Trabajo Colaborativo Fase 2 Grupo 100412_116

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (U.N.A.D) TRABAJO COLABORATIVO FASE 2 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIÓN DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES. ECBTI INGENIERIA ELECTRÓNICA ÁLGEBRA LINEAL 208046A_291 GRUPO: 116 EDWIN VICENTE ZAPATA CARDONA – Cód. 1118286621 CARLOS ENRIQUE HERNANDEZ FERNANDEZ – Cód. 1130677650 WILSON FERNANDO CRIOLLO – Cód. 14466528 JOSE WILLIAM VELASQUEZ – Cód. 94356709 ANDRÉS MAURICIO SERRANO – Cód. 1.113.649.399 TUTOR: YENIFER GALINDO CEAD PALMIRA 02 / 11 / 2016

INTRODUCCIÓN La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. La meta es encontrar métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial.

OBJETIVOS Reconocer, clasificar y determinar el grado de dificultad para resolver ecuaciones diferenciales. Adquirir las habilidades necesarias para relacionar las ecuaciones diferenciales con problemas reales. Aplicar y analizar a un nivel básico ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, así como proponer estrategias y los métodos para su solución.

1

Actividad Individual. A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros. ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta. Responda las preguntas 1 y 2 con base a la siguiente información.

EJERCICIO N°1. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables. Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación

''

'

x

y −4 y +4=2 e −1 , Un

estudiante propone:

a. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da

yh

= C1 e

2x

2x + C2 x e

2

yh

b. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da

−2 x = C1 e

−2 x + C2 xe

c. Hacer las sustituciones

y=x m , y ' =mx m −1 , y ' '=m(m−1) xm −2

ecuación homogénea asociada, cuya solución da d. Hacer las sustituciones

yh

yh

2

= C1 x

y=x m , y ' =mx m −1 , y ' '=m(m−1) xm −2

ecuación homogénea asociada, cuya solución da

y resolver la + C2 x

2

y resolver la −2

= C1 x

−2

+ C2 x

JUSTIFICACIÓN. ''

'

x

y −4 y +4=2 e −1 Ecuación auxiliar m2−4 m+ 0=0 2

( m−2 ) =0 yh

2x = C1 e

2x + C2 x e

EJERCICIO N°2. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.

3

'' ' En la intención de resolver la ecuación diferencial y +2 y +1=senx , un estudiante

y=x m , y ' =mx m −1 , y ' ' =m(m−1) xm −2

propone hacer las sustituciones

ecuación homogénea asociada, cuya solución da

yh

−1

= C1 x

y resolver la −1

+ C2 x

.

SOLUCIÓN. El proceso anterior es: a. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+ 2m + 1 = 0 cuyas soluciones son m=1 y m=-1 b. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+2m + 1 = 0 quien tiene una única solución real que es m=-1 c. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real x x yh que es m=-1 y por lo tanto su solución da = C1 e + C2 e d. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real −x −x yh que es m=-1 y por lo tanto su solución da = C1 e + C2 xe

JUSTIFICACIÓN ''

'

y +2 y +1=senx Ecuación auxiliar m2+2m+0=0 2

( m+1 ) =0 yh

x = C1 e

x + C2 e

4

EJERCICIO N°3. Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir y=x m , y '=m xm −1 , y ' ' =m(m−1) x m−2 y luego se encuentran las raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es: yh=c 1 x m+c 2 x n , �� � �� �������� �� � m

m

yh=c 1 x + c 2 x lnx , sim=n yh=x ∝ (c 1 cos ( βlnx)+ c 2 sen ( βlnx)),

�� � � � ��� ��������� �� ����� ∞+��.

Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación 2

x y ’ ’+ xy ’ + y=2 x

es:

A.

lnx yh=c 1 cos(lnx)+ c 2 sen ¿ ).

