Trabajo Control I

 

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, INFORMATICA Y MECÁNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA

MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES GRUPO

: N° 4

CURSO

: CONTROL I

ASESOR

: ING. LUIS ANDRE CUBA DEL CASTILLO

INTEGRANTES PARDO MITMA JIMMY ANDRÉS

100518

 

HURTADO CARBAJAL ALAIN HUARANCCA HUAMAN JANET

160237 160236

 

LEVITA CHAYÑA JUAN ANTONIO

160238

SEMESTRE 2019 – 2V CUSCO-PERU

 

MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES INTRODUCCIÓN El lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema de control (Evans, 1948, 1950). Consiste en una representación gráfica de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía uno o varios parámetros del sistema. Los sistemas de control realimentados son difíciles de comprender desde el punto de vista cualitativo, por lo que dicha comprensión depende en gran medida de las matemáticas. El lugar geométrico de las raíces es la técnica gráfica que nos da esa descripción cualitativa sobre el rendimiento del sistema de control que estamos diseñando. Además, también sirve como una poderosa herramienta cuantitativa que produce más información que los métodos ya discutidos, debido a que no sólo puede servir para encontrar la solución de sistemas de primero y segundo orden, sino que también es de utilidad para solucionar sistemas de orden mayor a dos. Med Me dia ian nte el lu luga garr geo eom mét étri ricco de la lass raíc raíce es, se pued ede e ob obsserv ervar el comportamiento del sistema (relativo a la respuesta transitoria y la estabilidad) a medida medida que se var varían ían varios varios parám parámetr etros os a la vez, como el so sobre brepas paso, o, el tiempo de asentamiento y el tiempo pico. Luego, esta información cualitativa puede ser verificada mediante el análisis cuantitativo.

 

DEFINICIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES La técnica del lugar geométrico de las raíces (LGR) es un método grafico para dibujar la posición de los polos del sistema en el plano complejo a medida que varía un parámetro, parámetro, la informac información ión que propo proporcion rciona a este método es utilizada utilizada para el análisis de la estabilidad y funcionamiento del sistema.

 

CONSTRUCCIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES  A continuación, se hace un resumen de las reglas para construir el lugar  geométrico de las raíces. Paralelamente, aplicamos cada paso a un ejemplo concreto.

 

Para desarrollar dichas reglas, considere el modelo general de la siguiente Figura para un sistema de control con realimentación:

La función de transferencia a lazo abierto de este sistema es G(s)H(s). Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado es: C ( s )  R( S )

=

  G( s ) 1 + G( S ) H ( s)

NORMAS 

El lugar geométrico de las raíces siempre es simétrico respecto al eje



real Re del plano s. Tiene tantas ramas como el valor máximo entre n y m, que son el orden de dos polinomios presentados más adelante, en la ecuación 1.3.



Cada rama comienza en un polo y termina en un cero de la función de transferen trans ferencia cia directa directa G(s)H(s). Si los ceros no aparecen de manera explícita en el plano s, significa que están en el infinito.

1er. PASO: obtener la ecuación característica 1 + G ( S) H ( S )=0 ( 1.1)

 Ahora, supongamos que G(s)H(s) contie contiene ne un par paráme ámetro tro va varia riable ble K como factor multiplicativo. Modificamos G(s)H(s) de tal forma que se pueda expresar  como una función racional de la forma: G( S) H ( S )=

 KQ( S)  P( S)

(1.2 )

Donde Q(s) y  P(s) son polinomios en s de grado m y n res  respecti pectivame vamente. nte. Es decir, que luego de sustituir 1.2 en la ecuación 1.1 obtenemos el siguiente: 1 + G ( S) H (S ) =1 +

 K ( S + Z 1 ) ( S + Z 2 ) ( S + Z 3 ) … ( S + Z m)

  =0 ( 1.3)

( S + P ) ( S + P ) ( S + P ) … ( S + P ) 1

2

3

n

 

EJEMPLO: Supo Su pong nga a qu que e la ec ecua uaci ción ón cara caract cter erís ístitica ca de un si sist stem ema a de cont contro roll es la siguiente: S ( S +1 ) ( S + 2 )+ S

2

+ ( 3 + 2 K ) S + 5 =0

Para expresar esta ecuación de la forma 1.3, se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término que no contiene a K , es decir: 1+

 

2 Ks

S ( S +1 ) ( S +2 ) + S

2

+3 S +5

=1 +

 

S

3

2 Ks

+ 4 S2 + 5 S + 5

S ( S+1) ( S+2) + S

=0

2

+ 3 S + 5 + 2 K  2 S ( S +1 ) ( S +2 ) +S +3 S +5

El objetivo es aislar a K como factor multiplicativo de la función Q(s)/P(s). Observe también que las propiedades se desarrollan con base en la relación entre los polos y ceros de G(s)H(s) y los ceros de 1 + G(s)H(s), que son las raíces de la ecuación característica.

