Trabajo Colaborativo Fase 1 Grupo 230

ECUACIONES DIFERENCIALES TRABAJO FASE 1

Presentado a: ANDREA PATRICIA HERRERA CONTRERAS Tutor

Entregado por: LUIS ADOLFO GANTIVA CÓDIGO: 80253287 HELBERT HERNÁNDEZ CÓDIGO: 80221536 JAIRO ALEXANDER MONTAÑO BEJARANO CÓDIGO: 80743206 JAIRO ANTONIO JIMENEZ CÓDIGO: 80250372 HENRY FABIAN ESPEJO CÓDIGO: 80813557

Grupo: 230

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES MARZO 2017 BOGOTA INTRODUCCIÓN

El presente documento tiene como objetivo el desarrollo de los ejercicios de la fase 1 de la materia Ecuaciones Diferenciales. En el desarrollo de los ejercicios se deben aplicar los conceptos de Ecuaciones Diferenciales como variables separables, clasificaciones de las Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones Diferenciales exactas, entre otros conceptos. Los ejercicios presentan problemas con múltiples respuestas y dos ejercicios sobre Mezclas en las cuales debemos explicar si la solución es correcta o no. Esperamos que este desarrollo de los ejercicios propuestos por la actividad fase 1 – planificación, sea de aprovecho para enriquecer conocimientos sobre Ecuaciones Diferenciales.

OBJETIVOS     

Desarrollo de los ejercicios de la actividad fase 1 – Planificación aplicando los conceptos de la unidad 1 de la materia Ecuaciones Diferenciales. Entender, comprender y aplicar los conceptos de Variables Separables para el desarrollo de los ejercicios de la fase 1 – planificación. Entender, comprender y aplicar los conceptos de Ecuaciones diferenciales exactas para el desarrollo de los ejercicios de la fase 1 – planificación. Entender, comprender y aplicar los conceptos de Variables Separables para el desarrollo de los ejercicios de la fase 1 – planificación. Aplicar conceptos para el desarrollo de los ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Primera actividad Individual: A continuación, se presentan un contexto generalizando de la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuestacorrectajustificándola con todo el procedimiento empleando el métodoadecuado para llegar a su solución general y/o particular. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JAIRO ALEXANDER MONTAÑO ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta. 1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad.

De acuerdo a la ecuación diferencial: una solución: A. B. C. D.

d 2 y dy − − y −e x =−xe x dx 2 dx , cuál de las siguientes funciones es

y=−xe−x −x y=xe x y=xe x y=−e PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA d 2 y dy − − y=−x e x + e x 2 d x dx

RAZÓN O EXPLICACIÓN La ecuación diferencial no homogénea tiene la forma ay ´ ´ +by ´ +cy =g ( x) entonces se

reescribe la ecuación de la siguiente forma

y ´ ´ − y ´− y=0

Para obtener una solución general se puede escribir como y= y h + y p donde

y h Es una solución para la ecuación diferencia y p es homogénea ay ´ ´ +by ´ +cy =0 cualquier función que satisfaga la ecuación no homogénea

m 2−m−1=0 ⟹m=

1+ √ 5 1− 5 , m= √ 2 2

La ecuación característica es

y p= y p 1 + y p 2 x

y p 1 ( x )= A (−xe ) y p 2 ( x )=B e

x

x

y p= A (−xe )+B e

x

x

y ' p= A (−x e )

y ' ' p= A (−x e x )−B e x y h=c1 e y p=x e

1 +√ 5 2

+ c2 e

1− √5 2

Solución ecuación homogénea

x

y ( x ) =c 1 e

1+ √ 5 2

+c 2 e

1− √ 5 2

+ xe

x

Solución

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JAIRO ALEXANDER MONTAÑO CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad de la siguiente manera: 1. Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial

(EDP). 2. Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. 3. Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto, la variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a 0, a1,…, an dependen solo de la variable x. 2. De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y no lineal corresponde a.