B.

yh=c 1 x−c 2lnx

C.

yh=c 1+c 2lnx

D.

yh=c 1 x+ c 2 x−1

JUSTIFICACIÓN. x 2 y ' ' + x y ' + y =2 x

5

y=x m y '=m x

m−1

y ' ' =m(m−1) x m−2

x 2 m ( m−1 ) x m−2 +m x m −1 + x m=0

( m2−m ) x m+ m x m + xm=0 m (¿¿ 2−m+m+1)=0 xm ¿ m (¿¿ 2+1)=0 xm ¿

2

m +1=0 m2=−1 m=± √−1 m=± i

yh=x 0 ( c 1 cosLnx +c 2 senLnx) yh=c 1 cos(lnx)+ c 2 sen (lnx)

6

EJERCICIO N°4. La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma

Es

a 2 D 2 y (x )+ a 1 Dy ( x)+a 0 y ( x )=g( x )

y=r 1 u1+r 2 u 2

En donde �1 � �2 ��� ��� ���������� �� �� ������ó� ℎ����é��� �������� � r 1=

w1 w2 , r 2= w w

Para ello, los wronskianos

|

| |

| |

|

g ( x) u 2 u1 g( x ) w= u 1 u 2 , w 1= w 3= u´ 1 u´ 2 g ´ (x) u ´ 2 u ´ 1 g ´ 1(x)

Con base en lo anterior, la solución de la ecuación �.

�.

�.

�.

y=c 1 e−4 x +c 2e−x −

y=c 1 e 4 x +c 2ex+

y ' '−5 y ' + 4 y=1

es:

1 12

15 12

B . y=c 1 e 4 x +c 2 e x −

y=c 1 x −4 + c 2 x−1 −

15 12

1 3

7

JUSTIFICACIÓN. y ´ ´−5 y ' + 4 y =0 r 2−5 r + 4=0 (r−4)(r −1)=0 r−4=0 r−1=0 r=4 r =1

yh=c 1 e 4 x +c 2 e x

|

w 2=

|

e4 x 1 4 e4 x 0

w 2=0−4 e 4 x =−4 e 4 x

|

w=

|

e4 x ex 4 e4 x ex

w=e 5 x −4 e 5 x =−3 e 5 x

| |

1 ex w= 0 ex

w 1=e x −0 w 1=e x 8

u 1' =

w1 ex = w −3 e5 x

u 1' =

−1 −4 x e 3

u 1' =∫

u 1' =

u 1' ¿

−1 −4 x e dx 3 −4 x

−1 1 ¿ e 3 −4

1 −4 x e 12

w 2 −4 e x u2 = = w −3 e 5 x '

4 x ' u2 = e 3 4 −x u 2=∫ e dx 3 −e (¿¿−x) 4 u 2= ¿ 3 4 −x u 2¿− e 3

9

yp=

1 −4 x 4 x 4 −x x e e − e e 12 3

yp=

1 4 − 12 3

yp=

1−16 15 − 12 12

yg=c 1 e 4 x + c 2 e x −

15 12

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez la seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique

EJERCICIO N°5. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma

a2 ( x ) D2 y ( x ) +a1 ( x ) Dy ( x )+ a0 ( x ) y ( x )=g( x) . Se

10

procede sustituir

y=x m , y ' =m x m−1 , y =m ( m−1 ) x m−2

Para, en primera instancia

hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma y h=c1 u1+ c 2 u2 Luego, con la ayuda de los wronskianos

| |

w=

u1 u2 u'1 u'2

|

w 1=

,

|

g( x) u2 '

g ( x) u

' 2

,

|

w 3=

u1 u

' 1

g( x) '

|

g 1( x )

Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la ecuación x2y’’ + xy’ = x son:

y h=c1 +c 2 lnx y h=c1 x−c 2 lnx 1 y p= x 3 9 y p=

−1 3 x 9

Seleccione B si 1 y 3 son correctas. SOLUCIÓN. Caso 1: x 2 y ' ' + x y ' =x x 2 ( m ( m−1 ) x m −2 ) + x m x m−1=x m

m

x m ( m−1 ) + x m=x 11

m2−m+m=0 2

m =0 Caso 2: las raíces de la ecuación son reales e iguales. yh=c 1 x m +c 2 ln ( x ) x m yh=c 1 x 0+ c 2 ln ( x ) x 0 y 1=x 0 y 2=ln ( x ) x 0 yh=c 1+ c2 ln ⁡( x)