2do. PASO: Ubicar los polos y los ceros de G(s)H(s) en el plano s. G(s)H(s) es la función de transferencia directa del sistema, es decir, a lazo

abierto. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos a lazo abierto y terminan en los ceros finitos o infinitos a lazo abierto. A part pa rtir ir de la fo form rma a fa fact ctor oriz izad ada a de G(s)H(s) mo most stra rada da en la ec ecua uaci ción ón 1.3, 1.3, ubicamos los polos y los ceros de lazo abierto en el plano s, atendiendo a las siguientes reglas: 

Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0  son  son los polos de G(s)H(s)



Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s).

EJEMPLO: Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica: S ( S + 2 ) ( S + 3 ) + K   (( S + 1 ) =0

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

 

1+

  K ( S + 1 ) =0 S ( S +2 ) ( S +3 )

Es decir: G( S) H (S )=

  K ( S + 1) S ( S + 2 ) ( S +3 )

Los tres puntos sobre el lugar geométrico de las l as raíces donde K=0  y  y aquellos donde K=∞ se muestran en la Figura. K=0

x

-2

K=0

x

-1  

K=0

x

0

 

Figura Puntos en los K=0 sobre el ligar grometrico de las raices de: S ( S + 2 ) ( S + 3 ) + k ( s + 1 )=0

 A cada polo X le corresponde un cero O . Como sólo se observan tres polos y un cero, se sobreentiende que el resto de los ceros están en el infinito y dependiendo de los siguientes pasos (el comportamiento del sistema) se sabrá si se trata de más o menos infinito.

3er. PASO: Determinar las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces.  Algunos de los lugares geométricos se aproximan al infinito cuando n y m (ver  ecua ec uaci ción ón 1. 1.3 3 má máss ad adel elan ante te)) no so son n ig igua uale les. s. La Lass prop propie ieda dade dess de dell lu luga gar  r  geométrico de las raíces cerca del infinito en el plano s se describen mediante las asíntotas del lugar geométrico cuando s tiende a infinito. Los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes, deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos φA (pendientes) se obtienen mediante la siguiente fórmula:

φ  A=

± 180 ° ( 2 K + 1 )   para para K =1,2,3 … n− m− 1 n −m

Donde n y m son la orden del denominador y numerador respectivamente de la fu func nció ión n de tr tran ansf sfer eren enci cia a en la lazo zo abie abiert rto o G(s)H(s) exp expres resada ada en for forma ma racional, como en la ecuación característica 1.3:

 

1 + G ( S) H (S ) =1 +

 K ( S + Z 1 ) ( S + Z 2 ) ( S + Z 3 ) … ( S + Z m)

( S + P ) ( S + P ) ( S + P ) … ( S + Pn ) 1

2

  =0 ( 1.3)

3

En otras palabras:

 

n: número de polos finitos de G(s) H(s).

 

m: número de ceros finitos de G(s) H(s)

Conforme K aumenta, el ángulo φA se repite a sí mismo, por lo que la cantidad de asíntotas distintas es igual a n-m:

Numero de asíntotas = n-m Todas las asíntotas interceptan el eje real en un punto. Si la abscisa de este punto y el eje real se representa mediante σA (centroide de las asíntotas), entonces: φ A=

∑ ℜ ( polos )−∑ ℜ (ceros ) n −m

Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados, σA siempre es una cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de

las asíntotas y el eje real, r eal, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo.

EJEMPLO: Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica: S ( s + 4 )( S ¿ ¿ 2 + 2 s + 2 )+ k ( s + 1 )= 0 ¿

La forma factorizada de esta ecuación característica es: 1+

 

K ( S + 1 )

S ( S + 4 ) ( S + 2 S + 2 ) 2

=0

Es decir:  

K ( S + 1 )

G( S) H (S )= S ( S + 4 ) ( S 2+ 2 S + 2 )

La Figura muestra las asíntotas de este caso:

 

En la Figura vemos que: 

Los cuatro puntos sobre el lugar geométric rico de las raí raíces donde K=0  son  son s= s=0, 0, -4, -4, -1 -1+j +j,, -1 -1-j -j..  Aquellos donde K=∞ son s= s=-1 -1,, ∞, ∞, e ∞.



El máximo entre n y m  es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas.



Los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real.



  El número de asíntotas es 3, (n-m=3). Como el número de polos finitos

excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se 

aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas. Los ángulos y el centroide de las asín asíntotas totas se calculan a co continuación: ntinuación:

φ A=

∑ ℜ ( polos )−∑ ℜ (ceros )

φ 1=

180 °

φ 2=

540 °

φ 3=

900 °

3

3

3

n −m

=60 ° para para K =0 =180 ° para para K =1 =60 ° para para K =2

 

φ A=

) − 4 −1−1 −( 1 ) −5 ∑ ℜ ( polos )−∑ ℜ ( ceros   = = n−m

3

3

4to. PASO: Determinar el lugar geométrico de las raíces sobre el eje real.

