciso dividir la carga crítica entre el correspondiente factor de seguridad, que suele ser de 2 a 3 según el material y las circunstancias, para obtener el valor de la carga admisible.

4 Columnas de Longitud intermedia, Formulas empíricas Lo visto anteriormente es aplicable para columnas del cual la esbeltez mecánica sea mayor que el valor para el que el esfuerzo medio alcance el límite de proporcionalidad. A continuación veremos un gráfico para ver la zona de las columnas intermedios en relación

a

las

columnas largas y cortas

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Se han desarrollado muchas fórmulas empíricas para las columnas intermedias de acero, por ser un material muy empleado en las estructuras. Se examinan en primer lugar, y luego se verá la aplicación a otros materiales. En uno de los métodos propuestos el de “la teoría del doble módulo” se generaliza la aplicación de la fórmula de Euler a las columnas intermedias, con esfuerzos sobre el límite de proporcionalidad, sustituyendo el módulo elástico constante E por un módulo reducido E , es decir,

P E 2  2 A L r

 

El módulo reducido E , que también se llama módulo de tangente o tangencial, es la pendiente de la tangente al diagrama de esfuerzo-deformación en el punto que corresponde al esfuerzo medio en la columna. Esta fórmula proporciona una curva que empalma las dos gráficas representativas dc las columnas cortas y largas. Aunque este método es empírico, ya que la fórmula de Euler se basa en la proporcionalidad esfuerzo-deformación, los ensayos reales demuestran una gran concordancia con la curva teórica.

4.1 Otros métodos para columnas intermedias. 4.1.1 Método de T.H. Johnson. Este método consiste en ajustar una recta a los valores medios de la serie de numerosos ensayos graficando los valores de P/A así poder encontrar el valor de rotura por pandeo, generando una ecuación de la siguiente forma:

P L  C A r COLUMNAS

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[COLUMNAS] En donde  es el valor para L/r = 0

Así Tetmajer y Bauschinger ensayaron en acero estructural encontrando la expresión P L  330  1.45 A r

P L  110  0.483 A r Afectado con un factor de seguridad de 3

4.1.2 Método de Rankine-Gordon. Gordon sugirió una fórmula empírica para los elementos comprimidos basada en datos experimentales. Rankine modificó la fórmula de Gordon. La demostración siguiente desarrolla el razonamiento para esta fórmula.

P FE = Carga crítica de Euler.

 2 EI L2 y se aplica a los puntales

FU =Última carga compresiva = (σU·A) y se aplica a las columnas. σU = última tensión de compresión. A = área de la sección.

Rankine sugirió que una columna cargada falla en su parte intermedia debido a la compresión y al pandeo en más o menos grados. De acuerdo con datos experimentales, se encuentra que una predicción razonable de la carga crítica es dada por la fórmula siguiente.

FR 

1 1  FE FU

FR 

FE FU FE  FU

Que arreglándola queda

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FR = Carga crítica de Rankine

Sabemos que:

FU   U A

FE 

 2 EI L2

Entonces:

 U A 2 EA

FR 

Lr 

2

 2    EA   A U   L 2  r 

 

De esta manera haciendo acomodos:

U P  A 1  L

 r

2

Donde la forma muy utilizada de esta expresión, que se ha llamado RankineGordon, es: 𝑃 = 𝐴

124 1+

Donde

1 𝐿 2 ( ) 3 18𝑥10 𝑟

𝑀𝑃𝑎

detallaremos

a

continuación un gráfico de comparación entre Euler y Rankine.

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4.1.3 Método de Ros-Brunner. El método Ros-Brunner (1926) es el utilizado como base de cálculo del método que se utiliza en el presente proyecto de Käpplein. Es una base estructural a la que Käpplein le incorporó el análisis térmico. La base de cálculo es la misma que el anterior sobre la carga crítica de Euler pero en sus cálculos tiene en cuenta además la excentricidad. Ésta tiene en cuenta la provocada por la desviación entre la pared interna y externa de la columna y además la excentricidad del centro de la columna respecto a los extremos (pandeo inicial). A partir de ahí elaboró una serie de gráficos adimensionales para el cálculo de las columnas.

