Trabajo Control
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Descripción: trabajo...
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UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL INGENIERIA MECÁNICA, MECÁNICA-ELECTRÍCA Y MECATRÓNICA
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Docente: Ing. Juan Carlos Cuadros
Ingeniería de Control y Automatización Tema: Trabajo PRIMERA FASE Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO
I.
4E09071 IX A
Trabajo Nº:
01
FECHA: 28/ENE/2016
INDICACIONES GENERALES: -
II.
Código: Semestre: Sección :
El trabajo será desarrollado en grupo (02 personas como máximo). Resolver presentando en cada caso: Solución Analítica y el programa en MATLAB (según sea el caso) que da solución al problema. Presentar hasta el día: 01 de febrero de 2016 a las 12:00 horas. Formato de presentación: Impreso acompañado de un CD conteniendo los archivos de informe (archivo .doc) y los programas Matlab (archivos .m). NO SE ACEPTARAN ESCANEADOS.
PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.
El control automático del nivel de agua mediante un flotador se uso en el Oriente Medio para un reloj de agua. El reloj de agua (Figura 1) se uso desde antes de Cristo hasta el siglo XVII. Analice la operación del reloj de agua y establezca como el flotador proporciona un control con realimentación que conserva la exactitud del reloj. Dibuje un diagrama de bloques del sistema realimentado.
SOL.
Figura 1
La exactitud del reloj depende de un flujo constante desde el orificio; El flujo depende de la altura del agua en el flotador tanque. La altura del agua es controlada por el flotador. El sistema de control controla solamente la altura del agua. Cualquier error debido a la ampliación de el orificio o evaporación del agua en el tanque inferior no se contabiliza para. El sistema de control se puede ver como: Altura de Agua deseada en el tanque de abajo
CONTROLADOR
PROCESO
Nivel del flotador
Flujo desde el tanque superior al tanque de abajo
Altura Real
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Docente: Ing. Juan Carlos Cuadros
Ingeniería de Control y Automatización Tema: Trabajo PRIMERA FASE Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO
2.
Código: Semestre: Sección :
4E09071 IX A
Trabajo Nº:
01
FECHA: 28/ENE/2016
En la Figura 2 se muestra el circuito equivalente para pequeña señal de un amplificador de transistores con emisor común. El amplificador de transistores incluye una resistencia de realimentación 𝑅𝑓 . Determínese la relación de entrada salida 𝑣𝑐𝑒 /𝑣𝑖𝑛.
Figura 2
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Ingeniería de Control y Automatización Tema: Trabajo PRIMERA FASE Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO
3.
Código: Semestre: Sección :
4E09071 IX A
Trabajo Nº:
01
FECHA: 28/ENE/2016
En la Figura 3 se muestra una red LC en escalera. Constrúyase el diagrama de bloques a partir de las ecuaciones que describen la red (ecuaciones para 𝐼1, 𝐼𝑎 , 𝑉𝑎 , 𝑉2 ), luego determine la función de transferencia 𝑉2 (𝑠)/𝑉1 (𝑠)
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Ingeniería de Control y Automatización Tema: Trabajo PRIMERA FASE Apellidos y Nombres:RIVAS QUISPE SAULO
Código: Semestre: Sección :
4E09071 IX A
Trabajo Nº:
01
FECHA: 28/ENE/2016
Figura 3
Y1=L=L1 ; Y3=L=L2 ; Z2=C=C1; Z4=C=C2 Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff, se obtiene las siguientes ecuaciones. 𝑑𝑖1 1 𝐿1 + ∫(𝑖1 − 𝑖𝑎 )𝑑𝑡 = 𝑣1 𝑑𝑡 𝐶1 1 𝑑𝑖𝑎 1 ∫(𝑖𝑎 − 𝑖1 )𝑑𝑡 + 𝐿2 + ∫(𝑖𝑎 + 𝑖2 )𝑑𝑡 = 0 𝐶1 𝑑𝑡 𝐶2 1 ∫(𝑖2 + 𝑖𝑎 )𝑑𝑡 = 𝑣2 𝐶2 Si se considera la transformada de Laplace de las Ecuaciones y se suponen condiciones iniciales de cero, se obtiene: 1
(1)
𝐿1 𝑆𝐼1 (𝑠) + 𝐶 𝑆 [𝐼1 (𝑠) − 𝐼𝑎 (𝑠)] = 𝑉1 (𝑠) 1
1 𝐶1 𝑆 1 𝐶2 𝑆
[𝐼𝑎 (𝑠) − 𝐼1 (𝑠)] + 𝐿2 𝑆𝐼𝑎 (𝑠) +
1 𝐶2 𝑆
(2)
[𝐼𝑎 (𝑠) + 𝐼2 (𝑠)] = 0
(3)
[𝐼2 (𝑠) + 𝐼𝑎 (𝑠)] = 𝑉2 (𝑠)
Reescribiendo las ecuaciones: de (1) 𝐼1 (𝑠) − 𝐼𝑎 (𝑠) = 𝐶1 𝑆[𝑉1 (𝑠) − 𝐿1 𝑆𝐼1 (𝑠)]
(4)
La ecuación (4) nos dará el bloque de la figura (a), y la ecuación (2) la modificamos el cual el diagrama será la figura (b) 𝐼𝑎 (𝑠) = Sabiendo de I2=0
𝐶2 1 [𝐼1(𝑠) − 𝐼𝑎 (𝑠)] − 𝐼 (𝑠) 2 𝐶1 [𝐶2 𝑆 𝐿2 + 1] 𝐶2 (𝑠) 2
A partir de (4) construimos el diagrama de bloque. 𝑉1 (𝑠) + -
𝐼1 (𝑠) − 𝐼𝑎 (𝑠)
-
1 𝐶1
Diagrama de la ecuación (3), figura (c).