2

3

A.

d y dy −2 +3 y=0 2 dx dx

B.

x3

C. D.

( )

3

2

d y d y dy −7 x 2 2 +6 x −7 y =0 3 dx dx dx

d3 y 2 d2 y dy +x + y =sen(x + y ) 3 2 dx dx dx 3

2

δ y δ y δy + 2 − =e x +1 3 δx δx δx

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA 2

y ´ ´ ´ + x y ´ ´ + yy ´ =sen(x + y )

RAZÓN O EXPLICACIÓN Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden con la derivada mayor y su linealidad se pierde en el término yy ´

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HELBERT HERNÁNDEZ ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma:

dy =g ( x ) h( y ) , se pueden resolver a través de la técnica dx

llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: 1 ∫ h( y ) dy =∫ g ( x ) dx 3. De acuerdo a la información, la solución general de la ecuación diferencial

( x 2−2 ) dy − xy=0 se dx

puede indicar como A.

y=C √ x 2 +2

B.

y=C √ x 2 −2

C.

y=ln √2 x−2+ln C

D.

y=lnC √ x 2 −2 PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HELBERT HERNÁNDEZ ESTUDIANTE QUE REALIMENTO:

∂M ∂ N = 4. Cuando en una ecuación diferencial de la forma M ( x, y )dx+N ( x, y )dy=0 , sucede que: ∂ y ∂ x , se dice que la ecuación es exacta, en caso contrario la ecuación diferencial no es exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado

μ( x, y ) , llamado factor μ( y )=e

integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula: Por lo tanto, el factor integrante de la ecuación diferencial por:

2

3

∫

N x− M y M

dy

.

(2 x y )dx+(4 x −1)dy=0 , viene dado

μ( y)=

2 y −5

μ( y )=

1 y3

A.

B.

−5

C.

μ( y)= y

D.

μ( y)= y

5

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: LUIS ADOLFO GANTIVA ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: Responda las preguntas 5 y 6 con base a la siguiente información

Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como dy =f ( x , y) , o es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas que son de la forma: dx M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0 , que por homogeneidad quedan del mismo grado y que se pueden y dy =f ( u ) , donde expresar como una función que sólo depende del cociente , o de la forma x dx u=

y x

, por lo tanto

dy y =f . dx x

()

5. Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea:

3

3

y +x

dy 2 dy =x y , dx dx

corresponde a:

2

y 2 2x

A.

y=c e

B.

e y =cx

x 2

C.

y 2

y=lnx+ e +c 2

D.

y 2 x

y=e +c

6. Al resolver la ecuación diferencial

A.

y=xsen(ln |x|+c )

B.

y=e y +c

C.

y=tan ⁡( xlnx +e x + c) y=xtan(ln |x|+ c)

D.

(

y+x+

y2 dx−xdy =0 , la solución general viene dada como: x

)

x y

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JAIRO ANTONIO JIMENEZ 7. Es posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a través de la técnica llamada variables separables y se expresan de la forma M ( x )dx+N ( y )dy=0 , en donde todos los términos en x se pueden asociar con dx y todos los términos en y con dy, cuyo despeje se puede expresar como:

∫ M ( x ) dx=−∫ N ( y ) dy+C Tomando

como

referencia

la

información,

el

problema

de

valor

inicial

x (¿¿ 2+16)

dy + xy=0, con y ( 0 )=1, tiene como solución general y solución particular, respectivamente dx ¿

a: 1.

y=

C √ x +16

2.

y=

C x +16

3.

y=

4 √ x +16

4.

2

2

2

4 x +16 PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA y=

2

x dy (¿¿ 2+16) + xy=0 dx ¿ y ( 0 )=1

( x 2+ 16 ) dy=−xydx

RAZÓN O EXPLICACIÓN Ecuación Diferencial

Valor Inicial Separar los términos de x y los términos de y

2

u=x +16 , du=2 x

∫ M ( x ) dx=−∫ N ( y ) dy+C du 2 −1 du = ∫ u 2 u

−

∫

−1 −1 ln|u|= ln |x 2+ 16|+c 2 2

ln | y|+ c=

−1 2 ln|x +16|+ c 2

Realizamos Sustitución

Aplicamos la técnica de variables Separables

Hacemos la Operación de Integración

Esta es la respuesta de la operación

Sustituimos U

Aplicamos Propiedades de Logaritmos ln | y|+ c ¿ −1 2 ) ¿ ¿ ¿ e¿ −1 2 ¿ ¿ ln ⁡∨ y∨¿=e ¿ ec e¿ 1 c e y= 1 ( ln |x +16|) c e2 e 1 c e y= 1 1 ( ln |x +16|) c e2 ❑2 e 2

2

1

¿ x 2+16∨¿ 2 e c 1 ec y = ¿

√ ¿ x +16∨¿1 e 2

1 2

c

ec y = ¿

y=

c

√¿ x

2

Esta es la respuesta ❑

+16

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JAIRO ANTONIO JIMENEZ ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: 8. Una ecuación diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, es exacta cuando es decir, sus derivadas parciales son iguales. De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas “No” son exactas:

