Trabajo de Algebra

 

 

“ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO” 

FACULTAD DE MECANICA CARRERA: INGENIERIA AUTOMOTRIZ ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA ANALITICA OCAÑA TISALEMA HENRY DAMIAN 2084 OCTUBRE-MARZO 2018

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  1.  RESUMEN. En este trabajo podremos encontrar todo lo necesario acerca de lo que debemos conocer de los sistemas de ecuaciones lineales. Encontraremos lo más básico desde conceptos necesarios para entender a qué nos vamos a dedicar a resolver. Utilizaremos varios métodos para los distintos sistemas de ecuaciones lineales que se nos presente en el transcurso de este semestre como son el método de Gauss-Jordán, Cramer, etc. También tendremos a disposición de ciertas reglas necesarias para poder desarrollar dichos sistemas, ya que todos los métodos a veces no son aplicables a nuestros sistemas y es por esto que se an desarrollado estos caminos para facilitarnos y ahorrarnos mucho tiempo. 2.  JUSTIFICACIÓN. Se considera necesario esta investigación ya que algunos estudiantes no conocemos todos estos métodos aquí presentes, esto nos ahorra tiempo y mejor comprensión acerca de la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales, sin importar de cuantos términos sean los mismos. También  para entender la diferencia entre este tipo de sistema de ecuaciones con otros que existen en el mundo de las matemáticas. Un estudiante de ingeniería debe dominar estos temas a perfección. 3.  OBJETIVO GENERAL. Aprender aplicar los métodos de la resolución de sistemas de ecuaciones para poder ahorrarnos tiempo, además que debemos dominar estos temas básicos para temas futuros fu turos dentro de lo que se comprende en el Algebra lineal. 4.  OBJETIVO ESPECIFICO. Diferenciar los métodos a aplicarse ya que todos no son los mismos, además su correcta utilización como también cuando no debemos utilizar por sus reglas que presenta cada uno. 2

 

  MARCO TEÓRICO 1.  DEFINICIONES BÁSICAS. 1.1 DEFINICIÓN DE SISTEMA. Un sistema es módulo ordenado de elementos que se encuentran interrelacionados y que interactúan entre sí. El concepto se utiliza tanto para definir a un conjunto de conceptos como a objetos reales dotados de organización. 1.2 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN. Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario “x”, “y”, “z”, aunque puede utilizarse cualquier otra letra.

1.3 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL. Es una ecuación polinómica de grado uno, en una o varias incógnitas. Es decir es una expresión de la forma: 1 1 …   =  

Donde los términos 1 , … ,  , son números reales que se llaman coeficientes, el termino b también es un término real y es el termino independiente. Mientras los términos 1 …

 ,

son los términos

desconocidos o también conocidos como incógnitas. Una solución de ecuación es una asignación de valores en las incógnitas, para ver si se cumple la igualdad propuesta.

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  1.4 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA O MÁS INCOGNITAS. Es aquella expresión algebraica que relaciona coeficientes literales o numéricos con una o más incógnitas, tal que las mismas estén todas elevadas a la 1ª potencia. Se llama ecuación lineal en una o más variables a todo polinomio de primer grado en dichas variables igualado a cero.

Figura 1: Demostración de resolución de ecuaciones lineales. Fuente: Libro de algebra y geometría analítica. Marinsales.

1.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. Se llama solución de ecuación lineal de orden n al conjunto de n valores

1  2  3 … .  ,

que satisfacen la ecuación. Análogamente: el conjunto de n valores 1  2  3 … .  , que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones son soluciones lineales del sistema de ecuaciones.

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  1.6 SISTEMA DE UNA ECUACIÓN DE UNA INCÓGNITA.

Figura 2: Ecuaciones de una incógnita. Fuente: Libro de algebra y geometría analítica. Marinsales.

2.  RESOLUCIÓN DE N ECUACIONES CON N INCÓGNITAS. Esto aplica solamente a los sistemas regulares. Se dice que un sistema de ecuaciones es regular si se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, incó gnitas, y si las características de la matriz del sistema son iguales a n. Esto significa: que el sistema regular debe tener igual número de ecuaciones y de incógnitas, y si ∆ es determinante, significa que ∆≠ 0.