La figura anterior muestra un ejemplo de uno de los gráficos de Ros-Brunner. Tienen en cuenta los siguientes parámetros: 1- la relación entre el espesor de la columna y su diámetro exterior. El ejemplo de la figura anterior tm/da= 0.1

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[COLUMNAS] 2- la esbeltez reducida  

 

RD donde los parámetros son: EO

a. λ = esbeltez mecánica de la columna y se calcula mediante la fórmula:



L Donde L es la longitud física de la columna e i (radio de giro) i

Siendo I y A el momento de inercia y el área de la sección transversal respectivamente. b. RD es la capacidad última a compresión del material. c. E0 es el módulo de elasticidad del material. 3- σkr es el valor de la tensión admisible, es el valor que buscamos a partir de RD teniendo en cuenta las disminuciones por esbeltez reducida y por excentricidades referidas. 4- m es el valor de la excentricidad referida de la columna. Se calcula mediante la siguiente expresión:

m

e k , donde

e  e1  e2 y e1  De  Di  t siendo D e

2

y

Di el

diámetro exterior e interior respectivamente y tmin el espesor mínimo de la sección; y e2 es la desviación de la pared exterior de la columna en su longitud media respecto a los extremos. (Puede interpretarse como pandeo inicial) k

W Donde W es el módulo resistente de la sección y A es el área de la A

sección. Sabiendo que el módulo resistente es igual al momento de inercia dividido por el radio, la fórmula anterior queda simplificada a la siguiente expresión

De 2  Di 2 k 8De

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4.1.4 Método de Desarrollo del cómputo a partir de Käpplein (1998). La base de la prueba de cómputo de la capacidad de carga de las columnas de fundición a temperatura ambiente se basa en la teoría a partir de Ros/ Brunner (1926). Para su uso práctico se desarrolló un diagrama adimensional de la capacidad de tensión portante. Para poder utilizar el procedimiento a partir de Ros/ Brunner, es necesario conocer la curva tensión-deformación. La capacidad de carga a temperatura ambiente será proporcional a temperaturas más altas. Igualmente los coeficientes relativamente altos de una aleación de fundición gris van acompañado a la temperatura ambiente también de rigideces superiores en temperaturas altas. Mediante probetas se realizaron ensayos de tensión deformación en función de diferentes temperaturas realizados en pruebas de laboratorio y se obtuvo la siguiente gráfica:

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4.1.5 Método de Fórmula de Tredgold Es una de las más antiguas. Se la conoce desde 1886. Fue adoptada por Gordon para representar los resultados experimentales de Hodgkinson, si bien posteriormente fue modificada por Rankine. La tensión media compresora σU admitida, según este autor, deberá ser:

Siendo a y b dos constantes, función del material utilizado. El Instituto Americano para la Construcción en Acero en 1928 la expresó así:

4.1.6 Método de Fórmula de Ostenfeld Data de 1898. La Fatiga Crítica para el acero de construcción, según este autor, se expresa así:

Esta parábola es tangente a la curva de Euler en λ = 122,5 y da lugar a Los coeficientes de seguridad a adoptar, según Ostenfeld, se sitúan entre 2.5 y 3

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4.1.7 Fórmula de la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles En este caso, las fórmulas se refieren a la Fatiga admitida σU.

4.1.8 Fórmula del Column Research Council (CRC) Aplicable solamente para barras y columnas de acero. En todo lo que sigue, σCR representa el valor límite o "Crítico" de la tensión media P/A.

Se define a:

que, según esta organización, fija el límite entre el

pandeo elástico e inelástico. Según el valor de λ de la columna de acero se aplicará:

4.1.9 Formula Del Structural Stability Research Council (SSRC) Este organismo propuso en 1976, como consecuencia de sus resultados experimentales, un conjunto de fórmulas distintas, según material, tipo de perfil y proceso de fabricación. De entre todas ellas, la más utilizada para construcciones de acero es la denominada nº 2.