Debido a la simetría conjugada de los lugares geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados. Para Pa ra qu que e un pu punt nto o S1 sobr sobre e el ej eje e re real al de dell pl plan ano o s per perten tenezc ezca a al lugar  lugar  geométrico de las raíces, debe haber un número impar de polos y ceros de G(s)H(s)  a la derecha del punto. Todos los puntos del plano real que cumplen con esta condición forman una sección. En esta sección, K  es  es mayor  o igual a cero.

EJEMPLO:  Las secciones etiquetadas con RL RL   (0≤K≤∞) forman parte del lugar geométrico de las raíces porque existe un número imp impar ar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha de dichas secciones:

5to. PASO: Determinar el ángulo de salida y de llegada del lugar geométrico  de las raíces. geométrico

Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces, cercanas a los polos y ceros comp complejos. lejos.

 

El ángulo de salida de un polo o de llegada a un cero, de un lugar geométrico de la lass ra raíc íces es de G(s)H(s), deno denota tan n el án ángu gulo lo de la tang tangen ente te de dell lu luga gar  r  geométrico cerca del punto de salida o de llegada. Para calcular el ángulo de salida desde un polo complejo se utiliza la siguiente fórmula:

El ángulo de salida desde un polo complejo es igual a 180 grados más la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros ceros, menos la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros polos. La Figura muestra la aplicación de este método:

Construcc Cons trucción ión del lugar geométri geométrico co de las raíces. raíces. (Angulo (Angulo de salida =180 – (Ø1+ Ø2)+ Ø.) Para calcular el ángulo de llegada a un cero complejo se utiliza la siguiente fórmula:

EJEMPLO: Suponga la función característica siguiente: S ( S + 3 ) ( S

2

Es decir:

+2 S + 2 )+ K =0

 

G( S) H (S )=

 

K 

S ( S + 3 ) ( S

2

+ 2 S+2 )

Los polos de esta función a lazo abierto son s=-1, -3, -1+j, -1-j . Tomando en cuenta el punto S1 cercano al punto s=-1+j , de acuerdo con la Figura 8-8, el ángulo de salida del lugar geométrico en S1 es:

Figura 1. Luga Lu garr ge geom omét étric rico o de la lass ra raíc íces es de S ( S + 3 ) ( S 2 + 2 S + 2 )+ K =0   para ilustrar los ángulos de salida y llegada.

6to. PASO: Determinar los puntos de corte con el eje imaginario. Los puntos en donde los lugares geométricos de las raíces intersectan el eje jw  se  se encuentran con facilidad por medio de: (a) el criterio de estabilidad de RouthRou th-Hur Hurwitz witz,, o (b) sup supon onien iendo do qu que e s = j o en la ecua ecuación ción carac característ terística, ica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando ω y K. En este caso, los valores encontrados de ω representan las frecuencias en las cuales los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. El valor 

 

de K que corresponde a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce. Como ejemplo regresemos al lugar geométrico de la Figura 1. Allí, los puntos de corte son s1 = -1.095j y s2 = 1.095j, donde K=8.16. 7mo. PASO: Determinar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces.

En la Figura(a) muestra un caso en el que dos ramas del lugar geométrico de las raíces se juntan en un punto de ruptura sobre el eje real y después parten desde el eje en direcciones opuestas. En este caso, el punto de ruptura repr repres esen enta ta un una a ra raíz íz do dobl ble e de la ec ecua uacció ión n cuan cuando do se as asig igna na el va valo lor  r  de K correspondiente al punto. La Figura (b) muestra otra situación en la que dos lugares geométricos de las raíces de polos complejos conjugados se aproximan al eje real, se encuentran en un punto de ruptura y después parten en direcciones opuestas a lo largo del eje real. En general, un punto de ruptura puede involucrar más de dos lugares geométricos de las raíces.

Los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces de 1+KG(s)H(s)=0 deben satisfacer lo siguiente: dG1( s ) H 1( s )

  =0

ds

 

Todos los puntos de ruptura deben satisfacer la ecuación anterior, pero no todas las soluciones de esta ecuación son puntos de ruptura.

EJEMPLO: Considere la ecuación característica siguiente: S ( S + 2 ) + K   (( S + 4 )=0

De esta se obtiene que: G1( s ) H 1 ( s )=

  ( S+ 4) S ( S +2 )

Luego: dG1( s ) H 1( s ) ds

  =

S2 + 8 S + 8 2

S

¿¿

Es decir: S

2

+ 8 S + 8 =0

 Al resolver esta última ecuación, encontramos que los puntos de ruptura son s= -1.172   yy s= -6.828 , tal como se muestra en la Figura.

  Lugar geométrico geométrico de las raíces s(s+2)+K(s+4)=0 8vo. PASO: Trazar el lugar geométrico de las raíces.

La parte más importante de los lugares geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje ω y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión. Tomando una

 

serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, po podem demos os determ determina inarr los lugare lugaress ge geomé ométric tricos os de las raíces raíces en la vecindad amplia del eje ω y el origen.

