Trabajo-Colaborativo-Momento-4-Algebra-trigonometria-y-geometria-analitica.docx

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TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 4

ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 301301

Presentado por: JOSE ALFONSO CARRILLO BERMUDEZ Código No. 1.049.627.449 LICETH CONSUELO PEDRAZA Código No. 1.002.414.873 TANIA KATHERINE ACEVEDO Código No. x.xxx.xxx.xxx EDGAR ROLANDO GUTIERREZ ALVARADO Código No. 1.049.634.001

Grupo No. 706

Tutor: SANDRA ISABEL VARGAS L.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ECBTI

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TUNJA, ABRIL 14 DE 2016

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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................2 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD....................................................................................................3 1. Determine la inversa de la función:...................................................................................4 2. Para la función dada determine el respectivo dominio y rango:.............................6 3. Dadas las funciones fx=x 2+ 4 y gx=x−2 ...............................................................6 4. Realizar las siguientes conversiones:..............................................................................7 5. El número de bacterias en un cultivo está dado por el siguiente modelo.............9 6. Si un triángulo ABC tiene lados � = 130, � = 90 � � = 60. Calcular los ángulos α , β , γ.......................................................................................................................................11 7. Un turista que mide 1,8 metros ,está ubicado sobre una roca que tiene de altura 30 cm, este divisa un edificio que está a 150 metros de distancia, si el ángulo de elevación desde la vista del turista hasta la cima es de 35 grados, ¿cuál será la altura del edificio?......................................................................................................................................13 8. Verifique la siguiente identidad trigonométrica:..........................................................14 9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0 ° ≤ x ≤ 360 ° ........................................................................................................15 CONCLUSIONES.................................................................................................................................16 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.................................................................................................17

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INTRODUCCIÓN En este trabajo colaborativo buscamos profundizar temáticas importantes y que son la base para el desarrollo de trabajos siguientes y del fortalecimiento en nuestras competencias cognitivas futuras como ingenieros y desarrolladores de soluciones en esta área. El trabajo lo realizamos con base en las investigaciones por cada integrante del grupo, con el fin de ampliar conocimientos, integración con el grupo, conocer y aprender más sobre este trabajo propuesto.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1. Determine la inversa de la función:

g( x)=

8 x +3 5 x−7

Paso 1: Verificamos si la función es Inyectiva. x x f (¿¿ 2) Si entonces f (¿¿ 1)=¿ ¿

x 1=x 2

8 x 1 +3 8 x 2 +3 = 5 x 1−7 5 x 2−7

( 8 x 1+3 ) ( 5 x 2−7 )=(5 x1 −7)(8 x2 +3) 40 x 1 x 2−56 x 1+ 15 x 2−21=40 x 1 x 2 +15 x 1−56 x 2−21 −56 x 1 +15 x2 =15 x 1−56 x 2 −56 x 1−15 x 1=15 x 2−15 x 2 −71 x 1=−71 x 2 x 1=x 2

La función es Inyectiva, luego tiene inversa. Paso 2: Despejamos la variable X para obtener la inversa.

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y=

8 x +3 ⟹ ⟹ y ( 5 x−7 )=8 x+ 3⟹ ⟹ 5 xy−7 y−8 x=−3 ⟹ ⟹5 xy−8 x =7 y+ 3 5 x−7

x ( 5 y−8 )=7 y +3 ⟹ ⟹ x=

7 y +3 5 y−8

Así la función de la inversa es: Forma implícita: x=

7 y +3 5 y −8

Forma explícita:

g−1 (x)=

7 y +3 7 x +3 = 5 y−8 5 x−8

g−1 (x)=

7 x +3 5 x−8

Paso 3: Ver las gráficas en GeoGebra. Figura utilizando la inversa obtenida en el desarrollo de la función.

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Figura utilizando el complemento de la función con GeoGebra.

2. Para la función dada determine el respectivo dominio y rango:

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g( x)=

x +9 √ x−8

Pendiente.

f ( x ) = √ x 2+ 4 y

g ( x ) =x−2

sustituimos x con

g ( x ) =x−2

3. Dadas las funciones Determine:

a.)

f ∗g(x )

2 Para f ( x )=√ x + 4

¿ √ ( x −2 ) + 4=√ x2 −4 x +4 +4= √ x 2−4 x+ 8 2

Luego: f ∗g ( x )=√ x2−4 x +8

b.)

g∗f (x ) Para

g=x−2 sustituimos

¿ √ x 2 + 4−2 Luego: g∗f ( x )=√ x2 + 4−2

c.)

( f ∗g ) ( 3 )

√ 32−4 ( 3 ) +8=√ 9−12+8=√ 5 Luego:

x

2 con f ( x)= √ x + 4,

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( f ∗g ) ( 3 )=√ 5 d.)

