Trabajo Colaborativo vectores, matrices y determinantes

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APORTE INDIVIDUAL Fase 2 - Trabajo Colaborativo vectores, matrices y determinantes

Sandra Donay Salazar Cód.: 1112769751 Eduard Fernando Aristizabal Cod: 1113307220 Juan Camilo Castro Medina Cód.: 1113308646 Oscar William Valencia Osorio Cod: 10031696 Cristian Alexander Madronero Cód.: 1121862776

Presentado a: Henry Edilson Rivera Algebra Lineal Grupo: 100408_207

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas y Tecnologías Ingeniería de Sistemas CCAV - Dosquebradas Risaralda Marzo 2017

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INTRODUCCION

La resolución de problemas del Álgebra, considerada como herramienta y también como uno de los propósitos finales del aprendizaje de esta disciplina, constituye una actividad muy compleja y cuya integralidad precisa de la formación de modos de actuación, métodos de trabajo y procedimientos metodológicos generales y específicos sustentados en el desarrollo de habilidades matemáticas básicas, entre las que se destaca la habilidad para fundamentar los problemas de manera apropiada. Es por eso que el álgebra en su componente lineal, permitirá desarrollar habilidades para analizar y delinear mecanismos idóneos para la toma de decisiones en nuestra adaptación a la vida profesional.

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OBJETIVOS Objetivo General. Desarrollar habilidades y destrezas en los principales conceptos del algebra lineal, aplicaciones lineales, espacios vectoriales para posteriormente ser aplicadas en la solución de problemas en el ámbito profesional del curso.

Objetivos específicos. -

Desarrollar problemas de aplicaciones lineales Entender los principales conceptos de algebra lineal con sus respectivas sistemas de ecuaciones Adquirir capacidades analíticas para el desarrollo de problemas del algebra lineal

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CONTENIDO DESARROLLO EJERCICIO NO.1

Ejercicio No.1 Por: Juan Camilo Castro Retroalimentado por Eduard Fernando Aristizabal 1. Encuentre los dos posibles valores de λ en los siguientes casos y grafique los puntos en el plano cartesiano: a. De modo que los puntos P y Q se encuentren a 13 unidades de distancia P (7, λ) y Q (-5,2) b. De modo que los puntos M y N se encuentren a √73 unidades de distancia M (-3,-5) y Q (-6, λ) Fórmula: (𝑷,) =√(𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐+(𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝟐

a.

De modo que los puntos P y Q se encuentren a 13 unidades de distancia P(7,λ) y Q(-5,2)

√ √

valores para

los cuales cumplen la condición

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b. De modo que los puntos M y N se encuentren a √ (-6, λ)

unidades de distancia M (-3,-5) y Q

M (-3,-5) y N(-6, λ) √ √ √

Solución

√ √

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Retroalimentación realizada por Eduard Aristizabal Ejercicio 1 del compañero Juan Camilo Castro Medina

Revisando el compañero para encontrar las coordenadas de cada punto utilizo el teorema de Pitágoras esta fórmula es la correcta para encontrar los puntos a graficar, las operaciones las realizo paso a paso están correctas, los gráficos que realizo en la herramienta Geógebra trazo correctamente el plano cartesiano y localizo los segmentos de cada recta.

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EJERCICIO NO.2

Realizado por: Oscar William Valencia Retroalimentado Sandra Donay Salazar

Retroalimentación: En el desarrollo del ejercicio No.2 considero tanto el planteamiento, como el desarrollo y su respuesta es correcta y objetiva

⃗

√

⃗

√

a.

⃗ Ahora

⃗

→

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b. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ √ ⃗⃗⃗ √ ⃗⃗⃗ Ahora

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⃗⃗⃗

→

EJERCICIO NO.3

Realizado por: Cristian Alexander Madronero Retroalimentado Sandra Donay Salazar Retroalimentación: En el desarrollo de ejercicio No.3 considero que no está realizado según los parámetros de la guía como lo son las ecuaciones de Word “no se usaron”, para el ejercicio está bien

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1. Sean a. b.

Encuentre

tal que:

sean ortogonales. sean paralelos.

El producto escalar de dos vectores U=a, b -V = c, d es igual a: u=a, b . v=c, d =

A.C + B. D

vectores: (a, b) = (-1,3) - (c, d) = (α, -2) = -1 x α + 3 x (-2) = 0 = -α - 6 = 0 => α = -6 V= -6i-2J RTA a = - 6.