ANÁLISIS MEDIANTE EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 1.3 Gráficas del Lugar Geométrico de las Raíces Condiciones de ángulo y magnitud Considere el sistema de la figura1.3.

R(s)

+

C(s)

G(s)

-

H(s)

Fig. 3.1 Sistema de Control La función de transferencia en lazo cerrado es C ( s)  R( s )

G( s)



1  G( s) H ( s )

(3.1)

La ecuación característica para este sistema en lazo cerrado se obtiene haciendo que el denominador del segundo término de la ecuación (3-1) sea igual a cero. Es decir, 1  G ( s) H( s )  0

Despejando se tiene:

G ( s) H ( s)   1

Debido a que G(s)H(s) es una cantidad compleja. La ecuación: G ( s) H (s )   1

(3.2)

Se divide en dos ecuaciones igualando, respectivamente los ángulos y magnitudes de ambos lados, para obtener:

Condición de ángulo: G ( s) H ( s)  180 ( 2k  1) ,

Condición de magnitud:

(k

2, .....)   0,1, 2,

(3.3)

 

G( s) H (s ) 

1

(3.4)

Por consiguiente:     Los

valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las

de magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado.    

El LG LGR R es un una a gráf gráfic ica a de los los pu punt ntos os de dell pl plan ano o co comp mple lejo jo que que só sólo lo satisfacen la condición de ángulo.

    Las

raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que

corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a  partir de la condición de magnitud.     En

muchos casos, G(s)H(s) contiene un parámetro de ganancia K, y la

ecuación característica se escribe como:

1

1  G ( s) H( s)  0 ;     Entonces,

 K ( s  z1 )( s  z2 )........( s  z m )



0

( s  p1 )( s  p2 )........( s  pn )

los LGR para el sistema son los LG de los polos en lazo

cerrado cuando la ganancia K varía de cero al infinito.     Observe

que, para empezar a dibujar los LGR de un sistema mediante

el método analizado aquí, debemos conocer la localización de los polos y los ceros de G(s)H(s).     Recuerde

que los ángulos de las cantidades complejas que se originan

a partir de los polos y los ceros en lazo abierto para el punto de prueba s se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

Ejemplo: Considere el sistema sistema de la figura. (Se supone que el valor de la ganan ganancia cia K es no negativo.) Para este sistema, se cuenta con:

 

G( s) 

 K   s ( s  1)( s  2)

,

H ( s)  1

Se dibuja la gráfica del lugar de las raíces y después se determina el valor  de K , ta tall que que el fa fact ctor or de am amor ortitigu guam amie ient nto o rela relatitivo vo ζ   de los pol polos os dominantes complejos conjugados en lazo abierto sea 0,5.

Solución   Para

el sistema dado, la condición de ángulo es:

G ( s ) H ( s )  180(2k  1),

G ( s ) H (s )    La

 K 

  0,1, 2, 2, .....)

 s  ( s  1)  ( s  2)

 s ( s  1)( s  2)

condición de magnitud es:

G ( s) H (s )   Un

(k



 K   s( s  1)(s  2)

1

procedimiento común para trazar la gráfica del LGR es el siguiente:

1. Determine lo los s LGR sobre el eje real.

El primer paso al construir una gráfica del LGR es:  

Situar los polos en lazo abierto:

x

x

-2

-1 

 s  0,

x

0

s  1

y

s  2 ,

En el plano complejo. Nota: En este sistema no hay ceros en lazo abierto.  

Lass ubic La ubicac acio ione ness de lo loss polo poloss en la lazo zo ab abie ierto rto se seña señala lan n me medi dian ante te cruces.

 

Las ubicaciones de los ceros en lazo abierto se indicarán con círculos pequeños.

 

Observ Obse rve e que que los punt ntos os in inic icia iale less de lo loss LG LGR R (l (los os pun unto toss que corresponden a K=0) son los polos en lazo l azo abierto.

 

 

Los LGR individuales para este sistema son tres, que coincide con el número de polos en lazo abierto.

 

Para determinar los LGR sobre el eje real, se selecciona un punto de prueba, s. 

Si el punto de prueba está en el eje real positivo, entonces:

 s 

x

x

x

-2

-1 

0

0

( s  1) 

0

( s  2) 

0

G ( s) H (s )   1   1   2  3    0  0  0  0

Esto demuestra que no es posible satisfacer la condición de ángulo. Por tanto, no hay un LGR sobre el eje real positivo.  A

continuación, se selecciona un punto de prueba sobre el eje real

negativo entre 0 y -1. Así

x

x

-2

-1 

x 0

  s  180

 s  1  0   s  2  0

Por tanto G ( s) H (s )   1  1   2  3    s  ( s  1)  ( s  2)  180  0  0  180 







Y se satisface la condición de ángulo. Así, la parte del eje real negativo entre 0 y - 1 forma parte del LGR. 

