Trabajo Colaborativo Álgebra Lineal Vf

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Trabajo colaborativo Mensajes ocultos

Presentado por: Rojas Molina Luis Carlos –  Código:  Código: Sierra Barragán Judith Daniela –  Código:  Código: 1821981888 Suarez Granados Ana Belén –  Código:  Código:

Sub-grupo 44

Presentado a: Montealegre Joselín

Álgebra lineal Grupo 1

Campus virtual Ingeniería Industrial Septiembre de 2018 1

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TABLA DE CONTENIDO 1.

ACTIVIDAD N° 1

.....................................................................................................................3

2.

ACTIVIDAD N° 2

.....................................................................................................................6

3.

BIBLIOGRAFÍA

......................................................................................................................12

2

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1. ACTIVIDAD N° 1 Consultar el sistema de Hill para encriptar y des encriptar mensajes. Luego, describa el  proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo

10 41 

“_” representa el espacio entre las palabras).

A B C D E F G H I J K 0

1

2

3

4

5

6

7

L

M

N

Ñ

O

P

Q

R

S

T

U

V

W X

Y

_

.

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Desarrollo: Paso 1. Condición m=n Se debe verificar si la matriz clave cumple con la condición m=n, es decir validar que tenga el mismo número de filas y el mismo número de columnas lo cual es correcto ya que es una matriz 2x2.

Paso 2. Determinante

10 41 

Para que la matriz sea invertible debemos validar que el determinante sea diferente a cero  A≠0

Se plasma la matriz clave y se realiza una multiplicación en sentido diagonal. det A ≠ 0

Z

10 41 

= (1×1) - (0×(-4))=1

Se multiplica la primera diagonal y se le resta la segunda diagonal para hallar la determinante, obtenemos un resultado de 1 y así podemos decir que la matriz es invertible ya que la determinante es diferente de cero. Cumpliendo las dos condiciones anteriores procedemos a desarrollar el sistema hill.

3

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Paso 3. Encriptar - Formar la matriz La palabra a encriptar es: DEDICACION, debemos asignar un número a cada una de las letras en el mismo orden de acuerdo con el recuadro del enunciado.

D

E

D

I

C

A

C

I

O

N

3

4

3

8

2

0

2

8

15

13

Luego, se deben organizar en una matriz formando columnas de dos filas agrupadas en orden

34 38 20 28 11 53

Paso 4. Encriptar –  multiplicación de matrices. Se debe multiplicar la matriz clave por la matriz resultante del paso anterior

10 41  34 38 20 28 11 53 ×

La multiplicación de sebe realizar de la siguiente forma: cada uno de los números de las filas de la matriz clave deben multiplicar a cada uno de los números de las columnas de la matriz resultante respectivamente como se evidencia en el ejemplo, así:

Resultados primera fila (1 x 3) –  (-4 x 4) = -13 (1 x 3) –  (-47 x 8) = - 29 (1 x 2) –  (-4 x 0) = 2 (1 x 2) –  (-4 x 8) = - 30 4

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(1 x 15) –  (-4 x 13) = - 37 Resultados segunda fila (0 x 3) –  (1 x 4) = 4 (0 x 3) –  (1 x 8) = 8 (0 x 2) –  (1 x 0) = 0 (0 x 2) –  (1 x 8) = 8 (0 x 15) –  (1 x 13) = 13 Ahora, con los resultados procedemos a conformar la matriz que nos indica el mensaje encriptado (Npomuceno, 2016)

134 298 20 308 3713 

Paso 5. Encriptar –  Palabra encriptada Para descubrir cuál es la palabra encriptada vamos a trabajar módulo 29 utilizando una fórmula en Excel, de la siguiente forma para los valores que nos resulten en negativo o superiores a 29 (Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano, 2018): = residuo (-13;29) = 16 = residuo (-29;29) = 0 = residuo (-30;29) = 28 = residuo (-37;29) = 21 Procedemos a reemplazar los valores que correspondan

14 6 80 20 2 88 2131

Finalmente, la palabra cifrada es: PEAICA.IUN.