C1S
𝐼1 (𝑠) − 𝐼𝑎 (𝑠)
L1S
𝐼1 (𝑠)
𝐶2 2 𝐶2 𝑆 𝐿2 + 1
figura (a)
𝐼𝑎 (𝑠)
figura (b)
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𝐼𝑎 (𝑠)
Código: Semestre: Sección :
4E09071 IX A
Trabajo Nº:
01
FECHA: 28/ENE/2016
𝑉2 (𝑠)
1 𝐶2 𝑆
-Ahora combinamos lo diagramas (a), (b) y (c), será (d)
𝑉1 (𝑠)
𝐼1 (𝑠) − 𝐼𝑎 (𝑠) +
C1S
-
𝐼𝑎 (𝑠)
𝐶2 2 𝐶2 𝑆 𝐿2 + 1
1 𝐶1
𝑉2 (𝑠)
1 𝐶2 𝑆
(d) + L1S
+
-Modificando la figura (d) en (e) y luego en (f).
+
𝑉1 (𝑠)
𝐶2 𝐶2 𝑆 2 𝐿2 + 1
1 𝐶1
C1S
-
1 𝐶2 𝑆
𝑉2 (𝑠)
C1
(e)
+ L1S
C2S
+
𝑉1 (𝑠)
+
+ -
𝐶2 𝐶2 𝑆 2 𝐿2 + 1
1 𝐶1
C1S
C1
(f)
L1S L1S
- Resolviendo el diagrama de bloques de (f): Obtenemos.
C2S
1 𝐶2 𝑆
𝑉2 (𝑠)
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𝑉1 (𝑠)
+
𝑆 1 + 𝐿1 𝑆𝐶1
-
4E09071 IX A
Trabajo Nº:
01
𝑉2 (𝑠)
1 𝑆(𝐶2 𝑆 2 𝐿2
Código: Semestre: Sección :
+ 1)
𝐿1 𝑆 2 𝐶2
𝑉1 (𝑠)
-
1 3 (𝐿 1 + 𝐿1 𝐿2 𝐶1 𝐶2 𝑆 + 1 𝐶2 + 𝐿2 𝐶2 )𝑆 2 + 𝐿1 𝐶1 𝑆
La función de Transferencia es:
𝑉2 (𝑠) 1 = 3 𝑉1 (𝑠) 1 + 𝐿1 𝐿2 𝐶1 𝐶2 𝑆 + (𝐿1 𝐶2 + 𝐿2 𝐶2 )𝑆 2 + 𝐿1 𝐶1 𝑆
𝑉2 (𝑠)
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Ingeniería de Control y Automatización
Página: 7/26
Tema: TRABAJO PRIMERA FASE
TRA N° 1
Ing. JCC
4.
Un plotter de baja inercia se puede representar por el diagrama de bloques que se muestra en la figura siguiente. Seleccione un valor de K que produzca una sobre elongación cero correspondiente a una entrada escalón unitario, pero con la respuesta más rápida posible. Con el valor de K calculado, dibuje la respuesta del sistema y compruebe su respuesta.
-
Primero encontraremos la función de transferencia. Modificando el circuito tenemos.
KS R(S)
+ -
Y(S) 100 𝑆2
KS R(S)
Y(S) + -
100 𝑆2
KS+1
R(S) 𝑆2 -
100 + 100𝐾𝑆 + 100
Entonces la FT es: 𝒀(𝑺) 𝟏𝟎𝟎 = 𝑹(𝑺) 𝑺𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝑲𝑺 + 𝟏𝟎𝟎
-
-
Esto es una ecuación característica de 2do Orden entonces. 𝑌(𝑆) 𝜔𝑛2 = 2 𝑅(𝑆) 𝑆 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑆 + 𝜔𝑛2 Igualamos ambas ecuaciones, y tenemos: 𝜔𝑛2 = 100 𝜔𝑛 = 10 rad/s 2𝜉𝜔𝑛 = 100𝐾
(∗)
Y(S)
Ingeniería de Control y Automatización Tema: TRABAJO PRIMERA FASE -
TRA N° 1
−(
𝜉 )𝜋 √1−𝜉 2
Aplicando Logaritmos. 𝐿𝑛(0.01) = 𝐿𝑛 (𝑒
−(
𝜉 )𝜋 √1−𝜉 2 )
𝜉 )𝜋 −2.9957 = − ( √1 − 𝜉 2 𝜉 0.9534 = 1 − 𝜉2 𝜉 = 3.1663 -
𝜉 reemplazando en (*), tenemos.
-
Entonces el valor de “K” será:
2(3.1663)(10) = 100𝐾 𝑲 = 𝟎. 𝟔𝟑𝟑𝟐 -
Para demostrar la respuesta en la salida, se verificará con una entrada escalón unitario mediante Matlab:
CODIGO MATLAB >> K=0.6332 K= 0.6332 >> w=10 w= 10 >> L=3.1663 L= 3.1663 >> sys=tf([w^2],[1 2*L*w w^2]) sys = 100 ------------------s^2 + 63.33 s + 100 Continuous-time transfer function. >> step(sys)
-
Ing. JCC
Tomamos una Sobre elongación aproximada a “0” que será MP= 0,01, según teoría, del tiempo de asentamiento. 2% 𝑀𝑃 = 𝑒
-
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La grafica muestra un sistema sub amortiguado. Según la gráfica el tiempo de asentamiento (2%) es aproximadamente 4 segundos. Se tomó una sobre elongación de 1%=0.01, que sea más cercano a cero. Se calculó para un K=0.6632.
