Trabajo Colaborativo 3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería - ECBTI

Calculo Diferencial – 100410_197

Momento 3: Actividad Colaborativa Unidad 3 - Análisis de las derivadas y sus aplicaciones.

INTRODUCCION El siguiente trabajo tiene como objetivo mostrar al estudiante conceptos y reglas claras sobre la derivación, estos son métodos que podremos emplear para el cálculo de las derivadas dentro de una función que dependiendo de su tipo se determina sobre cual se desarrollará; dentro de las reglas de derivación tenemos:     

Regla de una constante Regla de Potencias Regla del Producto Regla del Cociente Regla de la Cadena

Dentro del siguiente trabajo desarrollaremos una serie de ejercicios donde además de Reglas de derivación aplicaremos derivadas implícitas, y derivadas de orden superior, con los cuales daremos por sentadas las bases que nos permitirán tener una experiencia práctica en la unidad tres de este curso: Análisis de las derivadas y sus aplicaciones.

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Momento 3: Actividad Colaborativa Unidad 3 - Análisis de las derivadas y sus aplicaciones.

DESARROLLO DE LA FASE 1 ESTUDIANTE 2

EJERCICIO 1 Aplicando las reglas de la derivación calcular la siguiente derivada: f ( x )=(2 x +3)

3 2

 Aplicamos la Regla de la cadena que dice: dy ∗du dy du = dx dx 3 −1 3 f ' (x)= ( 2 x +3 ) 2 ∗(2 x +3) 2

1 3 f ' (x)= ( 2 x +3 ) 2∗(2 x +3) 2

 Como el exponente es

f ' (x)=

3 √2 x+ 3∗(2 x +3) 2

f ' (x)=

3 √ 2 x +3 ∗(2 x +3) 2

1 2

podemos convertir en raíz cuadrada

 Derivamos ahora a u (u = 2x+3)  Derivamos primero 2x, sacando la constante y derivando x, como la derivada de x es 1 tenemos que 2 * 1 = 2, por ende la derivada de 2x es 2

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f ' (x)=

3 √ 2 x +3 ∗(2+3) 2

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 Ahora derivando 3 tenemos que: La derivada de una constante es 0 f ' (x)=

3 √ 2 x +3 ∗(2+0) 2

f ' ( x)=

3 √ 2 x +3 ∗2 2

 Aplicando la regla de multiplicar Fracciones tenemos: f ' ( x)=

3 √ 2 x +3∗2 2

 Eliminamos términos comunes tenemos: f ' (x)=3 √ 2 x+3

RESPUESTA 3

Tenemos con esto que la derivada de f ( x )=(2 x +3) 2 es f ' (x)=3 √ 2 x+3

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EJERICICIO 2 Aplicando las reglas de la derivación calcular la siguiente derivada: f ( x )=

3x x +7 x−5 3

 Sacamos la constante: f ( x )=3

x x +7 x−5 3

 Aplicamos la regla del cociente que dice:

f ' ( x )=3

f ' f ' . g−f . g' = g g2

()

d d ( x ) ( x 3+ 7 x −5 )− ( x 3 +7 x−5 ) x dx dx

( x 3+7 x −5 )

2

 Resolvemos las Derivadas  Por regla de derivación tenemos que

1∗( x 3 +7 x−5 ) − f ' ( x )=3

d x dx

=1

d 3 ( x +7 x−5 ) x dx

( x 3 +7 x−5 )

2

3  Ahora derivamos ( x + 7 x−5 ) usando la regla de la suma tenemos que:

d 3 x dx d 7x dx

2 = 3x

=7

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d 5 dx

=0

 Tenemos entonces que

d 3 ( x +7 x−5 ) dx

2 = ( 3 x +7−0 ) y quedaría:

3x 1∗( x 3 +7 x−5 ) −

(¿¿ 2+7) x

( x3 +7 x−5 )

2

f ' ( x )=3 ¿

 Realizamos las operaciones: 3x x (¿¿ 2+7) 3 x +7 x−5− 3 2 ( x +7 x −5 ) f ' ( x ) =3 ¿

f ' ( x )=3

x3 +7 x−5−3 x 3−7 x

( x3 +7 x−5 )

2

 Simplificamos: −2 x3 −5 ( ) f ' x =3 3 2 ( x +7 x−5 )

 Finalmente utilizamos ley de multiplicar fracciones: 3

f ' ( x )=

3(−2 x −5)

( x 3+ 7 x−5 )

2

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RESPUESTA Tenemos con esto que la derivada de

f ( x )=

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3x 3 x +7 x−5

3

es

f ' ( x )=

3(−2 x −5)

( x 3+ 7 x−5 )

2

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EJERICICIO 3 Calcula las siguientes Derivadas Implícitas sin(x )+ 2cos (2 y)=1

 Derivamos a ambos lados: (2 y) sin(x )+ 2cos ¿ ¿ d ¿ dx

 Aplicamos la regla de la suma en

(2 y) sin(x )+ 2cos ¿ y derivamos d ¿ dx

(x ) sin ¿ ¿ (2 y) 2 cos ¿ ¿ d ¿ dx

 Derivamos

(x) sin ¿ : d ¿ dx

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d (1) dx

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(2 y) 2 cos ¿ ¿ d cos( x)+ ¿ dx