Si se selecciona un punto de prueba entre -1 y -2, entonces:

x

x

-2

-1 

x 0

 

 s  180



( s  1)  180 ( s  2) 





0

Y  s  ( s  1)  ( s  2)  180  1 18 80  0  360  







360



Se observa que no se satisface la condición de ángulo. Por tanto, el eje real negativo de -1 a -2 no es parte del LGR.  Asimismo,

si se ubica un punto de prueba sobre el eje real negativo

de -2 a -∞, se satisface la condición de ángulo.

x

x

-2

  -1

x 0

 s  ( s  1)  ( s  2)  180  180  180   540  180 









Por tanto, existen lugares geométricos de las raíces sobre el eje real negativo entre 0 y -1 y entre -2 y -∞. 2. Determinar las a asíntotas síntotas de los LG LGR. R.

Las asíntotas de los LGR, conforme s tiende a infinito. Se determinan del modo siguiente:  

Si se selecciona un punto de prueba muy lejano al origen, entonces lim G ( s) H ( s)  lim

 s 

 

s 

 K  s (s  1)(s  2)

 lim

s 

K  s3

y la condición de ángulo se convierte en G ( s ) H ( s )  180( 2k  1), 3 s  180(2 k  1),

(k

  0,1, 2, 2, .....)

( k   0,1, 2 2,, .....)

O bien  Angulo de Asintota 

180



( 2k   1)

(k   0,1, 2 2,, ...)

nm 

 Angulo de Asintota

  180 

[[2 2(0)  1]

 Angulo de Asintota

  180 

3 

[2(1 [2(1)  1] 3



180



3 

 180

 60



 

 

Dado que el ángulo se repite a sí mismo conforme K varía, los ángulos distintos para las asíntotas se determinan como 60°, -60° y 180°.

 

Por tanto, hay tres asíntotas.

 

La única que tiene el ángulo de 180° es el eje real negativo.

   Antes

de dibujar estas asíntotas en el plano complejo, debemos

encontrar el punto en el cual cortan el eje real. Como G ( s) H ( s )   

 K   s ( s  1)( s  2)

Si un punto de prueba se ubica muy lejos del origen, G(s)H(s) se escribe como G ( s) H ( s ) 

 

 s

2

 3s  ......

Para valores grandes de s, esta última ecuación se aproxima mediante G ( s) H ( s ) 

 

 K  3

 K  ( s  1)3

(3.5)

Un dibujo del LR de G(s)H(s) de la ecuación anterior este compuesto de tres tres lín línea eass re rect ctas as.. Es Esto to se pu pued ede e ve verr de la si sigu guie ient nte e ma mane nera ra.. La ecuación del LR es 

 K  ( s  1)

3

   180 ( 2k   1)

3 ( s  1)  180

, o bien



(2 k   1)

La cual se puede escribir como ( s  1)  60



(2k   1)

Sustituyendo  s  



j 

En esta última ecuación, se obtiene (   j   1)  60



( 2 k   1 1)) ; tan 1

O bien,    Aplicando

 

     

1

(  1   j )  60



60 ,

 60,





( 2k   1) 1)

0

la tangente a ambos lados de es esta ta última ecuación,

 

1





3,

La cual se puede escribir como



1



3,

     

1

0

 



1



3



0,



1

 

3



0,

 



0  

Estas Est as tre tress ecu ecuaci acione oness representan tres líneas rect recta as tal tal y com omo o se muestra en la fig. 5-4.

Tres asíntotas  

Las tres líneas rectas que se muestran son las asíntotas. Estas se unen en el punto s=-1. Por tanto, la abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene igualando el denominador del lado derecho de la ecuación a cero y despajando s. Las asíntotas son casi parte de los LGR en regiones muy lejanas al origen.

EL LUGAR GEOMÉTRICO EN EL DISEÑO DEL SISTEMA Y SUS PARÁMETROS El obje objetitivo vo pr prin inci cipa pall es pr pres esen enta tarr lo loss pr proc oced edim imie ient ntos os pa para ra el di dise seño ño y la compensación de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes con el tiempo. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema, realizada para satisfacer las especificaciones determinadas.

Configuracioness del compensador  Configuracione El diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado completo y el lu luga garr do dond nde e el cont contro rola lado dorr es esta tará rá colo coloca cado do en rela relaci ción ón co con n el proc proces eso o cont co ntro rola lado do.. Comp Compen enssac ació ión n en ser erie ie (c (cas asca cada da): ): (Fig (Figur ura a 1) es la más más comúnmente utilizada con el controlador colocado en serie con el proceso controlado.

 

Compensación en realimentación (en paralelo): (Figura 2) el controlador está colocado en la trayectoria menor de realimentación.

En general, la compensación en serie es más sencilla que la compensación median med iante te rea realim liment entac ación ión;; sin emb embarg argo, o, aqu aquéll élla a requie requiere re con fre frecue cuenci ncia a de ampl am plifific icad ador ores es ad adic icio iona nale less pa para ra in incr crem emen enta tarr la ga gana nanc ncia ia y/o y/o ofre ofrece cerr un aislamiento. (Para evitar la disipación de potencia, el compensador en serie se inserta en el punto de bajo nivel en la trayectoria directa.)