B paralelos sus pendientes deben ser iguales Pendiente del vector u = componente vertical / componente horizontal = 3 / (-1) = - 3. Pendiente del vector v = componente vertical / componente horizontal = -2 / (a) = -2/a - 3 = -2/a = a = -2 / (-3) = 2/3 V= (2/3) i - 2j RTA a = 2/3

Ejercicio retroalimentado por Sandra Salazar Encontrar a

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Para que

sean ortogonales

para que el vector sea ortogonal a u

Para que dos vectores sean paralelos, sus pendientes deben ser iguales. La pendiente de un vector está conformada por:

Igualamos las pendientes:

Para que

Para que el vector v sea paralelo al vector u

sean paralelos

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EJERCICIO NO.4 Realizado por: Cristian Alexander Madronero Retroalimentado Sandra Donay Salazar Calcule la proyección vectorial y la proyección escalar indicada en cada caso, con los vectores dados: a. Proyección de

en , para

= +2 ;

= −2 + 2

u= i + 2j v = -2i + 2j

| |

|

|

√

√

√

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b. Proyección de u= -5i + 3j v = 3i - 2j

|

|

√

en

para

= −5 + 3 ;

=3 −2

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EJERCICIO NO.5

Realizado por: Juan Camilo Castro Retroalimentado Eduard Fernando Aristizabal

1. Determine las siguientes matrices: a)

Matriz 2 x 2, A = [

] para la cual

b)

Matriz 3 x 4, B = [

] para la cual

Desarrollo a)

Matriz 2 x 2, A = [

] para la cual

Planteamos los valores de la matriz

Con los valores de la matriz pasamos a su construcción: (

)

Queda establecida la matriz 2x2 (

b)

)

Matriz 3 x 4, B = [

] para la cual

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Luego se establece la matriz 3x4:

(

(

)

)

3X4

3X4

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Retroalimentación Eduard Aristizabal al compañero Juan Camilo Castro El compañero realizo las operaciones de las matrices 2x2, 3x4 dándoles valor en el cuadro, luego de darles el valor empezó con la construcción, revisando cada operación que realizo en el cuadro, y el resultado de cada matriz encontramos que los ejercicios realizados los realizo adecuadamente de acuerdo a lo establecido en la guía.

EJERCICIO NO.6

Realizado por: Oscar William Valencia

a.

3AB |

| |

| = |

| |

|

| = |

|

b.

|

| |

|

|

|

| =

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|

|

|

| |

|

|

|

| =

| = |

|

EJERCICIO NO.7

Realizado por: Eduard Fernando Aristizabal Retroalimentado Juan Camilo Castro

Retroalimentación: El desarrollo del ejercicio No.7 es una ecuación donde las operaciones a realizar son suma de matrices y la multiplicación de matrices por un escalar, considero que el planteamiento, desarrollo y respuesta del ejercicio es correcta; si la solución se efectúa más extensa pierde objetividad. Ejercicio planteando por el compañero Eduard Fernando Aristizabal: Calcular el valor de la matriz 1.

[

]

[

en las siguientes operaciones: ]

Matrices. Cabe aclarar conceptos cobre matrices, a. no existe la división entre matrices, y b. la multiplicación de matrices no es conmutativa, entonces:

A continuación, debemos despejar la matriz X, que es la que desconocemos, pero teniendo en cuenta que no existe la división entre matrices, entonces procedo a utilizar siempre la inversa del valor o matriz que multiplica a la X, para este caso, la inversa de es 3, así; 

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Hay con la Matriz incógnita despejada, procedemos a reemplazar [

]

[

]

[

]

[

𝟐𝟕 [ 𝟏𝟓 𝟔

]

𝟗 𝟗] 𝟖𝟏

Con el fin de verificar el resultado, probaré la ecuación: 𝟐𝟕

𝟐𝟕 [ 𝟏𝟓 𝟔

𝟗 𝟗] 𝟖𝟏

𝟗 [𝟓 𝟐

𝟑 𝟑] 𝟐𝟕

𝟖 [𝟏 𝟓

𝟐 𝟔] 𝟏𝟓

[

]

[

]

𝟖 [𝟏 𝟓

[

2.