(g∗f )(5)

√ 52+ 4−2= √25+ 4−2= √29−2 Luego: ( g∗f ) ( 5 )=√ 29−2

4. Realizar las siguientes conversiones:

a. Convertir a grados: Para convertir de radianes a grados utilizamos la siguiente formula:

y Grados=



180° (x Radianes ) π

3π a grados 2

Paso 1: Reemplazamos los valores de la formula. y=

180 ° 3 π ( ) π 2

Paso 2: Eliminamos términos semejantes y operamos. y=

180 °∗3 540° = =270 ° 2 2

La respuesta es:

3π 2

equivale a

270 °

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

4π a grados 3

Paso 1: Reemplazamos los valores de la formula. y=

180 ° 4 π ( ) π 3

Paso 2: Eliminamos términos semejantes y operamos. y=

180 °∗4 720° = =240 ° 3 3

La respuesta es:

4π 3

equivale a

240 °

b. Convertir a radianes: Para convertir de grados a radianes utilizamos la siguiente formula:

x Radianes=



π (y ) 180 ° Grados

A cuantos radianes equivale 150°.

Paso 1: Reemplazamos los valores de la formula. y=

π (150 ° ) 180 °

Paso 2: Eliminamos términos semejantes y operamos. y=

150 π 15 π 5 π = = 180 18 6

La respuesta es:

150 °

equivale a

5π 6

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

A cuantos radianes equivale 750°.

Paso 1: Reemplazamos los valores de la formula. y=

π (750 ° ) 180 °

Paso 2: Eliminamos términos semejantes y operamos. y=

750 π 75 π 25 π = = 180 18 6

La respuesta es:

750 °

equivale a

25 π 6

5. El número de bacterias en un cultivo está dado por el siguiente modelo. 0.25 t

N ( t )=250 e

Donde t se mide en horas. 

¿Cuál es la población inicial del cultivo?



¿Cuantas bacterias habrá en el cultivo a los 2 días?



¿Después de cuantas horas las bacterias serán de 500000?

Solución: N=Incognita ; P= población Inicial ;

B=Cultivo bacterias ; t=tiempomedido en horas

N=?

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t=48 horas



¿Cuál es la población inicial del cultivo?

La población inicial del cultivo está dada de la siguiente manera:

Reemplazamos el tiempo por cero (0) en el modelo y despejamos N. N ( 0 )=250 e 0.25(0) N=250 e 0.25(0) N=250 Realizada la operación tenemos que la población inicial es de: N=250



¿Cuantas bacterias habrá en el cultivo a los 2 días?

Reemplazamos el tiempo por cero (48) en el modelo y despejamos N.

N ( 48 )=250 e0.25 (48) N=250 e 0.25(48) N=250 e

(0.25 ( 48 ) )

N=40688697.85

Realizada la operación tenemos que el cultivo de bacterias a los 2 días es de: N=40688697 .85

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

¿Después de cuantas horas las bacterias serán de 500000?

Reemplazamos la N por 500000 en el modelo y operamos.

50000=250 e

0.25(t )

50000=250 e

0.25(t )

e 0.25 ( t )=

e

500000 250

0.25(t )

=2000

Ahora aplicamos Ln (Logaritmo de un número) del número. e 0.25(t )=ln ( 2000 )=7.6

Ahora despejamos t.

t=

7.6 =30.4 horas 0.25

Finalmente tenemos que las bacterias serán de 500000 después de: t=30 . 4 horas

Para verificar este resultado reemplazamos los valores en el modelo original.

N (30.4 )=250 e 0.25 (30.4 ) N=250 e

0.25(30.4 )

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N=499548 .97 bacterias

Realizando la operación se puede apreciar que el resultado es correcto:

6. Si un triángulo ABC tiene lados � = 130, � = 90 � � = 60. Calcular los ángulos ,

β , γ.

Utilizamos el teorema del coseno.

Paso 1: Calculamos el ángulo de a2=a2 +b2−2ab cos ( α ) =cos ( α )=

2

α . 2

a −b −c 2 bc

2

Reemplazamos los valores.

cos ( α )=

1302−90 2−602 5200 = =−0.4814 −2(90)(60) −10800

cos ( α )=−0.4814 ⟹ ⟹ cos−1 (−0.4814 )=118.77 ° α =118 . 77 °

Paso 2: Ahora calculamos el ángulo de b2−a2−c2 ( ) ( ) b =a +c −2 ac cos β =cos β = 2 ac 2

2

2

β .

α

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Reemplazamos los valores. 2

cos ( β )=

2

2

90 −130 −60 −12400 = =0.7948 −2(130)(60) −15600

−1 cos ( β )=0.7948 ⟹ ⟹ cos ( 0.7948 )=37.36 °

β=37 . 36 °

Paso 3: Ahora calculamos el ángulo de

γ .