Procedimientos de diseño (Parámetros) Después que se ha escogido una configuración del controlador, el diseñador  debe seleccionar un tipo de controlador que satisfaga las especificaciones de diseño. Uno de los controladores más utilizados en el PID, el cual aplica una señal al proceso que es una combinación proporcional, integral y derivada de la señal de actuación. Además de estos se cuentan con controladores o redes de adelanto, atraso y atraso adelanto. Compensador o Red de Adelanto Se lo ut utili iliza za para para mejo mejora rarr la re resp spue uest sta a tran transi sito toria ria read readap apta tand ndo o el lu luga gar  r  geométrico de las raíces del sistema original. El cero del compensador de adelanto readapta el lugar geométrico de las raíces, mientras que el polo se ubic ub ica a lo su sufifici cien ente teme ment nte e le lejo joss a la iz izqu quie ierd rda a pa para ra no in influ fluir ir en la pa part rte e readaptada por el cero.

 

Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante el lugar  geométrico de las raíces (LGR) De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación



deseada de los polos dominantes en lazo cerrado. 

Trazar el lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado cuya función de transferencia es G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener o no los polos de lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule la deficiencia angular Φ, este ángulo se debe proporcionar por el compensador en adelanto para que el nuevo LGR pase por las ubicaciones deseadas.



Se determinan α y T a partir de la deficiencia angular, Kc se determina a partir del requisito de ganancia de lazo abierto partiendo de la condición de magnitud.



Veri Ve rififica carr que que se ha haya yan n cump cumplilido do toda todass la lass es espe peci cififica caci cion ones es de desempeño, de no ser el caso repetir el procedimiento ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones especificaciones..

Ejemplo de diseño

1) Se analiza las características de la PLANTA:

2

  ωn   4  y = 2 =ωn =2 Gp= = = 2 s ( s + 1 )  R s + s + 4 s + 2 ξ ωn s + ω nn   4

Donde: 2 ξ ω n=1= ¿ > ξ =0.25 

%MP =e

− πξ √ 1− ξ2

× 100= 44 44.4 .4 %

 

t s ( 2% ) = 4 t =

 4

ξ ωn

=8 ( s ) 

%Ep =

  1

 × 100=0 %

1 + Kp

Por lo que se requiere mejorar el Transitorio, para lo cual se debe diseñar una Red de Adelanto.

2) Se analiza el LGR de la PLANTA:

Los POLOS DESEADOS deben ubicarse con su parte real por lo menos en el límite – 1.

 

 p1,2=−ξ ω n ± j ω n √ 1−ξ

−1=−ξ ω n ⟹ ω n=

2

 pd =−1 ± j ωn √ 1 −ξ

⟹

2

1

ξ

 Además considerando considerando %M p = 20%, se tiene ξ = .0 456, 456, para lo cual ωn = .2 193. Por lo tanto, el valor de los Polos Deseados, será: p 1 j .1 952 d = − ± Estos Polos Deseados deben pertenecer al LGR del Sistema Compensado, esto es:

3) Se calcula el ángulo de adelanto necesario φ A que debe entregar la Red para que el LGR pase por los Polos Deseados. Se aplica la condición de fase ∠GH (jω) ° = −180° El ángulo de la PLANTA viene dado por: ∠

∘

G p H ( S )  ∕   S= Pd−∠ s ∕   Pd −∠ ( s + 1 )  ∕   Pd

Para:  Pd =−1 + j 1.952 ⟹ −∠ (−1 + j 1.952 ) −∠ (− 1 +  j 1.952 + 1 )

¿ −117.1 ° −90 ° −207.1 ° Entonces, para que alcance un ángulo de -180º, el ángulo de adelanto viene dado por:φ A=207.1 ° −180 ° =27.1 °

 

4) Con el ángulo de adelanto

∅

 , se fija el valor del cero y se determina el

 A 

valor del polo del compensador.  z =2 =¿ ∠ ( s + 2 )   ∕ S = Pd −∠( s + p )  ∕  Pd= ∅ A

Entonces para: ⟹

∠

∠

+ (−1 + j 1.952 + 2 ) − (−1+  j 1.952+ p )=27 , ° Se tiene que:

 Pd =−1 + j 1.952

−t g − 1

(− + )  1.952

1  p

=27.1 ° −62.9 °=−35.8 °=¿

 1.952

−1 + p

=tg ( 35.8 ° )= 0.72

 P=3.7

Donde:

5) Para el cálculo de la ganancia C KKc= se aplica la condición de módulo, esto es:

|

¿ GT  ¿ Pd=1 =¿  K 

  S+ 2 S ( S + 1 ) ( S + 3.7 )

|=

1

Entonces para:  Pd =−1 + J 1.952=¿ k 

Donde:  K = 6.5=¿ Kc =1.63

Entonces:

 

|−1 + J  1.952  1.952+ 2|

 1.952|.|−1 + J 1.952 + 1|.|−1+ J 1.951 + 3.7| |−1 + J  1.952

=1

 

La Respuesta Temporal de este Sistema Compensado arroja los siguientes datos: ω n=2.28

rad %Mp= 26 26.6% .6%   s

[  ]

ξ = 0.441 t ( 2 % ) =3.76 [ s ]

Por lo tanto, el aún no cumplir con las especificaciones, es necesario hacerle un ajuste fino al compensador.  Así, considerando el el valor del cero en 1.6 +s se tienen tienen los siguientes resultad resultados os del Sistema Compensado: ω n=1.59

[  ]

rad %Mp=18.3%   ξ = 0.632 t ( 2 % ) =2.64 [ s ] s

 

SENSIBILIDAD DE LAS RAICES La con condición sobre los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces en la ecuación nos lleva a la sensibilidad de las raíces de la ecuación caract car acterí erísti stica. ca. La sensib sensibili ilidad dad de las raí raíces ces de la ecuac ecuación ión car caract acterí erísti stica ca cuando K varia se define como la sensibilidad de raíces, y esta dad por:

Por tanto, la ecua ecuación ción muestra muestra que la sens sensibilid ibilidad ad de las raíces de los puntos de ruptura es infinita. Desde el punto de vista de sensibilidad de las raíces, debemos evitar seleccionar los valores de K que operan sobre puntos de rupt ruptur ura, a, que que co corr rres espo pond nden en a ra raíc íces es de orde orden n mú múltltip iple le de la ec ecua uaci ción ón característica. En el diseño de sistemas de control, no solo es importante llegar  a sistemas que tengan una característica deseada, sino también es importante llegar a sistemas que tengan una característica deseada, sino también es importante que el sistema deba ser insensible a la variación de los parámetros. Por ejemplo, un sistema que pueda desarrollar satisfactoriamente con una cierta cie rta K, pero que si es muy sensibl sensible e a la vari variaci ación ón de K pue pueda da cae caerr en la región indeseable o volverse inestable si K varia solo una pequeña cantidad. La siguiente figura muestra el diagrama del lugar geométrico de las raíces:

Cuando K se incrementa uniformemente sobre 100 valores desde -20 a 20. El lugar geométrico de las raíces fue calculado con el programa ROOTLOCI de  ACSP y dibujado en forma digital. Cada punto. La técnica del lugar geométrico de las raíces.

 

Lugar geométrico de las raíces s(s+1)+k=0 que muestra la sensibilidad de la raíz con respecto a k. Sobre la gráfica del lugar geométrico de las raíces representa una raíz para un valor distinto de K. Por tanto, se ve que la sensibilidad de las raíces es baja cuando la magnitud de K es grande. Cuando la magnitud de K se decremento, lo loss movi movimie mient ntos os de la lass ra raíc íces es se vuel vuelve ven n má máss gran grande dess pa para ra lo loss mi mism smos os incrementos en K. En el punto de ruptura, s= -0.5, la sensibilidad de las raíces es infinita. En la siguiente figura se muestra el lugar geométrico de las raíces de:

Con K incrementada uniformemente por 200 valores desde -40 a 50. Otra vez el lugar lugar geomé geométric trico o muestr muestra a que la sensib sensibilid ilidad ad de las raíces raíces increm increment enta a cuando las raíces se aproximan a los puntos de ruptura en s=0, -0.543,-1, 0, y -2.457. Se puede investigar la sensibilidad de las raíces posteriormente mediante el uso de la expresión en la ecuación. Para la ecuación de segundo orden en la ecuación:

 

Lugarr geom Luga geomét étri ricco de las las ra raíc íces es s^2( s^2(s+ s+1) 1) + k(s+ k(s+2) 2) = 0, qu que e mu mues estr tra a la sensibilidad de la raíz con respecto a k. De la ecuación, K = -s(s+1), la sensibilidad de las raíces se convierte en:

En donde Y se se d de ebe

tomar valores sobre el lugar geométrico de las raíces

de la ecuación, para las raíces sobre el eje real, W=0. Por tanto la ecuación lleva a:

Cuando las dos raíces son complejas, Para todos los valores de w. La ecuación da:

 

De la ecuación es claro que la sensibilidad de las raíces en pares complejos conjugad conj ugados os es la misma, ya que w aparece so solo lo con w^2 en la ecuació ecuación. n. La ecuación indica que las sensibilidades de las dos raíces reales son diferentes para un valor de K dado. La tabla da las magnitudes de las sensibilidades de las dos raíces de la ecuación para diferentes valores de k, donde Sk denota la sensibili sens ibilidad dad de la primer primera a raíz y Sk2 denota lo mismo mismo para la segun segunda da raíz. Estos valores valores indic indican an que aunque aunque las dos raíces reales reales alcanz alcanzan an hasta -0.5, para el mismo valor de k=0.25, y cada raíz viaja la misma distancia desde s=0 y s= -1, respectivamente, la sensibilidad de las dos raíces reales no es la misma.