Caso 3: yp=u1 y 1 +u2 y 2 yp=u1 ( 1 ) +u2 ln ( x )

| |[ ] [ ] | | | |

w=

1 ln ( x ) u' 1 =0 1 ' 0 x u2 x

w=

1 ln ( x ) 1 1 = 0 x x 0

w 1=

ln ( x ) 1 =−xln ( x ) x x

12

| |

w 2= 1 0 =x 0 x

u'1=

w 1 −xln ( x ) = =−x 2 ln ( x ) w 1 x 2

u1=−∫ x ln ( x ) dx u=ln x

1 x

u' =

v ' =x 2 3

v=

x 3

∫ uv=uv −∫ u' v

[

−∫ x 2 ln ( x ) dx= ln ( x )

−∫ x 2 ln ( x ) dx=−ln ( x )

'

v 2=

3

3

x 1x −∫ dx 3 x x

]

x3 x3 + 3 9

x 2 =x 1 x 3

x v 2=∫ x dx= 3 2

( x )∗x x3 x3 yp= −ln ( x ) + ln 9 3 3

3

13

x3 yp= respuesta 1 y 3 → B 9

EJERCICIO 6. Una ecuación lineal de orden n es de la forma: an y n ( x ) +a n−1 y n−1 ( x ) +…+ a1 y ´ ( x ) +a0 y ( x )=f ( x ) Esto es, todos los coeficientes son solamente funciones de x y además, la variable (y) y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión

n

an D +a n−1 D

n−1

+ …+a 1 yD+a 0

Es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma P ( D ) y=g ( x) Por lo anterior, de la ecuación diferencial 2y’’ + 5y =senx se puede afirmar que:

1. Es lineal de segundo orden con coeficientes variables 2. El operador diferencial que anula a g(x) es

( D2 +1 ) ( 2 D2 +5 ) y =0

3. El operador diferencial que anula a g(x) es

( D−1 ) ( D2 +5 ) y=0

4. Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes

Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Al aplicar la ecuación auxiliar quedaría: Una ecuación diferencial como y” + 5y = 0 se puede escribir en la forma (D² +5) y = 0 14

2 y' ' +5 y=sen ( x ) ecuacion 1 La ecuación auxiliar: 2

2 m +5=0 2 m2 =−5 2

m=

m=

−5 2

√ √

−5 5 = i 2 2

yh=c 1 cos

√

√

5 5 x +c 2 sin x 2 2

Pasó 2: la función para anular g(x): ∝2 + β 2 D −2 ∝ D+¿ ¿ ¿ ¿ 2

0x

para anular sin ( x )=e sin ( x ) ∝=0 β=1 n=1

02+ 12 D 2−2 0 D+¿ ¿ ¿ ¿

15

D (¿¿ 2+1) a amboslados de la ecuacion1 [ D2+ 1 ] sin ( x )=0 , aplicamos el operador ¿ D 2D (¿¿ 2+5) y =0 (¿¿ 2+1) ¿ ¿ yp=A cos ( x )+ B sin ( x ) y p' = A sin ( x )−B cos ( x ) y p' ' =− A cos ( x )−B sin(x) Reemplazamos y’’ y (y) en ecuación 1: 2 ( −A cos ( x )−B sin( x ) ) +5 ( A cos ( x )+ B sin ( x ) )=sin (x) −2 A cos ( x )−2 B sin ( x ) +5 A cos ( x )+ 5 B sin ( x )=sin(x ) 3 A cos ( x )+3 B sin ( x ) =sin(x ) 3 A=0 A=0 3 B=1 B=

1 3

1 yp= sin(x ) 3 y= yh+ yp 16

y=c1 cos

√

√

5 5 1 x+ c2 sin x + sin ( x) 2 2 3

EJERCICIO N°7. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con a2 ( x ) D2 y ( x ) +a1 ( x ) Dy ( x )+ a0 ( x ) y ( x )=f ( x ) se

coeficientes variables de la forma procede sustituir

y=x m , y ' =m x m−1 , y ' '=m ( m−1 ) x m−2

Para, en primera instancia

hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma y h=c1 u1+ c 2 u2 y luego, con la ayuda de los wronskianos

| |

w=

u1 u2 u'1 u'2

,

|

w 1=

|

g( x) u2 '

g ( x) u

' 2

,

|

w 2=

u1 u

' 1

g( x) '

|

g 1( x )

Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, los Wronskianos w1 y w2 de la ecuación diferencial: xy’’ y’ = x son: w1=2x w1=-x3 w2=1 w2=x x y ' ' − y ' =remplazamos y ' ' =m ( m−1 ) x 17

y ' =m x m−1 x xm ( m−1 ) x

m−2

−m x

m −1

=x

m ( mm −1 ) x m−1−m x m−1=x m2−m−m=0 2

m −2 m=0 −b ± √ b2−4 ( 1 ) ( 0 ) +2 ± √ 4 = =0 2 2 (1)

m 1=

2+ √ 4 4 = =2 2 2

m 2=

2−√ 4 =0 2

yh=c 1 x ° +c 2 x 2=c1 +c 2 x2 yp=u y 1+ u y 2 yp=u1 ( 1 ) +u2 y 2

[

y 1 u'1 + y 2 u'2 =0 y '1 u'1+ y '2 u'2=x

][ ] [ ] '

1 x2 u1 = 0 0 2 x u'2 x

[ ]

2 w= 1 x =2 x 0 2x

[

]

[ ]

2 w 1= 1 x =−x 3 w2 = 1 0 =x 0 2x 0 x

respuesta 2 y 4 ⟶ c

18

ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN

Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y seleccionar su respuesta de acuerdo con la siguiente información Seleccione A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Seleccione B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. 19

Seleccione C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Seleccione D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

Recuerde que seleccionada la respuesta debe especificar el procedimiento que la justifique. EJERCICIO N°8 3 y ' ' −11 y ' +5 y=0

La solución particular de la ecuación

es

y=c1 e

11+ √ 61 x 6

+c 2 e

11− √ 61 x 6

PORQUE su ecuación asociada tiene raíces imaginarias. SOLUCIÓN. 3 y '' −11 y 1 +5 y=0 −b ± √ b2−4 ac −( 11 ) ± √ (11 ) −1 (3 )( 5 ) = 2a 2( 3) 2

−11 ± √121−60 −11 ± √ 61 = 6 2( 3 ) laafirtmacion es verdadera

y=c1 e

11+ √ 61 6

+ c2e

11− √ 61 6

la razon es falsa ,no hay raices complejas

La afirmacion seria porqueigual se cumple el caso 1igual alas raices de la ecuacion son reales y distintas

20

Seleccione C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.

EJERCICIO N° 9 Un operador anulador para la función (�)= 5�3�−6��2� es (�+3) (�+2)2 PORQUE la función f(x) es no lineal.

SOLUCIÓN. Bien, vamos a hallar un operador anulador para la función propuesta teniendo en cuenta la siguiente información:

De modo que el operador anulador para

(D−2)2

3x

5e

es

luego el operador anulador para la función es

(D−3)

y para

6 xe

2x

es

( D−3)( D−2)2 .

La función presentada no es homogénea ya que no cumple la condición de F (xt)= tn f(x) 21

En conclusión, la AFIRMACIÓN es FALSA; la RAZON también es FALSA y obviamente NO EXPLICA la afirmación.

ACTIVIDAD GRUPAL 1

PROBLEMA 1. Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x (t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m. 22

SOLUCIÓN. Datos: m=70 Kg velocidad de ascenso(va)=30 m/s t=0 banda cedida ( bc ) =8 m k =350 N /m De acuerdo a la formulación de la segunda ley de newton:

∑ F=ma Tenemos la ecuación: ma+bv +kx=g ( t ) Siendo: b=0

a=

d2 x dt

v=

dx dt

Reemplazando a, v, b y k: 70

d2 x dx +0 +350 x=0 dt dt

Simplificamos:

23

d2 x 70 +350 x=0 dt Dividimos toda la ecuación por 70: 2

d x 350 + x=0 dt 70 2

d x +5 x=0 dt La ecuación característica: 2

m +5=0 m=± √−5 m=√ 5 i Caso 3: las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas

∝± iβ :

x ( t )=c 1 cos √ 5i+c 2 sin √5 i Como: x ( 0 )=0 ' x ( 0 )=−30 m/ s

x ( t )=c 1 cos √ 5t +c 2 sin √ 5 t ' ( t)

x =−√ 5 c 1 sin √ 5 t+ √ 5 c 2 cos √5 t

x ( 0 )=0 0=c 1 cos √ 5(0)+ c2 sin √ 5 (0) 24

0=c 1 x ' ( 0 )=−30 −30=−√5 c 1 sin(0)+ √ 5 c 2 cos (0) −30=√ 5 c 2 −30 =c2 √5 −6 √ 5=c 2 Sustituimos a c2: x ( t )=c 1 cos √ 5t +c 2 sin √ 5 t x ( t )=0∗cos √ 5 t−6 √ 5∗sin √ 5 t x ( t )=−6 √ 5 sin √5 t

ACTIVIDAD GRUPAL 2 PROBLEMA 2. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: 25

Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura

Se suelta desde el reposo a

masa es de

1 Kg 5

amortiguado ( β=1,2 ¿

(T = π2 s)

1 2

unidades debajo de la posición de equilibrio. La

y la constante elástica es

k =2

N . m

El movimiento es

y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa

, comenzando en

t=0. Dicha fuerza está definida como

f ( t )=5 cos 4 t .

Para esta situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento

En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo

a la formulación de la segunda ley de Newton:

∑ F=ma 26

De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior: d2 x dx m 2 =−kx−β + f (t) dt dt

Donde la aceleración y la velocidad están dadas por

a=

d2 x dt 2

y

v=

dx dt

Transponiendo términos en la ecuación:

m

d2 x dx + β + kx=f (t) 2 dt dt

Y reemplazando los valores dados en esta se tiene: 1 d2 x dx 1 +1,2 +2 x=5 cos 4 t x ( 0 )= x´ ( 0 )=0 2 5 dt dt 2

Equivalente a:

Se hace

d2 x dx + 4 +5 x=25 cos 4 t 2 dt dt

f ( x )=0 para convertir la ecuación a una homogénea:

d2 x dx + 4 +5 x=0 2 dt dt

Se escribe la ecuación característica y se resuelve:

27

m2+ 4 m+5=0

Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones: m1=−2+ i

,

m2=−2−i

Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como: y c =e−2 t ( C1 cos t+ C2 sin t )

Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma: y p= A cos 4 t+ B sin 4 t

4 t +¿ 4 B cos 4 t ´ y p =−4 A sin ¿

y p´ ´ =−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t

Sustituyendo en la ED

d2 x dx + 4 +5 x=0 2 dt dt

−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t +4 (−4 A sin 4 t +4 B cos 4 t )+5 ( A cos 4 t +B sin 4 t )=25 cos 4 t

Operando: −16 A cos 4 t−16 B sin 4 t−16 A sin 4 t+16 B cos 4 t+5 A cos 4 t+5 B sin 4 t =25 cos 4 t 28

Reuniendo términos semejantes: −11 A cos 4 t−11 B sin 4 t −16 A sin 4 t+16 B cos 4 t=25 cos 4 t

Factorizando:

(−11 A+ 16 B ) cos 4 t+ (−16 A−11 B ) sin 4 t=25 cos 4 t

El sistema de ecuaciones resultante : −11 A+ 16 B=25

−16 A−11 B=0

−25 50 y B= 102 51

Se cumple que:

A=

Reescribiendo:

y p= A cos 4 t+ B sin 4 t

y p=

−25 50 cos 4 t+ sin 4 t 102 51

y= y c + y p

La solución sería:

−2 t

y=e

25

50

( C 1 cos t +C2 sin t )− 102 cos 4 t+ 51 sin 4 t

Haciendo

t=0

29

−2(0)

y ( 0 )=e

25

50

[ C1 cos (0)+ C2 sin(0)]− 102 cos 4(0)+ 51 sin 4( 0)