2.1 MÉTODO DE LEIBTNITZ –  CRAMER.  CRAMER. Este método es exclusivo para ecuaciones regulares. Sea: Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes: Hallar la matriz ampliada ( A  b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones;

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  que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

Calcular el determinante de  A. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:   Ir sustituyendo la primera columna del det ( A) por los términos independientes;



  Dividir el resultado de este determinante entre el det ( A) para hallar el valor de la primera



incógnita;   Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas column as para hallar el



resto de las incógnitas. Ejemplo:

Figura 3: Resolución de ecuaciones lineales (Método de Cramer). Fuente:  https://www.sectormatematica.cl/contenidos/cramer.htm  Fuente:

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  2.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR INVENSIÓN DE MATRICES.

Figura 4: Resolución de ecuaciones lineales (Método de Matrices). Fuente: Libro de algebra y geometría analítica. Marinsales.

Como dato adicional hay que mencionar que un sistema es homogéneo si su vector de términos independientes es el vector nulo. Es decir: 1 = 0 … .  = 0 

2.3 TEOREMA DE ROUCHÈ-FROBENIUS. El teorema de Rouché-Frobenius es uno de los más importantes del Álgebra, al menos en cuanto a aplicaciones prácticas, ya que los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan en multitud de disciplinas y este resultado nos permite clasificar los SEL según el tipo de solución. El enunciado del teorema es el siguiente: Sea A·X un sistema m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un cuerpo en general), siendo m =y nB naturales (nodenulos). Entonces: 7

 

 

   

 

A·X = B es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango (A | B). A·X = B es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = n = rango(A | B)

Ejemplo:

Figura 5: Resolución de ecuaciones lineales (Método de Rouchè-Frobenius). Fuente:  https://www.matesfacil.com/Rouche-Frobenius.htm (Ejemplo 1) Fuente:

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  2.4 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. Se basa en el hecho de que si un vector  X  es  es solución del sistema lineal de ecuaciones:

También es solución del sistema lineal de ecuaciones que se obtiene al aplicar operaciones elementales fila a la matriz ampliada del sistema lineal de ecuaciones inicial,  A*. Lo que nos permite trabajar con matrices equivalentes para facilitar la búsqueda de las soluciones. El método consiste en realizar operaciones elementales en la matriz ampliada hasta obtener su forma    





escalonada (eliminación de Gauss) escalonada reducida (eliminación de Gauss-Jordan )

Ejemplos:

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Figura 6: Resolución de ecuaciones lineales (Método de Gauss-Jordan). Fuente: https://www https://www.matesfacil.com/matrices/matrices-sis .matesfacil.com/matrices/matrices-sistemas.html temas.html

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  3.  RESULTADOS: Los resultados obtenidos de esta investigación son muy apreciables porque aquí estamos aprendiendo los métodos más comunes de la resolución de las ecuaciones lineales. Pienso que si  perfeccionamos el método que nos resulte más fácil realizar podremos realizar re alizar cualquier ecuación lineal, pero siempre y cuando cumpla con las reglas caso contrario acudir a este mismo documento y buscar el método necesario.

4.  CONCLUSIONES.   Hemos logrado determinar los métodos más comunes para resolver ecuaciones lineales, y



así lograr la correcta utilización de los métodos ya investigados. paraa resolver este tipo de problemas, pero no todos los métodos    No existe un solo camino par



serán aplicables a todos los sistemas hay que verificar si cumple ciertas condiciones necesarias.   Aprendimos a utilizar un método adecuado para resolver de manera correcta este tipo de



ecuaciones.

5.  RECOMENDACIONES.    No confundir los sistemas de ecuaciones lineales con los sitemas cuadráticos ya que podría



causar confusión.

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    Verificar bien antes de realizar un sistema de ecuaciones de cuantas variables tiene para



 poder aplicar el método adecuado, hay que recordar que debe tener el mismo número de variables y de ecuaciones.   En la resolución a través de matrices diferenciar bien cuando el sistema es homogéneo ya



que también podría causar errores si aplicamos el método incorrecto.

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  BIBLIOGRAFIA: ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA: Marinsalta, primera edición, UTN, Bahía Blanca. Tema

2:

Sistema

de

ecuaciones

lineales.

Fuente;

http://www.uco.es/geometria/documentos/Tema2Biologia_Sistemas.pdf   https://definicion.de/sistema/   Definición de sistema. Fuente:  Fuente: https://definicion.de/sistema/ Definicion de ecuación. Fuente:  Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/EcuacioConcepto.htm  http://www.profesorenlinea.cl/matematica/EcuacioConcepto.htm   Sistema de ecuaciones lineales. Fuente:

https://www.matesfacil.com/matrices/matrices-

sistemas.html   sistemas.html https://www.sectormatematica.cl/contenidos/cramer.htm   Regla de cramer. Fuente;  Fuente;  https://www.sectormatematica.cl/contenidos/cramer.htm

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