Ingeniería de Control y Automatización Tema: TRABAJO PRIMERA FASE
5.
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TRA N° 1
Ing. JCC
Considere el sistema que se muestra en la Figura 4. Un servomotor cc controlado por inducido mueve una carga con un momento de inercia 𝐽𝐿 . El par desarrollado por el motor es 𝑇. El momento de inercia del rotor del motor es 𝐽𝑚 . Los desplazamientos angulares del motor y del elemento de carga son 𝜃𝑚 y 𝜃, respectivamente. La razón de engranaje es 𝜃
𝑛 = 𝜃 . Obtenga la función de transferencia (𝑠)/𝐸𝑖 (𝑠). 𝑚
Figura 4
-
El flujo en el espacio de aire del motor es proporcional a la corriente de excitación, siempre que el campo no este saturado, de modo que. ∅ = 𝐾𝑓 𝑖𝑓 Se supone que el par desarrollado por el motor está relacionado linealmente con ϕ y con la corriente del inducido como sigue: 𝑇𝑚 = 𝐾1 ∅𝑖𝑎 (𝑡) = 𝐾1 𝐾𝑓 𝑖𝑓 (𝑡)𝑖𝑎 (𝑡). (5.1)
-
Según la ecuación (5.1), es evidente que para tener un elemento lineal debe mantenerse una corriente constante, mientras que la es la corriente de entrada. Este caso se considera el motor de cc controlado por inducido utiliza la corriente del inducido (ia) como la variable de control. Cuando se establece una cojrriente de campo constante en una bobina de excitación el par motor es:
-
En la Notación de LAPLACE es:
-
-
𝑇𝑚 (𝑠) = (𝐾1 𝐾𝑓 𝐼𝑓 )𝐼𝑎 (𝑠) = 𝐾𝑚 𝐼𝑎 (𝑠). Cuando se utiliza un iman permanente, se tiene: 𝑇𝑚 (𝑠) = 𝐾𝑚 𝐼𝑎 (𝑠) Donde Km permeabilidad del material magnético. La corriente del inducido. 𝑉𝑎 (𝑠) = (𝑅𝑎 + 𝐿𝑎 𝑆)𝐼𝑎 (𝑠) + 𝑉𝑏 (𝑠) Donde Vb(s) es el voltaje de la fuerza electromotriz proporcional a la velocidad del motor. Por tanto se tiene: 𝑉𝑏 (𝑠) = 𝐾𝑏 𝜔(𝑠) Y la corriente del inducido es: 𝑉𝑎 (𝑠) − 𝐾𝑏 𝜔(𝑠) 𝐼𝑎 (𝑠) = (𝑅𝑎 + 𝐿𝑎 𝑆) El Par de carga es: 𝑇𝐿 (𝑠) = 𝐽𝑆 2 𝜃𝑚 (𝑠) + 𝑏𝑆𝜃𝑚 (𝑠) = 𝑇𝑚 (𝑠) Entonces igualando obtendremos la función transferencia. 𝑉𝑎 (𝑠) − 𝐾𝑏 𝜔(𝑠) 𝐽𝑆 2 𝜃𝑚 (𝑠) + 𝑏𝑆𝜃𝑚 (𝑠) = 𝐾𝑚 (𝑅𝑎 + 𝐿𝑎 𝑆) 𝜃𝑚 (𝑠) 𝐾𝑚 = 𝑉𝑎 (𝑠) 𝑆[(𝑅𝑎 + 𝐿𝑎 𝑆)(𝐽𝑚 𝑆 + 𝑏) + 𝐾𝑏 𝐾𝑚 ] 𝜃
𝜃(𝑠)
-
Como 𝑛 = 𝜃𝑚, 𝑛 = 𝜃𝑚(𝑠)
-
Entonces la Función de transferencia quedará de la siguiente 𝜽(𝒔) 𝒏𝑲𝒎 = (𝒔) 𝑽𝒂 𝑺[(𝑹𝒂 + 𝑳𝒂 𝑺)(𝑱𝒎 𝑺 + 𝒃) + 𝑲𝒃 𝑲𝒎 ]
Fuente: SDCMD Richard Dorf 10 edición. Cap. 2
Ingeniería de Control y Automatización
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Tema: TRABAJO PRIMERA FASE
6.
TRA N° 1
Ing. JCC
Sea el diagrama de bloques de la Figura 5. i. Utilícese MATLAB para reducir el diagrama de bloques y calcúlese la función de transferencia en lazo cerrado. ii. Genérese un mapa de polos-ceros de la función de transferencia en lazo cerrado en forma gráfica usando la función pzmap. iii. Determinese explícitamente los polos y ceros de la función de transferencia en lazo cerrado empleando las funciones pole y zero y correlaciónense los resultados con el mapa de polos-ceros del punto anterior. (Muestre los códigos MATLAB que solucionan el problema y las respuestas)
Figura 5 𝐺1 =
R(s)
1 𝑠+1
𝐺2 =
4
𝑆 𝑆2 + 2
+ -
-
𝐺3 =
1 𝑆2
𝐺4 =
G2
G1
G5
>> G1=tf([1],[1 1]) G1 = 1 ----s+1 Continuous-time transfer function. >> G2=tf([1 0],[1 0 2]) G2 = s ------s^2 + 2 Continuous-time transfer function. >> G3=tf([1],[1 0 0]) G3 = 1 --s^2
𝐺5 =
+
𝑆2 + 2 𝑆 3 + 14
G3 +
G4
MATLAB.