Definiendo a COLUMNAS

se aplican las siguientes reglas: Página 20

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4.1.10 Método AISC. El AISC’ (American Institute of Steel Construction) define el límite entre columnas intermedias y largas como el valor de la relación de esbeltez Cc dado por

Cc 

2 2 E

 PC

Donde E es el módulo de elasticidad (200 GPa para la mayoría de los tipos de acero) y  PC es el esfuerzo en el pun lo de cedencia para el tipo particular de acero empleado. Para columnas dc longitud efectiva L, y radio dc giro mínimo r, cl AISC especifica que para L/r>Cc, el esfuerzo de trabajo

T 

 T , está dado por

12 2 E L 23  e   r 

2

(Nótese que ésta es la fórmula de Euler con un factor de seguridad de 23/12 =1.92.) Para Le/r < Cr, el AISC especifica la fórmula parabólica donde el factor de seguridad, FS, está dado por

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L L 3  e   e  r   r  5 FS     3 8Cc 8Cc 3

3

Obsérvese que el factor de seguridad es 1 .92 cuando Le/r = c y disminuye al aumentar la relación de esbeltez. La

 T variación de con Le/r para diferentes tipos

de acero se muestra

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5 COLUMNAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE Las columnas se suelen diseñar para soportar cargas axiales, y las fórmulas que se han expuesto lo han sido con este criterio. Sin embargo, en ocasiones las columnas pueden estar sometidas a cargas con una determinada excentricidad, por ejemplo, cuando se remacha una viga al ala de una columna en la estructura de un edificio. La fórmula de la secante que se estudia lo veremos a continuación es especialmente adecuada para tales casos, pero su aplicación numérica es tan engorrosa que suele emplearse con frecuencia el procedimiento simplificado que se indica a continuación

Se estudia la columna excéntricamente cargada como si fuera, en lo que se refiere a los esfuerzos, un elemento Corto cargado excéntricamente. Pero para eliminar la posibilidad del pandeo, de manera que pueda despreciarse el efecto de la flexión en el brazo de momento de la fuerza o carga excéntrica, se limita el esfuerzo máximo de compresión a la carga unitaria calculada con una cualquiera de las fórmulas expuestas en las secciones anteriores.

Aplicando este procedimiento a la columna, que soporta una carga axial P0 y una carga P con excentricidad e, el criterio de dimensionado debe ser:

𝜎≥

Σ𝑃 𝑀𝑐 𝑃𝑜 + 𝑃 𝑃𝑒 + = + 𝐴 𝐼 𝐴 𝑆

En donde 𝜎 es la carga unitaria de seguridad, calculada por una de las fórmulas dadas de las columnas (tomando como radio de giro para la determinación de la esbeltez siempre el menor, aunque la excentricidad no sea en esa dirección), l momento de inercia correspondiente al eje con respecto al que se produce la flexión (eje X-X en la Fig. 11) y S el módulo resistente respecto del mismo eje. Los modernos criterios de diseño han refinado el planteamiento de máximo esfuerzo para incluir los momentos, llamados secundarios, que se introducen debido a la deflexión del eje neutro (el llamado efecto P-ô). Estos efectos toman la forma, muy COLUMNAS

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frecuentemente, de ecuaciones de interacción, que intentan sopesar la importancia relativa del esfuerzo axial y del esfuerzo por flexión.

5.1 La fórmula de la Secante La fórmula de Euler fue deducida suponiendo que la carga P siempre seaplica pasando por el centroide del área transversal de la columna, y que iacolumna es perfectamente recta. En realidad esto no es realista, ya quelas columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicación de la carga se conoce con gran exactitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean de repente; más bien comienza a doblarse, aunque siempre en forma muy insignificante, inmediatamente después de aplicarla carga. El resultado es que el criterio real para aplicación de la carga se limita ya sea a una deflexión especificada de la columna, o no permitiendo que el esfuerzo máximo en la columna rebase un valor admisible. Para estudiar este efecto aplicaremos la carga P a la columna, a una corta distancia excéntrica e del centroide de la sección transversal. Esta carga en la columna es equivalente. Estáticamente a la carga axial P y a un momento de flexión M’= Pe. COLUMNAS

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Como se ve, en ambos casos los extremos A y B están soportados de modo que son libres de girar (están articulados). Como antes, sólo se considerarán pendientes y deflexiones pequeñas, y que el comportamiento del material es elástico lineal. Además, que el plano x-v es plano de simetría para el área transversal. De acuerdo con el diagrama de cuerpo Libre de la sección arbitraria, el momento interno en la columna es

M   P(e  v) Se puede considerar que estas

columnas

de

madera están articuladas en su base y empotradas en

las

vigas

en

sus

extremos superiores. La flexión de las vigas hará que las columnas estén cargadas excéntricamente En

consecuencia

la

deflexión es EI

d 2v   P (e  v ) . dx 2

De la ecuación diferencial de 2do grado resolvemos y tenemos:

v  C1sen(

P P x)  C2 cos( x)  e EI EI

Utilizamos las condiciones de frontera y obtenemos C2  e

y

e 1  cos P L  EI   C1   sen P L EI

Resolviendo obtenemos que la curva de deflexión de la siguiente manera:

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  L v  e  tan  P  sen EI 2  



P

EI

 

x  cos

P

EI



 x  1 

Debido a la simetría cuando x= L/2 obtenemos el valor máximo.