1 −2 (0 ) 25 50 =e C 1 cos (0)+C2 sin(0)] − cos 4 (0)+ sin 4 (0) [ 2 102 51

1 25 C1 = + 2 102

C1 =

38 51

Derivando la expresión y haciendo

C2 =

t=0

−86 51

Por lo tanto la ecuación de movimiento es:

y=e−2 t

25 50 cos 4 t + sin 4 t ( 3851 cos t− 8651 sin t )− 102 51

Segunda ley de Newton:

m

d2 x dx =f ( t )−kx−β 2 dt dt

Reordenando términos:

30

d2 x dx m 2 + β + kx=f ( t ) dt dt

Reemplazando datos 1 d2 x dx +1,2 +2 x=5 cos 4 t 2 5 dt dt

Multiplicamos toda la ecuación por 5: d2 x dx +6 +10 x=25 cos 4 t 2 dt dt

CORRECCIÓN

Igualamos a cero y luego escribimos ecuación auxiliar: d2 x dx +6 +10 x=0 2 dt dt

m (¿¿ 2+6 m+10)x=0 ¿

Mediante formula cuadrática resuelvo para m:

m=

−6 ± √ 62−4( 1)(10) 2(1)

m=

−6 ± √−4 =−3 ± i 2

Solución homogénea 31

x h=e−3 t (c 1 sin t+c 2 cos t)

Suponemos una solución particular de la forma: x p= A sin 4 t + B cos 4 t

Derivamos dos veces: x p '=4 A cos 4 t−4 B sin 4 t

x 'p' =−16 A sin 4 t−16 B cos 4 t

Sustituimos en la ED no homogénea: −16 A sin 4 t−16 B cos 4 t +24 A cos 4 t−24 B sin 4 t +10 A sin 4 t+ 10 B cos 4 t=25 cos 4 t

Agrupo términos:

(−16 A−24 B+10 A ) sin 4 t + (−16 B+24 A +10 B ) cos 4 t=25 cos 4 t

(−6 A−24 B ) sin 4 t + ( 24 A−6 B ) cos 4 t=25 cos 4 t

Por similitud: −6 A−24 B=0 ; 24 A−6 B=25

De donde

32

A=−4 B ; 24∗(−4 B )−6 B=25 →−102 B=25 B=

x p=

−25 50 y A= 102 51

50 25 sin 4 t− cos 4 t 51 102

La solución general es x=e−3 t ( c 1 sin t +c 2 cos t ) +

50 25 sin 4 t− cos 4 t 51 102

Hallamos las constantes usando condiciones iniciales x=1/2 t=0 1 −3 (0 ) 50 25 =e c1 sin( 0)+ c2 cos( 0)) + sin(0)− cos (0) ( 2 51 102

1 25 =c2 − 2 102

c 2=

38 51

33

x’=0 t=0 −3 t

x=e

50

25

( c 1 sin t +c 2 cos t ) + 51 sin 4 t− 102 cos 4 t

x ' =−3 e−3 t ( c 1 sin t +c 2 cos t ) + e−3 t ( c1 cos t−c 2 sin t ) +

200 50 cos 4 t + sin 4 t ¿ 51 51

0=−3 e−3(0) ( c 1 sin 0+c 2 cos 0 ) +e−3(0) (c1 cos 0−c 2 sin 0)+

0=−3 c 2 +c 1 +

0=−3.

c 1=

APORTE EXTRA

200 50 cos 0+ sin 0 51 51

200 51

38 200 +c 1 + 51 51

−86 51

x ( t )=e−3 t

25 cos 4 t ( 3851 sint− 8651 cos t )+ 5051 sin 4 t− 102

CONCLUSIONES

Finalmente y para concluir se determinó que, la resolución de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas. La mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez de variación de una variable con respecto otra. 34

Proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas en Ingeniería, Física, Economía y Biología, puesto que estos, por lo general, requieren la determinación de una función que satisface a una ecuación diferencial. El dominio de los métodos numéricos, en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras resuelve problemas de ingeniería de manera más fácil y eficientemente.

REFERENCIAS WEB

Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 54-107). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=10584022 Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales método coeficientes indeterminados. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7214 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67-112). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? docID=11017467 Alvarado, E. (2014). Operador anulador. Unad. [Videos]. Disponible en http://hdl.handle.net/10596/7215

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