Trabajo colaborativo 3

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

TRABAJO COLABORATIVO 3 ÁREA Y VOLUMEN DE SOLIDOS ESFÉRICOS

TRABAJO PRESENTADO POR GRUPO 551122_7 LILIANA ISABEL MORA P. COD. 69.055.507 DIEGO FERNANDO TABARES COD. 94327123 LUCELLY PUERTAS COD. 29583307 JULIO CESAR MORENO COD. 94281356 ALGEL ALBERTO CORTES COD. 16930161

TRABAJO ENTREGADO A JOSE VICENTE QUIMBAYA TORRES DIRECTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN “ECEDU” LICENCIATURA EN MATEMATICAS 2015

INTRODUCCIÓN En este trabajo colaborativo se hará un estudio de las figuras geométricas tridimensionales denominadas sólidos esféricos. En todas ellas podemos hacer dos interpretaciones: una sobre el área de la superficie que definen y otra sobre el volumen que ocupan. Se estudiará entonces como calcular el volumen y el área del cilindro, el cono y la esfera. El desarrollo de los contenidos es informal y no se presentan las deducciones de las fórmulas; algunas de ellas son intuitivas mientras que otras requieren del cálculo integral para ser demostradas.

ÁREA Y VOLUMEN DE SÓLIDOS ESFÉRICOS Los sólidos esféricos son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje.

CILINDRO Es el sólido que se genera mediante una rotación de 360 grados de una región rectangular alrededor de uno de sus lados. Un cilindro es un sólido que tiene dos bases circulares iguales contenidas en planos paralelos. La superficie lateral o área lateral del cilindro está formada por todos los puntos que unen las dos bases del cilindro. El eje del cilindro circular es el segmento que une los dos centros de las bases. Si el eje es perpendicular a las bases el cilindro se llama cilindro circular recto, mientras que cuando el eje no es perpendicular a las bases se llama cilindro oblicuo. La altura h del cilindro circular es el segmento perpendicular a las dos bases. El radio r del cilindro es el radio de cualquiera de las bases iguales. En lafigura se muestra un cilindro circular recto.

Podemos averiguar el área y el volumen de uno de estos cuerpos geométricos si utilizamos las siguientes fórmulas:

Las fórmulas para calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro se obtienen de la misma forma que las de un prisma recto, es decir que el área lateral es el perímetro de la base multiplicado por la altura, mientras que el área total es el área lateral más el área de las dos bases circulares iguales.

Tronco de cilindro:  El tronco de cilindro es el sólido que se obtiene al cortar el cilindro de revolución.

Su área y volumen los podemos encontrar con las siguientes expresiones:

          (  )

CONO Es el sólido que se genera mediante la rotación completa de una región triangular alrededor de uno de sus catetos. Es un sólido que se forma con una base en forma de círculo y un punto fuera del círculo llamado vértice. El eje del cono es el segmento de recta que va del vértice al centro de la base circular. La altura h del cono es el segmento perpendicular a la base que une a ésta con el vértice. Si el eje del cono es perpendicular a la base el cono se llama cono circular recto, mientras que si el eje no es perpendicular a la base el cono se llama cono oblicuo. En un cono circular recto, se llama generatriz al segmento que va del vértice a un punto en la circunferencia de la base. La figura muestra un cono circular recto.

En un cono se cumple que

       Donde g : generatriz del cono. h : altura del cono. r : radio de la base La superficie lateral o área lateral de un cono está formada por todos los puntos que se obtienen al unir el vértice con cualquier punto de la circunferencia en la base del cono. El área lateral del cono está dada por

  

El área total del cono se obtiene al sumar el área lateral con el área de la base

      La fórmula para calcular el volumen del cono es la tercera parte del área de la base multiplicada por la altura

     Tronco de cono: Es el sólido generado mediante la rotación completa de una región limitada por un trapecio rectángulo alrededor del lado perpendicular a las bases.

Para un tronco de cono usamos las siguientes expresiones para hallar su área lateral, área total y volumen.

         [      ]        

SUPERFICIE ESFÉRICA Es la superficie generada por la rotación completa de una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

El área de la superficie esférica (S) de radio R es:

 ESFERA Es el sólido generado mediante la rotación completa de un semicírculo alrededor de su diámetro. Una esfera es un sólido que está formado por todos los puntos en el espacio que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la esfera. Esta distancia se llama radio de la esfera. La figura siguiente muestra una esfera de radio R

El Volumen de la esfera (V) de radio R es:

   

Resolver los siguientes ocho (8) ejercicios propuestos

A. Calcular el volumen de un prisma regular de base cuadrada en el que el lado de la base mide 3 cm, y la arista lateral 7 cm

                               B. Calcular la capacidad de un tanque en forma de paralelepípedo rectángulo de 3 cm de profundidad, en el que los lados de la base miden respectivamente 10,4 m y 6,8 m.

Formula:

               

    

           C. El volumen de un prisma es de 6,5 dm3 y el área se su base mide 2,5 dm 2; ¿Cuál es la altura?

RESPUESTA:

                Fórmula:

D. El volumen de un paralelepípedo recto de base cuadrada es de 468 cm 3; ¿Cuál es el lado de la base, si la altura mide 12 cm?

Solución

            2

Si el área de la base mide



2

el lado de la base es

      Donde cada lado vale igual es decir   por ser cuadrangular 

E. Calcúlese el radio de la base de un recipiente cilíndrico circular de 6 dm de altura y 60 litros de capacidad

Convertimos litros a

      

            √   √   F. Un montón de arena de forma cónica mide 12,57 m de circunferencia en la base y 2,50 m de lado o generatriz; calcular su volumen.

                        √                              

    G. En una esfera de 10 cm de diámetro, ¿Cuál es el área del círculo determinado por un plano que pasa a 3 cm del centro?

Para hallar el radio se debe emplear el teorema de Pitágoras. Siendo el radio de la esfera la hipotenusa del triángulo que se forma entre la altura y r.

            

H. Calcular a que distancia del centro de una esfera de 7 cm de radio ha de pasa un plano para que la sección tenga 4 cm de radio.

 Aplicado el teorema de Pitágoras se puede encontrar la altura siendo el radio de la esfera la hipotenusa del triángulo rectángulo.

             √  

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Duque, G. P. (1979). Trigonometría Plana y Esférica. Medellin-Colombia: Editorial Bedout S.A. matematica.laguia2000.com/general/caracteristicas-de-cuerpos-redondos