4𝑆 + 2 𝑆 2 + 2𝑆 + 1
50
Y(s)
Ingeniería de Control y Automatización Tema: TRABAJO PRIMERA FASE
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TRA N° 1
Continuous-time transfer function. >> G4=tf([4 2],[1 2 1]) G4 = 4s+2 ------------s^2 + 2 s + 1 Continuous-time transfer function. >> G5=tf([1 0 2],[1 0 0 14] G5 = s^2 + 2 -------s^3 + 14 Continuous-time transfer function. >> G6=series(G1,G2) G6 = s ------------------s^3 + s^2 + 2 s + 2 Continuous-time transfer function. >> G7=feedback(G3,50,+1) G7 = 1 -------s^2 - 50 Continuous-time transfer function. >> G8=G4/G7 G8 = 4 s^3 + 2 s^2 - 200 s - 100 --------------------------s^2 + 2 s + 1 Continuous-time transfer function. >> G9=series(G6,G7) G9 = s ----------------------------------------s^5 + s^4 - 48 s^3 - 48 s^2 - 100 s - 100 Continuous-time transfer function. >> G10=feedback(G9,G5+G8,-1) G10 = s^6 + 2 s^5 + s^4 + 14 s^3 + 28 s^2 + 14 s ----------------------------------------------------------------------------------------------------s^10 + 3 s^9 - 45 s^8 - 125 s^7 - 200 s^6 - 1177 s^5 - 2344 s^4 - 3485 s^3 - 7668 s^2 - 5598 s - 1400 Continuous-time transfer function.
>> FT_SYS=series(4,G10) 4 s^6 + 8 s^5 + 4 s^4 + 56 s^3 + 112 s^2 + 56 s ----------------------------------------------------------------------------------------------------s^10 + 3 s^9 - 45 s^8 - 125 s^7 - 200 s^6 - 1177 s^5 - 2344 s^4 - 3485 s^3 - 7668 s^2 - 5598 s - 1400 Continuous-time transfer function.
Ing. JCC
Ingeniería de Control y Automatización Tema: TRABAJO PRIMERA FASE
>> [polos,ceros]=pzmap(FT_SYS) polos = 7.0709 + 0.0000i -7.0713 + 0.0000i 1.2051 + 2.0863i 1.2051 - 2.0863i 0.1219 + 1.8374i 0.1219 - 1.8374i -2.3933 + 0.0000i -2.3333 + 0.0000i -0.4635 + 0.1997i -0.4635 - 0.1997i ceros = 0.0000 + 0.0000i 1.2051 + 2.0872i 1.2051 - 2.0872i -2.4101 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i >> polos=pole(FT_SYS) polos = 7.0709 + 0.0000i -7.0713 + 0.0000i 1.2051 + 2.0863i 1.2051 - 2.0863i 0.1219 + 1.8374i 0.1219 - 1.8374i -2.3933 + 0.0000i -2.3333 + 0.0000i -0.4635 + 0.1997i -0.4635 - 0.1997i >> ceros=zero(FT_SYS) ceros = 0.0000 + 0.0000i 1.2051 + 2.0872i 1.2051 - 2.0872i -2.4101 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i >> pzmap(FT_SYS)
GRAFICA DE POLOS Y CEROS
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TRA N° 1
Ing. JCC
Ingeniería de Control y Automatización
Página: 13/26
Tema: TRABAJO PRIMERA FASE
TRA N° 1
7.
Resuelva el ítem i. del problema 6 aplicando algebra de diagramas de bloques, contraste sus respuestas.
-
Primero se nombraron a los bloques: R(s)
+
4
-
G2
G1
-
+
G3 + 50
G4
G5
𝐺3 1 − 50𝐺3 𝐺6 = 𝐺1. 𝐺2
𝐺7 = R(S)
Y(S) + -
4
G6
G7
G4
G5 R(S)
Y(S) 4
+ -
G7
G6
𝐺4 𝐺7
G5
Ing. JCC
Y(s)
Ingeniería de Control y Automatización
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Tema: TRABAJO PRIMERA FASE
TRA N° 1
Ing. JCC
𝐺4 𝐺7 𝐺9 = 𝐺6. 𝐺7 𝐺8 =
R(S)
Y(S) 4
+
G9 -
G5+G8
𝐺10 =
𝐺9 1 + 𝐺9(𝐺5 + 𝐺8)
R(S) Y(S)
G10
4 R(S)
Y(S) 4*G10 𝑌(𝑆) = 4. 𝐺10 𝑅(𝑆)
-
Ahora reemplazando en las ecuaciones. 𝐺10 =
𝐺10 =
𝐺10 =
𝐺10 = -
𝐺4 1 + 𝐺9(𝐺5 + 𝐺7)
𝐺6. 𝐺7 1 + 𝐺6(𝐺5𝐺7 + 𝐺4)
𝐺10 =
𝐺10 =
𝐺9
𝐺3 1−50𝐺3 𝐺3 1+𝐺6.(𝐺5 +𝐺4) 1−50𝐺3
𝐺6.