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA 

( 2 y 2 xdx−1 ) + ( 4 xy 2 +1 ) dy=0

RAZÓN O EXPLICACIÓN Ecuación Diferencial

∂M ∂N = ∂y ∂x

Ecuación de derivada parcial

∂M 2 =( ( 2 y xdx−1 ) ) ∂y

Derivada la ecuación 2 y 2 xdx−1 con respecto a Y

4 xy

Este es el resultado

Derivada la ecuación 4 y 2 x+ 1 con respecto a X

( 4 xy 2+1 ) ∂N =¿ ∂x 4y

2

Este es el resultado

4 xy ≠ 4 y



2

La Ecuación no es Exacta

( xy 2 + y ) dx+ ( yx 2−x ) dy=0

∂M ∂N = ∂y ∂x



Ecuación Diferencial

Ecuación de derivada parcial

∂M =( xy 2 + y ) ∂y

Derivada la ecuación

2 yx+1

Este es el resultado

∂N 2 =( yx −x ) ∂x

Derivada la ecuación

2 xy −1

Este es el resultado

2 yx+1 ≠ 2 xy −1

La Ecuación no es Exacta

( 4 y 2 x 3 +2 y ) dx + ( 2 x 4 y +2 x ) dy=0

Ecuación Diferencial

∂M ∂N = ∂y ∂x

x y +y

2

con respecto a Y

2

con respecto a X

x y −x

Ecuación de derivada parcial

∂M 2 3 =4 y x +2 y ∂y

Derivada la ecuación 4 y 2 x 3+ 2 y Y

8 yx 3+ 2

Este es el resultado

∂N =( 2 x 4 y +2 x ) ∂x

Derivada la ecuación X

3

8 yx + 2

Este es el resultado

con respecto a

( 2 x 4 y + 2 x ) con respecto a

3



3

8 yx + 2¿ 8 yx +2

La Ecuación es Exacta

( 3 x 2 y 2 + y ) dx + ( 2 x 3 y + x ) dy=0

Ecuación Diferencial

∂M ∂N = ∂y ∂x

Ecuación de derivada parcial

∂M =3 x 2 y 2 + y ∂y 2

Derivada la ecuación ( 3 x 2 y 2 + y ) con respecto a Y

6 y x +1

Este es el resultado

∂N =2 x 3 y + x ∂x

Derivada la ecuación X

6 y x 2 +1

Este es el resultado

6 y x 2 +1=6 y x 2+ 1

La Ecuación es Exacta

( 2 x3 y + x ) con respecto a

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HENRY FABIAN ESPEJO ESTUDIANTE QUE REALIMENTO:

9. Una ecuación diferencial de la forma

M ( x, y)dx +N ( x, y )dy=0

que no es exacta, es decir,

∂M ∂ N ≠ ∂ y ∂ x , se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado μ( x, y ) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula: μ( y )=e

∫

N x− M y M

dy

.

El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial

3 xydx−3 x 2 dy=0 , viene dado

por:

μ( y )= A.

1 y3

μ( y)= y

B. C.

3

y=cx

y=c √ x

D.

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA 2

3 xyⅆx −3 x ⅆy =0

2

3 xyⅆx −3 x ⅆy

ydx = xdy

∫

RAZÓN O EXPLICACIÓN Ecuación diferencial

Simplificando factores iguales

Vemos que

ⅆx ⅆy =∫ x y

lnx + C = lny

lnx + lnC = lny

ln (C x) = lny

Por inyectividad obtenemos

Cx = y

ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN

de

logaritmos

Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une.

Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HENRY FABIAN ESPEJO ESTUDIANTE QUE REALIMENTO:

( x+3 ) 10. Cuando se plantea la ecuación diferencial particular generada para

y(4)=2

es

la ecuación diferencial viene dada por

3

y=2( x +3 )

dy 3y

=

dy dx

,PORQUE al resolverla la solución general de

3

RAZÓN O EXPLICACIÓN Viene nada por

y=C ( x+3)

(x + 3)

, es posible asegurar que la solución

y=C ( x+3)

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA 3

dy =3 y dx

= 3y

dx ( x+ 3)

1 3 1 3

1 ∫( ) y

dy =

x+ 3 (¿) 1 ¿

¿ ∫¿

dx

ln(y)=ln(x+3)+C

ln(∛y) = ln(x+3) + ln ( ln(∛y) = ln((x+3) ( --------

ec

ec

e

c

)

))

=C

∛y = C(x+3)

y = C³(x+3)³ y = C(x + 3)³ Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de mezclas. En ellos, generalmente se presenta la siguiente situación:

La ecuación diferencial asociada es la siguiente ecuación diferencial lineal, que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t

Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera. El volumen inicial de líquido en el depósito es V 0 = 500 lt y la cantidad inicial de sal en el depósito es x0 = 20 gr. La salmuera que se bombea al depósito tiene una concentración C 1 = 5 gr/lt y se bombea a una razón Q1 = 8 lt/min. La solución, debidamente agitada y homogeneizada, se extrae del depósito a razón Q2 = 10 lt/min.