APLICACIONES Presencia de los lugares geométricos en la vida cotidiana Sin duda, es la circunferencia el lugar geométrico plano más abundante en la vida cotidiana, aunque en la mayoría de las veces no lo vemos como tal, normalmente lo miramos desde una cierta perspectiva y lo que vemos en realidad son elipses. Cuando nos disponemos a comer, la mirada a la mesa ya preparada es un conjunto de elipses; si además, para los entremeses abrimos la lata tass de co cons nser erva vas, s, ob obse serv rvam amos os que que algu alguna nass tien tienen en ba base se el elíp íptitica ca y, si cortamosembutidos cilíndricos en secciones oblicuas, también las rebanadas obte ob teni nida dass son son el elip ipse ses. s. Si sali salimo moss de comp compra rass a un cent centro ro co come merc rcia ial,l, descubrimos que los mensajes publicitarios exhibidos en algunas vidrieras y en los en envas vases es de mucho muchoss produc productos tos de limpie limpieza, za, per perfum fumerí ería a y joy joyerí ería, a, los logotipos de marcas, las etiquetas, etc. Al entrar en un parque, ver tal vez un plantío elíptico o una fuente cuyos surtidores de agua describan parábolas, focos foc os de luz pú públi blica ca rem remata atada da por globos globos esféri esféricos cos.. Cua Cuando ndo ret retorn ornamo amoss podemos contemplar las catenarias formadas por los cables que transportan la energía eléctrica, tendidas a lo largo de la autopista.

Presencia de los lugares en la ciencia y en la tecnología En sistemas dinámicos, cuando se aborda un sistema de un cierto número de ecuac ec uacion iones es difere diferenci nciale ales, s, ant antes es de rec recurr urrir ir al mét métod odo o num numéri érico co es posibl posible e hacerse una idea de por dónde irán las curvas solución o las trayectorias en el mapa ma pa de fa fase ses. s. Es Esta tass cu curv rvas as pued pueden en se ser: r: rayo rayoss qu que e sa sale len n del del orig origen en,, parábolas, hipérbolas, elipses y circunferencias (figura 1).

 

 Plano de fases para el sistema de dimensión 2 con dos ecuaciones

desacopladas En la arqu arquite itect ctur ura a de re rega gadí dío, o, es espe peci cial alme ment nte e en la in inte tens nsiv iva, a, es de vi vita tall importancia la función reguladora que cumplen las balsas de riego, gracias a las que se puede disponer de agua en los períodos del año en que la demanda evapotranspirativa de los cultivos es mayor que el aporte natural de este recurso. Esta propiedad de la parábola se usa en ciertos telescopios en que los rayos paralelos provenientes de una estrella lejana que entran son enfocados hacia un solo punto. Igualmente el sonido y las ondas electromagnéticas obedecen las mismas leyes de la reflexión de la luz, por lo que se usan micrófonos parabólicos para recoger y concentrar sonidos que provienen de una parte distante. Otra aplicación se da en la trayectoria de algunos cometas. Cuando el cometa que proviene del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar.

La presencia de los lugares geométricos en las artes y en las letras La Geometría ha aportado los métodos de representación y ha sido una fuente de fo form rmas as y de meto metodo dolo logí gía a co con n la lass qu que e se pu pued ede e pl plan ante tear ar nu nume mero roso soss problemas suscitados por la creación arquitectónica.

 

En el museo Inca de Cusco se observa una variedad de colecciones sobre objetos de bronce, que proceden de la época Preinca e Inca del Cusco, todos con diseños basados en las cónicas: tupus, tumis, cuchillos, coronas, cinceles, barret bar retill illas, as, an anillo illos, s, pendie pendiente ntess de tre trenza nzas, s, bra brazal zalete etes, s, plo ploma madas das,, hac hachas has,, espe es pejo jos, s, orej orejer eras as,, ag aguj ujas as,, pe pect ctor oral ales es,, ch chip ipan anas as,, arma armas, s, in inst stru rume ment ntos os musicales, instrumentos agrícolas y finalmente qeros (Barrera, 2003).

EN CONCLUSIÓN Un punto que pertenece al lugar geométrico de las raíces es un posible polo del sistema en lazo cerrado; para ello únicamente es necesario validar la condición de módulo, y ésta se cumplirá para un valor determinado de la ganancia del sistema en lazo abierto. Sin embargo, un punto del plano S que no pertenezca al L.G.R no puede ser polo en lazo cerrado porque no verifica la condición de ángulo, aunque varíe la ganancia del sistema en lazo abierto.

BIBLIOGRAFÍA 

Notas de Sistemas de Control I M.C. Jaime Cid Monjaraz

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INGENIERÍA DE CONTROL M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ

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Didactic implications of the presence of the places geometric in Science, technology and art to engineer training

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Universidad Peruana Unión. sistemas-de-control-automático-benjamin-c-kuo