𝐺3𝐺6 1 − 50𝐺3 + 𝐺3𝐺5𝐺6 + 𝐺4𝐺6(1 − 50𝐺3)
𝐺3𝐺6 1 − 50𝐺3 + 𝐺1𝐺2𝐺3𝐺5 + 𝐺1𝐺2𝐺4(1 − 50𝐺3)
𝐺1𝐺2𝐺3 1 − 50𝐺3 + 𝐺1𝐺2𝐺3𝐺5 + 𝐺1𝐺2𝐺4 − 50𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4)
Reemplazando los valores reales. 𝐺10 =
1 𝑆 1 ∗ ∗ 𝑠 + 1 𝑆2 + 2 𝑆2 1 1 𝑆 1 𝑆2 + 2 1 𝑆 4𝑆 + 2 1 𝑆 1 4𝑆 + 2 1 − 50 ∗ 2 + ∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ − 50 ∗ ∗ ∗ ∗ ) 𝑠 + 1 𝑆 2 + 2 𝑆 2 𝑆 3 + 14 𝑠 + 1 𝑆 2 + 2 𝑆 2 + 2𝑆 + 1 𝑠 + 1 𝑆 2 + 2 𝑆 2 𝑆 2 + 2𝑆 + 1 𝑆
𝒀(𝑺) 𝟒𝑺𝟔 + 𝟖𝑺𝟓 + 𝟒𝑺𝟒 + 𝟓𝟔𝑺𝟑 + 𝟏𝟏𝟐𝑺𝟐 + 𝟓𝟔𝑺 = 𝟏𝟎 𝑹(𝑺) 𝑺 + 𝟑𝑺𝟗 − 𝟒𝟓𝑺𝟖 − 𝟏𝟐𝟓𝑺𝟕 − 𝟐𝟎𝟎𝑺𝟔 − 𝟏𝟏𝟕𝟕𝑺𝟓 − 𝟐𝟑𝟒𝟒𝑺𝟒 − 𝟑𝟒𝟖𝟓𝑺𝟑 − 𝟕𝟔𝟔𝟖𝑺𝟐 − 𝟓𝟓𝟗𝟖𝑺 − 𝟏𝟒𝟎𝟎
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8.
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TRA N° 1
Ing. JCC
El nivel de agua ℎ(𝑡) se controla por un sistema en lazo abierto tal como se muestra en la Figura 6. Un motor de cc controlado por una corriente de inducido 𝑖𝑎 gira un eje abriendo una válvula. La inductancia del motor de cc es despreciable, es decir 𝐿𝑎 = 0. También la fricción rotacional del eje del motor y la válvula es despreciable, esto es 𝑏 = 0. La altura del agua del tanque es: ℎ(𝑡) = ∫[1.6𝜃(𝑡) − ℎ(𝑡)]𝑑𝑡 la constante del motor es 𝐾𝑚 = 10 y la inercia del eje del motor y la válvula es 𝐽 = 6x10-3 kg-m2. Determínese: i. La ecuación diferencial para ℎ(𝑡) y 𝑣(𝑡). ii. La función de transferencia 𝐻(𝑠)/𝑉(𝑠).
Figura 6
𝑣𝑎 (𝑡) = 50𝑉(𝑡) … (1) 𝑣𝑎 (𝑡) = 10𝑖𝑎 (𝑡) + 𝑣𝑏 (𝑡) … (2) 𝜃̇ (𝑡) = 𝑘𝑣𝑏 (𝑡) + 𝑣𝑏 (𝑡) → 𝑣𝑏 (𝑡) = 𝐽𝜔̇ (𝑡) = 𝑘𝑚 𝑖𝑎 (𝑡) → 𝜔(𝑡) = 𝜃̇ (𝑡) 𝜔̇ (𝑡) = 𝜃̈ (𝑡)
𝜃̇ (𝑡) … (3) 𝑘
𝐽𝜔̇ (𝑡) = 𝑖𝑎 (𝑡) … (4) 𝑘𝑚
ℎ(𝑡) = ∫[1.6𝜃(𝑡) − ℎ(𝑡)]𝑑𝑡 𝑑ℎ(𝑡) = 1.6𝜃(𝑡) − ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑ℎ2 (𝑡) 𝑑ℎ2 (𝑡) ̇ (𝑡) − ℎ̇(𝑡) → 𝜃̇ (𝑡) = { } = 1.6𝜃 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑ℎ3 (𝑡) 𝑑ℎ2 (𝑡) = 1.6𝜃̈ (𝑡) − 3 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 1.6𝜃̈ (𝑡) =
𝑑ℎ3 (𝑡) 𝑑ℎ2 (𝑡) + 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2
𝑑ℎ3 (𝑡) 𝑑ℎ2 (𝑡) 1 ] 𝜃̈ (𝑡) = [ + 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 1.6
Ingeniería de Control y Automatización Tema: TRABAJO PRIMERA FASE 𝑑ℎ2 (𝑡) 𝑑ℎ(𝑡) 1 ] 𝜃̇ (𝑡) = [ + 𝑑𝑡 2 𝑑ℎ 1.6 Ecuación para h(t) y v(t) :
50𝑉(𝑡) = 10𝑖𝑎 (𝑡) + 𝑣𝑏 (𝑡) 50𝑉(𝑡) = 10
𝐽𝜔̇ (𝑡) 𝜃̇ (𝑡) + 𝑘𝑚 𝑘
50𝑉(𝑡) = 10
𝐽𝜃̈ (𝑡) 𝜃̇ (𝑡) + 𝑘𝑚 𝑘
Reemplazando: 50𝑉(𝑡) =
10 𝑑ℎ3 𝑑ℎ2 1 1 𝑑ℎ2 𝑑ℎ [ 3 + 2] [ + + ] 𝑘𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1.6 𝑘1.6 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
Dividimos entre
𝟏𝟎 𝟏.𝟔𝒌𝒎
50V(t) ∗ 1.6k m 𝑑ℎ3 𝑘𝑚 𝑑ℎ2 𝑘𝑚 𝑑ℎ ] = 3 + [1 + + 10J 𝑑𝑡 10𝐽𝑘 𝑑𝑡 2 10𝐽𝑘 𝐿{
