Trabajo Colaborativo 2 Sistemas Dinamicos

SISTEMAS DINAMICOS TRABAJO COLABORATIVO 2

WILSON ALEXANDER HUERTAS URREGO COD. 3.216.368

DIEGO SENDOYA TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA BOGOTA D.C MAYO 22 DE 2011

INTRODUCCION Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema, disponemos de varios métodos para analizar el comportamiento del sistema. Los sistemas de control se diseñan para conseguir un determinado comportamiento, tanto en régimen permanente como transitorio. La respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide normalmente en dos partes: respuesta transitoria y respuesta estacionaria (permanente o en estado estable). En sistemas de control, la respuesta transitoria está definida como la “parte de la respuesta temporal que tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande”. Por el contrario, la respuesta estacionaria “es la parte de la respuesta temporal que permanece, una vez que la transitoria ha desaparecido”. Entre los muchos tipos de especificaciones de desempeño utilizadas para el diseño de un sistema de control, el requerimiento más importante es que el sistema sea estable; por lo general, un sistema inestable se considera inutil. Existen muchas nociones de estabilidad, una de ellas es considerar que un sistema es estable si al aplicarle una entrada de magnitud finita, entonces la salida es también finita.

DESARROLLO Encuentre la función de transferencia G(s) que relacione el voltaje de entrada Y la velocidad angular de salida , para la planta que se muestra en la Figura:

Modelamos el sistema eléctrico y el rotacional de manera independiente: Para el sistema rotacional tenemos que:

(1) Para el sistema rotacional tenemos:

(2) Para relacionar los sistemas tenemos en cuenta que el sistema en conjunto puede funcionar tanto como un sistema rotor como un generador, es decir, puede haber una transferencia de eléctrica a mecánica, como de mecánica a eléctrica.

Para transferencia de eléctrica a mecánica, tenemos que, el torque generado por el sistema es directamente proporcional a la corriente que circula por el circuito, entonces: (3) Para transferencia de mecánica a eléctrica, tenemos que, el potencial que podría generar el sistema si funcionara como una bobina es directamente proporcional a la velocidad angular con que roto el sistema, entonces: (4)

Reemplazamos (3) en (2) y (4) en (1) (5) (6) Despejamos i en la ecuación (6), tenemos:

Reemplazamos i en (5), ASI OBTENEMOS LA ECUACION DIFERENCIAL:

Para la función de transferencia aplicamos transformadas de Laplace antes de reemplazar, teniendo en cuenta que w(s)= En (5):

En (6):

Agrupando términos y la función de transferencia G(s) que relaciona el voltaje de entrada (ei )t y la velocidad angular de salida wm (t ) es:

Una vez el grupo de trabajo encuentre la función de transferencia, se debe elegir el número de cédula de alguno de los integrantes del equipo y utilizar los últimos cinco dígitos para crear un arreglo o vector que pueda ser utilizado en la simulación del sistema desarrollado. Se tomó el número de cedula: “84088054” CC. (1)=8 CC. (2)=4 CC. (3)=0 CC. (4)=8 CC. (5)=8 De acuerdo con los valores obtenidos con los dígitos de la cédula, asignamos valores a cada una de las variables del problema de la siguiente forma: R= CC(1)+ CC(2)=12 L= CC(2)+ CC(3)=4 J= CC(3)+ CC(4)=8 b= CC(4)+ CC(5)=16 Ke= CC(1)+ CC(3)=8 Kt= CC(3)+ CC(5)=8 Obtenemos entonces:

1. Hallar tiempo de subida, el tiempo de pico, el sobre impulso máximo y el tiempo de establecimiento, si el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario. Solución:

• Calculando el tiempo de subida Se observa que es necesario hallar los valores de:

Por lo cual:

• Calculando tiempo de pico

• Calculando el impulso máximo

• Calculando el tiempo de asentamiento

Graficando obtendríamos:

Desarrollando este ejercicio en Matlab (este archivo se encuentra en el comprimido). FA=0.6; Wn=5; num=Wn^2; den=[1 2*FA*Wn Wn^2]; s1=tf(num,den); t=[0:0,01:3]; step(s1,t); grid;

2.