2 2 2 c −b −a ( ) ( ) c =b + a −2 ab cos γ =cos γ = 2 ab 2

2

2

Reemplazamos los valores.

cos ( γ )=

602−902−1302 −21400 = =0.9145 −2(130)(90) −23400

cos ( γ )=0.9145⟹ ⟹ cos−1 ( 0.9145 )=23.86 ° γ =23 . 86 °

El ángulo de

γ

también se puede calcular de la siguiente manera:

γ =180 °−( 118.77 +37.36 )=23.87 ° Respuesta: Luego los ángulos del triángulo son: α =118 . 77 °

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γ =23 . 86 °

β=37 . 36 °

7. Un turista que mide 1,8 metros ,está ubicado sobre una roca que tiene de altura 30 cm, este divisa un edificio que está a 150 metros de distancia, si el ángulo de elevación desde la vista del turista hasta la cima es de 35 grados, ¿cuál será la altura del edificio? Solución:

Tenemos que convertir todas las medidas a metros, en este caso solo convertimos la única que está en centímetros: 30 cm=0.3 m

El turista se para sobre la piedra, entonces el turista más la piedra miden: 1.8 m+ 0.3 m=2.1m

tan 35 °=

Altura del edificio 150

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Despejamos la altura del edificio: Altura del edificio=150∗tan 35

Altura del edificio=105.03 m La anterior fue la altura del edificio medida desde el techo del turista, para saber la altura total sobre el nivel del suelo hay que sumarle la altura del turista + la piedra A lturaTotal =105.03m+2.1 m=107.13 m

La altura del edificio será de 107.13 metros

8. Verifique la siguiente identidad trigonométrica: tan 2 (x ) Csc (x) Sen 2(x ) Sen ( x ) + +(1−cos 2 (x))− =2 Sen2 (x ) 2 cos( x ) ( ) cos x Sec (x)

Demostración: tan 2 (x ) Csc (x) Sen 2(x ) Sen ( x ) + +(1−cos 2 (x))− =2 Sen2 (x ) 2 cos( x ) cos ( x ) Sec (x)

Sen2 (x) cos 2 ( x) Csc( x ) Sen2 (x ) Sen ( x ) + +(1−cos 2( x ))− =2 Sen2 (x) 1 cos ( x) cos ( x ) cos 2 ( x) 1 2 Sen (x) Sen (x )cos (x) Sen x Sen ( x) 2 2 + +Sen (x )− =2 Sen ( x ) 2 cos ( x) cos (x) cos (x) 2

2

2

Sen (x) Sen2 (x) Sen(x ) Sen 2( x)+ + Sen2 (x)− =2 Sen2 ( x) cos(x ) cos( x )

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x (¿) Sen( x ) 2 Sen − =2 Sen (x) cos( x) cos(x ) 2 Sen 2( x )+¿

2 Sen2 (x )=2 Sen2 (x )

9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0 ° ≤ x ≤ 360 °

2

tan x+ 3 tan x+ 2=0 La solución la puedes obtener haciendo el cambio u=tan(x) para obtener: u2 +3 u+2=0 Esta ecuación cuadrática se puede factorizar así: (u+1)(u+2)¿ 0 Y sus soluciones son: u=−1 ∧u=−2

Se regresa a la variable original u=tan(x) y las soluciones anteriores quedarían: tan ( x )=−1∧ tan ( x )=−2 Se despeja xx con la inversa de la tangente (arcotangente): x=arctan (−1 ) ∧ x=arctan ⁡(−2)

Para calcular estos valores con calculadora, presionas SHIFT TAN. De donde se obtienen los valores: x=−45 ∧ x=−63,43 Pero estos resultados deben están entre 0 y 360, se les suma el periodo de tangente 180: x=135 ∧ x=116,57

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CONCLUSIONES  Se ha podido establecer la importancia de la actividad en cuanto al fortalecimiento de los conocimientos tanto personal como en la formación profesional.  En el presente trabajo pudimos aplicar conceptos básicos de algebra, mediante la solución de problemas.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Actualizadas (Pomalesjuan, construir función inversa con geogebra, 2009) (Pomalesjuan, trazando funcion inversa con el geogebra, 2009) (Julioprofe, Hallar la inversa de una función, 2011)

Pendientes actualizar (Julioprofe, Desigualdades con Valor Absoluto - Caso 1, 2011) (Julioprofe, Desigualdades con Valor Absoluto - Caso 2, 2011) (Julioprofe, Ecuaciones Lineales - Ejercicio 8, 2015) (Julioprofe, Ecuaciones con radicales - Ejercicio 6, 2015) (Julioprofe, Sistema de 3x3 resuelto por Regla de Cramer, 2012) (Rondon Duran, 2009) (Unicoos, 2011)