8𝑘𝑚 𝑉(𝑡) 𝑑ℎ3 𝑘𝑚 𝑑ℎ2 𝑘𝑚 𝑑ℎ } = 𝐿 { 3 + [1 + ] } + 𝐽 𝑑𝑡 10𝐽𝑘 𝑑𝑡 2 10𝐽𝑘
8𝑘𝑚 𝑉(𝑠) 𝑘𝑚 2 𝑘𝑚 ℎ(𝑠) ] 𝑠 ℎ(𝑠) + = 𝑠 3 ℎ(𝑠) + [1 + 𝐽 10𝐽𝑘 10𝐽𝑘 8𝑘𝑚 𝑉(𝑠) 𝑘𝑚 2 𝑘𝑚 ]𝑠 + ] ℎ(𝑠) = [𝑠 3 + [1 + 𝐽 10𝐽𝑘 10𝐽𝑘
(𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) 𝟖𝒌𝒎 𝒉(𝒔) 𝑱 = 𝒌 𝑽(𝒔) 𝒔𝟑 + [𝟏 + 𝒎 ] 𝒔𝟐 + 𝒌𝒎 𝟏𝟎𝑱𝒌 𝟏𝟎𝑱𝒌
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Una red de puente en T se utiliza frecuentemente en sistemas de control de ca como una red de filtro. En la Figura 7 se muestra el circuito de una red de puente en T. i. Demuéstrese que la función de transferencia de la red es: 𝑉𝑜 (𝑠) 1 + 2𝑅1 𝐶𝑠 + 𝑅1 𝑅2 𝐶 2 𝑠 2 = 𝑉𝑖𝑛 (𝑠) 1 + (2𝑅1 + 𝑅2 )𝐶𝑠 + 𝑅1 𝑅2 𝐶 2𝑠 2 ii. Dibújese el diagrama de polos-ceros cuando 𝑅1 = 0.5, 𝑅2 = 1 y 𝐶 = 0.5.
Figura 7
iii. Dibuje el diagrama de bloques de la red. -
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Demostrando la función transferencia. I3
I1
Z4
I2
Z3
Z1
Vin
Vout
Z2 I1 I1
I3 I2 Z4 Z1 Z3
Vin I3 Vout Z2 I1
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Aplicando leyes de nodos y Kirchoff. 𝑰𝟏 = 𝑰𝟐 + 𝑰𝟑 𝑰𝟐 𝒁𝟏 = (𝒁𝟑 + 𝒁𝟒 )𝑰𝟑
-
Despejando I2 en función de I1 𝐼3 = 𝐼1 − 𝐼2 𝐼2𝑍1 = (𝑍3 + 𝑍4 )𝐼3 𝐼2 𝑍1 = (𝐼1 − 𝐼2 )(𝑍4 + 𝑍3 ) 𝐼2 𝑍1 = 𝐼1 𝑍4 + 𝐼1 𝑍3 − 𝐼2 𝑍4 − 𝐼2 𝑍3 𝑰𝟐 =
-
𝒁𝟑 + 𝒁𝟒 𝑰 𝒁𝟏 + 𝒁𝟑 + 𝒁𝟒 𝟏
Despejando I3 en función de I1 𝐼2 = 𝐼1 − 𝐼3 𝐼2 𝑍1 = (𝑍3 + 𝑍4 )𝐼3 (𝐼1 − 𝐼3 )𝑍1 = 𝐼3(𝑍4 + 𝑍3 ) 𝐼1 𝑍1 − 𝐼3 𝑍1 = 𝐼3 𝑍4 + 𝐼3 𝑍3 𝒁𝟏 𝑰 𝒁𝟏 + 𝒁𝟑 + 𝒁𝟒 𝟏 Haciendo Kirchoff 2da ley en el lado de entrada, se tiene: 𝑽𝒊(𝒔) = 𝒁𝟏 𝑰𝟐 + 𝒁𝟐 𝑰𝟏 𝑍1 (𝑍3 + 𝑍4 ) ]𝐼 = 𝑍1 [𝑍2 + 𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4 1 𝑍2 (𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4 ) + 𝑍1 (𝑍3 + 𝑍4 ) = 𝐼1 𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4 Ahora aplicando 2da ley en la salida. 𝑽𝒐(𝒔) = 𝒁𝟑 𝑰𝟑 + 𝒁𝟐 𝑰𝟏 𝑍3 𝑍1 = 𝐼 + 𝑍2 𝐼1 𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4 1 𝑍3 𝑍1 + 𝑍2 (𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4 ) = 𝐼1 𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4 Entonces la FT Vo(s)/Vi(s) de la red. 𝑉𝑜(𝑠) 𝑍3 𝑍1 + 𝑍2 (𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4 ) = 𝑉𝑖(𝑠) 𝑍2 (𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4 ) + 𝑍1 (𝑍3 + 𝑍4 ) Observamos que: 1 1 𝑍1 = 𝑍2 = 𝑅1 𝑍3 = 𝑍4 = 𝑅2 𝐶𝑆 𝐶𝑆 Entonces la Ft se obtiene como sigue: 𝑰𝟑 =
-
-
-
-
-
1 1 1 1 + 𝑅1 (𝐶𝑆 + 𝐶𝑆 + 𝑅2 ) 𝑉𝑜(𝑠) 𝐶𝑆 𝐶𝑆 = 𝑉𝑖(𝑠) 𝑅 ( 1 + 1 + 𝑅 ) + 1 ( 1 + 𝑅 ) 1 𝐶𝑆 2 2 𝐶𝑆 𝐶𝑆 𝐶𝑆 -
Por lo tanto la FUNCION DE TRASNFERENCIA ES: 𝑽𝒐(𝒔) 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑪𝟐 𝒔𝟐 + 𝟐𝑹𝟏 𝑪𝒔 + 𝟏 = 𝑽𝒊(𝒔) 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑪𝟐 𝒔𝟐 + (𝟐𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 )𝑪𝒔 + 𝟏