P

E

A

I

C

A

5

.

I

U

N

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16

4

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0

8

2

0

28

8

21

13

2. ACTIVIDAD N° 2

45 23 12 211

Suponga que se intercepta el mensaje HTQÑULUYXHBZPHXOTJHTQBADWIGPZH Junto con este mensaje encriptado, solo se logró obtener la matriz clave

La misión del grupo es: 1. Descifrar tal mensaje. 2. Detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje.

Paso 1. Condición m=n Se debe verificar si la matriz clave cumple con la condición m=n, es decir validar que tenga el mismo número de filas y el mismo número de columnas lo cual es correcto ya que es una matriz 3x3. A=

Paso 2. Determinante

45 23 12 211

 para que la matriz sea invertible debemos validar que el determinante sea diferente a cero  A≠0

Se plasma la matriz clave y se repiten las primeras dos columnas nuevamente para multiplicar en diagonal, de la siguiente forma det A ≠ 0

45 23 12 45 23 12 ∶∶ 45 23 2 1 1 2 1 1∶ 2 1 =

6

 =

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4 x 3 x 1 = 12 2x2x2=8

2x3x1=6 12 + 8 + 5 = 25

1x2x4=8

1x5x1=5

6 + 8 + 10 = 24

1 x 5 x 2 = 10

det A = 25 –  24 = 1

Obtenemos un resultado de 1 y así podemos decir que la matriz es invertible ya que la determinante es diferente de cero. Cumpliendo las dos condiciones anteriores procedemos a desarrollar el sistema hill.

Paso 3. Descifrar –  Invertir la matriz clave Antes de proceder con el desarrollo del descifrado, tomamos la matriz clave suministrada en el enunciado del ejercicio y la invertimos. En este caso utilizaremos el método de Gauss. (Vadenumeros, 2018)

45 23 12 45 23 12 ∶∶ 10 01 00 2 1 1 2 1 1∶ 0 0 1 15 3 2 ∶∶ 0 10 00 2 1 1∶ 0 0 1 10   ∶∶ − 01 00 2 1 1 ∶ 0 0 1  =

F2

F3



 F1

F2 –  5 × F1

F3 –  2 × F1

7

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10   ∶∶ − 01 00     − (0 0  ∶  0 1) 10 1  ∶∶ − 02 00    − (0 0  ∶  0 1) 10 1  ∶∶ − 02 00 0 0 1 ∶ 1 0 2 10 1 0 ∶∶ 1 20 30  0 0 1 ∶ 1 0 2 10 1 00 ∶∶ 1 20 3−  0 0 1 ∶ 1 0 2 10 01 00 ∶∶ 11 12 31  0 0 1 ∶ 1 0 2

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F2



F3

 

F2

F2 -   × F3



F1

F1 -   × F3

F1

F1 -   × F2



Obtenemos como resultado nuestra matriz A-1 (inversa) es:

8

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-1

A  =

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11 12 31  1 0 2

Paso 4. Descifrar –  Corroborar matriz inversa Para corroborar que el procedimiento se encuentre bien realizado, multiplicamos A-1 × A.

11 12 31  45 23 12 1 0 2 2 1 1  ×

La multiplicación de sebe realizar de la siguiente forma: cada uno de los números de las filas de la primera matriz deben multiplicar a cada uno de los números de las columnas de la segunda matriz respectivamente, como se evidenció en el paso 4 de la actividad N° 1. 4 + (-5) + 2 = 1

2 + (-3) + 1 = 0

1 + (-2) + 1 = 0

-4 + 10 + (-6) = 0

-2 + 6 + (-3) = 1

-1 + 4 + (-3) = 0

-4 + 0 + 4 = 0

-2 + 0 + 2 = 0

-1 + 0 + 2 = 1

La matriz resultante nos indica que el desarrollo se encuentra bien realizado y podemos  proceder a realizar el descifrado.