  L  vmax  e sec  P  1 EI 2     El esfuerzo máximo se puede hallar al tener en cuenta que se debe tanto a la carga axial como al momento. El momento máximo está en el centro de la columna M  P(e  vmax ) L  M  P.e.sec  P EI 2  

El esfuerzo máximo es de compresión y su valor es M

P M .c  A I

 max 

P P.e.c L   sec  P  EI A I 2 

2 Como el radio de giro es r  I / A y de esto podemos deducir la fórmula de la secante:

 max 

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P  e.c L P  1  sec  EA   A  r 2 2

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[COLUMNAS]

6 PREDIMENCIONAMIENTO DE COLUMNAS 6.1 Columna de Madera Las columnas de madera pueden ser de varios tipos: maciza, ensamblada, compuesta y laminadas unidas con pegamento. De este tipo de columnas la maciza es la más empleada, las demás son formadas por varios elementos.

6.1.1 Método para predimensionar columna de madera La ecuación de análisis se realiza según los esfuerzos y se expresa de forma simple tal como lo indica la Ecuación 3 (Parker y Ambrose, 1995). 𝑓𝑎 𝑓𝑏 + ≤1 𝐹𝑎 𝐹𝑏 Donde: 𝑓𝑎 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙. 𝑓𝑎 =

𝑃 𝐴

𝐹𝑎 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖ò𝑛. 𝐹𝑎 = 𝐹𝑐 ∗ 𝐶𝑝 𝑓𝑏 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛, 𝑓𝑏 =

𝑀 𝑆

𝐹𝑏 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝐹𝑐 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑣𝑒𝑡𝑎 𝐶𝑝 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑔ú𝑛: 𝐶𝑝 = 𝑚 − √𝑚2 − 𝑛 Donde: 𝑚=

1+

𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐∗

2𝑐 𝐹𝑐𝐸

𝑛=

COLUMNAS

𝐹𝑐∗

𝑐 Página 27

RESISTENCIA DE MATERIALES II

[COLUMNAS] 𝐹𝑐𝐸 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑑𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑔ú𝑛 ∶

𝐹𝑐𝐸 =

𝐾𝑐𝐸 𝐸 𝐿 2

(𝑑)

Donde: 𝐾𝑐𝐸 =0,3 madera clasificada; 0,418 madera unida con pegamento; E = módulo de elasticidad; L = longitud sin arriostrar; d = menor dimensión de la sección transversal. 𝑐 =0,8 madera aserrada; 0,85 secciones circulares; 0,9 madera laminada con pegamento;

6.2 Columna de Acero El diseño de las columnas de acero se basa en la desigualdad de la ecuación del diseño por estados límites y se presenta en la forma indicada en la ecuación (*). La esencia de la ecuación es que la suma de los efectos de las cargas divididas entre la resistencia minorada debe ser menor o igual a la unidad (Segui, 2000).

Σ𝛾𝑖 𝑄𝑖 ≤1 𝜙𝑅𝑛 Donde: Σ𝛾𝑖 𝑄𝑖 = Suma de los efectos de cargas; 𝜙𝑅𝑛 = Resistencia disminuida de la columna

Perfiles usados para columnas

Secciones transversales típicas de columnas de acero (McCormac, 1996, p.99)

COLUMNAS

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[COLUMNAS]

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Secciones transversales típicas de columnas de acero (McCormac, 1996, p.99)