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Ingeniería de Control y Automatización Tema: TRABAJO PRIMERA FASE ii. Diagrama de polos y ceros cuando, 𝑅1 = 0.5, 𝑅2 = 1 y 𝐶 = 0.5. 𝑉𝑜(𝑠) 0.5(1)0.52 𝑠 2 + 2(0.5)(0.5)𝑠 + 1 = 𝑉𝑖(𝑠) 0.5(1)0.52 𝑠 2 + (2(0.5) + 1)(0.5)𝑠 + 1 𝑉𝑜(𝑠) 0.125 𝑆 2 + 0.5 𝑆 + 1 = 𝑉𝑖(𝑠) 0.125 𝑆 2 + 𝑆 + 1 -
-
-
Dividimos entre 0.125. 𝑉𝑜(𝑠) 𝑆 2 + 4𝑆 + 8 = 𝑉𝑖(𝑠) 𝑆 2 + 8𝑆 + 8 Con ayuda de Matlab obtenemos lo polos y zeros. polos = -6.8284 -1.1716 ceros = -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 2.0000i Y graficando esto, observamos que el sistema es estable. Grafica en coordenadas polares.
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iii. Diagrama de bloques.
I1 Vin
1 𝑍2
I1
𝑍1 𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4
+ -
I3
Vout Z3
+ +
I2 𝑍1 𝑍2
𝑍3 + 𝑍4 𝑍1 + 𝑍3 + 𝑍4
Z2
10. Considere el sistema de la Figura 8. Determine el valor de Kh para que el factor de amortiguamiento relativo del sistema sea 0.5. Dibuje curvas de respuesta escalón unitario para el sistema.
Figura 8
𝑅(𝑠)
𝐶(𝑠)
𝑠
𝐾ℎ
𝑅(𝑠)
1 𝑠
10 𝑠+1
10 𝑠(𝑠 + 1)
𝐾ℎ 𝑠
𝐶(𝑠)
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𝑅(𝑠) 𝑠2
𝑅(𝑠) 𝑠2
10 + 𝑠 + 10𝐾ℎ 𝑠
10 + (1 + 10𝐾ℎ )𝑠 + 10
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𝐶(𝑠)
𝐶(𝑠)
Escalón Unitario: 𝐶(𝑠) 𝜔𝑛2 10 = 2 = 2 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 𝑠 + (1 + 10𝐾ℎ )𝑠 + 10 𝜔𝑛2 = 10 𝜉 = 0.5 (𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) 2𝜉𝜔𝑛 = 1 + 10𝐾ℎ = 2 ∗ 0.5 ∗ √10 = √10 Despejamos 𝐾ℎ √10 − 1 𝐾ℎ = 10 𝑲𝒉 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟔𝟐𝟐𝟖 MATLAB >> Kh=0.216228 Kh = 0.2162 >> w=10^(0.5) w= 3.1623 >> SYS=tf([w^2],[1 1+10*Kh 10]) SYS = 10 -----------------s^2 + 3.162 s + 10 Continuous-time transfer function. >> step(SYS)
Observaciones: - La respuesta a una entrada de escalón unitario en la FT, nos da una señal de un sistema sub amortiguado. - La sobre elongación que nos muestra es aprox MP = 16%. - El tiempo pico es tp= 1.14 segundos. - El tiempo de asentamiento es aproximadamente 3 segundos.
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11. Dos carros con fricción despreciable en las ruedas se conectan como se muestra en la Figura 9. Una fuerza de entrada es 𝑢(𝑡). La salida es la posición del carro 2, es decir, 𝑦(𝑡) = 𝑞(𝑡). Modele el sistema y determine la ecuación diferencial y la función del transferencia del sistema. Luego construya el diagrama de bloques.