Partiendo de la ecuación diferencial asociada a los problemas de mezcla

2 Q1−Q¿ t ¿ V 0 +¿ dx Q 2 + dt ¿

Sustituimos los datos en la ecuación y obtenemos dx 10 + X =40 dt 500+ ( 8−10 ) t

, simplificando el proceso seria

dx 5 + X =40 dt 250−t

Despejando

dx dt

dx 5 dx =40− X , debido a la diferencial de la cantidad x de sal es dx =( ¿ dt 250−t dt dx sustituimos dada por la ecuación dt

(

dx= 18− dx +

dt,

5 X dt 250−t

)

5 X dt=40 dt 250−t

La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal de la forma x’ + F(t) x = G(t), 5 X , G ( t ) =40 para resolver la ecuación debe determinarse un factor donde F ( t )= 250−t integrante μ=∫ F (t ) dt μ=∫ F (t ) dt=μ=∫

5 dt=e−5 ln|250−t|=(250−t)−5 250−t

La ecuación lineal que tenemos de forma x’ + F(t) x = G(t), se multiplica por el factor integral

( 250−t )−5 dx+ 5(250−t)−6 X dt=40(250−t)−5 dt

Dado que −5

−6

−5

(250−t) dx +5( 250−t) X dt=d ⌊(250−t ) x ⌋ Sustituimos d ⌊ (250−t )−5 x ⌋ =40

(250−t)−5 dt

Integrando

∫ d ⌊(250−t)−5 x ⌋=40∫ (250−t )−5 dt Al ser ambas integrales inmediatas

∫ d ⌊(250−t)−5 x ⌋=( 250−t )−5 x+ K 1

∫ d ⌊(250−t)−5 x ⌋=

(250−t )−4 +K2 4

Sustituimos los resultados de las integrales en la ecuación anterior −5

−4

(250−t) x=8 (250−t) +k Para determinar el valor de la constante “k” de integración se utiliza la condición inicial x(0)=20, esto es, t0 =0 min y x0 =20 gr se sustituye en la ecuación (250)−5 20=8(250)−4 + k Despejamos “K” k =( 250 )−5 20=8 ( 250 )−4 =( 250 )−5 ( 20−8 (250 ) )=( 250 )−5 ( 20−2000 ) −5

k =−( 250 ) 1980 Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuación (250−t)−5 x=8 (250−t)−4− (250 )−5 1980 Multiplicando por

(250−t)5

x ( t )=8 ( 250−t )−1980(

250−t 5 ) 250

La ley de variación de la cantidad de sal en el depósito en cualquier momento t. Para lograr determinar la concentración de sal en el depósito en un momento t cualquiera, es necesario la concentración C(t) es el cociente entre la cantidad de sal y el volumen de líquido en el tanque, en un instante t cualquiera, es decir C ( t )=

x (t ) V (t )

En la cual V ( t )=V 0+ ( Q1−Q2 ) t=500−2 t=2(250−t) Sustituimos 250−t 5 ) (250−t)4 250 =5−740 2(250−t) (250)5

8 ( 250−t )−1980( C ( t )= C ( t )=5−740

(250−t) 4 (250)5

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Segunda Actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Segunda Actividad EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA En una cafetería se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de 90°C, y se enfría hasta 75°C mientras se expone a la temperatura ambiente durante 4 minutos. Si la temperatura ambiente está en 20°C, determinar en qué momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 55°C. Según la Ley de enfriamiento de Newton, la ecuación viene dada como:

Separando variables se tiene:

dT =−k (T −T a ) dt

dT =−kdt (T −T a)

Se aplica la integral a ambos lados de la ecuación: dT

∫ (T −T

a

)

=∫ kdt

ln ( T −T a )=−kt +c , según propiedades de los logaritmos: e ln (T −T )=e−kt +c a

Entonces, T =ce−t , por lo tanto: T ( t )=ce−kt +T a

Como T a=20 ° C

T ( t )=ce−kt +70

t=0

Para

la bebida tiene

T =90 ° C , entonces:

T ( 0 )=ce−k(0) +20=90 , por lo tanto,

c=90−70=20

Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será: T ( t )=70 e−kt +20

Para t=4

la bebida tiene

−k (4)

T ( 4 )=70 e

−k(4 )

e

=

T =75 ° C , luego:

+20=75

75−20 70

e k(4 )=

70 55

Aplicando logaritmos: e 70 ) 55 ln ⁡(¿¿ k ( 4))=ln ⁡¿ ¿ 55 ) 70 =−0,0602 4

ln ⁡( k=

Como en t=t 1 min

la bebida está en T =55 ° C

−0,0602t 1

T ( t 1 )=70 e

+ 20=55

Por lo tanto,

e−0,0602t = 1

55−20 70

y simplificando encontramos que:

El tiempo aproximado será de:

70 ) 35 t1 = =10,696 min 0,0602 ln ⁡(

t 1 =10,7 min

k es una constante de proporcionalidad. En ambos casos enfriamiento o calentamiento, si Tm es constante, se establece que k < 0

El ejercicio nos habla de una temperatura ambiente constante, entonces ya sabemos que t m=20 podemos considerar que cuando lo sirvió la bebida será t = 0 al tiempo cero, y la temperatura en ese momento es 90 entonces tenemos 1 con una condición inicial.

dT =k ( T −20 ) T ( 0 )=90 dt

Separando variables se tiene:

dT =−kdt (T −20)

Se aplica la integral a ambos lados de la ecuación:

dT

∫ (T −20) =∫ kdt Logaritmo Natural

ln ( T −20 ) =−kt+c , según propiedades de los logaritmos: e ln (T −20 )=e−kt +c

Se usa propiedades de los logaritmos y la ley de exponentes

e ln ⁡(c) =x y ( x )m ( x)n =( x )m+n

Entonces,

T −20=ekt e C , por lo tanto:

Podemos considera que

C

e =C 1

−kt

T ( t )=e

C 1+ 20

Aplicamos la condición inicial T(0) = 90 entonces

90=e k(0) C1 +20 90=C1 +20 Es decir que

C1 =70

Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será:

T ( t )=70 e kt + 20

Para

t=4

la bebida tiene

T =75 ° C , luego:

T ( 4 )=70 e−k (4) +20=75

75=70 e 4 (k) +20 55 4(k) =e 70 Aplicando logaritmos:

55 e 70 )= ln ⁡(¿¿ 4 k ) ¿ ln ⁡¿ Usamos la propiedad de los logaritmos

a (¿¿ x)=xln(a) ln ¿ Entonces

ln

55 =4 k ln ⁡( e) 70

ln(e) = 1

ln

1 55 ln ≈−0.06029 4 70

Entonces la ecuación 3 queda asi

T ( t ) 70 e−0.06029 t + 20 t=t 1 min

Como en

−0.06029t

55=70 e

la bebida está en

T =55 ° C

+ 20

35 −0.06029 t =e 70 e ln ⁡(¿¿−0.06029t ) 35 ln ⁡( )=¿ 70 ln

( 3570 )=−0.06029t

Entonces

−1 35 ln =t 0.06029 70

( )

El tiempo aproximado será de:

t=11,5 min

CONCLUSIONES 

Es muy enriquecedor poder responder los ejercicios de mezclas. Esto nos ayudara a aplicar estos conceptos en problemas como Epidemiologia, Biología, Economía entre otras ciencias.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

Ec. Dif. por Separación de Variables - Ejercicio 1 - https://www.youtube.com/watch? v=4HFN0NWBvAk&t=119s – Consultado 1 Marzo 2017  Ec. Dif. por Separación de Variables - Ejercicio 2 - https://www.youtube.com/watch? v=v3CsjgKeB7U&t=170s - Consultado 1 Marzo 2017  Ec. Dif. Homogéneas - Ejercicio 1 - https://www.youtube.com/watch?v=KjhJ3_idLM0 Consultado 1 Marzo 2017  Ec. Dif. Exactas - Ejercicio 1 - https://www.youtube.com/watch?v=vjJJrVejzE0 Consultado 1 Marzo 2017  TareasPlus (2011)Qué es una ecuación diferencial parte 1 (Video) Extraido de: https://www.youtube.com/watch?v=94YQF2BWis0&list=PLC3975C807BA9FB50  TareasPlus (2011)Qué es una ecuación diferencial parte 2 (Video) Extraido de: https://www.youtube.com/watch? v=wAhAzJ219KQ&index=2&list=PLC3975C807BA9FB50&spfreload=10