[

]

[

𝟑 𝟖𝟏

𝟔 𝟑

𝟑

𝟑

𝟑 𝟑] 𝟐𝟕

[

𝟖 [𝟏 𝟓

]

] [

𝟖 [𝟏 𝟓

]

𝟐 𝟔] 𝟏𝟓 𝟐 𝟔] 𝟏𝟓

]



 ]

[

𝟗

𝟐 𝟔 ] Se ha comprobado la igualdad 𝟏𝟓

]

[

𝟑

[ 𝟗 ] [ 𝟓 𝟐

[

𝟗

𝟑 𝟏𝟓

]

( [

]) 

[

[

]

]

𝟑𝟓 [ 𝟏𝟓 𝟒

𝟓 𝟒𝟓 ] 𝟏𝟓

𝟑𝟓

𝟓

[

]

Prueba 𝟑𝟓 [ 𝟏𝟓 𝟒 𝟕 [ 𝟑 𝟖

𝟓 𝟒𝟓 ] 𝟏𝟓 𝟏 𝟗] 𝟑

[

]

[

𝟓 𝟏𝟓

] [

[

]

[

𝟖 ][ 𝟏 𝟓

𝟓 𝟒𝟓

𝟓 𝟒

𝟓 𝟏𝟓

𝟓

𝟓

𝟐 𝟔] 𝟏𝟓

[

]

]

𝟖 [𝟏 𝟓

𝟐 𝟔] 𝟏𝟓

[

]

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EJERCICIO NO.8 Realizado por Sandra Donay Por medio del método de Gauss-Jordan, encuentre la matriz inversa de: *

+

Matriz identidad

(

|

)

Intercambiar filas de la matriz

(

|

)

Cancelar el primer coeficiente en la fila

(



|

Cancelar el primer coeficiente en la fila

realizando



)

realizando



.



.

| | (

)

Cancelar el primer coeficiente en la fila

(

|

realizando

)

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Reducir matriz a su forma escalonada reducida por renglones ( Cancele el primer coeficiente en la fila

(

Cancele el primer coeficiente en la fila

(

(

(

(

realizando

realizando

(

.



.

)

realizando

|



.

)

|

Cancelar el primer coeficiente en la fila



)



Multiplicar la fila de la matriz por la constante

(

.

)

|

Cancele el primer coeficiente en la fila



realizando

|

Cancele el primer coeficiente en la fila

.

)

|

Cancele el primer coeficiente en la fila



realizando

|

)

.

)

realizando

|

Multiplicar la fila de la matriz por la constante



.

)



.

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(

|

)

La inversa se encuentra en la parte derecha de la matriz aumentada

[

]

Matriz inversa

[

]

EJERCICIO NO.9

Realizado por: Eduard Fernando Aristizabal Retroalimentado Juan Camilo Castro Considero que el ejercicio No.9 que presenta mi compañero Eduard Fernando Aristizabal el resultado es correcto, pero existen algunas operaciones entre las filas mal planteadas ya que:

Y al decir que es:

Lo cual es errado, por tanto

Es el procedimiento correcto Concluyo manifestando que aunque los procedimientos matemáticos son correctos, algunos planteamientos como los siguientes no fueron bien planteados. a. b. c.

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Ejercicio planteando por el compañero Eduard Fernando Aristizabal:

-Proyección de -Proyección de

en , para = Î+ 2Ĵ; = −2Î+ 2Ĵ en para = −5Î+ 3Ĵ; = 3Î − 2Ĵ

a.

b.

c.

d.

⁄

e.

⁄

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⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

f.

⁄

EJERCICIO 10 Realizado por: Sandra Adonay Salazar Retroalimentado Oscar William Valencia

| | Se elige la columna o renglón con mayor número de ceros para agilizar el procedimiento, en este caso será la columna 3

= (2) |

|

(4) |

|+

+

+

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Se intercalan los símbolos con la regla de símbolos

|

= (2)

|

(4) (-) |

| + (+)

+ (-)

+ (+)

Reducir la matriz de 4x4 a una matriz de 3x3 con el método de cofactores con las columnas 3 = (2) |

={

|

|

(4) |

|

|

|

|}

{

|

|}

Se intercalan los símbolos con la regla de símbolos |

={

|

|

|

|

|

|}

{

|}

Agregamos los términos del primer factor (2) y (-4) =

{

| |

|

|

|}

{

|}

Solución de las operaciones }

=( =

}

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}

= =

}

= }

=( }

=( }

=( =(

}

= |

|

El determinante de la matriz es: |

|

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CONCLUSIONES

Se pudo estudiar los diferentes temas del algebra lineal, entre algunos se encuentra: Los conceptos de vectores, matrices, determinantes y las diferentes operaciones que se pueden ejecutar y realizar con cada uno de estos temas, además de ver la importancia de los mismos para nuestra formación profesional. Se realizó la interiorización de los contenidos de la primera unidad del módulo de algebra lineal.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Zúñiga, Camilo (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7193 Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 88 a 103. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584265&p00=alge bra+lineal Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 117 a 127. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11013215&p00=alge bra+lineal Vargas, Juan (2015). Operaciones entre vectores y ángulo. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7200