TRABAJO COLABORATIVO FASE 3 Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

TUTOR RODOLFO LÓPEZ GARIBELLO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 100412_ECUACIONES DIFERENCIALES MAYO DE 2015

INTRODUCCIÓN Este trabajo se fundamenta en el reconocimiento de la unidad 3 del curso Ecuaciones Diferenciales que tiene que ver con el Estudio de Series y de Funciones Especiales, para lo cual fue necesario realizar una lectura sobre conceptos de gran importancia como son Generalidades del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias y Funciones especiales y series matemáticas. Para reforzar los conocimientos se desarrollan 5 ejercicios sobre ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias, que muestran paso a paso el desarrollo de los mismos. También se reconocen las características del problema planteado y se busca la solución más apropiada, según las ecuaciones diferenciales, por el método de series de potencias; de la misma manera, se plantea otra situación problema, que es desarrollado a través de los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y solución de la situación.

ORFA MARTINEZ CORREA CÓDIGO 49.771.080 1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor: dy −x =e , y ( 0 )=1 dx 2

Solución: la solución tiene la forma de una serie así: ∞

y ( x )=∑

n=0

Donde

y ( n) (0) n x n!

Ecuación (1)

(n )

y ( 0) es la derivada de orden “n” evaluada en (0 ) y ( 0 ) = y ( 0 )=1=a0

Por los datos, y ( 1 ) ( 0 )=

x 0=0

dy ( 0 )=e−0 =e0=1=a1 , sustituyendo a X por cero en la definición de la dx 2

serie en (1) y (x)= {d} over {dx} left ({dy} over {dx} right ) = {e} ^ {- {x} ^ {2}} (-2x)=-2x {e} ^ {- {x} ^ {2}}

, derivando una vez. y (0)=2(0) {e} ^ {- {0} ^ {2}} =0= {a} rsub {2} , sustituyendo a X por cero en la

derivada. 2

2

2

y ' ' ' ( x )=−2 x e− x (−2 x )−2 e−x =e−x ( 4 x 2−2) , derivando la tercera vez. y '' ' ( 0 )=e 0 ( 4 ( 0 )−2 ) =−2 = a3 2

2

2

y (4 ) ( x )= ( 4 x 2−2 ) e− x (−2 x ) + ( 8 x ) e−x =e−x (−8 x 3+ 12 x ) (4 ) y ( 0 )=0 = a 4

4

4

2

y (5 ) ( x )=(−8 x 3+12 x ) e−x (−2 x )+ ( −24 x 2 +12 ) e−x =e−x (16 x 4 −48 x 2 +12) (5 ) 0 y ( 0 ) =e ( 12 )=12 = a5

Derivando la sexta vez y sustituyendo a x por 0 enla derivada: 2

2

y (6 ) ( x )=( 64 x3 −96 x 2) e− x + ( 16 x 4 −48 x 2+ 12 ) e−x (−2 x ) 2

¿ e−x (−32 x 5+ 160 x 3−120 x ) (6 ) y ( 0 )=0 ¿ a6

Derivando una vez más: 2

2

y (7 ) ( x )=(−160 x 4 +480 x 2−120 ) e−x + (−32 x 5 +160 x3 −120 ) e−x (−2 x) 2

¿ e−x (64 x 6−480 x 4 + 720 x 2−120) (7 ) y ( 0 ) =−120

La serie es entonces: y ( x )=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a 3 x 3 +a4 x 4 + a5 x 5 +… y ( x )=1+ x +

R//ta:

0 2 −2 3 0 4 12 5 0 6 −120 7 x+ x + x + x + x + x … 2! 3! 4! 5! 6! 7!

y ( x )=1+ x −

2 3 12 5 120 7 x+ x− x +… 3! 5! 7!

Ecuación (2)

Prueba: Derivando la expresión obtenida: 2 ( 3) 2 5 ( 4 ) ( 3) 4 7 ( 6) ( 5) ( 4 ) 6 y ´ =1− x+ x− x +… 3! 5! 7! ´

2

y =1−x +

1 4 1 6 x − x +… 2! 3!

simplificando numeradores y denominadores.

x ¿ x 2 ¿ 3+… , ¿ y ´ =1−( x 2)+

tomando potencias de

x2

1 ¿ 2!

. n

−1 ¿ ¿ ¿n! ¿ ¿ ¿

, que es la derivada que expresa la ecuación (1), lo que verifica que la

∞

∑¿ n=0

expresión (2) es la solución de la ecuación diferencial.

LUZ MARY ARCHILA GOMEZ CÓDIGO 37652093 2. Revisar la convergencia de las siguientes series ∞

en n ! ∑ nn n=1

Constancia de los dos planteamientos que se realizaron sin concluir Planteamiento 1

Planteamiento 2

Solución: Para decidir sobre la convergencia, se compara la serie con una serie convergente como: ∞

∑ n12 n=1

Que se sabe que converge, según el criterio de las series “p” ∞

∑ n1P donde p=2. n=1

Que convergen si

p

> 1. Puede verse que

n n 1 < 3= 2 ( n+1 )( n+ 2 )( n+ 3 ) n n

porque (n+1)

(n+2)(n+3) > n3, y de dos fracciones con igual numerador, es menor la de mayor denominador, así:

∞

∑ n=1

∞

b .∑

n=1

[

n ( n+1 ) ( n+2 )( n+ 3 )

∞

[

]

n 1