10 01 00 001 Paso 5. Descifrar –  multiplicar matrices Se debe multiplicar la matriz inversa por la matriz obtenida de acuerdo a la asignación de valores que se da a la palabra encriptada que se suministra en el enunciado de la actividad. La asignación de valores se realiza de la misma forma que es paso 3 de la actividad N° 1, la única diferencia es que se debe formar una matriz de tres filas ya que la matriz clave es de tres filas y tres columnas. 9

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H

T

Q

Ñ

U

L

U

Y

X

H B

7

20 17 14 21 11 21 25 24 7

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Z

P

H

1 26 16 7

X

O

T

J H

24 15 20 9

T

Q

B A D W I G

7 20 17 1

0

3

23 8

6

P

 ×

7+(-20)-17=4 -7+40+(-33)=0

14+(-21)+11=4 -14+42+(-33)=-5

21+(-25)+24=20 -21+50+(-72)=-43

7+(-1)+26=32 -7+2+(-78)=-83

16+(-7)+24=33 -16+14+(-72)=-74

-7+0+34=27

-14+0+22=8

-21+0+48=27

-7+0+52=45

-16+0+48=32

1+(-0)+3=4 -1+0+(-9)=-10 -1+0+6=5

23+(-8)+6=21 -23+16+(-18)=-25 -23+0+12=-11

16+(-26)+7=-3 -16+52+(15)=-15 -16+0+14=-2

7+(-20)+17=4 -7+40+(-51)=-18 -7+0+34=27

   40 54 4320   8332 7433 24 184 104 2521 113  27 8 27   45 32 3 27 5 5 2 Paso 6. Descifrar –  trabajar en módulo 29 Para descubrir cuál es la palabra vamos a trabajar módulo 29 utilizando una fórmula en Excel, de la siguiente forma para los valores que nos resulten en negativo o superiores a 29: 10

H

16 26 7

   270 2114 2521 71 167 1520 207 10 238 1626  17 11 24   26 24 9 17 3 6 7 11 12 31     270 2114 2521 71 167 1520 207 10 238 1626  1 0 2 17 11 24   26 24 9 17 3 6 7 15+(-20)+9=4 -15+40+(-27)=-2 -15+0+18=3

Z

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= residuo (-18;29) = 11 = residuo (-5;29) = 24 = residuo (-43;29) = 15 = residuo (32;29) = 3 = residuo (-83;29) = 4 = residuo (45;29) = 16 = residuo (33;29) = 4 = residuo (-74;29) = 13 = residuo (32;29) = 3 = residuo (-2;29) = 27 = residuo (-18;29) = 11 = residuo (-10;29) = 19 = residuo (-25;29) = 4 = residuo (-11;29) = 18 = residuo (-3;29) = 26 = residuo (-2;29) = 27 Procedemos a reemplazar los valores que correspondan E

L

_

E

X

I

T

O

_

D E

4 11 27 4 24 8 20 15 27 3

P

E

N D E

4 16 4 13

3

_

4 27

D E 3

L

_

E

F

U

E

R

Z

O

_

4 11 27 4 19 5 21 4 18 26 15 27

Y concluimos que la palabra es EL ÉXITO DEPENDE DEL ESFUERZO

11

S

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3. BIBLIOGRAFÍA Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano. (2018). Google drive. Recuperado el 09 de 2018, de https://drive.google.com/file/d/1rHtDB93xBcygnathYiNjmhlI0IYnaxv/view  Npomuceno, S. (05 de junio de 2016). Youtube. Recuperado el septiembre de 2018, de https://www.youtube.com/watch?v=f_MjzKVM728 Vadenumeros. (2018). vadenumeros.es. Obtenido de https://www.vadenumeros.es/segundo/matriz-inversa-ecuaciones.htm

12