6.2.1 Sección de la columna La resistencia correspondiente a cualquier modo de pandeo no puede desarrollarse si los elementos de la sección transversal son tan delgados que se presenta un pandeo local. Por lo tanto existe una clasificación de las secciones transversales según los valores límite de las razones ancho-espesor y se clasifican como compactas, no compactas o esbeltas. En general, dentro de los límites de los márgenes disponibles y teniendo en cuenta las limitaciones por espesor, el diseñador usa una sección con el radio de giro más grande posible, reduciendo así la relación de esbeltez e incrementando el esfuerzo crítico. (Galambos, Lin, y Johnston, 1999; Segui, 2000)

6.2.2 Método para predimensionar la columna de acero Para perfiles que no se encuentren en las tablas de cargas para columnas debe usarse un procedimiento de tanteos. El procedimiento general es suponer un perfil y luego calcular su resistencia de diseño. Si la resistencia es muy pequeña (insegura) o demasiado grande (antieconómica), deberá hacerse otro tanteo. Un enfoque sistemático para hacer la selección de tanteo es como sigue: −

Seleccionar un perfil de tanteo.

−

Calcular Fcr y øc Pn para el perfil de tanteo.

COLUMNAS

Página 29

RESISTENCIA DE MATERIALES II

[COLUMNAS] −

Revisar con la fórmula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al

valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado. De otra manera, repetir todo el procedimiento. (Segui, 2000)

Si: Si:

𝑃𝑢 𝜙𝑐 𝑃𝑛 𝑃𝑢 𝜙𝑐 𝑃𝑛

≥ 0,2

=>

< 0,2

=>

𝑃𝑢 𝜙𝑐

8

𝑀𝑢

+ ( 𝑃𝑛 9 𝜙

𝑃𝑢 2𝜙𝑐 𝑃𝑛

𝑏 𝑀𝑛

+(

𝑀𝑢

𝜙𝑏 𝑀𝑛

)≤1

)≤1

Donde: 𝑃𝑢 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎; 𝑃𝑛 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑑𝑒𝑜, 𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑐𝑟 𝐴; 𝑀𝑢 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜; 𝑀𝑛 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝜙𝑏 𝑀𝑛 = 𝜙𝑏 𝐹𝑦 𝑍 ; 𝐹𝑦 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜; 𝐹𝑐𝑟 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑑𝑒𝑜; 𝜙 = 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝜙𝑐 = 0,85; 𝜙𝑏 = 0,90 .

6.3 Columna de Concreto Armado Las columnas de concreto armado pueden ser de tres tipos que son: −

Elemento reforzados con barras longitudinales y zunchos.

−

Elementos reforzados con barras longitudinales y estribos,

−

Elementos reforzados con tubos de acero estructural, con o sin barras longitudinales, además de diferentes tipos de refuerzo transversal

Para las columnas de concreto armado, la cuantía de acero 4 oscila entre 1 y 8% con un mínimo de 4 barras longitudinales (Nilson y Winter, 1994).

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[COLUMNAS]

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Tipos de columnas de concreto armado. (Nilson y Winter, 1994, p.20; McCormac, 1996, p.479)

6.3.1 Método para predimensionar columnas de concreto armado Existen dos tipos de métodos para predimensionar las columnas de concreto armado, el primero es una aproximación, ya que se basa en la carga axial únicamente, debido a que esta carga es fácil de obtener por métodos aproximados para cálculos preliminares de pórticos. El segundo método es más preciso y está basado en la carga axial y el momento flector conocido, valores que son los necesarios para diseñar una columna.

6.3.2 Conocido Pu Existen una gran variedad de fórmulas para predimensionar columnas con Pu conocido, solo se presenta dos tipos. Método sugerido por Nilson y Winter Las dimensiones de las columnas se controlan principalmente por cargas axiales, aunque la presencia de momento incrementa el área necesaria. Para columnas interiores, donde el incremento de momento no es apreciable un aumento del 10% puede ser suficiente, mientras que para columnas exteriores un incremento del 50% del área sería apropiado (Nilson y Winter, 1994).