Figura 9
Hallamos la Ecuación del Movimiento para 𝑚1 :
𝑢
𝑘1 (𝑥 − 𝑞) 𝑚1
𝑏1 (𝑥̇ − 𝑞̇ )
−𝑘1 (𝑥 − 𝑞) − 𝑏1 (𝑥̇ − 𝑞̇ ) + 𝑢 = 𝑚1 𝑥̈ 𝑚1 𝑥̈ + 𝑏1 𝑥̇ + 𝑘1 𝑥 = 𝑏1 𝑞̇ + 𝑘1 𝑞 + 𝑢 ….(𝛼) 𝒎𝟏 𝒙̈ + 𝒌𝟏 (𝒙 − 𝒒) + 𝒃𝟏 (𝒙̇ − 𝒒̇ ) = 𝒖(𝒕) Hallamos la Ecuación del Movimiento para 𝑚2 : 𝑘1 (𝑞 − 𝑥) 𝑏1 (𝑞̇ − 𝑥̇ )
𝑘2 𝑞 𝑚2
𝑏2𝑞̇
−𝑘1 (𝑞 − 𝑥) − 𝑏1 (𝑞̇ − 𝑥̇ ) − 𝑘2 𝑞 − 𝑏2 𝑞̇ = 𝑚2 𝑞̈ 𝑚2 𝑞̈ + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑞̇ + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑞 = 𝑏1 𝑥̇ + 𝑘1 𝑥 ….(𝛽) 𝒎𝟐 𝒒̈ + 𝒌𝟐 𝒒 + 𝒃𝟐 𝒒̇ + 𝒃𝟏 (𝒒̇ − 𝒙̇ ) + 𝒌𝟏 (𝒒 − 𝒙) = 𝟎 Transformada de Laplace en…(𝛼) : 𝑚1 𝑠 2 𝑋(𝑠) + 𝑏1 𝑠𝑋(𝑠) + 𝑘1 𝑋(𝑠) = 𝑏1 𝑠𝑄(𝑠) + 𝑘1 𝑄(𝑠) + 𝑈(𝑠) 𝑋(𝑠)[𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1𝑠 + 𝑘1 ] = 𝑄(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1 ] + 𝑈(𝑠)….(𝛼)∗
𝑋(𝑠) =
𝑄(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1 ] + 𝑈(𝑠) 𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑘1
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Reemplazamos en (𝛽)∗ : 𝑄(𝑠)[𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ] + 𝑈(𝑠) ] [𝑏1𝑠 + 𝑘1 ] 𝑄(𝑠)[𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 )] = [ 𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑘1 𝑄(𝑠)[𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 )][𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ] = [𝑄(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘1 ] + 𝑈(𝑠)][𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ] 𝑄(𝑠) 𝑏1 𝑠 + 𝑘1 = 2 [𝑚 (𝑏 )𝑠 (𝑘 𝑈(𝑠) + 1 + 𝑘2 )][𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ] − [𝑏1𝑠 + 𝑘1 ]2 2𝑠 + 1 + 𝑏2 Transformada de Laplace en….(𝛽): 𝑚2 𝑠 2 𝑄(𝑠) + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠𝑄(𝑠) + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑄(𝑠) = 𝑏1 𝑠𝑋(𝑠) + 𝑘1 𝑋(𝑠) 𝑄(𝑠)[𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 )] = 𝑋(𝑠)[𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ]….(𝛽)∗ 𝑄(𝑠) =
𝑚2
𝑠2
𝑋(𝑠)[𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ] + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠 + 𝑘1 + 𝑘2
Reemplazamos en (𝛼)∗ : 𝑋(𝑠)[𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ] ] [𝑏 𝑠 + 𝑘1 ] + 𝑈(𝑠) 𝑋(𝑠)[𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ] = [ 𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠 + 𝑘1 + 𝑘2 1 𝑋(𝑠)[𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1𝑠 + 𝑘1 ][𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠 + 𝑘1 + 𝑘2 ] − 𝑋(𝑠)[𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ]2 = 𝑈(𝑠)[𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠 + 𝑘1 + 𝑘2 ] 𝑋(𝑠)[[𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ][𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠 + 𝑘1 + 𝑘2 ] − [𝑏1𝑠 + 𝑘1 ]2 ] = 𝑈(𝑠)[𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2)𝑠 + 𝑘1 + 𝑘2 ] 𝑋(𝑠) 𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2)𝑠 + 𝑘1 + 𝑘2 = 𝑈(𝑠) [𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ][𝑚2 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2)𝑠 + 𝑘1 + 𝑘2 ] − [𝑏1 𝑠 + 𝑘1 ]2 Para ver la respuesta asumiremos valores. 𝑚2 = 𝑚1 = 𝑏1 = 𝑏2 = 𝑘1 = 𝑘2 = 1 -
Entonces tenemos. 𝑄(𝑠) 𝑆+1 = 𝑈(𝑠) 𝑆 4 + 5𝑆 3 + 2𝑆 2 + 2𝑆 + 3 𝑋(𝑠) 𝑆 2 + 2𝑆 + 2 = 4 𝑈(𝑠) 𝑆 + 5𝑆 3 + 2𝑆 2 + 2𝑆 + 3
-
Aplicando a las FTs escalón unitario y con ayuda de Matlab tenemos:
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Grafica de respuesta a escalón unitario
Grafica de respuesta a escalón unitario
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𝑿(𝒔) 𝑼(𝒔)
𝑸(𝒔) 𝑼(𝒔)
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12. Haga un análisis completo de la respuesta al impulso de un sistema de segundo orden. - Para este problema tomaremos como análisis el problema 10.
-
La Función de Transferencia es: 𝐶(𝑠) 𝜔𝑛2 10 = 2 = 𝑅(𝑠) 𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 𝑠 2 + (1 + 10𝐾ℎ )𝑠 + 10 𝑲𝒉 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟔𝟐𝟐𝟖 𝜔𝑛2 = 10 𝐶(𝑠) 10 = 𝑅(𝑠) 𝑠 2 + 3.16228𝑠 + 10 USANDO MATLAB observaremos la respuesta tomando como entrada un IMPULSO a la FT.
>> Kh=0.216228 Kh = 0.2162 >> w=10^(0.5) w= 3.1623 >> SYS=tf([w^2],[1 1+10*Kh 10]) SYS = 10 -----------------s^2 + 3.162 s + 10 Continuous-time transfer function. >> impulse(SYS)
OBSERVACIONES: - Se observa en la gráfica una respuesta con una entrada de tipo impulso. - El tiempo pico que alcanza esta grafica aproximadamente es < 0.5 segundos. - El tiempo de estabilización es aproximadamente 3.5 segundos, ya que es parecida a la respuesta con una entrada escalón unitario.
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III. 1. -
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CONCLUSIONES, OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES Emita al menos 5 conclusiones sobre el trabajo realizado. ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
2. Haga sus recomendaciones y observaciones. ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________
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