Las propiedades de estabilidad del sistema son una función de la ganancia K de retroalimentación. La ecuación característica está dada por:

El arreglo de Routh correspondiente es:

Si el sistema va a permanecer estable debemos tener:

3. El lugar geométrico de las raíces se realiza para variaciones de K desde cero hasta infinito, para las cuales dichas raíces deben satisfacer la ecuación:

Como s es una variable compleja, es posible reescribir dicha ecuación en forma polar como sigue.

A continuación se muestra el procedimiento a seguir para la construcción del lugar geométrico paso a paso, cuya función de transferencia a lazo abierto es la que se muestra en la ecuación:

Debido a que el lugar geométrico de las raíces comienza en los polos del lazo abierto y termina en los ceros del lazo abierto se deben dibujar sobre el Plano s dichos polos y ceros, para lo cual se utiliza la convención de marcar los polos con una “X” y los ceros con un “O”.

5. El sistema estaría definido por:

Obtendremos entonces las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, en la forma canónica observable y en la forma canónica diagonal. Forma canónica controlable:

Forma canónica observable:

Forma canónica diagonal:

Valores propios de una matriz A de n x n. Los valores propios de una matriz A de n x n son las raíces de la ecuación característica

Los valores propios también se denominan raíces características. Por ejemplo, considérese la matriz A siguiente:

La ecuación característica es:

Los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica, -1, -2, -3. Diagonalización de una matriz de n x n. Obsérvese que, si una matriz A de n x n con valores propios distintos, está dada por:

La transformación x = Pz, donde

n valores propios distintos de A. transformará P-1AP en la matriz diagonal o

Si la matriz A definida mediante Ec. (1.102) contiene valores propios múltiples, la diagonalización es imposible. Por ejemplo, si la matriz A de 3 X 3, donde:

La transformación x = Sz, donde:

Producirá

Que está en la forma canónica de Jordan.

Aquí se realiza la comparación sobre los procesos de resolución de problemas sin los entes de control de modelado el cual llamaremos control clásico y el uso de todas estas herramientas que hemos usado en el transcurso del curso al cual llamaremos control moderno: 1. El control clásico es mejor para diseñar sistemas de una sola entrada una sola salida (SISO) lineales e invariantes en el tiempo. El diseño esta basado en las características de respuesta transitoria y respuesta a la frecuencia del sistema. En el control clásico se presentan serias limitaciones y existen dificultades para diseñar sistemas de control multivariable y sistemas de control variantes en el tiempo. El diseño por medio de la teoría de control moderno basado en conceptos de espacio de estado será llevado a la salida por otro tipo de entradas en vez de la función impulso, función escalón o función senoidal. El control moderno puede ser aplicado al diseño sistemas de control multivariable lineal y sistemas de control variantes en el tiempo que son óptimos con índices de funcionamiento dados. 2. Experimentalmente, un sistema complejo puede ser caracterizado fácilmente en términos de curvas de respuesta a la frecuencia. Las pruebas de respuesta a la frecuencia son, en general, simples y pueden ser hechas exactas mediante el uso de generadores de señal senoidal exactos y equipos para mediciones senoidales precisos. Usualmente se dificulta la escritura del conjunto de ecuaciones diferenciales que representan la dinámica de un sistema complejo y la teoría de control moderna se puede aplicar directamente. De aquí, el control moderno es más conveniente que el control clásico. 3. En el control clásico, las manipulaciones algebraicas de los parámetros se pueden hacer antes de que se substituyan los valores numéricos. Este no es el caso en el control moderno debido al uso extensivo de la notación vectormatriz. La notación vector-matriz generalmente simplifica la descripción de un sistema de ecuaciones. La simplicidad notacional y conceptual de las operaciones vector-matriz es esencial para el trabajo teórico. 4. La inclusión de las condiciones iniciales en el diseño del sistema es imposible en el control clásico. De lo contrario, el control moderno nos habilita para incluir las condiciones iniciales del sistema en el diseño. 5. Para el rechazo de ruido de alta frecuencia en sistemas de control, las técnicas de diseño en el dominio de la frecuencia del control clásico son más convenientes que las técnicas de espacio de estado del control moderno.

Bibliografía R. Dorf. Sistemas Modernos de Control. Addison Wesley Iberoamericana, 2da. Edici´on, 1989. Benjamin. Kuo. Sistemas de Control Autom´atico. Prentice HallHispanoamericana, 1996. K. Ogata. Ingenier´ıa de Control Moderna. Prentice Hall Hispanoamericana, 3a. Edici´on, 1998.