COLUMNAS

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

[COLUMNAS] Método sugerido por Arnal y Epelboim

El área de concreto armado puede estimarse por la fórmula (Arnal, y Epelboim, 1985) 𝐴𝑐 =

𝑃𝑢 𝛼𝜙𝑓𝑐∗

Donde: Ac = Area de la columna, = Factor según la posición de la columna indicada en la tabla siguiente Tabla de Factores 𝜶 según la ubicación de la columna

Tipo de columna

𝜶

Esquina

0,20

Borde

0,25

Central

0,28

Diagrama de interacción para la resistencia nominal de una columna (Nilson y Winter, 1994, p.244)

COLUMNAS

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

[COLUMNAS]

6.3.3 Conocido Pu y Mu Este método está basado en el empleo de ábacos basados en diagramas de interacción de resistencia que definen la combinación de carga axial y momento flector de falla para una columna determinada, con un intervalo completo de excentricidades desde cero hasta infinito. Los pasos para obtener las dimensiones Son:

𝑒

𝑒=

𝑀𝑢

;

a)

Calcular la excentricidad

b)

𝑦 Seleccionar la cuantía de acero ρ=[0,02; 0,03] y calcular 𝜔 = 0.85𝑓 ∗

c)

escoger un valor tentativo para h o D y escoger el ábaco con 𝑦 =

d)

calcular el valor

𝑃𝑢

𝜌𝑓

𝑐

𝑒 ℎ

o

𝑒 𝐷

ℎ−2𝑟 ℎ

o𝑦=

𝐷−2𝑟 𝐷

con el valor de h o D del paso anterior y trazar una

línea radial que represente este valor 𝑒 ℎ

𝑒 𝐷

ℎ

𝑒

𝜇

𝐷

𝑣

𝑜 =

con la curva ω leer el correspondiente ν;

e)

donde corta la línea radial

f)

calcular el área requerida Ag con 𝐴𝑔 =

g)

Calcular 𝑏 =

h)

Si es necesario revisar el valor tentativo de h para obtener una sección bien

proporcionada

𝑏 ℎ

𝐴𝑔 ℎ

o

𝑒

𝑃𝑢 𝜙0.85𝑓𝑐′ 𝑣

4𝐴𝑔

𝑜 𝐷=√

𝜋

= [0,6;1]o si es el mismo valor para D (Nilson y Winter, 1994).

Dimensiones mínimas de una columna de concreto armado 20x20 o 30x30 para zona sísmica.

COLUMNAS

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

[COLUMNAS]

7 Ejercicios de Reforzamiento Ejercicio 1

Escoger el perfil W más ligero para una columna de 8m de longitud con extremos empotrados que ha de soportar una carga de 270 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5. El límite de proporcionalidad es de 200MPa y E= 200 GPa. Resolución: Tenemos una carga crítica de Euler de 270 kN. Además: 𝐿𝑒 =

𝐿 8 = = 4𝑚 (𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜) 2 2 𝐹𝛿 = 2.5

E = 200 GPa Dónde la carga de trabajo es 2,5(270) = 675

𝐼≥

(675𝑥103 )(4)2 𝑃𝐿2 = = 5,47𝑥10−6 𝑚4 ≥ 5,47𝑥106 𝑚𝑚4 𝐸𝜋 2 (200𝑥109 )𝜋 2 𝑟≤

𝐿 4000 = = 40𝑚𝑚 100 100

Escogemos W200 x 36: 𝐼 = 7,64𝑥106 𝑚𝑚4 𝑟 = 40,9 𝑚𝑚 Considerando el límite de proporcionalidad: 𝐴≥

675𝑥103 = 3375𝑥10−3 𝑚2 => 𝐴 ≥ 3375𝑚𝑚2 200𝑥106

Escogemos un W200 x 36: 𝐴 = 4580 𝑚𝑚2 𝑟 = 40,9𝑚𝑚

.: Seleccionamos un perfil W200 x 36

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

[COLUMNAS] Ejercicio 2

Cuatro ángulos de 100x100x10mm se unen mediante placas en celosía para formar una sección compuesta, como se indica en la figura. Aplicando las especificaciones de la AISC, con σPC=290MPa, determinar la longitud máxima que puede tener si ha de soportar una carga de 500kN. ¿Cuál debe ser la longitud libre entre ángulos, de manera que su esbeltez sea, como máximo, igual a las tres cuartas partes de la correspondiente a la sección compuesta?