Derivamos

(2 y) 2 cos ¿ : d ¿ dx

 Sacamos la constante: (2 y) cos ¿ d 2 ¿ dx

 Aplicamos la regla de la cadena: 2

(−sin ( 2 y ))∗d (2 y ) dx

 Sacamos la constante en

2

d (2 y) dx

asi:

d ( y) dx

 Nos quedaría entonces la ecuación de esta manera: cos( x)+2(−sin ( 2 y ) )∗2

d ( y )=0 dx

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 Simplificamos: cos( x)+4

(−sin ( 2 y ) )∗d ( y)=0 dx

cos( x)−4 sin

( 2 y )∗d ( y)=0 dx

 Reemplazamos

d ( y) dx

por el término

y'

y despejamos:

cos( x)−4 sin ( 2 y )∗y '=0

y'=

cos ( x) 4 sin (2 y )

RESPUESTA Tenemos con esto que la derivada implícita de sin(x )+ 2cos (2 y)=1 es y'=

cos ( x) 4 sin (2 y )

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EJERICICIO 4 Calcula las siguientes derivadas de orden superior f ( x )=x 3 +3 x2 +3 x +1

Hallar: f ' ' ' ' ( x )

 Aplicamos la regla de la suma: f ( x )=x 3 +3 x2 +3 x +1 x d d d d (¿¿ 3)+ (3 x 2)+ ( 3 x )+ (1) dx dx dx dx f ' ( x ) =¿

 Aplicando reglas de derivación tenemos: f ' ( x )=3 x 2+ 6 x+3+ 0 2  Derivada en primer orden = f ' ( x )=3 x + 6 x+3

 Aplicamos nuevamente la regla de la suma: 2 f ' ' ( x )=3 x + 6 x+3

f ' ' ( x )=

d d d (3 x 2 )+ (6 x)+ ( 3) dx dx dx

 Aplicamos reglas de derivación: f ' ' ( x )=6 x +6+ 0

 Derivada en segundo orden = f ' ' ( x )=6 x +6

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 Aplicamos nuevamente la regla de la suma: f ' ' ' ( x )=6 x +6

f ' ' ' ( x )=

d d (6 x)+ (6) dx dx

 Aplicamos reglas de la derivación: f ' ' ' ( x )=6 +0

 Derivada en tercer orden = f ' ' ' ( x )=6  Aplicamos nuevamente la regla de la suma: f ' ' ' ' ( x )=6

f ' ' ' ' ( x )=

d (6) dx

 Aplicamos reglas de la derivación: f ' ' ' ' ( x )=0

 Derivada en cuarto orden = f ' ' ' ' ( x )=0

RESPUESTA Tenemos que la derivada en su orden superior de f ' ' ' ' (x)

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f ( x )=x 3 +3 x2 +3 x +1

es 0 en

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DESARROLLO DE LA FASE 2 ESTUDIANTE 2 f ( x )=√ x

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DESARROLLO DE LA FASE 3

Una derivada expresa el incremento de una magnitud con respecto a otro, en nuestra vida cotidiana vemos incrementos constantemente, cuando vamos en un vehículo, podemos representar por medio de un derivada el incremento de velocidad que este toma, cuando estamos en un supermercado y vemos que un producto incremento su precio con respecto a días anteriores, cuando hacemos ejercicio e incrementa nuestro pulso, en todos estos casos podemos utilizar derivadas. En mi carrera como profesional (ingeniero de sistemas) se pueden utilizar las derivadas en muchos momentos como por ejemplo: Cuando miramos el incremento del peso en una base de datos o cualquier archivo o programa, cuando revisamos y medimos el incremento de señales bien sean, electrónicas, digitales, radio enlaces, etc.

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CONCLUSIONES Hemos observado que las derivadas expresan el incremento de una magnitud, podemos observar este incremento a medida que (x) cambia su valor en una función, por medio de los ejercicios planteados a lo largo del curso podemos ver una mejora de nuestras capacidades para desarrollar sucesiones, progresiones, límites y derivadas, Unidades presentadas en el curso calculo diferencial, pero es esta ultima el tema desarrollado en este trabajo, tema el cual hemos explorado para adquirir conceptos, aprender reglas y así poder desarrollar los ejercicios planteados para dar cumplimiento con esta fase.

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BIBLIOGRAFIA

 Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 2 – Análisis de las derivadas y sus aplicaciones.

Pág. 88-231. Universidad Nacional

Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4806  Universidad Nacional de Córdoba. (2011). Reglas de la derivación. Córdoba, Argentina. Recuperado de la URL: http://www.famaf.unc.edu.ar/~rojo/intro_fisica/reglas_de_derivacion.pdf  Julio Alberto Ríos Gallego. (11-Feb-2010). DERIVACION IMPLICITA – Ejercicio 1. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch? v=oneC1gsSQaM  Julio Alberto Ríos Gallego. (02-Oct-2012). DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

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Ejercicio

3.

Recuperado

de:

https://www.youtube.com/watch?v=mvpBs_D1XKk  Julio Alberto Ríos Gallego. (14-Feb-2010). DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicios 3, 4 y 5. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=91UZ9S19Oo

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