250mm

Resolución:

250mm

S

L100x100x10

Tenemos los datos: P=550 kN σpc=290 MPa L= ? Para el ángulo: (de tabla) A’=1920 mm2

X

r’=20,4mm l’=177x106mm6

X 100

x’=28,2mm Para la sección compuesta: I=Σ(Ii + Aidi2) y di = s – x = 125 – 28,2 di= 96,8mm COLUMNAS

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

[COLUMNAS] I=4(1,77x106 + 1920x96,82) = 4(19,76x106) A= ΣAi =4A’ = 4(1920) = 7680 mm2 𝐼 4𝑥19,76𝑥106 𝑟=√ = √ = 101𝑚𝑚 𝐴 4(1920) La relación de esbeltez límite es: 2𝜋 2 𝐸 2𝜋 2 (200𝑥109 ) 𝐶𝑐 = √ =√ = 117 𝜎𝑝𝑐 290𝑥106 Asumimos: a) L=Le (extremos articulados) b) Le/r > Cc Entonces, aplicando: 𝑃 12𝜋 2 𝐸 = 𝐿𝑒 2 𝐴 23 ( )

𝜎=

=>

𝑟

𝐿𝑒 12𝜋 2 𝐸 = √ 𝑃 𝑟 23(𝐴)

Reemplazando valores obtenidos: 𝐿𝑒 12𝜋 2 (200𝑥109 ) =√ = 125,8 500𝑥103 𝑟 23( ) 7680𝑥10−6

Cumple b) Le/r = 125,8 > Cc =117 L = Le = 125,8(101)

=> L=12,7

Para obtener la separación libre entre ángulos: 𝐿′ 3 𝐿𝑒 3 = ( ) = (125,8) = 94,35 ′ 𝑟 4 𝑟 4 De donde: L’ = 94,35(30,4) = 2,8m Verificamos que el esfuerzo σmáx > σaplicado 𝐿𝑒

𝐿′

3

5 3 ( 𝑟 ) (𝑟′ ) 𝐹𝑠 = + − = 1,9 3 8𝐶𝑐 8𝐶𝑐 3 𝐿′

𝜎𝑇 = [1 −

2

(𝑟 ′ ) 2𝐶𝑐

2]

𝜎𝑝𝑐 𝐹𝑠

=> 𝜎𝑇 = [1 −

𝜎𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 = COLUMNAS

(94,35)2 290𝑥106 ] = 103 𝑀𝑃𝑎 2(117)2 1,9

𝑃 500𝑥103 = = 65 < 𝜎𝑇 𝐴 7680𝑥10−6 Página 36

RESISTENCIA DE MATERIALES II

[COLUMNAS] Ejercicio 3

Un perfil W360x134 va emplearse como columna con una longitud de 9m. La columna soporta una carga axial de 260 kN y una excentricidad de 360kN, que actúa sobre el eje Y. Determinar la excentricidad máxima de carga de 360kN usando el método del máximo esfuerzo y la fórmula lineal de la ecuación: 𝑃 𝐿 = 110 − 0.483 ( ) 𝐴 𝑟 Resolución: De la tabla, las propiedades del perfil W360x124 son: A= 17 100mm2 Sx= 2330x103mm3 ry= 94mm Además: L=9m 𝐿

Se tiene una relación de esbeltez de: 𝑟 =

9000 94

= 95,7

=>

30<

𝐿 𝑟

63,7𝑥106 =

De donde: 𝑒 = 0,178𝑚

COLUMNAS

260𝑥103 +360𝑥103 17100𝑥10−6

+

𝑒(360𝑥103 ) 2330𝑥10−6

=> 𝒆 = 𝟏𝟕𝟖𝒎𝒎

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[COLUMNAS]

RESISTENCIA DE MATERIALES II

8 BIBLIOGRAFÍA

 Machanics Of Materials - R.C. Hibbeler  Resistencia de Materiales Aplicada - Robert L. Mott  Resistencia de Materiales - Pytel - Singer  Resistencia de Materiales - James M. Gere  Mecánica de Materiales – Timoshenko  diseño de estructuras de acero - Mccormac  http://www.efn.unc.edu.ar/departamentos/estruct/mec1_ic/cap9.pdf  http://ingcivil.org/diseno-de-juntas-vigas-columnas-en-estructuras-deconcreto/  http://www.ingenierocivilinfo.com/2010/02/columnas.html  http://es.scribd.com/doc/18359441/10/LA-FORMULA-DE-EULER-PARACOLUMNAS  http://columnasdeacero-moreno.blogspot.com/2011/11/formulasempiricas.html  http://www.revistas.unal.edu.co/index.php/ingeinv/article/viewFile/24484/250 75

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